学案1 数列
人教版高中数学 教案+学案综合汇编 第1章：数列 课时20
人教版高中数学 教案+学案 综合汇编第1章 数列 第二十教时教材：求无穷递缩等比数列的和目的：要求学生掌握无穷递缩等比数列的概念及其求和公式，并能解决具体问题。
过程： 一、例题：例一、已知等比数列 ,21,81,41,21n ，求这个数列的前n 项和；并求当∞→n时，这个和的极限。
解：公比 21=q , n n nn q q a S 211211])21(1[211)1(1-=--=--= 101)21(1)211(lim limlim =-=-=-=∴∞→∞→∞→n n n n n n S解释：“无穷递缩等比数列”1︒ 当∞→n 时，数列为无穷递缩等比数列相对于以前求和是求有限项（n项）2︒ 当 | q | <1时，数列单调递减，故称“递缩” 3︒ 数列{a n }本身成GP小结：无穷递缩等比数列前n 项和是qq a S n n --=1)1(1当∞→n 时， )1(11)1(lim lim limlim 11n n n n n n n q q aq q a S S -⋅-=--==∞→∞→∞→∞→qa S -=∴11其意义与有限和是不一样的 例二、求无穷数列 ,0003.0,003.0,03.0,3.0各项和。
解：1013.003.0,1033.01====q a 31931011103==-=∴S214181例三、化下列循环小数为分数：1．⋅⋅31.2 2．⋅⋅1231.1解：1．991329913210011100132100001310013231.2=+=-+=+++=⋅⋅2．333441999013201101110000131.11032110321103211.11231.131074==-+=++++=⋅⋅ 小结法则： 1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数。
2．混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同。
高中数学数列概念教案
高中数学数列概念教案
教学内容：数列概念
教学目标：能够理解数列概念，掌握常见数列的性质及求解方法。
教学重点和难点：掌握数列的定义及常见数列的性质。
教学准备：教学课件、教学实验材料、小黑板、粉笔、教科书。
教学过程：
一、引入（5分钟）
通过渐进法引入数列的概念，并引导学生思考数列在生活中的实际应用，激发学生学习的
兴趣。
二、讲解（15分钟）
1. 数列的定义：依据顺序排列的一系列数构成的序列称为数列。
2. 数列的表示方法：通项公式及递推公式。
3. 常见数列及性质：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
三、实例讲解（20分钟）
通过实例演算，帮助学生掌握数列的性质及求解方法，巩固所学知识。
四、练习（15分钟）
设计一些与课堂内容相关的练习题，让学生在课堂上进行练习，检验他们的学习情况。
五、总结（5分钟）
对本节课所学内容进行总结，强调重点知识点，帮助学生将学到的知识点牢固记忆。
六、作业布置（5分钟）
布置相关的课外作业，加深学生对数列的理解。
教学反思：
此教案通过引入、讲解、演算、练习、总结和作业布置等方式，全面系统地向学生介绍了
数列的概念及性质，帮助学生掌握了数列的基本知识，同时激发了学生对数学的学习兴趣。
在今后的教学中，应注重巩固学生的基础知识，引导学生灵活运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学素养和解题能力。
数列的教案
数列的教案【篇一：数列的概念的教学设计】数列的概念教学设计一、教材与教学分析1．数列在教材中的地位根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。
教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)．2．教学三维目标分析知识目标：使学生理解数列概念、分类、表示方法以及数列通项公式能力目标：1）通过对数列概念的教学让学生了解数列和函数间的关系2）会用通项公式写出数列的任意一项3）对于简单的数列会根据其前几项写出它的一个通项公式情感目标：1）培养学生观察抽象的能力2）培养学生从特殊到一般的归纳能力3）创设师生共同研究的教学情境，培养学生乐于求索，勇于创新的精神教学重点：理解数列概念教学难点：根据数列的前几项抽象归纳出数列的通项公式二、教学方法与学习方法启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。
探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探；激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。
合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。
三、教学过程设计1.创设情景，引入新课有人说，大自然是懂数学的.通过多媒体图片展示花瓣数：2,3,5,8,13，具有一定的规律性，学生发现，教师适时点拨规律.图片展示树的分支也呈现同样的规律性.从而介绍学习数列的意义：数列是反映自然规律的模型——引出课题；设计意图：为了让学生体会数学源于生活并激发学生的学习兴趣，采用生活中学生熟悉的问题引入，关注学生的最近发展区，学生思维产生“结点”；2.实例分析，理解概念内涵数学发展的过程中，类似于上述例子很多，例如:①庄子“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 11214181， 16②我国从84年奥运会到08年奥运会共获得了163枚金牌数：5，15, 16,16, 28, 32, 51.③电影院有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为:20，22，24，26，?，78④堆放的钢管从上到下每层数目：4，5, 6, 7，8, 9, 10通过以上实例应到学生思考每组数字具有怎样的特征:都有一定的顺序点拨：本问题研究第几个位置上的数字是什么的问题？也就是研究按顺序排列的一列数的问题，这就是数列；设计意图：对教材中的引例进行深化，为帮助学生形成数列概念；一个数学概念的学习与形成需要大量的、有意义的实例才能帮助学生理解透彻；多给学生参与的机会才能将问题理解清楚，从而掌握概念、概括概念的本质；3.抽象概括，形成数列概念由学生通过对上述问题本质的理解，试概括出数列的定义，教师给予指导；按一定次序排列的一列数叫数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（首项）、第2项、?、第n 项?，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列；数列的一般形式可以写成：a1，a2，?，an，?简记为{an}，其中an 是数列的第n项；引导学生对概念进行反思与巩固①说出生活中的一个数列实例．②数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否为同一个数列？③数列“-5,-3,-1,1,3,5，?”中，a3,a6各是什么数？设计意图：结合数列的定义，让学生举出数列的例子，并让学生判断举出的例子是否是数列，生生互动；检测学生是否理解数列的概念；给出3个问题由学生讨论并回答，教师启发总结，进一步加深对数列概念的理解，师生互动；4.深入探究，理解概念外延①数列的函数观点数列研究的是第几个位置上的数是多少的问题，其中存在几个变量？是否符合函数的变量间的关系？用此观点分析数列上述一数列，对于数列中的每个序号n，都有唯一的一个项an与之对应：序号 1 2 3 4 ??64↓↓↓↓ ↓项1 22223 ??263*引导学生从函数的观点分析数列：数列可以看成以正整数集n或它的有限子集{1，2， ?k}为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，即数列是一个特殊的函数；设计意图：抓住数列蕴含着两变量间关系的本质，以问题形式提出，学生对知识建构形成自然，然后用从特殊到一般的方法帮助学生理解；②数列的通项公式从函数角度看，通项公式就是an与n之间的函数关系式an=f(n)；如数列1,2,3 ,n, 通项公式为an=f(n)=n即an=n 1111又如数列1,,, ,, 通项公式为an= n23n教学中，学生体会数列通项公式将数列所有项及性质表达很清楚，故求通项公式对研究数列是非常有帮助的；5.应用概念，解决问题例1.根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：（启发学生回答）⑴an=n (2)an=(-1)n?n n+1题后反思:方法,类似于求函数值,在通项公式中依次取n=1、2、3、4、5得到数列的前5项. 例2写出下面数列的一个通项公式.（启发学生回答）(1)1,2,4,8,...(2)3,5,7,9,... (3)9,99,999,9999,... (4)1,-1,1,-1,...题后反思:①题目条件中让写出“一个”通项公式，能否再写出一个符合题意的通项公式？注：给出数列的前几项，可以归纳出不止一个通项公式；②写通项公式的一般方法：由各项的特点，找出各项共同的构成规律.通过观察、归纳研究数列中的项与序号之间的关系，写出一个满足条件的最简捷的公式.6.课堂练习，检测与反馈练习1.写出下列数列的一个通项公式：（1）1,4,9,16，... （2）5，55，555，5555,...(3) 1--， 234练习2.如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，是由一串直角三角形演化而成的，其中 oa1,oa2,oa3, ,oa8的长度组成数列1=a1a2=a2a3= =a7a8=1，记oa111{an}(n∈n,1≤n≤8)若按上述方式，一直下去，你能计算出oa2012的长度吗?aa5a63a21a7a87.课堂小结引导学生思考：通过本节课的学习谈谈你有哪些收获？①本节学习的数学知识：数列的概念和简单表示；四、教学评价与反思1.通过概念课教学，力求使学生明确（1）概念的发生、发展过程以及产生背景；（2）概念中有哪些规定和限制的条件，它们与以前的什么知识有联系；（3）概念的名称、表述的语言有何特点；（4）概念有没有等价的叙述；（5）运用概念能解决哪些数学问题等。
北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 数列 1.1 数列的概念——分层作业
解析
(-1) ·(+1)
2+1
(-1) -1 ·
an=
2-1
,n∈N+,则a1=
.
(-1)1-1 ×1
a1= 2×1-1 =1,
(-1)+1-1 ·(+1)
an+1=
2(+1)-1
=
(-1) ·(+1)
.
2+1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
通项公式可以写成an=(-1)n,也可以写成an=(-1)n+2,选项D错误.故选BCD.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 1 3 1 5
2.[探究点三]已知数列-2 , 2,-8 , 4,-32,…,则该数列的第
A.-
25
B.
98
2
解析
99
C.
100
2
或-1,当 n
1-1
为偶数时,an= =0,不满足数列
2
1,0,1,0,1,0…的通项公式;
对于 C,当 n 为奇数时,an=1,当 n 为偶数时,an=0,满足数列 1,0,1,0,1,0…的通项
公式;
对于 D,当 n 为奇数时,an=1,当 n 为偶数时,an=0,满足数列 1,0,1,0,1,0…的通项
(2)若am,at(m,t∈N+)是数列{an}中的项,那么2am+3at是数列{an}中的项吗?
