湘教版数学八年级下册直角三角形
湘教版八年级下册数学
一、直角三角形1、直角三角形的性质定理①“直角三角形的两个锐角互余”②“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”③“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”④“直角三角形两直角边a ，b的平方和，等于斜边c的平方。
”【勾股定理】互余：直角三角形中，两个锐角互余。
（两角之和等于90°）互补：两直线平行，同旁内角互补。
（两角之和等于180°）2、直角三角形的判定定理①“有两个角互余的三角形是直角三角形”②“如果三角形的三条边长a ，b ，c满足关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形”【勾股定理的逆定理】3、直角三角形全等的判定“斜边、直角边定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”【简称：斜边、直角边或“HL”】4、两个三角形全等的判定方法：【六种】①平移、旋转②AAS③ASA（两角及其夹边）④SSS （三边）⑤SAS（两边及其夹角）⑥HL（斜边、直角边）5、角平分线的性质①角平分线的性质定理：“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”②角平分线的性质定理的逆定理：“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”6、线段垂直平分线：垂直且平分一条直线的线段。
①线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
②线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上7、等腰三角形的性质：①等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。
②等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合。
（简称：三线合一）③等腰三角形的两底角相等（简称：等边对等角）8、完全平方式：(a+b)²=a²﹢2ab+b²【(a+b)²=（a+b）╳（a+b）=a╳a+2╳a╳b+b╳b = a²﹢2ab+b²】(a-b)²=a²-2ab+b²平方差公式：a²-b²=（a+b）╳（a-b）二、四边形多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形。
湘教版数学八年级下册1.1《直角三角形的性质与判定(Ⅰ)》教学设计1
湘教版数学八年级下册1.1《直角三角形的性质与判定（Ⅰ）》教学设计1一. 教材分析湘教版数学八年级下册1.1《直角三角形的性质与判定（Ⅰ）》是学生在掌握了三角形基本概念和性质的基础上，进一步研究直角三角形的特殊性质。
本节课主要让学生了解并证明直角三角形的性质，如勾股定理、直角三角形的边角关系等，并学会运用这些性质解决实际问题。
教材通过丰富的例题和习题，引导学生掌握直角三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了三角形的基本概念和性质，对三角形有一定的认识。
但直角三角形作为一种特殊的三角形，其性质和判定方法还需要进一步学习。
学生在学习过程中，需要通过观察、操作、思考、交流等活动，发现直角三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
三. 教学目标1.了解直角三角形的性质，掌握勾股定理，并能运用性质解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、操作能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣，培养合作意识，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质和勾股定理。
2.难点：勾股定理的证明和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生发现直角三角形的性质。
2.运用几何画板等软件，辅助证明勾股定理。
3.通过小组合作、讨论交流，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
4.运用例题和习题，巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备几何画板等软件，用于辅助证明勾股定理。
3.准备一些实际问题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习三角形的基本概念和性质，引出直角三角形作为一种特殊的三角形，其性质和判定方法值得研究。
2.呈现（10分钟）利用课件展示直角三角形的性质，引导学生发现并证明勾股定理。
在此过程中，注意引导学生运用已学的知识，如三角形的性质、 Pythagoreantheorem 等。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用直角三角形的性质解决实际问题。
湘教版八年级下册数学全册课件
求证：△ABC是直角三角形.
证明：
CD
1 2
AB=
BD=
AD,
∴ ∠1=∠A，∠2=∠B .
∵∠A+∠B+∠ACB =180°， 即∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.
∴ ∠A+∠B =90°.
∴ △ABC是直角三角形.
2021/8/7
例6 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别 是AB、AC的中点．
∴ BDCB. ∴ CD= BD.
故得
CD=
AD=
BD=
1 2
AB.
∴ 点D'是斜边上的中点，即CD' 是斜边AB的中线.
从而CD与CD' 重合，且 CD 1 AB.
