4.5矩、协方差矩阵
协方差矩阵的矩阵公式
协方差矩阵的矩阵公式协方差矩阵是统计学中常用的概念，用于衡量两个随机变量之间的线性关系。
它可以通过矩阵的形式来表示，这样更加直观和简洁。
本文将介绍协方差矩阵的矩阵公式，并解释其含义和应用。
协方差矩阵的矩阵公式可以用以下方式表示：C = [Cov(X1,X1) Cov(X1,X2) ... Cov(X1,Xn)][Cov(X2,X1) Cov(X2,X2) ... Cov(X2,Xn)][ ... ... ... ][Cov(Xn,X1) Cov(Xn,X2) ... Cov(Xn,Xn)]其中，C是一个n×n的矩阵，表示n个随机变量之间的协方差。
每个元素Cov(Xi,Xj)表示随机变量Xi和Xj之间的协方差。
协方差的定义是两个随机变量之间的期望值的乘积与各自的期望值的乘积之差。
协方差可以衡量两个随机变量的变化趋势是否一致。
如果协方差为正，则说明两个变量之间存在正相关关系；如果协方差为负，则说明两个变量之间存在负相关关系；如果协方差为零，则说明两个变量之间不存在线性关系。
协方差矩阵的对角线元素是各个随机变量的方差，表示自身的变化程度。
非对角线元素表示两个随机变量之间的协方差，衡量它们之间的相关性。
因此，协方差矩阵除了可以用来衡量随机变量之间的相关性，还可以用来分析随机变量的方差。
协方差矩阵在统计学和机器学习领域中有广泛的应用。
在统计学中，协方差矩阵可以用于计算两个或多个随机变量之间的相关性，从而推断它们之间的关系。
在机器学习中，协方差矩阵可以用于降维、特征选择和分类等任务。
例如，主成分分析（PCA）就是通过计算协方差矩阵的特征值和特征向量来实现数据降维。
除了协方差矩阵的计算公式外，还有一些相关的概念需要了解。
例如，相关系数是协方差除以两个随机变量的标准差的乘积，用于衡量两个变量之间的线性关系强度。
相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越大表示相关性越强。
总结起来，协方差矩阵的矩阵公式是一种直观和简洁的表示方式，可以用于衡量随机变量之间的线性关系和方差。
矩与协方差矩阵
4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差与相关系数 4.4 矩与协方差矩阵
§4.3 矩与协方差矩阵
4.4.1 矩
设X和Y(Xk) 为X 的 k 阶原点矩； E{[X-E(X)]k} 为X的 k 阶中心矩。
E(Xk) 为X 的 k 阶原点矩； E{[X-E(X)]k} 为X的 k 阶中心矩。
E(X) 是 X 的一阶原点矩， Var(X) 是 X 的二阶中心矩。
E(XkYm) 为X与Y的 k+m 阶混合原点矩； E{[X-E(X)]k [Y-E(Y)]m} 为X与Y的 k+m 阶混合中心矩。
Cov(X,Y)=E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} 为X与Y的 2阶混合中心矩。
小结
本讲首先介绍二维随机向量 (X,Y) 的分量X与Y 的协方差及相关系数的概念、性质和计算；然后介 绍随机变量的各种矩(k 阶原点矩、 k 阶中心矩、 k+m 阶混合原点矩、k+m 阶混合中心矩)，n 维随机 向量的协方差阵的概念、性质和计算；最后简单介 绍了n 元正态分布的概念和三条重要性质。
协方差矩阵和相关系数矩阵
协方差矩阵和相关系数矩阵
协方差矩阵和相关系数矩阵是统计学中常用的两个矩阵，用于描述两个或多个随机变量之间的关系。
协方差矩阵衡量了不同随机变量之间的相关性和变异性，而相关系数矩阵则是协方差矩阵的归一化形式。
首先，让我们来谈谈协方差矩阵。
协方差矩阵是一个对称矩阵，它的元素是随机变量之间的协方差。
协方差反映了两个随机变量的共同变动程度。
具体而言，协方差的正负表示了两个变量是否呈现同向或反向的关系，而协方差的数值大小则反映了变量之间变动的幅度。
协方差矩阵由各对随机变量之间的协方差构成，是一个方阵。
与协方差矩阵相关的是相关系数矩阵。
相关系数矩阵是由协方差矩阵标准化得出的，用于消除量纲的影响并提供更直观的信息。
相关系数是将协方差除以各变量的标准差得到的。
相关系数矩阵的元素取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全的反向相关，1表示完全的同向相关，而0表示无相关性。
协方差矩阵和相关系数矩阵在统计学和金融学中有广泛的应用。
它们可以帮助我们研究变量之间的关系，了解它们是否存在线性关联以及关联的强度。
通过分析协方差矩阵和相关系数矩阵，我们可以得出一些重要的结论，如哪些变量具有较强的相关性，哪些变量可以用来预测其他变量等等。
