19.4.3 角平分线课件
角平分线定理PPT课件
训练反馈：
A
12
1.填空：
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D__C_=_D_E____
B
C
D
(_角___平__分__线__上__的__点__到__角__的__两__边__的__距__离__相__等_________)
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训练反馈：
2：下列两图中，能表示角的平分线上的一点P 到角的边上的距离的是（ ）
2
∵ ∠1=∠2
O
E
B
∠PDO=∠PEO OP=OP(公共边)
∴ΔOPD≌ΔOPE(AAS)
∴PD=PE
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归纳总结：
角平分角线上平的分点线到的角性两边质的定距理离相等
用符号语言表示为：
A
∵∠1= ∠2
D
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
1
O
2
P
B E
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第7页/共17页
1.角是轴对称图形 2.角的对称轴是角平分线所在的直 线
第4页/共17页
交流展示：
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE
A
证明：∵OC平分∠AOB
D
∴∠1=∠2
C 又∵PD⊥OA,PE⊥OB
1
P
∴∠PDO=∠PEO=90° 在ΔOPD和ΔOPE中
第17页/共17页
证明：∵∠C=90°（已知）
A
∴DC⊥AC（垂直的定义） 2 又∵AD是∠CAB的角平分线， 1
E
DE⊥AB（已知）
∴CD=DE（角平分线上的点
《角平分线的性质》课件
角平分线的应用
• 利用角平分线可以求解未知角度，解决几何问题。 • 通过实例演示角平分线的应用，帮助加深理解。
思考题
• 给定一个三角形，如何构造它的角平分线？ • 如果角平分线上的点不在三角形内怎么办？ • 如果角平分线所分割的边不是三角形的边怎么办？
结语
• 角平分线是几何学中重要的概念，有着广泛的应用。 • 总结角平分线的性质和应用，强调其重要性。 • 提供参考资料，供进一步学习和探索。
《角平分线的性质》PPT 课件
这是一份关于角平分线性质的PPT课件，让我们一起探索角平分线的定义、性 质、应用和相关问题。
什么是角平分线
• 角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段。 • 作图方法有使用直尺和指南针、使用角度量具等。
角平分线的性质
• 角平分线定义了角的特殊性质，具有重要的几ห้องสมุดไป่ตู้意义。 • 角平分线和角相似，具有相等比例关系。 • 角平分线具有平行、垂直等重要性质。
角平分线的性质和判定(共张PPT)-图文
E
C
D
B
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物 中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择 的地址有( )
A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点
F,CF=BF, 求证:点F在∠A的平分线上.
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当
A
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ
Ｍ
，交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想为什一么想O：C是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
的
又两∵边距点离F相在等∠）C. BD的平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC
M H
∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. ∴FG＝FH（等量代换）∴点F在∠DAE的平分线上
例题选析
例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C， 那么补充下列一具条件后，仍无法判定 △ABE≌△ACD的是( B )
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ，AE+DE= 6cm 。
3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
你会吗？
C D
A
角平分线课件
角平分线的性质定理的证明
第四步，根据全等三角形的性质，我们知道全等 三角形的对应边相等，所以$AD = AD$，$DM = DN$，$\angle MAD = \angle NAD$。
第六步，根据全等三角形的对应边相等，我们知 道$AM = AN$。
第五步，根据三角形的全等判定定理，我们知道 如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三 角形全等。因此，$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
第七步，根据角平分线的性质定理的证明结论， 我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等 ，所以$DM = DN$。
05
角平分线的应用举例
利用角平分线求角度的大小
角平分线定理
角平分线将一个角分为两个相等 的角，即$\angle A = \angle B$ 。
实际应用
在几何图形中，可以利用角平分 线求角度的大小，例如在三角形 中，通过作高或利用已知角度求 解未知角度。
第二步，根据角平分线的性质定理，我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以 $DM = DN$。
第三步，根据直角三角形的全等判定定理，我们知道如果两个直角三角形的一条直角边和斜 边分别相等，那么这两个直角三角形全等。因此，我们可以证明$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
角平分线与平行四边形
在平行四边形中，对角线互相平分， 因此可以利用角的平分线将平行四边 形划分为两个全等的三角形，从而简 化求解平行四边形的问题。
角平分线与梯形
在梯形中，可以利用角的平分线将梯 形划分为一个平行四边形和一个三角 形，从而利用已知的平行四边形和三 角形性质求解梯形的问题。
03
角平分线的作法
角平分线课件PPT
生活中有趣角平分线现象
建筑设计中的应用
在建筑设计中，角平分线常被用来确保建筑物的对称性和平衡感。例如，古希腊的帕特 农神庙就运用了角平分线的原理来设计其立面和柱子。
