江西省于都中学高中数学 1.4直线和圆的极坐标方程教案 北师大版选修44
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 直线和圆锥曲线的参数方程》2
直线的参数方程黄煜芳一、教材分析本节课节选自《高中数学北师大版选修4-4》第二章第二节直线的参数方程二、学情分析学生上节课刚学了参数方程的概念以及参数方程与普通方程的互化，接受程度良好，印象还比较清晰，有助于本节课的学习但学生对于平面向量的相关知识已经淡忘，所以课前需要简单的复习一下三、教学目标1 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用；2通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想；3 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．四、教学重点直线的参数方程及参数的几何意义五、教学难点参数的几何意义六、教学方法与手段引导探究式教学，多媒体课件辅助教学七、教学过程（一）知识回顾教师提出问题：1.共线向量的条件是什么？→→→→→→=⇔≠a b a a b λ)0(// 2.直线方程的有几种形式？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。
【设计意图】引导学生从几何条件思考参数的选择，为学生推导直线的参数方程做好准备．（二）探索新知1直线的参数方程问题1：已知直线上一点M 0（1,2）,倾斜角为6π，求直线的方程 问题2：如何建立的参数方程？问题3：如何建立经过点M 0,0,倾斜角为⎪⎭⎫ ⎝⎛≠2παα的直线的参数方程 【设计意图】有特殊到一般推导出直线的参数方程有助于学生更好理解【师生活动】（1）回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >；当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <；当M 与O 重合时，0t =；【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．（2）类比分析：问题1：类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？问题2：把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l 上的定点0M 为原点，与直线l 平行且方向向上l 的倾斜角不为0时或向右（l 的倾斜角为0时）的单位向量e 确定直线l 的正方向，同时在直线l 上确定进行度量的单位长度，这时直线l 就变成了数轴．于是，直线l 上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．（3）选取参数问题1：当点M 在直线l 上运动时，点M 满足怎样的几何条件？让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l 当成数轴后，直线l 上点M 运动就等价于向量0M M 变化，但无论向量怎样变化，都有0M M te =．因此点M 在数轴上的坐标t 决定了点M 的位置，从而可以选择t 作为参数来获取直线l 的参数方程．【设计意图】明确参数．问题2：如何确定直线l 的单位方向向量e ？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出(cos ,sin )e αα=，从而明确直线l 的方向向量可以由倾斜角α来确定．当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．（4） 等价转化，深入探究问题：如果点0M ,M 的坐标分别为00(,)(,)x y x y 、，怎样用参数t 表示,x y ？教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：因为(cos ,sin )e αα=，（[0,)απ∈），00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--，0//M M e 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =，即 00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=，即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+．因此，经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． 牛刀小试：1.若直线l 经过点（x 0 , y 0）且倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？2. 设直线l 经过点M 0(1,5)、倾斜角为π3,求直线l 的参数方程.3. 已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．求：( 1) 直线l 过哪个定点；（2）直线l 的倾斜角.【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程2 参数的几何意义思考探究：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数t 的系数有何数量关系？③参数t 的几何意义是什么？总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量；②系数的平方和为1；③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．（三）简单运用，培养能力例1.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)． 点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义． 【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，以及在标准形式下参数t 的几何意义⎪⎩⎪⎨⎧--=+=,221222t x t y 2y x =,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：解法一：由210x y y x +-=⎧⎨=⎩，得210(*)x x +-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由韦达定理得：121211x x x x +=-⋅=-，．AB ∴===由（*）解得12x x ==12y y ∴==．所以A B ，．则MA MB ⋅=2===．解法二、因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为34π，所以它的参数方程是31cos 432sin 4x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），即1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）．把它代入抛物线的方程，得220t +-=，解得1t =，2t = 由参数t的几何意义得：12AB t t =-=122MA MB t t ⋅==．在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会利用参数解决有关线段长度问题的方法，对比总结，查漏补缺，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力． （四）归纳总结，提升认识先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结．教师在学生总结的基础上再进行概括．变式训练：在平面直角坐标系O 中，已知直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,221222t x ty t 参 直线与椭圆1222=+y x 相交于A ，B 两点，点M （1,2）在直线上，求:（1）线段AB 的长；（2）点M 到A 、B 两点的距离之和．1．知识方面本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用．2．数学思想方法方面在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想．【设计意图】对学习内容有一个整体的认识，培养归纳、概括能力．（五）布置作业，巩固提高1 书面作业：教材P39—1；课后练习：三维设计P34~352 思考题：若直线l 的参数方程为 ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （b a ,为常数，t 为参数），请思考参数t 的意义．【设计意图】使学生进一步巩固所学知识，加深对知识的理解，为学有余力的学生提供思考的空间．八、板书设计九、教案设计说明本节课研究了直线的参数方程，并进行了简单的应用．本节课注重知识的产生过程，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．在教学过程中渗透运动与变化、数形结合、类比、转化等数学思想，关注学生的参与和知识的落实．本节课选择直线的参数方程的参数是比较困难的，这是因为从确定直线的几何条件较难联想到“距离”．因此在教学中除了复习预备知识以外，还复习了数轴．联系数轴上点的坐标的几何意义，类比得到平面直角坐标系中的任意一条直线都可以当成数轴，这样直线上任意一点就可以用坐标t 表示，因此可以选择坐标t 为直线参数方程中的参数．从而，建立直线的参数方程就转化为建立坐标t 与坐标00,x y 及倾斜角 之间关系的问题．这样设计既注重了知识的产生过程，又使学生深刻理解了参数的几何意义．在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式．在实施教学和完成教学目标的过程中，适时将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念．本节课恰当地利用多媒体辅助教学，增强了教学中的直观性．。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系》3
