12.2.1圆的标准方程(1)
圆的标准方程完整ppt课件
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
12.2.1圆的标准方程(1)
12.1 曲线和方程
12.2 圆的标准方程（1）
一、圆的定义
定义. 到定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆, 并称这 个定点为圆心, 定长为半径. 试推导以C(a,b)为圆心, r为半径的圆的方程. y 设 M ( x, y )是所求轨迹上一点, M ( x, y) 2 2 则 | MC | r ( x a) ( y b) r
y
P （0，4）
（-10，0） A
O
x B （10，0）
x2+(y+10.5)2=14.52,（-10≤x≤10,y≥0）
三、圆的应用
变式一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。 试计算中间两根柱子的长度。(精确到0.01m) y
x2+(y+10.5)2=14.52
（-10≤x≤10,y≥0）
( x a)2 ( y b)2 r 2 所求轨迹方程是:
r
C ( a, b)
( x a ) ( y b) r
2 2
2
O
x
圆的标准方程 确定一个圆需要知道哪几个要素？
二、圆的标准方程
例1.写出下列各圆的标准方程： （1）圆心在原点，半径是3； （2）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3) （3）直径的两个端点为P(3,4)和Q(-5,6) （4）圆心为M(-1,2),且与直线2x-3y-5=0相切. （5）圆心为在x轴上，半径为5，且经过点A(2,-3)
x0 x y0 y r
过圆上一点的直线与圆相切
例2.已知 M ( x0 , y0 ) 为圆 C : x 2 y 2 r 2 上一点.
求: 过这点与圆相切的切线方程. 解: 圆C与l相切圆心与切点连线垂直于l.
圆的标准式方程
圆的标准式方程圆是平面几何中常见的一种图形，具有许多独特的性质和特点。
在代数几何中，我们经常需要用方程来描述圆的性质和位置。
而圆的标准式方程就是一种常用的描述方法，它能够清晰地表达圆的位置、半径和中心点，是我们研究圆的重要工具之一。
首先，让我们来看一下圆的标准式方程是如何定义的。
对于平面上的一个圆，假设它的中心坐标为（a，b），半径为r，则圆的标准式方程可以表示为：(x a)² + (y b)² = r²。
在这个方程中，(x, y)表示平面上的任意一点的坐标，(a, b)表示圆的中心坐标，r表示圆的半径。
通过这个方程，我们可以清晰地描述出圆的位置和大小。
接下来，让我们来看一些具体的例子，来说明如何使用圆的标准式方程。
例1，求圆心坐标为（3，4），半径为5的圆的标准式方程。
根据圆的标准式方程的定义，我们可以直接写出方程：(x 3)² + (y 4)² = 5²。
化简得：(x 3)² + (y 4)² = 25。
这样，我们就得到了这个圆的标准式方程。
例2，已知圆的标准式方程为(x + 2)² + (y 1)² = 9，求圆的中心坐标和半径。
通过观察方程，我们可以直接得到圆的中心坐标为(-2, 1)，半径为3。
这是因为标准式方程中，圆心坐标为(-a, -b)，半径为r。
通过这两个例子，我们可以看到，圆的标准式方程可以很方便地描述圆的位置和大小，对于研究圆的性质和问题非常有用。
除了描述圆的位置和大小外，圆的标准式方程还可以用来解决一些与圆相关的问题，比如与直线的交点、切线方程等。
在代数几何和解析几何中，我们经常会遇到这样的问题，而圆的标准式方程可以为我们提供一个方便的工具，帮助我们解决这些问题。
总之，圆的标准式方程是描述圆的位置和大小的重要工具，它能够清晰地表达出圆的特点，方便我们进行进一步的研究和应用。
沪教版高中数学12.2 圆的方程(1)
沪教版高中数学12.2 圆的方程（1）一、选择题（本大题共17小题，共85.0分）1. 已知三点A (1,0)，B(0,√3)，C(2,√3)则ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A. 53B. √213C. 2√53D. 43 2. 圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是( )A. (x −1)2+(y −2)2=2B. (x +1)2+(y +2)2=2C. (x −1)2+(y −2)2=5D. (x +1)2+(y +2)2=53. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A. √2 B. √22 C. 3√32 D. 2√24. 一条光线从点(−2,−3)射出，经y 轴反射与圆(x +3)2+(y −2)2=1相切，则反射光线所在的直线的斜率为( )．A. −53或−35B. −32或−32C. −54或−45D. −43或−34 5. 平行于直线2x +y +1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( )．A. 2x +y +5=0或2x +y −5=0B. 2x +y +√5=0或2x +y −√5=0C. 2x −y +5=0或2x −y −5=0D. 2x −y +√5=0或2x −y −√5=06. 若直线(1+a)x +y +1=0与圆x 2+y 2−2x =0相切，则a 的值为( )A. −1，1B. −2，2C. 1D. −17. 已知直线l:x +ay −1=0(a ∈R)是圆C:x 2+y 2−4x −2y +1=0的对称轴.过点A(−4,a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =( )A. 2B. 4√2C. 6D. 2√108. 圆心为(2,0)的圆C 与圆x 2+y 2+4x −6y +4=0相外切，则C 的方程为( )A. x 2+y 2+4x +2=0B. x 2+y 2−4x +2=0C. x 2+y 2+4x =0D. x 2+y 2−4x =09. 若直线(1+a)x +y −1=0与圆x 2+y 2+4x =0相切，则a 的值为( )A. 1或−1B. 14或−14C. 1D. −1410.已知圆的方程为x2+y2−2x=0，则圆心坐标为()A. (0,1)B. (0,−1)C. (1,0)D. (−1,0)11.曲线x2+y2+4x−4y=0关于()A. 直线x=4对称B. 直线x+y=0对称C. 直线x−y=0对称D. 直线(−4,4)对称12.圆x2+y2−4x−2y+4=0上的点到直线x−y=2的距离最大值是()D. 1+2√2A. 2B. 1+√2C. 1+√2213.已知直线l过圆x2+(y−3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是()A. x+y−2=0B. x−y+2=0C. x+y−3=0D. x−y+3=014.过点(3,1)作圆(x−1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A. 2x+y−3=0B. 2x−y−3=0C. 4x−y−3=0D. 4x+y−3=015.直线3x+4y=b与圆x2+y2−2x−2y+1=0相切，则b的值是()A. −2或12B. 2或−12C. −2或−12D. 2或1216.圆x2+y2+2x−2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a=()A. 4B. −4C. 2D. −217.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A. 4B. 4√2C. 8D. 8√2二、填空题（本大题共9小题，共45.0分）18.在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx−y−2m−1=0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．19.若过点P(2,3)作圆M:x2−2x+y2=0的切线l，则直线的方程为_______________．20.圆心为(3,−4)，半径为√5的圆的标准方程为_______．21.在平面直角坐标系xoy中，直线mx−y−3m−2=0(m∈R)被圆(x−2)2+(y+1)2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．22.已知直线y=x+a和直线y=x+b将单位圆x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=______ ．23.圆心在直线x−2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2√3，则圆C的标准方程为_______．24.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|=2.则圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．25.若直线3x−4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB=1200(O为坐标原点)，则r=．26.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y=1相切，则圆C的方程是________________．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）27.如图，ΑΒ切☉O于点Β，直线AO交☉O于D，Ε两点，ΒC⊥DΕ，垂足为C．(1)证明：∠CΒD=∠DΒΑ．(2)若ΑD=3DC，ΒC=√2，求☉O的直径．28.