高一数学期中试卷金陵中学
金陵中学下册高一数学期中试卷-精校
金陵中学2005－2006学年度第二学期高一数学期中试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．若x 是第四象限的角，且cos x ＝45，则tan x 的值是( )． (A)35 (B)－35(C) －43 (D)－342．函数y ＝2sin(x ＋π4)的图象的一个对称中心的坐标是( )． (A)（π4，2） (B)（3π4，0） (C)（ 5π4，－2） (D) （π4，0） 3．已知sin α2＝13，α∈(0，π)，则sin α的值为( )． (A)229 (B)－ 229 (C) 429 (D) － 4294．已知向量a ＝（2，1），b ＝（1，m )．若a ∥b ，则实数m 的值是( )．(A)12 (B)－2 (C)2 (D)－125．设０＜α＜π2＜β＜π，且sin α＝35，cos β＝－1213，则cos(α－β)的值是( )． (A)1665 (B) 3365 (C)－ 1665 (D)－ 33656．已知A （1，－1），B （3，1），C （－2，4），则与→AC －→BC 方向相同的单位向量的坐标是( )．(A)（1，1） (B)（－1，－1） (C)（－22 ，－22 ） (D)（22 ，22） 7．在△ABC 中，若(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，则A ＋B 等于( )．(A)π4 (B) 3π4 (C) 5π4 (D) 7π48．在边长为1的正△ABC 中，记→AB ＝c ，→BC ＝a ，→AC ＝b ，则a ·b ＋c ·b ＋c ·a 的值等于( )．(A)32 (B)－32 (C)12 (D)－129．将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位后，再将图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y ＝cos x 的图象，则函数f (x )的解析式是( )．(A)f (x )＝cos(2x ＋π6) (B)f (x )＝cos(2x －π6) (C)f (x )＝cos(2x ＋π3) (D)f (x )＝cos(2x －π3) 10．若cos(π4－x )＝－35，x ∈(3π4，π)，则1－tan x 1＋tan x的值是( )． (A)34 (B)－34 (C) 43 (D) －4311．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且→OA ·→OB ＝→OC ·→OB ＝→OC ·→OA ，则点O 是△ABC的( )．(A)三个内角角平分线的交点 (B)三条边垂直平分线的交点(C)三条中线的交点 (D)三条高的交点12．设f (x )是定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数，在区间(0，＋∞)内单调递增，且f (12)＝0．若△ABC 的内角A 满足f (cos A )＜0，则角A 的取值范围是( )．(A)(π3，π) (B)(π3，π2) (C)(π3，π2)∪(2π3，π) (D)(0，π3)∪(2π3，π) 二、填空题（每小题4分，共16分）13．计算：2tan15°1－tan 215°＝ ． 14．若向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(12，－32)，则| a －b |的最大值是 ． 15．函数y ＝cos(12x －π4)的最小正周期是 ． 16．给出如下四个命题：①若a ，b 为两个不共线向量，且| a |＝| b |，则( a －b )⊥( a ＋b )；②在四边形ABCD 中，必有→AB ＋→BC ＋→CD ＋→AD ＝0；③若x a ＝x b ，x ∈R ，则a ＝b ；④若a ，b 为两个不共线向量，且x a ＋y b ＝0，则x ＝y ＝0．其中真命题的序号是 ．三、解答题（本大题共48分）17．(1)已知sin(π＋α)＝513，求cos(3π2－α)的值； (2)已知sin α＝23，cos(α＋β)＝－35，且α∈(π2，π)，β∈(π2，π)，求sin β的值． 18．设e 1，e 2是两个不共线的向量，设→AB ＝2e 1＋k e 2，→CB ＝e 1＋3e 2，→CD ＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线．(1)求实数k 的值；(2)若|e 1|＝|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为60°，求|→AB |．19．如图，是一个物体作简谐运动的装置，点O 为简谐运动的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向．已知振幅为4cm ，周期为3s ，且物体向右第一次运动到点O 时开始计时．(1)求物体对于平衡位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的函数关系；(2)求该物体在t ＝10s 时的位置．20．已知A (sin x ，cos x )，B (sin x ，sin x )，C (－1，0)．(1)若x ＝π6，求→OC 与→OA 的夹角； (2)设函数f (x )＝m →OA ·→OB ，其中m ∈R ．①若m ＝1，求f (x )的单调增区间；②当x ∈［－π4，π4］时，f (x )的最大值是12，求m 的值． O C D21．在△ABC 中， a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＋c ＝10，C ＝2A ，cos A ＝34． (1)求a c的值；(2)求sin B 和b 的值．金陵中学05－06学年度第二学期高一数学期中考试答题纸一、选择题（答案填涂在答题卡上）二、填空题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．(1)(2)18．19．20．21．。
