2020高考数学复习 数学说题2018年全国Ⅲ卷理科第19题)(共23张PPT)

解题过程
解法1
面面垂直性质的应用 面面垂直 线面垂直
解：（1）由题设知,平面 CMD⊥平面 ABCD,交线为 CD.因为 BC⊥CD,BC 平面 ABCD,所以
BC⊥平面 CMD,故 BC⊥DM.
因为 M 为CD 上异于 C，D 的点,且 DC 为直径，所以 DM⊥CM.
又 BC CM=C,所以 DM⊥平面 BMC.
设 n (x, y, z) 是平面 MAB 的法向量,则
n n
AM 0, 2x y AB 0. 即 2 y 0.
z

0,
学生在求解法向量时容易出错，
可取 n (1, 0, 2) .
平时应该加强这方面 的训练
DA 是平面 MCD 的法向量,因此
cos n, DA n DA | n || DA |
夯实基础 提高能力
—2018年高考全国卷3（理科）19题
试题来源
选修2-1 119页B组第3题
图中的二面角的棱并未显示出来， 以下简称“无”棱二面角
真题再现
如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异 于 C ， D 的点．
（1）证明：平面 AMD⊥平面BMC ； （2）当三棱锥 M ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
5.当面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 2 5 时， 5
求直线AM和平面MBC所成角的正弦值.
由面面角定动点位置再求线面角
备考启示 他山之石 可以攻玉
高考预测：该考点仍会以空间常见几何体为载体; 1、考查空间中线线、线面、面面垂直的证明，属低中档题； 2、考查空间角（主要是二面角、线面角）的计算，属中档题。
3
3
当体积不是最大值时
2.当M再圆弧上运动时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值的取值范围.
运动变化，构造函数求最值
变式拓展
3.当面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 2 5 时，求M的位置. 5
逆向思维
4.当三棱锥M-ABC体积最大时，直线AM和平面MBC所成角的正弦值.
求解线面角
变式拓展
命题立意
说
试题分析
题
解题过程
流
规律总结
程
变式拓展
备考启示
命题立意
试题分析 第一问
（1）证明平面AMD 平面BMC
几何法1：
MD⊥面BMC
线线垂直 线面垂直的判定定理 线面垂直
面面垂直的 判定定理 面面垂直
面AMD⊥面BMC
几何法2：面面垂直的定义（直二面角）
向量法：
将问题转化为两平面法向量垂直
5， 5
学生易错点“函数名称”
sin n, DA 2 5 ， 5
平时应加强公式听写 注重公式的推导
所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 2
5
.
5
“无”棱二面角
几何法
寻找两平面的 交线
找到二面角的平面角
步骤：“作、指、证、求”
解法2
解题过程 几何法
当点M与圆心O的连线MO DC时三棱锥
面BMC的法向量n (0,b,a 2),因为m n 0, 所以平面ADM平面 平面BMC .
试题分析 第二问
（2）当三棱锥 M ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
挖掘条件“体积最大”
二面角
M的位置
寻找二面角的平面角
选择
射影面积法
转化为向量夹角
解题过程 “无”棱二面角 解法1 向量法：把空间角转化为向量夹角
的体积最大.过点M作EF DC ,由线面平行 作平行直线
的性质可得EF为二面角的棱，
找二面角的棱
找到AB的中点P，易证OM EF，PM EF，
则PMO为所求二面角的平面角，
在直角MOP中，MO=1，OP=2，
MP=
5，sin PMO

2 5. 5
解法3
几何法 补体思想
将原几何体补成如图所示的直四棱柱 ABCD-ABCD,取AB中点N，连结AN， BN则面CDM 面ABN，于是两个平面 所成二面角将转化成面ABM与面ABN
S S
MCD MAB

1, 5
所以 sin

2 5. 5
规律总结：“无”棱二面角的处理方法
向量法：将空间角转化为向量夹角
几何法：寻找二面角的平面角 设法作出二面角的棱 将“无”棱二面角转化为有棱二面角. 射影面积法
变式拓展
1.当三棱锥M-ABC体积为 1 时（最大值 2 ），求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
所成二面角，取AB的中点P，连结MN， PN，MP，则MPN为所求二面角 的平面角，解Rt MNP,
sinMPN

2 5. 5
作平行平面找 二面角的棱
解法4 射影面积法求二面角
射影面积法S=S cos,由题意将二面角
的平面角设为，MAB在 MCD上的，
投影图形正好是 MCຫໍສະໝຸດ Baidu，
则cos =
（2）以 D 为坐标原点, DA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz.
当三棱锥 M−ABC 体积最大时，M 为CD 的中点. 由题设得 D(0,0,0), A(2,0,0), B(2, 2,0),C(0, 2,0), M (0,1,1) ，
解题过程
AM (2,1,1), AB (0, 2, 0), DA (2, 0, 0)
也可证明 CM 面ADM
而 DM 平面 AMD,故平面 AMD⊥平面 BMC.
对学生而言难点：如何在面中选线证明线面垂直
难点突破：深入挖掘题目中的垂直关系；
从线线垂直入手采用逐个尝试的方法.
解题过程
解法2 定义解题 寻找二面角的平面角
过M做BC的平行线m，
由线面平行的性质定理可得m是 平面ADM和面BMC的交线, 由解法（1）知MC m,DM m,
则DMC是二面角D-m-C的平面角，
因圆中直径所对的圆周角是直角，
则DMC =900， 所以平面AMD 面BMC.
解题过程
解法3 向量法
建立如图坐标系：设M (0,a,b ),其中满足（a-1）2 +b2 =1,
（0<a<2，0<b 1)求出平面ADM的法向量m (0,b,a)，