广东省广州二中、珠海一中联考2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
广东省珠海市2014-2015学年高一上学期期末考试数学(B卷)试题Word版含答案
）
A．2 3
C． 6 3
B． 4 3 D． 8 3
8．圆 x 2 y2 2 y 1 0关于直线 y x 对称的圆的方程是
A． ( x 1)2 y2 2
B． ( x 1)2 y2 2
C． ( x 1)2 y2 22
D． ( x 1)2 y 2 22
1
9．已知 a
log 1 5, b
3
35 , c
( 1)0.3 ，则 a, b, c 的大小关系是 5
C． log 3 2
D． 3
①两条不同直线分别垂直于同一条直线，则这两条直线相互平行
②两条不同直线分别垂直于同一个平面，则这两条直线相互平行
③两个不同平面分别垂直于同一条直线，则这两个平面相互平行
④两个不同平面分别垂直于同一个平面，则这两个平面相互垂直
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
7．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积是（
图象大致是下图中的
h
h
h
h
O
t
O
t
O
tO
（ A）
(B)
(C)
(D)
t
第 11 题图
12．函数 y ax -b(a>0 且a 1) 的图像不经过第一象限，则 A． a 1且 b 1 B． a 1且 b 1 C． a 1且 b 1 D． a 1且 b 1
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . ）
13 ． 函 数 f (x) 2 x l n x( 1) 的 定 义 域 是 (1,2]
．（ 用 区 间 表 示 ）
14．幂函数 _____________．
2014-2015学年广东省广州二中、珠海一中联考高一(上)数学期末试卷和 解析
2014-2015学年广东省广州二中、珠海一中联考高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）已知集合M={﹣1，1，2}，N={x∈R|x2﹣5x+4=0}，则M∪N=（）A．ϕB．{1}C．{1，4}D．{﹣1，1，2，4}2．（5.00分）函数y=lnx﹣6+2x的零点为x0，x0∈（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（5，6）3．（5.00分）三个数0.89，90.8，log0.89的大小关系为（）A．log0.89＜0.89＜90.8B．0.89＜90.8＜log0.89C．log0.89＜90.8＜0.89D．0.89＜log0.89＜90.84．（5.00分）与直线l：3x﹣4y﹣1=0平行且到直线l的距离为2的直线方程是（）A．3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0 B．3x﹣4y﹣11=0C．3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=0 D．3x﹣4y+9=05．已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．6．（5.00分）半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）A．B．C．D．7．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则=（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4）C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）8．（5.00分）直线y=kx+1与圆x2+y2﹣2y=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．取决于k的值9．已知向量，满足，||=1，|=2，则|2﹣|=（）A．B．C．8 D．1210．（5.00分）对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥nD．若m、n与α所成的角相等，则m∥n11．求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．12．（5.00分）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．πB．πC．πD．π13．已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．14．（5.00分）f（x）为R上的偶函数，若对任意的x1、x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有＞0，则（）A．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）15．（5.00分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么y=x2，值域为{1，9}的“同族函数”共有（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分20分．16．（5.00分）已知a＜0，直线l1：2x+ay=2，l2：a2x+2y=1，若l1⊥l2，则a=．17．已知a＜0，向量=（2，a﹣3），=（a+2，a﹣1），若∥，则a=．18．（5.00分）若函数f（x）=，则f[﹣f（9）]=．19．（5.00分）直线3x+4y﹣5=0被圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=4截得的弦长为．20．若函数f（θ）=，则f（﹣）=．21．（5.00分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0）对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共9小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．22．（12.00分）已知函数f（x）=ax+（其中a、b为常数）的图象经过（1，2）、两点．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）证明：函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．23．（12.00分）化简求值：（1）；（2）（lg2）2+lg2•lg50+lg25．24．（14.00分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：平面ACE⊥平面PBC．25．已知函数．的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知且，求．26．（14.00分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．27．如图，甲船以每小时15海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里；当甲船航行40分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？28．（14.00分）已知圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），从圆M 外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|（O为坐标原点）．（1）求圆M的方程；（2）试判断点P是否总在某一定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．29．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=．（1）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；（2）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2=ac，B为锐角，且f（B）=1，求的值．30．（14.00分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）求函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数．2014-2015学年广东省广州二中、珠海一中联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）已知集合M={﹣1，1，2}，N={x∈R|x2﹣5x+4=0}，则M∪N=（）A．ϕB．{1}C．{1，4}D．{﹣1，1，2，4}【解答】解：N={x∈R|x2﹣5x+4=0}={1，4}，∵M={﹣1，1，2}，∴M∪N={﹣1，1，2，4}，故选：D．2．（5.00分）函数y=lnx﹣6+2x的零点为x0，x0∈（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（5，6）【解答】解：∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，∴f（x）=lnx+2x﹣6的存在零点x0∈（2，3）．∵f（x）=lnx+2x﹣6在定义域（0，+∞）上单调递增，∴f（x）=lnx+2x﹣6的存在唯一的零点x0∈（2，3）．故选：B．3．（5.00分）三个数0.89，90.8，log0.89的大小关系为（）A．log0.89＜0.89＜90.8B．0.89＜90.8＜log0.89C．log0.89＜90.8＜0.89D．0.89＜log0.89＜90.8【解答】解：∵0.89∈（0，1）；90.8＞1；log0.89＜0，所以：log0.89＜0.89＜90.8，故选：A．4．（5.00分）与直线l：3x﹣4y﹣1=0平行且到直线l的距离为2的直线方程是（）A．3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0 B．3x﹣4y﹣11=0C．3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=0 D．3x﹣4y+9=0【解答】解：由题意设所求的直线方程为3x﹣4y+c=0，根据与直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2得=2，解得c=﹣11，或c=9，故所求的直线方程为3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0．故选：A．5．已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinx=﹣，且x在第三象限，∴cosx=﹣=﹣，∴tanx==，∴tan2x==﹣，故选：A．6．（5.00分）半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：∵半径为R的球内接一个正方体，设正方体棱长为a，正方体的对角线过球心，可得正方体对角线长为：a=2R，可得a=，∴正方体的体积为a3=（）3=，故选：D．7．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则=（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4）C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示；∵平行四边形ABCD中，=（2，4），=（1，3），∴=﹣=（﹣1，﹣1），∴=+=+=﹣=（﹣3，﹣5）．故选：D．8．（5.00分）直线y=kx+1与圆x2+y2﹣2y=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．取决于k的值【解答】解：圆x2+y2﹣2y=0 即x2+（y﹣1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．圆心到直线y=kx+1的距离为=0，故圆心（0，1）在直线上，故直线和圆相交，故选：A．9．已知向量，满足，||=1，|=2，则|2﹣|=（）A．B．C．8 D．12【解答】解：∵，∴=0∵||=1，|=2，∴|2﹣|2=4||2+||2﹣4=4+4﹣0=8，∴|2﹣|=2，故选：A．10．（5.00分）对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥nD．若m、n与α所成的角相等，则m∥n【解答】解：由于直线m、n共面，对于A．若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，故A错；对于B．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行，故B错；对于C．若m⊂α，n∥α，由于m、n共面，则m∥n，故C对；对于D．若m、n与α所成的角相等，则m，n相交或平行，故D错．故选：C．11．求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．【解答】解：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到tan78°+tan42°=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78°+tan42°﹣tan78°•tan42°=﹣．故选：C．12．（5.00分）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为半圆，母线长为2的半圆锥体；且底面半圆的半径为1，∴该半圆锥个高为2×=，它的体积为V=×π•12×=π．故选：C．13．已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．【解答】解：由2α∈（0，π），及cosα=，得到cos2α=2cos2α﹣1=﹣，且sin2α==，由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，则cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=﹣×（﹣）+×=．故选：C．14．（5.00分）f（x）为R上的偶函数，若对任意的x1、x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有＞0，则（）A．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）【解答】解：∵对任意的x1、x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有＞0，故f（x）在x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）单调递增．又∵f（x）是偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），由3＞2＞1＞0，得f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选：C．15．（5.00分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么y=x2，值域为{1，9}的“同族函数”共有（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【解答】解：y=x2，值域为{1，9}的“同族函数”即定义域不同，定义域中的数有﹣1，1，﹣3，3中选取；定义域中含有两个元素的有2×2=4个；定义域中含有三个元素的有4个，定义域中含有四个元素的有1个，总共有9种，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分20分．16．（5.00分）已知a＜0，直线l1：2x+ay=2，l2：a2x+2y=1，若l1⊥l2，则a=﹣1．【解答】解：两条直线的斜率分别为：﹣，﹣．∵l1⊥l2，∴=﹣1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．17．已知a＜0，向量=（2，a﹣3），=（a+2，a﹣1），若∥，则a=﹣1．【解答】解：∵=（2，a﹣3），=（a+2，a﹣1），由∥，得2（a﹣1）﹣（a+2）（a﹣3）=0，解得：a=﹣1或a=4．∵a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．18．（5.00分）若函数f（x）=，则f[﹣f（9）]=9．【解答】解：f（9）=log39=2，故f[﹣f（9）]=f（﹣2）==9；故答案为：9．19．（5.00分）直线3x+4y﹣5=0被圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=4截得的弦长为．【解答】解：∵圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，∴圆心（2，1），半径r=2，圆心到直线的距离d==1，∴直线3x+4y﹣5=0被圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=4截得的弦长l=2=．故答案为：．20．若函数f（θ）=，则f（﹣）= 2．【解答】解：f（θ）==﹣4sinθ，则f（﹣）=﹣4×（﹣）=2，故答案为：2．21．（5.00分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0）对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）则实数a的取值范围是（0，] ．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，可得f（x1）值域为[﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）∴，∴0＜a≤故答案为：（0，]．三、解答题：本大题共9小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．22．（12.00分）已知函数f（x）=ax+（其中a、b为常数）的图象经过（1，2）、两点．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）证明：函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．【解答】解：由已知有，解得，∴．…（3分）（1）f（x）是奇函数．…（4分）证明：由题意f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，…（5分）又，…（6分）∴f（x）是奇函数．…（7分）（2）证明：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，…（8分），，…（10分）∵x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），…（11分）故函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．…（12分）23．（12.00分）化简求值：（1）；（2）（lg2）2+lg2•lg50+lg25．【解答】解：（1）原式=．（2）原式=lg2（lg2+lg50）+2lg5=2lg2+2lg50=2（lg2+lg5）=2lg10=2．24．（14.00分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：平面ACE⊥平面PBC．【解答】证明：（1）连BD交AC于O，连EO，∵ABCD为矩形，∴O为BD中点．E为PB的中点，∴EO∥PD又EO⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，∴PD∥平面ACE（2）∵PA⊥平面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC．∵底面ABCD为矩形，∴BC⊥AB．∵PA∩AB=A，BC⊥平面PAB，AE⊂PAB，∴BC⊥AE．∵PA=AB，E为PB中点，∴AE⊥PB．∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC，而AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBC．25．已知函数．的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知且，求．【解答】解：（1）由函数最大值为2，得A=2．由图可得周期T=4[﹣（﹣）]=π，∴ω==2．又2×+φ=2kπ+，k∈Z，∴φ=2kπ+，k∈Z，又φ∈（0，），∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+）；（2）∵α∈（，π），且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴f（）=2sin（2•+）=2（sinαcos+cosαsin）=2[×+（﹣）×]=．26．（14.00分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD∵PC⊥平面BDE∴PC⊥BD，又PA∩PC=P∴BD⊥平面PAC（2）设AC与BD交点为O，连OE∵PC⊥平面BDE∴PC⊥平面BOE∴PC⊥BE∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角∵BD⊥平面PAC∴BD⊥AC∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3∴OC=在△PAC∽△OEC中，又BD⊥OE，∴∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为327．如图，甲船以每小时15海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里；当甲船航行40分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？【解答】解：如图，连结A 1B2，由已知，，…（2分）∴A1A2=A2B2，又∠A1A2B2=180°﹣120°=60°，∴△A1A2B2是等边三角形，…（4分）∴，由已知，A1B1=20，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，…（6分）在△A1B2B1中，由余弦定理，…（9分）==200．∴．…（12分）因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．…（13分）答：乙船每小时航行海里．…（14分）28．（14.00分）已知圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），从圆M 外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|（O为坐标原点）．（1）求圆M 的方程；（2）试判断点P 是否总在某一定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）解法一：设圆M 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0，…（1分） ∵圆M 经过三点A （2，2），B （2，4），C （3，3），∴…（4分）解得 …（7分）∴圆M 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1．…（8分）解法二：设圆M 的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=r 2（r ＞0），…（1分） ∵圆M 经过三点A （2，2），B （2，4），C （3，3），∴…（4分）解得…（7分）∴圆M 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1．…（8分） 解法三：∵A （2，2），B （2，4），∴线段AB 的垂直平分线方程为y=3，…（2分） ∵A （2，2），C （3，3）， ∴线段AC 的垂直平分线方程为即x +y ﹣5=0，…（4分）由解得圆心M 的坐标为（2，3）．…（6分）故圆M 的半径．∴圆M 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1．…（8分）解法四：∵，，，…（2分）∴|AC |2+|BC |2=4=|AB |2．∴△ABC 是直角三角形．…（4分） ∵圆M 经过A ，B ，C 三点，∴圆M是Rt△ACB的外接圆．…（6分）∴圆M的圆心M的坐标为AB的中点（2，3），半径．∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．…（8分）（2）连接PM，则，…（10分）∵，且|PT|=|PO|，∴，…（12分）化简得2a+3b﹣6=0．∴点P总在定直线2x+3y﹣6=0上．…（14分）29．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=．（1）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；（2）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2=ac，B为锐角，且f（B）=1，求的值．【解答】解：（1）==．故f（x）max=1，此时，得，∴取最大值时x的取值集合为．（2），∵，∴，∴，，（法一）由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC得：=．（法二）由b2=ac及余弦定理得：ac=a2+c2﹣ac即a=c，∴△ABC为正三角形，∴．30．（14.00分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）求函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|，当x≥2时，f（x）=x2﹣2x，对称轴为x=1，所以，f（x）的单调递增区间为（2，+∞）；当x＜2时，f（x）=﹣x2+2x，对称轴为x=1，所以，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1）．（2）令g（x）=f（x）﹣1=0，即f（x）=1，f（x）=，求函数g（x）的零点个数，即求y=f（x）与y=1的交点个数；当x≥a时，f（x）=x2﹣ax，对称轴为x=，当x＜a时，f（x）=﹣x2+ax，对称轴为x=，①当a=0时，f（x）=x|x|，故由图象可得，y=f（x）与y=1只存在一个交点．②当a＞0时，＜a，且f（）=，故由图象可得，1°当a=2时，f（）==1，y=f（x）与y=1只存在两个交点；2°当0＜a＜2时，f（）=＜1，y=f（x）与y=1只存在一个交点；3°当a＞2时，f（）=＞1，y=f（x）与y=1只存在三个交点．③当a＜0时，＞a，故由图象可得，y=f（x）与y=1只存在一个交点．综上所述：当a＞2时，g（x）存在三个零点；当a=2时，g（x）存在两个零点；当a＜2时，g（x）存在一个零点．。