请说明理由.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解 (1)令an=4n-1=135,得n=34,
《等比数列》学案1
等比数列的前n 项和（两课时）一 知识梳理新知：等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ，公比为q ≠0， 公式的推导方法一：公式的推导方法二：二 问题探究 知识点一、等比数列前n 项和的基本计算：“知三求二”问题，即：已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.例1“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
怎样用学过的知识来说明它？例2、等比数列{}n a 的公比,1218==a q ，求前八项的和8s例3、求和： 9999999999999个n +++例4、某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p(p>0),求这个工厂去年产值的总和。
练习：1、13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.2、在等比数列{a n }中，S 3＝72S 6＝632，求a n .3、 等比数列中，33139,.22a S a q ==,求及4、在等比数列}{n a 中，661=+n a a ，12822=-n a a ，前n 项和126=n S ，求n 和公比q5、某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?知识点二、利用等比数列前n 项和的性质解题例5 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，32n n S S -()1-≠q 也成等比.练习：1、 在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S .2、等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S .3、等比数列的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 20＝30，S 60＝630，求S 70的值．知识点三 错位相减法的应用例6、求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．练习：1、求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．知识点四 等比数列前n 项和的证明问题例7、 数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a ≠0，a ≠1），试证明数列{}n a 是等比数列.练习：1、已知n S 是数列}{n a 前n 项和，n n p S =（R p ∈，*N n ∈），判断}{n a 是否是等比数列2、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且142n n S a +=+， 11a =，设12n n nb a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列.知识点五 等差数列、等比数列的综合问题例8、设{a n }是等差数列，na nb ⎪⎭⎫⎝⎛=21，已知：b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求等差数列的通项.a n练习 1、在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2 a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，求n 的值．三、课堂反馈：1．若等比数列}{n a 的前n 项和a S n +=32，则a 等于（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．1-2．已知数列｛n a ｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n 项和为（ ）Ａ．0 B ．n Ｃ．n a 1 Ｄ．a 1n3．已知等比数列｛n a ｝中，n a =2×31-n ，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和n S 的值为（ ） Ａ．3n －1 B ．3(3n－1) Ｃ．419-nＤ．n4．实数等比数列｛n a ｝，n S ＝n a a a +++ 21，则数列｛n S ｝中（ ）Ａ．任意一项都不为零 B ．必有一项为零 Ｃ．至多有有限项为零 Ｄ．可以有无数项为零5．在等比数列}{n a 中，21=a ，前n 项和为n S ，若数列}1{+n a 也是等比数列，则nS 等于（ ） A ．221-+nB ．n 3C ．n 2D ．13-n6．在等比数列}{n a 中，41=a ，5=q ，使710>n S 的最小n 的值是（ ）Ａ．11 Ｂ．10 Ｃ．12 Ｄ．97．已知数列｛n a ｝的前n 项和n S =n 3,则876a a a ++＝ .8．一个数列的前n 项和为n S =1－2+3－4+…+(－1)1+n n ,则S 17＋Ｓ33＋Ｓ50＝ ． 9．已知正项等比数列｛n a ｝共有2m 项，且2a ·4a =9(3a ＋4a )，1a ＋2a ＋3a ＋…＋m a 2=4(2a ＋4a ＋6a ＋…＋m a 2),则1a = ,公比q = .10．在等比数列}{n a 中，已知24=S ，68=S ，则=+++20191817a a a a ． 11．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S ，33S 成等差数列，则}{n a 的公比为 ．12．在等比数列中，已知：36,463==S a ，求n a13．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q14．各项均为正数的等比数列}{n a ，若前前n 项和为n S ，且1010=S ，7030=S ，求40S15．已知等比数列}{n a 共有n 6项，前n 项和为2，其后n 2项和为12，求最后n 3项和16．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列此三数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求这三个数．17.已知数列}{n a 是首项41=a ，公比1≠q 的等比数列，n S 是其前n 项和，且14a ，5a ，32a -成等差数列．（１）求公比q 的值；（２）求n n a a a T 242+++= 的值．18.已知数列}{n a 中，n S 是它的前项和，且11=a ，241+=+n n a S ，设nn n a a b 21-=+（*N n ∈）． （１）求证：数列}{n b 是等比数列，并求数列}{n b 的通项公式； （２）求证：3211121<+++nb b b ．高二数学试题一．选择题：1. 数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为（ ）A.12-=n a nB.)21()1(n a n n --=C.)12()1(--=n a n nD.)12()1(+-=n a n n 2．在等差数列{}n a 中，若210,a a 是方程21280x x +-=的两个根，那么6a 的值为A ．－12B ．－6C ．12D ．6 3.若ABC ∆中，4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么=C cos （ ）A. 41-B. 41C.32-D.324. 若CcBb Aa cos cos sin ==,则ABC ∆为（ ）A ．等边三角形B ．有一个内角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形5.等差数列{}n a 的通项公式21,n a n =+其前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为（ ） A. 120 B.70C.75D. 1006．在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ）A. 0060,45,10===C A bB. 060,5,6===B c aC. 060,5,7===A b aD. 045,16,14===A b a7．在等差数列{}n a 中，若189=S ，240=n S ，304=-n a ，则n 的值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．178． 在ABC ∆中，060=A ，1=b ，其面积为3，则CB A c b a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392 C ．338 D ．2399．在m 200高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是030,060，则塔高为（ ）A m 3400 B m 33400 C m 33200 Dm 320010．在三角形ABC 中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么A 等于（ ）A ．030 B ．060 C ．0120 D ．015011．设11102++-=n n a n ，则数列{}n a 从首项到第几项的和最大（ ）A ．第10项B ．第11项C ．第10项或11项D ．第12项12．在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（ ） A ．12 B ．14 C ．15 D ．16 二．填空题：13．已知{}n a 为等差数列，3822a a +=，67a =，则5a =____________. 14. 已知数列{}n a 的前n 项和是21n S n n =++, 则数列的通项=n a __ .15．在ABC ∆中,若222c b a <+,且23sin =C ,则=∠C16．ABC ∆中，a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，ABC S ∆=23，那么b = .三．解答题:17. (本小题满分12分)等差数列{an}的首项为1a ，公差为d ，项数为n ，第n 项为na ，前n 项和为nS ，请填写下表：18.(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中，已知34151296=+++a a a a，求前20项之和．19. (本小题满分12分)在ABC ∆中，已知3=a ，2=b ，045=B ， 求A ，C 及c .20. (本小题满分12分)已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。
高中教学数列设计数学教案
高中教学数列设计数学教案
教学内容：数列
一、教学目标
1.了解数列的定义和性质。
2.掌握常见数列的求和公式。
3.能够应用数列知识解决问题。
二、教学重点和难点
重点：数列的定义和性质，常见数列的求和公式。
难点：能够灵活运用数列知识解决问题。
三、教学准备
1.教师准备教案和教学PPT。
2.学生准备数学笔记本和作业本。
四、教学过程
1.引入：通过引入一个简单的问题引出数列的概念，让学生思考数列的定义。
2.概念讲解：讲解数列的定义和性质，包括等差数列、等比数列等常见数列的特点。
3.例题讲解：通过几个例题，帮助学生掌握常见数列的求和公式。
4.练习：让学生做一些练习题，巩固所学知识。
5.拓展：提出一些拓展问题，让学生运用所学知识解决问题。
6.总结：总结本节课的重点内容，梳理学生的思路。
五、教学反馈
1.教师让学生口头回答一些问题，检查他们的理解情况。
2.教师布置相关作业，巩固所学知识。
六、教学手段
1.课堂互动：让学生积极参与，通过讨论和解答问题来加深理解。
2.多媒体辅助：通过PPT呈现数列的概念和例题，提高学生的学习效果。
七、教学总结
本节课通过引入、讲解、练习等环节，使学生初步掌握数列的相关知识，为以后的学习打下坚实基础。
2.1.1 数列-王后雄学案
张喜林制2.1.1 数列教材知识检索考点知识清单1．数列、数列的项： 叫做数列， 叫做这个数列的项． 2．数列的通项公式： ———————————————————.就叫做这个数列的通项公式．3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以 来表示一个数列，数列的图象是一些 ，它们位于 ．4.根据数列的项数可以把数列分为 和 ，根据数列中项与项的大小关系可以把数列分，为 、 、 和 ．5.数列与函数的关系： ．要点核心解读1．数列的概念(1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做数列的项，数列的一般形式：,,,,,,321 n a a a a 简记为n n a a },{是数列}{n a 的第n 项．（2）数列可以看成以正整数集+N （或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数),(n f a n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值． 2．数列的通项公式如果数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.通项公式是数列的一个重要概念．如果已知一个数列的通项公式，那么只要依次用1，2，3，…，代替公式中的n ，就可以求出这个数列的各项．要由数列的项写出数列的一个通项公式，只需观察、分析数列中的项的构成规律（即寻找项与项数的函数关系），将项n a 表示为项数n 的函数关系．3．数列的表示(1)通项公式；(2)列表；(3)图象（一群孤立的点）．4．数列的分类(1)按数列中项数的有限与无限分类：(2)按数列中项与项之间的大小关系分类：(3)按各项绝对值是否小于某一个正数分类：（注：后两种分类课本未介绍，但了解它对以后的学习有利，故在此加以介绍） 5．应注意的问题(1)由数列的定义可知：①数列中的项是数（包括表示数的式），不能是其他；②数列中的项是要考虑顺序的，不像集合里的元素有无序性；③数列中不同的项可以相等，不像集合里元素必须互异；n n a a 与④}{ 是不同的，}{n a 表示一个数列，而n a 是数列}{n a 的第n 项．(2)对于通项公式应注意：①通项公式实质是数列的项与其项数之间的函数关系式，只不过定义域是正整数集+N （或它的有限子集{1，2，3，…，n}），因此可以用函数方法研究数列的有关问题；②并不是所有的数列都有通项公式；③有些数列的通项公式有不同的形式，特别是只给出前面几项的数列更是如此；④数列的通项公式可以用分段函数表示．(3)利用数列的单调性研究数列的有关问题时，一定要注意自变量n （项数）只能取正整数．典例分类剖析考点1 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式 命题规律(1)根据数列的前几项，归纳出数列的通项公式．(2)根据数列的递推 关系，归纳、猜 想数列的通项公式．[例1]写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数．;,225,8,29,2,21)1( ;,9,7,5,3,1)2( -- ;,,,,,,)3( b a b a b a ,9999,999,99,9)4([解析] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：,,225,216,29,24,21 所以，它的一个通项公式为⋅=22n a n(2)数列各项的绝对值为1，3， 5，7，9，…，是连续的正奇数；考虑1)1(+-n 具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为).12()1(1--=+n a n n(3)这是个摆动数列，可寻找其摆动平衡位置与摆动振幅，平衡位置：,2b a +振幅：,2ba -用n )1(- 或1)1(+-n 去调节，则⋅--++=+2)1(21ba b a a n n (4)各项加l 后，变为,,10000,1000,100,10 此数列的通项公式为,10n 可得原数列的通项公式为.110-=n n a[答案] 2)1(2n a n = )12()1()2(1--=+n a n n =n a )3(2)1(21ba b a n --+++ 110)4(-=n n a[误区诊断] (1)奇数列l ，3，5，7'．