浙江高职考数学建模练习卷

绍兴市中等专业学校17级建模随堂练习数学试题卷姓名________________ 班级________________ 本试题卷共3大题，共X 页。

满分0分，考试时间X 分钟。

一、单项选择题（本大题共9小题，每小题0分，共0分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。

错选、多选或未选均无分。

1.某林场计划今年造林80 km 2,以后每一年比前一年多造20%,则第5年计划造林（ ） A .166 km 2B .66 km 2C .266 km 2D .366 km 22.若sin α＋cos α＝a ，则sin π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值和a 的取值范围分别为________. （ ）A .a ，[－2，2]B .a ，[－2，2]C .22a ，[－2，2] D .22a ，[－2，2] 3.若三角形的三边长之比为2∶3∶4，则这个三角形的形状为________. （ ）A .钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .等腰三角形4.若225C x ＝425C x +，则x 的值为________. （ ）A .4B .7C .4或7D .不存在5.如果以时钟中时针为始边，分针为终边构成一个角，那么四点钟时，时针与分针构成的角，可以用弧度制正确的表示为________. （ ）A .2π3B .－4π3C .2π3或－4π3D .2k π＋2π3（k ∈Z ） 6.科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表所示）.函数和二次函数中的一种.你觉得哪一种函数比较适当？ （ ） A .反比例函数B .一次函数C .二次函数D .以上均有可能7.不等式x ＋y ＜2在平面上应表示为________. （ ）A .一条直线B .直线包含原点的那一侧（不包含直线）C .直线及直线一侧的区域D .直线不包含原点的那一侧（不包含直线）8.某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米（b ＜a ），再前进c 千米，则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是________. （ ）9.某地2016年人均GDP （地区生产总值）为32000元，预计以后年增长率为10%.若该地区人均GDP 超过64000元，则至少要经过________. （ ）A .4年B .5年C .8年D .10年10.甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快.若某人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系可用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙各人的图象只可能是________. （ ）A .甲是图①，乙是图②B .甲是图①，乙是图④C .甲是图③，乙是图②D .甲是图③，乙是图④11.将正偶数按下表排成5列，如下表所示.则2018的位置是________. （ ）A .第253行 4列12.为了得到函数y ＝sin2x －cos2x ，x ∈R 的图象，应将正弦曲线上所有点的________. （ ）A .纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π4个单位 B .纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π4个单位C .纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π8个单位D .纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π8个单位13.cos40°·sin80°－cos130°·sin10°的值是________. （ ）A .cos140°B .cos120°C .cos50°D .cos30°14.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝***10210101001.510041x x x x x x x x x ∈+∈∈⎧⎪⎨⎪⎩N N N ，≤≤，，≤＜，，≥，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若应聘的面试人数为60人，则该公司拟录用人数为________. （ ） A .15人B .40人C .25人D .130人15.一台电脑成本计价为a 元，销售价高出成本价25%.因库存积压，按销售价的7折出售，那么每台电脑的实际售价y 与成本价a 之间的函数模型为________. （ ）A .y ＝（1＋25%）（1＋70%）aB .y ＝70%（1＋25%）aC .y ＝（1＋25%＋70%）aD .y ＝（1＋25%）（1－70%）a二、填空题（本大题共12小题，每小题0分，共0分）16.小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，建立适当的数学模型求解并填空： （1）放入一个小球，量筒中水面升高________ cm ； （2）量筒中至少放入________个小球时才会有水溢出.17.当x ＝________时，函数y ＝13x -＋x （x ＞3）达到最小值. 18.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），则围成场地的最大面积为（围墙的厚度不计）.19.在△ABC 中，cos A ＝1213，cos B ＝45，则cos C 的值是________.20.将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学都不相邻，则不同的排法有________种. 21.某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民大病住院医疗费用的报销比例标准如下表所示.800＜x ≤3000时，y 关于x 的函数关系式为________.22.y ＝7－8sin x 的最小值是________，最小正周期是________.23.已知集合M ＝{1，2}，集合N ＝{x |mx －1＝0}，若N ⊆M ，则m 有________个解. 24.要使直线l 1：x ＋3y －4＝0与l 2：2x －λy ＋3＝0平行，则λ的值为________.25.“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖.若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是________.26.若向量a ＝（－2，4），b ＝（2，－3），则a ＋2b ＝________.27.小华计划从A 城市去B 城市旅游的路线图如图所示，有________条不同的路线.（不能重复经过同一个点）28.若一次函数f （x ）＝mx ＋5，且f （－3）＜f（1），则实数m 的取值范围为________. 29.甲虫是行动最快的昆虫之一.下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度.距离（cm）9.819.629.4…49…？________s.30.甲村到乙村有3条不同的路可走，甲村到丙村有3条不同的路可走，甲村到丁村有2条不同的路可走，乙村到丁村有2条不同的路可走，丙村到丁村有1条路可走，则甲村到丁村有________种不同的走法.三、解答题（本大题共14小题，共0分。