广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学理 Word版含答案
2014届高三六校第二次联考数学试题一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡的相应位置.1.设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B ＝ （ ） A ．{0,2,4}-- B ．{0,2,4}- C ．{0,2,4} D ．{0,1,2} 2.命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是 （ ） A ．x R ∃∈，2210x x -+≥ B ．x R ∃∈，2210x x -+> C ．x R ∀∈，2210x x -+≥D ．x R ∀∈，2210x x -+<4.一个物体的运动方程为1s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是 （ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒5.函数()ln 26f x x x =+-的零点位于 （ ） A ．[1,2] B ．[2,3] C ．[3,4] D ．[4,5]6.“1sin 2α=”是“1cos 22α=”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.函数1()(0,1)xf x a a a a=->≠的图象可能是 （ ）A B C D18.如图：正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是111,AA A D →→ 黑蚁爬行的路线是1.AB BB→→ 它们都遵循如下规则：所爬行的第2i +段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中*i N ∈）.设黑白二蚁走完第2014段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 ( )A ． D. 0二、填空题.本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置. 9.函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为____________.10.若函数()y f x =是函数(0,xy a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()y f x =的图像经过点)a ， 则()f x = ____________.11.已知函数(2),2()1,22x f x x f x x +<⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则(3)f -的值为12.如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象，则其解析式是____________.13.由曲线xy e =与直线0x =、直线y e =所围成的图形的面积为____________.14.设函数221()lg ()(0)2f x ax x b b a ⎡⎤=++-+≠⎢⎥⎣⎦,若对任意实数b ，函数()f x 的定义域为R ，则a 的取值范围为____________.三、解答题.本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-,x R ∈（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求(2)3f πθ+.16.（本小题满分12分）设函数3()65f x x x =-+,x R ∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值.17．（本小题满分14分）设函数2()sin cos f x x x x =+,x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为求a .18.（本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+)(R a ∈（1）若函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴,求a 的值； （2）若函数)(x f 在区间),1(+∞上为增函数，求a 的取值范围； （3）讨论函数()()(2)g x f x a x =-+的单调性.19.（本小题满分14分） 已知函数(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-（1）设0x 为函数()f x 的极值点，求证: 00()f x x =；（2）若当1x >时，ln (1)0x x k x k +-+>恒成立，求正整数．．．k 的最大值.20.（本小题满分14分）设函数2*()1,(,)1!2!!nn x x x f x x R n N n =-++++∈∈ （1）证明对每一个*n N ∈，存在唯一的1,12n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，满足()0n n f x =； （2）由（1）中的n x 构成数列{}n x ，判断数列{}n x 的单调性并证明；（3）对任意*p N ∈，,n n p x x +满足（1），试比较n n p x x +-与1n的大小.2014届六校十月联考理科数学参考答案9.{}|43x x x <≠且 10. 12log x 11.18 12.3sin(2)3y x π=+ 13. ____1____ 14. (1,)+∞15．（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-,x R ∈（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ ，求(2)3f πθ+.解: （1）())12f x x π=-())6612f πππ∴-=-- ……2分)sin()44ππ=-= ……4分1=- ……5分（2）43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ∴==……7分 24sin 22sin cos 25θθθ∴==- ……8分27cos 22cos 125θθ=-=- ……9分(2))34f ππθθ∴+=+ ……10分2coscos 2sin )44ππθθ=+=24731252525--=- ……12分16.（本小题满分12分）设函数3()65f x x x =-+,x R ∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值. 解：(1)3()65f x x x =-+2'()36f x x ∴=- ……2分令'()0,f x = x ∴=……3分'(),()f x f x x 随着的变化情况如下表：……5分由上表可知()f x 的单调递增区间为(,-∞和)+∞,单调递减区间为(. ……6分（2）由（1）可知函数()f x 在2,⎡-⎣ 上单调递增，在⎡⎣ 上单调递减，在2⎤⎦上单调递增， ……7分()f x ∴的极大值(5f ==+……8分()f x 的极小值5f ==-……9分又(2)15(f f =<+= ， ……10分(2)95f f -=>-= ……11分∴函数()f x 在区间[]2,2-上的最大值为5+，最小值为5-……12分17．（本小题满分14分）设函数2()sin cos f x x x x =,x R ∈ （1）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为求a .解：（1）()21cos 2sin cos 22x f x x x x x -=+=+ 1sin 226x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ……3分所以函数()f x 的最小正周期为22||2T πππω=== ……4分 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,4ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-6,3262πππx . 所以当262ππ-=-x 时，函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最小值为12-. ……7分（2）由()()32f A f A +-=得：2362sin 62sin 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππA A . 化简得：212cos -=A ，又因为20π<<A ，解得：3π=A . ……10分 由题意知：32sin 21==∆A bc S ABC ， 解得8=bc ，又7=+c b ， ……12分 由余弦定理：()()22222cos 21cos 25a b c bc A b c bc A =+-=+-+=，5a ∴=. ……14分18. （本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+)(R a ∈ （1）若函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴,求a 的值； （2）若函数)(x f 在),1(+∞为增函数，求a 的取值范围； (3) 讨论函数()()(2)g x f x a x =-+的单调性.解：（1）因为2()ln f x x a x =+，故()2af x x x'=+， ……1分 函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴，所以(1)202f a a '=+=⇒=- ……3分 （2）函数)(x f 在),1(+∞为增函数，所以当(1,)x ∈+∞时，()20af x x x'=+≥恒成立，分离参数得：22a x ≥-，从而有：2a ≥-. ……7分 （3）2()()(2)(2)ln g x f x a x x a x a x =-+=-++22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a g x x a x x x-++--'=-++== ……10分令12()01,2ag x x x '=⇒==，因为函数()g x 的定义域为(0,)+∞，所以 （1）当02a≤，即0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增； ……11分（2）当012a <<，即02a <<时，函数()g x 在(0,)2a上递增， 在(,1)2a 上递减，在(1,)+∞上递增 ……12分（3）当12a=，即2a =时，函数()g x 在(0,)+∞上递增； ……13分 （4）当12a >，即2a >时，函数()g x 在(0,1)上递增，在(1,)2a上递减，在(,)2a +∞上递增.…14分19.（本小题满分14分）已知函数(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-（1）设0x 为函数()f x 的极值点，求证: 00()f x x =；（2）若当1x >时，ln (1)0x x k x k +-+>恒成立，求正整数k 的最大值. 解：（1）因为(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-，故22ln ()(1)x x f x x --'=-, ……2分 0x 为函数)(x f 的极值点,0()0f x '∴=, ……3分即002ln 0x x --=,于是0011ln x x -=+, 故00000000(1ln )(1)()11x x x x f x x x x +-===-- ……5分(2) ln (1)0x x k x k +-+>恒成立,分离参数得(1ln )()1x x k f x x +<=- ……7分则1>x 时，()f x k >恒成立，只需min ()f x k >，22ln ()(1)x x f x x --'=-，记()2ln g x x x =--，1()10g x x'∴=->， ……9分()g x ∴在),1(+∞上递增，又(3)1ln30,(4)2ln 40g g =-<=->， ()g x ∴在),1(+∞上存在唯一的实根0x ， 且满足0(3,4)x ∈， ……11分∴当01x x <<时()0g x <，即()0f x '<；当0x x >时()0g x >，即()0f x '>,min 00()()(3,4)f x f x x ==∈,故正整数k 的最大值为3 ……14分20. （本小题满分14分）解:（1）21()12!(1)!n n x x f x x n -'=++++-显然,当0x >时,()0n f x '>,故()n f x 在(0,)+∞上递增. ……2分 又11(1)1102!!n f n =-++++≥ ，221111()()(1())1111112222()11()()1()01222!!222212n n n n n f n -=-++++<-++++=-+=-<- 故存在唯一的1[,1]2n x ∈，满足()0n n f x = ……4分（2）由（1）知()n f x 在(0,)+∞上递增 因为21111()12!!n n n n n n x x f x x n ++++=-++++所以21111111111()1()02!!(1)!(1)!n n n n n n n n n n n n x x x x f x x f x n n n ++++++++++=-+++++=+=++ ……6分 111()0()(1)!n n n n n n x f x f x n +++=-<=+，由（1）知()n f x 在(0,)+∞上递增故1n n x x +<，即数列{}n x 单调递减. ……9分 (3) 由（2）数列{}n x 单调递减，故0n n px x +-> 而2()102!!nn nn n n x x f x x n =-++++=21()102!!(1)!()!nn n pn pn pn pn pn p n p n p x x x x f x x n n n p +++++++++=-+++++++=++ ……11分两式相减：并结合0n p n x x +-<，以及1[,1]2n x ∈211111!!11!!(1)111111k k kn pnn p nn pn n p k k n k n pn pn p n pk n k n k n n pk n x x x x x k k x k k k k k k n n p n ++++==+++++=+=+=++=+--=+<≤<-⎡⎤=-=-<⎢⎥-+⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 所以有1||n n p x x n+-< ……14分。
珠海市2015届高三上学期期末考试数学理答案
2 x0 则 x1 + x 2 = k1 + k 2 - 2 x0 = 2 x0 (2x 0 - 4) - 2 x 0 = - 6 2 x0 - 1 x0 - 1 3 x 3 \x = - 2 0 = …………………………………………………11 分 1 x0 - 1 x0 x0
Q x0 -
1 在 x0 Î [2 ， 4] 上为增函数 x0
x1 + x2 2
即 ( x - x0 )[ x - ( k - x0 )] = 0 得 x = x0 （舍）或 x = k - x0
\ x1 + x2 = k1 + k2 - 2 x0 …………………………………………………………………8 分
= 1， 1+ k 2 2 2 2 两边平方得 ( x0 - 1) k 2 + 2 x0 (4 - x0 ) k + ( x0 - 4) 2 - 1 = 0LL “*” …………………9 分
三、解答题:
p p ì w × + j = ìw = 2 ï ï ï 12 2 16.解： （1）由题意可得 í ，即 í p ……………………………2 分 7 p 3 p j = ïw × ï +j = 3 î ï î 12 2 ìA + B = 4 ìA = 3 由题意可得 í ，即 í ……………………………………………4 分 î - A + B = -2 îB =1 p ∴ 函数 f ( x ) 的解析式为： f ( x ) = 3sin(2 x + ) + 1 ………………………………5 分 3 a p 17 a p p 17 p 4 （2）由 f ( - ) = 可得 3sin[2( - ) + ] + 1 = ，化简得 sin(a + ) = …7 分 2 12 5 2 12 3 5 6 5 p p p p Q f (a + ) = 3sin[2(a + ) + ] + 1 = 3sin(2a + p + ) + 1 2 2 3 3 p = -3sin(2a + ) + 1 ………………………………………………………9 分 3 p p = -6sin(a + ) × cos(a + ) + 1 ……………………………………10 分 6 6 p p 2p 7p p 3 又Q a Î ( , p ) ，\ a + Î ( , ) ，\ cos(a + ) = - …………………11 分 2 6 3 6 6 5 p p p 4 3 97 ………………12 分 f (a + ) = -6 sin(a + ) cos(a + ) + 1 = -6 ´ ´ ( - ) + 1 = 6 6 6 5 5 25
2015届广东珠海市一模数学理考试试题
珠海市2014-2015学年度第一学期期末学生学业质量监测高三理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.设集合{}lg(1)A x y x ==-，{}2,xB y y x R ==∈，则A B ⋃＝A ．∅B ．RC ．(1,)+∞D ．(0,)+∞ 2.若复数z 与23i +互为共轭复数，则复数z 的模||z ＝A．5 C ．7 D ． 13 3.下列函数为偶函数的是 A ． 21()f x x x=+B ．2()log f x x =C ．()44x x f x -=-D ．()22f x x x =-++4.若x y 、满足不等式组22010360x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的最小值是ABC ．45D ．1 5.执行如右图的程序框图，若输出的48S =，则输入k 的值可以为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 6. 二项式621(2)x x+的展开式中，常数项的值是 A ．240 B ．60 C ．192 D ．180 7.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的体积是 A ．23 B ．43C ．2D ．4（第5题图）俯视图侧(左)视图正(主)视图(第7题图)1228.已知集合123{|(,,),{0,1},1,2,3}i S P P x x x x i ==∈=对于123(,,)A a a a =，123(,,)B b b b S =∈，定义A 与B的差为112233(||,||,||)A B a b a b a b -=---，定义A 与B 之间的距离为31(,)||i i i d A B a b ==-∑.对于,,A B C S ∀∈,则下列结论中一定成立的是（ ）A. (,)(,)(,)d A C d B C d A B +=B. (,)(,)(,)d A C d B C d A B +>C. (,)(,)d A C B C d A B --=D. (,)(,)d A C B C d A B -->二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 9.不等式21x x -≥的解集为 ．10.三个学生、两位老师、三位家长站成一排，则老师站正中间的概率是 ． 11.已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且35a =，36S =，则7a = ．12.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f '-⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为 ．13.已知平面向量a b 、满足231a b +=，则a b ⋅的最大值为 ． 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1:2C ρ=与曲线2:4sin ()2C πρθθπ=<<交点的极坐标是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD 内接于圆O ，DE 与圆O 相切于点D ，AC BD F ⋂=，F 为AC 的中点，O BD ∈，CD =5BC =，则AE = ．（第15题图）三、解答题:本题共有6个小题，共80分．请写出解答的步骤与详细过程。
中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷word版含答案
D．无论 为何值,均有4个零点
9.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ADC＝90°,AD＝2,BC＝1,P是腰DC上的动点,
则 的最小值为 （）
A．4B．5C． D．2
10.
A． B． C． D．
二、填空题: 本大题共5小题, 每小题5分, 共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分
(1)当9天购买一次配料时, 求该食堂用于配料的保管费用 是多少元？
(2)设该食堂 天购买一次配料, 求该食堂在这 天中用于配料的总费用 （元）关于 的函数关系式, 并求该食堂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?
20.对于函数 , 如果存在实数 使得 , 那么称 为 的线性函数.
(1)下面给出两组函数, 是否分别为 的线性函数？并说明理由;
19.
已知武汉二中食堂需要定期购买食品配料, 该食堂每天需要食品配料200千克, 配料的价格为 元/千克, 每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用（若 天购买一次, 需要支付 天的保管费）. 其标准如下: 7天以内（含7天）, 无论重量多少, 均按10元/天支付; 超出7天以外的天数, 根据实际剩余配料的重量, 以每天0.03元/千克支付.
第一组: ;
第二组: ;
(2)设 , 线性函数 .若不等式
在 上有解, 求实数 的取值范围;
21.(1)有时一个式子可以分拆成两个式子, 求和时可以达到相消化简的目的, 如我们初中曾学
过: = =
请用上面的数学思维来证明如下:
11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2, 则这个圆心角所对的弧长是.