总结而言，协方差矩阵和相关系数矩阵是用于描述随机变量之间关系的重要工具。
协方差矩阵衡量了相关性和变异性，而相关系数矩阵进行了标准化以提供更直观的信息。
通过分析这些矩阵，我们可以深入了解变量之间的关联性，并在实际应用中做出更准确的判断和预测。
协方差矩阵的计算
协方差矩阵的计算假设有n个观测值和m个变量的数据集。
首先，我们需要将数据集表示为一个m×n的矩阵X，其中每一行表示一个变量，每一列表示一个观测值。
然后，计算出每个变量的均值向量μ，其中μ=1/n∑Xi。
计算协方差矩阵的方法有两种：样本协方差矩阵和总体协方差矩阵。
样本协方差矩阵用于从样本数据中推断总体的协方差矩阵，而总体协方差矩阵用于已知总体的情况。
1.样本协方差矩阵：样本协方差矩阵表示样本数据中变量之间的关系。
它通过计算每个变量与其他变量之间的协方差来构建。
样本协方差矩阵的计算公式如下：Cov(X) = (X - μ)(X - μ)'/(n - 1)其中Cov(X)是协方差矩阵，X是数据矩阵，μ是均值向量，n是样本大小，'表示转置操作。
2.总体协方差矩阵：总体协方差矩阵是已知总体分布情况下的协方差矩阵。
它通过计算每个变量与其他变量之间的协方差来构建。
总体协方差矩阵的计算公式如下：Cov(X) = (X - μ)(X - μ)'/(n)其中Cov(X)是协方差矩阵，X是数据矩阵，μ是均值向量，n是样本大小，'表示转置操作。
下面以样本协方差矩阵来进行详细说明。
假设有一个2×5的数据集：X=[x11,x12,x13,x14,x15;x21,x22,x23,x24,x25]首先，计算每个变量的均值向量μ：μ=[1/n∑x11,1/n∑x12,1/n∑x13,1/n∑x14,1/n∑x15;1/n∑x21,1/n∑x22,1/n∑x23,1/n∑x24,1/n∑x25]然后，计算协方差矩阵Cov(X)：1.将数据矩阵X减去均值向量μ：X-μ=[x11-1/n∑x11,x12-1/n∑x12,x13-1/n∑x13,x14-1/n∑x14,x15-1/n∑x15;x21-1/n∑x21,x22-1/n∑x22,x23-1/n∑x23,x24-1/n∑x24,x25-1/n∑x25]2.计算(X-μ)的转置矩阵：(X-μ)'=[(x11-1/n∑x11)(x21-1/n∑x21);(x12-1/n∑x12)(x22-1/n∑x22);(x13-1/n∑x13)(x23-1/n∑x23);(x14-1/n∑x14)(x24-1/n∑x24);(x15-1/n∑x15)(x25-1/n∑x25)]3.计算(X-μ)(X-μ)'：(X-μ)(X-μ)'=[(x11-1/n∑x11)(x21-1/n∑x21)(x12-1/n∑x12)(x22-1/n∑x22)...(x15-1/n∑x15)(x25-1/n∑x25);(x12-1/n∑x12)(x22-1/n∑x22)(x13-1/n∑x13)(x23-1/n∑x23)...(x14-1/n∑x14)(x24-1/n∑x24);...]4. 计算协方差矩阵Cov(X)：Cov(X) = [(x11 - 1/n ∑x11) (x21 - 1/n ∑x21) (x12 - 1/n∑x12) (x22 - 1/n ∑x22) ... (x15 - 1/n ∑x15) (x25 - 1/n ∑x25);(x12-1/n∑x12)(x22-1/n∑x22)(x13-1/n∑x13)(x23-1/n∑x23)...(x14-1/n∑x14)(x24-1/n∑x24);...]这样就得到了协方差矩阵Cov(X)。
《概率论》第4章矩、协方差矩阵
为 k l 阶混合中心矩
E假(定X )其中各数学1 阶期原望点都矩存在
D“矩(X”) 是来自于2物阶理中学心中矩力矩的概念
Cov(X y,Y )
2 阶混合中心矩
y f (x)
O
x d第x 四章 随机x变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
2/8
对于二维r.v ( X1,，X记2 )
c11 E[( X1 E( X1))2 ] D( X1) c12 E[(X1 E(X1))(X2 E(X2 ))] Cov(X1, X 2 )
7/8
(X1, X2 ,L , Xn ) ~ N(,C) X1, X2,, Xn 的任一线性
组合 l1X1 l2 X2 ln Xn 服从一维正态分布 正态r.v的线性变换不变性：设
(X1, X2 ,, Xn ) ~ N(,C) 令
Y1 a11 X1 a12 X2 a1n Xn
Y2
§4 矩、协方差矩阵
1/8
对于 r.v X ,Y , 称