，一的通项公式易误写为2n +1．应为2n -1．(2)正负相间用1)1(+-n 来调节，负正相间用n )1(-来调节．[方法技巧] 根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认知过程，解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系． 具体可参考以下几个思路：①先统一项的结构，如都化成分数、根式等．②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式，如本例(1)中可将分子、分母分别处理.③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以k )1(-处理符号，如本例(2).④对于周期出现的数列，如本例(3)可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．还必须熟练地掌握一些基本数列的通项公式，比如下面这些数列均属于基本数列，它们的通项公式必须记住．(1)数列-1，l ，-1，1，…的通项公式是;)1(n n a -= (2)数列1，2，3，4，…的通项公式是,n a n = (3)数列l ，3，5，7，…的通项公式是;12-=n a n (4)数列2，4，6，8，…的通项公式是⋅=n a n 2 (5)数列1，2，4，8，…的通项公式是,21-=n n a (6)数列1，4，9，16，…的通项公式是,2n a n = (7)数列 ,41,31,21,1的通项公式是na n 1=（其中).+∈N n 母体迁移 1．设数列,31,0},{11nnn n a a a a a -+==+写出数列的前4项并归纳出该数列的通项公式， 考点2 用递推公式法求数列中的项命题规律(1)利用简单的递推公式去求数列的通项． (2)利用递推公式去求数列中的某些项．[例2] （2010年黄冈市训练题）数列，}{n a 中求==21,1a a ,,612n n n a a a -=++求⋅2010a . [解析] 本题若从一般入手，难以求出其通项公式，因此不妨从特例入手，看一看数列的构成规律．一[答案] ,5,6,1,5,6,1654321-=-=-====a a a a a a 6,1,5,6,11110987-=-====a a a a a .512-=a 猜想}{n a 是以6为周期的周期数列（即相同的6项循环地出现的数列）．事实上，n n n a a a -=++12n n n a a a --=-1,,31n n n a a a -=∴-=+--=∴+6n a ⋅=+n n a a 3即}{n a 是以6为周期的周期数列． .5633562010-===∴⨯a a a[启示] 本例中，通过特例（求出数列}{n a 的前几项）发现一般规律（周期数列），再利用这一般规律求出特殊项),2010a （这正是特殊与一般的思想方法的具体体现，也是人类思维活动的程序“实践—一认识——再实践——再认识……”的特殊情形．母体迁移 2．若数列}{n a 的前8项的值互异且=+8n a n a 对任意+∈N n 都成立，则下列数列中可取遍 }{n a 的前8项值的数列为( )．（其中)N k ∈ }.{12+k a A }.{13+k a B }.{14+k a C }.{16+k a D考点3 数列与函数命题归律(1)通过函数的思想来判断数列的单调性．(2)通过求函数最值的思想方法来求数列的最值． [例3] 已知数列}{n a 的通项公式为,452+-=n n a n 则 (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值．[解析] 数列的通项n a 与n 之间构成二次函数关系，可结合二次函数知识去进行探求，同时要注意n 的取值范围．[答案] (1)由,0452<+-n n 解得.41<<n .3,2,=∴∈+n N n∴ 数列中有两项是负数．,49)25(45)2(22--=+-=n n n a n∴ 对称轴方程为.5.225==n 又因,+∈N n 故2=n 或3时，n a 有最小值，其最小值为-22.2425-=+⨯母体迁移 3．在数列}{n a 中，nn n a )1110)(1(+=⋅∈+)(N n (1)求证：数列}{n a 先递增，后递减； (2)求数烈}{n a 的最大项．优化分层测讯学业水平测试1．下列说法中，不正确的是( )． A ．数列1，1，1，…是无穷数列B ．数列l ，2，3，…不一定是递增数列C ．数列)}({n f 就是定义在正整数集+N 上或它的有限子集},,3,2,1{n 上的函数．)(n f 的一列函数值D ．已知数列,,,,,,321 n a a a a 则}{1++n n a a 也是一个数列2．下列解析式中不是数列l ，-1，1，-1，1，…的通项公式的是( )．n n a A )1(.-= 1)1(.+-=n n a B 1)1(.--=n n a C ⎩⎨⎧-=为偶数为奇数n n a D n ,1,1.3．设数列,,11,22,5 则52是这个数列的( )．A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项4．数列 ,177,73,115,21,53的一个通项公式为5．若数列}{n a 的通项公式是,23n n a -=则=n a 2=32a a6．求数列}392{2++-n n 中的最大值．高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括7小题，每小题5分，共35分，每小题只有一个选项符合题意） 1．（2010年辽宁调考题）数列2417,810,35ba b a -+，中，有序数对(a ，b)可以是( )． )5,21.(-A )1,16.(-B )211,241.(-C )211,241.(-D 2．数列 ,151,71,31,1--的通项n a 是( )． 121)1(--⋅n A n121)1(--⋅n nB 12)1(.1---nC n 12)1(.1---n n D3．数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有..321 a a a ⋅⋅,2n a n =则53a a +等于( )．1661.A 925.B 1625.C 1531.D4．（2010年山东烟台训练题）已知数列}{n a 满足：=>+n n a a a 11,0,21则数列}{n a 是( )．A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．不确定、 5．数列}{n a 的前n 项和为,242+-=n n S n 则该数列的通项公式为( )．)(58.+∈-=N n n a A n⎩⎨⎧∈≥-==+),2(58),1(5.N n n n n a B n )2(58.≥-=n n a C n )1(58.≥-=n n a D n6．已知数列}{n a 的前n 项和.92n n s n -=第k 项满足,85<<k a 则=k ( )．9.A 8.B 7.C 6.D7．（湖南高考题）已知数列}{n a 满足133,011+-==+n n n a a a a ),(+∈N n 则=20a ( )．0.A 3.-B 3.C 23.D 二、填空题（本题包括4小题，每小题6分，共24分）8．若数列}{n a 的前n 项和),3,2,1(102 =-=n n n S n 则此数列的通项公式为 ；数列}{n na 中数值最小的项是第 项． 9．（2010年黄冈市模拟题）把数列{2n,+l}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环分为,11,9(),7,5(),3(),21,19,17,15(),13 ,37,35(),33,31,29),27,25(),23(< ),43(),41,39则第104个括号内各数之和为10.如图2-1 -1 -1，这是一个正六边形的序列：则第(n)个图形的边数为11.（2011年陕西高考题）观察下列等式照此规律，第n 个等式为三、解答题（本题包括3小题，共41分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12.（13分）设数列}{n a 的前n 项和为,n S 且方程=--n n a x a x 20有一根为 ,3,2,1,1=-n s n (1)求,,21a a(2)求n a 的通项公式．（不要求证明）13. (14分)已知数列}{n a 是递增数列，且对于任意,+∈N n 都有n n a n λ+=2恒成立，(1)求实数λ的取值范围；(2)对于(1)中的λ值，数列中有没有最大或最小项？若有，求出最大或最小项的值；若没有，说明理由．14．（14分）设),10(4log log )(2<<-=x x x f x 又知数列}{n a 的通项n a 满足⋅∈=+)(2)2(N n n f n a(1)试求数列}{n a 的通项公式； (2)判断数列}{n a 的增减性．。
数列教案范文
数列教案范文一、教学目标1.知识目标：①了解等差数列和等比数列的概念以及它们的发展规律；②掌握求等差数列和等比数列的公式与方法；③了解数列在生活中的应用。
2.能力目标：①能够熟练地运用等差数列及等比数列求解问题；②能够将所学知识应用到实际生活中。
3.态度目标：①激发学生学习数学的兴趣；②培养学生积极探索、勇于创新的精神。
二、教学重点难点1.重点：等差数列和等比数列的概念、求和公式以及应用；2.难点：应用实例的解决。
三、教学内容及方法1.教学内容（1）等差数列及其求和公式；（2）等差数列在生活中的应用；（3）等比数列及其求和公式；（4）等比数列在生活中的应用。
2.教学方法（1）讲解法：讲解等差数列和等比数列的概念、求和公式及应用，通过例题演示方法，引领学生逐步了解并掌握。
（2）归纳法：在学生学习过程中，引导学生进行概念归纳、规律总结，使学生更深入地理解知识点。
（3）练习法：开展各类型的例题练习，让学生熟练掌握所学知识，提高能力。
（4）探究法：利用生活实际问题，让学生自主探索并解决问题，培养学生创新精神。
四、教学步骤1.导入：与学生讲述数学在生活和科技中的应用，引起学生对数学的兴趣。
2.讲解等差数列和等比数列的概念。
3.介绍等差数列及其求和公式，让学生对等差数列有一个深入的了解。
4.介绍等差数列在生活中的应用，例如：物流运输中的时间问题。
5.介绍等比数列及其求和公式，让学生对等比数列有一个深入的了解。
6.介绍等比数列在生活中的应用，例如：光传输中的问题。
7.练习，让学生能够熟练掌握所学的知识。
8.探究性学习，让学生认识数学应用实际中的作用。
五、教学评价1.能在学生生活中讲述数学的应用，并引起学生对数学的兴趣。
2.能在学生心中形成数学发展规律的认识，掌握等差数列及等比数列的求和方法。
3.能培养学生探究问题的能力，使学生在应用实例上更加熟练。
四、教学总结数列是数学中的重要概念，应用广泛，它既是数学教育的基石，也是日常生活中的基础知识，掌握好数列及其应用，能起到事半功倍的效果。
2022年 《学案4.1数列的概念》优秀教案
数列的概念第1课时数列的概念及简单表示法1．数列的概念及一般形式思考：1数列的项和它的项数是否相同？2数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？[提示]1数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数．2数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．2．数列的分类如果数列{a n}的第n项a n与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．4．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：n[提示]如图，数列可以看成以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数，a n＝fn当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．判断正误正确的打“√〞，错误的打“×〞1数列2，4，6，8，…2n是无穷数列．2通项公式为a n＝n＋1的数列是递增数列．3数列4，0，－2，－4，－6的首项是4．430是数列a n＝2n－1中的某一项．[提示]1×无穷数列的末尾带有…2√a n＝n＋1对应的函数＝＋1是增函数，所以a n＝n＋1是递增数列．3√第一个位置的项是首项．4×当2n－1＝30时，n值不是正整数．[答案]1×2√3√4×2．数列{a n}中，a n＝3n－1，那么a2等于A．2B．3C．9D．32B[将n＝2代入通项公式，得a2＝32－1＝3]3．以下可作为数列{a n}：1，2，1，2，1，2…的通项公式的是A．a n＝1 B．C．a n＝2－错误!D．a n＝C[代入验证可知C正确．]4．数列1，2，错误!，错误!，错误!，…中的第26项为________．2错误![因为a1＝1＝错误!，a2＝2＝错误!，a3＝错误!，a4＝错误!，a5＝错误!，所以a n＝错误!，所以a26＝错误!＝错误!＝2错误!]5．一题两空填空：2，3，____，5，2，____，2，9，2，11，…27[观察发现规律a n＝错误!]A．1，错误!，错误!，错误!，…B．in错误!，in错误!，in错误!，…C．－1，－错误!，－错误!，－错误!，…D．1，错误!，错误!，…，错误!2一题多空以下数列：①2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2021，2 02021②1，错误!，错误!，…，，…；③1，－错误!，错误!，…，，…；④1，0，－1，…，in错误!，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥－1，－1，－1，－1其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________填序号．1C[ABC为无穷数列，其中A是递减数列，B是摆动数列，C是递增数列，应选C]2①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④[①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]1．有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．假设数列是有限项，那么是有穷数列，否那么为无穷数列．2．数列{a n}的单调性：假设满足a n＜a n＋1，那么{a n}是递增数列；假设满足a n＞a n＋1，那么{a n}是递减数列；假设满足a n＝a n＋1，那么{a n}是常数列；假设a n与a n＋1的大小不确定，那么{a n}是摆动数列．[跟进训练]1．一题多空给出以下数列：①2021～2021年某市普通高中生人数单位：万人构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个错误!构成数列错误!，错误!，错误!，错误!，…；③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，…其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．①②③①②③[①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]11，3，7，15，31，…；24，44，444，4 444，…；3－1错误!，3错误!，－5错误!，7错误!，－9错误!，…；42，－错误!，错误!，－错误!，错误!，－错误!，…；51，2，1，2，1，2，…[思路探究]观察数列前后项之间的规律，规律不明显的需将个别项进行调整，再看是否与对应的序号有规律的联系．[解]1观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为a n＝2n－12各项乘错误!，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，…，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为a n＝错误!10n－1．