12.已知 ,则 =. (用t表示)
广东省六校联考
广东省2014届六校高三第二次联考历史试题六校分别为：广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中注意事项：1．本试题分选择题和非选择题两部分，满分为100分，考试用时90分钟。
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B铅笔把答题卡上对应考生号的标号涂黑；用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号及学校名称填写在答题卷的密封线内。
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷及答题卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
5．考生必须保持答题卡和答题卷的整洁，考试结束后，将答题卡和答题卷交回。
第一部分选择题（共48 分）一、选择题（每题2分，共48分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案涂在答题卡相应的位置）1．右侧漫画《围剿公田》反映了春秋战国时期井田制的瓦解。
“围剿公田”现象出现的根本原因是A．农民对井田制的破坏B．铁犁和牛耕的使用C．土地所有者间的矛盾斗争D．土地私有制的确立2．自秦汉至宋元，中国政治制度变革的总体趋势是A．地方政府的自主性逐渐被削弱B．国家行政权逐渐转移到君主手中C．宰相逐渐退出权力中心D．世卿世禄的贵族政治逐渐被打破3．“探寻中国经济政策演变之路”研究性学习小组在整理研究成果时，附了两幅描绘生产民俗的河北剪纸，借以说明中国古代的某种经济形态，同时他们还引用了与这一经济形态相对应的言论。
这些言论不应包括A．“事末利及怠而贫者，举以为收孥”B．“上农除末，黔首是富”C．“闭门而为生之具以足，但家无井盐耳”D．“通工商之业，便渔盐之利”4．顾炎武认为：“王(阳明)学流背离孔门为学宗旨，不习六艺，不综当代之务，而专心于内，已非儒学之正宗。
广东省2015届高三上学期8月第一次六校联考数学试题(文)
广东省2015届高三上学期8月第一次六校联考数学（文科）六校分别为：广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：椎体体积公式：13V S h =⋅底面积高 一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分． 1、集合{}22A x x =-≤≤，{}0,2,4B =，则A B ⋂=（ ）A 、{}0B 、{}02，C 、[]0,2D 、{}012，，2、已知复数z 的实部是1-，虚部是2，则z i ⋅（其中i 为虚数单位）在复平面对应的点在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、函数()()log 21xa f x =-（0a >且1a ≠）的定义域是（ ）A 、()0,+∞B 、(),0-∞C 、(),1-∞D 、()1,+∞4、圆22220x y x y +--=上的点到直线20x y ++=的距离最大为（ ）AB、C、D、2+5、“平面向量,a b 平行”是“平面向量,a b 满足a b a b ⋅=⋅”的（ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件6、 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A 、3B 、25 C 、12 D 、23第6题图 7、已知实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥++0005y y x y x ，则241z x y =++的最小值是（ ）A 、14-B 、1C 、5-D 、9-8、已知32a =，6b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A 、30B 、90C 、45D 、1359、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若359,25S S ==，则7S =（ ）A 、41B 、48C 、49D 、5610、定义在R 上的奇函数()f x 和定义在{}0x x ≠上的偶函数()g x 分别满足21(01)()1(1)x x f x x x⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩，()g x =2log (0)x x >，若存在实数a ，使得()()f a g b =成立，则实数b 的取值范围是( )A 、[]2,2-B 、11[2,][,2]22--⋃ C 、11[,0)(0,]22-⋃ D 、(][),22,-∞-⋃+∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． (一)必做题（11～13题）11、已知C ∆AB 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，135∠B =，C 4S ∆AB =，则b = ．12、阅读右面的程序框图.若使输出的结果不大于31，则输入的 整数i 的最大值为 ．13、若不等式141a x x+≥-对任意的()0,1x ∈恒成立，则a 的最 大值是 ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线sin ρθ=m 与圆4cos ρθ=相切于极轴上方， 则m = ． 15、（几何证明选讲选做题）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于B A ,的点，CD AB ⊥，垂足为D . 若2AD =，BC =O 的面积为 ．第15题图 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、122，且()02f =；求()2f C 的值．17、（本题满分12分）某体育杂志针对2014年巴西世界杯发起了一项调查活动，调查“各球队在世界杯的名次与该队历史上（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n 的值，并求从持其他两种态度的人中应抽取的人数；（2）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率.18、（本题满分14分）如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥ CD ,CD AB 21=,BC AB ⊥,平面ABCD ⊥平面BCE ,BCE ∆为等边三角形，F M ,分别是BC BE ,的中点，DC DN 41=；(1)证明：EF ⊥AD ；(2)证明：MN ∥ 平面ADE ；(3)若1,2AB BC ==,求几何体ABCDE 的体积.19、（本题满分14分）已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足：2141(*)n n a a n n N +=-∈，各项均为正数的等比数列{}n b 满足：123b b +=，34b =；（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足：nn na cb =，其前n 项和为n S ，证明16n S ≤<.20、（本题满分14分）已知抛物线C:22(0)x py p =>与直线1y x =-相切，且知点(0,1)F 和直线:1l y =-，若动点P 在抛物线C 上（除原点外），点P 处的切线记为m ，过点F 且与直线PF 垂直的直线记为n . (1)求抛物线C 的方程； （2）求证：直线,,l m n 相交于同一点. 21、（本题满分14分）已知函数()(2)x f x x e =-和3()2g x kx x =--（1）若函数()g x 在区间()1,2不单调，求k 的取值范围；（2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求k 的最大值.广东省2015届高三上学期8月第一次六校联考文科数学参考答案一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． (一)必做题（11～13题）11、 12、5 13、9 (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14、2 15、92π分 分分分………10分分17、解：（Ⅰ）由题意，得n30015010020045080045100800+++++=+100=∴n …………………………2分从持“无关系”态度的人中，应抽取100600302000⨯=人…………………………3分 从持“不知道”态度的人中，应抽取100500252000⨯=人…………………………4分（Ⅱ）设所选取的人中，有m 人在40岁以下，则5300200200m=+，解得m=2. ……6分就是40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作,3,2,1;2,1B B B A A 则从中任取2人的所有基本事件为),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(32312121322212312111B B B B B B A A B A B A B A B A B A B A共10个……………………9分其中至少有1人在40岁以下的基本事件为),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(21322212312111A A B A B A B A B A B A B A 共7个 …………………11分记事件“选取2人中至少一人在40岁以下”为A ,则7()10P A = 所以选取2人中至少一人在40岁以下的概率为710………………………12分 18、(1)证明：BCE ∆为等边三角形，F 是BC 的中点∴EF BC ⊥ ………………Z ………………………………………………1分 又因为平面ABCD ⊥平面BCE ，交线为BC ,EF ⊂平面BCE根据面面垂直的性质定理得 EF ⊥平面ABCD ; ………………………3分又AD ⊂平面ABCD∴ EF ⊥AD ………………………………………………………………4分(2)证明：取AE 中点G ，连接,MG DG,A G G E B M M E==∴GM ∥AB ,且12GM AB = ………………6分AB ∥CD AB CD 21,=,14DN DC = ∴DN ∥AB ,且12DN AB = ………………8分 ∴四边形DGMN 是平行四边形 ∴DG ∥ MN ………………9分 又DG ⊂平面ADE ，MN ⊄平面ADE ∴MN ∥ 平面ADE ………………10分(3)解：依题，直角梯形ABCD 中，AB ∥ 2,2,1,,===⊥BC CD AB BC AB CD 则直角梯形ABCD 的面积为11()(12)2322ABCD S AB CD BC =+⨯=+⨯=梯形 ……12分 由（1）可知EF ⊥平面ABCD ，EF 是四棱锥E ABCD -的高在等边BCE ∆中，由边长2BC =,得02sin60EF =⨯ ………13分 故几何体ABCDE 的体积为11333E ABCD ABCD V S EF -=⋅⋅=⨯梯形 ………14分19、解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有110,0,0,0a b d q >>>>121123111211231()3()(2)1534a a a a d a a a d a d b b b b q b b q =+=⎧⎪=++=⎪⎨+=+=⎪⎪==⎩解得111,1a b ==,2d =，2q =．…………………………4分所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q--==．…………………………6分（2）1212n n n n a n c b --==．…………………………7分 122135232112222n n n n n S ----=+++++，①3252321223222n n n n n S ----=+++++，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-6<…………………………11分又因为112102n n n n n S S c ----==>，所以1n n S S ->，所以11n S S ≥=…………………13分综上 16n S ≤< 得证. …………………14分20、（1）解：联立221x pyy x ⎧=⎨=-⎩消去y 得 2220x p x p -+=因为抛物线C 与直线1y x =-相切，所以2480p p ∆=-= ………3分 解得0p =（舍）或2p = ………4分所以抛物线的方程为24x y = …………………5分（2）证明：由24x y =得214y x =，求导有12y x '= ………………6分 设00(,)P x y ，依题其中00x ≠，则P 处的切线方程为：0001()2y y x x x -=-20014y x = ∴切线方程:m 2001124y x x x =- …………………8分与直线:1l y =-联立得：20042x x x -=，即直线,l m 相交于2004(,1)2x x -- …………9分直线PF 的斜率为20000144y x k x x --==因为n 与直线PF 垂直，所以020414n x k k x =-=-- …………………11分因为n 过点F ，所以n 的方程为020414xy x x =-+- …………………12分与直线:1l y =-联立得：20042x x x -=，即直线,l n 也相交于2004(,1)2x x -- ………13分故直线,,l m n 相交于于同一点. ………………14分21、解：（1）2()31g x kx '=- …………………1分①当0k ≤时，2()310g x kx '=-≤，所以()g x 在()1,2单调递减，不满足题意；………2分②当0k >时，()g x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，因为函数()g x 在区间()1,2不单调，所以12<，解得11123k << ………4分综上k 的取值范围是11123k <<. …………………5分 （2）令3()()()(2)2x h x f x g x x e kx x =-=--++依题可知3()(2)20x h x x e kx x =--++≥在[)0,+∞上恒成立 …………………6分2()(1)31x h x x e kx '=--+，令()x ϕ=2()(1)31x h x x e kx '=--+，有(0)(0)0h ϕ'==且()(6)x x x e k ϕ'=- …………………7分 ①当61,k ≤即16k ≤时， 因为0,1x x e ≥≥，所以()(6)0x x x e k ϕ'=-≥所以函数()x ϕ即()h x '在[)0,+∞上单调递增，又由(0)(0)0h ϕ'== 故当[)0,x ∈+∞时，()(0)0h x h ''≥=，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增又因为(0)0h =，所以()0h x ≥在[)0,+∞上恒成立，满足题意；…………………10分 ②当61,k >即16k >时， 当()0,ln(6)x k ∈，()(6)0x x x e k ϕ'=-<，函数()x ϕ即()h x '单调递减， 又由(0)(0)0h ϕ'==，所以当()0,ln(6)x k ∈，()(0)0h x h ''<=所以()h x 在()0,ln(6)k 上单调递减，又因为(0)0h =，所以()0,ln(6)x k ∈时()0h x <， 这与题意()0h x ≥在[)0,+∞上恒成立相矛盾，故舍. …………………13分 综上16k ≤，即k 的最大值是16. …………………14分。
广东省珠海市2014-2015学年度第一学期期末学生学业质量监测高三文科数学试题
广东省珠海市2014-2015学年度第一学期期末学生学业质量监测高三文科数学试题一、选择题：1.设集合{}lg(1)A x y x ==-，{}2,xB y y x R ==∈，则A B ⋃＝A ．∅B ．RC ．(1,)+∞D ．(0,)+∞ 2、已知复数z 满足（3＋i ）z ＝i ，则z ＝A 、131010i + B 、－131010i + C 、1388i -+ D 、1388i -- 4、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1,0），离心率等于12，则C 的方程是A 、22134x y += B 、214x = C 、22142x y += D 、22143x y +=4.下列函数为偶函数的是A ． 21()f x x x=+B ．2()log f x x =C ．()44x x f x -=-D ．()22f x x x =-++ 5、某几何体的三视图如图所示，则其体积为 A 、23π B 、3π C 、π D 、6π6、函数cos(2)4y x π=+的图象可由函数cos 2y x =的图象A 、向左平移8π个单位长度而得到 B 、向右平移8π个单位长度而得到C 、向左平移4π个单位长度而得到D 、向右平移4π个单位长度而得到7、设n S 为等比数列{n a }的前n 项和，2527a a +＝0，则42S S ＝ A 、10 B 、－5 C 、9 D 、－88.执行如右图的程序框图，若输出的48S =，则输入k 的值可以为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．109、若变量x ，y 满足约束条件2400x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，从可行域里任意取一点（x ，y ）则2x －y ＞0的概率为A 、23 B 、12 C 、13 D 、1410.已知集合12{|(,),{0,1},1,2}i S P P x x x i ==∈=对于12(,)A a a =，12(,)B b b S =∈，定义A 与B 的差为1122(||,||)A B a b a b -=--，定义A 与B 之间的距离为1122(,)||||d A B a b a b =-+-.对于,,A B C S ∀∈,则下列结论中一定成立的是（ ）A. (,)(,)(,)d A C d B C d A B +=B. (,)(,)(,)d A C d B C d A B +>C. (,)(,)d A C B C d A B --=D. (,)(,)d A C B C d A B -->二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.11．函数()ln x f x e x =⋅在点()1,0处的切线方程为 . 12．已知正ABC ∆的边长为3，点F 是边AB 上一点，且13BF BA =，则CF CA ⋅＝ . 13．已知下列四个等式1234212213342135456213575678⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯依此类推，猜想第n 个等式为 .14．在极坐标系中，曲线2sin ρθ=与sin cos 2ρθρθ-=相交于点A 、B 两点，则AB =______. 15．如图，已知Rt ABC ∆的两条直角边AC BC ，的长分别为6cm ，8cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D 则BD = cm .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题12分）设向量()sin ,cos 2a x x =，1(3cos ,)2b x = ，函数()f x a b =⋅ （1）求函数()f x 的最小正周期。
广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考理科数学试卷(解析版)
广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考理科数学试卷（解析版）一、选择题1）A【答案】D【解析】{}B==1,2{0,2}{0,1考点：集合的运算，学生对基本概念的理解，及学生的基本运算能力．2”的否定是（）AC D【答案】C【解析】是特称命题，则它的否定是全称命题，即考点：常用逻辑用语，学生的逻辑推理能力.3）A【答案】C【解析】数，在区间(0,+ ∞)间(0,+ ∞)上单调递减，综上所述，答案选C．考点：函数的单调性与函数的奇偶性，学生的逻辑推理能力及对基本函数图像的掌握.4秒末的瞬时速度是（）A/秒 B/秒 C/秒 D/秒【答案】C【解析】C．考点：求导法则及导数意义，学生的基本运算能力．5）A【答案】B【解析】内，故选B，解题的关键是理解并掌握零点的判定定理以及用它判断零点的步骤．考点：本题函数零点的判定定理，学生对基本概念的理解，及学生的基本运算能力．6．）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：当但当不必要条件．充要条件的判断，实际上是判断有关命题的真假．考点：充要条件的判断，学生的逻辑推理能力.7（）A B C D【答案】D【解析】是一种简单有效的方法，属于中档题．考点：本题指数函数的图象和性质，学生数形结合的能力．81每走一条棱称为“走完一段”..设黑白二蚁走完第2014段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 ( )A．【答案】B【解析】试题分析：根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6质是到达哪个点，即可计算出它们的距离，由题意，白蚂蚁爬行路线为6段后又回到起点，可以看作以6为周期，同理，B．考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．学生数形结合的能力．二、填空题9____________.【解析】考点：本题函数的定义域，学生的基本运算能力．10【解析】试题分析：考点：本题反函数的定义，学生的基本运算能力．11____________.【解析】考点：本题分段函数求值，学生的基本运算能力． 12的图象，则其解析式是_________.【解析】考点：本题由三角函数的图象求解析式，学生数形结合的能力．13____________.【答案】1【解析】试题分析：由曲线与直线、直线所围成的图形的面积为考点：本题定积分的应用，学生的基本运算能力．14____________.【解析】试题分析：函的定义域为则满足14(a b =-⎪⎩ ，即考点：函数的定义域恒成立问题，学生的基本运算能力与逻辑推理能力．三、解答题15【答案】【解析】（Ⅱ）求的值，需将其展开，展开后得到)问题转化为值，而已知若解决问题． 试题解析：（Ⅰ）)s i n ()= ，2sin()π=（Ⅱ），，θθ=-，cos，考点：本题三角函数求值，三角恒等变化，学生的基本运算能力．16.【答案】（Ⅰ单调递增区间单调递减区间为（Ⅱ），【解析】试题分析：数法，本题由于是三次函数，可用导数法求单调区间，的导函数的符号，（Ⅱ）此题属于函数在闭区间上的最值问题，解此类题，只需求出极值，与端点处的函数值，比较谁大，就取谁，本题比较简单，属于送分题．试题解析：x随着的变化情况如下表：0—0单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增由上表可单调递增区间单调递减区间为上单调递减，上单调递增，，，区间[]2,2-上的最大值为考点：本题函数与导数，导数与函数的单调性、导数与函数的极值及最值，学生的基本推理能力，学生的基本运算能力以及转化与化归的能力.17【答案】（Ⅰ）【解析】试题分析：，求出周期与最小值，本题利用两角和求出；（Ⅱ）在中，分别是角的对边，为锐角，若，ABC的面积为可，一般不难．试题解析：（Ⅰ），所以函最小正周期，因，所以（Ⅱ），化简得：解得，又，由余弦定理：考点：本题两角和正弦公式，正弦函数的周期性与最值，根据三角函数的值求角，解三角形，学生的基本运算能力．18（Ⅰ）若函数,（Ⅱ）若函数（Ⅲ）讨论函数.；（Ⅲ）（1（2，（3（4【解析】试题分析：（Ⅰ）若函数,,的值，此类题主要运用导数的几何意义解，一般不难；（Ⅱ）若函数恒大于零，这样转化为恒成立问题，解这类为题，只需分离参数，把含有参数放到不等式一边，不含参数放到不等式的另一边，转化为求不含参数一边的最大值或最小值即可，此题分的最大值即可；（Ⅲ）讨论函数性．试题解析：（Ⅰ）因为（Ⅱ）函数=-+(2)a x x，，令1（2时，，（3）（4考点：函数与导数，导数与函数的单调性、导数的几何意义，学生的基本推理能力，及基本运算能力以及转化与化归的能力.19（Ⅰ）设（Ⅱ）若当.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）正整数【解析】试题分析：（Ⅰ）设；（Ⅱ）当需分离参数，把含有参数放到不等式一边，不含参数放到不等式的另一边，转化为求不含参数一边的最大值或最小值即可，试题解析：（Ⅰ）因为的极值点,, 即,于是,故；（Ⅱ）,成立，只，在上递增，又且满足即考点：本题函数与导数，导数与函数的单调性、导数与函数的极值，根的存在性定理，学生的基本推理能力，及基本运算能力以及转化与化归的能力.20,(!n+（Ⅰ）证明对每一个（Ⅱ）由（Ⅰ）中的（Ⅲ）对任意满足（Ⅰ），试比较.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）数列．【解析】试题分析：（Ⅰ）证明对每一个函数值异号，本题是高次函数，可用导数法判断单调性，而判断2!n+的符号是，可用放缩法；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的}的单调性，由（Ⅰ）知的大小，由（Ⅰ）知，故，而101)!nn+++，从而得到的单调性；（Ⅲ）对任意满足（Ⅰ），试比较（Ⅱ）知数列的大小，由（Ⅰ）知体现学科知识交汇点的灵活运用，的确是一个好题，起到把关题的作用．(1)!n+-，显然,在上递增，又!n+，22()()!222n++++；（Ⅱ）因为1!nn++，所以11)0(1)nxn+++，，由（Ⅰ）知（Ⅲ）由（Ⅱ）数列单调递减，故，而nn+，2!(1)!()!xn n n p++++=++，两式相减：并结合，以及,1]，．考点：函数与导数，导数与函数的单调性、根的存在性定理，数列的单调性，不等式中的放缩法的运用，学生的基本推理能力，及基本运算能力以及转化与化归的能力.。
2014-2015学年广东省珠海一中等六校高三(上)第一次联考数学试卷(理科)