2021-2022南京市金陵中学高一上学期数学期中试卷
金陵中学2021—2022学年第一学期期中考试高一数学试卷一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.已知集合{}42＜xx M =，{}1,0,1-=N ，则=⋃N M （）A .()∞+∞-，B .()1,0C .MD .N2.函数()()0321-+-=x x x f 的定义域是（）A .[)∞+，2B .()()∞+⋃，33,2C .()∞+，2D .[)∞+，33.设函数()⎩⎨⎧≤-=0,log 0,142＞x x x x f x ，则()()=1f f （）A .0B .1C .2D .34.若实数a ，b 满足1lg lg =+b a ，则b a 52+的最小值为（）A .2B .22C .210D .25.函数()xxe e x xf 2211-+⋅=（其中e 是自然对数的底数）的大致图象是（）A .B .C .D .6.已知函数()x f y =是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，()x e x f x2+=，则()=-2ln f （）A .2ln 221-B .2ln 221+C .2ln 22-D .2ln 22+7.已知513.0=a ，31103⎪⎭⎫⎝⎛=b ，513=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（）A .c a b ＞＞B .b c a ＞＞C .b a c ＞＞D .ab c ＞＞8.已知函数()1223+-=x x x f ，且()()02＜++b f a f ，则（）A .0＜b a +B .0＞b a +C .01＞+-b a D .02＜++b a 二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.）9.设a ，b ，c 都是正数，且cba964==，（）A .acbc ab 2=+B .acbc ab =+C .ba c 122+=D .ab c 121-=10.下列函数中最大值为1的是（）A .2241x x y +=B .[]1,0,122∈-=x x x y C .()+∞∈+=,0,122x e e y x xD .()3,,31∞-∈-+=x x x y 11.下列说法正确的是（）A .“N M =”是“N M ln ln =的充要条件”B .函数x x y --=1010既是奇函数又在定义域内单调递增C .若函数()x x f =，则对于任意的1x ，2x ∈[)∞+，0有()()⎪⎭⎫⎝⎛+≤+222121x x f x f x f D .若10＜＜＜b a ，则ab b a b a b a ＞12.已知函数()1+-=x xx f ，则（）A .函数()x f y =为偶函数B .()x f 的值域为()1,1-C .方程()02=+x x f 只有一个实根D .对1x ∀，2x R ∈，21x x ≠，有()()02121＜x x x f x f --.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.命题“x ∀R ∈”，02＞x x +的否定是.14.已知幂函数()()mx m m x f 12--=的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是.15.函数22-=+x ay （0＞a 且1≠a ）的图象恒过定点P ，若(){}0,01,＞mn ny mx y x P =++∈，则nm 21+的最小值是.16.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2021年增长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从年开始，快递也产生的包装垃圾超过30000万吨.（单靠数据：3010.02lg ≈，4771.03lg ≈）四、解答题：本大题共6小题，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.17.（10分）（1）计算：4log 5log 85lg 4lg 252⋅++；（2）()()[]75.034303116287064.0---+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--.18.（12分）已知函数()331xx x f -=.（1）判断函数()x f 奇偶性并证明；（2）写出函数()x f 的单调区间；（3）利用函数()x f 的单调性求不等式()01＞x f -的解集.19.（12分）已知非空集合()(){}02＜a x a x x A --=，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=112＜x xxB .（1）当实数a 为何值时，“A x ∈”是“B x ∈”的充要条件；（2）若“A x ∈”是“B x ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20.（12分）2021年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗议形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松.在日常防护中，医用防护用品必不可少，某厂家生产的医用防护用品需从甲地运送到相距500km 以外的疫情区乙地，一辆货车从甲地匀速行驶到乙地，规定速度不得超多100h km.