3所给数列有这样几个特点：①符号正、负相间；②整数局部构成奇数列；③分数局部的分母为从2开始的自然数的平方；④分数局部的分子依次大1综合这些特点写出表达式，再化简即可．由所给的几项可得数列的通项公式为a n＝－1n，所以a n＝－1n错误!4数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为错误!，－错误!，错误!，－错误!，…，再把各分母分别加上1，数列又变为错误!，－错误!，错误!，－错误!，…，所以a n＝5法一：可写成分段函数形式：a n＝错误!法二：a n＝＝即a n＝错误!＋1．常见数列的通项公式归纳1数列1，2，3，4，…的一个通项公式为a n＝n；2数列1，3，5，7，…的一个通项公式为a n＝2n－1；3数列2，4，6，8，…的一个通项公式为a n＝2n；4数列1，2，4，8，…的一个通项公式为a n＝2n－1；5数列1，4，9，16，…的一个通项公式为a n＝n2；6数列－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a n＝－1n；7数列1，错误!，错误!，错误!，…的一个通项公式为a n＝错误!2．复杂数列的通项公式的归纳方法①考察各项的结构；②观察各项中的“变〞与“不变〞；③观察“变〞的规律是什么；④每项符号的变化规律如何；⑤得出通项公式．[跟进训练]2．写出下面各数列的一个通项公式：19，99，999，9 999，…；21，－3，5，－7，9，…；3错误!，2，错误!，8，错误!，…；43，5，9，17，33，…[解]1各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为a n＝10n－12数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，其通项公式为2n－1，考虑到－1n＋1具有转换正、负号的作用，所以数列的一个通项公式为a n＝－1n＋12n－1．3数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，…所以，它的一个通项公式为a n＝错误!43可看作21＋1，5可看作22＋1，9可看作23＋1，17可看作24＋1，33可看作25＋1，…，所以原数列的一个通项公式为a n＝2n＋11．根据通项公式如何求数列中的第几项？怎么确定某项是否是数列的项？假设是，是第几项？[提示]根据a n，求第几项，采用的是代入法，如第5项就是令n＝5，求a5判断某项是否是数列中的项，就是解方程．令a n等于该项，解得n∈N*即是，否那么不是．2．数列{a n}的通项公式为a n＝－n2＋2n＋1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．[提示]由数列与函数的关系可知，数列{a n}的图象是分布在二次函数＝－2＋2＋1图象上的离散的点，如下图，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．【例3】数列{a n}的通项公式为a n＝3n2－28n1写出此数列的第4项和第6项；2－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？[思路探究]1将n＝4，n＝6分别代入a n求出数值即可；2令3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否为正整数并判断．[解]1a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－602 令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝错误!舍去，所以－49是该数列的第7项；令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝错误!，均不合题意，所以68不是该数列的项．1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*或它的有限子集{1，2，3，…，n}这一约束条件．1．数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N*或它的一个子集{1，2，3，…，n}．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，，，，…，它没有通项公式，也并不是通项公式都唯一．如，－1，1，－1，1，…，既可以写成a n＝－1n，也可以写成a n＝错误!3．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．4．数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题．1．在数列1，1，2，3，5，8，，21，34，55中，等于A．11B．12C．13 D．14C[观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故＝5＋8＝13]2．数列1，错误!，错误!，错误!，…，错误!，那么3错误!是它的A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项B[令错误!＝3错误!，解得n＝错误!是它的第23项，故应选B]3．数列{a n}：－错误!，3，－3错误!，9，…的一个通项公式是A．a n＝－1n错误!n∈N*B．a n＝－1n错误!n∈N*C．a n＝－1n＋1错误!n∈N*D．a n＝－1n＋1错误!n∈N*B[该数列的前几项可以写成－错误!，错误!，－错误!，错误!，…，故可以归纳为a n＝－1n错误!应选B]4．一题两空数列{a n}的通项公式a n＝4n－1，那么它的第7项是________，a2 020212 019＝________ 274[a7＝4×7－1＝27，a2 020212 019＝4×2 02021－4×2 019－1＝42 02021 019＝4]5．数列{a n}的通项公式为a n＝n∈N*，那么1计算a3＋a4的值；2错误!是该数列中的项？假设是，应为第几项？假设不是，说明理由．[解]1∵a n＝，∴a3＝错误!＝错误!，a4＝错误!＝错误!，∴a3＋a4＝错误!＋错误!＝错误!是．假设错误!列{a n}中的项，那么＝错误!∴nn＋2＝12021n2＋2n－12021，∴n＝10或n＝－12舍，即错误!列{a n}的第10项．。
数列复习学案
数列复习课学案命题人： 审核人 时间 编号 学习目标：1、巩固等差数列和等比数列通项公式、前n 项和公式的应用。
2、通过类比归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。
一、知识再现（1）在等差数列{}n a 中，3315=a ，15345=a ，则=61a ．(2)在等比数列{}n a 中，45=a ，67=a ，则=11a ．(3) 若数列{}n a 的前n 项和为S ｎ＝3n +a ，若数列{}n a 为等比数列，则实数a 的取值是 (4) 等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是 . (5)在等差数列{}n a 中， 106=a ，55=S ，=8S ．(6) 等差数列{}n a 中，p a q =，q a p =（p q ≠），那么p q a += 。
（7）在等比数列{}n a 中，若2424=-a a ，632=+a a ，125=n a ，则=n ． (8)．已知数列{}n a 的前n 项和()0,1≠∈-=a R a a S nn ，下列给出关于数列{}n a 的四个判断：⑴ 一定是等差数列； ⑵ 一定是等比数列；⑶ 或是等差数列或是等比数列； ⑷ 既非等差数列又非等比数列． 其中判断正确的序号是 ．二、典例解析例1、数列的通项公式与性质1、 在等比数列{}n a 中，1n n a a +>，且7114146,5a a a a ⋅=+=，则616a a = ． 2、 在等差数列{}n a 中，1n n a a +>，且7114146,5a a a a ⋅=+=，则816a a -= ．3、已知等比数列{}n a 为递增数列，且373=+a a ，282=a a ，则=n a ．4、已知a,b,c,成等差数列。
求证：a 2_bc,b 2_ac,c 2_ab 是等差数列。
例2、数列求和1、设)()()(,)(201420132014220141244f f f S x f x x +++=+= 求和2、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.变式：在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.总结：1、111)1(1+-=+=n n n n a n n n n n a n -+=++=1112、数列求和还有哪些题型？数列的综合应用及数学思想例3、等差数列﹛a n ﹜中，公差d>0，其前n 项和S n 满足a 2·a 3=45,a 1+a 4=14. 1、求数列﹛a n ﹜的通项公式。
高中必修二数学教材数列教案
高中必修二数学教材数列教案
教学内容：数列
教学目标：1. 了解数列的概念及特点。
2. 掌握常见数列的表示方法及性质。
3. 能够解决与数列相关的问题。
教学重点：数列的概念、常见数列的特点、递推公式的求解。
教学难点：数列的性质应用题的解题技巧。
教学准备：黑板、彩色粉笔、教学PPT、习题集。
教学过程：
1. 概念引入：通过举例引入数列的概念，让学生了解什么是数列，并询问学生对数列的认识。
2. 数列的表示方法：介绍等差数列、等比数列等常见数列的表示方法及特点，并通过实例引导学生理解。
3. 数列的性质：讲解数列的性质，如首项、公差、通项公式等，让学生掌握数列的基本概念。
4. 数列的递推公式：通过实例引导学生如何求解数列的递推公式，让学生熟练掌握求解方法。
5. 综合练习：布置一些数列的练习题目，让学生独立解题，并及时纠正学生的错误。
6. 总结提问：对本节课所学的知识进行总结，并提出一些问题让学生思考，加深对数列的理解。
7. 课后作业：布置一些相关的练习题目，帮助学生巩固复习所学知识。
教学反思：在教学过程中要注重引导学生思考和探究，通过实例让学生理解数列的概念及性质，让学生在解题中得到实际应用。
同时要及时纠正学生的错误，并鼓励他们勇于探索和学习。
人教版高中数学 教案+学案综合汇编 第1章：数列 课时10
人教版高中数学 教案+学案 综合汇编第1章 数列第十教时教材：等比数列的前n 项和目的：要求学生掌握求等比数列前n 项的和的（公式），并了解推导公式所用的方法。
过程：一、复习等比数列的通项公式，有关性质，及等比中项等概念。
二、引进课题，采用印度国际象棋发明者的故事，即求636264228421+++++= s ①用错项相消法推导结果，两边同乘以公比：64636422168422+++++= S ②②－①：1221646464-=+-=S 这是一个庞大的数字>1．84×1910， 以小麦千粒重为40g 计算，则麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出来的。
三、一般公式推导：设n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 乘以公比q ，n n n n qa a a a a qS +++++=-132 ② ①-②：()n n qa a S q -=-11，1≠q 时：()q q a q aq a q qa a S nn n n --=--=--=1111111 1=q 时：1na S n =注意：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个，（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆，（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。
四、例1、（P131，例一略）——直接应用公式。
例2、（P131，例二略）——应用题，且是公式逆用（求n ），要用对数算。
例3、（P131-132，例三略）——简单的“分项法”。
例4、设数列{}n a 为 1324,3,2,1-n nx x x x ()0≠x 求此数列前n 项的和。
解：（用错项相消法） 1324321-+++++=n n nx x x x S ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ②①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211 ，当1≠x 时，()()xnx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n n n -++-=-+--=---=-++1111111111 ()()21111x nx x n S n n n -++-=+当1=x 时，()214321n n n S n +=++++= 五、小结：（1）等比数列前n 项和的公式，及其注意点，（2）错项相消法。
学案1：4.3.2 第2课时 等比数列前n项和公式的应用
4.3.2第2课时等比数列前n项和公式的应用【新知初探】等比数列前n项和的性质(1)性质一：若S n表示数列{a n}的前n项和，且S n＝Aq n－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{a n}是数列．(2)性质二：若数列{a n}是公比为q的等比数列，则①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则S偶S奇＝.②在等比数列中，若项数为2n＋1(n∈N*)，则S奇－a1S偶＝q.③S m，S2m－S m，S3m－S2m，…成等比数列．思考：在数列{a n}中，a n＋1＝ca n(c为非零常数)且前n项和S n＝3n－1＋k，则实数k的取值是什么？【初试身手】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列{a n}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2．()(2)已知等比数列{a n}的前n项和S n＝a·3n－1－1，则a＝1．()(3)若数列{a n}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．()(4)若S n为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．()2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和且S n ＝3n ＋1－A ，则A ＝( )A ．－13B ．13C ．－3D ．3 3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．18B ．－18C ．578D ．558 4．已知数列{a n }为等比数列，且前n 项和S 3＝3，S 6＝27，则公比q ＝________.5．在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，则此数列的项数为________． 【合作探究】[探究问题]1．在等差数列中，我们知道S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等差数列．在等比数列{a n }中，若连续m 项的和不等于0，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列吗？为什么？2．若数列{a n }为项数为偶数的等比数列，且S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…，那么S 偶S 奇等于何值？【例1】 (1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．21D ．28或－21(2)等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________.[母题探究]1．(变条件)将例题(1)中的条件“S 2＝7，S 6＝91”改为“正数等比数列中S n ＝2，S 3n ＝14”，求S 4n 的值．2．(变条件，变结论)将例题(1)中条件“S 2＝7，S 6＝91”改为“公比q ＝2，S 99＝56”，求a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值．