E( X k ) ( k 1, 2,)
为 k阶原点矩，简称 k阶矩 .称
E[( X E( X ))k ] ( k 2,3,)
为 k阶中心矩 .称
E( X kY l ) (k,l 1, 2,)
为 k l 阶混合矩 .称
E[( X E(X ))k (Y E(Y ))l ] (k,l 1, 2,)
)e2 xp2{
12(x(X1)1( y)2TC21)(X
(y
)}2
2 2
)2
]}
与一维记再正记C态Xr.vcc12密11xyf度c(c,1x222)函数比11211较2, e2则xp{122(x2
)
2
}
概率论课件矩、协方差矩阵
中心矩是相对于均值（期望值）的矩，用于描述随机变量分布的形状和离散程 度。
标准化矩
标准化矩是对中心矩进行标准化处理后的矩，用于比较不同随机变量的分布特 性。
样本矩与总体矩
பைடு நூலகம்样本矩
样本矩是从总体中抽取样本后计算得到的矩，用于估计总体矩。
总体矩
总体矩是描述总体分布特性的矩，是样本矩的极限值。
03 协方差矩阵
详细描述
分析矩和协方差矩阵需要使用相关的统计方 法和技巧，如主成分分析、因子分析、聚类 分析等。通过对矩和协方差矩阵的分析，可 以提取数据集中的主要特征、发现变量之间 的潜在关系、对数据进行分类或聚类等。
实例三：数据集的矩和协方差矩阵应用
总结词
数据集的矩和协方差矩阵在概率论中有着广泛的应用 ，如统计推断、假设检验、回归分析等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
VS
第二阶原点矩（即方差）
协方差矩阵的对角线元素是各个随机变量 的方差，非对角线元素是各个随机变量的 协方差。
协方差矩阵与方差-协方差矩阵的关系
方差-协方差矩阵是一个包含各个随机 变量的方差和协方差信息的矩阵，而 协方差矩阵只包含各个随机变量的协 方差信息。
方差-协方差矩阵是协方差矩阵的一个 扩展，它同时包含了随机变量的方差 信息，而协方差矩阵只包含随机变量 的协方差信息。
详细描述
在统计推断中，矩和协方差矩阵可用于估计总体参数和 进行假设检验。例如，利用样本矩估计总体矩，然后使 用这些估计值进行假设检验或置信区间的计算。在回归 分析中，矩和协方差矩阵可用于估计回归系数和进行模 型诊断。通过分析回归模型的矩和协方差矩阵，可以检 验模型的假设是否成立、诊断模型的问题等。此外，在 时间序列分析和金融数据分析等领域，矩和协方差矩阵 也具有重要的应用价值。
协方差矩阵
2
排成矩阵的形式:
c11 c12 c c 21 22
这是一个 对称矩阵
称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.
例4.22 设( X 1 , X 2 ) ~ N ( 1 , 2 , 12 , 12 , ), 试求其
协方差矩阵。
2 解 例3.18 （P .98 ）已计算得： c11 12 , c22 2 , c12 c21 1 2 , 于是
12 1 2
T T
1 2 . 2 2
T
记x ( x1 , x2 ) , ( 1 , 2 ) , 则二维随机变量 X ( X 1 , X 2 ) 的联合概率密度可以简 洁地表示为 1 1 T 1 f ( x) exp{ ( x ) ( x )} 1/ 2 2 2
0
1 x 2(1 x )dx , 3
E (Y )
2
1
0
1 E ( XY ) xy 2dxdy ydy 2 xdx , 0 0 4 D 1 1 1 2 2 D( X ) E ( X ) [ E ( X )] , 6 9 18 1 4 1 2 2 D(Y ) E (Y ) [ E (Y )] , 2 9 18
X与Y独立
X与Y不相关
4.5 矩、协方差矩阵 4.5.1 矩、偏态、峰态 定义4.6 设X和Y是随机变量。 若 E ( X k ) 存在， 称它为X的k阶原点矩；
记为Ak 或vk；
若 E{[ X E ( X )]k
存在， 称它为X的k阶中心矩；
记为Bk 或 μk；
若
矩、协方差矩阵
首先用协方差矩阵重写二维正态随机变量( X1，X 2 )的概率密度。
f (x，y)
1
2π1 2 1 2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(
y
2)2
2 2
令
X
x1 x2
，
1
2
E(X1)
E
(
X
2
)
，( X1，X 2 ) 的协方差矩阵为
概率学与数理统计
矩、协方差矩阵
数学期望、方差、协方差是随机变量最常用的数字特征，它 们都是特殊的矩(Moment)。矩是更广泛的数字特征。
定义4.4 设X 和Y 是随机变量，若 E( X k )，k 1，2，...