）解答题应写出文字说明及演算步骤31.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）＝x·v（x）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）32.某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：x（万元）012…y 11.51.8…（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为x（万元），x∈[1，3]，问：广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增加而增加？33.通过实验研究，专家们发现，中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散，学生注意力指标数y随时间x（min）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）.当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段.（1）指出注意力指标数y与时间x的函数关系是什么数学模型；（2）当0≤x≤40时，写出注意力指标数y与时间x的函数关系式.34.某汽车租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的租金增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需养护费200元，未租出的车每月需养护费100元.问：（1）当月租金为3600元时，能租出去多少辆车？（2）当月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？最大收益为多少？35.当前，“共享单车”在某些城市发展较快.如果某公司要在某城市发展“共享单车”出租自行车业务，设一辆自行车（即单车）按每小时x元（x≥0.8）出租，所有自行车每天租出的时间合计为y（y＞0）小时，经市场调査及试运营，得到如下数据（见表）：x0.9 1 1.1 1.2 1.3y1100 1000 900 800 700（1y是x的什么函数？并求出此函数解析式；（2）若不考虑其他因素，x为多少时，公司每天收入最大？36.某市2016年新建住房400万平方米，其中中低价房250万平方米.预计今后几年内，该市每年新建住房面积年均增长8%，其中中低价房的面积年均增加50万平米求：（1）到哪一年底，中低价房累计新建面积（2016年为累积的第一年）将首次不少于4750万平方米?（2）到哪一年年底，当年建造的中低价房面积，占该年新建住房总面积的比例首次大于85%？（计算中可能用到的数据：1.084≈1.36，1.085≈1.47，1.086≈1.59）37.某工厂接到一订单，须按要求设计并生产产品：（如图1所示）边长为40厘米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为3a，2a，a.若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.（1）试猜想四边形EFGH的形状，并加以说明；（2）E、F在什么位置时，定制这批产品所需的材料费用最省?38.如图所示，一直线交两坐标轴于A、B两点，在线段AB上任取一点P，过P点分别作两坐标轴的垂线得到矩形OMPN.（1）求直线AB的方程；（2）设矩形边长OM＝x，写出矩形OMPN的面积y与x之间的函数关系式；（3）当矩形边长x为何值时，矩形OMPN面积最大?最大面积是多少?39.2017年12月3～5日，第四届世界互联网大会在浙江省乌镇举行，某会场承担了部分会议接待任务.该会场设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，假如有1200位参会人员参加会议，估算一下该会场是否可用.（1）这是等差数列还是等比数列的问题？（2）这个会场能否容纳1200位参会人员？请说明理由.40.某城市住房公积金2016年初的账户余额为2亿元人民币，当年全年支出3500万元，收入3000万元.假设以后每年的资金支出额比上一年多200万元，收入金额比上一年增加10%.试求：（1）2018年，该城市的公积金应支出多少万元？收入多少万元？（2）到2025年底，该城市的公积金账户余额为多少万元？（参考数据：1.12≈1.21，1.110≈2.59）41.将所有奇数按如图排列成方阵.（1）求第6列所有奇数所构成数列的通项公式，并求此数列的前12项之和；（2）求2015在方阵的第几行，第几列.42.下列图形是边长为1的正方形展开的渐开线所形成的螺线（圆弧部分），求：（1）此螺线前3次展开后的长度；（2）第n次展开后的长度.43.如图所示，画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了n个正方形.（1）当n＝10时，求第10个正方形的面积；（2）求这n个正方形的面积的和；（3）画第几个正方形时，前面所画正方形的面积和超过124?44.如图所示，将一个边长为1的正方形沿中线对半分成面积相等的两个长方形，再将其中的一个长方形沿中线对半分成面积相等的两个正方形，如此继续下去，得到一系列小正方形，依次记这些小正方形的面积为a1，a2，a3，….（1）写出以这些小正方形面积构成的数列{a n}的通项公式；（2）猜测所有这些小正方形面积的和大约是多少？45.如图所示，在谢尔宾斯基三角形中，最大空白三角形的面积为a1＝1，记三个第二大空白三形面积和为a2，记九个第三大空白三角形面积和为a3，…，依次类推，得到数列{a n}.（1）求a2，a3，a4和a n；（2）证明数列{a n}为等比数列，并求出该数列的前n项和公式S n.。