线性变换思想在中学数学中的应用

线性变换思想在中学数学中的应用摘要：本文首先给出了线性变换的定义以及中学数学中涉及到的几种特殊的线性变换，包括其表达式及特征等。

然后介绍了这几种线性变换在中学几何中的意义, 它是普通线性变换的一个自然推广,同时研究了线性变换在几何中的应用。

最后,给出了具体实例说明了利用线性变换解决中学中平面几何题的方法以及线性变换思想在中学数学中的影响。

关键词：线性变换中学数学几何应用随着社会的进步和时代的发展，针对我国中学数学课程现状，制定和实施新的课程标准势在必行。

2003年颁布了《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)。

由参考文献[1]、[2]、[3]、[4]可知：《标准》规定的课程与以往的课程相比，内容上发生很大的变化，尤其在选修系列中，增加了矩阵与变换、数列与差分、初等数论初步、优选法与试验设计初步、统筹法与图论、风险与决策、开关电路与布尔代数等内容，矩阵与变换是选修系列的内容。

矩阵是代数学的基本内容之一，变换是几何中的基本内容之一。

对于中学数学教材改革来说，认真研究怎样把应用广泛的矩阵内容融入代数教材，以及如何进一步用变换的观念来处理几何教材，最终用矩阵来表示线性变换可以更有效地学习和运用这部分知识。

中学数学引入矩阵初步知识，主要是为表达数据提供新的工具。

矩阵作为研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。

由矩阵建立的线性变换就是平面上的坐标变换，其中，矩阵起着“对应法则”的作用，用二阶矩阵a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦确定的变换,就是构造映射,使平面上的点(向量)xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦变成(对应)点(向量)11xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦=a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦,这个映射的对应法则就是左乘a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在这个线性变换中，矩阵a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦称之为变换矩阵，变换矩阵不同，得到的是不同的变换。

线性变换在数学上是一个很有用的工具，在其它学科中也有着广泛的应用。

线性变换在大学中作为“线性代数”的一个重要内容，被系统地讲授。

近些年来，有些国家在中学也讲授部分线性变换的知识。

由于线性变换的重要性和它的应用的广泛性，在《标准》中，把“矩阵与变换”作为一门选修课。

该课通过几何图形的变换，介绍线性变换的基础知识和基本思想。

开设这门选修课的目的是希望学生在基本思想上对线性变换有一个初步了解，对将来进一步学习和工作有所帮助。

1 线性变换的概念大学教材中的线性变换一般地，把平面内的一个点变成同一个平面内的和它相应的唯一的一点，不同的点所变成的点不相同，并且平面内的每一点都是由某一个相应的点变成的，这就是平面内的点的一个变换。

变换就是一个映射，而且是一个一一映射。

换句话说，变换就是从平面内的点的集合到同一个平面内的点的集合的一个一一映射。

把两个变换复合起来就得到了一个新的变换。

变换的复合一般不具有交换性。

恒等变换是一个不动的变换，它把平面上的每个点都变成它自己。

变换的复合看成变换的乘积，可得到变换的逆交换的概念。

变换的逆交换就是这样一种变换，无论它从左或从右复合，结果都得到恒等变换。

每一个变换都有逆变换。

中学教材中的线性变换在平面直角坐标系中，把形如''x ax byy cx dy⎧=+⎨=+⎩（其中a，b，c，d为常数）的几何变换叫做线性变换。

[5]中学与大学对矩阵概念的区别在大学里学习的线性变换与中学数学课程标准里要求的线性变换是有区别的。

从研究的角度来看，大学的线性变换是把它作为代数的运算法则，对线性方程组与线性空间的运算，而中学课程标准把线性变换看作是几何变换的表示方法；从研究的内容来看，大学研究的是代数的运算性质，概念理论较为抽象，运算量大，容量较多，而中学课程标准研究的是线性变换的几何作用，通过大量的实例来讨论线性变换的性质和作用，只限于讨论平面内的变换，从直观上认识线性变换的意义。

