《矩阵的秩的等式及不等式的证明》

摘要矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.目录第一章绪论 (1)第二章预备知识 (2)第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 (3)第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式 (6)第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式 (10)第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式 (15)第七章小结 (23)参考文献 (24)致谢 (25)第一章绪论矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学.目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在《矩阵论》（科学出版社、2006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握.本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.第二章 预备知识定义1矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩；矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩.定义2如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.定义3 数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：（1）以数域P 中的一个非零数乘以矩阵的某一行（列）；（2）把矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）；（3）互换矩阵中两行（列）的位置.定义4在一个s n ⨯矩阵A 中任意选定k 行和k 列，位于这些选定的行列交叉点上的2k 个元素按原来的次序组成的k 级行列式称为A 的一个k 级子式.定义5设A 为m n ⨯矩阵,称线性方程组0Ax =的解空间为A 的零空间(即核空间)，记作()N A ,即(){}0N A x Ax ==.引理1[1] 矩阵的行秩等于列秩.引理2[1] 任意两个等价的向量组必有相同的秩.引理3 n 阶方阵A 可逆0A ⇔≠.证明:充分性:当,0≠=A d 由**11()()A A A A E d d ==知A 可逆，且1*1.A A d-= 必要性:如果A 可逆，那么有1-A 使.1E AA =- 两边取列式，得11==-E A A ，因而0≠A .引理4[1] 矩阵的秩是r 的充要条件为矩阵中有一个r 级子式不为0，同时所有的1r +级子式全为0.引理5[1] 如果向量组()I 可以由向量组()II 线性表出，那么()I 的秩不超过()II 的秩. 证明：根据已知可知向量组()I 极大线性无关组可由()II 的极大线性无关组线性表出，根据向量组的基本性质(见参考文献[1])可得，向量组()I 极大线性无关组的向量个数不超过()II 的极大线性无关组的向量个数，即()I 的秩不超过()II 的秩.引理6[1] 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数为n r -，这里r 表示系数矩阵的秩，n r -也是自由未知量的个数.第三章 用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式本章主要是利用矩阵已知的秩的理论证明秩的等式和不等式问题，例如行秩等于列秩，秩为r 的充要条件，常见的秩的不等式等等.要掌握并且灵活运用这些知识才能证明下面的命题.这些命题都是一些基本的命题.命题3.1 ()()T r A r A =．证明：由矩阵转置的定义,A 的行向量组就是T A 的列向量组，因此A 的行秩就是T A 的列秩，又由引理1知()()T r A r A =，命题证毕.命题3.2 ()()r kA r A =（其中0k ≠）.证明：kA 的行向量组可由A 的行向量组线性表出，A 的行向量组也可由kA 的行向量组线性表出，因此kA 的行向量组与A 的行向量组等价.由引理2它们的秩相等，再由秩的定义知kA 与A 的秩相等,命题证毕.命题3.3 A 是一个s n ⨯矩阵，如果P 是s s ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，那么()()()r A r PA r AQ ==.证明：令B PA =,由矩阵乘积的秩不超过各因子的秩可知()()r B r A ≤,但是由1A P A -=，又有()()r A r B ≤．所以()()()r A r B r PA ==.另一个等式可以同样地证明,命题证毕.命题3.4[2] 设A 是一个n 阶方阵，则()()()()*,1,10,2n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪≤-⎩如如如.证明：若()r A n =，由引理3，0A ≠，知A 可逆，*1A A A -=可逆，故()r A n *=． 