2014-2015学年广东省珠海一中等六校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.设集合M={x|x2-3x-4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A.（0，4]B.[0，4）C.[-1，0）D.（-1，0]【答案】B【解析】解：由x2-3x-4＜0，得-1＜x＜4．∴M={x|x2-3x-4＜0}={x|-1＜x＜4}，又N={x|0≤x≤5}，∴M∩N={x|-1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）．故选：B．求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2.设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（）A.-2B.-2iC.2D.2i【答案】C【解析】解：∵z=1+i，∴，∴+i•==．故选：C．把z及代入+i•，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.已知实数x，y满足，则目标函数z=x-y的最小值为（）A.-2B.5C.6D.7【答案】A【解析】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由得A（3，5），当直线z=x-y平移到点A时，直线z=x-y在y轴上的截距最大，即z取最小值，即当x=3，y=5时，z=x-y取最小值为-2．故选A．先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x-y，不难求出目标函数z=x-y的最小值．本题主要考查线性规划的基本知识，用图解法解决线性规划问题时，利用线性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义．4.若双曲线x2+ky2=1的离心率是2，则实数k的值是（）A.-3B.C.3D.【答案】B【解析】解：依题意可知a=1，b=∴c=∴==2，求得k=-±故选B先根据双曲线方程可知a和b，进而求得c的表达式，利用离心率为2求得k的值．本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生的基础知识的积累．5.平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则•等于（）A.6B.8C.-8D.-6【答案】B【解析】解：∵由向量加法的平行四边形法则可以知道，，∵=（2，4），=（1，3），∴=（-1，-1）∵=（-3，-5）∴•=（-1）×（-3）+（-1）×（-5）=8故选B．根据所给的向量的坐标和向量加法的平行四边形法则，写出要用的向量的坐标，根据两个向量数量积的坐标公式写出向量的数量积．本题考查向量的数量积和向量的加减，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．估计所获利润为（）A.95.25万元 B.96.5万元 C.97万元 D.97.25万元【答案】A【解析】解：由题意，=（9.5+9.3+9.1+8.9+9.7）=9.3，=（92+89+89+87+93）=90，将（9.3，90）代入y=7.5x+a，可得a=20.25，∴x=10时，y=75+20.25=95.25．故选：A．首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a的值，写出线性回归方程．当自变量取10时，把10代入线性回归方程，求出所获利润．本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查预报y的值，是一个综合题目．7.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF的动点，FM=x，过点M、直线AB的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V（x），则函数V（x）的大致图象是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】解：如图：（1）当＜＜时，过点M、直线AB作平面交CC1，DD1于点P、Q，则四边形ABPQ为矩形，此时，截面下面那部分是三棱矩ADQ-BCP，∵FM=CM1=x，如图：B1C=，△BB1M1∽△PM1C，由相似比得，，，∴CP=，∴三棱矩ADQ-BCP的体积V（x）=S△BCP•AB==；（2）当＜＜时，过点M、直线AB作平面交B1C1，A1D1于点P、Q，则四边形ABPQ为矩形，此时，截面下面那部分是四棱矩ADQA1-BCPB1，∵FM=x，由相似比知C1P=，∴四棱矩ADQA1-BCPB1的体积V（x）==．＜．∴V（X）=＜＜由解析式，知V（x）的图象为C．故选：C．本题关键是理解，体积V（x）的变化是随变x的变化而怎样变化的，可以找列出V关于x的关系式，利用相似比就可以找到它们的关系，从而得到答案，当然此题也可以从体积的变化快慢来理解得到答案．本题考查空间相象能力，函数思想，关键是要求理解变量与变量之间的关系．属于较难题．8.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sin x时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B；④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞-2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B；⑤若函数f（x）=ln（x2+a）∈A，则a＞0．其中的真命题有（）A.①③④⑤B.②③④⑤C.①③⑤D.①③④【答案】D【解析】解：对于①，若f（x）∈A，则f（x）的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f（a）=b，故①正确；对于②，取函数f（x）=x（-1＜x＜1），其值域为（-1，1），于是，存在M=1，使得f （x）的值域包含于[-M，M]=[-1，1]，但此时f（x）没有最大值和最小值，故②错误；对于③，当f（x）∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f（a）=b，∴当g（x）∈B时，对于函数f（x）+g（x），如果存在一个正数M，使得f（x）+g（x）的值域包含于[-M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f（a0）=b-g（a0），即f（a0）+g（a0）=b0∉[-M，M]，故③正确；对于④，f（x）=aln（x+2）+（x＞-2），当a＞0或a＜0时，函数f（x）都没有最大值．要使得函数f（x）有最大值，只有a=0，此时f（x）=（x＞-2），易知f（x）∈[-，]，∴存在正数M=，使得f（x）∈[-M，M]，故④正确；对于⑤，若f（x）∈A值域是R，则x2+a的值要取遍所有的正实数，从而a≤0，故⑤错误．∴正确的命题是①③④．故选：D．由函数的定义判断①；举具体函数f（x）=x（-1＜x＜1）说明②错误；由函数的定义结合①判断③；由f（x）=aln（x+2）+（x＞-2），知当a＞0或a＜0时，函数f（x）都没有最大值．当a=0时可得命题正确；由对数函数定义域和值域间的关系判断⑤．本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，训练了特值法思想在解题中的应用，关键是对题意的理解，是中档题．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)9.若不等式|x+1|-|x-4|≥a+，对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（-∞，-4]∪[-1，0）【解析】解：令y=|x+1|-|x-4|，则由||x+1|-|x-4||≤|（x+1）-（x-4）|=5，即有-5≤y≤5，当x=-1时，取得最小值-5．由题意得，-5≥a+，即有＞或＜，解得a∈∅或a≤-4或-1≤a＜0．则实数a的取值范围是（-∞，-4]∪[-1，0）．故答案为：（-∞，-4]∪[-1，0）．令y=|x+1|-|x-4|，则由||x+1|-|x-4||≤|（x+1）-（x-4）|=5，求得y的最小值，再由题意得-5≥a+，解出不等式即可．本题考查不等式恒成立问题，注意转化为求最值，考查不等式的解法，属于中档题和易错题．10.已知函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行，则实数a的值为______ ．【答案】1【解析】解：由f（x）=ln（1+x）-ax，得，则．∵函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行，∴，即a=1．故答案为：1．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，由导数值等于-求得实数a的值．本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值．是中档题．11.已知数组（a1，a2，a3，a4，a5）是1，2，3，4，5五个数的一个排列，如数组（1，4，3，5，2）是符合题意的一个排列．规定每一个排列只对应一个数组，且在每个数组中有且仅有一个使a i=i（i=1，2，3，4，5），则所有不同的数组中的各数字之和为______ ．【答案】675【解析】解：根据题意，每一个排列只对应一个数组，且在每个数组中有且仅有一个使a i=i，则a i=i，即该数字的大小与位置相同的情况有5种，剩余的4个数字的大小与位置均不相同，假设a1=1，即1在第一个位置，则2、3、4、5四个数字分别放在第2、3、4、5的位置，数字2有3种放法，若放在位置3，则数字3有3种放法，数字4、5只有1种放法，即a1=1时，有3×3=9个满足题意的数组，则满足题意的数组共有5×9=45个，每个数组里，各数字之和为1+2+3+4+5=15，则所有不同的数组中的各数字之和为45×15=675；故答案为675．根据题意，分析可得满足a i=i，即该数字的大小与位置相同的情况有5种，再举例a1=1，由分步计数原理计算可得a1=1时，满足题意的数组的个数，由满足a i=i的情况数目，计算可得满足题意的数组的个数，又由每个数组里，各数字之和为1+2+3+4+5=15，将其相乘，即可得答案．本题考查排列、组合的应用，难点在于理解“每个数组中有且仅有一个使a i=i”的含义，分析得到满足题意的数组的个数．12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且=-若b=，a+c=4，则a的值为______ ．【答案】1或3【解析】解：=-，即有-2acos B=bcos C+ccos B，即-2sin A cos B=sin B cos C+cos C sin B=sin（B+C）=sin A，即有cos B=-，由于B为三角形的内角，则B=，又b2=a2+c2-2accos B，即有13=a2+c2+ac，又a+c=4，解得，a=1，c=3或a=3，c=1．故答案为：1或3．运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，求出角B，再由余弦定理，结合条件，解方程，即可得到a．本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式及应用，考查运算能力，属于中档题．13.等比数列{a n}的首项a1=-1，前n项和为S n，若，则公比q等于______ ．【答案】【解析】解：∵{a n}是等比数列，由数列前n项和的定义及等比数列通项公式得S10=（a1+a2+ (5)+（a6+a7+…+a10）=S5+q5（a1+a2+…a5）=（1+q5）S5∴=1+q5=，q5=，q=，故答案为：．利用数列前n项和的定义及等比数列通项公式得出=1+q5=，解出q即可．本题主要考查等比数列前n项和的计算、通项公式．利用数列前n项定义，避免了在转化时对公比q是否为1的讨论．14.已知曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ，直线的极坐标方程为：2ρcosθ=．则它们相交所得弦长等于______ ．【答案】3【解析】解：曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ，即ρ2=2cosθ，化为直角坐标方程为+y2=3，表示以C（，0）为圆心，半径等于的圆．直线的极坐标方程为：2ρcosθ=，即x=，故弦心距为d=，故弦长为2=2=3，故答案为：3．把极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心和半径，再求得弦心距，利用弦长公式求得弦长．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式和弦长公式的应用，属于基础题．15.已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为______ ．【答案】【解析】解：∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2∴BC=2=2又∵AB=3，∴AC=5又∵AD为圆O的切线ABC为圆O的割线由切割线定理得：AD2=AB•AC=3×5=15∴AD=由已知中圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2，由半径长、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出BC的长，进而求出AC长，由切割线定理，得到切线AD的长．本题考查的知识点是弦长公式，切割线定理，其中根据半径长、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理，求出BC的长，是解答本题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.已知函数f（x）=cosx•sin（x+）-cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[-，]上的最大值和最小值．【答案】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinx cosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[-，]得，2x∈[-，]，则∈[，]，∴当=-时，即=-1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．【解析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．17.广东某六所名校联盟办学，他们不但注重学生的学习成绩的提高，更重视学生的综合素质的提高；六校从各校中抽出部分学生组成甲、乙、丙、丁4个小组进行综合素质过关测试，设4个小组中：甲、乙、丙、丁组在测试中能够过关的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各组是否过关是相互独立的．（1）求测试中至少3个小组过关的概率；（2）X表示测试中能够过关的组数，求X的数学期望．【答案】解：（1）测试中至少3个小组过关的概率为P=0.6×0.52×（1-0.4）+2×0.6×0.52×0.4+（1-0.6）×0.52×0.4+0.6×0.52×0.4=0.09+0.12+0.04+0.06=0.31；（2）∵X的可能取值为0，1，2，3，4；∴P（X=0）=（1-0.6）×0.52×（1-0.4）=0.06，P（X=1）=0.6×0.52×（1-0.4）+2×（1-0.6）×0.52×（1-0.4）+（1-0.6）×0.52×0.4=0.25，P（X=4）=0.6×0.52×0.4=0.06；由（1）知，P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）=0.31，∴P（X=3）=0.31-0.06=0.25，∴P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）-P（X=4）=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38，∴EX=0×P（X=0）+1×P（X=1）+2×P（X=2）+3×P（X=3）+4×P（X=4）=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2．【解析】（1）根据相互对立事件的概率的乘法公式求出测试中至少3个小组过关的概率P；（2）求出X的可能取值，从而求出X的分布列与数学期望．本题考查了相互对立事件的概率乘法公式的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是中档题目．18.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M为PB的中点，N在BC上，且BN=BC．（1）求证：MN⊥AB；（2）求平面MAN与平面PAN的夹角的余弦值．【答案】（1）证明：设AB=AC=AP=1，又∠BAC=120°，∴在△ABC中，BC2=1+1-2×1×1×cos120°=3，∴BC=，∴BN=，∴，又∠ABC=∠NBA，∴△NBA∽△ABC，且△NBA也为等腰三角形．取AB中点Q，连接MQ、NQ，∴NQ⊥AB，MQ∥PAQ，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，∴MQ⊥AB，∴AB⊥平面MNQ，又MN⊂平面MNQ，∴AB⊥MN；（2）解：过B作BD∥AC，交AN延长线于D，连PD，分别取PD、AD中点E、F，连ME，EF，MF，由CA⊥面PAD，BD∥AC∥ME，PA⊥AN，EF∥PA，则ME⊥面PAD，EF⊥AN，且MF⊥AN，∴∠EFM是所求两面角的平面角．BD=AC=，ME=BD=，EF=PA=，MF=，∴cos∠EFM=．【解析】（1）由已知条件推导出△NBA∽△ABC，取AB中点Q，连接MQ、NQ，推导出AB⊥平面MNQ，由此能证明AB⊥MN；（2）过B作BD∥AC，交AN延长线于D，连PD，分别取PD、AD中点E、F，连ME，EF，MF，可得∠EFM是所求两面角的平面角，即可求平面MAN与平面PAN的夹角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.已知数列{a n}中，a1=3，前n项的和是S n满足：∀n∈N*都有：S n=（n++b n）3-1，其中数列{b n}是公差为1的等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求T n=c1+c2+…+c n．【答案】解：（Ⅰ）由已知条件知：，∴解得；∵数列{b n}是公差为1的等差数列，∴，∴；∴当n＞1时，=4（3n2-3n+1）；n=1带入上式得a1=4不满足已知a1=3；∴＞；（Ⅱ）n=1时，，n＞1时，=，∴T n=c1+c2+…+c n=；n=1带入上式T1=-12，即n=1符合T n；∴．【解析】（Ⅰ）根据已知条件及a1=S1即可求出b1=，所以，代入已＞；（Ⅱ）根据已知的c n可先求出c1=-12，然后求出n＞1时的，所以求出，并且验证n=1是否符合即可得出T n．考查数列的前n项和与通项a n的关系，等差数列的通项公式，通过让前后项相互抵消的方法求数列前n项和．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（-4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，连结AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，试探究直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．【答案】解：（1）由题意：（2分）（4分）故椭圆C的方程为（5分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），若直线PQ与纵轴垂直，则M，N中有一点与A重合，与题意不符，故可设直线PQ：x=my+3．（6分）将其与椭圆方程联立，消去x得：（3m2+4）y2+18my-21=0（7分），（8分）由A，P，M三点共线可知，，，（9分）同理可得（10分）（11分）而（12分）所以故直线MR、NR的斜率之积为定值．（14分）（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆C的方程．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线PQ：x=my+3，与椭圆方程联立，得（3m2+4）y2+18my-21=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线MR、NR的斜率为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．21.定义在R上的函数g（x）及二次函数h（x）满足：，且h（-3）=-2．（Ⅰ）求g（x）和h（x）的解析式；（Ⅱ）对于x1，x2∈[-1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）-x2g（x2）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设，＞，，讨论方程f[f（x）]=2的解的个数情况．【答案】解：（Ⅰ）∵，①，在①中以-x代替x得：，即，②由①②联立解得：g（x）=e x-3．∵h（x）是二次函数，且h（-2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，由h（-3）=-2，解得a=-1．∴h（x）=-x（x+2）+1=-x2-2x+1，∴g（x）=e x-3，h（x）=-x2-2x+1．（Ⅱ）设ϕ（x）=h（x）+ax+5=-x2+（a-2）x+6，F（x）=e x-3-x（e x-3）=（1-x）e x+3x-3，依题意知：当-1≤x≤1时，ϕ（x）min≥F（x）max，∵F （x）=-e x+（1-x）（e x-3）+3=-xe x+3，在[-1，1]上单调递减，∴F （x）min=F （1）=3-e＞0，∴F（x）在[-1，1]上单调递增，∴F（x）max=F（1）=0，∴，解得：-3≤a≤7，∴实数a的取值范围为[-3，7]．（Ⅲ）当f（x）＞0时，有e f（x）-3=2，则f（x）=ln5，当f（x）≤0时，有=-f（x）2-2f（x）+1=2，则f（x）=-1，即若f[f（x）]=2，则有f（x）=-1或f（x）=ln5，则f[f（x）]=2共有5个解．【解析】（1）求抽象函数g（x）的解析式，运用了方程的思想；而h（x）是具体函数，可以直接设出来，用待定系数法求之．（2）ϕ（x）≥F（x）恒成立，即：ϕ（x）min≥F（x）max，利用导数分别求出ϕ（x）和F（x）的最小值和最大值．（3）利用数形结合，对参数进行讨论求出方程的根的个数．本题考查了：求函数解析式的方法，运用方程思想求抽象函数解析式，用待定系数法求具体函数解析式；利用最值解决恒成立问题；利用数结合法解决方程根的个数问题．这些问题都是我们经常遇到的，所以在平时应多多注意．这是一道综合性很强的导数试题．难度较大．。
【Word版解析】广东省广州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
广东省广州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2，3} B．{2} C．{1，3，4} D．{4}2．（5分）与直线3x+4y+2=0平行的直线方程是（）A．3x+4y﹣6=0 B．6x+8y+4=0 C．4x﹣3y+5=0 D．4x﹣3y﹣5=03．（5分）函数y=的定义域是（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞3} C．{x|x≥0} D．{x|x≥3}4．（5分）设点B是点A（2，﹣3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）A．10 B．C．D．385．（5分）函数的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（）A．8πB．6πC．2+D．4+7．（5分）圆（x+1）2+（y﹣2）2=1与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．外切C．相离D．内切8．（5分）函数g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]上的最小值为（）A．5B．9C．21 D．69．（5分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x﹣y+4=0 D．x+y﹣4=010．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题正确的是（）①l⊥m⇒a∥β②l∥m⇒α⊥β③α⊥β⇒l∥m④α∥β⇒l⊥m．A．①②B．③④C．②④D．①③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5分）计算：lg50﹣lg5=．12．（5分）已知点A（5，2），B（4，1），则直线AB的倾斜角是．13．（5分）球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于．14．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f（）=0，则满足f（x+1）＜0的x的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）已知函数f（x）=a x+，且f（1）=．（1）求a的值；（2）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）令函数g（x）=f（x）﹣5，且g（a）=8，求g（﹣a）的值．16．（12分）已知在平面直角坐标系xoy中，直线AB的方程为3x﹣2y+6=0，直线AC的方程为2x+3y﹣22=0，直线BC的方程为3x+4y﹣m=0．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）当△ABC的BC边上的高为1时，求m的值．17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．18．（14分）某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示：月份用气量（立方米）支付费用（元）一 4 8二20 38三26 50该市的家用天然气收费方法是：天然气费=基本费+超额费+保险费．现已知，在每月用气量不超过a立方米时，只交基本费6元；用气量超过a立方米时，超过部分每立方米付b元；每户的保险费是每月c元（c≤5）．设该家庭每月用气量为x立方米时，所支付的天然气费用为y 元．求y关于x的函数解析式．19．（14分）已知圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴的下方，x轴被圆C截得的弦长BD为2．（1）求圆C的方程；（2）若圆E与圆C关于直线2x﹣4y+5=0对称，P（x，y）为圆E上的动点，求的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+mx（m＞0），其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）若函数f（x）的图象经过点（，0），求m的值；（2）试判断函数f（x）的单调性，并予以说明；（3）试确定函数f（x）的零点个数．广东省广州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2，3} B．{2} C．{1，3，4} D．{4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由已知中U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，进而结合集合交集，并集，补集的定义，代入运算后，可得答案．解答：解：∵M={1，2}，N={2，3}，∴M∩N={2}，又∵U={1，2，3，4}，∴∁U（M∩N）={1，3，4}，故选：C点评：本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）与直线3x+4y+2=0平行的直线方程是（）A．3x+4y﹣6=0 B．6x+8y+4=0 C．4x﹣3y+5=0 D．4x﹣3y﹣5=0考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：求出已知直线的斜率和直线在y轴上的截距，然后分别求得四个选项的斜率与截距得答案．解答：解：由直线3x+4y+2=0，得，则直线的斜率为﹣，且直线在y轴上的截距为．直线3x+4y﹣6=0的斜率为，直线在y轴上的截距为，∴3x+4y﹣6=0与3x+4y+2=0平行；直线6x+8y+4=0的斜率为，直线在y轴上的截距为，∴6x+8y+4=0与3x+4y+2=0重合；直线4x﹣3y+5=0、4x﹣3y﹣5=0的斜率均为，与直线3x+4y+2=0垂直．故选：A．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线平行间的关系，是基础的会考题型．