存在，称它为X 的k 阶原点矩，简称k 阶矩。
若
E[ X E( 21
12 22
2 1
1
2
1
2 1
2
它的行列式
12
2 2
(1
2 ) ，逆阵
1
1
22 1
2
1
2 1
2
由于
(X
)T
1( X
)
1
(x1 1，x2
2
)
22 1
2
1
2 1
2
x1 x2
1 2
1
1 2
(
x1
1
2 1
)2
2
( x1
1 )( x2 1 2
xn
n E( X n )
定义n 维正态随机变量( X1，X 2 ，...，X n ) 的概率密度为
协方差矩阵的概念
协方差矩阵的概念协方差矩阵是概率论和统计学中一个重要的概念，用于描述多维随机变量之间的关联程度。
它是一个对称的矩阵，其中包含了各个随机变量之间的协方差以及它们的方差。
协方差是一种描述两个随机变量之间关系的统计量，它衡量了两个随机变量的变化趋势是否一致。
具体而言，对于随机变量X和Y，它们的协方差定义为E[(X - E[X])(Y - E[Y])]，其中E[·]表示期望值操作符。
如果协方差大于0，则表明X和Y 之间存在正相关关系；如果协方差小于0，则表明X和Y之间存在负相关关系；如果协方差等于0，则表明X和Y之间没有线性关系。
对于多个随机变量的情况，我们将它们的协方差组成一个矩阵，即协方差矩阵。
设有n个随机变量X1，X2，...，Xn，它们的协方差矩阵记为Σ，其中Σ(i, j)表示随机变量Xi和Xj之间的协方差。
协方差矩阵是一个对称矩阵，满足以下性质：1. 对角线上的元素是随机变量的方差，即Σ(i, i) = Var(Xi)；2. 非对角线上的元素是对应两个随机变量的协方差，即Σ(i, j) = Σ(j, i)。
协方差矩阵的作用主要体现在以下几个方面：1. 描述随机变量之间的关联性：协方差矩阵可以直观地展示多个随机变量之间的相关性。
通过对协方差矩阵进行分析，可以了解随机变量之间的关系强度和方向。
2. 变量选择与降维：通过协方差矩阵，可以判断不同随机变量之间的相关性。
在建模分析中，我们可以通过分析协方差矩阵来选择与目标变量相关性最强的变量，去除冗余的变量，从而实现降低维度的目的。
3. 风险度量：在金融领域，协方差矩阵可用于衡量资产之间的风险关系。
通过计算资产收益率之间的协方差矩阵，可以估计投资组合的风险水平，为资产配置、风险控制提供依据。
4. 生成随机样本：协方差矩阵可用于生成符合特定相关性要求的随机样本。
通过给定均值向量和协方差矩阵，可以使用相关多元正态分布的特性生成具有一定相关性的随机样本。
协方差矩阵怎么求协方差矩阵的计算公式
协方差矩阵怎么求协方差矩阵的计算公式1.给定n个变量X1,X2,...,Xn，首先需要计算这些变量的均值，分别记为µ1,µ2,...,µn。
2. 然后，计算变量Xi和变量Xj之间的协方差，记为Cov(Xi, Xj)，其中i和j的取值范围是1到n。
协方差的计算公式如下：Cov(Xi, Xj) = Σ((Xi-µi)*(Xj-µj))/(n-1)其中，Σ表示求和运算符号，µi和µj分别表示变量Xi和Xj的均值。
3.将所有的协方差放在矩阵的对应位置，得到一个n×n的矩阵，即协方差矩阵。
下面以一个简单的例子来说明如何计算协方差矩阵：设有三个变量X1,X2,X3，数据如下表所示：Xi，1，2，3，4，5X1，12，13，14，15，16X2，18，20，22，24，26X3，10，11，12，13，14首先计算每个变量的均值：µ1=(12+13+14+15+16)/5=14µ2=(18+20+22+24+26)/5=22µ3=(10+11+12+13+14)/5=12然后计算变量之间的协方差：Cov(X1, X1) = [(12-14)^2 + (13-14)^2 + (14-14)^2 + (15-14)^2 + (16-14)^2]/(5-1) = 2Cov(X1, X2) = [(12-14)*(18-22) + (13-14)*(20-22) + (14-14)*(22-22) + (15-14)*(24-22) + (16-14)*(26-22)]/(5-1) = 2Cov(X1, X3) = [(12-14)*(10-12) + (13-14)*(11-12) + (14-14)*(12-12) + (15-14)*(13-12) + (16-14)*(14-12)]/(5-1) = 2Cov(X2, X1) = 2Cov(X2, X2) = 8Cov(X2, X3) = 2Cov(X3, X1) = 2Cov(X3, X2) = 2Cov(X3, X3) = 2最后，将计算得到的协方差填入协方差矩阵：Covariance Matrix =222282222这样，我们就得到了三个变量之间的协方差矩阵。
协方差矩阵
§5 矩, 协方差矩阵 矩 矩 协方差矩阵 协方差矩阵 n 维正态分布的性质
目 录
前一页
后一页
退 出
第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
一、矩的定义
存在， 阶原点矩。 若 EX k 存在，称之为 X 的 k 阶原点矩。
存在， 阶中心矩。 若 E ( X EX ) k 存在，称之为 X 的 k 阶中心矩。
2 的分布； 求： X Y 的分布；
解：(1) E ( 2 X Y ) = 2 EX EY = 0 D( 2 X Y ) = 4 DX + DY = 4 × 4 + 9 = 25
2 则： X Y ~ N ( 0, 25 )
( 2) D( 2 X Y ) = 4 DX + DY 2 × 2COV ( X , Y ) 1 = 25 - 4 ρ XY DX DY = 25 4 × × 2 × 3 = 13 2
是协方差矩阵。 其中C是协方差矩阵。
第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
三、n维正态分布的性质 维正态分布的性质
1) n维随机变量 ( X 1 ,L , X n ) 服从n维正态分布
X 1 , L , X n 的任意线性组合 l 1 X 1 + L + l n X n
服从一维正态分布。 服从一维正态分布。
1 σ C = det C ρσ 1σ 2
1
2 2
ρσ 1σ 2 2 σ1
则联合密度函数为 f (x1, x2 ) 1 1 exp{ (X )′C (X )} = 2 1 2 2 2 (2π ) (det ) C 1
可以推广到n维正态r.v.