[规律方法]1．在涉及奇数项和S 奇与偶数项和S 偶时，常考虑对其差或比进行简化运算．若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q (S 奇≠0)；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q (S 偶≠0)． 2．等比数列前n 项和为S n (且S n ≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n (q ≠－1)．类型二 分组求和法【例2】 在各项均为正数的等比数列{}a n 中，已知a 1＝2，8a 2＋2a 4＝a 6.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋2n ，求数列{}b n 的前n 项和T n .[规律方法]分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．(2)解题步骤[跟进训练]1．求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1，…的前n 项和S n .【例3】 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．[规律方法]与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧：(1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题.(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用.(3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系.[跟进训练]2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝5×3n －3，b n ＝a n ()4n 2－13n. (1)证明：数列{a n －2×3n }为常数列；(2)求数列{b n }的前n 项和T n .【课堂小结】1．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列．2．等比数列前n 项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0，0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0，0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)与指数函数相联系． (3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q当成整体求解． 【学以致用】1．已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．322．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( )A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶33．记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝6，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值．【参考答案】【新知初探】等比数列前n 项和的性质(1)等比(2)①q思考：[提示] 由题知{a n }是等比数列，∴3n 的系数与常数项互为相反数，而3n 的系数为13，∴k ＝－13. 【初试身手】1．[提示] (1)S 偶S 奇＝q ＝120240＝12；(2)由等比数列前n 项和的特点知13a ＝1得a ＝3；(4)由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列知(4)错误．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．D [根据等比数列{a n }的前n 项和公式知S n ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1q －1q n －a 1q －1(q ≠1)， 又S n ＝3n ＋1－A ＝3·3n －A ，得a 1q －1＝3＝A ，故选D.] 3．A [法一：由等比数列前n 项和的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，又a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，则S 3，S 6－S 3，a 7＋a 8＋a 9成等比数列，从而a 7＋a 8＋a 9＝(S 6－S 3)2S 3＝18.故选A. 法二：因为S 6＝S 3＋S 3q 3，所以q 3＝S 6－S 3S 3＝－18， 所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝S 3q 6＝8×⎝⎛⎭⎫－182＝18.故选A.] 4．2 [q 3＝S 6－S 3S 3＝27－33＝8，所以q ＝2.] 5．5 [设此数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 78＝14q n ＋1，778＝14－78q 1－q ⇒⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－12，n ＝3，故此数列共有5项．] 【合作探究】[探究问题]1．[提示] S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列．∵在等比数列{a n }中有a m ＋n ＝a m q n ，∴S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1q m ＋a 2q m ＋…＋a m q m ＝(a 1＋a 2＋…＋a m )q m ＝S m ·q m . 同理S 3m －S 2m ＝S m ·q 2m ，…，在S m ≠0时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列．2．[提示] 由等比数列的通项公式可知S 偶S 奇＝S 奇·q S 奇＝q . 【例1】(1)A (2)24 [(1)∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7，91－S 4成等比数列，∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21.∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2，∴S 4＝28.(2)设S 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80，S 2＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79.则S 1S 2＝q ＝3，即S 1＝3S 2. 又S 1＋S 2＝S 80＝32，∴43S 1＝32，解得S 1＝24. 即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.][母题探究]1．[解] 设S 2n ＝x ，S 4n ＝y ，则2，x －2，14－x ，y －14成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)2＝2(14－x )，(14－x )2＝(x －2)(y －14)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝30或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－40(舍去)，所以S 4n ＝30. 2．[解] 法一：∵S 99＝a 1(1－q 99)1－q＝56，q ＝2， ∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝a 3(1＋q 3＋q 6＋…＋q 96)＝a 1q 2·1－(q 3)331－q 3＝32. 法二：设b 1＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98，b 3＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99，则b 1q ＝b 2，b 2q ＝b 3，且b 1＋b 2＋b 3＝56，∴b 1(1＋q ＋q 2)＝56，∴b 1＝561＋2＋4＝8， ∴b 3＝b 1q 2＝8×22＝32，即a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝32.【例2】[解] (1)设等比数列{}a n 的公比为q (q >0)，∵8a 2＋2a 4＝a 6，∴8a 1q ＋2a 1q 3＝a 1q 5，又a 1＝2，∴8＋2q 2＝q 4.解得：q 2＝4，∴q ＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2n ，n ∈N *.(2)由(1)知：b n ＝2n ＋2n ，∴T n ＝()21＋2＋()22＋4＋()23＋6＋…＋()2n ＋2n＝()21＋22＋23＋...＋2n ＋()2＋4＋6＋ (2)＝2()2n －1＋n ()2n ＋22＝2n ＋1＋n 2＋n －2. ∴数列{b n }的前n 项和为T n ＝2n ＋1＋n 2＋n －2，n ∈N *.[跟进训练]1．[解] S n ＝214＋418＋6116＋…＋⎝⎛⎭⎫2n ＋12n ＋1 ＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋⎝⎛⎭⎫14＋18＋…＋12n ＋1 ＝n (2n ＋2)2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n (n ＋1)＋12－12n ＋1 ＝n 2＋n －12n ＋1＋12.【例3】[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n ＞0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N *，k ≥5}．[跟进训练]2．[解] (1)当n ＝1时，S 1＋a 1＝5×3－3＝12，所以a 1＝6；当n ≥2时，由S n ＋a n ＝5×3n －3①，得S n －1＋a n －1＝5×3n －1－3②，①－②得，2a n －a n －1＝10×3n －1，所以a n －2×3n ＝12(a n －1－2×3n －1)， 因为a 1＝6，所以a 1－2×31＝0，所以a n －2×3n ＝0，故数列{a n －2×3n }为常数列．(2)由(1)知，a n ＝2×3n ，所以b n ＝2×3n (4n 2－1)3n ＝24n 2－1＝12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 【学以致用】1．C [由S 6－S 4＝a 6＋a 5＝6a 4得，(q 2＋q －6)a 4＝0，q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，从而a 5＝a 2·23＝2×8＝16，故选C.]2．A [在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.] 3．－63 [法一：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×(1－26)1－2＝－63. 法二：n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，∴S n ＝2S n －1－1，可得S n －1＝2(S n －1－1)．又S 1－1＝－2.∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，∴S 6－1＝－2×25＝－64，即S 6＝－63.]4．8 [设该等比数列的项数为2n ，依题意得S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝a 1q ＋a 3q ＋…＋a 2n －1q ＝q ·S 奇，∵S 偶＝2S 奇，∴q ＝2. 又中间两项为a n 和a n ＋1，则a n ＋a n ＋1＝a 1q n －1＋a 1q n ＝2n －1＋2n ＝3×2n －1＝24， ∴2n －1＝8＝23，∴n －1＝3，解得n ＝4，∴2n ＝8.]5．[解] 由等比数列前n 项和的性质，可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…，S 4n －S 4n －4，…成等比数列．由题意可知上面数列的首项为S 4＝2，公比为S 8－S 4S 4＝2， 故S 4n －S 4n －4＝2n (n ≥2)，所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝25＝32.。
高中数学数列教案文件
高中数学数列教案文件
一、教学目标：
1. 知识目标：了解数列的概念、性质及常见数列的求和公式。
2. 能力目标：掌握数列的概念和性质，能够运用数列的知识解决实际问题。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学重点和难点：
1. 教学重点：数列的概念、性质和常见数列的求和公式。
2. 教学难点：能够灵活运用数列的知识解决实际问题。
三、教学过程：
1. 导入：通过提出一个实际问题引入数列的概念，让学生了解数列的定义和常见的数列类型。
2. 讲解：介绍数列的概念和性质，如等差数列、等比数列等，并讲解常见数列的求和公式。
3. 练习：布置练习题让学生通过练习加深对数列的理解和运用。
4. 拓展：引导学生运用数列的知识解决实际问题，拓展学生的思维广度。
5. 总结：总结数列的知识点，强化学生对数列的掌握和应用能力。
四、课堂作业：
1. 完成练习题，加深对数列的理解和掌握。
2. 找出身边的例子，分析是否符合数列的概念。
3. 思考如何运用数列的知识解决实际问题。
五、教学反馈：
及时对学生的作业进行批改和评价，引导学生对数列的理解和应用进行反思和总结，及时
纠正和加强学生的掌握程度。
关于高中数学数列的教案
关于高中数学数列的教案
一、教学目标：
1. 了解数列的定义和性质；
2. 掌握常见数列的计算方法；
3. 能够应用数列解决实际问题。
二、教学重点：
1. 掌握数列的概念和性质；
2. 了解常见数列的计算方法；
3. 能够灵活运用数列解决实际问题。
三、教学内容：
1. 数列的基本概念和性质；
2. 常见数列的分类及计算方法；
3. 数列在实际问题中的应用。
四、教学过程：
1. 导入：通过一个实际问题引入数列的概念，引发学生的思考和兴趣。
2. 提出问题：让学生探讨数列的定义和性质，引导他们发现规律。
3. 讲解数列的基本概念和性质，并介绍常见数列的计算方法。
4. 练习：让学生进行数列的计算练习，巩固所学知识。
5. 应用：通过一些实际问题，让学生运用数列解决问题，培养他们的应用能力。
6. 总结：总结本节课的重点知识，梳理数列的学习内容。
7. 作业：布置相关练习，巩固学生所学的知识。
五、教学手段：
1. 课堂讲授；
2. 举例说明；
3. 练习探讨；
4. 讨论交流。
六、教学评价：
1. 课堂表现；
2. 练习成绩；
3. 实际应用能力。
七、教学资源：
1. 教材；
2. 幻灯片；
3. 实例分析。
八、教学反思：
1. 教学内容是否符合学生的实际需求；
2. 学生的学习情况，是否需要调整教学计划；
3. 如何进一步提升学生的数列解决问题能力。
以上教案为高中数学数列的教学范本，希望能对您有所帮助。
北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 数列 1.1 数列的概念
1 2 3 4 5
5.写出下列数列的一个通项公式,使它的前5项分别是下列各数:
(1)√3,3,√15, √21,3√3,…;
4 1 4 2
(2)2,- , ,- , ,…;
5 2 11 7
(3)2,22,222,2 222,22 222,….