3．（5分）函数y=的定义域是（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞3} C．{x|x≥0} D．{x|x≥3}考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：要使函数有意义，只要使得根式有意义即可，解答：解：要使函数有意义，x应满足：x﹣3≥0，即x≥3，故函数y=的定义域是{x|x≥3}故选：D．点评：本题主要考查函数定义域的求法，解题的关键：使函数解析式有意义的自变量的范围．4．（5分）设点B是点A（2，﹣3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）A．10 B．C．D．38考点：空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．专题：计算题．分析：点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，写出点B的坐标，根据这条线段与z轴平行，得到A、B两点距离．解答：解：点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，∴B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，∴B（2，﹣3，﹣5）∴AB的长度是5﹣（﹣5）=10，故选A．点评：本题看出空间中点的坐标和两点之间的距离，本题解题的关键是根据关于坐标平面对称的点的特点，写出坐标，本题是一个基础题．5．（5分）函数的图象可能是（）A．B． C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的是R上的减函数，且图象经过定点（0，），结合所给的选项，可得结论．解答：解：由于函数的是R上的减函数，且图象经过定点（0，），结合所给的选项，只有D满足条件，故选：D．点评：本题主要考查利用函数的单调性、以及图象经过定点，判断函数的图象特征，属于基础题．6．（5分）如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（）A．8πB．6πC．2+D．4+考点：组合几何体的面积、体积问题．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图的侧视图的边长得出面积，运用矩形，三角形求解即可．解答：解：∵r=1，l=2，∴圆锥的高为，∴组合体的侧视图的面积为2×2+=4+，故选：D点评：本题考查了空间几何体的体积面积的计算，三视图，属于容易题．7．（5分）圆（x+1）2+（y﹣2）2=1与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．外切C．相离D．内切考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心，根据圆与圆的位置关系的判断即可得到结论．解答：解：（x+1）2+（y﹣2）2=1的圆心A（﹣1，2），半径R=1，x2+y2=9的圆心O（0，0），半径r=3，则|AB|=，∵3﹣1＜|AB|＜3+1，∴圆（x+1）2+（y﹣2）2=1与圆x2+y2=9的位置关系是相交，故选：A．点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，求出两圆的圆心和半径是解决本题的关键．8．（5分）函数g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]上的最小值为（）A．5B．9C．21 D．6考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的性质判断：函数g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]单调递减，求解即可．解答：解：∵函数g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]，∴对称轴为x=2，∴函数g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]单调递减，∵最小值为g（0）=9，故选：B点评：本题考查了二次函数的性质，闭区间上的最值，属于容易题，难度不大．9．（5分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x﹣y+4=0 D．x+y﹣4=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆相切得到切线斜率即可得到结论．解答：解：∵直线和圆相切于点P（1，），∴OP的斜率k=，则切线斜率k=，故切线方程为y﹣=（x﹣1），即x+y﹣4=0，故选：D点评：本题主要考查切线方程的求解，根据直线和圆相切得到切线斜率是解决本题的关键．10．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题正确的是（）①l⊥m⇒a∥β②l∥m⇒α⊥β③α⊥β⇒l∥m④α∥β⇒l⊥m．A．①②B．③④C．②④D．①③考点：平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：由已知中直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，结合条件根据线面垂直，面面平行的几何特征，判断选项的正误得到答案．解答：解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，若l⊥m，直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故①不正确；若l∥m，直线l⊥平面α，则直线m⊥平面α，又∵直线m⊂平面β，则α⊥β，故②正确；若α⊥β，直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则l与m可能平行、可能相交也可能异面，故③不正确；若α∥β，直线l⊥平面α，⇒l⊥β，④正确．故选C．点评：本题考查的知识点是空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定，熟练掌握空间线面关系的几何特征是解答本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5分）计算：lg50﹣lg5=1．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数的运算性质计算即可解答：解：lg50﹣lg5=lg=lg10=1故答案为：1点评：本题考查了对数的运算性质，属于基础题12．（5分）已知点A（5，2），B（4，1），则直线AB的倾斜角是45°．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：由两点的坐标求得直线AB的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得倾斜角的值．解答：解：由A（5，2），B（4，1），可得直线AB的斜率k=．设直线AB的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=1，α=45°．故答案为：45°．点评：本题考查了直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．13．（5分）球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于3．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；球．分析：设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可．解答：解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πr2因为球的体积与其表面积的数值相等，所以=4πr2解得r=3，故答案为：3．点评：本题考查球的体积与表面积的计算，是基础题．14．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f（）=0，则满足f（x+1）＜0的x的取值范围．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数在对称区间上单调性相反，f（x）=f（﹣x）=f（|x|），可利用函数的单调性，结合f（）=0，满足f（x+1）＜0可转化为|x+1|．去绝对值求解即可．解答：解：∵定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f（）=0，∴f（x）=f（﹣x）=f（|x|），∴满足f（x+1）＜0可转化为|x+1|．即：x，或x，故答案为：点评：本题综合考查了函数的单调性，奇偶性的运用，结合不等式求解即可，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）已知函数f（x）=a x+，且f（1）=．（1）求a的值；（2）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）令函数g（x）=f（x）﹣5，且g（a）=8，求g（﹣a）的值．考点：函数奇偶性的判断；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）运用代入法，解方程即可得到a；（2）运用奇偶性的定义，求出定义域，再计算f（﹣x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；（3）求出f（a），由奇偶性得到f（﹣a），进而得到g（﹣a）．解答：解：（1）因为，所以，所以a=3；（2）由（1）得，所以f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），，所以f（x）=f（﹣x），所以f（x）为偶函数；（3）因为g（x）=f（x）﹣5，g（a）=8，所以f（x）=g（x）+5，所以f（a）=g（a）+5=13因为f（x）为偶函数，所以f（﹣a）=g（﹣a）+5=13，所以g（﹣a）=8．点评：本题考查函数的奇偶性的判断和运用：求函数值，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．16．（12分）已知在平面直角坐标系xoy中，直线AB的方程为3x﹣2y+6=0，直线AC的方程为2x+3y﹣22=0，直线BC的方程为3x+4y﹣m=0．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）当△ABC的BC边上的高为1时，求m的值．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：（1）由两直线方程得到两直线的斜率，由斜率之积等于﹣1得到直线AB与AC互相垂直，从而说明△ABC为直角三角形；（2）联立方程组求得A的坐标，然后由A到BC边的距离为1求得m的值．解答：解：（1）直线AB的斜率为，直线AC的斜率为，∵k AB•k AC=﹣1，∴直线AB与AC互相垂直，因此，△ABC为直角三角形；（2）解方程组，得，即A（2，6），设点A到直线BC的距离为d，则，依题意有d=1，即，即|30﹣m|=5，解得m=25或35．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系，考查了点到直线距离公式的应用，是基础题．17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．解答：证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．点评：本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．18．（14分）某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示：月份用气量（立方米）支付费用（元）一 4 8二20 38三26 50该市的家用天然气收费方法是：天然气费=基本费+超额费+保险费．现已知，在每月用气量不超过a立方米时，只交基本费6元；用气量超过a立方米时，超过部分每立方米付b元；每户的保险费是每月c元（c≤5）．设该家庭每月用气量为x立方米时，所支付的天然气费用为y 元．求y关于x的函数解析式．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，利用天然气费=基本费+超额费+保险费，把x≤a及x＞a时的天然气费表示出来，再写出x的范围限制即可．解答：解：根据题意，因为0＜c≤5，所以6+c≤11．由表格知，二、三月份的费用大于11，因此，二、三月份的用气量均超过基本量a，于是有解得b=2，2a=8+c．③因为0＜c≤5，所以．所以6+c=8，c=2．因此，a=5，b=2，c=2．所以，．点评：本题主要考查函数的应用，读懂题意，列出函数的表达式，注意：要根据实际意义写出自变量x的范围．19．（14分）已知圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴的下方，x轴被圆C截得的弦长BD为2．（1）求圆C的方程；（2）若圆E与圆C关于直线2x﹣4y+5=0对称，P（x，y）为圆E上的动点，求的取值范围．考点：直线与圆相交的性质．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）由题意可设方程为（x﹣a）2+（y+2a）2=9，由条件可得a=1，进而可得方程；（2）设圆心E（m，n），由对称关系可得m=﹣2，n=4，半径为3，表示圆E上的点与（1，﹣2）的距离，即可求出的取值范围．．解答：解：（1）由题意设圆心坐标（a，﹣2a）﹣﹣﹣（1分），则圆方程为（x﹣a）2+（y+2a）2=9﹣﹣﹣﹣（2分）作CA⊥x轴于点A，在Rt△ABC中，CB=3，AB=，∴CA=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以|﹣2a|=2，解得a=±1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）又因为点C在x轴的下方，所以a=1，即C（1，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以圆方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）设圆心E（m，n），由题意可知点E与点C是关于直线2x﹣4y+5=0对称，所以有﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）可解得m=﹣2，n=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以点E（﹣2，4）且圆E的半径为3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）所以圆E的方程为（x+2）2+（y﹣4）2=9，表示圆E上的点与（1，﹣2）的距离．因为（1，﹣2）与点E（﹣2，4）的距离为=3，所以的取值范围为[3﹣3，3+3]．点评：本题考查直线和圆的位置关系，以及对称问题，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+mx（m＞0），其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）若函数f（x）的图象经过点（，0），求m的值；（2）试判断函数f（x）的单调性，并予以说明；（3）试确定函数f（x）的零点个数．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：（1）代入点的坐标秒即可求出m的值，（2）利用定义证明即可；（3）需要分类讨论，当m∈（0，e）时，根据函数零点定理，以及函数的单调性，当m=e时，当m∈（e，+∞）时，f（x）在定义域上单调递增，得到结论，当m∈（e，+∞）时，设x0=m﹣e＞0根据函数零点定理，以及函数的单调性，即可得到结论或构造函数，设，根据根据函数零点定理得到结论．解答：解：（1）因为函数f（x）的图象经过点，所以，所以m=e；（2）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），设0＜x1＜x2，所以f（x1）=lnx1+mx1，f（x2）=lnx2+mx2，所以，因为0＜x1＜x2，m＞0，所以，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在定义域上单调递增．（3）函数f（x）的零点只有一个①当m∈（0，e）时，f（1）=ln1+m=m＞0，且函数f（x）在上的图象是连续不间断曲线，所以由零点定理可得函数f（x）在（e﹣1，1）上存在一个零点，又由（2）得f（x）在定义域上单调递增，所以函数f（x）的零点只有一个．②当m=e时，，又由（2）得f（x）在定义域上单调递增，所以函数f（x）的零点只有一个．方法一：③当m∈（e，+∞）时，设x0=m﹣e＞0则f（1）=ln1+m=m＞，因为x0＞0，所以，所以，即，且函数f（x）在上的图象是连续不间断曲线所以由零点定理可得函数f（x）在上存在一个零点，又由（2）得f（x）在定义域上单调递增，所以函数f（x）的零点只有一个．方法二：③当m∈（e，+∞）时，设则，且函数g（x）在[1，m]上的图象是连续不间断曲线所以存在x0∈（1，m），使得g（x0）=0，即，从而有，且函数f（x）在（0，+∞）上的图象是连续不间断曲线又由（2）得f（x）在定义域上单调递增，所以当m∈（e，+∞）时，函数f（x）的零点只有一个．点评：本题考查了函数零点存在定理和函数的单调性，培养可分类讨论的能力，转化能力，运算能力，属于中档题．。
2014-2015学年高一数学上学期期末考试试题含解析
2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题说明：1．本卷共有三个大题，21个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U （A ∪B ）=（ ） A ．{1，3，4}, B ．{3，4}, C ．{3}, D ．{4} 2．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ） A ．球, B ．三棱锥, C ．正方体, D ．圆柱 3．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ） A ．1：2, B ．1：4, C ．1：8, D ．1：164．已知点M （a ，b ）在圆O ：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切, B ．相交, C ．相离, D ．不确定 5．在下列命题中，不是公理的是（ ） A ．平行于同一个平面的两个平面平行B ．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线6．由表格中的数据可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间是(,1)()k k k Z +∈， 则k 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．27．若函数11()2xy m -=+的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．1m ≥D ．01m <≤8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(0,2]C ．[1,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．若定义在区间[-2015，2015]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[-2015，2015]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）-2014，且x ＞0时，有f （x ）＞2014，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ）A ．2014B ．2015C ．4028D ．403010．一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，M 、N 分别为1A B 、11B C 的中点．下列结论中正确的个数有①直线MN 与1A C 相交． ② MN BC ⊥． ③MN //平面11ACC A ． ④三棱锥1N A BC -的体积为1316N A BC V a -=． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共计25分．请将正确答案填在答题卷相应位置．） 11．函数22log (1)y x x =--的定义域为___________．12．在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为 ．13．已知集合2{(,)49}A x y y x ==-，{(,)}B x y y x m ==+，且A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______________．14．已知函数1333,1()log ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩，则满足不等式1()()9f m f ≤的实数m 的取值范围为 ．15．下列四个命题：其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）设全集为U R =，集合(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，{}2|log (2)4B x x =+<． （1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知{}|21C x x a x a =><+且，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知直线1l ：10ax by ++=，（,a b 不同时为0），2l ：(2)0a x y a -++=， （1）若0b =且12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当3b =且12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．18．（本小题满分12分）已知幂函数21()(22)m f x m m x +=-++为偶函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()2(1)1y f x a x =--+在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）20．（本小题满分13分）已知圆C 的方程:04222=+--+m y x y x ,其中5m <．（1）若圆C 与直线042:=-+y x l 相交于M ,N 两点，且MN =,求m 的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l ，若存在，求出c 的范围，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1axg x x -=-．（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D C B A C D D C B2、答案D分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等解答：球的三视图均为圆，且大小均等；正四面体的三视图可以形状都相同，大小均等；正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱故选D点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题3、4、6、7、8、9、10、二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．(]2,1 12．14 (0,0,)913．[7,72]-14．31[,log 5]915．①④⑤三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）．解：（1）由0216,x <+<得(2,14)B =-， ……………………………2分又(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，故阴影部分表示的集合为()(,3][14,)R A C B ⋂=-∞-⋃+∞ ； ……………………5分（2）① 21a a ≥+，即1a ≥时，C =∅，成立； ………………………9分② 21a a <+，即1a <时，(2,1)(2,14)C a a =+⊆-，114,22,a a +≤⎧⎨≥-⎩得11a -≤<， ………………………11分综上所述，a 的取值范围为[1,)-+∞． …………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）当0b =时，1l ：10ax +=，由12l l ⊥知(2)0a -=，…………4分解得2a =；……………6分（2）当3b =时，1l ：310ax y ++=，当12//l l 时，有3(2)0,310,a a a --=⎧⎨-≠⎩…………8分解得3a =， …………………9分此时，1l 的方程为：3310x y ++=，2l 的方程为：30x y ++=即3390x y ++=，…………11分则它们之间的距离为229142333d -==+分 18．（本小题满分12分）解：（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得 1m =或12m =-……3分 当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去． ∴2()f x x =． ……………………6分（2）由（1）得22(1)1y x a x =--+，即函数的对称轴为1x a =-， …………8分由题意知22(1)1y x a x =--+在（2，3）上为单调函数，所以12a -≤或13a -≥， ………11分即3a ≤或4a ≥． …………12分19．（本小题满分12分）解：20．（本小题满分13分）．解：（1）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22，圆心 C （1，2），半径 m r -=5，则圆心C （1，2）到直线:240l x y +-=的距离为 5121422122=+-⨯+=d ………3分 由于5MN =125MN =，有2221()2r d MN =+， ,)52()51(522+=-∴m 得4=m ． …………………………6分（2）假设存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l 的距离为55， ……7分 由于圆心 C （1，2），半径1=r ， 则圆心C （1，2）到直线02:=+-c y x l 的距离为 511532122122-<-=++⨯-=c c d ， …………10分 解得5254+<<-c ． …………13分21．（本小题满分14分）解：（1）因为函数)(x g 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即11log 11log 2121---=--+x ax x ax ， 即axx x ax --=--+1111，得1±=a ，而当1=a 时不合题意，故1-=a ． ……4分 （2）由（1）得：11log )(21-+=x x x g ， 下面证明函数11log )(21-+=x x x g 在区间(1,)+∞上单调递增， 证明略． ………6分所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上单调递增， 所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上的值域为]1,2[--， 所以2)(≤x g ，故函数)(x g 在区间]3,35[上的所有上界构成集合为),2[+∞．……8分（3）由题意知，3)(≤x f 在),0[+∞上恒成立．3)(3≤≤-x f ，x x x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--41221414． xx x xa ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴21222124在),0[+∞上恒成立． min max 21222124⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴x x x x a ……………………10分设t x =2，t t t h 14)(--=，t t t p 12)(-=，由),0[+∞∈x 得1≥t ,设121t t ≤<，21121212()(41)()()0t t t t h t h t t t ---=>， ()()1212121221()()0t t t t p t p t t t -+-=<, 所以)(t h 在),1[+∞上递减，)(t p 在),1[+∞上递增， ………………12分 )(t h 在),1[+∞上的最大值为5)1(-=h ，)(t p 在),1[+∞上的最小值为1)1(=p ．所以实数a 的取值范围为]1,5[-． …………………14分。