( X 1 , X 2 ,L X n )
关于协方差矩阵的概念及意义
关于协⽅差矩阵的概念及意义⼗分感谢原作者的贡献，讲解通俗易懂，感觉有必要让更多⼈学习到，故转载了这篇博客，附上原⽂地址在做幻觉脸时⽤PCA，好不容易搞明⽩了原理，却发现溜掉了为什么计算协⽅差矩阵前要去均值(其实很简单，不要笑我脑残哈)，和同学讨论啊讨论啊，讨论结果只是证明了我们把曾经学过的概率之类的忘的不胜什么了，所有就问了⼀下Google，很幸运找到了⼀位很敬业的⼩伙写的⽂章，贴出来警⽰⼀下⾃⼰要有⼈家这种钻研的精神！今天看论⽂的时候⼜看到了协⽅差矩阵这个破东西，以前看模式分类的时候就特困扰，没想到现在还是搞不清楚，索性开始查协⽅差矩阵的资料，恶补之后决定马上记录下来，嘿嘿~本⽂我将⽤⾃认为循序渐进的⽅式谈谈协⽅差矩阵。
统计学的基本概念很显然，均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是很有限的，⽽标准差给我们描述的则是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。
以这两个集合为例，[0，8，12，20]和[8，9，11，12]，两个集合的均值都是10，但显然两个集合差别是很⼤的，计算两者的标准差，前者是8.3，后者是1.8，显然后者较为集中，故其标准差⼩⼀些，标准差描述的就是这种“散布度”。
之所以除以n-1⽽不是除以n，是因为这样能使我们以较⼩的样本集更好的逼近总体的标准差，即统计上所谓的“⽆偏估计”。
⽽⽅差则仅仅是标准差的平⽅。
为什么需要协⽅差？上⾯⼏个统计量看似已经描述的差不多了，但我们应该注意到，标准差和⽅差⼀般是⽤来描述⼀维数据的，但现实⽣活我们常常遇到含有多维数据的数据集，最简单的⼤家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。
⾯对这样的数据集，我们当然可以按照每⼀维独⽴的计算其⽅差，但是通常我们还想了解更多，⽐如，⼀个男孩⼦的猥琐程度跟他受⼥孩⼦欢迎程度是否存在⼀些联系啊，嘿嘿~协⽅差就是这样⼀种⽤来度量两个随机变量关系的统计量，我们可以仿照⽅差的定义：来度量各个维度偏离其均值的程度，标准差可以这么来定义：协⽅差的结果有什么意义呢？如果结果为正值，则说明两者是正相关的(从协⽅差可以引出“相关系数”的定义)，也就是说⼀个⼈越猥琐就越受⼥孩⼦欢迎，嘿嘿，那必须的~结果为负值就说明负相关的，越猥琐⼥孩⼦越讨厌，可能吗？如果为0，也是就是统计上说的“相互独⽴”。
方差矩阵是什么,协方差矩阵计算公式
方差矩阵是什么，协方差矩阵计算公式
在统计学与概率论中，协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差，是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。
矩阵中的数据按行排列与按列排列求出的协方差矩阵是不同的，这里默认数据是按行排列。
即每一行是一个observaTIon（or sample），那么每一列就是一个随机变量。
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵
协方差矩阵：
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵
协方差矩阵的维度等于随机变量的个数，即每一个observaTIon 的维度。
在某些场合前边也会出现1 / m，而不是1 / （m - 1）。
在统计学与概率论中，协方差矩阵是一个矩阵，其每个元素是各个向量元素之间的协方差。
这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵
举个例子，矩阵X 按行排列：
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵1. 求每个维度的平均值
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵2. 将X 的每一列减去平均值
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵其中：
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵3. 计算协方差矩阵
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵注意：
有时候在书上或者网上会看到这样的公式，协方差矩阵Σ：
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵
这里之所以会是X * X‘ 是因为原始数据集X 是按列排列的，即：。
协方差矩阵的估计与推断
协方差矩阵的估计与推断协方差矩阵是统计学中一个重要的概念，用于衡量随机变量之间的相关性和变量自身的方差。