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y=2x−4，设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x−1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．29.如图，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O．正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO=43(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？30. 已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x −2)2+(y −3)2=1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，其中O 为坐标原点，求MN ．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查两点间的距离公式，利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．解：因为△ABC 外接圆的圆心在直线BC 垂直平分线上，即直线x =1上，可设圆心P(1,p)，由PA =PB 得|p|= √1+(p − √3 )2， 解得p =2√33， 因此圆心坐标为P (1,2√33)，所以圆心到原点的距离|OP|=√1+(2√33)2=√213故选B ．2.答案：C解析：本题考查圆的标准方程，考查两点间距离公式的应用，是基础题．由题意求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案．解：由题意可知，圆的半径为r =√12+22=√5．∴圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是(x −1)2+(y −2)2=5．故选C ．3.答案：A解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得|AC|=√2，并且B ，D 在以BC 为直径的圆上，显然|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为圆的直径，√2． 故选：A ．利用已知条件分析判断然后求解BD 的最大值．本题考查向量在几何中的应用，向量的模的最大值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用． 4.答案：D解析：本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．点A(−2,−3)关于y 轴的对称点为A′(2,−3)，可设反射光线所在直线的方程为：y +3=k(x −2)，利用直线与圆相切的性质即可得出．解：点A(−2,−3)关于y 轴的对称点为A′(2,−3)，故可设反射光线所在直线的方程为：y +3=k(x −2)，化为kx −y −2k −3=0．∵反射光线与圆(x +3)2+(y −2)2=1相切，∴圆心(−3,2)到直线的距离d =√k 2+1=1，化为24k 2+50k +24=0，∴k =−43或−34． 故选D .5.答案：A解析：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线平行的关系以及直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．利用直线平行的关系，设切线方程为2x +y +b =0，利用直线和圆相切的等价条件进行求解即可，属于基础题．解：设所求直线方程为2x +y +b =0，=√5，所以b=±5，所以√5所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y−5=0故选A．6.答案：D解析：本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线(1+a)x+y+1=0的距离等于半径，求得a的值．解：x2+y2−2x=0即(x−1)2+y2=1，表示以(1,0)为圆心、半径等于1的圆，∴圆心到直线(1+a)x+y+1=0的距离d=，√(a+1)2+1∵直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2−2x=0相切，∴d==1，√(a+1)2+1解得a=−1．故选D．7.答案：C解析：本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．根据圆的性质以及直线与圆的位置关系求即可．解：由题意知圆C的标准方程为(x−2)2+(y−1)2=4，故半径r=2．因为直线l是圆C的对称轴，即过圆心C(2,1)，所以2+a−1=0，解得a=−1，所以A(−4,−1)，CA=√(2+4)2+(1+1)2=2√10，则AB=√CA2−r2=√40−4=6．故选C．8.答案：D解析：本题考查了圆与圆的位置关系，属于中档题．根据两圆关系求出圆C的半径，从而得出圆C的方程．解：圆x2+y2+4x−6y+4=0，(x+2)2+(y−3)2=9的圆心为M(−2,3)，半径为r=3，CM=√(2+2)2+(−3)2=5，∴圆C的半径为5−3=2，∴圆C的标准方程为：(x−2)2+y2=4，即x2+y2−4x=0．故选D．9.答案：D解析：解：圆x2+y2+4x=0的圆心坐标为(−2,0)，半径r=2∵直线(1+a)x+y−1=0与圆x2+y2+4x=0相切，∴圆心到直线的距离等于半径即√(1+a)2+1=2，解得a=−14，故选：D．由圆的标准方程求出圆心坐标和半径，根据圆的切线的性质，圆心到直线的距离等于半径，就可求出a的值．本题主要考查了圆的切线的几何性质，以及点到圆的距离公式的应用．考查转化思想的应用．10.答案：C解析：解：圆的方程x2+y2−2x=0可化为(x−1)2+y2=1，∴圆心坐标为(1,0)故选：C．将圆的方程化为标准方程，即可得到圆心坐标．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．11.答案：B解析：解：曲线x2+y2+4x−4y=0化为：(x+2)2+(y−2)2=8，圆的圆心坐标(−2,2)．由于(−2,2)满足直线x+y=0，所以曲线x2+y2+4x−4y=0关于直线x+y=0对称．故选：B．求出圆的圆心坐标，即可判断选项．本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，圆的对称性问题，基本知识的考查．12.答案：C解析：解：把圆的方程化为标准方程得：(x−2)2+(y−1)2=1，所以圆心坐标为(2,1)，圆的半径r=1，所以圆心到直线x−y=2的距离d=√2=√22，则圆上的点到直线x−y=2的距离最大值为d+r=√22+1．故选：C．把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，求出d+r即为所求的距离最大值．本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径．13.答案：D解析：本题考查圆的标准方程，直线垂直的条件，以及直线的点斜式方程、一般式方程，考查了学生的计算能力，求出圆心及直线l的斜率是解题的关键．解：由题意得，圆x2+(y−3)2=4的圆心为(0,3)，又直线l与直线x+y+1=0垂直，所以直线l的斜率是1，则直线l的方程是：y−3=x−0，即x−y+3=0．故选D．14.答案：A解析：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，属于基础题．由题意判断出切点(1,1)代入选项排除B、D，推出另一个切线斜率，得到选项即可．解：因为过点(3,1)作圆(x−1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为(1,1)，显然B、D选项不过(1,1)，B、D不满足题意；另一个切点的坐标在(1,1)的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选：A．15.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，是基础题．由圆的方程求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．解：由圆x2+y2−2x−2y+1=0，得(x−1)2+(y−1)2=1，得圆心坐标为(1,1)，半径为1，∵直线3x+4y−b=0与圆(x−1)2+(y−1)2=1相切，∴圆心(1,1)到直线3x+4y−b=0的距离等于圆的半径，即√32+42= |7−b|5=1，解得：b=2或b=12．故选D．16.答案：B解析：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．解：圆x2+y2+2x−2y+a=0即(x+1)2+(y−1)2=2−a，故弦心距d=√2=√2．再由弦长公式可得：2−a=2+4，∴a=−4．故选B．17.答案：C解析：本题考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题，圆在第一象限内，设圆心的坐标为(a,a)，则有|a|=√(a−4)2+(a−1)2，解方程求得a值，代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C1C2|的值．解：∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a,a)，(b,b)，则有(4−a)2+(1−a)2=a2，(4−b)2+(1−b)2=b2，即a，b为方程(4−x)2+(1−x)2=x2的两个根，整理得x2−10x+17=0，∴a+b=10，ab=17．