珠海市2014-2015学年度第一学期期末学生学业质量监测高三文科数学试题(含详细解答)
珠海市2014-2015学年度第一学期期末学生学业质量监测高三文科数学试题一、选择题：1.设集合{}lg(1)A x y x ==-，{}2,xB y y x R ==∈，则A B ⋃＝A ．∅B ．RC ．(1,)+∞D ．(0,)+∞ 2、已知复数z 满足（3＋i ）z ＝i ，则z ＝A 、131010i + B 、－131010i + C 、1388i -+ D 、1388i -- 4、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1,0），离心率等于12，则C 的方程是A 、22134x y += B 、2214x = C 、22142x y += D 、22143x y += 4.下列函数为偶函数的是A ． 21()f x x x=+B ．2()log f x x =C ．()44x x f x -=-D ．()22f x x x =-++ 5、某几何体的三视图如图所示，则其体积为 A 、23π B 、3π C 、π D 、6π6、函数cos(2)4y x π=+的图象可由函数cos 2y x =的图象A 、向左平移8π个单位长度而得到 B 、向右平移8π个单位长度而得到C 、向左平移4π个单位长度而得到 D 、向右平移4π个单位长度而得到 7、设n S 为等比数列{n a }的前n 项和，2527a a +＝0，则42S S ＝ A 、10 B 、－5 C 、9 D 、－88.执行如右图的程序框图，若输出的48S =，则输入k 的值可以为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．109、若变量x ，y 满足约束条件2400x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，从可行域里任意取一点（x ，y ）则2x －y ＞0的概率为 A 、23 B 、12 C 、13 D 、1410.已知集合12{|(,),{0,1},1,2}i S P P x x x i ==∈=对于12(,)A a a =，12(,)B b b S =∈，定义A 与B 的差为1122(||,||)A B a b a b -=--，定义A 与B 之间的距离为1122(,)||||d A B a b a b =-+-.对于,,A B C S ∀∈,则下列结论中一定成立的是（ ）A. (,)(,)(,)d A C d B C d A B +=B. (,)(,)(,)d A C d B C d A B +>C. (,)(,)d A C B C d A B --=D. (,)(,)d A C B C d A B -->二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 11．函数()ln x f x e x =⋅在点()1,0处的切线方程为 . 12．已知正ABC ∆的边长为3，点F 是边AB 上一点，且13BF BA =，则C F C A ⋅＝ . 13．已知下列四个等式1234212213342135456213575678⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯依此类推，猜想第n个等式为 .14．在极坐标系中，曲线2sin ρθ=与sin cos 2ρθρθ-=相交于点A 、B 两点，则AB =______.15．如图，已知Rt ABC ∆的两条直角边AC BC ，的长分别为6cm ，8cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D 则BD = cm .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题12分）设向量()sin ,cos 2a x x =，1(3cos ,)2b x = ，函数()f x a b =⋅ （1）求函数()f x 的最小正周期。
2014-2015年广东省珠海市高一上学期期末数学试卷(a卷)与答案Word版
2014-2015学年广东省珠海市高一（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡）1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，4}，B={﹣1，0，1，3}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2，3，4}B．{0，1}C．{﹣1，2，3，4} D．{0，1，2} 2．（5.00分）已知点A（3，a）在直线2x+y﹣7=0上，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（5.00分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A．135°B．120°C．45°D．60°4．（5.00分）已知两直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：ax﹣8y﹣3=0平行，则a的值是（）A．3 B．4 C．6 D．﹣65．（5.00分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（3）=1，则f（x）=（）A．log 3x B．C．log x D．3x﹣26．（5.00分）下列四个命题中错误的个数是（）①两条不同直线分别垂直于同一条直线，则这两条直线相互平行②两条不同直线分别垂直于同一个平面，则这两条直线相互平行③两个不同平面分别垂直于同一条直线，则这两个平面相互平行④两个不同平面分别垂直于同一个平面，则这两个平面相互垂直．A．1 B．2 C．3 D．47．（5.00分）若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．88．（5.00分）设a=log5，b=3，c=（）0.3，则有（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b9．（5.00分）圆x2+y2﹣2y﹣1=0关于直线x﹣2y﹣3=0对称的圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y+3）2=B．（x﹣2）2+（y+3）2=2 C．（x+2）2+（y﹣3）2= D．（x+2）2+（y﹣3）2=210．（5.00分）若函数f（x）=x2+bx+1在区间（0，1）和（1，2）上各有一个零点，则b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣，﹣2）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）11．（5.00分）下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A．（4）（1）（2）B．（4）（2）（3）C．（4）（1）（3）D．（1）（2）（4）12．（5.00分）已知二次函数f（x）=x2+2x+a，若﹣3＜a＜0，f（m）＜0，则f （m+3）的值为（）A．正数B．负数C．0 D．符号与a有关二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）13．（5.00分）函数f（x）=+ln（x﹣1）的定义域为．14．（5.00分）棱长为3的正方体的外接球（各顶点均在球面上）的表面积为．15．（5.00分）若xlog45=1，则5x的值为．16．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（）=．17．（5.00分）幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式是．18．（5.00分）四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V﹣AB﹣C的平面角为．19．（5.00分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．20．（5.00分）在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，则M到空间直角坐标系Oxyz的点N（2，3，1）的最小距离为．三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（教材21．（10.00分）已知函数．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数．22．（10.00分）过点M（，﹣）作直线l，使其夹在直线l1：2x﹣5y+10=0与l2：3x+8y+15=0之间的线段被M平分，求直线l的方程．23．（10.00分）已知圆C的圆心在直线y=x+1上，半径为，且圆C经过点P （5，4）和点Q（3，6）．（1）求圆C的标准方程；（2）求过点A（1，0）且与圆C相切的切线方程．24．（10.00分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边中点，且CC1=2AB．（1）求证：平面C1CD⊥平面ABC；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求三棱锥D﹣CAB1的体积．25．（10.00分）对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f[f（x）]=x，则称x为f（x）的“周期点”，函数f（x）的“不动点”和“周期点”的集合分别记为A和B即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）=x]}．（1）求证：A⊆B（2）若f（x）=ax2﹣1（a∈R，x∈R），且A=B≠∅，求实数a的取值范围．2014-2015学年广东省珠海市高一（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡）1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，4}，B={﹣1，0，1，3}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2，3，4}B．{0，1}C．{﹣1，2，3，4} D．{0，1，2}【解答】解：∵A={0，1，2，4}，B={﹣1，0，1，3}，∴A∩B={0，1}，故选：B．2．（5.00分）已知点A（3，a）在直线2x+y﹣7=0上，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：∵点A（3，a）在直线2x+y﹣7=0上，∴2×3+a﹣7=0，解得a=1故选：A．3．（5.00分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A．135°B．120°C．45°D．60°【解答】解：由直线x﹣y+1=0，得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），由tan，得α=60°．故选：D．4．（5.00分）已知两直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：ax﹣8y﹣3=0平行，则a的值是（）A．3 B．4 C．6 D．﹣6【解答】解：∵直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：ax﹣8y﹣3=0平行，∴，解得a=﹣6故选：D．5．（5.00分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（3）=1，则f（x）=（）A．log 3x B．C．log x D．3x﹣2【解答】解：由y=a x（a＞0，且a≠1），得x=log a y（a＞0，且a≠1），x，y互换得，y=log a x，∴f（x）=log a x，又f（3）=1，∴log a3=1，得a=3．∴f（x）=log3x．故选：A．6．（5.00分）下列四个命题中错误的个数是（）①两条不同直线分别垂直于同一条直线，则这两条直线相互平行②两条不同直线分别垂直于同一个平面，则这两条直线相互平行③两个不同平面分别垂直于同一条直线，则这两个平面相互平行④两个不同平面分别垂直于同一个平面，则这两个平面相互垂直．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①借助于正方体模型可知，两条不同直线分别垂直于同一条直线，则这两条直线相互平行或相交或异面，故①错误②由线面垂直的性质可知，两条不同直线分别垂直于同一个平面，则这两条直线相互平行，故②正确③由线面垂直的性质可知，两个不同平面分别垂直于同一条直线，则这两个平面相互平行，③正确④由正方体模型可知，两个不同平面分别垂直于同一个平面，则这两个平面相互垂直．或平行，故④错误故选：B．7．（5.00分）若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：三视图复原的几何体是底面为高为2的正三角形，高为2的直棱柱，底面三角形的边长为a，=2，a=4，棱柱的底面面积为：，几何体的体积为4×2=8．故选：D．8．（5.00分）设a=log5，b=3，c=（）0.3，则有（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【解答】解：∵a=log5＜0，b=3＞1，0＜c=（）0.3＜1，∴a＜c＜b故选：C．9．（5.00分）圆x2+y2﹣2y﹣1=0关于直线x﹣2y﹣3=0对称的圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y+3）2=B．（x﹣2）2+（y+3）2=2 C．（x+2）2+（y﹣3）2= D．（x+2）2+（y﹣3）2=2【解答】解：圆x2+y2﹣2y﹣1=0的标准方程为x2+（y﹣1）2=2，圆心C（0，1），设圆心C关于直线x﹣2y﹣3=0对称的点的坐标为（a，b），则满足，即，解得a=2，b=﹣3，对称圆的圆心坐标为（2，﹣3），则对称圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=2，故选：B．10．（5.00分）若函数f（x）=x2+bx+1在区间（0，1）和（1，2）上各有一个零点，则b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣，﹣2）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）【解答】解：∵函数f（x）=x2+bx+1，∴f（0）=1，f（1）=2+b，f（2）=5+2b，∵在区间（0，1）和（1，2）上各有一个零点，∴，即，故选：B．11．（5.00分）下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A．（4）（1）（2）B．（4）（2）（3）C．（4）（1）（3）D．（1）（2）（4）【解答】解：（1）离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象（4）；（2）骑着车一路以常速行驶，此时为递增的直线，在途中遇到一次交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象（1）；（3）最后加速向学校，其距离随时间的变化关系是越来越快，故应选图象（2）．故答案为：（4）（1）（2），故选：A．12．（5.00分）已知二次函数f（x）=x2+2x+a，若﹣3＜a＜0，f（m）＜0，则f （m+3）的值为（）A．正数B．负数C．0 D．符号与a有关【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+2x+a，∴①当a=0时，f（x）=x2+2x，∵f（m）＜0，∴﹣2＜m＜0，m+3＞1，∴f（m+3）＞0，②当a=﹣3时，f（x）=x2+2x﹣3，∵f（m）＜0，∴﹣3＜m＜1，即0＜m+3＜4，∴f（m+3）有正有负，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）13．（5.00分）函数f（x）=+ln（x﹣1）的定义域为（1，2] ．【解答】解：由题意可得，解得1＜x≤2，故函数的定义域为：（1，2]，故答案为：（1，2]14．（5.00分）棱长为3的正方体的外接球（各顶点均在球面上）的表面积为27π．【解答】解：由正方体与外接球的关系为正方体的对角线长为球的直径，设球的半径为r，则3=2r，解得，r=．则球的表面积为S=4πr2=4π×=27π．故答案为：27π．15．（5.00分）若xlog45=1，则5x的值为4．【解答】解：由xlog45=1，得，∴．故答案为：4．16．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（）=．【解答】解：∵0＜＜2，∴f（）=log2=；故答案为：．17．（5.00分）幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式是．【解答】解：由题意令f（x）=x n，将点代入，得，解得n=所以故答案为18．（5.00分）四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V﹣AB﹣C的平面角为60°．【解答】解：取AB、CD的中点E、F，连接VE、EF、VF∵VA=VB=∴△VAB为等腰三角形∴VE⊥AB又∵ABCD是正方形，则BC⊥AB∵EF∥BC∴EF⊥AB∵EF∩VE=E∴∠VEF为二面角V﹣AB﹣C的平面角∵△VAB≌△VDC∴VE=VF=2EF=BC=2∴△VEF为等边三角形∴∠VEF=60°即二面角V﹣AB﹣C为60°故答案为：60°19．（5.00分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程2x﹣y=0或x+y﹣3=0．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=020．（5.00分）在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，则M到空间直角坐标系Oxyz的点N（2，3，1）的最小距离为3．【解答】解：设点M（x，1﹣x，0）则|MN|==∴当x=0，|MN|min=3．∴点M的坐标为（0，1，0）时到点N（2，3，1）的距离最小值为3．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（教材21．（10.00分）已知函数．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，则=（4分）∵x1＜x2，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，（6分）即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（7分）（2）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即，解得：．∴．（12分）22．（10.00分）过点M（，﹣）作直线l，使其夹在直线l1：2x﹣5y+10=0与l2：3x+8y+15=0之间的线段被M平分，求直线l的方程．【解答】解：设直线l与直线l1、l2分别交于P1（x1，y1），P2（x2，y2），可得2x1﹣5y1+10=0 ①，又M（，﹣）是线段P1P2的中点，得P2（3﹣x1，﹣1﹣y1）．∵P2在l2上，∴3（3﹣x1）+8（﹣1﹣y1）+15=0，即3x1+8y1﹣16=0 …②，①②联立所得方程组，解得x1=0，y1=2．由两点式方程，可得直线l的方程：，即5x+3y﹣6=0为所求．23．（10.00分）已知圆C的圆心在直线y=x+1上，半径为，且圆C经过点P （5，4）和点Q（3，6）．（1）求圆C的标准方程；（2）求过点A（1，0）且与圆C相切的切线方程．【解答】解：（1）设圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=2，点C在直线y=x+1上，则有b=a+1圆C经过点P（5，4）和点Q（3，6，即：（5﹣a）2+（4﹣b）2=2，（3﹣a）2+（6﹣b）2=2，解得：a=4，b=5，圆C：（x﹣4）2+（y﹣5）2=2．（2）①若直线l的斜率不存在，即直线是x=1，与圆相离，不符合题意．（6分）②若直线l斜率存在，设直线l为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由题意知，圆心（4，5）到已知直线l的距离等于半径，即：==（8分），解得k=1或k=．（9分）所求切线方程是y=x﹣1，或y=x﹣．（10分）24．（10.00分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边中点，且CC1=2AB．（1）求证：平面C1CD⊥平面ABC；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求三棱锥D﹣CAB1的体积．【解答】（1）证明：∵CC1⊥平面ABC，又CC1⊂平面C1CD，∴平面C1CD⊥平面ABC；（2）证明：连结BC1，交B1C于点O，连结DO．则O是BC1的中点，DO是△BAC1的中位线．∴DO∥AC1．∵DO⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；（3）解：∵CC1⊥平面ABC，BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC．∴BB1为三棱锥D﹣CBB1的高．=．∴三棱锥D﹣CAB1的体积为．25．（10.00分）对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f[f（x）]=x，则称x为f（x）的“周期点”，函数f（x）的“不动点”和“周期点”的集合分别记为A和B即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）=x]}．（1）求证：A⊆B（2）若f（x）=ax2﹣1（a∈R，x∈R），且A=B≠∅，求实数a的取值范围．【解答】证明：（1）∀x∈A，即f（x）=x．则有f[f（x）]=f（x）=x，x∈B∴A⊆B（2）∵f（x）=ax2﹣1∴f[f（x）]=a（ax2﹣1）2﹣1若f[f（x）]=x，则a（ax2﹣1）2﹣1﹣x=0a（ax2﹣1）2﹣1﹣x=a（ax2﹣1）2﹣ax2+ax2﹣x﹣1=a[（ax2﹣1）2﹣x2]+ax2﹣x﹣1=a（ax2﹣x﹣1）（ax2+x﹣1）+ax2﹣x﹣1=（ax2﹣x﹣1）（a2x2+ax﹣a+1）∴B={x|（ax2﹣x﹣1）（a2x2+ax﹣a+1）=0}A={x|ax2﹣x﹣1=0}当a=0时，A={﹣1}，B={﹣1}，A=B≠∅∴a=0符合题意当a≠0时，当A=B≠∅时，方程ax2﹣x﹣1=0有实根；对方程a2x2+ax﹣a+1=0根的情况进行分类讨论：①若方程a2x2+ax﹣a+1=0有两个不相等的实根，则此时．此时两个方程没有公共解，集合B中有四个元素．不合题意，舍去．②若方程a2x2+ax﹣a+1=0有两个相等的实根，则∴解得．此时方程ax2﹣x﹣1=0的两根分别为；a2x2+ax﹣a+1=0的实根为．验证得：．③若方程a2x2+ax﹣a+1=0无实根，此时A=B．则解得：且a≠0．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()yf u=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．从而所求a 的取值范围为．。
广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学理
