数学：《分割与补形数学》课件(人教a版)

课题： 分割与补形
教学目标： 1、培养用辩证的观点分析问题、
解决问题的能力； 2、进一步提高空间想象力； 3、在求体积问题中，掌握“分割”与
“补形”的技能； 4、培养创新能力。
思考：
1、棱柱、棱台、棱锥的图形有何联系？
上底扩大
正棱柱
s=s'
V柱体 =Sh
1 V台体 =--h(S+√SS'+S') 3
1 V锥体 =--Sh 3
上底缩小
正棱台
正棱锥
s'=0
思考：
1、棱柱、棱台、棱锥的图形有何联系？ 答：它们的形状不同，但在一定的条件 下可以互相转化。
思考：
① ② ③ 1、棱柱、棱台、棱锥的图形有何联系？
A' C' A' B'
A'
B'
A'
C' B' C
A
答：它们的形状不同，但在一定的条件 下可以互相转化。 C A C C
这侧面与所对的棱的距离等于3厘米，则它的 体积为_________.
6cm
3
小结:分割与补形的原则------转化后的 几何体易于求体积
分析
例2 三棱锥P-ABC 中,PA⊥BC,PA=BC=l, PA、BC的公 垂线ED=h， 求：三棱锥的体积。 P 解法一：（补形成三棱柱）
E
C' B'
如图，以ABC为底面，PA为 A 侧棱将三棱锥P-ABC补成三棱柱 ABC-A’B’C’，∵PA⊥BC，PA⊥ED， ∴PA⊥面EBC，即面EBC为三棱柱的直 截面，故
E D A
E D A
F C B
F C B
B. 5
F
C. 6
D.15/2
E F
C
D A B
C
棱柱、棱台、棱锥 图形联系
分割 知识小结： 与 形补
三棱锥体积公式 推导
应用举例
思 考
方法小结： 1、学会辩证地思考问题； 2、学会转化的思想方法； 3、大胆猜想，训练思维敏捷性， 培养创新能力。 作业：
P122/9、10
B
B
B
2、如何求三棱锥的体积？ 答：把三棱锥①以△ABC为底面、AA’ 为侧棱补成一个三棱柱，则
V
三棱锥
=-V
1 3
三棱柱
“割补法”的定义：
将一“小几何体”补成“大 几何体”或将“大几何体”分割 成几个“小几何体”的解题方法， 我们称之为“割补法”。
E D A B F C
A'
C' B'
C A B
C'
D B
S四边形A'ABB'=S
=-V
CC’到面A’ABB’的距离为a,则面A’ABB’与 面C’CDD’之间的距离为a,于是 1 1 三棱柱ABC-A'B'C' 2 平行六面体 2
V
=-aS
分析
例1 斜三棱柱ABC-A’B’C’的一个侧面的 面积为S，这个侧面与它相对棱的距离为a， 1 C' 求证这个棱柱的体积为 -aS 2
练习2：正四面体对棱间的距离为m，
1 3 － m 3 则它的体积为_________
C P
C P
B A
A
B
思考题：如图，在多面体 ABCDEF中，已知面ABCD 是边长为3的正方形， EF∥AB，EF=3/2。EF与平 面AC的距离为2，则该多面 体的体积为（ D ） A. 9/2
E D A B
E D A
F
A'
B'
C
C
B
A
B
分析
例1 斜三棱柱ABC-A’B’C’的一个侧面的 面积为S，这个侧面与它相对棱的距离为a， 1 求证这个棱柱的体积为 -aS 2 C'
D'
证法一：(补形成平行六面体) 如图,将三棱柱ABC-A’B’C’补成平 六面体ABCD-A’B’C’D’,由题意可设
C A
B'
行
解法二：（分割形成两个三棱锥） P
如图，连结PD、AD分割三棱锥 P-ABC成两个三棱锥B-ADP和 E C-ADP，∵BC⊥ED，BC⊥AP， A ∴BC⊥平面ADP，∴
1 VP-ABC=VB-ADP+VC-ADP=－S 3 △ADP×BC
B
D
C
1 1 1 2 =－ ×ED×BC=－l 6 h 2 3 ×－PA
证法二：(分割成三棱锥) 如图,连结AC’、BC’、AB’，易知
A' B'
VC'-ABC=VC'-AA'B'=VC'-ABB'
C A B
1 VABC-A'B'C'=3VC-ABB'=3×－V C'-ABB'A' 2 3 1 1 =－×－aS=－aS 2 3 2
练习1：斜三棱柱的一个侧面积为4平方厘米，
B
D
C
1 2 1 V三棱柱ABC-PB'C'=S直截面EBC×PA=－BC ×ED×PA=－l 2 2
h
1 又知VP-ABC=－ V ABC-PB'C' 3
1 2 ∴VP-ABC=－l h 6
分析
例2 三棱锥P-ABC中,PA⊥BC,PA=BC=l, PA、 BC的公垂线ED=h， 求：三棱锥的体积。
C' A' C A B B'
C' B'
D'
C A B
D
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P
C' P B'
A
C B
A
C B
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P
P
A
C B
A
B
D
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