在数据分析和机器学习中，协方差矩阵的估计和推断是一项关键任务，可以帮助我们了解数据的结构和特征。
在开始讨论协方差矩阵的估计和推断之前，我们先来了解一下协方差矩阵的定义和性质。
协方差矩阵是一个对称矩阵，其中的元素是两个变量之间的协方差。
对于一个有n个变量的数据集，协方差矩阵的大小为n×n，其中第i行第j列的元素表示第i个变量和第j个变量的协方差。
协方差矩阵的估计可以通过样本数据得到。
假设我们有一个m×n的数据集，其中每一行表示一个样本，每一列表示一个变量。
协方差矩阵的无偏估计可以通过以下公式计算：Cov(X) = (1/(m-1)) * (X'X)其中，X是一个m×n的矩阵，表示数据集，X'是X的转置矩阵。
在协方差矩阵估计的过程中，有一些常用的方法，例如最大似然估计和基于核函数的方法。
最大似然估计是通过最大化样本数据的似然函数来得到协方差矩阵的估计值。
基于核函数的方法则是利用核函数的性质来对样本数据进行变换，从而得到协方差矩阵的估计。
协方差矩阵的推断涉及到对协方差矩阵中元素的分析和解释。
有时候我们关心的是协方差矩阵的某些特定元素，例如方差或者相关系数。
方差是协方差矩阵对角线上的元素，表示变量自身的离散程度。
相关系数是协方差矩阵非对角线上的元素，表示两个变量之间的线性相关程度。
在协方差矩阵的推断中，我们还可以利用协方差矩阵来进行数据的降维和特征选择。
通过对协方差矩阵进行特征值分解，我们可以得到数据集的主成分，从而实现数据的降维。
同时，通过分析协方差矩阵的特征值和特征向量，我们可以选择具有更高相关性的特征，从而实现特征选择。
除了估计和推断，协方差矩阵还可以用于构建模型和进行预测。
例如，在线性回归模型中，协方差矩阵可以用来估计回归系数的标准误差，从而得到对预测结果的不确定性的估计。
第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.4-4.5
e =E{[Y-(a+bX)]2 } =E(Y2)+b2E(X2)+a2- 2bE(XY)+2abE(X) - 2aE(Y) 这样求出的最佳逼近为
∂e = 2a + 2bE( X) − 2E(Y) = 0L(X)=a0+b0X ∂a ∂e = 2bE( X2 ) − 2E( XY) + 2aE( X) = 0 ∂b
的概率分布为: Y 的概率分布为 P{Y = −1} = 0.55, P{Y = 0} = 0.25, P{Y = 2} = 0.2,
例1 已知离散型随机向量 ( X,Y ) 的概率分布如右表, 的概率分布如右表, 求 cov( X,Y ). 解 于是有
Y X 0 1 2
−1 0.1 0.3 0.15
Cov( X ,Y ) ρ= =0 D( X )D(Y )
并不一定能推出X和 独立. 但由 ρ = 0 并不一定能推出 和Y 独立
服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布 而 内的均匀分布,而 例1 设X服从 服从 内的均匀分布 Y=cos X, 不难求得， 不难求得， Cov(X,Y)=0， ， 和 不相关 因而 ρ =0，即X和Y不相关 . ， 但Y与X有严格的函数关系， X和Y不独立 . 有严格的函数关系， 与 有严格的函数关系 即 和 不独立
−∞ 0
x f X ( x)dx = ∫ x2 ⋅ 4x(1 − x2 )dx ∫−∞
2 0+∞1 Nhomakorabea于是
E(X)= 8/ 15, E(Y )= 4/ 5, E(XY ) = 4/ 9,
从而 cov( X,Y ) = E( XY ) − E( X)E(Y ) = 4/ 225, 又 E( X 2 ) = 1/ 3,
4.4 矩、协方差矩阵
1 1 T 1 exp ( X μ ) C ( X μ ) . 22 12 ( 2 π ) (det C ) 2
引入列矩阵
X
x1 μ1 E ( X 1 ) x2 μ2 E ( X 2 ) 和 μ , xn μ E ( X ) n n
x1 X , x2
μ1 μ . μ2
( X1 , X 2 ) 的协方差矩阵为
c11 C c 21
2 c12 σ1 c 22 ρσ1σ 2
ρσ1σ 2 2 , σ2
ρσ1σ 2 2 σ1
存在, 称它为 X 的 k 阶中心矩 .
若
E ( X kY l ),
k , l 1,2, 存在,
称它为 X 和 Y 的k l 阶混合矩 .
若
E{[ X E ( X )]k [Y E (Y )]l }, k , l 1,2,
存在 , 称它为 X 和 Y 的 k l 阶混合中心矩 .
c11 C c 21
c12 c 22
其中 c1c12 E{[ X 1 E ( X 1 )][ X 2 E ( X 2 )]},
c 21 E{[ X 2 E ( X 2 )][ X 1 E ( X 1 )]}, c 22 E{[ X 2 E ( X 2 )]2 }.