1 2 3 4 5
解 (1)数列可化为√3, √9, √15, √21, √27,…,
写出这个关系式.
提示 能,an=2n+2,n∈N+.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)数列的通项公式就是相应函数的解析式.( √ )
(2)每个数列都有通项公式.( × )
(3)数列的通项公式的形式是唯一的.( × )
+1
2.[2024湖南长沙期末]已知数列{an}的通项公式为 an=sin 2 π
知识点1 数列及其有关概念
具有次序性,与集合中的元素性质不同
1.按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列
的 项 .数列中的每一项都和它的序号有关,各项依次叫作这个数列
第1项
叫数列的 首项
第2项
第n项 ,…,其中数列的第1项也
,第n项也叫数列的 通项 .
a1,a2,a3,…,an,…
即√3 × 1, √3 × 3, √3 × 5, √3 × 7, √3 × 9,….
虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)这个数列的前
7
7
7
7
4 项可以变为 ×9, ×99, ×999, ×9
9
9
9
等差数列学案1
正弦、余弦定理1. 在A B C ∆中，若（a-c cosB ）sinB=（b-c cosA ）sinA, 则这个三角形是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形2. 在ΔABC 中，已知 222c bc b a ++=，则角A 为（ ） A3πB6πC32π D3π或32π3.已知A B C ∆的三边分别为a ，b ，c ，且A B C S ∆＝2224a b c+-，那么角C＝ . 4． 在A B C ∆中，已知a b a+＝sin sin sin B B A-,且cos(A －B)＋cosC ＝1－cos2C.试确定A B C ∆的形状.5． 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值等差数列课后练习一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。
1．若a ≠b,数列a,x 1,x 2 ,b 和数列a,y 1 ,y 2 ,b 都是等差数列，则 =--1212y y x x （ ）A ．43 B ．32C ．1D ．342．在等差数列{}n a 中，公差d ＝1，174a a +＝8，则20642a a a a ++++ ＝ （ ） A ．40 B ．45 C ．50 D ．553．等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为 （ ）A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．23n a n =-D ．25n a n =-4．等差数列}{n a 中，110052515021,2700,200a a a a a a a 则=+++=+++ 等于（ ） A ．－20．5 B ．－21．5 C ．－1221 D ．－20 二、填空题：请把答案填在题中横线上。
学案1：4.3.2 第1课时 等比数列前n项和公式
4.3.2 第1课时 等比数列前n 项和公式【新知初探】1．等比数列前n 项和公式思考：类比等差数列前n 项和是关于n 的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n 项和S n ?2．错位相减法一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① 用公比q 乘①的两边，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ， ② 由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， 整理得S n ＝a 1(1－q n )1－q(q ≠1)．我们把上述方法叫 ，一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1.【初试身手】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 来求． ( )(2)等比数列的前n 项和公式可以简写成S n ＝－Aq n ＋A (q ≠1)． ( ) (3)1＋x ＋x 2＋…＋x n ＝1－x n1－x． ( ) 2．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 3a 2＝( )A ．3B ．4C ．72D ．1323．若首项为1的等比数列{a n }的前3项和为3，则公比q 为( ) A ．－2B ．1C ．－2或1D ．2或－14．已知等比数列的首项为－1，前n 项和为S n ，若q ＝－12，则S 10S 5＝________.5．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．【合作探究】【例1】 在等比数列{a n }中， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(3)a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q .[规律方法]1．在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．[跟进训练]1．已知数列{a n}是首项为a1，公比为q的等比数列，其前n项和为S n，且有5S2＝4S4，求公比q的值．【例2】借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)[规律方法]解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n，还是求S n？特别要注意项数是多少.②弄清题目中主要的已知事项.(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式. [跟进训练]2．某人在年初用16万元购买了一套住房，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付多少元？[探究问题]1．对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?2．由项数相等的等差数列{n }与等比数列{2n }相应项的积构成新的数列{n ·2n }是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n 项和S n 的表达式是什么？3．在等式 S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n 两边同乘以数列{2n }的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求S n 的问题转化为等比数列的前n 项和问题吗？【例3】 设{}a n 是等差数列，{}b n 是等比数列，公比大于0，已知a 1＝b 1＝2，b 2＝a 2，b 3＝a 2＋4.(1)求{}a n 和{}b n 的通项公式；(2)记c n ＝a n2b n ，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n <2，n ∈N *.[母题探究]1．(变条件)本例题(2)中设c n ＝12a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ′.2．(变条件)本例题中设d n ＝2n －1b n，求数列{d n }的前n 项和T n .[规律方法]错位相减法的适用条件及注意事项若数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项和时，常常采用将{a n b n }的各项乘公比q ，并向后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法.若公比为字母，则需对其进行分类讨论.【课堂小结】1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．设数列{a n }是公差为d (d ≠0)的等差数列，数列{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，数列{c n }满足c n ＝a n b n ，则{c n }的前n 项和为 S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n －1＋c n＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n －1b n －1＋a n b n ，①qS n ＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n －2b n －1＋a n －1b n ＋a n b n ＋1.②①－②得(1－q )S n ＝a 1b 1＋d (b 2＋b 3＋…＋b n )－a n b n ＋1 ＝a 1b 1＋db 2(1－q n －1)1－q －a n b n ＋1，∴S n ＝a 1b 1－a n b n ＋11－q ＋db 2(1－q n －1)(1－q )2.【学以致用】1．已知等比数列{a n }的首项a 1＝3，公比q ＝2，则S 5等于( ) A ．93 B ．－93 C ．45 D ．－452．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若27a 4＋a 7＝0，则S 4S 2＝( )A ．10B ．9C ．－8D ．－53．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2B ．13(2n －1)C ．4n －1D ．13(4n －1)4．在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝________.5．一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%. 这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？【参考答案】【新知初探】1．等比数列前n 项和公式 na 1a 1(1－q n )1－q na 1a 1－a n q1－q思考：[提示] 可把等比数列前n 项和S n 理解为关于n 的指数型函数． 2．错位相减法 错位相减法【初试身手】1．[提示] (1)和(3)中应注意q ＝1的情况． [答案] (1)× (2)√ (3)×2．C [已知等比数列{a n }的首项为a 1，则S 3a 2＝a 1(1－23)1－2a 1×2＝72.]3．C [当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3，符合题意；当q ≠1时，S 3＝1＋q ＋q 2＝3，解得q ＝－2.] 4．3132 [∵q ＝－12≠1，∴S 10S 5＝(－1)(1－q 10)1－q ·1－q (－1)(1－q 5)＝1＋q 5＝1＋⎝⎛⎭⎫－125＝1－132＝3132.] 5．11(1.15－1)a [去年产值为a ，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1.12a ，1.13a ，1.14a ，1.15a .所以1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝a ·1.1－1.161－1.1＝11(1.15－1)a .]【合作探究】【例1】[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫－56n11.(2)法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.法二：由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6， 得q 3＝18，从而q ＝12.又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10， 所以a 1＝8，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.(3)因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根．从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126，所以q 为2或12.[跟进训练]1．[解] 当q ＝1时，由5S 2＝4S 4知10a 1＝16a 1，则a 1＝0，不合题意，故q ≠1. 当q ≠1时，由5S 2＝4S 4知5a 1(1－q 2)1－q ＝4a 1(1－q 4)1－q ，∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，解得1＋q 2＝54，即q ＝±12.【例2】[解] 法一：设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元， 以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)， 则a 0＝10 000， a 1＝1.01a 0－a ，a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ， …a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a .由题意，可知a 6＝0， 即1.016a－(1＋1.01＋…＋1.015)a ＝0，a ＝1.016×1021.016－1.∵1.016≈1.061，∴a ≈1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月， 则它的本利和为S 1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a ＝a [(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a (1.016－1)×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝1.016×1021.016－1.以下解法同法一，得a ≈1 739，故每月应支付1 739元． [跟进训练]2．[解] 余款10万元6年的本利和是105×(1＋0.1)6＝105×1.16. 设每年年底应支付款为a 元，支付6次的本利和应是 a ＋a (1＋0.1)＋a (1＋0.1)2＋…＋a (1＋0.1)5＝a ·1.16－11.1－1＝10a (1.16－1)． 由105×1.16＝10a (1.16－1)得a ＝104×1.161.16－1≈22 960(元)．∴每年年底应支付22 960元.[探究问题]1．[提示] 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝264－1.2．[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n ·2n }既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n 项和S n 的表达式为S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n . 3．[提示] 在等式S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， ① 两边同乘以{2n }的公比可变形为2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，②②－①得：S n ＝－1·21－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1 ＝－(21＋22＋23＋…＋2n )＋n ·2n ＋1.此时可把求S n 的问题转化为求等比数列{2n }的前n 项和问题．我们把这种求由一个等差数列{a n }和一个等比数列{b n }相应项的积构成的数列{a n b n }前n 项和的方法叫错位相减法． 【例3】[解] (1)设等差数列{}a n 的公差为d ，等比数列{}b n 的公比为q ，则q >0.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2q ＝2＋d ，2q 2＝6＋d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，故a n ＝2＋2()n －1＝2n ，b n ＝2·2n －1＝2n .(2)∵c n ＝a n 2b n ＝2n 2·2n ＝n2n ，设数列{}c n 的前n 项和为S n ，∴S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ， ①∴12S n ＝122＋223＋…＋()n －12n ＋n 2n ＋1， ② ∴①－②得：12S n ＝⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －n2n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，∴S n ＝2－12n －1－n2n ，又∵n ∈N *，∴12n －1>0，n2n >0，∴S n ＝2－12n －1－n2n <2，即c 1＋c 2＋…＋c n <2，n ∈N *. [母题探究]1．[解] 由题意知c n ＝n ·2n ，所以S n ′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －2)×2n －2＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ， 2S n ′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －2)×2n －1＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得：－S n ′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n －1＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，所以S n ′＝(n －1)·2n ＋1＋2. 