矩阵与变换(选修系列这部分内容在大学的代数课程中会系统地讲授。

而中学开设这门选修课的目的，是要求学生了解其基本的思想、概念(当然，这里不是只讲故事也不是读科普读物，应要求学生做习题，要有所练习，有所收获)。

不是把大学教材简单下放，更不是去做一些难题，怪题(作为选修系列4的课程，有更多的开放性，给学生更多的思索空间，但其思索的问题不是大学中更艰深的内容或难题、怪题)。

在中学不是训练数学上的一些细致的技巧和方法，而是希望学生对线性变换等有一个初步了解，对将来进一步学习和工作有所帮助。

特别是学理工科的学生，到大学还将系统地学习这方面的知识，中学的内容尽管是重要的，但还是远远不够的。

2 中学数学中涉及到的几种线性变换中学数学中涉及到的几种线性变换式及其二阶矩阵2.1.1 对称变换(1)关于x 轴对称的变换坐标公式为''x x y y⎧=⎨=-⎩，其对应的二阶矩阵为1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭；(2)关于y 轴对称的变换坐标公式为''x x y y ⎧=-⎨=⎩，其对应的二阶矩阵为1001-⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3)关于y x =对称的变换坐标公式为''x y y x⎧=⎨=⎩，其对应的二阶矩阵为0110⎛⎫ ⎪⎝⎭.2.1.2 伸缩变换坐标公式为'1'2x k x y k y ⎧=⎨=⎩，其对应的二阶矩阵为1200k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭.2.1.3 投影变换(1)投影在x 轴上的变换坐标公式为''0x x y ⎧=⎨=⎩，其对应的二阶矩阵为1000⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)投影在y 轴上的变换坐标公式为''0x y y⎧=⎨=⎩，其对应的二阶矩阵为0001⎛⎫ ⎪⎝⎭．2.1.4 旋转变换坐标公式为''cos sin sin cos x x y y x y αααα⎧=-⎨=+⎩，变换对应的矩阵为cos sin sin cos αααα-⎛⎫ ⎪⎝⎭． 2.1.5 切变变换 (1)平行于x 轴的切变变换坐标公式为''x x sy y y⎧=+⎨=⎩，其对应的二阶矩阵为101s ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)平行于y 轴的切变变换坐标公式为''x x y sx y⎧=⎨=+⎩，其对应的二阶矩阵为101s ⎛⎫ ⎪⎝⎭.中学数学中涉及到的几种线性变换的特征2.2.1 对称变换（1）关于x 轴对称的对称变换：变换矩阵1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭将点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭变换为11x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝00x y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，而00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与11x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于x 轴对称。

（2）关于y 轴对称的对称变换：变换矩阵1001-⎛⎫ ⎪⎝⎭将点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭变换为11x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝00x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭，而00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与11x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于y 轴对称。

（3）关于y x =对称的对称变换：变换矩阵0110⎛⎫ ⎪⎝⎭将点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭变换为11x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ 00y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与11x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于y x =对称。

2.2.2 伸缩变换（1）沿x 轴方向的伸缩变换：变换矩阵001k ⎛⎫ ⎪⎝⎭将点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭变换为点00kx y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭沿x 轴方向移动0(1)k x -个单位。

如果1k >,则为拉伸变换；如果1k <，则为压缩变换。

y 轴上的点不移动，距离y 轴越远的点收缩越大，距离y 轴越近的点收缩越小，0x x =上的点沿x 轴方向不发生伸缩变换。

（2）沿y 轴方向的伸缩变换：变换矩阵100k ⎛⎫ ⎪⎝⎭将点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭变换为点00x ky ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭沿y 轴方向移动0(1)k y -个单位。

如果1k >,则为拉伸变换；如果1k <，则为压缩变换。

x 轴上的点不移动，距离x 轴越远的点收缩越大，距离x 轴越近的点收缩越小， 0y y =上的点沿y 轴方向不发生伸缩变换。

2.2.3 投影变换沿x 轴方向的投影变换：变换矩阵1000⎛⎫ ⎪⎝⎭将点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭变换为点00x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭沿y 轴方向落在x 轴上，沿x 轴方向没有发生移动；沿y 方向的投影变换：变换矩阵0001⎛⎫ ⎪⎝⎭将点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭变换为点00y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭沿x 轴方向落在y 轴上，沿y 轴方向没有发生移动。