∵(a−b)2=(a+b)2−4ab=100−4×17=32，∴|C1C2|=√(a−b)2+(a−b)2=√32×2=8．18.答案：(x−1)2+y2=2解析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解：由题意得r=√m2+1=√m2+1=√m2+2m+1m2+1=√1+2mm2+1≤√1+2m2|m|≤√2，当且仅当m=1时等号成立，故此时的圆的标准方程为(x−1)2+y2=2．19.答案：4x−3y+1=0或x−2=0解析：本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题．过点P(2,3)斜率不存在的直线x=2与圆相切，过点P(2,3)斜率存在时，设切线方程为y−3=k(x−2)，即kx−y−2k+3=0，y因为与圆相切，所以|−k+3|√1+k2=1，解出k即可．解：圆(x−1)2+y2=1的圆心为C(1,0)，半径为1，过点P(2,3)斜率不存在的直线x=2与圆相切，过点P(2,3)斜率存在时，设切线方程为y−3=k(x−2)，即kx−y−2k+3=0，y因为与圆相切，所以|−k+3|√1+k2=1，得k=43，所以方程为43x−y+13=0即4x−3y+1=0，综上：直线的方程为4x−3y+1=0或x−2=0．故答案为4x−3y+1=0或x−2=0．20.答案：(x−3)2+(y+4)2=5解析：本题考查已知圆心和半径求圆的标准方程，属于基础题．由已知得到圆心与半径，即可求出圆的标准方程．解：因为圆心为(3,−4)，半径为√5，所以圆的标准方程为(x−3)2+(y+4)2=5．故答案为(x−3)2+(y+4)2=5．21.答案：2√2解析：本题考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系，求出已知圆的圆心为C(2,−1)，半径r =2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l 的距离d ，由垂径定理加以计算，可得直线mx −y −3m −2=0被圆截得的弦长．解：圆(x −2)2+(y +1)2=4的圆心为C(2,−1)，半径r =2，又因为直线mx −y −3m −2=0过定点A(3,−2)，且定点在圆内，当过定点A(3,−2)的直线mx −y −3m −2=0与圆心垂直时，弦长最短，所以|AC |=√(3−2)2+(−2+1)2=√2，∴根据垂径定理，得直线mx −y −3m −2=0被圆(x −2)2+(y +1)2=4截得的弦长的最小值为2√r 2−|AC |2=2√4−2=2√2．故答案为2√2．22.答案：2解析：本题考查了点到直线的距离，和直线和圆的位置关系，由题意可得，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的14，即√2=√2=cos45°，由此求得a 2+b 2的值． 解：由题意可得，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的14， ∴√2=√2=cos45°，∴a 2+b 2=2， 故答案为2．23.答案：(x −2)2+(y −1)2=4解析：此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式.根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．由圆心在直线x−2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解：设圆心为(2t,t)，半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2√3，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=−1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴(x−2)2+(y−1)2=4．故答案为(x−2)2+(y−1)2=4．24.答案：−1−√2解析：本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．由题意，得B(0,1+√2)求出圆C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截距．解：由题意，圆的半径为√2，圆心坐标为(1,√2)，∴圆C的标准方程为(x−1)2+(y−√2)2=2；所以B(0,1+√2)，∴圆C在点B处切线方程为(0−1)(x−1)+(1+√2−√2)(y−√2)=2，令y=0可得x=−1−√2.故答案为−1−√2．25.答案：2解析：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心(0,0)到直线3x −4y +5=0的距离d =12r 是解答的关键．解：若直线3x −4y +5=0与圆x 2+y 2=r 2(r >0)交于A 、B 两点，O 为坐标原点， 且∠AOB =120°，则圆心(0,0)到直线3x −4y +5=0的距离d =rcos60°=12r ， 即√32+42=12r ，解得r =2，故答案为2．26.答案：(x −2)2+(y + 32 )2= 25 4解析：本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．解：设圆的圆心坐标(a,b)，半径为r ，因为圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y =1相切，所以 {a 2+b 2=r 2 (a −4)2+b 2=r 2|b −1|=r，解得 {a =2 b =− 32 r = 52 ， 所求圆的方程为：(x −2)2+(y + 32 )2= 25 4．故答案为(x −2)2+(y + 32 )2= 25 4． 27.答案：(1)证明：∵DE 是⊙O 的直径，则∠BED +∠EDB =90°，∵BC ⊥DE ，∴∠CBD +∠EDB =90°，即∠CBD =∠BED ，∵AB 切⊙O 于点B ，∴∠DBA =∠BED ，即∠CBD =∠DBA ；(2)解：由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC =AD CD =3，∵BC =√2，∴AB =3√2，AC =√AB 2−BC 2=4，则AD =3，由切割线定理得AB 2=AD ⋅AE ，即AE =AB 2AD =6，故DE =AE −AD =3，即可⊙O 的直径为3．解析：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．(1)根据直径的性质即可证明：∠CBD =∠DBA ；(2)结合割线定理进行求解即可求⊙O 的直径．28.答案：解：(1)联立得：{y =x −1y =2x −4，解得：{x =3y =2,∴圆心C(3,2)，若k 不存在，不合题意；若k 存在，设切线为：y =kx +3，可得圆心到切线的距离d =r ， 即√1+k 2=1，解得：k =0或k =−34，则所求切线为y =3或y =−34x +3；(2)设点M(x,y)，由MA =2MO ，知：√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2，化简得：x2+(y+1)2=4，∴点M的轨迹为以(0,−1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C(a,2a−4)，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=√a2+(2a−3)2，∴1≤√a2+(2a−3)2≤3，解得：0≤a≤12．5解析：本题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．(1)联立直线l与直线y=x−1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；(2)设M(x,y)，由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以(0,−1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．29.答案：解：(1)如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴tan∠ABF=tan∠BCO=4．3设AF=4x(m)，则BF=3x(m)．∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x(m)，EF=AO=60(m)，∴BE=(3x+60)m．∵tan∠BCO=43，∴CE=34BE=(94x+45)(m)．∴OC=(4x+94x+45)(m)．∴4x+94x+45=170，解得：x=20．∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；(2)如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO．设OM=xm，则OP=43xm，PM=53xm.∴PC=(43x+170)m，PQ=(1615x+136)m.设⊙M半径为R，∴R=MQ=(1615x+136−53x)m=(136−35x)m.∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R−AM≥80，R−OM≥80，∴136−35x−(60−x)≥80，136−35x−x≥80．解得：10≤x ≤35．∴当且仅当x =10时R 取到最大值．∴OM =10m 时，保护区面积最大．解析：本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)在四边形AOCB 中，过B 作BE ⊥OC 于E ，过A 作AF ⊥BE 于F ，设出AF ，然后通过解直角三角形列式求解BE ，进一步得到CE ，然后由勾股定理得答案；(2)设BC 与⊙M 切于Q ，延长QM 、CO 交于P ，设OM =xm ，把PC 、PQ 用含有x 的代数式表示，再结合古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m 列式求得x 的范围，得到x 取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．30.答案：解：(1)由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A(0,1)的直线方程：y =kx +1，即：kx −y +1=0．由已知可得圆C 的圆心C 的坐标(2,3)，半径R =1． 故由√k 2+1<1， 故4−√73<k <4+√73．(2)设M(x 1,y 1)；N(x 2,y 2)，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y =kx +1，代入圆C 的方程(x −2)2+(y −3)2=1， 可得(1+k 2)x 2−4(k +1)x +7=0，∴x 1+x 2=4(1+k)1+k 2，x 1⋅x 2=71+k 2，∴y 1⋅y 2=(kx 1+1)(kx 2+1)=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1 =71+k 2⋅k 2+k ⋅4(1+k)1+k 2+1=12k 2+4k+11+k 2，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=12k 2+4k+81+k 2=12，解得k =1， 故直线l 的方程为y =x +1，即x −y +1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以MN =2．解析：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．(1)由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．(2)由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．。
圆的标准方程怎么求
圆的标准方程怎么求圆是平面几何中非常重要的一个图形，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
在学习圆的相关知识时，我们经常会遇到求圆的标准方程的问题。
那么，圆的标准方程怎么求呢？接下来，我将详细介绍圆的标准方程的求解方法。
首先，我们知道圆的标准方程一般形式为，(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆的半径。
要求圆的标准方程，我们需要知道圆心坐标和半径。
1. 已知圆心坐标和半径。
如果已知圆的圆心坐标为(a, b)，半径为r，那么圆的标准方程就可以直接写出来，(x-a)² + (y-b)² = r²。
举个例子，如果圆的圆心坐标为(2, 3)，半径为5，则圆的标准方程为，(x-2)² + (y-3)² = 25。
2. 已知圆上的三点坐标。
如果已知圆上的三点坐标为(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，那么可以通过以下步骤求出圆的标准方程：步骤一，先求出中垂线的方程。
中垂线是过两点的直线，且与这两点的连线垂直。
通过已知的三点坐标，可以求出两条中垂线的方程。
步骤二，求出中垂线的交点。
解方程组，求出中垂线的交点，即圆心坐标。
步骤三，求出圆的半径。
利用已知的圆心坐标和任意一点的坐标，可以求出圆的半径。
步骤四，写出圆的标准方程。
根据已知的圆心坐标和半径，写出圆的标准方程。
3. 已知直径的两端点坐标。
如果已知圆的直径的两端点坐标为(x1, y1)，(x2, y2)，那么可以通过以下步骤求出圆的标准方程：步骤一，求出圆心坐标。
直径的中点即为圆心坐标。
步骤二，求出圆的半径。
利用已知的直径的两端点坐标，可以求出圆的半径。
步骤三，写出圆的标准方程。
根据已知的圆心坐标和半径，写出圆的标准方程。
通过上面的介绍，我们可以看到，求圆的标准方程的方法并不复杂。
只要掌握了圆心坐标和半径的求解方法，就可以轻松地写出圆的标准方程。
初中数学圆的方程知识点
初中数学圆的方程知识点
1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的'标准方程是(xa)^2+(yb)^2=r^2。
特殊地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^24F)/4.故有：
(1)、当D^2+E^24F0时，方程表示以(D/2,E/2)为圆心，以(√D^2+E^24F)/2为半径的圆;
(2)、当D^2+E^24F=0时，方程表示一个点(D/2，E/2);
(3)、当D^2+E^24F0时，方程不表示任何图形。
3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB 为直径的圆的方程为 (xa1)(xa2)+(yb1)(yb2)=0
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2
在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2 圆的方程学问在学校数学逇学习中涉及到的并不是许多，同学们把握基础就好。
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2.2.1 圆的标准方程
2.2．1 圆的标准方程教学分析作为一般曲线的典型例子，课本安排了本节“圆的标准方程”．圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用．同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的标准方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础，也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用．今天学习圆的标准方程，由于“圆的标准方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”．为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计，所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机地结合起来．教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题．三维目标1．使学生掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．2．会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力．3．理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．把握运动变化原则，培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点，欣赏和体验圆的对称性，感受数学美．重点难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确．教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．课时安排1课时教学过程导入新课(情境导入)情境一：如图1，已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶．一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？图1如图2，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，问题可以转化为求圆上的点的纵坐标，这就需要建立圆的方程．为此我们学习圆的标准方程．情境二：课前准备：用淀粉在一张白纸上画上海和山．引入：说明最终在白纸上要表演的是一个小魔术，名称是《日出》，所以还缺少一个太阳，请学生帮助在白纸上画出太阳．要求其他学生在自己的脑海里也构出自己的太阳．图2课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评：其实每人心中都有一个自己的太阳，每个人都有自己的审美观点)．然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆，进而对应着不同的圆的方程．从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹．那么在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的直线方程的求解，应该如何建立圆的方程？提出问题①已知两点A(2，－5)，B(6,9)，如何求它们之间的距离？若已知C(3，－8)，D(x，y)，又如何求它们之间的距离？②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图3中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图3④我们知道，在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角，那么决定圆的条件是什么？⑤如果已知圆心坐标为C(a，b)，圆的半径为r，我们如何写出圆的方程？⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？活动：学生回忆学过的知识，注意观察图形，教师引导，学生思考、交流，学生之间可以相互讨论，学生有困难教师及时提示点拨．①教师引导学生回顾两点之间的距离公式，要正确代入点的坐标．②学生回顾初中学习的圆的定义，教师提示利用集合观点加以解释．③观察图形，结合圆的定义说明．④通过问题③的观察，不难得出确定圆的条件．⑤1°建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示圆上任意点M的坐标，简称建系设点；2°写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)|}，简称写点集；3°用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0，简称列方程；4°化方程f(x，y)＝0为最简形式，简称化简方程；5°证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．⑥问题⑤完成后，说明方程形式的特点．讨论结果：①根据两点之间的距离公式d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，得|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(6－2)2＋(9－5)2＝212.同理，|CD|＝(x－3)2＋(y＋8)2.②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径(教师在黑板上画一个圆)．③圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|＝r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．④确定圆的条件是圆心和半径，只要圆心和半径确定了，那么圆的位置和大小就确定了．⑤确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为C(a，b)，半径为r(其中a，b，r都是常数，r＞0)．设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P＝{M||MC|＝r}，由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件(x－a)2＋(y－b)2＝r，将上式两边平方得(x－a)2＋(y－b)2＝r2.化简可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(*)若点M(x，y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方程(*)，反之若点M的坐标满足方程(*)，这就说明点M与圆心C的距离为r，即点M在圆心为C的圆上．方程(*)就是圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的方程，我们把它叫作圆的标准方程．⑥这是二元二次方程，展开后没有xy 项，括号内变数x ，y 的系数都是1.点(a ，b )，r分别表示圆心坐标和圆的半径．当圆心在原点即C (0,0)时，方程为x 2＋y 2＝r 2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么？②确定圆的方程的方法和步骤？③坐标平面内的点与圆有什么位置关系？如何判断？活动：学生观察圆的标准方程，指出其中的变量和常量，自己动手，画出圆，看点与圆有什么位置关系，教师可以提示引导．①从圆的标准方程中可以看出，确定圆的方程有两个要素，三个条件，两个要素即圆心和半径，三个条件是参数a ，b ，r 且r ＞0.只要两个要素或三个条件确定了，那么圆就确定了．②根据问题①我们知道，找到确定a ，b ，r 的条件就可以了．③点与圆有什么位置关系，取决于点到圆心的距离和半径的大小关系．讨论结果：①圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2中，有三个参数a ，b ，r ，只要求出a ，b ，r 且r ＞0，这时圆的方程就被确定了，因此确定圆的标准方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．②确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a ，b ，r 的方程组，求a ，b ，r ，或直接求出圆心(a ，b )和半径r ，一般步骤为：根据题意，设所求的圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；根据已知条件，建立关于a ，b ，r 的方程组；解方程组，求出a ，b ，r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．③点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的关系的判断方法：当点M (x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上时，点M 的坐标满足方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.当点M (x 0，y 0)不在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上时，点M 的坐标不满足方程(x －a )2＋(y－b )2＝r 2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明：1° 点到圆心的距离大于半径，点在圆外⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，点在圆外；2° 点到圆心的距离等于半径，点在圆上⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，点在圆上；3° 点到圆心的距离小于半径，点在圆内⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，点在圆内．应用示例例1 求以C (4，－6)为圆心、半径等于3的圆的方程．解：将圆心C (4，－6)、半径等于3代入圆的标准方程，可得所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋6)2＝9.例2 已知两点M 1(4,9)和M 2(6,3)．求以M 1M 2为直径的圆的方程．解：根据已知条件，圆心C (a ，b )是M 1M 2的中点，那么它的坐标为a ＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6. 根据两点间距离公式，得圆的半径r ＝|CM 1|＝(4－5)2＋(9－6)2＝10.因此，所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10.点评：A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. 例3 写出圆心为A (2，－3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M 1(5，－7)，M 2(－5，－1)是否在这个圆上．活动：学生阅读题目，分析探求，可以从计算点到圆心的距离入手，教师巡视指导，要求学生在黑板上板书，并说明自己解题的思维过程．先由圆心坐标和半径写出圆的方程，再探究点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系．解：圆心为A (2，－3)，半径长等于5的圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，把点M 1(5，－7)，M 2(－5，－1)分别代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝25知道，M 1的坐标满足方程，所以M 1在圆上．M 2的坐标不满足方程，M 2不在圆上．点评：本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想．根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看点在不在圆上——从代数到几何．例4 △ABC 的三个顶点的坐标是A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)，求它的外接圆的方程．活动：教师引导学生从圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2入手，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a ，b ，r 三个参数．另外可利用直线AB 与AC 垂直平分线的交点确定圆心，从而得半径，圆的方程可求，师生总结、归纳，提炼方法．解法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)都在圆上，它们的坐标都满足方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧ (5－a )2＋(1－b )2＝r 2，(7－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－8－b )2＝r 2.解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－3，r ＝5. 所以△ABC 的外接圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.解法二：线段AB 的中点坐标为(6，－1)，斜率为－2，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ＋1＝12(x －6)，即x －2y －8＝0.① 同理，线段AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－72，斜率为3，所以线段AC 的垂直平分线的方程为y ＋72＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72，即x ＋3y ＋7＝0.② 解由①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－3，所以圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(5－2)2＋(1＋3)2＝5.所以△ABC 的外接圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.点评：△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心，它是△ABC 三边的垂直平分线的交点，它到三顶点的距离相等，就是圆的半径，利用这些几何知识，可丰富解题思路．例5 已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程．活动：学生阅读题目，分析条件，教师指导学生考虑问题的思路．(1)利用圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，只要能构造三个方程求出a ，b ，r 便可．(2)确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，由于圆心C 与A ，B 两点的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于|CA |或|CB |.解法一：设所求的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，将点A (1,1)和B (2，－2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－2－b )2＝r 2. 又圆心在l ：x －y ＋1＝0上，所以a －b ＋1＝0. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－2－b )2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－2，r ＝5. 所以所求的圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 解法二：因为A (1,1)和B (2，－2)，所以线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，直线AB 的斜率为k AB ＝－2－12－1＝－3， 故线段AB 的垂直平分线方程为y ＋12＝13⎝⎛⎭⎪⎫x －32， 即x －3y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2. 因此圆心C 的坐标为(－3，－2)，半径r ＝|AC |＝(1＋3)2＋(1＋2)2＝5，所以所求的圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.点评：比较解法一与解法二，不难看出解法二直接明了，思路明确，易于理解，而解法一则笼统，较繁．圆的几何性质的运用使圆的方程的求解运算简单、方便、快捷，这也是解析几何中以形助数的精髓，在以后的解题中要注意应用．课堂练习:P79课堂小结①圆的标准方程．②点与圆的位置关系的判断方法．③根据已知条件求圆的标准方程的方法．④利用圆的平面几何的知识构建方程．⑤直径端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 课后作业：P85习题2—2 A 组第1题．。
高二下学期圆的知识点
12.2圆的方程知识点（一） 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内（二） 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2、圆的一般方程的特点：(1)2x 和2y 的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)圆心（(,)22D E --,半径r =（4）二元二次方程022=++++F Ey Dx y x ，2240D E F +->是表示圆的充要条件。
例1：若方程222(2)20a x a y ax a ++++=表示圆，求实数a 的值。
例2：求过点(4,1)A -,且与已知圆222650x y x y ++-+=相切于点(1,2)B 的圆的方程。
例3：求与两平行线210,290x y x y --=-+=均相切且圆心在直线3210x y ++=上的圆的方程。
例4:一圆与y 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且直线y x =截圆所得弦长为圆的方程。
（三）、直线与圆的位置关系1、几何法：用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；2、代数法：将直线带入到圆中，根据判别式的情况来研究位置关系。
圆的标准式方程
圆的标准式方程圆是平面上所有到圆心距离都相等的点的集合，是几何中非常重要的图形之一。
在解决几何问题时，我们经常需要用到圆的标准式方程。
下面我们就来详细介绍一下圆的标准式方程及其相关知识。
圆的标准式方程可以表示为，$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$，其中$(a, b)$为圆心的坐标，$r$为圆的半径。
这个方程是通过圆的定义所得到的，它告诉我们圆上任意一点$(x, y)$满足到圆心的距离等于半径$r$，即$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$。
接下来我们来看一个例子，通过一个具体的问题来理解圆的标准式方程。
假设有一个圆心坐标为$(2, 3)$，半径为$5$的圆，我们要求这个圆的标准式方程。
根据圆的标准式方程，我们可以直接写出方程为，$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 5^2$。
这样，我们就得到了这个圆的标准式方程。
除了通过给定圆心和半径来求圆的标准式方程外，我们还可以通过其他方式来得到圆的标准式方程。
比如，如果我们知道圆上的三个点的坐标，我们就可以通过这些点来求出圆的标准式方程。
具体的做法是先利用这三个点的坐标来列方程，然后解方程得到圆的标准式方程。
在实际问题中，我们经常需要用到圆的标准式方程来解决一些几何和物理问题。
比如，在求解圆的切线、切点、交点等问题时，圆的标准式方程可以帮助我们简化问题，更快更准确地得到答案。
除了圆的标准式方程外，我们还可以通过其他方式来表示圆。
比如，我们可以用圆的一般式方程或参数方程来描述圆。
这些不同的表示方式在不同的问题中可能会更加方便和有效，因此我们需要根据具体情况来选择合适的表示方式。
总之，圆的标准式方程是描述圆的重要工具之一，它可以帮助我们更好地理解和使用圆。
通过本文的介绍，相信大家对圆的标准式方程有了更深入的了解，希望能够在实际问题中灵活运用，取得更好的成绩。
数学圆的方程
数学圆的方程
圆的方程是描述平面上一个圆的标准数学公式。
在二维坐标系中，一个圆可以用其圆心和半径来唯一确定。
标准方程：
圆的标准方程是(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。
这个方程描述了所有与圆心距离等于r 的点(x, y) 的集合。
一般方程：
圆的一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D, E, 和F 是常数。
这个方程可以通过配方转化为标准方程，从而找出圆心和半径。
圆心坐标可以通过公式(-D/2, -E/2) 计算，半径r 可以通过公式r = sqrt((D^2 + E^2 - 4F) / 4) 计算（注意：这个公式仅在方程确实描述一个圆时有效，即D^2 + E^2 - 4F > 0）。
圆的参数方程是另一种描述圆的方式，它用参数t（通常是角度）来表示圆上的点。
参数方程是x = h + r * cos(t) 和y = k + r * sin(t)，其中(h, k) 是圆心坐标，r 是半径，t 是参数（通常取值范围是0 到2π）。
圆的标准方程
圆的标准方程简介圆是数学中最基本的几何图形之一，它是由到一个固定点距离恒定的所有点的集合组成。
在平面几何中，我们经常使用标准方程来表示圆的方程。
本文将介绍圆的标准方程及其性质。
圆的定义用数学语言来描述，圆是一个平面上的点的集合，这些点与一个确定的点的距离都相等。
这个确定的点被称为圆心，距离被称为半径。
圆的标准方程圆的标准方程常表示为：圆的标准方程，其中圆心坐标是圆心的坐标，半径是圆的半径。
同样，方程也可以展开为：x2-2ax+a2+y2-2by+b2=r^2。
圆的性质圆心与半径•圆心坐标：标准方程中的圆心坐标就是圆的圆心坐标。
•半径：标准方程中的半径就是圆的半径。
直径与半径•直径：圆的直径是通过圆心的一条线段，且该线段的两个端点在圆上。
直径的长度等于半径的两倍。
•直径与半径的关系：直径等于半径的两倍。
弦•弦：圆上两点的线段被称为弦。
当弦经过圆心时，就是直径。
弧•弧：弧是圆上两点之间的一段曲线。
圆上的弧可以通过圆心角来定义。
圆的周长和面积•周长：圆的周长可以通过圆的直径来计算，公式为周长公式，其中 pi 是一个常数，约等于3.14159。
•面积：圆的面积可以通过圆的半径来计算，公式为面积公式。
示例假设有一个圆心坐标为圆心坐标示例，半径为4的圆，我们可以得到该圆的标准方程为：标准方程示例。
展开后的方程为方程示例。
总结本文介绍了圆的标准方程的定义、写法和性质。
圆的标准方程常用于描述圆的几何形状和位置。
通过圆的标准方程，我们可以轻松计算圆的周长和面积，并通过方程得到圆的其他性质。
圆的标准式方程
圆的标准式方程圆是平面上一点到另一点的距离恒定为半径的闭合曲线。
在数学中，我们经常会遇到圆的相关问题，比如求圆的面积、周长，或者给定某些条件，求圆的方程。
本文将围绕圆的标准式方程展开讨论。
首先，我们来看一下圆的定义。
圆是平面上所有到圆心的距离都等于半径的点的集合。
圆的圆心通常用字母O表示，半径通常用字母r表示。
根据勾股定理，圆上任意一点的坐标为（x，y），圆心的坐标为（a，b），则有：(x a)² + (y b)² = r²。
这就是圆的标准式方程。
在这个方程中，（a，b）表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
通过这个方程，我们可以方便地求解圆的相关问题。
接下来，我们来看一些应用例题。
比如，已知圆心坐标为（2，3），半径为5，求圆的标准式方程。
根据上面的公式，代入圆心坐标和半径，可以得到：(x 2)² + (y 3)² = 25。
这就是所求的圆的标准式方程。
通过这个方程，我们可以方便地求解圆的面积、周长等问题。
除了求解圆的标准式方程，我们还可以利用这个方程来判断点的位置关系。
比如，已知一个点的坐标为（4，5），判断这个点是否在上面所求的圆内。
将点的坐标代入圆的标准式方程，如果等式成立，则说明这个点在圆内；如果不成立，则说明这个点在圆外。
此外，我们还可以利用圆的标准式方程来求解与其他几何图形的位置关系。
比如，已知一个直线方程为2x + 3y = 6，判断这条直线与上面所求的圆的位置关系。
将直线方程化为标准式方程，然后与圆的标准式方程联立，可以求解出它们的交点，进而判断它们的位置关系。
总之，圆的标准式方程在数学中有着广泛的应用。
通过这个方程，我们可以方便地求解圆的相关问题，判断点的位置关系，以及求解与其他几何图形的位置关系。
希望本文能够对你有所帮助，谢谢阅读！。
圆形的标准方程
圆形的标准方程简介圆形是数学中一个经典的几何图形，具有许多特殊的性质和应用。
在二维平面上，圆形可以由其标准方程来描述。
本文将介绍圆形的标准方程及其相关概念和性质。
圆形的定义和性质圆形是由平面上所有距离等于某个固定值的点组成的集合。
该固定值称为圆的半径，用字母r表示。
圆心是圆上所有点的中心点。
圆心到圆上任意一点的距离等于半径。
圆形具有以下重要性质：1. 圆形的直径是其半径的两倍，即直径=2r。
2. 圆形的周长是其半径乘以2π，即周长=2πr。
3. 圆形的面积是其半径平方乘以π，即面积=πr²。
圆形的标准方程在笛卡尔坐标系中，圆形的标准方程可以表示为：(x - a)² + (y - b)² = r²其中，(a, b)为圆心坐标，r为半径。
该方程表达了平面上与圆心距离为r的所有点的集合。
推导过程我们可以通过推导来理解圆形的标准方程。
假设点P(x, y)在圆上，其与圆心C(a, b)的距离为r。
根据勾股定理，我们可以得到：√((x-a)² + (y-b)²) = r两边平方后，得到：(x-a)² + (y-b)² = r²该方程即为圆形的标准方程。
应用示例下面是一些应用示例，展示了如何利用圆形的标准方程解决实际问题：1. 确定一个点是否在圆形内部：将该点的坐标代入圆形的标准方程中，如果等式成立，则点在圆内部；否则，点在圆外部。
2. 求解圆与直线的交点：将直线的方程和圆形的标准方程联立，求解其交点的坐标。
3. 建立坐标系：通过已知圆心和半径，可以利用圆形的标准方程确定两个坐标轴的位置和方向。
总结本文介绍了圆形的标准方程及其相关概念和性质。
通过圆形的标准方程，我们可以方便地描述圆形并解决与圆形相关的几何问题。
希望本文对您理解圆形的标准方程有所帮助。
圆的标准方程课件
圆的标准方程课件圆是平面几何中的重要图形之一，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在学习圆的相关知识时，我们需要了解圆的标准方程，这是描述圆的一种重要方式。
本课件将详细介绍圆的标准方程，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 圆的定义。
首先，让我们来回顾一下圆的定义。
圆是平面上到一个定点距离等于定长的所有点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍。
2. 圆的标准方程。
圆的标准方程是描述圆的一种数学表达式，它可以简洁地表示出圆的位置、形状和大小。
对于平面直角坐标系中的圆来说，其标准方程为：(x a)² + (y b)² = r²。
其中(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
这个方程的意义是平面上任意一点(x, y)到圆心(a, b)的距离等于半径r。
3. 推导过程。
我们可以通过一些基本的几何知识来推导圆的标准方程。
首先，假设圆心坐标为(a, b)，半径为r。
设平面上任意一点的坐标为(x, y)。
根据两点间距离公式，点(x, y)到圆心(a, b)的距离为：√[(x a)² + (y b)²]根据圆的定义，这个距离应该等于半径r。
因此，我们可以得到方程：√[(x a)² + (y b)²] = r。
两边平方得到：(x a)² + (y b)² = r²。
这就是圆的标准方程。
4. 圆的图像。
接下来，让我们来看一下圆的图像。
通过圆的标准方程，我们可以很容易地画出圆的图像。
首先，确定圆心的坐标(a, b)，然后以半径r为距离在平面直角坐标系上作图，就可以得到一个完整的圆。
5. 圆的性质。
最后，我们来总结一下圆的一些重要性质。
根据圆的标准方程，我们可以得到以下结论：圆的标准方程中，圆心坐标(a, b)决定了圆的位置，半径r决定了圆的大小。
圆的标准方程 课件
【技法点拨】求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：根据题意直接求出圆心和半径,然后再写出圆的标 准方程. (2)待定系数法： ①设：根据题意,设所求圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2; ②列：根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组; ③解：解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的圆的标准 方程中,就得到所求的圆的标准方程.
［2 (3)］2 ［ 3 (3)］2 5, | ON | (2 5)2 (3 2)2 34＞5, | OQ | (2 4)2 (3 7)2 20＜5,
所以点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内.
【互动探究】题1中,若点在圆外,则a的取值范围又是什么? 【解析】若点在圆外,则(1-a)2+(1+a)2>4,解得a2>1,即a<-1 或a>1
【探究提升】 1.对圆的标准方程的理解 (1)圆的标准方程是由两点间的距离公式推导出来的,它是圆的 定义的直观反映,是代数与几何结合的完美体现. (2)由圆的标准方程可直接写出圆的圆心和半径,反之,已知圆 的圆心和半径可以写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准 方程的优越性.
2.圆的标准方程中参数a,b,r的作用 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,其中(a,b) 为圆心,r为半径.结合圆的定义可知,圆心(a,b)在确 定圆时起到定位作用,即影响圆的位置;而半径r在确定圆时起 到定形作用,即影响圆的大小.
3.几种常见特殊位置的圆的标准方程 (1)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程：x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上,半径为r的圆的标准方程：(x-a)2+y2=r2. (3)圆心在y轴上,半径为r的圆的标准方程：x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上且过原点的圆的标准方程： (x-a)2+y2=a2(a≠0). (5)圆心在y轴上且过原点的圆的标准方程： x2+(y-b)2=b2(b≠0).
MXT-12.2.1圆的方程
课堂练习
课本，P39，练习：1，2，3，4.
小结
▪ （1）圆的标准方程. ▪ （2）根据圆的标准方程求圆心和半径.
作业
▪ 练习册：方程写出圆心坐标和半径： （1）(x-2)2+(y+3)2=5； （2）(x+a)2+y2=a2 (a≠0).
例2．写出下列各圆的方程： （1）圆心在C(3,4)，半径为； （2）经过点P(5,1)，圆心C(8,-3)． （3）直径的两个端点为A(3，-2)和B(-1，6)； （4）求以C(-1，2)为圆心，并且和直线2x-3y-
12.2.1 圆的方程
问题1：已知一定圆C的圆心在原点，半径为r， 求此圆的方程.
问题2：若设一定圆C的圆心为(a,b)，半径为r， 求此圆的方程.
圆的标准方程
▪ 定义：我们称方程(x-a)2+(y-b)2=r2 是圆心 为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程.
▪ [说明]这种对应关系把圆和方程联系起来， 我们把圆的定义从文字语言转化为数学语 言，把圆的几何性质代数化，从而体现了 解析几何的特点.