2
性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2021/8/7
例5 已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，
且
CD
1 2
AB
.
2021/8/7
三 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
问题： 如图，画一个Rt△ABC， 并作出斜边AB上 的中线CD，比较线段CD 与线段AB 之间的数量关 系，你能得出什么结论？
2021/8/7
线段CD 比线段 AB短.
我测量后发现
1
CD = 2 AB.
试给出 数学证
明.
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
湘教版八年级下册数学全册课件
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第1课时 直角三角形的性质和判定
2021/8/7
学习目标
湘教版八年级数学下册教学课件(XJ) 第1章 直角三角形 第2课时 勾股定理的实际应用
解：(1)在Rt△ ABC中，
A
别踩我,我怕疼!
C 根据勾股定理得
AB 32 42 5米，
∴这条“径路”的长为5米. （2）他们仅仅少走了
(3+4-5)×2=4(步). B
二 利用勾股定理求最短距离
问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A 不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾 小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
这个跟我们学的勾股 定理有关，将实际问 题转化为数学问题
典例精析 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能
否从门框内通过?为什么?
分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，
A A
B
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
C
B
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,
∴AB=73cm.
能力提升： 5. 为筹备迎新晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然 后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm， 如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
例4 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂， 树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一直角三角
形模型，如图.
在Rt△ABC中，
AC=6米，BC=8米，
由勾股定理得
AB AC2 BC2
62 82
B
AB32= 62 +（10+8）2 =360， B2 ∴AB1＜AB2＜AB3.
湘教版数学八年级下册 直角三角形全等的判定
“斜边、 直角边”
前 提 在直角三角形中 条件
A' ∴Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'.
知识要点 “斜边、直角边”定理
文字语言：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
B
几何“语S言SA：”可以判定两个直
在 Rt△角A三BC角和形全Rt△等A，′B但′C是′ 中“，边 A
C
AB=边A”′B′指，的是斜边和一直角
则 △ADB 与 △ADC 全等 (填“全等”或
“不全等”)，根据 HL (用简写法).
┑
4. 如图，在 △ABC 中，已知 BD ⊥ AC，CE ⊥AB，
BD = CE. 求证：△EBC ≌ △DCB.
A
证明：∵ BD ⊥ AC，CE ⊥ AB，
∴∠BEC = ∠BDC = 90°.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
为什么？
B
C B′
C′
2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相
等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3. 两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直 角三角形全等吗？为什么？
动脑想一想
B
A E
我们知道，证明三角形全等不存 在 SSA 定理.
C
D
F
动脑想一想
C
B C'
B'
如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠C = ∠C' = 90°， 且 AB = A'B'，AC = A'C'，现在能
CE = BD，
E
D
∴ Rt△EBBCC=≌CRBt，△DCB (HL).
湘教版数学八年级下册_《直角三角形的性质和判定》要点及典例分析
直角三角形的性质和判定
一、知识要点解析:
1.直角三角形的判定:
(1)定义:有一个角是直角的三角形是直角三角形.
(2)定理:有两个角互余的三角形是直角三角形.当然后面学了勾股定理后还可以运用勾股定理的逆定理进行判定.
注意:判定直角三角形要灵活运用定义和定理,根据具体题目具体分析.
2.直角三角形的性质:
(1)直角三角形的两个锐角互余。
（2）在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
二.典例分析
例1、在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点. 如果M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请证明△OMN是直角三角形.
分析:要证明△OMN是直角三角形,只要证明∠MON=900即可.
证明：连接OA。
AN=BM，OA=OB，∠OAC=∠B=45°
△OAN≌△OBM,得ON=OM，∠AON=∠BOM
又∠AOM+∠BOM=90°
所以∠AON+∠AOM=90°,即∠MON=90°.
所以△OMN是直角三角形.