2014届高三六校第二次联考数学试题一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡的相应位置. 1.设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则AB ＝ （ ）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2} 2.命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是 （ ） A ．x R ∃∈，2210x x -+≥ B ．x R ∃∈，2210x x -+> C ．x R ∀∈，2210x x -+≥D ．x R ∀∈，2210x x -+<3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上递增的函数为 （ ）A ．3y x =B ．2log y x =C ．||y x =D ．2y x =-4.一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是 （ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒5.函数()ln 26f x x x =+-的零点位于 （ ） A ．[1,2] B ．[2,3] C ．[3,4] D ．[4,5]6.“1sin 2α=”是“1cos 22α=”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.函数1()(0,1)x f x a a a a=->≠的图象可能是 （ ）A B C D18.如图：正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是111,AA A D →→黑蚁爬行的路线是1.ABBB →→它们都遵循如下规则：所爬行的第2i +段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中*i N ∈）.设黑白二蚁走完第2014段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 ( )A ．二、填空题.本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置.9.函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为____________.10.若函数()y f x =是函数(0,xy a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()y f x =的图像经过点)a ， 则()f x = ____________.11.已知函数(2),2()1,22x f x x f x x +<⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则(3)f -的值为12.如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象，则其解析式是____________.13.由曲线xy e =与直线0x =、直线y e =所围成的图形的面积为____________.14.设函数221()lg ()(0)2f x ax x b b a ⎡⎤=++-+≠⎢⎥⎣⎦,若对任意实数b ，函数()f x 的定义域为R ，则a 的取值范围为____________.三、解答题.本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-,x R ∈（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求(2)3f πθ+.16.（本小题满分12分） 设函数3()65f x x x =-+,x R ∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值.17．（本小题满分14分）设函数2()sin cos f x x x x =+,x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为求a .18.（本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+)(R a ∈（1）若函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴,求a 的值； （2）若函数)(x f 在区间),1(+∞上为增函数，求a 的取值范围； （3）讨论函数()()(2)g x f x a x =-+的单调性.19.（本小题满分14分） 已知函数(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-（1）设0x 为函数()f x 的极值点，求证: 00()f x x =；（2）若当1x >时，ln (1)0x x k x k +-+>恒成立，求正整数．．．k 的最大值.20.（本小题满分14分）设函数2*()1,(,)1!2!!nn x x x f x x R n N n =-++++∈∈ （1）证明对每一个*n N ∈，存在唯一的1,12n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，满足()0n n f x =； （2）由（1）中的n x 构成数列{}n x ，判断数列{}n x 的单调性并证明； （3）对任意*p N ∈，,n n p x x +满足（1），试比较n n p x x +-与1n的大小.2014届六校十月联考理科数学参考答案一.选择题二.填空题9.{}|43x x x <≠且 10. 12log x 11.1812.3sin(2)3y x π=+ 13. ____1____ 14. (1,)+∞三.解答题15．（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-,x R ∈（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求(2)3f πθ+.解: （1）())12f x x π=-())6612f πππ∴-=-- ……2分)sin()44ππ=-= ……4分1=- ……5分（2）43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ∴==……7分 24sin 22sin cos 25θθθ∴==- ……8分27cos 22cos 125θθ=-=- ……9分(2))34f ππθθ∴+=+ ……10分2coscos 2sin )44ππθθ=+ =24731252525--=- ……12分16.（本小题满分12分） 设函数3()65f x x x =-+,x R ∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值. 解：(1)3()65f x x x =-+2'()36f x x ∴=- ……2分令'()0,f x = x ∴= ……3分'(),()f x f x x 随着的变化情况如下表：……5分由上表可知()f x 的单调递增区间为(,-∞和)+∞,单调递减区间为(. ……6分（2）由（1）可知函数()f x 在2,⎡-⎣ 上单调递增，在⎡⎣ 上单调递减，在2⎤⎦上单调递增， ……7分()f x ∴的极大值(5f ==+……8分()f x 的极小值5f ==-……9分又(2)15(f f =<+= ， ……10分(2)95f f -=>-= ……11分∴函数()f x 在区间[]2,2-上的最大值为5+，最小值为5- . ……12分17．（本小题满分14分）设函数2()sin cos f x x x x =+,x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为求a .（资料苏元高考吧 广东省数学教师QQ 群：179818939）解：（1）()21cos 2sin cos 22x f x x x x x -==+ 1sin 226x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ……3分 所以函数()f x 的最小正周期为22||2T πππω=== ……4分 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,4ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-6,3262πππx .所以当262ππ-=-x 时，函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最小值为12-. ……7分（2）由()()32f A f A +-=得：2362sin 62sin 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππA A . 化简得：212cos -=A ，又因为20π<<A ，解得：3π=A . ……10分 由题意知：32sin 21==∆A bc S ABC ， 解得8=bc ，又7=+c b ， ……12分 由余弦定理：()()22222cos 21cos 25a b c bc A b c bc A =+-=+-+=，5a ∴=. ……14分已知函数2()ln f x x a x =+)(R a ∈（1）若函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴,求a 的值； （2）若函数)(x f 在),1(+∞为增函数，求a 的取值范围； (3) 讨论函数()()(2)g x f x a x =-+的单调性. 解：（1）因为2()ln f x x a x =+，故()2af x x x'=+， ……1分 函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴，所以(1)202f a a '=+=⇒=- ……3分 （2）函数)(x f 在),1(+∞为增函数，所以当(1,)x ∈+∞时，()20af x x x'=+≥恒成立，分离参数得：22a x ≥-，从而有：2a ≥-. ……7分 （3）2()()(2)(2)ln g x f x a x x a x a x =-+=-++22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a g x x a x x x-++--'=-++==……10分 令12()01,2ag x x x '=⇒==，因为函数()g x 的定义域为(0,)+∞，所以 （1）当02a≤，即0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增； ……11分 （2）当012a <<，即02a <<时，函数()g x 在(0,)2a上递增， 在(,1)2a 上递减，在(1,)+∞上递增 ……12分（3）当12a=，即2a =时，函数()g x 在(0,)+∞上递增； ……13分 （4）当12a >，即2a >时，函数()g x 在(0,1)上递增，在(1,)2a 上递减，在(,)2a+∞上递增. ……14分已知函数(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-（1）设0x 为函数()f x 的极值点，求证: 00()f x x =；（2）若当1x >时，ln (1)0x x k x k +-+>恒成立，求正整数k 的最大值. 解：（1）因为(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-，故22ln ()(1)x x f x x --'=-, ……2分 0x 为函数)(x f 的极值点,0()0f x '∴=, ……3分即002ln 0x x --=,于是0011ln x x -=+, 故00000000(1ln )(1)()11x x x x f x x x x +-===-- ……5分(2) ln (1)0x x k x k +-+>恒成立,分离参数得(1ln )()1x x k f x x +<=- ……7分则1>x 时，()f x k >恒成立，只需min ()f x k >，22ln ()(1)x x f x x --'=-，记()2ln g x x x =--，1()10g x x '∴=->， ……9分 ()g x ∴在),1(+∞上递增，又(3)1ln 30,(4)2ln 40g g =-<=->， ()g x ∴在),1(+∞上存在唯一的实根0x ，且满足0(3,4)x ∈， ……11分∴当01x x <<时()0g x <，即()0f x '<；当0x x >时()0g x >，即()0f x '>,min 00()()(3,4)f x f x x ==∈,故正整数k 的最大值为3 ……14分设函数2*()1,(,)1!2!!nn x x x f x x R n N n =-++++∈∈ （1）证明对每一个*n N ∈，存在唯一的1,12n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，满足()0n n f x = ； （2）由（1）中的n x 构成数列{}n x ，判断数列{}n x 的单调性并证明； （3）对任意*p N ∈，,n n p x x +满足（1），试比较n n p x x +-与1n的大小. 解:（1）21()12!(1)!n n x x f x x n -'=++++- 显然,当0x >时,()0n f x '>,故()n f x 在(0,)+∞上递增. ……2分 又11(1)1102!!n f n =-++++≥，221111()()(1())1111112222()11()()1()01222!!222212nn n n n f n -=-++++<-++++=-+=-<-故存在唯一的1[,1]2n x ∈，满足()0n n f x = ……4分 （2）由（1）知()n f x 在(0,)+∞上递增因为21111()12!!n nnn n n x x f x x n ++++=-++++ 所以21111111111()1()02!!(1)!(1)!n n n nn n n n n n n n x x x x f x x f x n n n ++++++++++=-+++++=+=++ ……6分 （资料苏元高考吧 广东省数学教师QQ 群：179818939）111()0()(1)!n n n n n n x f x f x n +++=-<=+，由（1）知()n f x 在(0,)+∞上递增故1n n x x +<，即数列{}n x 单调递减. ……9分 (3) 由（2）数列{}n x 单调递减，故0n n p x x +->而2()102!!n nn n n n x x f x x n =-++++=21()102!!(1)!()!n n n p n p n p n p n p n p n p n p x x x x f x x n n n p +++++++++=-+++++++=++ ……11分 两式相减：并结合0n p n x x +-<，以及1[,1]2n x ∈211111!!11!!(1)111111k kk n p n n p nn p n n p k k n kn pn pn p n p k n k n k n n pk n x x x x x k k x k k k k k k n n p n++++==+++++=+=+=++=+--=+<≤<-⎡⎤=-=-<⎢⎥-+⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 所以有1||n n p x x n +-< ……14分。
201507珠海高一数学(A卷)0624
珠海市2014～2015学年度第二学期期末学生学业质量监测高一数学试题（A 卷）试卷满分为150分，考试用时120分钟．考试内容：必修三、必修四．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上. ）1．某学校有高中学生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为A ．30、10、5B ．25、15、5C ． 20、15、10D ．15、15、152．从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球，若摸出的球是红球的概率是0.4，摸出的球是黑球的概率是0.25，那么摸出的球是白球或黑球的概率是 A ．0.35 B ．0.65 C ．0.1 D ．0.6 3．当输入1-=x ，20=y 时，右图中程序运行后输出的结果为A ．3； 43B . 43；3C .-18；16D . 16；-18 4．将二进制数)2(11100转化为四进制数，正确的是A ．)4(120B ．)4(130C ．)4(200D ．)4(2025．从2010名学生中选50人组成参观团，先用简单随机抽样方法剔除10人，再将其余2000人从0到1999编号，按等距系统抽样方法选取，若第一组采用抽签法抽到的号码是30， 则最后一组入选的号码是A ．1990B ．1991 C6．已知x ，y 的值如右表所示：如果y 与x 呈线性相关且回归b =直线方程为4.3+=bx y ，则A ．2.1B ．2.2C ．2.3D ．2.47．已知矩形ABCD ，5=AB ，7=BC ，在矩形ABCD 中随机取一点P ，则90APB ︒∠>出现的概率为 A .556π B .556 C . 528π D . 5288．如图是在一次全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为7 78 4 4 6 4 7 9 3A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ． 85，49．已知tan()25πα+=，4tan()35πβ-=-，则tan()αβ-= A ．1B ．57- C ．57D ．1-10．下列关系式中正确的是A ．0sin11cos10sin168<< B ．000sin168sin11cos10<<C 0sin11sin168cos10<< D 0sin168cos10sin11<< 11．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A． BCD12．设4=⋅，若a 在b 方向上的投影为23, 且b 在a 方向上的投影为3，则a 和b的夹角等于A ．3πB ．6πC ．32πD ．323ππ或二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）13．已知点(43)P -，在角α的终边上，则)4πα+= ．14．从二男三女6名学生中任选2名，则2名都是女学生的概率等于 ． 15．求值：323sin ()sin()sin ()cos()πππαπααα--+++-= ． 16 17．将函数x x f 2sin )(=图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图像．则=)(x g ． 18．如图，在边长为3的正方形ABCD 中，AC 与BD 交于F ，13AE AD=，则EF BD ⋅=．3- FED C BA三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共 60 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19．如图：已知扇形MON 所在圆半径为1，2MON π∠=,扇形内接矩形ABOC ，设AON θ∠=．（1）将矩形面积S 表示为θ的函数，并指出θ的取值范围； （2）当θ取何值时，矩形面积S 最大，并求S 的最大值．20．某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A ，种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下： 363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430．（1）求这二十五个数据的中位数；（2）以组距为10进行分组，完成答题卡上的品种A 亩产量的频率分布表； （3）完成答题卡上的品种A 亩产量的频率分布直方图．21．已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示： （1）求ω，ϕ的值；（2）设函数g()()()1228xx x f π=--，当[0,]2x π∈时，求函数()g x 的值域．AB C O MN亩产量0.0.0.0.0.0.0.0.22． 已知OAB ∆的顶点坐标为(0,0)O ，(2,9)A ，(6,3)B -， 点P 的横坐标为14，且O P P Bλ=，点Q 是边AB 上一点，且0OQ AP ⋅=.（1）求实数λ的值与点P 的坐标； （2）求点Q 的坐标；（3）若R 为线段OQ （含端点）上的一个动点，试求()RO RA RB ⋅+的取值范围.23．已知二次函数()f x ＝12+-bx ax ，}31|{≤≤=x x A ，{|14}B x x =≤≤．若a 是从集合A 中随机取的一个实数，b 是从集合B 中随机取的一个实数，求关于x 的方程()f x =0一根在区间1(0)2，内，另一根在1[0]2，外的概率．。
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广东省广州二中、珠海一中联考2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={﹣1，1，2}，N={x∈R|x2﹣5x+4=0}，则M∪N=（）A．ϕB．{1} C．{1，4} D．{﹣1，1，2，4}2．（5分）函数y=lnx﹣6+2x的零点为x0，则x0∈（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）3．（5分）三个数0.89，90.8，log0.89的大小关系为（）A．l og0.89＜0.89＜90.8B．0.89＜90.8＜log0.89C．l og0.89＜90.8＜0.89D．0.89＜log0.89＜90.84．（5分）与直线l：3x﹣4y﹣1=0平行且到直线l的距离为2的直线方程是（）A．3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0 B．3x﹣4y﹣11=0C．3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=0 D．3x﹣4y+9=05．已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．6．（5分）半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）A．B．C．D．7．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则=（）A．（2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）8．（5分）直线y=kx+1与圆x2+y2﹣2y=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．取决于k 的值9．已知向量，满足，||=1，|=2，则|2﹣|=（）A．B．C．8D．1210．（5分）对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥nD．若m、n与α所成的角相等，则m∥n11．求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．12．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．πB．πC．πD．π13．已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．14．（5分）f（x）为R上的偶函数，若对任意的x1、x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有＞0，则（）A．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C． f （3）＜f（﹣2）＜f（1） D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）15．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么y=x2，值域为{1，9}的“同族函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分20分．16．（5分）已知a＜0，直线l1：2x+ay=2，l2：a2x+2y=1，若l1⊥l2，则a=．17．已知a＜0，向量=（2，a﹣3），=（a+2，a﹣1），若∥，则a=．18．（5分）若函数f（x）=，则f[﹣f（9）]=．19．（5分）直线3x+4y﹣5=0被圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=4截得的弦长为．20．若函数f（θ）=，则f（﹣）=．21．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0）对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共9小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．22．（12分）已知函数f（x）=ax+（其中a、b为常数）的图象经过（1，2）、两点．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）证明：函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．23．（12分）化简求值：（1）；（2）（lg2）2+lg2•lg50+lg25．24．（14分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：平面ACE⊥平面PBC．25．已知函数．的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知且，求．26．（14分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E 在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．27．如图，甲船以每小时15海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里；当甲船航行40分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？28．（14分）已知圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），从圆M外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|（O为坐标原点）．（1）求圆M的方程；（2）试判断点P是否总在某一定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．29．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=．（1）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；（2）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2=ac，B为锐角，且f（B）=1，求的值．30．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）求函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数．广东省广州二中、珠海一中联考2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={﹣1，1，2}，N={x∈R|x2﹣5x+4=0}，则M∪N=（）A．ϕB．{1} C．{1，4} D．{﹣1，1，2，4}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：N={x∈R|x2﹣5x+4=0}={1，4}，∵M={﹣1，1，2}，∴M∪N={﹣1，1，2，4}，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）函数y=lnx﹣6+2x的零点为x0，则x0∈（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）考点：二分法求方程的近似解．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：可判断函数y=lnx﹣6+2x连续，从而由零点的判定定理求解．解答：解：函数y=lnx﹣6+2x连续，且y|x=2=ln2﹣6+4=ln2﹣2＜0，y|x=3=ln3﹣6+6=ln3＞0；故函数y=lnx﹣6+2x的零点在（2，3）之间，故x0∈（2，3）；故选B．点评：本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．3．（5分）三个数0.89，90.8，log0.89的大小关系为（）A．l og0.89＜0.89＜90.8B．0.89＜90.8＜log0.89C．l og0.89＜90.8＜0.89D．0.89＜log0.89＜90.8考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：依据对数的性质，指数的性质，分别确定log0.89，0.89，90.8数值的大小，然后判定选项．解答：解：∵0.89∈（0，1）；90.8＞1；log0.89＜0，所以：log0.89＜0.89＜90.8，故选：A点评：本题考查对数值大小的比较，分数指数幂的运算，是基础题．4．（5分）与直线l：3x﹣4y﹣1=0平行且到直线l的距离为2的直线方程是（）A．3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0 B．3x﹣4y﹣11=0C．3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=0 D．