第四讲 单自由度系统强迫振动(上)

根据幅频曲线，拾振器设计
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4. 粘滞阻尼应用（续）
应用二： 应用二：隔振系统
隔振系统设计
If β < 2, increase ξ
If β > 2, decrease ξ
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4. 粘滞阻尼应用（续）
阻尼测量： 阻尼测量： 自由振动衰减法 共振系数法 半功率谱法
(
)
[(
)
]
形式② 形式②：v p (t ) = G exp(iω t )
p G= 0 k 1 − β 2 − i (2ξβ ) 2 2 2 ( ) 1 − β + 2 ξβ
( (
) )
形式③ 形式③：v p (t ) = ρ sin(ω t − θ )
ρ=
−1 p0 2 2 2 1 − β 2 + (2ξβ ) ⇒ D = 1− β 2 k 2ξβ θ = tan −1 (0 < θ < π ) 2 1 − β
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1. 无阻尼系统（续）
p0 ——静力荷载po 位移 k
1 ——荷载放大系数(MF) 1− β 2
sin ω t ——简谐荷载引起的稳态响应分量(steady-state response) β sin ωt ——初始条件控制的瞬态响应分量 (transient response)
− Cω 2 p m +C = 0 k k
C= p0 k 1 2 ( ) 1 − ω ω
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1. 无阻尼系统（续）
通解 (General Solution)：
v (t ) = vc (t ) + v p (t ) = A cos ωt + B sin ωt + C sin ω t
p + 0 k 1 1 − β 2 sin ω t − 2ξβ cos ω t 2 2 1 − β 2 + (2ξβ )
(

)
[(
)
]
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2. 粘滞阻尼系统（续）
稳态简谐响应
p 形式① 形式①：v p (t ) = 0 k 1 1 − β 2 sin ω t − 2ξβ cos ω t 2 2 2 + (2ξβ ) 1− β
[(
)
]
[(
) + (2ξβ ) ]
2 2
−1
2
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3. 振动特性分析
振动幅值
p 2 2 2 ρ= 0 1 − β + 2 ξβ ( ) ( ) k
−1 2
2 2 2 ⇒D= 1 − + 2 β ξβ ( ) ( )
−1
2
D →1 ① β → 0，静力荷载：
1 ② β = 1，共振响应： D= 2ξ
③β → ∞，系统静止： D→0
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3. 振动特性分析（续）
振动相位
θ = tan −1
2ξβ 2 1 − β
① β →0 ②
θ → 0 结构变形与作用力同步
θ = 90o
β =1
结构变形落后作用力1/4周期 结构变形与作用力反向
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下周同一时间再见!
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齐次解 (Complementary Solution)： vc (t ) = A cos ωt + B sin ωt 特殊解 (Particular Solution)：
&&p (t ) = −Cω 2 sin ω t v p (t ) = C sin ω t ; v
− Cω 2 m sin ω t + Ck sin ω t = p0 sin ω t
D= 1 2ξ
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小 结
1. 简谐荷载作用下的结构响应 无阻尼系统、 无阻尼系统、粘滞阻尼系统 齐次解＋ 齐次解＋特殊解＝ 特殊解＝通解 2. 简谐荷载振动特性分析 振动幅值、 振动幅值、振动相位、 振动相位、共振 3. 相关应用 振动传感器、 振动传感器、隔振系统、 隔振系统、阻尼测量
o ③ β → ∞ θ → 180
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3. 振动特性分析（续）
粘滞阻尼系统共振
① ②
1 2ξ
β =1
D=
β → 1 共振条件
1 2ξ 1 − ξ 2
③ 极值 Dm =
β = 1 − 2ξ 2
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4. 粘滞阻尼应用*
应用一： 应用一：振动传感系统
p (t ) = p 0 sin ω t
&&(t ) + cv &(t ) + kv(t ) = p0 sin ω t mv
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1. 无阻尼系统
荷载形式： 荷载形式： 振动方程： 振动方程：
p(t ) = p 0 sin ω t
&&(t ) + kv(t ) = p0 sin ω t mv
初始条件 (Initial Conditions)：
& ( 0) = 0 v ( 0) = v
A = 0 ，B = −
p0 β k
1 ω β , = 2 ω 1 − β
无阻尼系统通解： 无阻尼系统通解：
v(t ) = p0 k 1 (sin ω t − β sin ωt ) = R p (t ) + Rs (t ) 2 β 1 −
p G1 = 0 k − 2ξβ 2 2 2 ( ) 1 − β + 2 ξβ
(
)
G2 =
p0 k
1− β 2 2 2 2 1 − β + ( 2 ξβ )
(
)
β =ω ω
通 解：
v(t ) = [ A cos ω D t + B sin ω D t ]exp(−ξωt )
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2. 粘滞阻尼系统
&&(t ) + 2ξωv &(t ) + ω 2 v(t ) = 振动方程： 振动方程：v
p0 sin ω t m
齐次解： 齐次解：
vc (t ) = [A cos ω D t + B sin ω D t ]exp(−ξωt )
特殊解： 特殊解： v p (t ) = G1 cos ω t + G 2 sin ω t
f I (t ) —Inertial force惯性力
&&(t ) f I (t ) = mv
fD (t) —Damping force阻尼力 f D (t ) = cv &(t )
f s (t ) —Spring force弹性力
f s (t ) = kv(t )
p ( t ) —Applied force强迫力
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桥梁动力学概论
主讲教师： 主讲教师：葛耀君 教 授 孙 智 副教授
土木工程学院本科生专业任选考查课 2010年春季学期
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第三章 单自由度系统强迫振动
第一节 简谐荷载作用
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第一节 简谐荷载作用
f I (t ) + f D (t ) + f s (t ) = p(t )