专项练习：
1、若一个三角形三内角之比为1:2:3,则该三角形一定是( )
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、不能确定
2、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边上的中线的长是（）
A. 2 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 8 cm
参考答案:
1.B
2.A。
湘教版八年级下册数学精品教学课件 第1章 直角三角形 第1课时 角平分线的性质定理
E
10
6
DC = DE，DB = DB，
D
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
B
∴BE ＝ BC ＝ 8. ∴ AE＝AB - BE = 2.
8
C
∴△AED的周长 = AE + ED + DA = 2 + 6 = 8.
6.如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交 点，PE⊥AB 于 E，且PE = 3，求 AD 与BC 之间的距离.
解：过点 P 作MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 之间的距离. ∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB， ∴ PM = PE. 同理，PN = PE. ∴ PM = PN = PE =3. ∴ MN = 6. 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
A
求证：PD = PE.
D
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
C P
在 △PDO 和 △PEO 中，
O
E
B
∠PDO = ∠PEO，
∠DOP = ∠EOP， OP = OP，
∴ △PDO≌△PEO(AAS). ∴ PD = PE.
作 PD⊥OA，PE ⊥OB，点 D，E 为垂足，测量 PD、
PE 的长.将三次数据填入下表：
PD
PE
D AC P
第一次 第二次
O
EB
第三次
2. 观察测量结果，猜想线段 PD 与 PE 的大小关系，
写出结：_P_D__=__P_E___
验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
湘教版八年级数学下册_1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用直角三角形的性质与判定证明即可 .
证明： ∵∠ ACB=90°，∴∠ A+ ∠ B=90° . ∵∠ ACD= ∠ B，∴∠ A+ ∠ ACD=90° . ∴△ ACD 为直角三角形，且∠ CDA=90° . ∴ CD ⊥ AB.
感悟新知
拓展 满足下列条件的三角形也是直角三角形： (1)在三角形中，两个内 角之和等于第三个内角； (2)在三角形中，两个内角之差等于第三个内角.
知2－讲
感悟新知
特别提醒
知2－讲
◆直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个
面积相等的等腰三角形.
◆应用这个性质时要注意“直角三角形” 这一前提，
切不可忽略这一前提而在其他任意三角形中生搬
硬套 .
感悟新知
知2－讲
2. 拓展：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么 这个三角形是直角三角形 . 数学语言： 如图 1.1－5，在△ ABC 中，
∵ CD=BD=AD=12 AB， ∴∠ ACB=90°，即△ ABC 是直角三角形 .
感悟新知
知2－练
例4 如图 1.1－6， BD， CE 是△ ABC 的两条高， M， N 分别是 BC， DE 的中点 . 求证： MN ⊥ DE.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣“N 为 DE 的中点”这一条件和 “MN ⊥ DE”这一结论，建立等腰三 角形“三线合一”模型， 结合直角三 角形斜边上中线的性质求解 .
在 Rt △ CDB 中，∵ M 为斜边 BC 的中点，
∴
DM=
1 2
BC.
在
Rt
△
BEC
中，∵
M
湘教版八年级数学下册_1.3 直角三角形全等的判定
1.3 直角三角形全等的判定
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
斜边、直角边定理 三角形全等的判定方法 用尺规作直角三角形
逐点 导讲练课堂 小结Βιβλιοθήκη 作业 提升感悟新知
知识点 1 斜边、直角边定理
知1－讲
定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
(可以简写成“斜边、直角边”或“HL” ) .
判定两个直角三角形全等.
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣尺规作直角三角形的基本步骤作图 .
解： 如图 1.3 － 5，△ ABC 即 为所求作的直角三角形 .