若()1r A n =-，由引理4，A 存在1n -阶子式不为0，因此*0A ≠,()1r A *≥，又因为*0AA A E ==，有()()*r A r A n +≤，即()()*1r A n r A ≤-=，从而()*1r A =．若()2r A n ≤-，则由引理4，A 存在1n -阶子式全为0，于是*=0A ，即()*0r A =．命题证毕.从这个命题可以得出()()*r A r A ≤的结论.命题 3.5［３］ 设A 是一个m n ⨯矩阵，任取A 的s 行t 列,交叉处的s t ⨯个元素按原来的相对位置构成s t ⨯子矩阵C ，则()()r C m n r A s t ++≥++．证明:设D 为A 的s 行所构成的s t ⨯子矩阵，它由C 所在的s 行确定.设()r D d =.则A 的任意一个大于d m s +-阶的子式M 必须至少有1d +行出现在D 中.根据行列式的性质，对这个子式M 按出现在D 中的那些行进行拉普拉斯展开，则可以看出，这个M 可以表示成D 的一些阶子式的线性组合，其中k 为某个大于d 的数.由引理3这些子式全为零.因此任意一个大于d m s +-阶子式M 必须等于零.由秩的定义,()()r A r D m s ≤+-.由行与列的对称性类似地可推出()()r D r C n t ≤+-,两式相加即可得到()()r C m n r A s t ++≥++，命题证毕.命题3.6［４］ 设,A B 都是n 阶矩阵,证明:()()()r AB A B r A r B ++≤+.证明:()()()r AB A B r A B E B ++=++()()r A B E B ≤++()()r A r B ≤+，命题证毕. 例3.1 设A 为n 阶方阵，求证必存在正整数m 使得()()1m m r A r A +=.证明:由于A 为n 阶方阵，则()()()20i n r A r A r A ≥≥≥≥≥,其中i 为正整数,而n 是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，因而必存在正整数m 使得()()1m m r A r A +=.例3.2设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，证明()()()r AB E r A E r B E -≤-+-.证明:因为()()AB E A E A B E -≤-+-,所以()()()()()()()()()r AB E r A E A B E r A E r A B E r A E r B E -=-+-≤-+-≤-+-. 命题3.7设A 为n 阶矩阵，证明:如果2A E =,那么()()r A E r A E n -+-=.证明： 因为()()20A E A E A A A E E E -+=+--=-=,由命题5.3知()()r A E r A E n -+-≤. ①又 ()()()()()2r A E r A E r A E A E r A r A -++≥++-==而2A E =，所以21A =,即0A ≠，()r A n =. 因此()()r A E r A E n -+-≥. ②由①，② 可得()()r A E r A E n -+-=.例3.3[5] 设A ,B 为n 阶方阵,且1=,ABA B -则()()n AB E r AB E r =-++.证明:因为,1-=B ABA 所以()E AB =2.由命题3.7知()()n E AB r E AB r =-++ (1)由 ()()E AB r AB E r +=+,()()E AB r AB E r -=- (2)由(1),(2)知有()()n AB E r AB E r =-++成立.例3.4设A 为n 阶矩阵,且2A A =,证明()()r A r A E n +-=.证明：由2A A =，可得 ()0A A E -=.()()r A r A E n +-≤ ①又因为E A -和A E - 有相同的秩,所以()()()()n r E r A E A r A r E A ==+-≤+- ②由①，② 可得()()r A r A E n +-=.第四章 用线性空间的理论证明秩的等式和不等式本章主要是利用线性空间的维数公式，同构，直和分解，核与值域的一些性质和定理来证明矩阵的一些秩的等式和不等式命题.线性空间和线性变换的知识本来就比较抽象，还要和矩阵的联系起来，是有一定的难度的.这其中要构造一些映射．命题4.1 A 设为n 阶方阵，如果A 的列向量所生成的n R 的子空间()R A 与A 的零空间（即核空间）()N A 的直和为n R ，则()()2r A r A =.证明:根据引理6，要证()()2r A r A =，只要证0AX =与20A X =同解．0AX =的解显然为方程组20A X =的解.下面我们用反证法证明20A X =的任一解Y 同时也是20A X =的解.若0AY ≠，因()0A AY =,故()AY N A ∈.另一方面，()1ni i i AY y R A α==∈∑，其中()12,,,n A ααα=，()12,,,Tn Y y y y =, 从而 ()()0AY R A N A ≠∈⋂,这与()()n R R A N A =⊕矛盾,所以20A X =的任一解同时也是0AX =的解,于是它们同解,故()()2r A r A =.命题4.2 设A 为m n ⨯矩阵，B 为1n ⨯矩阵，证明Sylrester 公式：()()()+-r A r B n r AB ≤.