《极坐标系》教学设计江西省乐平市第一中学高中数学组程新华一、教材分析《极坐标系》是高中数学北师大版选修4-4第一章第二节的内容，是在学生已经学习过平面直角坐标系、任意角的概念的背景下，结合学生的日常生活，探究建立极坐标系的合理性，便捷性。
类比直角坐标系的研究方法自主完成极坐标系的建立，并在极坐标系下表示点的坐标，进行极坐标与直角坐标的互化。
为后面学习简单曲线的极坐标方程及参数方程奠定基础。
二、学情分析学生已经对平面直角坐标系有了一定的了解；极坐标系的思想已经普遍存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该较容易接受。
高二学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转化，学生在概括总结极坐标系知识上可能会有所不足。
三、教学目标分析1.知识与技能：①理解极坐标系的有关概念；掌握极坐标系下表示点的多值性。
②掌握极坐标平面内点的极坐标的表示：a）会在极坐标系内描出已知极坐标的点；b）会写出极坐标平面内点的极坐标；③掌握平面内一点极坐标与平面直角坐标的互化。
2.过程与方法：通过双师教学，促进重难点理解，体会数形结合、类比的数学思想方法；通过精准辅导，提高教学效果，每个学生都有收获。
通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力。
3.情感态度与价值观：通过日常生活中的语言引入极坐标系让学生感受生活中的数学，体验数学的实际应用价值。
通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦，提高解决问题的能力。
四、教学重难点：教学重点：掌握极坐标系的相关概念，明确能利用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。
教学难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想，认识点与极坐标之间的对应关系。
直角坐标系与极坐标系互化公式及其运用五、教学方法：问题引入法、讲解示范法、自主学习法、个别辅导法、分组讨论法。
六、教学基本流程七、教学情境设计：问题设计意图师生活动（1）吃鸡游戏中常给队友秒回敌人的位置。
如“1点钟方向100米有敌人。
”这句话从哪些方面刻画了敌人的位置？体会用距离和角度表达方位的优越性，引入极坐标系。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系》2
课题：圆的极坐标方程（第1课时）授课老师：张秀红授课班级:高二（6）班●教学目的：通过类比直角坐标系下求曲线的方程的过程，探讨圆的极坐标方程。
本课题通过课本例题及习题归类学习，让学生经历由简单到复杂的过程，增强解决圆的极坐标方程的能力。
●教学重点与难点：重点：如何根据条件列出圆的极坐标方程,比较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方程。
难点：如何寻找条件列出圆的极坐标方程●教学过程：一尝试自学1、直角坐标与极坐标的互化2、圆心为M（a,0）,半径为a（a>0）的圆的直角坐标方程为。
3、上述1中如何推导圆的直角坐标方程（方法步骤）4、求曲线方程的步骤（求轨迹方程的步骤）二、主干讲解类型一：圆心在极点的圆例1：求圆心在极点、半径为r 的圆的极坐标方程。
类型二：圆心在极轴上且过极点的圆例2：求圆心坐标为Ca,0 （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？类型三：圆心在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa 处且过极点的圆 求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？三、局部训练1、求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程2、求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛23,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？3、求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π,半径为1的圆的极坐标方程四、效果反馈1、，圆θρcos 2=圆心极坐标是 半径是 θρsin 4=的圆心极坐标是 半径是 两圆的圆心距是2、求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程3、求圆心在A ()π,3、半径为3的圆的极坐标方程 圆的方程是为半径的为圆心，、以极坐标系中的点1)1,1(4A )4cos(2πθρ-=、A )4sin(2πθρ-=、B )1cos(2-=θρ、C )1sin(2-=θρ、D5、已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半6．求下列圆的圆心的极坐标：（1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπρ-=7、求极坐标方程分别是1=ρ与θρcos 2-=的两个圆的公共弦所在的极坐标方程。
北师大版数学选修4-4教案：1.4直线和圆的极坐标方程
第四课时 直线和圆的极坐标方程一、教学目的：知识目标：掌握极坐标方程的意义能力目标：能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解三、教学模式：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：问题情境1、直角坐标系建立可以描述点的位置；极坐标也有同样作用？2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程； 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？学生回顾1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义3、求曲线方程的步骤（二）、讲解新课：1、引例：以极点O 为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。
因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示。
2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
4、求直线和圆的极坐标方程例1、【课本P13页例5】求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。
教师分析：设动点的极坐标抓住几何图形特征建立关系式。
学生练习。
变式训练：已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。
答案：cos 1ρθ=-例2、【课本P13页例6】求经过点A(2,0)、倾斜角为6π的直线的极坐标方程。
分析：设动点的极坐标，在三角形OAM 中利用正弦定理可解。
学生练习。
反思归纳：以上题目均为求直线的极坐标方程，方法是设动点的极坐标，抓住几何图形特征建立ρ与θ的关系式。
例3、【课本P14页例8】求圆心在（a,0）(a>0)、半径为a 的圆的极坐标方程学生练习，准对问题讲评。
变式训练：求圆心在)2,3(πA 且过极点的圆A 的极坐标方程。
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
探 究
O
C(a,0)
A
x
解：圆经过极点 。设圆与极轴的另一个 O 交点 是A，那么OA＝2a, 设M ( , )为圆上除点O，A 以外的任意一点，那么 OM AM。在RtAMO 中 OM OA cos MOA即＝2a cos .......... 1) .( 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式1) ( 2
解：方程可化为 － cos 4 2 即2 ＝4＋x 两边平方得： 2＝( x 4) 2 4 4 x 2 4 y 2 x 2 8 x 16 3x 8 x 4 y 16
2 2
x ( y 2) 4
2 2
2、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos 圆心的坐标是( , 0) 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 2 圆＝sin 的圆心坐标是( , ), 所以圆心距是 2 2 2
＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
2
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
3、极坐标方程 cos( )所表示的 4 曲线是 （ D ）
A、双曲线 C、抛物线 B、椭圆 D、圆
解：该方程可以化为 ＝cos( ) 4 1 1 以( , )为圆心， 为半径的圆。 2 4 2
高中数学1.2.3、4、5直线和圆的极坐标方程 名师公开课市级获奖课件(北师大版选修4-4)
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
π π 坐标方程即可．例如对于极坐标方程 ρ＝θ，点 M(4，4)可以表 π π π π π 5π 示为(4，4＋2π)或(4，4－2π)或(－4， 4 )等多种形式，其中，只 π π 有( ， )的极坐标满足方程 ρ＝θ. 4 4
菜 单
课 时 作 业
BS ·数学 选修4-4
BS ·数学 选修4-4
2．3
课 前 自 主 导 学
直线和圆的极坐标方程
当 堂 双 基 达 标
2． 4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 *2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程
课 堂 互 动 探 究
1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方 程． 2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的 课标解读 互化． 3.理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的 表示.