2．[解] 由题意可得：T n ＝1×12＋3×122＋…＋(2n －1)×12n ，12T n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1， 两式相减得12T n ＝1×12＋2×122＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1 ＝12＋12×1－12n －11－12－(2n －1)×12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1， 所以T n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n . 【学以致用】1．A [S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝3(1－25)1－2＝93.] 2．A [设数列{a n }的公比为q ，由27a 4＋a 7＝0，得a 4(27＋q 3)＝0.因为a 4≠0， ∴27＋q 3＝0，则q ＝－3，故S 4S 2＝1－q 41－q 2＝1＋q 2＝1＋9＝10.] 3．D [∵S n ＝2n －1，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝21－1＝21－1，故a n ＝2n －1，a 2n ＝4n －1.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×(4n －1)4－1＝13(4n －1)．] 4．510 [a 1＋a 4＝a 1(1＋q 3)＝18，a 2＋a 3＝a 1(q ＋q 2)＝12，两式联立解得q ＝2或12， 而q 为整数，所以q ＝2，a 1＝2，代入公式求得S 8＝2(1－28)1－2＝510.] 5．[解] 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ， 因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列． 热气球在前n 分钟内上升的总高度为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q ＝25×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫45n<125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.。
学案1：4.2.2 第1课时 等差数列前n项和公式的推导及简单应用
4.2.2 第1课时 等差数列前n 项和公式的推导及简单应用【新知初探】1．等差数列前n 项和公式是用推导的． 2．等差数列的前n 项和公式 思考：等差数列{a n }前n 项和公式推导中，运用了哪条性质？3．等差数列前n 项和S n 的最值(1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最 值． (2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最 值． 特别地，若a 1>0，d >0，则 是{S n }的最 值；若a 1<0，d <0，则 是{S n }的最大值． 思考：我们已经知道当公差d ≠0时，等差数列前n 项和是关于n 的二次函数S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？【初试身手】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和．( )(2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)化简后关于n 与a n 的函数式即为数列{a n }的通项公式． ( ) (3)等差数列{a n }的前n 项和S n 都可以写成二次函数S n ＝An 2＋Bn ． ( )2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，d ＝2，则S 20＝( ) A ．230 B ．420 C ．450 D ．5403．等差数列－1，－3，－5，…的前n 项和是－100，那么n 的取值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．114．(一题两空)在等差数列{a n }中，a 1＝20，a n ＝54，S n ＝999，则d ＝________，项数n ＝________. 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝________.【合作探究】【例1】 在等差数列{a n }中， (1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8； (2)已知a 2＋a 4＝485，求S 5.[规律方法]求数列的基本量的基本方法求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理，(1)“知三求一”：a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n 项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个.(2)“知三求二”：五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，一般列方程组求解. [跟进训练]1．(1)已知数列{a n }为等差数列，S n 为前n 项和，若a 2＋a 4＝4，a 5＝8，则S 10＝( ) A ．125 B ．115 C ．105 D ．95(2)已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若S 9＝27，a 10＝8，则S 14＝( ) A ．154 B ．153 C ．77 D ．78类型二等差数列前n项和公式的实际应用【例2】某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？[规律方法]遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型.(2)深入分析题意，确定是求通项公式a n，或是求前n项和S n，还是求项数n.[跟进训练]2．(1)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其大意为：有个女子不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，则三十天共织布()A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺(2)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下一尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据题中的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺的重量为()A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤[探究问题]1．S n＝An2＋Bn的函数特征怎样？2．已知一个数列{a n}的前n项和为S n＝n2－5n，试画出S n关于n的函数图象．你能说明数列{a n}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？【例3】数列{a n}的前n项和S n＝33n－n2，(1)求{a n}的通项公式；(2)则{a n}的前多少项和最大？[母题探究]1．(变条件)将例题中的条件“S n＝33n－n2”变为“在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n项和S n的最大值．2．(变结论)本例中条件不变，令b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n .[规律方法]1．在等差数列中，求S n 的最小(大)值的方法(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值．(2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2．寻求正、负项分界点的方法(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找．(2)利用到y ＝ax 2＋bx (a ≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．3．求解数列{|a n |}的前n 项和，应先判断{a n }的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．【课堂小结】1．等差数列{a n }的前n 项和S n ，有下面几种常见变形 (1)S n ＝n ·a 1＋a n2；(2)S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ； (3)S n n ＝d2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2⎝⎛⎭⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列. 2．(1)若d ＞0，则在等差数列{a n }中有a n －a n －1＝d ＞0，即a n ＞a n －1(n ≥2)，所以数列单调递增．当a 1≥0时，有S n ＞S n －1(n ≥2)，即S 1＜S 2＜S 3＜…＜S n －1＜S n ＜…，所以S n 的最小值为S 1； 当a 1＜0时，则一定存在某一自然数k ，使a 1＜a 2＜a 3＜…＜a k ≤0＜a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ＜…(或a 1＜a 2＜a 3＜…＜a k ＜0≤a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ＜…)，则S n 的最小值为S k .(2)若d ＜0，则在等差数列{a n }中有a n －a n －1＝d ＜0，即a n ＜a n －1(n ≥2)，所以数列单调递减． 当a 1＞0时，则一定存在某一自然数k ，使a 1＞a 2＞a 3…＞a k ≥0＞a k ＋1＞a k ＋2＞…＞a n ＞…(或a 1＞a 2＞a 3＞…＞a k ＞0≥a k ＋1＞a k ＋2＞…＞a n ＞…)，则S n 的最大值为S k ；当a 1≤0时，有S n ＞S n ＋1，即S 1＞S 2＞S 3＞…＞S n ＞S n ＋1＞…，所以S n 的最大值为S 1. 3．数列{|a n |}的前n 项和的四种类型及其求解策略(1)等差数列{a n }的各项都为非负数，这种情形中数列{|a n |}就等于数列{a n }，可以直接求解． (2)等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{a n }分成两段处理．(3)等差数列{a n }中，a 1＜0，d ＞0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理．(4)等差数列{a n }的各项均为负数，则{|a n |}的前n 项和为{a n }前n 项和的相反数． 4．常用的数列求和公式 1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； 1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2； 12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【学以致用】1．等差数列{a n }前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B ．53C ．2D ．32．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝100，则a 4＋a 7＝( ) A ．12 B ．20 C ．40D ．1003．若数列{a n }的通项公式a n ＝43－3n ，则S n 取得最大值时，n ＝( ) A ．13 B ．14 C ．15D ．14或154．已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，则n ＝________.5．在等差数列{a n }中，(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d ；(3)已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .【参考答案】【新知初探】1．倒序相加法 2．n (a 1＋a n )2na 1＋n (n －1)2d思考：[提示] 运用性质“等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .”从而a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a k ＋a n －k ＋1. 3．(1)小 (2)大S 1小S 1思考：[提示] 由二次函数的性质可以得出：当a 1<0，d >0时，S n 先减后增，有最小值；当a 1>0，d <0时，S n 先增后减，有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．【初试身手】1．[提示] (1)正确．由前n 项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{a n }中，S n ＝n 2＋2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1.又因为a 1＝S 1＝3，所以a 1不满足a n ＝S n －S n －1＝2n －1，故命题错误． (3)错误．当公差为零时，S n 为一次函数． [答案] (1)√ (2)× (3)×2．B [S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×2＋20×19＝420.]3．C [根据公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 得－100＝－n ＋n (n －1)2×(－2)，解得n ＝10.] 4．1713 27 [由等差数列的通项公式和前n 项和公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 54＝20＋(n －1)d ，999＝n (20＋54)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝27，d ＝1713.] 5．48 [设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得4a 1＋4×32×d ＝20，即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，所以S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.]【合作探究】【例1】[解] (1)法一：∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝16. 法二：∵S 6＝S 5＋a 6＝15， ∴15＝6(a 1＋a 6)2，即3(a 1＋10)＝15.∴a 1＝－5，d ＝a 6－a 15＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝16.(2)法一：∵a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝485，∴a 1＋2d ＝245.∴S 5＝5a 1＋10d ＝5(a 1＋2d )＝5×245＝24.法二：∵a 2＋a 4＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝485，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝52×485＝24.[跟进训练]1．(1)D (2)C [(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝4，a 5＝a 1＋4d ＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，S 10＝10×(－4)＋10×92×3＝95.(2)根据题意，等差数列{a n }中，若S 9＝27，即S 9＝9×(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27，解得a 5＝3，又a 10＝8，∴S 14＝14×(a 1＋a 14)2＝14×(a 5＋a 10)2＝77.故选C.]【例2】[解] 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为：a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝⎛⎭⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． [跟进训练]2．(1)B (2)B [(1)由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{a n }， 其中a 1＝5，a 30＝1，∴S 30＝30×(5＋1)2＝90，即共织布90(尺)． (2)依题意，金杖由细到粗各尺重量构成一个等差数列{a n }．