证明:设A 为m n ⨯矩阵，B 为1n ⨯矩阵,考虑1n x X x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1n y Y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 方程组0(1)0(2)0(3)ABX BX AY =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ,设（1）（2）（3）的解空间分别为AB V ，B V ，A V ，则()dim A V n r A =-，将三者联系起来，作{}AB BX x V ∈，则它为A V 的子空间，从而{}()dim dim AB A BX x V V n r A ∈≤=-，又B V 为AB V 的子空间，作：AB B V V W =⊕一方面()()()()()dim dim dim 11AB B W V V r AB r B r B r AB =-=---=- 下证{}AB W BX X V ≅∈定义 {}:AB f W BX X V →∈()f B ξξ=易知这个映射是单满的，并且满足线性运算条件，所以它是同构映射.{}()()dim dim AB W BX X V r B r AB =∈=-但上面：{}()dim dim AB A BX X V V n r A ∈≤=-.因此 ()()()n r A r B r AB -≥-，即 ()()()r A r B n r AB +-≤．命题4.3 设A 为m n ⨯，B 为n m ⨯矩阵，AB BA =．证()()()()AB r B r A r B A r -+≤+． 证明:设4321,,,w w w w 分别为A ,B ,A B +,AB 行空间,那么()1dim w r A =, ()2dim w r B =()3dim w r A B =+, ()4dim w r AB =由于213w w w +⊆,并由维数公式得:()31212dim dim dim dim w w w w w ≤+=+()21dim w w ⋂-即得:()()()()12dim r A B r A r B w w +≤+-⋂ (1)由于AB 的行向量是B 的行向量的线性组合,所以有24w w ⊆,又AB BA =,所以有14w w ⊆,因此有214w w w ⋂⊆,所以有()()21dim w w AB r ⋂≤ (2).将(2)代入(1)即得: ()()()()AB r B r A r B A r -+≤+.命题4.4 若()()r AB r B =，证明()()r ABC r BC =. 证明：设方程组0ABX =与0BX =的解空间分别为AB V ，B V . 若()()r AB r B =，则根据引理6知()()dim dim AB B V V = ① 又因为满足0BX =解向量也满足0ABX =,所以AB B V V ⊇ ② 由① ②可推出AB B V V =.要证()()r ABC r BC =，只要证0ABCX =与0BCX =同解. 设方程组0ABCX =与0BCX =的解空间分别为ABC V ，BC V . 显然ABC BC V V ⊇,只要证ABC BC V V ⊆.由0ABCX =知AB B CX V V ∈=,即0BCX =，因此ABC BC V V ⊆，命题得证. 此例是一个有价值的结论.例4.1 n 阶矩阵A 满足2A A =当且仅当()()r A r A E n +-=.证明：先证明必要性.由2A A =知A 相似于形如0110A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的对角阵，其中1的个数为()r A ,又E A -与0E A -相似，从而有相同的秩，而0110E A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中0的个数为A 的秩，1的个数()n r A -.所以()()()()()()00r A r E A r A r E A r A n r A +-=+-=+-=.充分性.只要证明对任意X 均有2A X AX =即可.由()()r A r E A n +-=说明,10AX =的解空间1V 与()20E A X -=的解空间2V 满足12n V V R ⊕=,从而对任意X 存在唯一分解12X X X =+其中1122X V X V ∈∈,所以()()()()22121222121200A X A X X A AX A AX A AX X AX AX A X X =+=+=+=+=+=+AX =综上即证2A A =.命题4.5设,A B 分别是,m m m n ⨯⨯矩阵，A 其中为可逆矩阵,证明()().r AB r B = 证明：设121212,(,,...,),(,,...,),(,,...,)m n n AB Q A B Q αααβββγγγ====， 则 1211122212(,,...,),(,,...,),...,(,,...,)m m m n n αααβγαααβγαααβγ=== 因为A 为可逆矩阵，秩为m ，故可将12(,,...,)m ααα看做m 维线性空间的一组基， 则12,,...,n γγγ向量在这组基下的坐标向量分别为12,,...,n βββ.作1212(,,...,),(,,...,)n n l l βββγγγ，在这两个线性空间中构造映射，将12(,,...,)n l γγγ中的每个向量映射到在基12(,,...,)m ααα下的坐标向量，这个映射是一个同构映射，因此1212(,,...,),(,,...,)n n l l βββγγγ这两个线性空间同构，所以1212dim((,,...,))dim((,,...,))n n l l βββγγγ=，而1212dim((,,...,))(),dim((,,...,))()n n l r B l r AB βββγγγ==.所以()().r AB r B = 同理可证明B 当为可逆矩阵时,()().r AB r A =这章主要是利用线性空间和线性变换的一些知识来证明矩阵的秩的等式和不等式命题，难点在于要好好理解线性空间和线性变换的一些知识，重要定理和性质，再把握它们同矩阵的联系.第五章 用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式本章主要利用向量组的秩和极大线性无关组的一些知识，以及线性方程组的解空间的维数和系数矩阵的秩的关系来证明秩的等式和不等式.命题5.1设A 是m n ⨯矩阵，B 是m p ⨯矩阵,则()r A 或()()()()r B r A B r A r B ≤≤+. 证明：()A B 列向量组向量的个数比A 和B 多，所以()r A 或()()r B r A B ≤． 下面证明()()()r A B r A r B ≤+.不妨设112,,i i ir A A A 与212,,j j jr B B B 分别是A 与B的列向量组的极大线性无关组,则()A B 的每个列向量均可用向量组121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B线性表出,根据引理5可知()()()()12121212,,,,,i i ir j j jr r A B r A A A B B B r r r A r B ≤≤+=+.命题证毕.命题5.2设A ,B 是m n ⨯矩阵，()()()()()r A r B r A B r A r B -≤±≤+. 证明：先证明()()()r A B r A r B +≤+. 设()12,,n A A A A =,()12,,n B B B B =,则()1122,,n n A B A B A B A B +=+++.不妨设112,,i i ir A A A 与212,,j j jr B B B 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，则有111122s i i r ir A k A k A k A =+++()1,2,,s n =221122s i i r ir B l B l B l B =+++112211221122s s i i r ir i i r ir A B k A k A k A l B l B l B +==+++++++即A B +的列向量可以由121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B 线性表出，由引理5知()()()()12121212,,,,,i i ir j j jr r A B r A A A B B B r r r A r B +≤≤+=+.再证明()()()r A r B r A B -≤+.由刚证明的结论()()()r A B r A r B +≤+可知()()()()()()()()r A r A B B r A B r B r A B r B =++-≤++-=++,移项得到()()()r A r B r A B -≤+,同理可得()()()r B r A r A B -≤+,因此()()()r A r B r A B -≤+. 综上所述我们证明了()()()()()r A r B r A B r A r B -≤+≤+，对于()()()()()r A r B r A B r A r B -≤-≤+，只要把以上证明过程的B 改成B -即可得证，命题证毕.由命题3.1()()T r A r A =,命题3.2()()r kA r A =（其中0k ≠）和本命题可推知()()()r kA lB r A r B +≤+（其中0kl ≠）.例5.1设A ,B 是m n ⨯矩阵,证明:()()r A B r A B ±≤. 证明:先证明()()r A B r A B +≤. 设()12,,n A A A A = ()12,,n B B B B =,则()1122,,n n A B A B A B A B +=+++ ()()1212,,,,,n n A B A A A B B B =.不妨设112,,i i ir A A A 与212,,j j jr B B B 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，则有111122s i i r ir A k A k A k A =+++()1,2,,s n =221122s i i r ir B l B l B l B =+++112211221122s s i i r ir i i r ir A B k A k A k A l B l B l B +==+++++++即A B +的列向量可以由121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B 线性表出,由于 121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B也是来自于()A B 的列向量组的向量,所以A B +的列向量也可以由()A B 的列向量组线性表出,根据引理5可知()()r A B r A B +≤.对于()()r A B r A B -≤, 只要把以上证明过程的B 改成B -即可得证，命题证毕.命题5.3设A 是m n ⨯矩阵，B 是n p ⨯矩阵，如果0AB =，则()()r A r B n +≤. 证明：设 ()12,,,p B B B B =，则()12,,,0p AB AB AB AB ==.