2.2.4 旋转变换变换矩阵cos sin sin cos αααα-⎛⎫ ⎪⎝⎭将点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭变换为点0000cos sin sin cos x y x y αααα-⎛⎫ ⎪+⎝⎭，即点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭以原点为中心向逆时针方向旋转α个单位。

2.2.5 切变变换（1）沿x 轴方向的切变变换：变换矩阵101s ⎛⎫ ⎪⎝⎭将点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭变换为点000x sy y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭沿x 轴方向移动0sy 个单位。

x 轴上的点不发生移动，距离x 轴越远的点收缩越大，距离x 轴越近的点收缩越小， 0y y =上的点沿x 轴方向不发生伸缩变换。

（2）沿y 轴方向的切变变换：变换矩阵101s ⎛⎫ ⎪⎝⎭将点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭变换为点000x sx y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，即点00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭沿y 轴方向移动0sx 个单位。

y 轴上的点不发生移动，距离y 轴越远的点收缩越大，距离y 轴越近的点收缩越小，0x x =上的点沿y 轴方向不发生伸缩变换。

中学数学中涉及到的几种线性变换的示例用直线段将点11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭依次链接，得到一个三角形图形，如图所示：利用这个三角形的变换可观察不同线性变换作用的结果。

2.3.1 对称变换(1)关于x 轴对称的对称变换的图例：原点集矩阵为11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭，变换后的矩阵为1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭=11211131--⎛⎫ ⎪---⎝⎭.变换后的三角形如下图所示：（2）关于y 轴对称的对称变换的图例：原点集矩阵为11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭，变换后的矩阵为1001-⎛⎫ ⎪⎝⎭11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭=11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭.变换后的三角形如下图所示：（3）关于y x =对称的对称变换的图例：原点集矩阵为11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭，变换后的矩阵为0110⎛⎫ ⎪⎝⎭11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭=11311121-⎛⎫ ⎪--⎝⎭.变换后的三角形如下图所示：2.3.2 伸缩变换(k 取2或1/2)（1）沿x 轴方向的伸缩变换：原点集矩阵为11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭，变换后的矩阵为2001⎛⎫ ⎪⎝⎭11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭= 22421131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭或1/2001⎛⎫ ⎪⎝⎭11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭= 1/21/211/21131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭.变换后的三角形如下图所示： 或（2）沿y 轴方向的伸缩变换：原点集矩阵为11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭，变换后的矩阵为1002⎛⎫ ⎪⎝⎭11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭= 11212262--⎛⎫ ⎪-⎝⎭或1001/2⎛⎫ ⎪⎝⎭11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭= 11211/21/23/21/2--⎛⎫ ⎪-⎝⎭.变换后的三角形如下图所示：或2.3.3 投影变换（1）沿x 轴方向的投影变换：原点集矩阵为11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭，变换后的矩阵为1000⎛⎫ ⎪⎝⎭11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭= 11210000--⎛⎫ ⎪⎝⎭.变换后的三角形如下图所示：(2)沿y 轴方向的投影变换:原点集矩阵为11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭，变换后的矩阵为0001⎛⎫ ⎪⎝⎭11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭= 00001131⎛⎫ ⎪-⎝⎭.变换后的三角形如下图所示：2.3.4 旋转变换（取/6pi α=）原点集矩阵为11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭，变换后的矩阵为21/21/22⎫-⎪ ⎪⎝⎭×11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭= 1)/21)/23/21)/21)/2(1/2121)/2⎛⎫-- ⎪ ⎪+⎝⎭.变换后的三角形如下图所示：2.3.5 切变变换（取2s =）(1)沿x 轴方向的切变变换：原点集矩阵为11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭，变换后的矩阵为1201⎛⎫ ⎪⎝⎭11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭= 11811131-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.变换后的三角形如下图所示：(2)沿y 轴方向的切变变换:原点集矩阵为11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭，变换后的矩阵为1021⎛⎫ ⎪⎝⎭11211131--⎛⎫ ⎪-⎝⎭= 11211171--⎛⎫ ⎪--⎝⎭.变换后的三角形如下图所示：3 中学数学中线性变换在解题中的应用对称变换在几何极小值问题中的应用对称变换又称轴反射，在解答线段和的最小值问题时，起着一锤定音的作用。