课堂小结
直角三角形 全等的判定
特殊 直角三角形 一般
HL
全等的判定
SAS ASA AAS SSS
可证两角的夹边对应相等 或一相等角的对边对应相 等
可证直角与已知锐角的夹 边对应相等或已知锐角(或 直角)的对边对应相等
感悟新知
斜边(H)
直角
三角 形
一直角边
(L)
HL 或 AAS
HL 或 ASA或 AAS 或 SAS
知2－讲
可证一条直角边对应相等 或一锐角对应相等
可证斜边对应相等或与已 知边相邻的锐角对应相等 或已知边所对的锐角对应 相等或另一直角边对应相 等
第三步：设法推导出所缺的条件； 第四步：整理书写证明过程 .
感悟新知
知识点 2 三角形全等的判定方法
判定两个三角形全等常用的思路方法如下表：
知2－讲
已知对应 可选择的 相等的元素 判定方法
需寻找的条件
锐角 三角
两边(SS)
形或
钝角 一边及其邻
三角 角( SA) 形
湘教版八年级下册数学第1章 直角三角形 三角形的角平分线(1)
10．如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4， 6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形， 则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC等于( )
A．2∶3∶4B．1∶1∶1 C．1∶2∶3D．4∶3∶2
1．三角形内有一点到三角形三边的距离相等，则这 个点一定是三角形的( ) B
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边垂直平分线的交点
2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交 于O，下列结论正确的是( ) B
A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定∠1与∠2的大小关系
4．已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB，BC的距 离相等，那么点M( ) C
A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上 C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上
5．【中考·扬州】如图，在△ABC 中，按以下步骤作图： ①以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB，BC 于点 D，E； ②分别以点 D，E 为圆心，大于12DE 的 长为半径作弧，两弧交于点 F； ③作射线 BF 交 AC 于点 G.
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质 第2课时 三角形的角平分线
提示：点击 进入习题
新知笔记
三边
答案显示
1B
2B
3A
4C
5 27
6 125° 7 B
8D
9C
10 A
11 10
12 见习题 13 见习题 14 见习题
三角形的三条内角平分线相交于一点，这一点到三 角形__三__边____的距离相等．
湘教版数学八年级下册《1.3直角三角形全等的判定》说课稿
湘教版数学八年级下册《1.3 直角三角形全等的判定》说课稿一. 教材分析湘教版数学八年级下册《1.3 直角三角形全等的判定》这一节主要讲述了直角三角形全等的判定方法。
在学习了三角形全等的判定之后，学生已经掌握了全等三角形的性质和判定方法。
本节内容是在此基础上，进一步探讨直角三角形全等的判定方法，为后续学习直角三角形相似、解直角三角形等知识打下基础。
本节内容共安排了2个课时，第1课时主要介绍直角三角形全等的判定方法，第2课时通过练习，巩固直角三角形全等的判定方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了全等三角形的性质和判定方法，能够识别和判断一般三角形的全等。
但在直角三角形的全等方面，学生可能还存在以下问题：1.对直角三角形全等的判定方法理解不深，容易混淆。
2.在实际操作中，不能灵活运用直角三角形全等的判定方法。
3.对全等三角形的性质和判定方法的应用范围把握不准确。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握直角三角形全等的判定方法，能够灵活运用判定方法判断直角三角形的全等。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和创新能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形全等的判定方法。
2.教学难点：直角三角形全等判定方法的灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作学习、探究学习等教学方法，引导学生主动参与、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、黑板等教学手段，辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习全等三角形的性质和判定方法，引出直角三角形全等的判定。
2.自主探究：让学生观察、思考、交流，探索直角三角形全等的判定方法。
3.讲解演示：教师讲解直角三角形全等的判定方法，并进行实物演示，帮助学生理解。
湘教版数学八年级下册第一章《直角三角形》教学设计
湘教版数学八年级下册第一章《直角三角形》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册第一章《直角三角形》是学生继七年级学习平面几何后，进一步深化对三角形性质的理解。
本章主要包括直角三角形的定义、性质、分类以及特殊直角三角形的应用。