3x﹣4y+9=0考点：两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题；直线与圆．分析：根据平行线的直线系方程设所求的直线方程为3x﹣4y+c=0，再由题意和两平行线间的距离公式列方程，求出c的值，代入所设的方程即可．解答：解：由题意设所求的直线方程为3x﹣4y+c=0，根据与直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2得=2，解得c=﹣11，或c=9，故所求的直线方程为3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0．故选：A．点评：本题考查两直线平行的性质，两平行线间的距离公式，设出所求的直线方程为3x﹣4y+c=0，是解题的突破口．5．已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．考点：二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由已知和同角三角函数关系式可求cosx，tanx，从而由二倍角的正切函数公式可求tan2x的值．解答：解：∵sinx=﹣，且x在第三象限，∴cosx=﹣=﹣，∴tanx==，∴tan2x==﹣，故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的正切函数公式的应用，属于基础题．6．（5分）半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）A．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据半径为R的球内接一个正方体，根据正方体的对角线过原点，可以求出正方体的棱长，从而根据体积公式求解解答：解：∵半径为R的球内接一个正方体，设正方体棱长为a，正方体的对角线过球心，可得正方体对角线长为：a=2R，可得a=，∴正方体的体积为a3=（）3=，故选：D．点评：此题主要考查圆的性质和正方体的体积公式，考查学生的计算能力，是一道基础题，难度不大．7．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则=（）A．（2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，画出图形，结合图形以及平行四边形中的向量相等关系，求出．解答：解：根据题意，画出图形，如图所示；∵平行四边形ABCD中，=（2，4），=（1，3），∴=﹣=（﹣1，﹣1），∴=+=+=﹣=（﹣3，﹣5）．故选：D．点评：本题考查了平面向量的坐标表示以及平行四边形法则，是基础题目．8．（5分）直线y=kx+1与圆x2+y2﹣2y=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．取决于k的值考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据圆的方程，先求出圆的圆心和半径，求出圆心到直线y=kx+1的距离，再和半径作比较，可得直线与圆的位置关系．解答：解：圆x2+y2﹣2y=0 即x2+（y﹣1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．圆心到直线y=kx+1的距离为=0，故圆心（0，1）在直线上，故直线和圆相交，故选A．点评：本题主要考查求圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．9．已知向量，满足，||=1，|=2，则|2﹣|=（）A．B．C．8D．12考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的数量积运算，以及向量的模的方法，即遇模则平方，问题得以解决解答：解：∵，∴=0∵||=1，|=2，∴|2﹣|2=4||2+||2﹣4=4+4﹣0=8，∴|2﹣|=2，故选：A点评：本题考查了向量的数量积运算和向量的模的求法，属于基础题10．（5分）对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥nD．若m、n与α所成的角相等，则m∥n考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：由线面的位置关系，即可判断A；由线面平行的定义和性质，即可判断B；由线面平行的定义和性质，再由m，n共面，即可判断C；由线面角的定义和线线的位置关系，即可判断D．解答：解：由于直线m、n共面，对于A．若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，故A错；对于B．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行，故B错；对于C．若m⊂α，n∥α，由于m、n共面，则m∥n，故C对；对于D．若m、n与α所成的角相等，则m，n相交或平行，故D错．故选C．点评：本题考查空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题和易错题．11．求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：观察发现：78°+42°=120°，故利用两角和的正切函数公式表示出tan（78°+42°），利用特殊角的三角函数值化简，变形后即可得到所求式子的值解答：解：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到tan78°+tan42°=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78°+tan42°﹣tan18°•tan42°=﹣．故选：C．点评：此题考查了两角和与差得正切函数公式，以及特殊角的三角函数值．观察所求式子中的角度的和为120°，联想到利用120°角的正切函数公式是解本题的关键，属于基础题．12．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．πB．πC．πD．π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征，从而求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为半圆，母线长为2的半圆锥体；且底面半圆的半径为1，∴该半圆锥个高为2×=，它的体积为V=×π•12×=π．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．13．已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据α的范围，求出2α的范围，由cosα的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos2α的值，然后再利用同角三角函数间的基本关系求出sin2α的值，又根据α和β的范围，求出α+β的范围，由cos（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+β）的值，然后据α﹣β=2α﹣（α+β），由两角差的余弦函数公式把所求的式子化简后，将各自的值代入即可求解．解答：解：由2α∈（0，π），及cosα=，得到cos2α=2cos2α﹣1=﹣，且sin2α==，由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，则cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=﹣×（﹣）+×=．故选：C．点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，解题的关键是角度的灵活变换即α﹣β=2α﹣（α+β），属于中档题．14．（5分）f（x）为R上的偶函数，若对任意的x1、x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有＞0，则（）A．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C． f（3）＜f （﹣2）＜f（1）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先根据对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有（x2﹣x1）•[f（x2）﹣f（x1）]＞0，可得函数f（x）在（﹣∞，0]（x1≠x2）单调递增．进而可推断f（x）在[0，+∞）上单调递减，进而可判断出f（3），f（﹣2）和f（1）的大小．解答：解：∵对任意的x1、x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有＞0，故f（x）在x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）单调递增．又∵f（x）是偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），由3＞2＞1＞0，得f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选：C．点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题．15．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么y=x2，值域为{1，9}的“同族函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用；集合．分析：由题意知定义域中的数有﹣1，1，﹣3，3中选取；从而讨论求解．解答：解：y=x2，值域为{1，9}的“同族函数”即定义域不同，定义域中的数有﹣1，1，﹣3，3中选取；定义域中含有两个元素的有2×2=4个；定义域中含有三个元素的有4个，定义域中含有四个元素的有1个，总共有9种，故选C．点评：本题考查了学生对新定义的接受能力及集合的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分20分．16．（5分）已知a＜0，直线l1：2x+ay=2，l2：a2x+2y=1，若l1⊥l2，则a=﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．解答：解：两条直线的斜率分别为：﹣，﹣．∵l1⊥l2，∴=﹣1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了相互垂直的直线与斜率之间的关系，属于基础题．17．已知a＜0，向量=（2，a﹣3），=（a+2，a﹣1），若∥，则a=﹣1．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：直接由向量共线的坐标表示列式求得a的值．解答：解：∵=（2，a﹣3），=（a+2，a﹣1），由∥，得2（a﹣1）﹣（a+2）（a﹣3）=0，解得：a=﹣1或a=4．∵a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．18．（5分）若函数f（x）=，则f[﹣f（9）]=9．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由分段函数的应用知，代入求函数的值．解答：解：f（9）=log39=2，故f[﹣f（9）]=f（﹣2）==9；故答案为：9．点评：本题考查了分段函数的应用，属于基础题．19．（5分）直线3x+4y﹣5=0被圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=4截得的弦长为．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，结合弦长公式进行求解即可．解答：解：∵圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，∴圆心（2，1），半径r=2，圆心到直线的距离d==1，∴直线3x+4y﹣5=0被圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=4截得的弦长l=2=．故答案为：．点评：本题考查直线和圆的位置关系，利用弦长公式是解决本题的关键．20．若函数f（θ）=，则f（﹣）=2．考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：f（θ）解析式利用诱导公式化简，约分得到结果，把θ=﹣代入计算即可求出值．解答：解：f（θ）==﹣4sinθ，则f（﹣）=﹣4×（﹣）=2，故答案为：2．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．21．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0）对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）则实数a的取值范围是（0，]．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：确定函数f（x）、g（x）在[﹣1，2]上的值域，根据对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0），可g（x）值域是f（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，可得f（x1）值域为[﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）∴，∴0＜a≤故答案为：（0，]．点评：本题考查了函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是对“任意”、“存在”的理解．三、解答题：本大题共9小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．22．（12分）已知函数f（x）=ax+（其中a、b为常数）的图象经过（1，2）、两点．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）证明：函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义证明即可．解答：解：由已知有，解得，∴．…（3分）（1）f（x）是奇函数．…（4分）证明：由题意f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，…（5分）又，…（6分）∴f（x）是奇函数．…（7分）（2）证明：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，…（8分），，…（10分）∵x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），…（11分）故函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．…（12分）点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．23．（12分）化简求值：（1）；（2）（lg2）2+lg2•lg50+lg25．考点：对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用指数幂的运算性质即可得出；（2）利用对数的运算性质、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：（1）原式=．（2）原式=lg2（lg2+lg50）+2lg5=2lg2+2lg50=2（lg2+lg5）=2lg10=2．点评：本题考查了指数幂的运算性质、对数的运算性质、lg2+lg5=1，考查了计算能力，属于基础题．24．（14分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：平面ACE⊥平面PBC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连BD交AC于O，连EO，利用三角形的中位线的性质证得EO∥PD，再利用直线和平面平行的判定定理证得PD∥平面ACE．（2）由条件利用直线和平面垂直的判定定理证得BC⊥平面PAB，可得BC⊥AE．再利用等腰直角三角形的性质证得AE⊥PB．再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面ACE⊥平面PBC．解答：证明：（1）连BD交AC于O，连EO，∵ABCD为矩形，∴O为BD中点．E为PB的中点，∴EO∥PD又EO⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，∴PD∥平面ACE（2）∵PA⊥平面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC．∵底面ABCD为矩形，∴BC⊥AB．∵PA∩AB=A，BC⊥平面PAB，AE⊂PAB，∴BC⊥AE．∵PA=AB，E为PB中点，∴AE⊥PB．∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC，而AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBC．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于基础题．25．已知函数．的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知且，求．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）依题意知，A=2，由图得T=π．从而可得ω=2；又2×+φ=2kπ+，k∈Z，φ∈（0，），可求得φ，于是可得函数f（x）的解析式；（2）易求cosα=﹣，利用两角和的正弦即可求得f（）=2sin（α+）的值．解答：解：（1）由函数最大值为2，得A=2．由图可得周期T=4[﹣（﹣）]=π，∴ω==2．又2×+φ=2kπ+，k∈Z，∴φ=2kπ+，k∈Z，又φ∈（0，），∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+）；（2）∵α∈（，π），且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴f（）=2sin（2•+）=2（sinαcos+cosαsin）=2[×+（﹣）×]=．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简求值，属于中档题．26．（14分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E 在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD∵PC⊥平面BDE∴PC⊥BD，又PA∩PC=P∴BD⊥平面PAC（2）设AC与BD交点为O，连OE∵PC⊥平面BDE∴PC⊥平面BOE∴PC⊥BE∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角∵BD⊥平面PAC∴BD⊥AC∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3∴OC=在△PAC∽△OEC中，又BD⊥OE，∴∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3点评：本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握27．如图，甲船以每小时15海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里；当甲船航行40分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：连接A1B2，依题意可知A2B2，求得A1A2的值，推断出△A1A2B2是等边三角形，进而求得∠B1A1B2，在△A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值，即可求得乙船的速度．解答：解：如图，连结A 1B2，由已知，，…（2分）∴A1A2=A2B2，又∠A1A2B2=180°﹣120°=60°，∴△A1A2B2是等边三角形，…（4分）∴，由已知，A1B1=20，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，…（6分）在△A1B2B1中，由余弦定理，…（9分）==200．∴．…（12分）因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．…（13分）答：乙船每小时航行海里．…（14分）点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．要能综合运用余弦定理，正弦定理等基础知识，考查了综合分析问题和解决实际问题的能力．28．（14分）已知圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），从圆M外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|（O为坐标原点）．（1）求圆M的方程；（2）试判断点P是否总在某一定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用；圆的一般方程．专题：综合题．分析：（1）解法一：设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三点A（2，2），B（2，4），C（3，3）代入可求；解法二：设圆M的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），将三点A（2，2），B（2，4），C （3，3）代入可求；解法三：求线段AB的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点，可求圆心M的坐标，进而可求圆M的半径，从而可求圆M的方程；解法四：可判断△ABC是直角三角形，进而可求圆M的圆心M的坐标为AB的中点（2，3），半径，从而可求圆M的方程；（2）连接PM，根据，，利用|PT|=|PO|，可判断点P总在定直线上．解答：解：（1）解法一：设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，…（1分）∵圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），∴…（4分）解得…（7分）∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．…（8分）解法二：设圆M的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），…（1分）∵圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），∴…（4分）解得…（7分）∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．…（8分）解法三：∵A（2，2），B（2，4），∴线段AB的垂直平分线方程为y=3，…（2分）∵A（2，2），C（3，3），∴线段AC的垂直平分线方程为即x+y﹣5=0，…（4分）由解得圆心M的坐标为（2，3）．…（6分）故圆M的半径．∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．…（8分）解法四：∵，，，…（2分）∴|AC|2+|BC|2=4=|AB|2．∴△ABC是直角三角形．…（4分）∵圆M经过A，B，C三点，∴圆M是Rt△ACB的外接圆．…（6分）∴圆M的圆心M的坐标为AB的中点（2，3），半径．∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．…（8分）（2）连接PM，则，…（10分）∵，且|PT|=|PO|，∴，…（12分）化简得2a+3b﹣6=0．∴点P总在定直线2x+3y﹣6=0上．…（14分）点评：本题主要考查直线和圆等基本知识，考查运算求解能力和抽象概括能力，利用待定系数法，确定圆的方程是解题的关键．29．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=．（1）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；（2）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2=ac，B为锐角，且f（B）=1，求的值．考点：平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）根据向量的数量积运算，先化简f（x）=sin（2x﹣），再根据三角形函数的图象和性质，问题得以解决；（2）先求出B的大小，再根据正弦定理或余弦定理，即可求出的值．解答：解：（1）==．故f（x）max=1，此时，得，∴取最大值时x的取值集合为．（2），∵，∴，∴，，（法一）由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC得：=．（法二）由b2=ac及余弦定理得：ac=a2+c2﹣ac即a=c，∴△ABC为正三角形，∴．点评：本题考查向量的数量积的运算以及三角函数的化简和求值，正弦定理和余弦定理，属于中档题30．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）求函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数．考点：函数的单调性及单调区间；二次函数的性质；函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）求出a=2的函数解析式，讨论x≥2时，x＜2时，二次函数的对称轴与区间的关系，即可得到增区间；（2）函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数即为y=f（x）与y=1的交点个数．画出图象，讨论a=0，a＞0，①a=2，②0＜a＜2③a＞2，及a＜0，通过图象和对称轴，即可得到交点个数．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|，当x≥2时，f（x）=x2﹣2x，对称轴为x=1，所以，f（x）的单调递增区间为（2，+∞）；当x＜2时，f（x）=﹣x2+2x，对称轴为x=1，所以，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1）．（2）令g（x）=f（x）﹣1=0，即f（x）=1，f（x）=，求函数g（x）的零点个数，即求y=f（x）与y=1的交点个数；当x≥a时，f（x）=x2﹣ax，对称轴为x=，当x＜a时，f（x）=﹣x2+ax，对称轴为x=，①当a=0时，f（x）=x|x|，故由图象可得，y=f（x）与y=1只存在一个交点．②当a＞0时，＜a，且f（）=，故由图象可得，1°当a=2时，f（）==1，y=f（x）与y=1只存在两个交点；2°当0＜a＜2时，f（）=＜1，y=f（x）与y=1只存在一个交点；3°当a＞2时，f（）=＞1，y=f（x）与y=1只存在三个交点．③当a＜0时，＞a，故由图象可得，y=f（x）与y=1只存在一个交点．综上所述：当a＞2时，g（x）存在三个零点；当a=2时，g（x）存在两个零点；当a＜2时，g（x）存在一个零点．点评：本题考查函数的单调性的运用：求单调区间，考查函数和方程的思想，函数零点的判断，考查数形结合和分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．。