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
BS ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
BS ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位．
课 时 作 业
菜
单
BS ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
3．试结合教材 P12－14 例 4－例 8，总结求简单曲线的极 坐标方程的关键是什么？常需用到什么知识？
【提示】 求简单曲线的极坐标方程的关键，就是要找 到极径 ρ 和极角 θ 之间的关系， 这常用到解三角形(正弦定理、
2015-2016学年江西于都中学高二数学教案：第一讲坐标系 1.7 常用曲线的极坐标方程 (北师大版选修4-4)
第七课时 常用曲线的极坐标方程一、教学目的：知识目标：进一步领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法 能力目标：感受极坐标系椭圆抛物线和双曲线的完美统一德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：运用互换公式,求曲线的性质教学难点：准确求出曲线的直角坐标系方程 三、教学方法：讲练结合，探析归纳。
四、教学过程： （一）、复习引入： 学生回顾1．求曲线极坐标方程的方法 2．常用曲线的极坐标方程 （二）、基础训练1．直线2()cos(πααθρk m ≠=+ )z k ∉的斜率是 . 答案：cot α 2．极坐标方程θρsin 216-=表示的曲线是 。
椭圆3．曲线2sin =θρ和)20,0(sin 4πθρθρ<≤>=的交点坐标 4．在极坐标系中与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为 （ C ） A 、2sin =θρ B 、2cos =θρ C 、4cos =θρ D 、4cos -=θρ 5．椭圆θρcos 459-=的长轴长 . 答案：106. (2009上海理)在极坐标系中，由三条直线0=θ，3πθ=，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是________.【答案】334- w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】化为普通方程，分别为：y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，画出三条直线的图象如右图，可求得A （213-，233-），B （1,0），三角形AOB 的面积为：233121-⨯⨯7．（2009安徽理）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线22(1)(2)4x y -+-=相交于两点A 和B ，则|AB|=_______.[解析] 直线的普通方程为y x =，曲线的普通方程22(1)(2)4x y -+-=∴||AB == （二）、典型题目探析：例1【课本P19页B 组中10】求曲线01cos =+θρ关于直线4πθ=对称的曲线方程。
高二数学北师大版选修4-4《圆的极坐标方程》教案
第121212星期星期星期二二二201620162016年年5月月月101010日日单元章节单元章节单元章节课题课题课题本节课题本节课题本节课题第二课时第二课时第二课时三维三维三维目标目标目标
石泉中学课时教案
科目:高二数学 教师:张艳琴授课时间：第12周星期二2016年5月10日
单元（章节）课题
本节课题
例1．求圆心在极点、半径为 的圆的极坐标方程。
例2. 求圆心在 、半径 为的圆的极坐标方程。
例3. 求圆心在 、半径1为的圆的极坐标方程。
三、课堂小结
你今天主要学习了什么？都有哪些收获？
课堂检测内容
1．课本 第14页 练习2
2．课本 第14页 练习3
课后作业布置
课本 第18页A组 4 （3）（4）
预习内容布置
难点：求曲线的极坐标方程的方法.
教 学 过 程
一、情境导入
复习：在极坐标系中，如何求曲线的方程？
（1）建立平面直角坐标系（对称、简洁）；
（2）设点（设动点、定点的坐标）；
（3）列式（寻找动点满足的条件）；
（4）坐标化（将条件用坐标表示）；
（5）化简、整理.
导入：在极坐标系中，如何圆的极坐标方程？
二、典型例题
2.3圆的极坐标方程（第二课时）
三维目标
知识与技能：能在极坐标中求圆的极坐标方程，掌握求极坐标方程的一般步骤；
过程与方法：通过求圆的极坐标方程，体会求曲线的极坐标方程的方法；
情感,态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
提炼的课题
圆的极坐标方程
教学重难点
重点：能在极坐标中求圆的极坐标方程；ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
高中数学圆锥曲线统一的极坐标方程直线和圆的极坐标方程备课资料北师大版选修4_4
2.3 直线和圆的极坐标方程2. 4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程教学建议1.通过例题分析,使学生掌握曲线的直角坐标方程和极坐标方程的转化技巧.2.借助于易错辨析使学生明确求解极坐标问题时应注意的事项.3.直角坐标系内曲线和极坐标系内曲线的区别(1)在直角坐标系内,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只看作一个方程).但在极坐标系内,虽然一个方程只能与一条曲线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应.例如方程ρ1=1和ρ2=-1表示的是同一个圆,所以曲线和它的方程不是一一对应的.(2)在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程.例如给定曲线ρ=θ,设点P的一个极坐标为,那么点P适合方程ρ=θ,从而是曲线上的一个点,但点P的另一个极坐标就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内,某一个点P在某一曲线C上,当且仅当点P的极坐标中至少有一个适合曲线C的方程.备选习题1.已知A,B两点的极坐标分别为,求|AB|和△AOB的面积.(其中O点为极点)解:在△AOB中,A,B两点的极坐标可写为,∴OA,OB的长度分别为3,5,夹角为∠AOB=π-π.∴|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA||OB|cos∠AOB=34+15.∴|AB|=.S△AOB=·|OA|·|OB|sin∠AOB=×3×5×sinπ=.2.在△ABC中,AB=6,AC=4,当∠A变化时,求∠A的平分线与BC的垂直平分线的交点P的轨迹.提示:由于本题中涉及变化的角度问题,因此可用建立极坐标系的方法求解,求解时列式的关键是点P在BC的垂直平分线上.解:如图,以A为极点,射线AB为极轴建立极坐标系,设P(ρ,θ),则|AP|=ρ.∵AP为∠BAC的平分线,∴∠BAP=∠PAC=θ.∵|AB|=6,|AC|=4,由余弦定理知|PC|2=|AP|2+|AC|2-2|AP|·|AC|cosθ=ρ2+42-8ρcosθ,|PB|2=|AP|2+|AB|2-2|AP|·|AB|cosθ=ρ2+62-12ρcosθ.∵P在线段BC的垂直平分线上,∴|PB|=|PC|.∴ρ2+16-8ρcosθ=ρ2+36-12ρcosθ.∴ρcosθ=5.。
江西省于都中学高中数学13极坐标与直角坐标的互化教案北师大版选修4 4
极坐标与直角坐标的互化第三课时：一、教学目的知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解二、重难点：教学重点教学难点：互化关系式的掌握. 三、教学方法：启发、诱导发现教学四、教学过程：（一）、复习引入：; 1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便情境 2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便情境 1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题(1,3)，这个点如何用极坐标表示？问题2 ：平面内的一个点的直角坐标是学生回顾理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解（二）、讲解新课：x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单直角坐标系的原点O为极点，??)(,(x,y)，则由三角函数的定义和P的指教坐标与极坐标分别为位。
平面内任意一点可以得到如下两组公式：222?y??x??cos?x { { y??siny???tan x 1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式说明?，取将点的直角坐标化为极坐标时，0≥2、通常情况下，??20≤≤。
、互化公式的三个前提条件3; 极点与直角坐标系的原点重合）（1.1（2）. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;（3）. 两种坐标系的单位长度相同.（三）、举例应用：例1、【课本P10页例2题】14?3?把下列点的极坐标化成直角坐标：（1）A(2,) (2)B(4, )34??). 学生练习，教师准对问题讲评。
(3)M(-5, ) (4)N(-3,- 6??),?(22,,),BA(两点的距离求变式训练：在极坐标系中,已知A,B66反思归纳：极坐标与直角坐标的互化的方法。
x轴正半轴,建立直角坐标系. 3】若以极点为原点,极轴为P11例2、【课本页例?5),,(4求它的直角坐标, 的极坐标(1)已知A3(2,?2)和(0,?15)的直角坐标为(2)已知点B和点C???() ≤.求它们的极坐标2＜＞0,0学生练习，教师准对问题讲评。
【北师大版】选修4-4数学：第2章《直线和圆的极坐标方程》学案(含答案)
2.3 直线和圆的极坐标方程2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程1．能在极坐标系中，求直线或圆的极坐标方程．2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化． 3．了解圆锥曲线统一的极坐标方程．1．直线和圆的极坐标方程 (1)极坐标方程与曲线．在极坐标系中，曲线可以用含有ρ，θ这两个变量的方程φ(ρ，θ)＝0来表示．如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下关系：①曲线C 上的每个点的极坐标中__________满足方程φ(ρ，θ)＝0； ②极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的__都在曲线C 上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C 的__________，曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的____． (2)直线的极坐标方程．直线l 经过极点，倾斜角为α，则直线l 的极坐标方程是__________． (3)圆的极坐标方程．①圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是______；②圆心在(a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程是________．【做一做1－1】在极坐标系中，过点M ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，且平行于极轴的直线的极坐标方程是__________．【做一做1－2】在极坐标系中，圆心在点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2(a ＞0)处，且过极点的圆的极坐标方程是( )．A ．ρ＝2acos θB ．ρ＝2asin θ(0≤θ≤π)C ．ρ＝atan θD ．ρ＝2atan θ(0≤θ≤π) 2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化根据点的直角坐标与极坐标互化关系式，曲线方程两种形式的互化可以顺利完成． 点的直角坐标与极坐标互化关系如下：(1)点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y)的公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ ；(2)点M 的直角坐标(x ，y)化为极坐标(ρ，θ)的公式：⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝ ，tan θ＝【做一做2－1】极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线【做一做2－2】直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4化为极坐标方程为__________． 3．圆锥曲线统一的极坐标方程圆锥曲线统一的极坐标方程是ρ＝________， 当0＜e ＜1时，它表示____； 当e ＝1时，它表示______； 当e ＞1时，它表示______．【做一做3】把极坐标方程ρ＝42－cos θ化为直角坐标方程．1．求曲线的极坐标方程的步骤剖析：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上的任意一点；(2)由曲线上的点所满足的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式f(ρ，θ)＝0；(3)将列出的关系式f(ρ，θ)＝0进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程；(4)证明所得的方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略．2．直角坐标与极坐标互化时的注意事项剖析：(1)两组公式是在三个条件规定下得到的；(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但一般约定只在规定范围内求值； (3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端． 答案：1．(1)①至少有一组(ρ，θ) ②点 极坐标方程 曲线 (2)θ＝α(ρ∈R) (3)①ρ＝r ②ρ＝2acos θ【做一做1－1】ρsin θ＝2(ρ≥0) 如图，设P(ρ，θ)(ρ≥0)为所求直线上任意一点， 在Rt △OMP 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2(ρ≥0)，即ρsin θ＝2(ρ≥0)． 【做一做1－2】B 如图所示，圆与射线OP 的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫2a ，π2，在圆上任取一点M(ρ，θ)，连接OM 和MP ，则有OM ⊥MP ，在Rt △MOP 中，由Rt △MOP 的边角关系可得ρ＝2acos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2asin θ(0≤θ≤π)． 2．(1)ρcos θ ρsin θ (2)x 2＋y 2y x【做一做2－1】D ∵cos θ＝22，∴ρcos θ＝22ρ. 两边平方，得x 2＝12(x 2＋y 2)，即y ＝±x.又∵ρ≥0，∴ρcos θ＝x≥0. ∴y ＝±x(x≥0)表示两条射线．【做一做2－2】ρ＝4sin θ x 2＋(y －2)2＝4可化为x 2＋y 2＝4y ，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4ρsin θ，化简得ρ＝4sin θ.3．ep1－ecos θ椭圆 抛物线 双曲线【做一做3】解：由ρ＝42－cos θ变形得2ρ－ρcos θ＝4，把ρ＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入，平方，得4x 2＋4y 2＝x 2＋8x ＋16，即3x 2－8x ＋4y 2－16＝0.题型一 求直线的极坐标方程【例1】设P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 过P 点且倾斜角为3π4，求直线l 的极坐标方程．分析：设M(ρ，θ)(ρ≥0)是直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，构造三角形求OM.反思：在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般方法为：设M(ρ，θ)为直线上任意一点，极点为O ，连接OM ，构造出含有OM 的三角形，再找出我们需求的ρ与θ的关系，即为直线的极坐标方程．也可以先求出直角坐标方程，再化为极坐标方程．题型二 求圆的极坐标方程【例2】求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．反思：在极坐标系中，求圆的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的关系，将它用坐标表示并化简，得到ρ和θ的关系，即为所求极坐标方程．题型三 极坐标方程和直角坐标方程的互化【例3】将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化．(1)x 2＋y 2＝4；(2)(x －1)2＋(y ＋2)2＝4；(3)ρ＝3cOs θ；(4)ρ＝cOs ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. 反思：极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上点的位置的方法，都是研究平面图形的重要工具．在进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，除了正确使用互化公式外，还要注意变形的等价性．题型四 圆锥曲线的极坐标方程【例4】平面直角坐标系中，有一定点F(2,0)和一条定直线l ：x ＝－2.求与定点F 的距离和定直线l 的距离的比等于常数12的点的轨迹的极坐标方程．分析：用待定系数法求极坐标方程．反思：求圆锥曲线的极坐标方程，关键是建立极坐标系，明确P 的几何意义，求出e 和P ，圆锥曲线的极坐标方程就求出来了．答案：【例1】解：如图所示，设M(ρ，θ)(ρ≥0)为直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，连接OM ，OP ，该直线交Ox 于点A ，则有|OM|＝ρ，|OP|＝2，∠MOP ＝|θ－π4|，∠OPM ＝π2，所以|OM|cos ∠MOP ＝|OP|，即ρcos ⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π4＝2，即ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，显然点P 也在这条直线上． 故所求直线的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2. 【例2】解：如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A ，在圆上任取一点P(ρ，θ)，连接OP ，PA ，在Rt △OPA 中，|OA|＝8，|OP|＝ρ，∠AO P ＝θ，∴|OA|·cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圆C 的极坐标方程．【例3】解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝4得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4，即ρ2＝4.(2)将(x －1)2＋(y ＋2)2＝4展开得x 2－2x ＋y 2＋4y ＝－1.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2－2x ＋y 2＋4y＝－1，得(ρcos θ)2－2ρcos θ＋(ρsin θ)2＋4ρsin θ＝－1.化简，得ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋1＝0.(3)因为ρ＝3cos θ，所以ρ2＝3ρcos θ，即x 2＋y 2＝3x.(4)由ρ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝cos θcos π4＋sin θsin π4＝22cos θ＋22sin θ. 整理，得ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ， 即x 2＋y 2＝22x ＋22y. 即x 2－22x ＋y 2－22y ＝0. 【例4】解：过定点F 作定直线l 的垂线，垂足为K ，以F 为极点，FK 的反向延长线Fx 为极轴，建立极坐极系．由题意，设所求极坐标方程为ρ＝ep1－ecos θ，∵定点F(2,0)，定直线l ：x ＝－2，∴p 为F 点到直线l 的距离，为2－(－2)＝4.又常数12＝e ，∴所求点的轨迹的极坐标方程为ρ＝ep 1－ecos θ＝12×41－12cos θ，即ρ＝42－cos θ.1极坐标方程为ρ＝2cos θ的圆的半径是( )．A ．1B ．2C ．12D ．3 2过点A(2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )． A ．ρcOs θ＝2 B ．ρsin θ＝2 C ．ρcOs θ＝1 D ．ρsin θ＝1 3已知一条直线的极坐标方程为πsin 42ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则极点到该直线的距离是__________． 4从原点O 引直线交直线2x ＋4y －1＝0于点M ，P 为射线OM 上一点，已知|OP|·|OM |＝1.求P 点的轨迹的极坐标方程．答案：1．A ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x.化简，得(x －1)2＋y 2＝1.∴半径为1. 2．A 如图所示，设M(ρ，θ)为直线上除A(2,0)外的任意一点，连接OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA|＝2，|OM|＝ρ，所以有|OM|cos θ＝|OA|，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2. 3．22 ∵ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ρsin θcos π4＋ρcos θsin π4 ＝22ρsin θ＋22ρcos θ＝22， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即x ＋y ＝1.则极点到该直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22.4．解：以O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，直线2x ＋4y －1＝0的方程可化为2ρcos θ＋4ρsinθ－1＝0，设M(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝θ0，ρ0·ρ＝1，知⎩⎪⎨⎪⎧θ0＝θ，ρ0＝1ρ.代入2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0，得2×1ρcos θ＋4×1ρsin θ－1＝0，整理，得ρ＝2cos θ＋4sinθ.所以P 点的轨迹的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ.。
直线和圆的极坐标方程 -高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案
2．3直线和圆的极坐标方程对应学生用书P9][自主学习]1．曲线的极坐标方程(1)意义：在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系：①曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0；②极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C的极坐标方程，曲线C叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．(2)求极坐标方程的步骤：求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：①建立适当的极坐标系；②在曲线上任取一点M(ρ，θ)；③根据曲线上的点所满足的条件写出等式；④用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程．通常第⑤步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可．2．常见直线和圆的极坐标方程[合作探究]1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程有何异同？提示：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，这里要求至少有一组满足极坐标方程．有些表示形式可能不满足方程．例如，对极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝⎛⎭⎫π4，π4可以表示为⎝⎛⎭⎫π4，π4＋2π或⎝⎛⎭⎫π4，π4－2π等多种形式，其中只有⎝⎛⎭⎫π4，π4的形式满足方程，而其他表示形式都不满足方程．2．在极坐标系中，θ＝－π4与tan θ＝－1表示同一条直线吗？提示：表示同一条直线．3．在极坐标系中，ρ＝1或ρ＝－1表示同一个圆吗？ 提示：表示同一个圆．对应学生用书P9]射线或直线的极坐标方程[例1] 求：(1)过点A ⎝⎭⎫2，π4平行于极轴的直线的极坐标方程． (2)过点A ⎝⎛⎭⎫3，π3且和极轴成3π4角的直线的极坐标方程． [思路点拨] 本例主要考查直线的极坐标方程以及正弦定理等三角、平面几何知识，同时亦考查了数形结合思想，解答此题需要先设待求直线上任一点M (ρ，θ)，寻找到ρ，θ满足的几何等式，建立关于ρ，θ的方程，再化简即可．[精解详析] (1)法一：如图在直线l 上任取一点M (ρ，θ)，在△OAM 中|OA |＝2，|OM |＝ρ， ∠OAM ＝π－π4⎝⎛⎭⎫或π4， ∠OMA ＝θ(或π－θ)． 在△OAM 中，由正弦定理得2sin θ＝ρsin π4， ∴ρsin θ＝ 2.点A ⎝⎛⎭⎫2，π4也满足上述方程．因此过点A ⎝⎛⎭⎫2，π4平行于极轴的直线的极坐标方程为ρsin θ＝ 2. 法二：如图，在直线l 上任取一点M (ρ，θ)，过M 作MH ⊥极轴于H 点．∵A 点坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4， ∴|MH |＝2·sin π4＝ 2.在直角三角形MHO 中， |MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝2， 点A ⎝⎛⎭⎫2，π4也满足此方程． ∴过点A ⎝⎛⎭⎫2，π4平行于极轴的直线的极坐标方程为ρsin θ＝ 2. (2)如图，设M (ρ，θ)为直线l 上一点．已知A ⎝⎛⎭⎫3，π3，故|OA |＝3. ∠AOB ＝π3，又已知∠MBx ＝3π4，∴∠OAB ＝3π4－π3＝5π12.又∠OMA ＝π－⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝π4＋θ，在△MOA 中，根据正弦定理得3sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝ρsin 5π12，又sin5π12＝sin 7π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝6＋24， 将sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ展开化简代入可得 ρ(sin θ＋cos θ)＝332＋32，又点A ⎝⎛⎭⎫3，π3也满足上述方程， 所以过点A ⎝⎛⎭⎫3，π3且和极轴成3π4角的直线的极坐标方程为：ρ(sin θ＋cos θ)＝332＋32.在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般思路：在直线上设M (ρ，θ)为任意一点，连接OM ；构造出含OM 的三角形，再利用正弦定理求OM ，即把OM 用θ表示，即为直线的极坐标方程．若将本例(2)中点A 变为(2,0)，3π4变为π6，则直线的极坐标方程如何？解：设M (ρ，θ)为直线上除A 点以外的任意一点， 连接OM ，则在△AOM 中，∠AOM ＝θ，∠AMO ＝π6－θ，∠OAM ＝π－π6，OM ＝ρ，由正弦定理可得|OA |sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝|OM |sin ⎝⎛⎭⎫π－π6.∴ρsin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ. ∴ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ.∴ρsin π6cos θ－ρcos π6sin θ＝1.化简得：ρcos θ－3ρsin θ＝2. 经检验点(2,0)的坐标适合上述方程， 所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－3sin θ)＝2，其中，0≤θ<π6(ρ≥0)和7π6≤θ<2π(ρ≥0).[例2] 求圆心在A ⎝⎭⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝⎛⎭⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上．[思路点拨] 本题考查圆的极坐标方程及解三角形的知识，解答此题需要先设圆上任意一点M (ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的方程，化简即可．[精解详析] 由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA ，在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ.经验证，点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫4，3π2的坐标满足上式．所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2， ∴点⎝⎛⎭⎫－2，sin 5π6在此圆上．在极坐标系中，求圆的极坐标方程的一般思路：在圆上设M (ρ，θ)为任意一点，连接OM ，构造出含OM 的三角形，再利用解直角三角形或解斜三角形的正弦、余弦定理求OM ，即把OM 用θ表示，从而得到圆的极坐标方程．1．求半径为1，圆心在点C ⎝⎛⎭⎫3，π4的圆的极坐标方程． 解：设圆C 上的任意一点为M (ρ，θ)，且O ，C ，M 三点不共线，不妨设如图所示情况，在△OCM 中，由余弦定理得：|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |cos ∠COM ＝|CM |2，∴ρ2＋9－6ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝1. 即ρ2－6ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋8＝0， 经检验知，当O ，C ，M 三点共线时的点M 的坐标也适合上式．当θ<π4时，也满足该式，所以半径为1，圆心在C ⎝⎛⎭⎫3，π4的圆的极坐标方程为ρ2－6ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋8＝0.[例3][思路点拨] 本题考查极坐标系的建立、曲线的极坐标方程的一般求法及解三角形知识，解答此题需要按求曲线极坐标方程的五个步骤进行即可．[精解详析] 设直角三角形的斜边为OD ，它的长度是2r ，以O 为极点，OD 所在射线为极轴，建立极坐标系，如图所示．设P (ρ，θ)为轨迹上的一点， 则OP ＝ρ，∠xOP ＝θ. 在直角三角形ODP 中，OP ＝OD ·cos θ. ∵OP ＝ρ，OD ＝2r ， ∴ρ＝2r cos θ(ρ≠0，ρ≠2r )． 这就是所求轨迹的方程．在极坐标系中求动点的轨迹的极坐标方程的方法与在直角坐标系中求动点的轨迹的直角坐标方程的方法和思路类似，只不过建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现ρ，θ的联系，找出这样的三角形成了解题的关键．2．O 为已知圆O ′外的定点，点M 在圆O ′上，以OM 为边作正三角形OMN ，当点M 在圆O ′上移动时，求点N 的轨迹方程(O ，M ，N 按逆时针方向排列)．解：以O 为极点，以O 和已知圆圆心O ′所在射线为极轴，建立极坐标系，如图，设 |OO ′|＝ρ0，圆的半径为r ，由余弦定理得圆O ′(ρ1，θ1)的极坐标方程为ρ21－2ρ0ρ1cos θ1＋ρ20－r 2＝0.设N (ρ，θ)，M (ρ2，θ2)， ∵点M 在圆O ′上，∴ρ22－2ρ0ρ2cos θ2＋ρ20－r 2＝0.①∵△OMN 为正三角形， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝ρ2，θ＝θ2＋π3，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝ρ，θ2＝θ－π3.代入①得ρ2－2ρ0ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋ρ20－r 2＝0， 这就是点N 的轨迹方程．本课时常考查直线或圆的极坐标方程的求解，同时考查平面几何及解三角形知识．[考题印证](安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R ) 和ρcos θ＝1[命题立意] 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，圆的方程及其切线的求解．考查学生知识的转化能力、运算求解能力和转化应用意识．[自主尝试] 由ρ＝2cos θ可得x 2＋y 2＝2x ⇒(x －1)2＋y 2＝1，所以圆的圆心为(1,0)，半径为1，与x 轴垂直的圆的切线方程分别是x ＝0，x ＝2，在以原点为极点的极坐标系中，与之对应的方程是θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.[答案] B对应学生用书P11]一、选择题1．极坐标方程ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线D ．圆解析：选D ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝cos π4cos θ＋sin π4sin θ＝22cos θ＋22sin θ，∴ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，即x 2＋y 2＝22x ＋22y . 化简整理，得⎝⎛⎭⎫x －242＋⎝⎛⎭⎫y －242＝14，表示圆. 2．(江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：选A 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2.3．圆ρ＝2a sin θ关于极轴对称的圆的方程为( ) A ．ρ＝2a cos θB ．ρ＝－2a cos θC ．ρ＝－2a sin θD ．ρ＝2a sin θ解析：选C 法一：根据对称规律，把⎩⎪⎨⎪⎧θ′＝－θ，ρ′＝ρ代入原方程，可得原方程表示的曲线关于极轴对称的曲线方程． ∴ρ＝2a sin θ关于极轴对称的曲线方程为ρ′＝2a sin(－θ)． 即ρ＝－2a sin θ.法二：因为圆ρ＝2a sin θ的圆心是⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ， 该圆关于极轴对称的圆的圆心应为⎝⎛⎭⎫a ，3π2，半径仍为a ， 其方程应为：ρ＝2a cos ⎝⎛⎭⎫θ－3π2. 即ρ＝－2a sin θ.4．过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( ) A ．ρcos θ＝2 B ．ρsin θ＝2 C ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1解析：选A 如图所示，设M (ρ，θ)为直线上除A (2,0)外的任意一点，连接OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA |＝2，|OM |＝ρ，所以有|OM |cos θ＝|OA |，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.二、填空题5．以C (4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程为________． 解析：如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A ，在圆上任取一点P (ρ，θ)，连接OP ，P A ，在Rt △OP A 中，|OA |＝8， |OP |＝ρ，∠AOP ＝θ，∴|OA |·cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圆C 的极坐标方程． 答案：ρ＝8cos θ6．点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2对称点的坐标是________．解析：利用图形法，如图在极坐标中画出点M ，它关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝⎛⎭⎫2，π6. 答案：⎝⎛⎭⎫2，π6或⎝⎛⎭⎫－2，7π67．(北京高考)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 解析：由题意知，点⎝⎛⎭⎫2，π6的直角坐标是(3，1)，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程是y ＝2，所以所求的点到直线的距离为1.答案：18．(天津高考)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．解析：由于圆和直线的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4y 和y ＝a ，它们相交于A ，B 两点，△AOB 为等边三角形，所以不妨取直线OB 的方程为y ＝3x ，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4y ，y ＝3x ，消去y ，得x 2＝3x ，解得x ＝3或x ＝0，所以y ＝3x ＝3，即a ＝3.答案：3 三、解答题9．从原点O 引直线交直线2x ＋4y －1＝0于点M ，P 为射线OM 上一点，已知|OP |·|OM |＝1.求P 点的轨迹的极坐标方程．解：以O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，直线2x ＋4y －1＝0的方程可化为2ρcos θ＋4ρsin θ－1＝0，设M (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝θ0，ρ0·ρ＝1，知⎩⎪⎨⎪⎧θ0＝θ，ρ0＝1ρ.代入2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0，得2×1ρcos θ＋4×1ρsin θ－1＝0，整理，得ρ＝2cos θ＋4sin θ.所以P 点的轨迹的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ.10．在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫3，π6，半径为1，Q 点在圆周上运动，O 为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足OQ QP ＝23，求动点P 的轨迹方程．解：(1)设Q (ρ，θ)为圆C 上任意一点，如图，在△OCQ 中，|OC |＝3，|OQ |＝ρ，|CQ |＝1，∠COQ ＝⎪⎪⎪⎪θ－π6，根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，化简整理，得ρ2－6ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋8＝0为圆C 的轨迹方程． (2)设Q (ρ1，θ1)，则有ρ21－6·ρ1cos ⎝⎛⎭⎫θ1－π6＋8＝0. ① 设P (ρ，θ)，则OQ ∶QP ＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝25ρ，又θ1＝θ，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝25ρ，θ1＝θ，代入①得425ρ2－6·25ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋8＝0， 整理得ρ2－15ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋50＝0. 这就是P 点的轨迹方程．11．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系》14
§直线与圆的极坐标方程一、教学目标1、理解直线与圆的极坐标方程的本质特点2、掌握求直线与圆的极坐标方程的方法3、类比直角坐标系中求曲线方程的方法，求极坐标系中曲线的方程二、教学重点与难点重点:求直线与圆的极坐标方程难点：掌握求直线与圆的极坐标方程的方法三、教材分析本节内容是北师大版选修4-4第二章第三节的内容，在学习了极坐标的概念，点的极坐标与直角坐标的互化以后安排的求直线与圆的极坐标方程，本节内容有承上启下的作用，是点的极坐标方程的延伸，求圆锥曲线统一的极坐标方程的基础，是高考的考点之一四、学情分析学生在必修的学习中，已经有了在直角坐标系中求曲线方程的基础，理解了求曲线方程的方法，又在前两节学习极坐标系的概念及点的极坐标与直角坐标的互化的基础上，学习直线与圆的极坐标方程是容易理解的五、教学方法启发引导与自主探究相结合（学生讲解展示答案教师指导总结）六、教学过程1、复习回顾（1）一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程(,)0f x y 的实数解建立了如下关系：① 曲线C 上的点的坐标都是方程的解，② 以方程(,)0f x y =的解为坐标的点都在曲线上，那么把这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（2） 在直角坐标系中，求曲线方程的步骤：① 设点的坐标② 建立等量关系③ 化简得到方程(,)0f x y =（3）点的极坐标2、新知探究曲线的极坐标方程的定义：一般地，如果极坐标系中的曲线C 与方程(,)0f ρθ=之间建立了如下关系： ①曲线C 上的任意一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程(,)0f ρθ= ②满足方程(,)0f ρθ=的C 点都在曲线上，那么方程(,)0f ρθ=叫做曲线C 的极坐标方程3、实例分析例1、求从极点出发，倾斜角为4π解：画出倾斜角4π的直线与射线，就是直线的极坐标方程，这就是所求射线的点是射线上任意一点，则设404)0)(,(πθρθρ=≥≥M M .3223A 12）且和极轴平行的直线，（）过点（；）并与极轴垂直的直线，（）过点（坐标方程、求适合下列条件的极例ππB ；）并与极轴垂直的直线，（画出过点分析：π3A )1(.,3cos 3)cos(3A ),(线极坐标方程这就是所求直，即在直角三角形中上任意一点，）并与极轴垂直的直线，（是过点设-==-θρθπρπθρM 等量关系用三角函数的定义建立转化在直角三角形中利，）且和极轴平行的直线，（画出过点）类比（32)1(2πB 的直线的极坐标方程；）、倾斜角为，（、求经过点例6023πA.),(602方程系，化简得所求直线的定理建立等量关，在三角形中利用正弦设直线上任意点的直线的极坐标方程，）、倾斜角为，（分析：画出经过点θρπM A 的圆的极坐标方程）、半径为）（，、求圆心在（例a 0a 0a 4>分析：画出圆心在a,0半径为a 的圆，设圆上任意一点的极坐标),(θρM ，在直角三角形中利用三角函数的定义建立等量关系。
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是 C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
题组练习 1 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2；
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标 方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C (a, 0)(a 0) 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 ( , )满足的条件吗？
＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
2
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
M
N
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r OC 4,
O
C(4,0)
连结CM ， M 是弦ON的中点 CM ON , 所以，动点M 的轨迹方程是＝4 cos
练习 4 把极坐标方程＝ 化为直角坐标方程。 2－cos
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
江西省于都中学高中北师大版数学选修4-4教案：2.5直线的参数方程
第五课时 直线的参数方程一、教学目标：知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程（一）、复习引入：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数） （2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）2．写出椭圆参数方程.3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程?（二）、讲解新课：1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是030，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？如果已知直线L 经过两个定点Q （1，1），P （4，3），那么又如何描述直线L 上任意点的位置呢？2、教师引导学生推导直线的参数方程：（1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） 【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM u u u u r 数量来表示。
带符号.（2）、经过两个定点),(),,(2211y x P y x Q (其中)(21x x ≠)的直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y x x x x （为参数，1-≠λ）。
其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。
这里参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP uuu v 的数量比QM MP 。
高中数学_圆的极坐标方程教学设计学情分析教材分析课后反思
选修4-4 第二章第一节《圆的极坐标方程》教学设计一、 教学目标确立依据（一）课程标准要求及解读1．课程标准要求①了解曲线的极坐标的概念，能写出写出圆心在极点的圆的方程；②熟练掌握和运用过极点且圆心在极轴上或在点,2a π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的圆的极坐标方程，十分熟悉这类圆极坐标与直角坐标的两种互化方式。
2．课程标准解读①“了解曲线的极坐标的概念，能写出写出圆心在极点的圆的方程”解读为：运用极坐标方程解决一些与圆相关的几何问题，进而体会极坐标方程的方便之处。
在现实问题中，能运用这些函数构建模型，体会这些函数在解决实际问题中的作用，提升数学运算和数学建模的素养。
②“熟练掌握和运用过极点且圆心在极轴上或在点,2a π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 处的圆的极坐标方程，十分熟悉这类圆极坐标与直角坐标的两种互化方式” 解读为：主要掌握三类圆的极坐标方程：圆心在极点的圆；圆心在极轴上且过极点的圆；圆心在点,2a π⎛⎫ ⎪⎝⎭切过极点的圆。
通过具体内容的教学，使学生深入理解并熟练运用平面上点的极坐标(),ρθ ，要逐步理解平面曲线地极坐标()ρρθ= 的含义。
通过学习让学生学会用借助图象应用性质解决相关的函数问题，提升数学抽象、直观想象和数学运算的素养。
让学生学会应用所学知识从不同角度解决问题，在对比比较中选择合适的解题方法，提升数学运算和逻辑推理的素养。
（二）教材分析本节内容是人教B 版普通高中课程标准实验教科书选修4-4《坐标系与参数方程》选讲中第一讲第三节的内容。
是在复习了平面直角坐标系,引入了极坐标系，以及掌握了极坐标与直角坐标的互化的基础上进一步学习《圆的极坐标方程》。
这节在教参中建议的是上2课时，考纲对这一节的要求是：能够熟练掌握和运用过极点且圆心在极轴上的圆或圆心在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa 处且过极点的圆 的方程。
通过对比这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当的坐标系的意义。
这节在高考考察中属于中等以下难度的题，即基础题。
高中数学 4.2.2 第1课时 直线和圆的极坐标方程学案 苏教版选修44
第1课时直线和圆的极坐标方程1．会求极坐标系中直线和圆的极坐标方程．2．进一步体会求简单曲线的极坐标方程的基本方法．3．进一步体会极坐标的特点，感受极坐标方程的美．[基础·初探]1．直线的极坐标方程若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且直线l的倾斜角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几种常见直线的极坐标方程：图4212．圆的极坐标方程若圆心的坐标为M(ρ0，θ0)，圆的半径为r，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几种常见圆的极坐标方程图422[思考·探究]1．求直线和圆的极坐标方程的关键是什么？【提示】求直线和圆的极坐标方程关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系式．这一过程需要用到解三角形的知识．用极角和极径表示三角形的内角和边是解决这个问题的一个难点．直线和圆的极坐标方程也可以用直角坐标方程转化而来．2．直角坐标与极坐标互化时有哪些注意事项？【提示】(1)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但一般约定只在规定范围内求值；(2)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；(3)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________求直线的极坐标方程求：(1)过A⎝⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线；(2)过A⎝⎛⎭⎪⎫3，π3且和极轴成3π4的直线．【自主解答】(1)如图1所示，在所求直线上任意取点M(ρ，θ)，过M作MH⊥Ox于H，连OM.∵A⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，∴MH＝2·sinπ4＝2，在Rt△OMH中，MH＝OM sin θ，即ρsin θ＝2，所以，过A⎝⎛⎭⎪⎫2，π4平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝ 2.图1 图2(2)如图2所示，在所求直线上任取一点M(ρ，θ)，∵A⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，∴OA＝3，∠AOB＝π3，由已知∠ABx＝3π4，所以∠OAB＝3π4－π3＝5π12，∴∠OAM＝π－5π12＝7π12.又∠OMA＝∠MBx－θ＝3π4－θ，在△MOA中，根据正弦定理得3sin⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝ρsin7π12.∵sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝2＋64. 将sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ展开，化简上面的方程，可得ρ(cos θ＋sin θ)＝332＋32. 所以，过A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3且和极轴成3π4的直线方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝332＋32. [再练一题]1．设P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 过P 点且倾斜角为3π4，求直线l 的极坐标方程．【导学号：98990012】【解】 如图所示，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，连接OM ，OP ，该直线交Ox 于点A ，则有OM ＝ρ，OP ＝2，∠MOP ＝|θ－π4|，∠OPM ＝π2，所以OM cos ∠MOP ＝OP ，即ρcos|θ－π4|＝2，即ρcos(θ－π4)＝2，显然点P 也在这条直线上．故所求直线的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2.求圆的极坐标方程(1)求以B ⎝⎛⎭⎪⎫3，2为圆心，3为半径的圆．(2)求以极点和点N ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4所连线段为直径的圆的极坐标方程． 【自主解答】 (1)∵圆心为B (3，π2)，半径为3.∴所求圆的极坐标方程为ρ＝6sin θ. (2)如图，设M (ρ，θ)为圆上任一点，则有ON cos ∠NOM ＝OM ， 即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ就是所求圆的极坐标方程．[再练一题]2．求以C (4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．【解】 如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A ，在圆上任取一点P (ρ，θ)，连接OP ，PA ，在Rt △OPA 中，OA ＝8，OP ＝ρ，∠AOP ＝θ，∴OA ·cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圆C 的极坐标方程.极坐标的应用在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．【思路探究】 将圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0化为普通方程后求解．【自主解答】 ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 圆的普通方程为：x 2＋y 2＝2x ，(x －1)2＋y 2＝1，直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的普通方程为：3x ＋4y ＋a ＝0， 又∵圆与直线相切，∴|3·1＋4·0＋a |32＋42＝1， 解得：a ＝2，或a ＝－8.理解极坐标的概念，能进行极坐标与直角坐标的互化，根据条件建立相应曲线的极坐标方程．[再练一题]3．已知圆C 1：ρ＝2cos θ，圆C 2：ρ2－23ρsin θ＋2＝0，试判断这两个圆的位置关系．【解】 法一 圆C 1是圆心C 1(1,0)，半径r 1＝1的圆．化圆C 2为极坐标系下圆的一般方程为ρ2－2ρ·3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＋(3)2－12＝0，得：12＝ρ2＋(3)2－2ρ·3cos(θ－π2)．知圆心C 2(3，π2)，半径为r 2＝1，C 1C 2的距离为2，则⊙C 1与⊙C 2外切．法二 将极坐标方程化为直角坐标方程．⊙C 1：ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1， 圆心C 1(1,0)，半径r 1＝1.⊙C 2：x 2＋y 2－23y ＋2＝0，即x 2＋(y －3)2＝1. 圆心C 2(0，3)，半径r 2＝1，C 1C 2＝2＝1＋1＝r 1＋r 2， 故⊙C 1与⊙C 2外切．[真题链接赏析](教材第32页习题4.2第2题)按下列条件写出圆的极坐标方程：(1)以A (2,0)为圆心，2为半径的圆；(2)以B ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2为圆心，4为半径的圆；(3)以C (5，π)为圆心，且过极点的圆； (4)以D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4为圆心，1为半径的圆． 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【命题意图】 本题考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化及极坐标的应用，考查知识的转化能力、运算求解能力和转化应用意识．【解】 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1．极坐标方程为ρ＝2cos θ的圆的半径是________．【解析】 ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x .化简得(x －1)2＋y 2＝1.∴半径为1.【答案】 12．直角坐标方程x ＋y －2＝0的极坐标方程为________． 【答案】 ρsin(θ＋π4)＝ 23．过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是________．【导学号：98990013】【解析】 如图所示，设M (ρ，θ)为直线上除A (2,0)外的任意一点，连接OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，OA ＝2，OM ＝ρ，所以有OM cos θ＝OA ，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcosθ＝2.【答案】 ρcos θ＝24．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.【答案】 ρ＝2cos θ我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________。
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第四课时 直线和圆的极坐标方程
一、教学目的：
知识目标：掌握极坐标方程的意义
能力目标：能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法
教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解
三、教学模式：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
问题情境
1、直角坐标系建立可以描述点的位置；极坐标也有同样作用？
2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程； 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾
1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？
2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义
3、求曲线方程的步骤
（二）、讲解新课：
1、引例：以极点O 为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都
在这个圆上。
因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示。
2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？
3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在
曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标
方程的曲线。
4、求直线和圆的极坐标方程
例1、【课本P13页例5】求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。
教师分析：设动点的极坐标抓住几何图形特征建立关系式。
学生练习。
变式训练：已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。
答案：cos 1ρθ=-
例2、【课本P13页例6】求经过点A(2,0)、倾斜角为6π
的直线的极坐标方程。
分析：设动点的极坐标，在三角形OAM 中利用正弦定理可解。
学生练习。
反思归纳：以上题目均为求直线的极坐标方程，方法是设动点的极坐标，抓住几何图形特征建立ρ与θ的关系式。
例3、【课本P14页例8】求圆心在（a,0）(a>0)、半径为a 的圆的极坐标方程 学生练习，准对问题讲评。
变式训练：求圆心在)2,3(π
A 且过极点的圆A 的极坐标方程。
（三）、巩固与练习：课本P14页练习中2、3
（四）、小结：本节课学习了以下内容：1．如何求直线和圆的极坐标方程 。
2．极坐标系中曲线与方程的关系和直角坐标系中曲线与方程的关系是一致的。
3、掌握求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤。
（五）、作业：课本P18页A 组 4、11 B 组中1
六、教学反思：。