通过本章的学习，学生能进一步掌握直角三角形的基本概念，探索其性质，并为后续学习勾股定理和三角函数打下基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和分类有一定的了解。
但是，对于直角三角形的特殊性质和应用，部分学生可能还存在模糊的认识。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生从实际问题中发现直角三角形的性质，提高他们的空间想象能力和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的定义和性质；2.学会运用直角三角形解决实际问题；3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；4.激发学生对数学的兴趣，提高学习积极性。
四. 教学重难点1.直角三角形的定义和性质；2.特殊直角三角形的应用；3.引导学生从实际问题中发现直角三角形的性质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直角三角形，激发学生的学习兴趣；2.探究式教学法：引导学生分组讨论，发现直角三角形的性质；3.案例教学法：分析实际问题，培养学生运用直角三角形解决问题的能力；4.数形结合教学法：利用图形直观展示直角三角形的性质，加深学生理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形的相关课件，包括图片、动画和例题；2.教学素材：收集与直角三角形相关的实际问题；3.学具：为学生准备直角三角板、尺子等学习工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如建筑工人测量高度、运动员投掷等，引导学生关注直角三角形在实际中的应用。
提问：这些实例中有什么共同特点？学生回答后，教师总结直角三角形的定义。
2.呈现（10分钟）展示直角三角形的图片，让学生观察并思考：直角三角形有什么特殊的性质？引导学生分组讨论，总结直角三角形的性质。
湘教版八年级下册数学第1章 直角三角形 含30°角的直角三角形的性质及其应用(2)
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 第2课时 含30°角的直角三角形的性质
及其应用
提示：点击 进入习题
新知笔记 1 斜边的一半
2 30°
答案显示
1A 6D
2A 7B
3D 8C
4D
5 23
9 15° 10 C
11 D
12 C
13 3
16 见习题 17 见习题
14 见习题 15 见习题
【点拨】∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠B＝∠BAD. 又 BD＝18，AC＝9，∴AC＝12AD.又∠ACB＝90°，∴∠ADC＝ 30°.∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴∠ADC＝2∠B，∴∠B＝15°.
【答案】15°
10．设计一张折叠型方桌如图所示，若 AO＝BO＝50 cm，CO＝ DO＝30 cm，将桌子放平后，要使 AB 离地面的高度为 40 cm， 则两条桌腿需要叉开的∠AOB 应为( ) A．60° B．90° C．120° D．150°
1．在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角 边等于__斜__边__的__一__半____．
2．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的角等于__3_0_°____．它揭示了由边的关系求角 的度数的方法．
1．【中考·百色】如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB
(2)若 CD＝2，求 DF 的长．
解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB＝60°， 由(1)知∠EDC＝60°，∴△EDC 是等边三角形．∴ED＝DC＝2. ∵EF⊥DE，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.
17．如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，点 D 为 AC 的中点，点 E 为 AB 边上一动点，AE＝DE，延长 ED 交 BC 的延长线于点 F.
湘教版八年级下册数学第1章 直角三角形 勾股定理
*4.【中考·陕西】如图，在 3×3 的网格中，每个小正方形的边长
均为 1，点 A，B，C 都在格点上，若 BD 是△ABC 的高，则
BD 的长为( D ) A．1103 13 B．193 13 C．183 13 D．173 13 【点拨】由勾股定理得 AC＝ 22＋32＝ 13. ∵S△ABC＝3×3－12×1×2－12×1×3－12×2×3＝72， ∴12AC·BD＝72，∴ 13·BD＝7，∴BD＝71313.
*5.【中考·娄底】由 4 个直角边长分别为 a，b 的直角三角形围成 的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积 c2 等于小正方 形的面积(a－b)2 与 4 个直角三角形的面积 2ab 的和证明了勾 股定理 a2＋b2＝c2，还可以用来证明结论：若 a＞0，b＞0 且 a2＋b2 为定值，则当 a________b 时，ab 取得最大值．
【点拨】过 A 作 AE⊥BC，垂足为 E， ∵AB＝AC，∴EC＝BE＝12BC＝4，∴AE＝ 52－42＝3. ∵D 是线段 BC 上的动点(不含端点 B，C)，∴3≤AD<5， ∵AD 的长为正整数，∴AD＝3 或 AD＝4， ∴点 D 的个数共有 3 个． 此题易因没看清题意，得出 3≤AD≤5，从而得到错误答案 A.