( x1 x0 )( x x1 ) ( y1 y0 )( y y1 ) 0
( x1 x0 )[( x x0 ) ( x0 x1 )] ( y1 y0 )[( y y0 ) ( y0 y1 )] 0
( x1 x0 )( x x0 ) ( y1 y0 )( y y0 ) r 2
5=0相切的圆的方程.
求圆方程的方法之一：找出圆心和半径。
例3．过点 (2,2 3) 且与圆x2+y2=4相切的 直线方程.
例4.已知M(x0，y0)为圆C：x2+y2=r2上一点， 求过点M的圆C的切线l的方程.
圆的方程公式大全总结
圆的方程公式大全总结在几何学中，圆是一种特殊的几何图形，由中心点和与中心点等距离的一组点构成。
圆的方程公式是用来描述和表示圆的数学表达式。
本文将总结常见的圆的方程公式，以便更好地理解和应用圆的性质。
1. 标准方程标准方程是描述圆的常用形式之一，它可以表示任意圆。
一般地，设圆心为（h，k），半径为 r，则圆的标准方程为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中 (x, y) 是圆上的任意一点。
2. 中心半径方程中心半径方程也是常用的圆的方程形式，它与标准方程具有一一对应的关系。
一般地，设圆心为（h，k），半径为 r，则圆的中心半径方程为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2这个方程与标准方程完全一样，只不过常数项 r^2 在等式的右边。
3. 截距方程截距方程是一种简化形式的圆的方程，它可以方便地确定圆上的两个截距。
一般地，设圆心为（h，k），半径为 r，则圆的截距方程为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2这个方程可以进一步简化为：x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0其中 g、f、c 分别为常数。
4. 参数方程参数方程是用参数的形式表示圆的方程。
一般地，设圆心为（h，k），半径为 r，则圆的参数方程为：x = h + rcosθy = k + rsinθ其中θ为参数，取值范围为0 ≤ θ ≤ 2π。
5. 切线方程切线方程用于确定与圆的某一点相切的直线方程。
一般地，设圆心为（h，k），半径为 r，过圆上点（x₁，y₁）的切线方程为：(y - y₁) = m(x - x₁)其中 m 为切线的斜率。
6. 直径方程直径方程是用直径的形式表示圆的方程。
一般地，设圆心为（h，k），过圆心的直径方程为：(x - h)(x' - h) + (y - k)(y' - k) = 0其中(x’, y’) 是直径上的另一点。
7. 导出公式根据圆的性质，还可以导出一些常用的公式。
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x2 y 2 r 2
【典型例题】
例3. 已知圆过点 A(2, 3) 和 B(2, 5) ，若圆心在直线 x 2 y 3 0 上，试求圆的标准方程. y 解. 易求线段的中垂线方程： l1 : 2 x y 4 0 o x 又已知圆心在直线 l2 : x 2 y 3 0 · ·(2,-3) Q 求得 l1与l2 交点 Q(1, 2) A 即为圆心坐标。又
2 2
2
得a 2, r 10,
2
故所求圆的方程为x 2) y 10. (
2 2
例3. 已知圆过点 A(2, 3) 和 B(2, 5) ，若圆心在 直线 x 2 y 3 0 上，试求圆的标准方程.
解. 设圆心坐标为 C ( a, b) ，半径为 r 法一 (2 a) 2 (3 b) 2 r 2 由题意，得： (2 a) 2 (5 b) 2 r 2 a 2b 3 0 a 1 解方程组，得：b 2 r 10 ( x 1)2 ( y 2)2 10 所以所求的圆的标准方程为：
· B(-2,-5)
r QA (2 1)2 (3 2)2 10
2 2
所以所求的圆的标准方程为：( x 1)2 ( y 2)2 10
点与圆的位置关系
一个圆过点P(12,0),且与y轴切于原点. 求这个圆的方程,并判断点A(6,-6)、 B(5,-5)、 C(2.5,5)是在圆内,在圆外,还是在圆上.
【第12章 圆锥曲线】
圆的标准方程
曲线与方程
什么是方程的曲线和曲线的方程？ 定义. 在直角坐标系中, 如果曲线C和二元方程 F ( x, y ) 0 之间满足: ①曲线C上的点的坐标都是方程的解; ②方程的解为坐标的点都在曲线C上; 则称：方程 F ( x, y ) 0为曲线C的方程; 曲线C是方程 F ( x, y ) 0 的曲线.
( x 2)2 ( y 3)2 3
以原点为圆心的单位圆. 2. 写出下列圆的标准方程.
x a
y2 a2
a,0
|a|
(1)以原点为圆心, 4为半径的圆. x 2 y 2 16 (2)圆心在点C(3,4), 半径为 5
x 3 y 4 5
2 2
C ( a, b)
( x a)2 ( y b)2 r 2
所求轨迹方程是 ( x a)2 ( y b)2 r 2
O
x
圆的标准方程
定义. 到定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆, 并称这 个定点为圆心, 定长为半径. 以C(a,b)为圆心, r0为半径的圆的方程为：
（x-6)2+y2=62 A在圆上,B在圆内,C在圆外
小结
定义. 到定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆, 并称这 个定点为圆心, 定长为半径. 以C(a,b)为圆心, r0为半径的圆的方程为：
( x a)2 ( y b)2 r 2
称上述形式的圆的方程为圆的标准方程. 特别地, 以原点为圆心, r0为半径的圆的标准方程是
( x a)2 ( y b)2 r 2
称上述形式的圆的方程为圆的标准方程. 特别地, 以原点为圆心, r0为半径的圆的标准方程是
x2 y 2 r 2
思考：确定一个圆需要知道几个条件？
课内练习
1.口答下列方程所表示圆的圆心与半径.
( x 1) 2 y 2 32 x2 y 2 1 ( x 3) 2 ( y 2) 2 4
2 2
【典型例题】
例1. 求以 C (1,3) 为圆心,并与直线 3x 4 y 7 0 相切的圆的标准方程.
解. 因为圆与直线 3x 4 y 7 0 相切 所以圆心到直线的距离等于半径 由点到直线距离公式，得
r 3 1 4 3 7 3 (4)
2 2
y
C r O
16 5
x
所以圆的标准方程为：
x 1
2
y 3
2
256 25
例2.求过点C(-1,1),D(1,3),圆心在x轴上的圆的 方程
解：依题意设所求圆的方程为( x a) y r .
2 2 2
(1 a) 1 r 解方程组 2 2 2 (1 a) 3 r
圆的精确定义
定义. 到定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆, 并称这 个定点为圆心, 定长为半径.
一般要求这个定长是正数.
试推导以C(a,b)为圆心, r为半径的圆的方程.
y
M ( x, y)
r
设 M ( x, y )是所求轨迹上一点, 则 | MC | r ( x a) ( y b) r