说明
(1) 以上数字特征都是随机 变量函数的数学期望； ( 2) 随机变量 X 的数学期望 E ( X ) 是 X 的一阶原
点矩, 方差为二阶中心矩 , 协方差 Cov( X ,Y )是 X
矩、协方差矩阵【概率论与数理统计+浙江大学】
E(Z)=2E(X)-E(Y)&#(Y)=8+1=9
Z~N(5, 32)
故 Z 的概率密度是
fZ (z)
3
1
2
( z5)2
e 18 ,
z
例 设随机变量X,Y独立,均服从正态分布 N (, 2)
令U=aX+bY, V=aX-bY,问常数a,b满足什么条件时 随机变量U,V相互独立？
若它的概率密度为
f
(x1,x2,
…,xn)
(2
1 )n 2
|
C
|1
2
exp{
1 2
(X
)C 1( X
)}
则称 X 服从 n 元正态分布.
其中C是(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
|C|是它的行列式，C 1表示C的逆矩阵，
X 和 是 n 维列向量，X 表示X 的转置.
概率论与数理统计
第四节 矩、协方差矩阵
原点矩 中心矩 协方差矩阵 n 元正态分布的概率密度
一、 原点矩 中心矩
定义 设X和Y是随机变量，若 E( X k ), k 1,2,
存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩. 若 E{[ X E( X )]k}, k 2,3,
存在，称它为X的k阶中心矩.
2. 正态变量的线性变换不变性.
若 X=(X1, X2 , … , Xn) 服从 n 元正态分布， Y1,Y2, …，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数， 则 (Y1,Y2, …，Yk) 也服从多元正态分布.
3. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则 “X1,X2, …,Xn相互独立”
可见，均值 E(X)是X一阶原点矩，方差D(X)
协方差矩阵(精品)
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 5协方差矩阵(精品)协方差与协方差矩阵 协方差是统计学上表示两个随机变量之间的相关性， 随机变量的离差与随机变量的离差的乘积的数学期望叫做随机变量与的协方差（也叫相关矩）， 记作 ： 记为对于离散随机变量， 我们有()() ( ,p x； 对于连续随机变量， 我们有，随机变量的协方差用来描述随机变量之间的相关性， 我们指出， 独立随机变量的协方差等于零，即如果与独立， 则 如果与相同， 则协方差就是变量的方差。
在统计学与概率论中, 协方差矩阵是一个矩阵， 这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。
协方差矩阵对于多元随机变量， 一般是对于一个多维随机变量来讲的， 表现的是随机变量 X 各个元素分量（为 1 维随机变量） 之间的相互关系， 每一项都对应着其中两个变量的协方差， 组合起来就是协方差矩阵了,比如 一个 n 维的随机变量 X,其协方差矩阵之第 ij 个元素即为 E[(Xi-E(Xi))*(Xj-E(Xj))],Xi 和 Xj 分别表示X 的第 i 个和第 j 个元素分量。
比如：随机变量 x 和 y ，nQ 为它们的协方差矩阵，为随机变量 i 和 j 的协方差，，其中，，，N 为扫描数据点个数。
现实中，由于测量值(,)nnd 受噪声干扰，假设它们分别服从高斯白噪声分布且互相独立，方差分别为和，则：补充知识：数学期望：随机变量的一切可能值ix 与对应的概率 ()iPx的乘积的和叫做随机变量的数学期望，记作。
数学期望从几何意义上来说，就是分布曲线与 x 轴之间的平面图形的重心的横坐标，它是反映均值的问题。
离差：叫做随机变量的离差。
方差：随机变量的离差的平方的数学期望叫做随机变量的方差，记作，也记作，，于是，对于离散随机变量，我们有。
基本统计量的矩阵表示
基本统计量的矩阵表示基本统计量（如均值、方差、标准差等）可以通过矩阵表示来进行计算和描述。
假设有一个包含n个观测值的数据集，其中每个观测值有p个变量。
1. 均值矩阵（Mean Matrix）：均值矩阵是一个1×p的矩阵，其中每个元素表示相应变量的均值。
假设数据集为X，均值矩阵为M，表示为M = [m1, m2, ..., mp]，其中mi表示第i个变量的均值。
2. 方差矩阵（Variance Matrix）：方差矩阵是一个p×p的矩阵，其中每个元素表示相应变量之间的方差。
假设数据集为X，方差矩阵为V，表示为V = [[v11, v12, ..., v1p], [v21, v22, ..., v2p], ..., [vp1, vp2, ..., vpp]]，其中vij表示第i个和第j个变量之间的方差。
3. 协方差矩阵（Covariance Matrix）：协方差矩阵是一个p×p的矩阵，其中每个元素表示相应变量之间的协方差。
假设数据集为X，协方差矩阵为C，表示为C = [[c11, c12, ..., c1p], [c21, c22, ..., c2p], ..., [cp1, cp2, ..., cpp]]，其中cij表示第i个和第j个变量之间的协方差。
4. 标准差矩阵（Standard Deviation Matrix）：标准差矩阵是一个p×p的矩阵，其中每个元素表示相应变量的标准差。
假设数据集为X，标准差矩阵为S，表示为S = [[s1, s2, ..., sp], [s1, s2, ..., sp], ..., [sp, sp, ..., sp]]，其中si表示第i个变量的标准差。
这些矩阵表示可以帮助我们更好地理解和分析数据集中变量之间的关系和分布情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∫
t2 +∞ − k 2 −∞
t e dt ,
µ k = 0;
收敛。 此广义积分绝对 收敛。当k为奇数时 为奇数时
t 为偶数时， 当k为偶数时，令 u = 为偶数时 , 则 2
2σ µk = 2π
k
∫
+∞
0
t e dt =
k
−
t 2
2
2 σ
k 2
k
π
∫
+∞
0
u
k −1 2 −u
e du
=
2 σk
k 2
k +1 Γ( ) = ( k − 1)!!σ k 2 π
4 4
特别，当k=4时 特别， 时
µ 4 = E [ X − E ( X )] = 3σ
不难知道， 不难知道，如果随机变量的概率分布关于期望值 是对称的，则它的一切奇数阶中心矩都等于零。 是对称的，则它的一切奇数阶中心矩都等于零。
一般地， 一般地，奇数阶中心矩可以描述随机变量分布 的非对称性。 的非对称性。通常用 ν = µ3 / σ 3 来度量随机 偏态系数， 变量分布的非对称性，称它为偏态系数 变量分布的非对称性，称它为偏态系数，简称 为偏态。 偏态。 四阶中心矩可以描述随机变量分布的尖峭程度，通 四阶中心矩可以描述随机变量分布的尖峭程度， 来度量分布的尖峭程度， 常用 ε = µ4 / σ − 3 来度量分布的尖峭程度，称
由定义可知， 的数学期望 的数学期望E(X)就是 的一阶原 就是X的一阶原 由定义可知，X的数学期望 就是 点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，而(X，Y)的 的二阶中心矩， 点矩，方差 是 的二阶中心矩 ， 的 协方差cov(X,Y)是二阶混合中心矩。 是二阶混合中心矩。 协方差 是二阶混合中心矩
cij = cov( X i , X j ), ∑ = E{[ X − E ( X )][ X − E ( X )]T } = (cij ) n×n ,
则称矩阵Σ为 维随机变量 维随机变量X的协方差矩阵 则称矩阵 为n维随机变量 的协方差矩阵
∑ = (cij ) n×n
c11 c21 = ... cn1
(X,Y)的协方差矩阵为 的协方差矩阵为
c11 c12 c21 c22
显然，协方差矩阵是一个对称矩阵，而且， 显然，协方差矩阵是一个对称矩阵，而且，它 是半正定矩阵， 是半正定矩阵，当σi>0(i=1,2,…,n)时它是正定矩阵。
2 例2 设 ( X 1 , X 2 ) ∼ N ( µ1 , µ2,σ 12 , σ 2 , ρ ),
c12 c22 ... cn 2
... c1n ... c2 n ... ... ... cnn
对于二维随机变量(X,Y) 对于二维随机变量
c11 = E[ X − E ( X )] , c12 = E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]}
2
c21 = E{[Y − E (Y )][ X − E ( X )]}, c22 = E[Y − E (Y )]2
试求其协方差矩阵。 试求其协方差矩阵。
2 c11 = σ 12 , c22 = σ 2 , c12 = c21 = ρσ 1σ 2 , 解 已经求得
于是
σ 12 ∑= ρσ 1σ 2
ρσ 1σ 2 2 σ2
1 -1 例3 设 ( X 1 , X 2 )的协方差为C= , 求ρ XY -1 9
4
它为峰态系数 简称为峰态 峰态系数， 峰态。 它为峰态系数，简称为峰态。正态分布的偏态和峰 态都等于零。 态都等于零。
4.5.2. 协方差矩阵
定义4.7 定义
2 i
维随机变量， 设 X = ( X 1, X 2 ,⋯ X n ) 是n维随机变量，若 维随机变量
T
cii = σ = D( X i )(i = 1, 2,⋯ , n) 存在，记 存在，
解 由协方差的定义可知 Cov( X , Y ) = −1, D( X 1 ) = 1, D( X 2 ) = 9, 则
ρ XY =
1 =− 3 D( X ) D(Y ) Cov( X , Y )
N ( µ , σ 2 ), 设随机变量X服从正态分布 例1 设随机变量 服从正态分布
求它的
中心矩 µ k . 已知， 解 已知，E ( X ) = µ , 因此
µk = ∫ ( x − µ )
−∞
Байду номын сангаас+∞
k
令
x−µ
− 1 e 2π σ
( x − µ )2 2σ 2
dx
σ
= t, 则
µk =
σ
k
2π
2
偏态、 4.5.1. 矩、偏态、峰态
定义4.6 设X,Y是两个随机变量 定义 是两个随机变量 存在，则称它为X的 阶原点 （1）若 E ( X )( k = 1, 2,⋯) ） 存在，则称它为 的k阶原点
k
矩，记为
vk
µk ;
（2）若 E[ X − E ( X )]k ( k = 1, 2,⋯) 存在，则称它为 的k ） 存在，则称它为X的 阶中心矩， 阶中心矩，记为 （3）若 E{[ X − E ( X )]k [Y − E (Y )]l }( k , l = 1, 2,⋯) 存在， ） 存在， 则称它为k+l阶混合中心矩 阶混合中心矩。 则称它为 阶混合中心矩。