故有120p AB AB AB ====,即齐次方程组0AX =有p 个解12,,,p B B B .若()r A r =，则根据引理6,12,,,p B B B 可由n r -个解向量组成的基础解系线性表出.根据引理5有()r B n r =-,()()()r A r B r n r n +≤+-=,命题证毕. 例5.2 A 是m n ⨯矩阵，则()()()()T T T r A A r AA r A r A ===. 证明：由命题3.1知()()T r A r A =.下面我们先证明()()T r A A r A =. 只要证明0T A AX =与0AX =同解便可得到()()T r A A r A =. 一方面，满足0AX =解向量也满足0T A AX =；另一方面，由0T A AX =两边同时左乘T X 得到0T T X A AX =，即()()0TAX AX =，设1n k AX k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,那么()()2210T n AX AX k k =+=,所以0i k =()1,2,,i n =，0AX =，满足0T A AX =的解也满足0AX =．综上所述0T A AX =与0AX =同解,解空间的维数相等，由系数矩阵的秩与线性方程解空间的维数之间的关系可知()()T n r A A n r A -=-，()()T r A A r A =.对()()T T r AA r A =证明过程与此类似，所以()()()()T T T r A A r AA r A r A ===，命题证毕.例5.3 证明：若线性方程组0AX =的解均为0BX =的解，则()()r A r B ≥. 证明：设方程组0AX =与0BX =的解空间分别为A V ,B V ，若线性方程组0AX =的解均为0BX =的解，则A B V V ⊆,()()dim dim A B V V ≤根据引理6有()()n r A n r B -≤-,即()()r A r B ≥，命题得证.例5.4设A 为m n ⨯矩阵，B 为1n ⨯矩阵，证明0ABX =与0BX =同解的充分必要条件为()()r AB r B =.证明：设方程组0ABX =,0BX =解空间分别为AB V ,B V . 必要性：若AB B V V =，()()dim dim AB B V V =,根据引理6可知()()n r AB n r B -=-,可以推出()()r AB r B =.充分性：若()()r AB r B =，则根据引理6知()()dim dim AB B V V = ①又因为满足0BX =解向量也满足0ABX =,所以AB B V V ⊇ ②由① ②可推出AB B V V =.命题证毕.命题 5.4设A 是数域P 上n m ⨯矩阵，B 是数域P 上m s ⨯矩阵，证明()()(){}min ,r AB r A r B ≤即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.证明: 构造齐次线性方程组0ABX =与0BX =,设方程组0ABX =与0BX =的解空间分别为AB V ,B V .显然，满足0BX =解向量也满足0ABX =,所以AB B V V ⊇,()()dim dim AB B V V ≥, 根据引理6知()()r AB r B ≤.再构造齐次线性方程组0T T B A X =与0T A X =，同理可得()()T T T r B A r A ≤,即()()r AB r A ≤.综上所述()()(){}min ,r AB r A r B ≤.此命题用归纳法可以推广为：如果12m A A A A =那么1()()min j j mA A ≤≤≤秩秩.例 5.4 如果m n ⨯方程组0AX =的解为方程11220n n b x b x b x +++=的解，其中()'12,,,n X x x x =，求证()12,,,n A r r A b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.证明：由已知可知0AX =与120,,,n A X b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭同解，根据引理6它们的系数矩阵的秩相等,所以 ()12,,,n A r r A b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.第六章 用矩阵分块法证明秩的等式和不等式本章主要是利用矩阵分块的方法来证明矩阵的秩的等式和不等式，也包括矩阵分解的方法证明秩的等式和不等式，涉及到了矩阵的广义初等变换和广义初等矩阵.例6.1[4] 设A 是数域P 上n m ⨯矩阵，B 是数域P 上m s ⨯矩阵， 求证()()(){}min ,r AB r A r B ≤,即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩．证明：设111212122212m m n n nm a a a a aa A aa a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，111212122212s s m m ms b b b b bb B b b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭令12,,,m B B B 表示B 的行向量，12,,,n C C C 表示C AB =的行向量。