设首项为2，则a 5＝4，∴中间3尺的重量为a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝a 1＋a 52×3＝2＋42×3＝9(斤)．]类型三 等差数列前n 项和S n 的函数特征[探究问题]1．[提示] (1)当A ＝0，B ＝0时(此时a 1＝0，d ＝0)，S n ＝0，此时S n 是关于n 的常数函数； (2)当A ＝0，B ≠0时⎝⎛⎭⎫此时a 1≠d2，d ＝0，S n ＝Bn ，此时S n 是关于n 的一次函数(正比例函数)； (3)当A ≠0，B ＝0时⎝⎛⎭⎫此时a 1＝d2，d ≠0，S n ＝An 2，此时S n 是关于n 的二次函数； (4)当A ≠0，B ≠0时⎝⎛⎭⎫此时a 1≠d2，d ≠0，S n ＝An 2＋Bn ，此时S n 是关于n 的二次函数． 2．[提示]S n ＝n 2－5n ＝⎝⎛⎭⎫n －522－254，它的图象是分布在函数y ＝x 2－5x 的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{a n }前n 项为负数．由S n 的图象可知，S n 有最小值且当n ＝2或3时，S n 最小，最小值为－6，即数列{a n }前2项或前3项和最小．【例3】[解] (1)法一：(公式法)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＝34－2×1，满足a n ＝34－2n . 故{a n }的通项公式为a n ＝34－2n .法二：(结构特征法)由S n ＝－n 2＋33n 知S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数，所以{a n }是等差数列，由S n 的结构特征知⎩⎨⎧ d 2＝－1，a 1－d 2＝33，解得a 1＝32，d ＝－2，所以a n ＝34－2n .(2)法一：(公式法)令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17， 故数列{a n }的前17项大于或等于零．又a 17＝0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．法二：(函数性质法)由y ＝－x 2＋33x 的对称轴为x ＝332， 距离332最近的整数为16，17.由S n ＝－n 2＋33n 的 图象可知：当n ≤17时，a n ≥0，当n ≥18时，a n <0， 故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．[母题探究]1．[解] 法一：∵S 9＝S 17，a 1＝25，∴9×25＋9(9－1)2d ＝17×25＋17(17－1)2d ，解得d ＝－2. ∴S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169. ∴当n ＝13时，S n 有最大值169.法二：同法一，求出公差d ＝－2.∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0，得⎩⎨⎧ n ≤1312，n ≥1212，又∵n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.法三：∵S 9＝S 17，∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.∵a 1>0，∴d <0.∴a 13>0，a 14<0.∴当n ＝13时，S n 有最大值169.法四：设S n ＝An 2＋Bn ，∵S 9＝S 17，∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口方向向下， ∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.2．[解] 由数列{a n }的通项公式a n ＝34－2n 知，当n ≤17时，a n ≥0； 当n ≥18时，a n <0.所以当n ≤17时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝33n －n 2.当n ≥18时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 17|＋|a 18|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n )＝S 17－(S n －S 17)＝2S 17－S n＝n 2－33n ＋544.故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧33n －n 2(n ≤17)，n 2－33n ＋544(n ≥18). 【学以致用】1．C [设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3×22d ＝6，a 1＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2.] 2．B [法一：由等差数列的前n 项和的公式得：S 10＝10a 1＋10×92d ＝100，即2a 1＋9d ＝20，从而a 4＋a 7＝a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝2a 1＋9d ＝20.法二：S 10＝10(a 1＋a 10)2＝100，∴a 1＋a 10＝20，a 4＋a 7＝a 1＋a 10＝20.故选B.] 3．B [由数列{a n }的通项公式a n ＝43－3n ，可得该数列为递减数列，且公差为－3，a 1＝40，∴S n ＝n (40＋43－3n )2＝－32n 2＋832n . 考虑函数y ＝－32x 2＋832x ，易知该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x ＝836. 又n 为正整数，与836最接近的一个正整数为14，故S n 取得最大值时，n ＝14.] 4．12 [S n ＝n ·32＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)，即n ＝12.]5．[解] (1)由题意，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15. ∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16. (2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39， ∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n(n －1)2×2＝35， 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.。
高中数学新湘教版精品学案《数列的概念》
练习：
1．若数列 的通项公式为 ，试求 与 的递推关系。
二、课程总结。
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．它们在解题中具体怎么应用？
三、习题检测。
1．已知数列 的通项公式为 ，求出它的前四项。
2．已知数列 的通项公式为 ，计算 。
1．数列：按一定次序排列的一列数叫作数列。
2．项：数列中的每一个数叫作这个数列的项。
3．首项：数列的第1项。
4．通项：数列中的第n项 。
根据前面的知识做一做：
练习：
1．观察下面数列的变化归来吧，写出每个数列的第10项：
（1） ；（2） 。
知识点二：数列递推公式及其运用。
如果已知数列 的第一项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式叫做这个数列的递推公式。
数列的概念
【学习目标】
1．理解数列的定义，并叙述定义的内容。
2．会认识并写出几个不同的数列。
3．会使用数列的记号，能指出数列的首项和通项等。
4．能正确区分有限数列和无限数列。
【学习重难点】
重点：数பைடு நூலகம்的定义的归纳与认识。
难点：理解函数与数列之间的联系与区别。
【学习过程】
一、新课学习。
知识点一：数列的概念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
返回目录
名师伴你行
的函数, 因an是n的函数,难点在于 n是一个一次函数 的函数 难点在于a 10 n ) 的积 不好确定其增减 的积,不好确定其增减 (n+1)与一个指数函数 )与一个指数函数( 11 故从比较a 的大小入手. 性,故从比较 n+1与an的大小入手 故从比较
返回目录
名师伴你行
*对应演练* 对应演练*
若给出数列{a 的通项公式 则这个数列是已知的; 的通项公式, 若给出数列 n}的通项公式,则这个数列是已知的; 若给出数列{a 的初始条件和 若给出数列 n}的初始条件和 递推关系,则这个数列也是 已知的. 已知的 2.数列的表示方法有三种: 列举法 , 图像法 ,解析法 数列的表示方法有三种: 数列的表示方法有三种 (通项公式法和递推关系法). 通项公式法和递推关系法) 数列{a 的前 项和记为S 若已知S 的表达式,则 的前n项和记为 数列 n}的前 项和记为 n,若已知 n的表达式 则 an=
返回目录
名师伴你行
(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式 要注 )根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注 意观察每一项的特点,可使用添项 还原,分割等办法, 可使用添项, 意观察每一项的特点 可使用添项,还原,分割等办法, 转化成一些常见数列的通项公式来求. 转化成一些常见数列的通项公式来求 (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是 ) 不完全归纳法,它蕴含着"从特殊到一般"的思想, 不完全归纳法,它蕴含着"从特殊到一般"的思想,由 不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验, 不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验, 对于正负符号变化,可用( ) 对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整 ) 来调整. (3)观察,分析问题的特点是最重要的,观察要有 )观察,分析问题的特点是最重要的, 目的,观察出项与项数之间的关系,规律, 目的,观察出项与项数之间的关系,规律,利用我们熟 知的一些基本数列(如自然数列,奇偶数列等) 知的一些基本数列(如自然数列,奇偶数列等)建立合 理的联想,转换而使问题得到解决. 理的联想,转换而使问题得到解决 返回目录
2n - 1 21,22,23,24,…,所以 n= 所以a . 所以 n 2 偶数项为正,故通项公式中含因子 (3)奇数项为负 偶数项为正 故通项公式中含因子 )奇数项为负,偶数项为正
(-1)n;各项绝对值的分母组成数列 各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…;而各项绝对 各项绝对值的分母组成数列 而各项绝对 值的分子组成的数列中,奇数项为 偶数项为 值的分子组成的数列中 奇数项为1,偶数项为 即奇数项 奇数项为 偶数项为3,即奇数项 偶数项为2+1, 为2-1,偶数项为 偶数项为 返回目录
返回目录
名师伴你行
数列的通项a 与前n项和 项和S 数列的通项 n与前 项和 n的关系是 an=
{
S1(n=1) ) Sn-Sn-1(n≥2), )
此公式经常使用, 此公式经常使用,应引起足够的重
已知a 时方法千差万别,但已知S 视.已知 n求Sn时方法千差万别,但已知 n求an时方法却 已知 是高度统一.当 时求出a 时的情形, 是高度统一 当n≥2时求出 n也适合 时求出 也适合n=1时的情形, 可直 时的情形 接写成a 否则分段表示. 接写成 n=Sn-Sn-1,否则分段表示
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0, < 时 即 当 时 即an+1=an;当n>9时,an+1-an=0,即an+1<an. 当 > 时 即 故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…, < 所以数列中有最大项为第9,10项. 项 所以数列中有最大项为第
(4)7,77,777,…. ) , , ,
返回目录
名师伴你行
(1) 注意前四项中有两项的分子均为 ,不妨把分 注意前四项中有两项的分子均为4, 子都统一为4, 子都统一为 ,即: an=
4 3n + 2
4 4 4 4 , , , ,….因而有 因而有 5 8 11 14
.
(2)注意 注意6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显, 规律还不明显, 注意 × × × 规律还不明显 再把各项同乘以2再除以 , 再把各项同乘以 再除以2,即 再除以
{
1 23n-1
(n=1), ), (n≥2). )
返回目录
名师伴你行
(3)∵an=Sn-Sn-1=(3an-2)-(3an-1-2), ∵ ( )( ), ∴an= 3 an-1(n≥2). )
2
又a1=S1=3a1-2,∴a1=1. , 是以1为首项 ∴{an}是以 为首项, 3 为公比的等比数列 是以 为首项, 为公比的等比数列. 2 3 n-1 3 n-1 ∴an=1( )项绝对值组成的数列,从第 项到第 项可见,分母分别 观察各项绝对值组成的数列 从第3项到第 项可见 分母分别 从第 项到第6项可见 由奇数7,9,11,13组成 而分子则是 2+1,42+1,52+1,62+1,按照 组成,而分子则是 由奇数 组成 而分子则是3 按照
22 +1 12 +1 这样的规律第1, 两项可改写为 , 这样的规律第 ,2两项可改写为 ,2×2 +1 2 +1
S1,n=1 Sn-Sn-1,n≥2
名师伴你行
考点一 由数列前几项求数列通项公式 写出下面各数列的一个通项公式: 写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,…; ) , , , , ;
1 3 7 15 31 (2) , , , ) ; , …; , 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1, ,- , ,- , , ,…; ) , 2 3 4 5 5 2 10 17 26 37 (4) ,-1, ) ,…; ; ,, , 3 7 9 11 13 (5)3,33,333,3 333,…. ) , , , ,
名师伴你行
2 + (-1)n 所以a . 所以 n=(-1)n n - 1 (n为正奇数 为正奇数) 为正奇数 n 也可写为a 也可写为 n= 3 (n为正偶数 为正偶数). 为正偶数 n (4)偶数项为负 奇数项为正 故通项公式必含因子 偶数项为负,奇数项为正 故通项公式必含因子(-1)n+1, 偶数项为负 奇数项为正,故通项公式必含因子
2n - 3 而第一项的分子也可以写成-(-1),∴an=(-1)n . 负,而第一项的分子也可以写成 ∴ 2n
(4)把各项除以 ,得1,11,111,…,再乘以 , 把各项除以7, 把各项除以 , , , ,再乘以9,
7 得9,99,999,….∴an= (10n-1). ∴ ) 9
返回目录
名师伴你行
∴当n≥2时,an=-2SnSn-1 时 1 1 1 =-2 =, 2n(n - 1) 2n 2(n - 1) 1 (n=1) ) 2 ∴an= 1 (n≥2). )
{
2n(n - 1)
返回目录
名师伴你行
考点三 数列的单调性
10 n 已知数列{a 的通项 的通项a ( ) (n∈N*),试 已知数列 n}的通项 n=(n+1)( ) ∈ )试 11
名师伴你行
学案1 学案1
数列
名师伴你行
考点一 考点二 考点三
名师伴你行
1.数列是 按一定的次序排列的一列数 ,数列的一般 数列是 形式为a 形式为 1,a2,…,an,…,简记为 n},其中 n是数列 n} ,简记为{a ,其中a 是数列{a 的第n项 的第 项. 一个数列{a 的第 的第n项 与项数n之间的函数关系 之间的函数关系, 一个数列 n}的第 项an与项数 之间的函数关系,如 果可以用一个公式a 来表示, 果可以用一个公式 n=f(n)来表示,我们就把这个公式 来表示 叫作这个数列的 通项公式 . 返回目录
问数列{a 中是否存在最大项 若存在,求出最大项, 中是否存在最大项? 问数列 n}中是否存在最大项?若存在,求出最大项, 若不存在,请说明理由. 若不存在,请说明理由
【分析】通过作差来比较an+1与an的大小关系 分析】通过作差来比较 的大小关系.
返回目录
名师伴你行
10 n+1 10 n 解析】 ) -(n+1)( ) 【解析】an+1-an=(n+2)( ( ) ( ) 11 11 10 n 9 - n =( ) . 11 11
返回目录
名师伴你行
【分析】先观察各项的特点,然后归纳出其通项公 分析】先观察各项的特点, 式,要注意项与项数的关系及项与前后项的关系. 要注意项与项数的关系及项与前后项的关系 【解析】(1)各项减去 后为正偶数, 解析】 后为正偶数, )各项减去1后为正偶数 所以a 所以 n=2n+1. (2)每一项的分子比分母少 ,而分母组成数列 )每一项的分子比分母少1,
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 ,…,因而有 = n(n +1) . 因而有a 因而有 n , , , , 2 2 2 2 2 2
返回目录
名师伴你行
(3)其分母的规律是明显的,关键在于观察分子,分 其分母的规律是明显的,关键在于观察分子, 其分母的规律是明显的 子后三项绝对值递增,且比分母小 又注意到第三项为 子后三项绝对值递增,且比分母小3.又注意到第三项为
已知a 已知 n=n判断数列{ 的单调性. 判断数列 的单调性 1+n ,判断数列 an }的单调性
名师伴你行
*对应演练* 对应演练*
根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: