数学思想活用-巧得分系列之四 转化与划归思想在求解恒成立问题中的应用
初中数学巧妙“转化”的解题思想与教学应用实践
初中数学巧妙“转化”的解题思想与教学应用实践“转化”是指把一个难以解决的问题，转化成一个易于解决的问题。
在数学中，很多难题都可以通过巧妙的转化来解决。
初中数学中，有很多题目都可以通过转化解决，如下面几个例子。
1. 利用分式化简例如：计算：$\sqrt{3+\sqrt{8}}+\sqrt{3-\sqrt{8}}$$$x^{2} = (3+\sqrt{8}) + 2\sqrt{(3+\sqrt{8}) (3-\sqrt{8})} + (3-\sqrt{8}) = 6+2\sqrt{3}$$例如：计算：$\frac{(a+b)^{3}-(a-b)^{3}}{4ab}$$$\frac{(a+b)^{3}-(a-b)^{3}}{4ab} = \frac{6ab(a+b)}{4ab} =\frac{3}{2}(a+b)$$3. 利用代数恒等式解法：将右边的括号拆开得到代入右边的式子中，得到等式成立。
通过以上例子，我们可以看出，利用转化的思想可以较快地求解一些数学难题。
对于初中数学教学的应用实践，我们可以采取以下措施。
1. 总结转化的方法在教学过程中，我们应该学生总结一些常见的数学转化方法，例如：分式化简、因式分解、代数恒等式等。
这样可以帮助学生更加深入地理解数学知识，提高解题的效率。
2. 组织转化的练习在数学教学中，我们可以组织一些转化的练习，让学生在解题的过程中熟悉转化的方法，提高解题的能力。
例如，在练习中可以设置一些简单的转化题目，慢慢地逐步增加难度，从而让学生更加熟练地掌握转化的技巧。
3. 引导学生思考在数学教学中，我们应该引导学生养成自主思考的习惯。
当遇到一道难题时，学生可以先尝试通过转化的方法来解决，这样可以大大提高解题的效率。
同时，也可以帮助学生更加深入地理解数学知识，为日后的学习打下良好的基础。
化归与转化思想在中学数学解题中的作用
化归与转化思想在中学数学解题中的作用【摘要】中学数学教学阶段一定要注重培养学生的运用数学思想方法来分析问题、解决问题的能力，但这是一个潜移默化的过程，是在多次理解和反复应用的基础上逐步形成的。
化归思想是数学思想方法之一，在平时的教学中要善于挖掘各种习题所蕴涵的的数学思想，并进行加工提炼，才能发挥习题的潜在作用，才能使学生逐步熟悉。
【关键词】数学思想方法；数学教学；转化与化归思想当今，对数学教育的改革，把提高全民的数学素质摆在十分重要的地位。
加强数学思想方法的教学，对于数学素质教育的实施具有重要意义。
化归与转化思想就是一种重要的数学思想，本文谈谈化归与转化思想在数学解题中的作用。
1.化归思想的涵义和作用化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想，一般总是把复杂的、生疏的、抽象的、困难的、未知的问题，通过观察，分析、类比、联想等思维过程，将其转化为简单的、熟悉的、具体的、容易的、已知的问题来解决。
【评注】：当问题从正面入手难以解决时，常采用“正与反的相互转化”，从问题的反面入手，从而使问题得以解决。
3.2函数、方程、不等式之间的转化【评注】函数与方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程，不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范围。
3.3主元与辅元的转化【评注】本题巧妙地利用主元和参变量之间的关系，视参变量为主元（即参变量与主元的角色换位），简化了运算。
【评注】解法一列式容易，但计算复杂，解法二利用数形结合法来解题较为简洁。
【评注】把立体几何问题转化为平面几何问题，面面、线面、线线位置关系的互相转化，空间角转化为平面角都是解决立体几何题常用的化归与转化手段。
转化与化归思想在中学数学中的应用
转化与化归思想在中学数学中的应用转化思想和化归思想是中学数学中非常重要的两个思想，它们在解决问题和证明定理过程中起着至关重要的作用。
本文将分别探讨转化思想和化归思想在中学数学中的应用。
一、转化思想在中学数学中的应用转化思想是指通过变换问题的形式或等效变形，使问题转化为熟悉的或易于处理的问题。
它就像是把难题中的棘手一面剥离，使问题变得简单易懂，进而更好地解决问题。
在中学数学中，转化思想主要体现在以下几个方面：1.利用等量代换简化方程式在代数运算中，我们会遇到很多组长方程式，而这些方程式中经常出现相同的项。
这时候，我们可以采用等量代换的方法，将其化简，使问题更容易解决。
例如，我们可以利用x+y=1这个式子，将x^3+y^3转化为(x+y)^3-3xy(x+y)，从而简化计算过程。
2.利用等式变形证明定理在证明数学定理时，通过大量变量之间的等式变形，可以大大简化证明过程。
例如，在证明勾股定理中，我们可以把原方程式a^2+b^2=c^2转化为a^2+b^2-c^2=0，继续变形成(a+c)(a-c)+(b+c)(b-c)=0，再变形成其它等式，最终证明了定理。
3.利用变量的代数变换简化问题有些问题需要建立函数关系式，但是常见的函数关系式过于复杂，不容易解决。
这时候，我们可以尝试采用代数变换的方法，将其变成简单的函数关系式。
例如，在解决极值问题时，我们可以利用三角函数的性质进行变量的代数变换，将复杂的函数关系式变得简单清晰。
二、化归思想在中学数学中的应用化归思想是指将问题按一定规律，通过变形而归约成一个与原问题相关的子问题，然后逐步化简子问题，最终解决原问题。
通过化归，我们可以更容易地理解问题，从而更好地解决问题。
在中学数学中，化归思想主要体现在以下几个方面：1.将高阶次问题化归为低阶次问题有些问题是高阶次或高维的，很难直接解决。
这时候，我们可以采用化归的方法，将其化归为低阶次问题。
例如，在解决n阶递推数列时，我们可以将n阶递推数列化归为n-1阶递推数列，从而简化问题的处理。
高考数学指南：转化与化归思想在数学答题中的应用（含范例详解）
高考数学指南：转化与化归思想在数学答题中的应用（含范例详解）所谓转化与化归思想，就是将待解决的问题和未解决的问题，采取某种策略，转化归结为一个已经能解决的问题；或者归结为一个熟知的具有确定解决方法和程序的问题；归结为一个比较容易解决的问题，最终求得原问题的解。
一、转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的。
(3)具体原则：化归方向应由抽象到具体。
(4)和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。
(5)正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决。
二、转化与化归思想常用到的方法(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。
(2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径。
(4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。
(5)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径。
(6)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径。
(7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题。
(8)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化的目的。
(9)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题充分条件，从而易证。
巧妙转化,化繁为简——转化思想在初中数学解题教学中的应用探究
巧妙转化,化繁为简——转化思想在初中数学解题教学中的应用探究将一种形式转化为另一种形式，将复杂的数学题转化为简单的数学题是初中数学解题教学中一种重要的转化思想。
老师在教学过程中要在保证学生学习基础的前提下对他们进行转化思维的培养，提高他们相关的能力。
转化思想作为一种基本的数学思想，已经得到了越来越多的老师重视，对于大多数的学生来说，学习数学时会遇到很多难题，不会正确的攻克难题只会让学生们觉得数学太难，渐渐失去了学习的兴趣。
但是如果学生们能掌握化繁为简的转化思想，难题就很容易被解决了，才能够让学生们在喜爱上数学的同时真正理解数学的内涵，更好地激发学生的学习热情和积极性。
1.转化思想的重要性数学解题中有四大思想，是人们在研究数学中总结出对于数理知识的本质认识，每一个思想都是解题的重要思想，其中就包括转化思想。
转化思想可以让人们越过表面看本质，对数学知识有一个更加清晰的认识。
数学解题就像魔术一样，魔术表演往往让人看得眼花缭乱，但是揭秘真相的时候突然发现原来这么简单，数学解题也同样如此，只要越过表面看实质就会发现数学原来很简单。
转化思想从小学就开始学习了，在学好数学的过程中发挥着重要的作用。
有时候转化思想能从数学课堂上学到，在数学解题的过程中，会出现很多学生们从来没有见过的新题型，那么把这些题转化为他们学过的熟悉的类型，也就使题目变得简单了。
数学题有成千上万，在数学解题中数学题总是变化的，但是初中学生们的知识掌握量却是有限的，所以要具备转化思想，将那些超出知识范围的转化为已知的。
2.转化思想在初中数学中的类型2.1 化复杂为简单。
当学生们从小学步入初中时，遇到的关于数学应用性的问题会越来越多，这个时候学生是否有转化思想把复杂简单化的能力就特别明显，具备这些能力的学生们学习成绩就相对较好，那些成绩不太好的学生就不能理解题目。
如果学生们能够在复杂的题型中找到简单的突破口，那么问题就迎刃而解了。
当面对综合性题型的时候，学生们要学会将多个知识点逐一排列成简单的、熟悉的知识点，这样才能将复杂的题目转化为简单的题目。
初中数学巧妙“转化”的解题思想与教学应用实践
初中数学巧妙“转化”的解题思想与教学应用实践初中数学是学生学习数学的重要阶段，数学的巧妙“转化”是解题的重要思想之一。
巧妙“转化”是指利用数学知识和技巧，将一个数学问题从一个形式转化为另一个形式，进而使问题更容易解决或更容易理解，并且常常是解题过程中的关键一步。
本文将从解题思想和教学应用实践两个方面来探讨初中数学巧妙“转化”的相关内容。
一、解题思想1. 转换形式巧妙“转化”是指将数学问题从一个形式转化为另一个形式。
题目给出了一个复杂的代数式，我们可以利用因式分解、提公因式等方法，将其转化为一个更简单的形式，这样就更容易解决或理解这个问题。
2. 利用等价变形和变换在巧妙“转化”中，我们可以利用等价变形和变换的方式来改变问题的形式。
对于一个求解方程的问题，我们可以进行加减乘除的等价变形，将方程转化为更容易求解的形式。
又如，对于一个几何问题，我们可以通过平移、旋转等变换将一个复杂的几何图形转化为一个简单的几何形状，以便更好地理解和解决问题。
3. 运用逆向思维在解决数学问题时，利用逆向思维是巧妙“转化”的一个重要思想。
逆向思维是指从问题的答案出发，倒推出问题的解决思路。
通过逆向思维，我们可以将原问题转化为一个更容易求解的问题，从而更简单地解决原问题。
4. 利用问题的特点二、教学应用实践1. 引导学生学会转化思想在数学教学中，我们应该引导学生学会巧妙“转化”的解题思想。
通过讲解和分析不同类型的数学问题，引导学生认识到巧妙“转化”对解题的重要性，培养学生转化思想的意识。
2. 灵活运用教学方法3. 拓展教学内容在教学中，应该拓展教学内容，引导学生探究更多的巧妙“转化”解题方法。
可以引入一些常见的数学定理、性质，让学生将问题转化为运用定理和性质去解决，从而丰富学生的解题思路。
4. 提升学生的综合应用能力在教学中，要注重提升学生的综合应用能力，让学生能够灵活地运用巧妙“转化”的解题思想去解决实际问题。
可以设计一些实际情境的问题，让学生通过“转化”思想去解决，提升学生的数学实际运用能力。
“转化与化归”思想在高中数学解题教学中的应用
解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀转化与化归 思想在高中数学解题教学中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李㊀硕㊀㊀转化与化归 思想是高学数学中的一种重要的数学思想,运用非常广泛,尤其是一些特殊的问题,运用 转化与化归 思想解题可以提高效率,同时还可以降低问题解决的难度．因此,在数学课堂引入并应用转化与化归思想,能够让学生在学习数学及解题的过程中,加深对数学概念的理解,同时也能有效锻炼数学思维,提高学习效率,进一步发展数学核心素养．在高中数学的解题过程中,基于 转化与化归 思想的三大原则,主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化㊁命题的等价转化,以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等一些常见的转化方法．１特殊与一般的转化将一般问题进行特殊化处理,可使问题的解决变得更为直接和简便,并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维;除此之外,对特殊性问题进行概括性研究,实现特殊问题一般化,也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律,并能有效地解决特殊性问题．例１㊀ 蒙日圆 涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a ＝１(a ＞０)的离心率为１２,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(㊀㊀)．A．x ２＋y ２＝９㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ２＋y ２＝７C ．x ２＋y ２＝５D．x ２＋y ２＝４分析:根据题目中的已知条件,在椭圆上,两条相互垂直的切线可以随意选择,但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的,也即答案是唯一的．由此,可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路,不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题．解:因为椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a＝１(a ＞０)的离心率为１２,所以１a ＋１＝１２,解得a ＝３．所以椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１,且椭圆C 的上顶点为A (０,３),右顶点为B (２,０),则椭圆在A ,B 两点的切线方程分别为y ＝３和x ＝２,这两条切线的交点坐标为M (２,３)．由题意可知,交点M 必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得与椭圆C 同心的圆的半径r ＝２２＋(３)２＝７．所以椭圆C 的蒙日圆方程为x ２＋y ２＝７．故选:B ．以问题的特征为依据,对命题进行转化,将原问题转化为与之相关的㊁容易解决的新问题,这也是解决数学问题常见的转化思路,并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力．２命题的等价转化把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化,化难为易,是解决较难问题常用的转化手段．其主要方法包括:数与形的转化㊁正与反的转化㊁常量与变量的转化㊁图形形体及位置的转化等．例２㊀由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,得m 的取值范围是(－ɕ,a ),则实数a 的值是．分析:利用转化思想可以将命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０ 是假命题转化为 对任意x ɪR ,e|x －１|－m ＞０是真命题,由此得出m ＜e |x －１|恒成立,进而通过m 的取值范围来求a 的值．解:由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,可知 对任意x ɪR ,e |x －１|－m ＞０是真命题,由此可得m 的取值范围是(－ɕ,１),而(－ɕ,a )与(－ɕ,１)为同一区间,故a ＝１．例３㊀若对于任意t ɪ[１,２],函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是．分析:根据函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,可以利用正难则反的转化思想先找出g (x )在(t ,３)上单调的条件,再利用补集思想求出m 的取值范围．８５２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解:求得g ᶄ(x )＝３x ２＋(m ＋４)x －２．若g (x )在(t ,３)上单调递增,则g ᶄ(x )ȡ０,即３x ２＋(m ＋４)x －２ȡ０,亦即m ＋４ȡ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立．故m ＋４ȡ２t－３t 在t ɪ[１,２]上恒成立,则m ＋４ȡ－１,即m ȡ－５．若g (x )在(t ,３)上单调递减,则g ᶄ(x )ɤ０,即m ＋４ɤ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立,所以m ＋４ɤ２３－９,即m ɤ－３７３．综上,符合题意的m 的取值范围为－３７３＜m ＜－５．根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路;对复杂问题采用正难则反的转化思想,更有利于问题得到快速解答．３函数㊁方程㊁不等式之间的转化函数与方程㊁不等式之间有着千丝万缕的关联,通过结合函数y ＝f (x )图象可以确定方程f (x )＝０,不等式f (x )＞０和f (x )＜０的解集．例４㊀若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A．l n (y －x ＋１)＞０B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０D．l n |x －y |＜０分析:由题意,可将２x －２y＜３－x －３－y 转化为２x －３－x ＜２y－３－y ,进而实现不等式与函数之间的转化,从而解得答案．解:由２x －２y ＜３－x －３－y ,得２x －３－x ＜２y －３－y ．故构造函数y ＝２x －３－x ,即y ＝２x －(１３)x．由于函数y ＝２x－(１３)x 在R 上单调递增,因此x ＜y ,即y －x ＋１＞１．所以l n (y －x ＋１)＞l n １＝０．故选择:A ．例５㊀已知函数f (x )＝e l n x ,g (x )＝１ef (x )－(x ＋１)．(e ＝２．７１８ )(１)求函数g (x )的最大值;(２)求证:１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．分析:第(１)问要求函数g (x )的最大值,关键在于需要运用转化与划归思想,通过g ᶄ(x )得出函数g (x )单调性,即可求出g (x )的最大值．将第(１)问得出的g (x )最大值－２转化成l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立),再利用换元法最终证明出结论．解:(１)由g (x )＝１ef (x )－(x ＋１),即g (x )＝l n x －(x ＋１),得g ᶄ(x )＝１x－１(x ＞０)．令g ᶄ(x )＞０,则０＜x ＜１;令g ᶄ(x )＜０,则x ＞１．所以,函数g (x )在区间(０,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故g (x )的最大值为＝g (１)＝－２．(２)证明:由(１)知x ＝１是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,故g (x )ɤg (１)＝－２．所以l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立)．令t ＝x －１,则有t ȡl n (t ＋１)(t ＞－１)．取t ＝１n (n ɪN ＋),则有１n ＞l n (１＋１n)＝l n(n ＋１n )．故１＞l n２,１２＞l n ３２,１３＞l n ４３,,１n＞l n(n ＋１n )．上面n 个不等式叠加,得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (２ˑ３２ˑ４３ˑ ˑn ＋１n)＝l n (n ＋１)．故１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．在分析此类题目的过程中,利用函数㊁方程㊁不等式进行转化与化归更有利于问题的解决,因此,利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密,同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助．转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥,为高中数学问题的解决提供了多种思路,对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用,值得我们不断地探索与研究．因此,在解决高中数学问题的过程中,要灵活运用 转化与化归 的解题思想．有些数学问题看似复杂,但通过分析可知出题者采用的是 障眼法 ,其中有的是多余或无用的条件．同时,在高中数学课堂教学中,教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想,加强学生在特殊与一般转化㊁命题的等价转化以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等方面的技能,逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识,最大程度提高解题效率．Z９５。
转化与化归思想在数学解题中的应用
转化与化归思想在数学解题中的应用转化与化归思想，是将一个问题由难化易，由繁化简的过程。
是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。
化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。
转化与化归思想作为重要的数学思想之一，是中学数学中最重要的解题意识，在数学教学活动中充分注意这种意识的培养，可以提高学生的思维品质，培养学生的创新能力。
数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。
在初中数学学习过程中化归思想存在解决问题的各个方面，是在数学学习过程中快速解决问题的有效途径。
一、数与形的转化数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时，我们要把它们有机的结合起来，并相互转化。
化归思想在初中数学学习中的应用就是教会学生能够以动态的视角去学习相关的知识，能够发现知识之间的相关性，从而使得在初中数学中学习的知识都能够很好的融入到学生的知识体系中。
例如讲三角形、特殊四边形等形的问题时可以转化为数量关系来处理，就数论形；如图1两个正方形并列摆放，大正方形的边长是小正方形边长的2倍。
问题：只允许剪两刀，使裁剪后的图形能拼成一个大正方形。
这个问题很多学生看到后都进行了动手操作，这里画一条线，那里剪一下，试了很多次也不能找到正确答案。
实际上，我们只需把形转化为数，利用数的角度很容易就能理解明白，且迅速解决。
解决办法如图2.在学习函数问题时我们可以用函数图像来直观描述，以形究数，从而使问题简明易解。
例如，在讲解二次函数的性质及应用时，有这样一个问题：二次函数y=ax2+bx+c经过A（-1,0），B（0,4），C三点，C点在y轴正半轴上，且AB=OC,求（1）点C的坐标，（2）求出二次函数解析式，并求出顶点坐标，（3）当x取何值时，y＞0，y＜0，y=0？解决这个问题时一部分同学直接借助所给条件直接去求，这样既浪费时间，又不能清晰的理解。
浅谈转化思想在中学数学解题中的应用
浅谈转化思想在中学数学解题中的应用转化思想在中学数学解题中的应用对于学生的考试成绩有着非常重要的作用。
从知识的角度来看，数学是一门非常抽象的学科，学习这门课程需要学生具备高度的逻辑思维能力和娴熟的解题技巧。
因此，转化思想的应用能有效的帮助学生提升数学解题能力。
首先，转化思想有助于学生了解数学中不同问题之间的关系。
通过对不同问题进行对比，可以更好地理解数学中各个问题所涉及的核心概念，并使学生能够得出比较完整的数学解答。
其次，转化思想可以帮助学生更有效率地定位并解决问题，因为转化思想可以使学生通过缩小问题范围，更加高效地找到正确的解决途径。
此外，转化思想对数学思考的发展也非常有帮助。
以此来看，通过转化思想，学生能够更好地理解数学思想的演变，进而更好地分析类似的问题，以针对性的解决方案，培养学生灵活思考问题、分析问题的能力。
总得来说，转化思想是一种有效的数学思想，它能够帮助学生更好地理解数学，更快速地学习数学，从而掌握更多的数学技巧来解决数学问题。
因此，转化思想应当被大力弘扬，以便让更多的中学生可以受益于它。
在实际的学习中，教师可以引导学生在解决相关数学解题时运用转化思想。
例如，当学生面临一个比较复杂的物理问题时，教师可以让学生通过转化思想把物理问题转化成数学问题去解决，从而使学生能够更好地理解和深入研究物理问题。
此外，教师也可以结合实际教学加强学生对转化思想的学习，如引入一些简单的案例，引导学生在解决相关问题时去思考转化的可能性，从而提升学生的解题能力。
另外，学生自身也应该养成运用转化思想的习惯，而不是按照常规方法来解决问题。
例如，在分析某一数学问题时，学生要善于思考是否可以通过转化思想来把问题变成更容易解决的问题。
通过这种方式，学生在解题的同时，也能够学会思考如何利用转化思想来突破瓶颈，达到更好的解题效果。
综上所述，转化思想在中学数学解题中的应用非常重要，它有助于学生了解数学问题的发展过程，从而更好地理解这门学科，为在考试中取得更好的成绩提供了助力。
转化思想在初中数学解题中的应用
转化思想在初中数学解题中的应用
初中数学的学习和解题是一项艰苦的任务，两者之间的关系密切，学习得不好，解题也就做不好，因此学习数学和解题都要注重理解解题的思路，而思维的转化是解题的有效策略之一。
转化思维是指从一种思维方式转换成另一种思维方式，也就是思考另一种表示方法。
这一思维方式对初中数学解题特别重要，有时候给出的一道题目可以用多种表示方法表示出来，并以不同的方式去解决，而思维的转化就能有效地帮助我们将这些思维方式联系起来，让我们能够从不同的思维方式去思考和解答同一个问题，从而更好地理解概念，面对比较困难的问题，运用转化思维也能够解开问题。
在解题过程中，首先要把问题转化成一种更容易理解的状态，即将题目中给出的信息用数学公式表示出来，其次需要根据题目要求考虑出多种解法，从而能够通过转化思维来选择更有效的解题思路。
以求出一元二次方程的两个根为例，若已知其一根，则可以采取转化思维，把一元二次方程转化为一元一次方程，然后再根据已知条件求出一元一次方程的解，进而求出另一根。
总之，转化思维是解题的重要思维方式，能够有效地帮助我们运用不同的思维方式来分析问题，理解知识点，避免重复思考，提高解题分析问题的效率，最终达到解题的目的。
在数学学习中，除了转化思维，还要重视归纳总结、抽象思维等，从而进一步提高掌握知识点和解题能力。
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高考数学 数学思想方法篇 专题4 转化与化归是解决问题的核心
【考前三个月】（江苏专用）2015高考数学 数学思想方法篇 专题4 转化与化归是解决问题的核心[方法精要] 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性．转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．题型一 正难则反的转化例1 已知集合A ＝{x ∈R|x2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x ∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m 的取值范围．破题切入点 A∩B≠∅，所以A 是方程x2－4mx ＋2m ＋6＝0①的实数解组成的非空集合，并且方程①的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根．分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求出全集U ，然后求①的两根均为非负时m 的取值范围，最后利用“补集思想”求解．解 设全集U ＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m ＋6)≥0}，即U ＝{m|m≤－1或m≥32}．若方程x2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x1，x2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x1＋x2＝4m≥0，⇒m ≥32，x1x2＝2m ＋6≥0所以，使A∩B≠∅的实数m 的取值范围为{m|≤－1}．题型二 传统知识与向量间的转化例2 设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF2→)·F2P →＝0，O 为坐标原点，且|PF1→|＝3|PF2→|，则该双曲线的离心率为________．破题切入点 根据题目中的条件，结合向量的有关运算，取F2P 的中点M ，可以得到OM →⊥F2P →，从而得到F1P →⊥PF2→，再结合双曲线的定义即可得到a 与c 的关系，从而求出双曲线的离心率． 答案 3＋1解析 如图，取F2P 的中点M ，则OP →＋OF2→＝2OM →.又由已知得OM →·F2P →＝0，∴OM →⊥F2P →.又OM 为△F2F1P 的中位线，∴F1P →⊥PF2→.在△PF1F2中，2a ＝|PF1→|－|PF2→|＝(3－1)|PF2→|，2c ＝2|PF2→|.∴e ＝23－1＝3＋1. 题型三 函数、方程、不等式之间的转化例3 已知函数f(x)＝13x3＋⎝⎛⎭⎫a 2－43x2＋⎝⎛⎭⎫43－23a x(0<a<1，x ∈R)．若对于任意的三个实数x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，求实数a 的取值范围．破题切入点 恒成立问题的解决往往和最值联系在一起，将已知不等式恒成立准确转化为关于函数f(x)在[1,2]上的最大值和最小值问题，同时要注意函数f(x)在[1,2]上的最大值不能直接由函数的图象得到，而必须讨论f(1)与f(2)的大小关系．解 因为f′(x)＝x2＋⎝⎛⎭⎫a －83x ＋⎝⎛⎭⎫43－23a ＝⎝⎛⎭⎫x －23(x ＋a －2)，所以令f′(x)＝0， 解得x1＝23，x2＝2－a.由0<a<1，知1<2－a<2.所以令f′(x)>0，得x<23，或x>2－a ；令f′(x)<0，得23<x<2－a ，所以函数f(x)在(1,2－a)上单调递减，在(2－a,2)上单调递增．所以函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2－a)＝a 6(2－a)2，最大值为max{f(1)，f(2)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－a 6，23a .因为当0<a≤25时，13－a 6≥23a ；当25<a<1时，23a>13－a 6，由对任意x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，得2f(x)min>f(x)max(x ∈[1,2])．所以当0<a≤25时，必有2×a 6(2－a)2>13－a 6，结合0<a≤25可解得1－22<a≤25； 当25<a<1时，必有2×a 6(2－a)2>23a ， 结合25<a<1可解得25<a<2－ 2.综上，知所求实数a 的取值范围是1－22<a<2－ 2.题型四 以换元为手段的转化与化归例4 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin2x ＋acos x ＋58a －32在闭区间[0，π2]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a 的值；若不存在，则说明理由．破题切入点 本题是关于三角函数最值的存在性问题，通过换元，设cos x ＝t ，转化为关于t的二次函数问题，把三角函数的最值问题转化为二次函数y ＝－(t －a 2)2＋a24＋58a －12，0≤t≤1的最值问题，然后分类讨论解决问题．解 y ＝sin2x ＋acos x ＋58a －32＝1－cos2x ＋acos x ＋58a －32＝－(cos x －a 2)2＋a24＋58a －12.∵0≤x≤π2，∴0≤cos x≤1，令cos x ＝t ，则y ＝－(t －a 2)2＋a24＋58a －12，0≤t≤1. 当a 2>1，即a>2时，函数y ＝－(t －a 2)2＋a24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递增，∴t ＝1时，函数有最大值ymax ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013<2(舍去)；当0≤a 2≤1，即0≤a≤2时，t ＝a 2函数有最大值，ymax ＝a24＋58a －12＝1， 解得a ＝32或a ＝－4(舍去)；当a 2<0，即a<0时，函数y ＝－(t －a 2)2＋a24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递减，∴t ＝0时，函数有最大值ymax ＝58a －12＝1，解得a ＝125>0(舍去)，综上所述，存在实数a ＝32使得函数有最大值．总结提高 转化与化归的思想解决问题是高中数学解决问题的核心，数学问题的解决总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化等等，转化的思想渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．要特别注意函数、方程、不等式的转化，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．1．在平面直角坐标系中，与点A(1,1)的距离为1，且与点B(－2，－3)的距离为6的直线的条数为________．答案 1解析 设出直线方程利用点到直线的距离求解，较麻烦，可以将点到直线的距离转化为圆心到直线的距离即所探求的直线转化为同时以A 、B 为圆心的切线问题，则很容易解决．因为|AB|＝5，所以以A 为圆心，半径为1的圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与以B 为圆心，半径为6的圆(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝36内切，所以符合题意的直线只有一条．2．已知a ＝log23＋log23，b ＝log29－log23，c ＝log32，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 a ＝b>c解析 ∵a ＝log23＋log23＝log233，b ＝log29－log23＝log233，∴a ＝b.又∵函数y ＝logax(a>1)为增函数，∴a ＝log233>log22＝1，c ＝log32<log33＝1，∴a ＝b>c.3．对实数a 和b ，定义运算“”：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a －b≤1，b ，a －b>1.设函数f(x)＝(x2－2)(x －1)，x ∈R.若函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________． 答案 (－2，－1]∪(1,2]解析 依题意可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2，－1≤x≤2，x －1，x<－1或x>2，作出其示意图如图所示．由数形结合知，实数c 需有1<c≤2或－2<c≤－1满足题意．4．过双曲线x2a2－y2b2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R 、Q 两点，则PR →·PQ→的值为________．答案 a2解析 当直线RQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a.5.设P 为曲线C ：y ＝x2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，－12 解析 设P(x0，y0)，倾斜角为α，0≤tan α≤1，f(x)＝x2＋2x ＋3，f′(x)＝2x ＋2,0≤2x0＋2≤1，－1≤x0≤－12.6．P 为双曲线x29－y216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y2＝4和圆(x －5)2＋y2＝1上的点，则PM －PN 的最大值为________．答案 9解析 设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，则其分别为已知两圆的圆心，由已知PF1－PF2＝2×3＝6.要使PM －PN 最大，需PM 、PN 分别过F1、F2点即可．∴(PM －PN)max ＝(PF1＋2)－(PF2－1)＝PF1－PF2＋3＝9.7．设a ∈R ，若函数y ＝ex ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)解析 ∵y ＝ex ＋ax ，∴y′＝ex ＋a.∵函数y ＝ex ＋ax 有大于零的极值点，则方程y′＝ex ＋a ＝0有大于零的解，∵x>0时，－ex<－1，∴a ＝－ex<－1.8．(2014·扬州模拟)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．答案 1316解析 ∵去看电影的概率P1＝π×12－π×⎝⎛⎭⎫122π×12＝34，去打篮球的概率P2＝π×⎝⎛⎭⎫142π×12＝116，∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.9．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10的值是________． 答案 1316解析 由题意知，只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件，{an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列an ＝n(n ∈N*)，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316. 10．一束光线从点A(－1,1)发出，并经过x 轴反射，到达圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程是________．答案 4解析 设点A 关于x 轴的对称点为A′，则本题转化为求圆心到点A′的距离，然后减去半径即为最短距离．根据题意A′(－1，－1)，其到圆心的距离为(－1－2)2＋(－1－3)2＝5，所以所求的最短距离为4.11．f(x)＝13x3－x ，x1，x2∈[－1,1]时，求证：|f(x1)－f(x2)|≤43.证明 ∵f′(x)＝x2－1，当x ∈[－1,1]时，f′(x)≤0，∴f(x)在[－1,1]上递减．故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝23，最小值为f(1)＝－23，即f(x)在[－1,1]上的值域为[－23，23]．所以x1，x2∈[－1,1]时，|f(x1)|≤23，|f(x2)|≤23，即有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)|＋|f(x2)|≤23＋23＝43.即|f(x1)－f(x2)|≤43.12．已知函数f(x)＝eln x ，g(x)＝1e f(x)－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g(x)的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N*)．(1)解 ∵g(x)＝1e f(x)－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g′(x)＝1x －1(x>0)．令g′(x)>0，解得0<x<1；令g′(x)<0，解得x>1.∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g(x)极大值＝g(1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，∴g(x)≤g(1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)， 令t ＝x －1，得t≥ln(t ＋1)，t>－1，取t ＝1n (n ∈N*)时，则1n >ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．。
初中数学巧妙“转化”的解题思想与教学应用实践
初中数学巧妙“转化”的解题思想与教学应用实践
数学是一门需要逻辑思维和抽象思维的学科，解题过程中“转化”是一种重要的思维方式。
初中数学中有许多题目需要运用巧妙的“转化”思想来解决，这种思维方式不仅能够帮助学生更好地理解问题，还可以提高解题的效率。
本文将通过对数学题目的解析，结合教学实践，来探讨初中数学巧妙“转化”的解题思想与教学应用实践。
一、巧妙“转化”的解题思想
1. 类比和近似
在解决数学问题的过程中，有时可以通过类比和近似的方式来简化问题，从而更容易解决。
在解决代数问题时，可以将未知数用字母表示，再通过类比和近似的方式将问题转化为已知问题的形式，然后再进行解答。
2. 抽象和具体
有时，可以将抽象的数学问题转化为具体的实例，从而更容易理解和解决问题。
在解决几何问题时，可以通过画图的方式将抽象的几何形态转化为具体的图形，从而更容易理解和解决问题。
3. 分析和综合
在解决复杂的数学问题时，可以通过分析和综合的方式将问题分解成多个小问题，然后分别解决这些小问题，最后综合起来得出整个问题的解答。
这种“转化”思想可以帮助学生将复杂的问题化繁为简，从而更容易解决。
二、教学应用实践
1. 案例教学法
在教学中，可以通过案例教学法来引导学生巧妙“转化”的解题思想。
通过讲解一些典型的数学问题，并结合类比、抽象、分析等方式来展示解题过程，从而帮助学生理解和掌握这种解题思维。
2. 实践引导法
3. 课外拓展活动
通过这样的课外拓展活动，可以帮助学生更好地应用巧妙“转化”的解题思想，提高他们的解题效率和解题能力。
例析化归与转化思想在数学解题中的活用-文档资料
例析化归与转化思想在数学解题中的活用化归与转化思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而形成解决问题的思想。
等价转化有一些模式可以遵循，总是将抽象转化为具体、化复杂为简单（高维向低维的转化、多元向一元的转化、高次向低次的转化等）、化未知为已知。
化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程，是一步步转化的过程。
等价转化思想在历年的高考中都有体现。
下面是笔者尝试将化归与转化思想和方法渗透融合在解题教学中，实现方法与内容的整合。
一一般问题与特殊问题的化归特殊问题往往比一般问题显得简单、直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常包含着一般问题的解决方法。
有些数学问题由于其特殊数量或位置关系，孤立地考查问题本身，造成我们“只见树木不见森林”，难以解决。
因此解题时，我们常常将一般问题与特殊问题进行转化。
评注：本题化抽象为具体，设出等差数列的通项，再针对客观选择题题型的特点，结合选项选取特殊值，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性。
例2：（2012年山东）如图1所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1、B1C上的点，则三棱锥D1-EDF 的体积为。
解析：虽然E、F分别为线段AA1、B1C上的任意点，但从题设可以得到这样的信息：尽管三棱锥的“形状”不定，而其体积应为定值，所以可以针对E、F的某一特定位置进行求解，而不失一般性。
取E、F分别位于A、C的特殊位评注：当问题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，利用一般到特殊的转化就能收到事半功倍的效果。
二正向思维与逆向思维的化归在数学解题中，通常的思维方式是从已知到结论，然而有些数学题按照这种思维方式解则比较困难，而且常常运算量较大，有时甚至无法解决。
转化与化归思想在中学数学中的应用
转化与化归思想在中学数学中的应用一、引言数学是一门重要且广泛应用的学科，其中转化与化归思想是数学中一个重要的思维方式和解题方法。
本文将介绍转化与化归思想在中学数学中的应用，并讨论其对学生的思维能力和解题能力的提升。
二、转化与化归的基本概念转化与化归是数学中一种将复杂问题转化为简单问题的方法。
在解决数学问题时，我们经常会遇到一些复杂的问题，难以直接解决。
这时，我们可以通过转化与化归的方法将问题转化为相对简单的问题，从而更容易解决。
转化是指将一个问题转化为另一个与之等价的问题。
通过适当的变换，将原问题转化为新问题，新问题的解可以等价于原问题的解。
例如，在解决二次方程时，我们可以通过变量替换将其转化为一次方程。
这样，原问题的解就可以通过解一次方程得到。
化归是指将一个复杂问题化归为若干个相对简单的问题。
通过将原问题分解为若干个小问题，并解决这些小问题，最终得到原问题的解。
例如，在解决函数的极限问题时，我们可以通过分解计算极限，并利用极限的基本性质来求解原问题。
三、转化与化归在代数中的应用1.方程的转化与化归解方程是中学数学中的一个重要内容，而转化与化归思想在解方程问题中有着广泛的应用。
例如，在解二次方程时，我们可以通过变量替换将二次方程转化为一次方程。
通过设定适当的关系式，将二次方程的变量替换为新变量，然后解一次方程得到新变量的值，最后再通过逆变换得到原变量的值。
这样，我们将原问题转化为了相对简单的一次方程的解决。
2.几何问题的转化与化归在几何问题中，转化与化归思想同样发挥着重要的作用。
例如，在解决一些三角形的问题时，我们可以将其转化为对应辅助图形的问题。
通过引入适当的辅助线或辅助点，我们可以将原问题转化为辅助图形的问题。
由于辅助图形往往具有简单的性质，我们可以更容易地解决这些问题。
3.函数的转化与化归函数是数学中一个重要的概念，而转化与化归思想在函数问题中同样有重要的应用。
例如，在解决函数的极限问题时，我们可以通过极限的性质将复杂的极限问题化归为一些简单和已知的极限。
转化与化归思想在中学数学中的应用
转化与化归思想在中学数学中的应用【摘要】本文围绕着转化与化归思想在中学数学中的应用展开讨论。
首先介绍了数学问题的转化与化归方法，指出这种思维方式在解决问题时的重要性。
然后通过具体的数学题目应用举例来说明转化与化归思想在实际问题中的灵活运用。
接着探讨了如何利用这种思想解决实际生活中的问题，并分析了转化与化归在数学证明过程中的应用。
也提及了转化与化归技巧在数学竞赛中的重要作用。
总结了转化与化归思想在中学数学中的重要性，并展望了其在数学教学中未来的发展潜力。
可以看出，转化与化归思想不仅在解决数学问题中发挥着关键作用，同时也对学生的思维方式和解决问题的能力有着积极影响。
【关键词】转化与化归思想、中学数学、数学问题、应用举例、实际问题、数学证明、数学竞赛、技巧、重要性、未来发展、应用价值。
1. 引言1.1 转化与化归思想在中学数学中的应用转化与化归思想在中学数学中的应用是数学学习中至关重要的一环。
通过将问题进行转化和化归，我们可以更好地理解数学概念，解决数学问题。
在数学问题的转化与化归中，我们可以通过找到问题之间的联系，将复杂的问题简化为更容易解决的形式。
这种思维方式不仅可以帮助我们更深入地理解数学知识，还可以提高解决问题的效率。
在数学题目中的应用举例中，我们可以看到转化与化归思想的实际应用。
在解决几何问题时，我们可以通过将问题转化为代数形式来简化计算，更快地找到答案。
利用转化与化归思想解决实际问题也是值得重视的。
在现实生活中，我们经常会遇到各种复杂的问题，而通过运用数学思维，将问题转化与化归，我们可以更好地解决这些问题。
转化与化归思想在中学数学中的应用是非常重要的。
通过运用这种思维方式，我们可以更好地理解数学知识，解决数学问题，提高数学竞赛成绩。
展望未来，我们可以进一步探索转化与化归思想在数学教学中的应用，提高学生的数学学习兴趣和水平。
转化与化归思想的应用价值将会在未来得到更加充分的发展和体现。
2. 正文2.1 数学问题的转化与化归数学问题的转化与化归是指将一个复杂的问题或题目转化成更简单或更熟悉的形式，从而更容易解决。
转化与化归思想在中学数学中的应用
转化与化归思想在中学数学中的应用【摘要】转化与化归思想在中学数学中的应用非常重要。
本文首先简述了转化与化归思想的概念，然后详细介绍了在代数、几何、概率统计等数学学习中的应用，说明了其在数学解题中的重要性。
转化与化归思想能帮助学生更好地理解数学知识，提高问题解决能力。
在强调了转化与化归思想在中学数学中的价值，并展望未来在教育中的应用。
通过应用这一思想，可以激发学生的学习兴趣，提高学习效果，促进数学思维的发展。
转化与化归思想在中学数学中的应用具有深远的意义，并值得进一步推广和研究。
【关键词】数学教育、转化与化归思想、代数、几何、概率统计、数学解题、重要性、未来应用、价值。
1. 引言1.1 转化与化归思想在中学数学中的应用转化与化归思想在中学数学中的应用是一种重要的思维方式和方法，能够帮助学生更深入地理解数学概念，提高解决问题的能力。
在中学数学学习中，转化与化归思想被广泛应用于代数、几何、概率统计以及数学解题等领域。
通过将问题转化为更简单或更熟悉的形式，学生可以更轻松地解决复杂的数学难题。
转化与化归思想在中学数学中的应用可以帮助学生提高数学思维能力和解决问题的能力，培养他们对数学的兴趣和热爱。
转化与化归思想的应用不仅可以帮助学生更好地学习数学知识，还可以促进他们在数学领域的创新和发展。
在未来的中学数学教育中，转化与化归思想将继续发挥重要作用，帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学素养，为未来的学习和工作奠定坚实的基础。
2. 正文2.1 简述转化与化归思想的概念转化与化归思想是中学数学中的一种重要思维方式，它在数学学习和解题中起着至关重要的作用。
转化与化归思想是指将一个数学问题、定理或结论转化为另一种形式或问题，通过逻辑推理、归纳、演绎等方式解决数学难题的思维方式。
在中学数学中，转化与化归思想贯穿于整个数学学科，涉及代数、几何、概率统计等多个方面。
在代数学习中，转化与化归思想常常体现为将复杂的代数表达式转化为简单形式，通过分解、合并、化简等操作，解决代数方程、不等式等问题。
转化与化归思想在数学解题中的应用
故１ ≤∑ｘ ２ ∑ ＋
ｋ＝ １ ｔ
≤ ｎ
２
们 已经学 习了一元一 次方程 的解法 。 么 ． 们就 那 我 可 以利 用适 当 的方法 （ 代入 消元 、 加减 消 元等 ） 将 这个 二元 一次 方程 组化 归 为一个 一元 一次 方程 。 从而 求出其解 。即
即得 １
归结 为一 个容 易解决 的或已解决 的问题 。化归思
１ （／ 、 ） ２ （／ 、 ＋ ／ ￣１ 、 ＜ －
、 ｘ ） ／ 、 ２ 想就是在 这一转 化过程 中产 生的 ， 因此 ， 们也称 ＋ ／ ２ 我 证 明 ：因 为 ０≤２ 数学 中的转化 为化归 。它是数学 中最常 见的思 想
Ｉ 理 研 【 注】 数 化 究Ｉ 关
转化与化 归思想在数 学解 题 中的应用
● 陈欣 龙
摘 要 ：转化与化 归的思想方法是数 学 中最 基 本 的思想方法 。数 学 中的一切 问题 的解 决都 离
不 开 转 化 与 化 归 ，数 形 结 合 思 想 体 现 了数 与 形 的 相互 转化 ； 数 与方程 思 想体现 了函数 、 程 、 函 方 不
的椭 圆 ， 设椭 圆在 第一 象限
网 的面积 ＿ 多边 形 的面移 』
从整 体退 到部 分 ， 较强 的 结 从 三 角形 的面 积 具体 ，
实现 上 述各 步 化 归 的方 法 有 的是 极 限 的 方 法 ， 的是 图形割补 的方 法。 有 上面 两个例子都是 将 复杂的 、 待解 决的问题化 归为已经解决 的问题 。 实
一
化 化 归 思 想 的 具 体 体 现 。 各 种 变 换 方 法 、 析 法 、 研究 了， 归的手段是恒 等 变形 。 分 反 般 运用 转 化 与化 归 的思 想 解 证法 、 定 系数 法、 待 构造 法等都是转 化的手段 。所 以说 ， 转化 与化 归是数 学思想方法 的灵魂 。本文 主 题有 以下几种类型 。 正 与反 、 一般 与特殊 的转化 要介绍 转化与化 归思想 方法在数 学解题 中的体现
谈＂化归与转化思想＂在解答高考数学题中的活用
Hale Waihona Puke ） Ｂ ． Ａ＝ ｛ Ｉ 一 １ ≤ ≤３ ｝ ， Ｂ ＝ ｛ ｘ ｌ ｘ ＝ 一 ８ 或０ ＜ ≤１ ０ ｝
Ｃ ． Ａ＝ ｛ ｘ ｌ Ｏ ＜ ｘ ＜ ｌ ｌ ， Ｂ ＝ Ｒ
Ｄ ． Ａ ＝ ｚ ． Ｂ ＝ Ｑ
【 解析 】 条件（ ｉ ） 说 明ｚ 是 函数 的值域 ； 条件 （ ｉ ｉ ） 说 明函数单 调增 ； 对 于Ａ可 以拟 合 函数 ） 一 １ （ Ｎ ） 满足上述两个条件 ， 故是“ 保序 同构” ；
考试指导
谈‘ 归与转化思想＂ 在解答 暑 考数学题 中的活用。
。
Ｊ ＝，
■ 冉梦 君
摘 要 ： 化归与转化思想 ， 就是在研究 和解决数 学 问题 时采用某种方式 ， 借助某种 函数性质 、 图像 、 公式或 已知条件将 问题通过变换加以转化 ，进而达 到解决 问题的思想 。 关键词 ： 化归与转化 ； 未知与 已知 ； 一般与特殊 ； 正 向与 逆 向 ； 数 与 形 化 归 与 转 化思 想 的实 质 是 揭 示联 系 ， 实 现 转化 。 除 极 简 单 的 数 学 问题 外 ，每 个 数 学 问题 的解 决 都 是 通过转化为已知的问题实现 的。 从这个意义上讲 ， 解 决数学 问题就是从未知 向已知逐步转化的过程 。下 面是笔者结合近年来全 国各地高考实例 ，尝试将化 归与转化思想和方法渗透融合在解题教学 中，实现 方 法 与 内容 的 整合 。
空子集， 如果存在一个从ｓ 到 ｑ ￣ ｙ ＝ ｌ ｆ ） 满足： （ ｉ ）
｛ ） ∈Ｓ Ｉ ｝ ； （ ｉ ｉ ） 对 任 意 ， ＥＳ， 当 ＜ ｘ ２ 时， 恒 有
、
从 高维 到 低 维 的 化 归
初中数学巧妙“转化”的解题思想与教学应用实践
初中数学巧妙“转化”的解题思想与教学应用实践一、引言初中数学作为学生学习的重要学科之一，其内容涉及到诸多知识点和解题方法。
在数学学习的过程中，学生常常遇到一些难以理解和解决的问题，需要巧妙地进行“转化”思考和解题。
本文就初中数学中的巧妙“转化”解题思想进行探讨，并且结合教学应用实践，希望对初中数学教学有所启发。
二、巧妙“转化”的解题思想1. 变形等价巧妙“转化”的解题思想中，变形等价是一种常见的思考方式。
在解决问题时，我们可以通过变形等价的方法，将原问题转化成更容易解决的问题。
在解决方程问题时，如果原方程比较复杂难以解决，我们可以通过变形等价的方法，将原方程化简或者转化成已知的求解方法，从而更容易解决原问题。
2. 问题归纳另外一种巧妙“转化”的解题思想是通过问题归纳的方式进行转化。
在解决一些难题时，我们可以通过归纳问题的方法，总结规律，将原问题转化成更为普遍且易于解决的问题。
这种思考方法不仅可以帮助学生更好地理解问题，还可以帮助学生将问题转化为适合自己解决的问题类型。
三、教学应用实践对于上述巧妙“转化”的解题思想，如何在初中数学教学中进行应用实践呢？下面结合具体的解题方法，进行一些教学应用实践的探讨。
1. 强调问题转化的重要性在初中数学教学中，教师可以通过解题引导和示范，强调问题转化的重要性。
在解决问题时，学生可以尝试将原问题进行转化，找到更容易解决的问题。
通过实例引导和讲解，帮助学生更好地理解问题转化的思路和方法。
2. 注重解题方法的总结与归纳教师在教学中，可以重视解题方法的总结与归纳。
通过对解题方法和思路的总结与归纳，使得学生对解题方法有更深入的理解和掌握。
在实际应用中，学生能够更加灵活地运用解题方法，巧妙地进行问题转化。
3. 拓展解题思路，鼓励创新在教学中，教师可以鼓励学生拓展解题思路，鼓励创新。
而不是囿于固有的解题模式，通过启发式提问和实践演练，激发学生的解题灵感，培养学生解题的创新能力和思维能力。
浅谈转化的思想在高中数学解题中的运用
浅谈转化的思想在高中数学解题中的运用转化思想在高中数学解题中的运用的确具有重要的作用，它能够帮助学生有效求解数学问题。
首先，转化思想是一种能够解决复杂问题的思维方式，它可以帮助学生从不同的角度去分析问题，有效求解出问题的答案。
其次，转化思想能够将一道问题转化为一个具有一定规律的数学模型，并通过模型来求解问题。
如果学生们能够充分利用这一思想，无论是求解经典小学问题，还是求解具有变化性的高等数学问题，都可以得出正确的答案。
另外，转化思想可以帮助学生以更简洁的方式将复杂的问题归为一个整体，从而加深对问题本身的理解，使得解题的效率大大提高。
对于一些复杂的高等数学问题，如果利用转化思想，可以将其有效分解，减少解题的难度，更容易地求解出常规问题中的规律，从而帮助学生更好地掌握数学知识，提升自身解题能力。
总而言之，转化思想在高中数学解题中起到了重要的作用，但是，学生们必须要加强对转化思想的理解，通过不断的练习熟悉这一思想，在求解复杂数学问题时能够有效运用，从而提高自己的解题效率。
转化思想还可以帮助学生们更好地理解数学知识，掌握一般规律。
例如，学生们在解决几何问题时，可以将几何图形与坐标系中的相应函数、等式、变量相关联，从而更有效地求解出答案。
此外，在分析一些难以解决的问题时，可以利用相关的等式关系和函数变化等方法，把问题分解成一系列更容易解决的小问题，使得求解的效率大大提高。
此外，学生们还可以利用转化思想来解决一些复杂的问题，如用不同的技术，数学方法去解决估算问题，可以借鉴转化思想中有关物理学、化学、生物学等学科的知识，去解决一个具有变化性的复杂数学问题。
综上所述，转化思想是高中数学解题中的重要方法，学生们在解决数学问题时，可以充分利用转化思想，加深对数学知识的理解，更好地求解出数学问题的答案，提高自己的解题能力。
学习者在学习转化思想的同时，还可以多做一些相关的练习，把所学到的知识与实际应用结合起来，加强记忆和理解。
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[典例] (2012·安徽模拟)已知a ∈[－1,1]，不
等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值
范围为( )
A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)
B ．(－∞，1)∪
(2，＋∞)
C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
D ．(1,3)
[解析] 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，联立方程解得x ＜1或x ＞3.
[答案] C
[题后悟道] 本题解答利用了转化与化归思想、函数思想，体现了主元与次元的转化，从而变为关于a 的一次函数，利用函数的性质来求解．解决此类问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．利用转化与化归思想的原则是：熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则．
针对训练
1．(2012·杭州模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦
⎤0，12成立，则a 的最小值为( ) A ．0
B ．－2
C ．－52
D ．－3
解析：选C ∵x 2＋ax ＋1≥0，在x ∈⎝⎛⎦
⎤0，12时恒成立， ∴a ≥－x －1x
. 又－x －1x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－52
，
∴a ≥－52，即a min ＝－52
. 2．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是
( )
A ．[1,19]
B ．(1,19)
C ．[1,19)
D ．(1,19]
解析：选C 函数图象恒在x 轴上方，即不等式
(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．
(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．
(2)当a 2＋4a －5≠0时，应有
⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋4a －5>0，16(a －1)2－12(a 2＋4a －5)<0. 解得1<a <19.
综上可知，a 的取值范围是1≤a <19.
文章来源：福州五佳教育网(中小学直线提分，就上福州五佳教育)。