自然界的角平分线
在自然界中，角平分线的现象也很常见。例如，当阳光照射在树叶上时，树叶的脉络就 会呈现出角平分线的形状，这是因为树叶在生长过程中会自然地沿着角平分线的方向扩
例题2
已知在△ABC中，∠C=90° ，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF。求证：CF=EB 。
解析
过点D作DM⊥AC于M。 根据角平分线的性质，可 得DE=DM。在Rt△FCD 和Rt△EBD中，DF=BD， DE=DM。 ∴Rt△FCD≌Rt△EBD（HL ）。∴CF=EB。
的两边分别与OA、OB相交于点C、D。求证： PC=PD。
输入 标题
解析
根据角平分线的性质和直角三角形的性质，可以证明 △OPC和△OPD全等，从而得出PC=PD。具体证明过 程略。
例题1
例题2
根据角平分线的性质和勾股定理，可以求出点D到AB 的距离。具体求解过程略。
解析
在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若 BC=32，且BD:CD=9:7，求点D到AB的距离。
04
角平分线在几何变换中应用
旋转对称性质及应用
旋转对称性质
角平分线将一个角分为两个相等的小角，且两个小角关于角平分线对称。当图形 绕角平分线旋转一定角度时，两个小角能够重合，具有旋转对称性。
应用
利用旋转对称性质，可以解决与角平分线相关的角度计算、线段长度等问题。例 如，通过旋转对称性质可以证明两个三角形全等或相似。
建筑设计中角平分线应用
《角平分线》PPT课件2
∠PDO= ∠PEO3)验证猜想:
OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等
活动 5
角平分线上 的点到角两 边的距离相
等。
A E
4.实践与应用
P
O
FB
判断正误，并说明理由：
图1
A
（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，
A
E
F
B
D
C
十.小结与评价
这节课我们学到了什么？ 共同归纳本节课所学主要知识：
(1)用尺规作角的平分线. (2)角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. (3)角平分线的判定定理：
到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
生活中有很多数学问题：小明家 居住在一栋居民楼的一楼，刚好位 于一条自来水管和天然气管道所成 角的平分线上的P点，要从P点建两 条管道，分别与自来水管道和天然 气管道相连. 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么 关系，画来看看.
五.角平分线的判定定理
判定定理 ：在角的内部，到角的两边距离相等的点， 在这个角的平分线上.
用符号语言表示为： A
∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB， PD=PE， D
∴ 点P在∠AOB的平分线上 . O
C
1
P
2
EB
六.试一试
已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是
∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
活 探动究角5平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
A 求证: PD=PE
D
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
角平分线的性质课件
角平分线定理也被广泛应用于实际生活中，如建筑设计、机械制造和测 量等领域。
角平分线定理的应用在其他学科领域中的体现
在经济学中，角平分线定理可以用于研究市场结构和 市场份额。
在物理学中，角平分线定理可以用于研究物体的运动 轨迹和受力分析。
CHAPTER
角平分线的历史背景和起源
角平分线的起源可以追溯到古代 数学和几何学的研究。
在古埃及和古希腊时期，角平分 线被用于解决几何问题，如土地
测量和建筑。
中世纪欧洲数学家进一步研究了 角平分线，将其与三角形的其他
性质联
角平分线是数学中的一个基本概念，是几何学中的重要定理之一。
02 角平分线的定义与性质
CHAPTER
角平分线的定义
角平分线是一条射线，它把一个角分 成两个相等的部分。
角平分线用符号“”表示，如“”表 示角平分线。
角平分线的性质定理
角平分线将角的两边分为等长 线段。
在角平分线上的点到角的两边 的距离相等。
在角的内部，到角的两边距离 相等的点一定在角平分线上。
角平分线的性质解决实际问题。
对后续学习的建议和展望
加强对角平分线性质的应用练习，通过更多的实际案例和应用实践提高自己的应用能力。 加强与角平分线相关的其他几何性质的学习和研究，为后续的学习和实践打下坚实的基础。
通过参加数学竞赛、学术交流等活动，提高自己的数学素养和应用能力。
谢谢
THANKS
面积等。
03
利用角平分线定理解决立体几何问题
在立体几何中，角平分线定理可以用来解决一些与角度、距离相关的问
题。
04 角平分线在三角函数中的应用
《角平分线的判定》课件
在几何证明题中，常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或 角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的 点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明，假 设点不在角平分线上，通 过构造反例来证明假设不 成立。
应用举例
在解题过程中，可以利用 这个推论来寻找角平分线 上的点，从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分， 且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角 ，这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF。求证：EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF，EF平行于BC。求证：EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平 分线，E、F分别是AB、AC上的点， 且DE=DF。EF交AD于G。求证： EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线，可以证明面积分割定理，从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线，可以方便地计算三角形的面积，进一步用于解
决实际问题。
《角平分线》PPT课件2
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.求证: PD=PE.
证明： ∵OC平分∠ AOB, ∴ ∠1= ∠2. ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB, ∴ ∠PDO= ∠PEO. 在△PDO和△PEO中, ∠PDO= ∠PEO, ∠1= ∠2, OP=OP , ∴ △PDO ≌ △PEO. ∴PD=PE.
五.角平分线的判定定理
用符号语言表示为：
∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB， Pபைடு நூலகம்=PE，
∴ 点P在∠AOB的平分线上 .
六.试一试
已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.判断下列结论是否正确：
(1)DE=DF. （ ）
(SSS)
四.角平分线的性质
O
A
B
第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD，PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．
你能证明PD=PE吗？
实验: 将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察第二次折叠形成的两条折痕,你能得出什么结论?
求证：AD是△ABC的角平分线。
十.小结与评价
这节课我们学到了什么？共同归纳本节课所学主要知识：
(1)用尺规作角的平分线.
(2)角平分线的性质定理：
(3)角平分线的判定定理：
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
３．作射线OC．
射线OC即为所求作的图形．
O
三.理论依据
A
Ｂ
O
想一想：为什么OC是∠AOB的平分线？
角平分线的课件
角平分线的课件角平分线的课件从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
教学目标【知识与技能】1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理.2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等.【过程与方法】1.经历探索角平分线作法的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察能力.2.探索角平分线定理,培养学生认真探究、积极思考的能力.【情感、态度与价值观】1.体验数学与生活的联系,发展学生的空间观念和审美观.2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,使学生具有一些初步研究问题的能力.重点难点【重点】角平分线的性质定理及其逆定理.【难点】理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理.教学过程一、创设情境,导入新知师:同学们知道怎样作出角的平分线吗?生1:可以通过折纸得到一个角的平分线.生2:也可以用量角器来画一个角的平分线.师:下面我们来学习用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线.作法:1.以O为圆心、任意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图(1).2.分别以点M、N为圆心,以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图(2).3.作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的平分线.师:通过上面的作图,启发我们可以用尺规完成:“经过一点作已知直线的垂线.”教师边操作边讲解:用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,你看到了什么?把对折的纸片继续任意折一次,然后把纸片展开,又看到了什么?学生操作.师:从上面折纸中我们发现,纸片第一次对折后的折痕是什么?生:是这个角的平分线.师:你第二次折时出现的两条折痕的长度之间有什么关系?生:一样长.师:因为第二次我们是任意折的,所以这种等长的折痕能折出无数对.二、共同探究,获取新知教师多媒体出示:操作:(1)折出如上图中的折痕PD、PE;(2)你和同桌用三角板测量一下,检测你们所折的折痕是否符合图示的要求.问题1:你能用文字语言阐述所画图形的性质吗?学生思考后回答.问题2:根据命题“在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”用符号语言填写下表:图形已知事项由已知事项推出的事项OP平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D、EPD=PE(推证定理1)问题3:根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表:图形已知事项由已知事项推出的事项DE⊥AB,BC⊥AC,垂足分别为E、C,DE=DC.∠DAE=∠DAC问题4:用文字语言表述上表中的已知事项和由已知事项推出的事项.(推证定理2)三、练习新知,加深理解师:下面我们接着来探讨上面的问题3.教师多媒体出示:(1)∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DE⊥AB,(已知)∴DC=DE.( )(2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE,(已知)∴点D在∠BAC的平分线上.( )学生思考后抢答,教师板书.第1个括号中填“角平分线上任意一点到角的两边的距离相等”,第2个括号中填“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.教师多媒体出示:【例1】已知:∠C=∠C'=90°,AC=AC'.求证:(1)∠ABC=∠ABC';(2)BC=BC'.(要求不用三角形全等判定)学生思考后交流讨论.教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.证明:(1)∵∠C=∠C'=90°,(已知)∴AC⊥BC,AC'⊥BC'.(垂直的定义)又∵AC=AC',(已知)∴点A在∠CBC'的角平分线上.(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上)∴∠ABC=∠ABC'.(2)∵∠C=∠C',∠ABC=∠ABC',∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C'+∠ABC').(三角形内角和定理)即∠BAC=∠ABC'.∵BC⊥AC,BC'⊥AC',∴BC=BC'.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)【例2】已知:△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CF相交于点P.求证:AP平分∠BAC.证明:过点P分别作PM⊥BC、PN⊥AC、PQ⊥AB,垂足分别为M、N、Q.∵BE是∠B的.平分线,点P在BE上,(已知)∴PQ=PM.(角平分线上任意一点到角的两边的距离相等)同理PN=PM.∴PN=PQ.(等量代换)∴AP平分∠BAC.(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)四、课堂小结师:你今天学习了什么知识?有什么新的收获?学生回答,教师点评.教学反思本节课开头设计的折纸和画一画的活动,旨在丰富学生对角平分线性质的感知,有利于学生借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质.由于部分学生常常把“过角平分线上一点向角两边画垂线段”与“过角平分线上一点画角平分线的垂线”混为一谈,因此设计操作(1)、(2),为学生能正确画出符合要求的图形,从直观上以及三角板的正确使用上都作了恰当的铺垫,同时也为定理1的推理论证作准备.通过学生自己动后操作、自己推导、自己发现,从而得到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥学生的探究意识,使学生在学习中体验并掌握合作交流的学习方法,同时进一步锻炼学生的数学语言表达能力,能写出规范的证明过程.。
《角平分线》PPT课件3
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
A 求证: PD=PE
D
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
1
PC
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
2
O
Hale Waihona Puke EB∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
(3)验证猜想:
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第 一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三 条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的 距离相等.
探究角平分线的性质
• 你能写出你猜想的题设和结论，并能证明你的猜 想吗？
活 探动究5角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，AD是它
的角平分线，且BD=CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是
E，F.求证：EB=FC.
E
B
A
F
D
C
变题1：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平
分线， ∠C＝90°， DE⊥AB于E，F 在AC
上，且BD=DF，求证：CF=EB.
A
变题2：如图，△ABC中， AD是 ∠BAC的平分线， ∠C＝90°， DE⊥AB于E，BC=8，BD=5， 求DE.
生活中有很多数学问题：小明家 居住在一栋居民楼的一楼，刚好位 于一条自来水管和天然气管道所成 角的平分线上的P点，要从P点建两 条管道，分别与自来水管道和天然 气管道相连. 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么 关系，画来看看.
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G
P
H
作业:P94习题19.4第4题
O
∴PD=PE
C
于是就有定理： 角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等．
B
四 问答 ：1、如图，在Rt△ABC 中， BD是∠B 的平分线 ， A DE⊥AB，垂足为E， E DE与DC 相等吗？ 为什么？ 答： DE=DC。 D
∵ BD是∠ABC的平分线 （D在∠ABபைடு நூலகம்的平分线上）B
又∵ DE⊥BA，垂足为E， DC⊥BC，垂足为C， ∴ DE=DC。
B
= DC
角的平分线上的点到角的 ) 两边的距离相等。
A C
D
练习 1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到 ∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
提示：作 ∠AOB的平分 线，交直线l于P 就是所求的点 （第 1 题）
练习2.
如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
驶向成功的 彼岸
回顾
思考
角平分线的这条性 质是怎样得到的呢？
•角平分线的性质是什么
？
• 用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两 边叠合在一起，再把纸片展开，你看到 了什么？
• 角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等
开启智慧 定理 角平分线上的点到这个角的两边 距离相等.
A
如图,已知:OC是∠AOB的 平分线,P是OC上任意一点 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D,E. O 求证:PD=PE(平分线上的 点到这个角的两角边距离 相等).
D
1 2 E B P C
• 证明: 因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
• 所以 ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．
A
D 1 2 E P 在△PDO和△PEO中，因为 ∠DOP＝∠EOP（已知）， ∠PDO＝∠PEO（已证）， PO＝PO（公共边）， ∴△PDO≌△PEO (A.A.S)
｛
思考
C
做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认 识?
角平分线的性质， 为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径。
•
反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明： PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E 为垂足， ∴∠PDO= ∠PEO=Rt ∠ 在Rt △PDO 与Rt △PEO中 O A
思 考 分 析
M F C
随
练习 课时训练
A
1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
角平分线上的点到角的两边的距离相等 (________________________________)
1 2 E C D B
2、判断题（ ∴ BD (
×）
，
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
D
1 2 E B P
C
｛
PD=PE（已知） OP=OP（公共边）
∴Rt△PDO≌△PDO ∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上
于是就有定理： 到一个角的两边 距离相等的点， 在这个角的平分 线上
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
基本想法是这样的:我们知道,两条直线 相交只有一个交点.要想证明三条直线相交 于一点,只要能证明两条直线的交点在第三 A 条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习 ND 的内容. P 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是 B E,F,D. E ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.