AB＝ AC2＋BC2＝ 22＋（2 22)＝2 3.∵D 是 AB 的中点，∴BD＝CD＝ 3.
设 DE＝x，由勾股定理得( 3)2－x2＝(2 2)2－( 3＋x)2，解得 x＝ 33，
∴在 Rt△BED 中，BE＝
BD2－DE2＝
（
32－
332)＝2
3
6 .
【答案】A
9．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角
湘教版数学八年级下册1.2《直角三角形的性质与判定》教学设计3
湘教版数学八年级下册1.2《直角三角形的性质与判定》教学设计3一. 教材分析《直角三角形的性质与判定》是湘教版数学八年级下册第1章第2节的内容。
本节课主要让学生了解直角三角形的性质，包括勾股定理、直角三角形的边角关系等，同时让学生学会用这些性质来判定一个三角形是否为直角三角形。
这一内容是初中数学的重要知识点，也是后续学习立体几何的基础。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了三角形的性质和判定，对三角形的基本概念有了一定的了解。
但是，对于直角三角形的性质和判定，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生利用已有的知识来理解和掌握直角三角形的性质和判定。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握直角三角形的性质和判定，能够运用这些性质和判定来解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、探究学习，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质和判定。
2.教学难点：如何引导学生运用直角三角形的性质和判定来解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究直角三角形的性质和判定。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示直角三角形的性质和判定。
3.采用小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.结合实例，让学生亲自动手操作，提高他们的实践能力。
六. 教学准备1.准备直角三角形的相关图片和实例，用于讲解和展示。
2.准备PPT，内容包括直角三角形的性质和判定，以及相关练习题。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些直角三角形的实例，如建筑物的构造、体育比赛中的测量等，引导学生思考：这些实例中有什么共同的特点？让学生意识到直角三角形在实际生活中的应用，激发他们的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）通过PPT展示直角三角形的性质和判定，引导学生观察、思考，并提问：直角三角形的性质有哪些？如何判定一个三角形是否为直角三角形？让学生在思考中逐渐理解直角三角形的性质和判定。
湘教版八年级数学下册课件 1-3 直角三角形全等的判定
2. 如图，∠DAB和∠BCD都是直角，AD = BC. 判断△ABD和△CDB是否全等，并说明理由.
△ABD和△CDB全等，理由如下： 证明 在Rt△DAB和Rt△BCD中， ∵AD = BC， DB = BD， ∴Rt△DAB ≌ Rt△BCD(HL).
四 课堂小结
直角三角形全等的判定定理：
湘教版八年级数学下册
第一章 直角三角形
1.3 直角三角形全等的判定
一 复习导入
我们学过哪些判定三角形全等的方法？
SSS ASA SAS AAS
二 新课探究
如图1-22，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，已知
AB = A'B'，AC = A'C’，
∠ACB =∠A'C'B' = 90°，
那么Rt△ABC和Rt△A'B'C’
作法（1）作∠MCN= 90°.
A
（2）在CN上截取C弧，
交CM于点A，连接AB.
则△ABC为所求作的直角三角形，
如图所示.
C
图1-24
BN
三 随堂巩固
1. 下面说法是否正确？为什么？ （1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; ✘
要判断两个三角形全等至少要有一组边对应相等. （2）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B'C'2=A'B'2 - A'C'2， ∴ BC = B'C'. ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'.
图1-22
由此得到直角三角形全等的判定定理：
斜边、直角边定理 斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边” 或“HL”).
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初中数学试卷
第一章直角三角形
单元测试题
（时限：100分钟总分：100分）班级姓名总分
一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分)
1.下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是( )
A. 4，5，6
B.1，1
C. 6，8，11
D. 5，12，23
2.一个正方形的面积为2
16cm，则它的对角线长为( )
A. 4 cm
B.cm
C.cm
D. 6cm
3如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的理
由是（）
A．SAS B.AAS C. SSS D.HL
第3题
4. 三角形内到三边的距离相等的点是（）
A. 三条中线的交点
B. 三条高的交点
C.三条角平分线的交点
D. 以上均不对
5. 如果梯子的底端离建筑物5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( )
A . 12 米 B. 13 米 C. 14 米 D. 15 米
6. 等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为( )
A.43
B.3
C. 23
D. 3
7. 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线
剪去∠C，则∠1＋∠2等于( )
A．315°B．270°
C．180°D．135°
8. 在△ABC中，∠C＝90°，角平分线AD交BC于点D，若BC＝32，BD∶CD＝9∶7，则
D点到AB边的距离为（）
A . 18 B. 16 C. 14 D. 12
二、填空题(本题共8小题，每小题4分，共32分)
9. 已知△ABC的三边长分别为1，3，2，则△ABC是三角形.
10. 等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为 .
11. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的周长
D
C A
第7题
第11题
是 .
12. 在直角三角形中，两锐角之比为2:1，则两锐角的度数分别
为 ．
13. 如图，以Rt △ABC 的三边向外作正方形，其
面积分别为1S ，2S ，3S 且14S =，28S =， 则3S = ；以Rt ∆ABC 的三边向外 作等边三角形，其面积分别为 1S ，2S ，3S ，
则1S ，
2S ，3S 三者之间的关系为 . 14. 如图，△ABC 中，∠C =90°，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，且AE=EB ，DE=DC ，则∠B 的度数为 ．
15. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD =3.5，BC =6，则△ABC 的周长是 ．
16. 如图，在△ABC 中，∠A =90，BD 是角平分线，若AD =m ，BC =n ，则△BDC 的面积为 ．
三、解答题(本题共5小题，共36分)
第15题
A
B
C
D
E
第16题
A B
C
D
E
第14题
17.（本小题满分7分）
如图，90C ∠=︒，AC =3，BC =4，AD =12，BD =13，试判断△ABD 的形状，并说明理由.
18. （本小题满分7分）
如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ，若AP 平分∠BAC 交BD 于点P ，求∠APB 的度数.
19. （本小题满分7分）
如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC. 过点C作一条射线CE⊥AE于点E，再过点B作BD⊥CE于点D. 试证明AE=BD+DE.
20.（本小题满分7分）
如图，一个梯子AB长10 米，顶端A靠在墙上的AC上，这时梯子下端B与墙角c距离为6 米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1 米，求梯子顶端A下落了多少米？（精确到0.01 )
1
21.（本小题满分8分）
小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，若已知
AC ，求CD的长.
参考答案
第一章 直角三角形
一、
选择题：
1.B ；
2.B ；
3. D ；
4.C ；
5.A ；
6.B ；
7.B ；8 C. 二、填空题：
9. 直角； 10. 16； 11. 12. 30︒，60︒； 13. 12；S
1+S 2=S 3 14. 30︒ ； 15. 20.5或12+ 16. mn DE BC S ABC 2
1
21=⨯⨯=∆. 三、解答题：
17. △ABD 为直角三角形. 理由如下：
90C ∠=︒Q ，AC =3，BC =4，5AB ∴=.
22251213+=Q ,
222AB AD BD ∴+=. 90BAD ∴∠=︒.
18. 135APB ∠=︒.
19. 利用“AAS ”判定△ACE ≌△CBD ，
,AE CD CE BD ∴==.
AE CD CE DE BD DE ∴==+=+.
20. 梯子顶端A 下落了0.86米. 21. 2．。