一辆货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度()h km v 的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a 元()0＞a .（1）把全程运输成本y （元）表示为速度()h km v 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶.21.（12分）设函数()()axt a x f x 12--=（0＞a 且1≠a ）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若1＞a ，判断函数()x f 的单调性并用函数单调性的定义证明；（3）函数()x f 的图象过点⎪⎭⎫ ⎝⎛231，，求函数()()x mf a ax g x x-+=-22（其中R m ∈）在[]3log 12，上的最大值()m h .22.（12分）若函数()x f y =的自变量的取值区间为[]b a ,，函数值的取值区间恰为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 2,2，就称[]b a ,为函数()x f y =的一个“和谐区间”，已知函数()x g 是定义在R 上的奇函数，当()+∞∈,0x 时，()3+-=x x g .（1）求函数()x g 的解析式；（2）求函数()x g 在()+∞,0内的“和谐区间”；（3）若以函数()x g 在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数()x h y =的图象，是否存在实数m ，使集合()(){}(){}m x y y x x h y y x +=⋂=2,,恰含有2个元素，若存在，求出实数m 的取值集合，若不存在，请说明理由.金陵中学2021—2022学年第一学期期中考试高一数学试卷一、单项选择题：1.C2.B3.A4.D 解析：依题意可得10=ab ，∴210252=≥+abb a ，当且仅当2=a ，5=b 时取等.5.A 解析：依题意可得()()x f x f =-又∵0＞x 时，()0＜x f .6.D 解析：()()a a f f ln 22ln 2ln +==-.7.C解析：依题意得1＞c ，01＞＞＞b a 8.A 解析：记()()122113+--=+=x xx x f x g ，()()x g x g --=∴()x g 为奇函数，∴不等式可化为()()0＜b g a g +即()()b g a g -＜又∵()x g 单调递增，∴不等式可化为b a -＜，即0<+b a .二、多项选择题9.AD 解析：解析：记k cba===964，则k a 4log =，k b 6log =，k c 9log =，故29log 4log log log log log 669496=+=+=+kk k k a b c b 左右两侧乘以ac 可得ac bc ab 2=+，左右两侧除以b 可得，ab c 121-=.10.BD解析：A 选项，141222=⋅≥x x y ，∴最大值不为1B 选项，()2214x x y -=，212=x 时有最大值1C 选项，112≤+=xx ee y ，当且仅当0=x 时取等，故无最大值D 选项，133133313≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=--++=x x x x y ，当且，∴仅当2=x 时取等.11.BCD解析：A 选项，应为必要不充分条件；B 选项，()()x f x f -=-，且函数单调递增，故B 正确；C 选项，原不等式可化为222121x x x x +≤+，即242212211x x x x x x +≤++，即21212x x x x +≤，故正确.D 选项，原不等式可化为bab a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛＞，∵10＜＜＜b a ，∴10＜＜b a ∴bab a b a ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛＞.12.BD解析：A 选项，()()x f x f -=-，错误；B 选项，0≥x 时，()1111-+=+-=x x x x f ，值域为(]0,1-，∴()x f 的值域为()1,1-C 选项，()=+2x x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11x x x ，215-，0，215+均为方程的根，错误；D 选项，0≥x 时，()1111-+=+-=x x x x f ，单调递减，故函数单调递减，正确.三、填空题13.x ∃R ∈”，02≤+x x 14.2解析：112=--m m ，解得2=m 或1-=m ，根据函数图象关于y 轴对称可得2=m .15.8解析：依题意可得()12--，P ，∵(){}0,01,＞mn ny mx y x P =++∈∴12=+n m 所以()822121≥+⎪⎭⎫⎝⎛+=+n m n m n m ，当且仅当m n 2=时取等.16.2026解析：第n 年包装垃圾为3000n5.1⨯令3000n5.1⨯≥30000，解得68.51761.012lg 3lg 110log 5.1≈≈-=>n .所以从2026年开始.四、解答题17.解：（1）原式=3285lg16lg =+++（2）原式=162781161125=++-.18.解：（1）函数定义域为()()∞+⋃∞-，，00，关于原点对称，()()x f x x x f -=+-=-331，所以函数()x f 为奇函数（2）单调递增区间为()()∞+∞-，和，00，无单调递减区间（3）令()0=x f ，解得1±=x ，又∵函数在()()∞+∞-，和，00上单调递增，∴()01＞x f -可化为011<-<-x 或x -<11∴解集为()()2,10⋃∞-，.19.解：（1）依题意可得()1,1-=B ，B A =，∴⎩⎨⎧-==112a a ，解得1-=a ；（2）依题意可得A()1,1-①φ=A ，a a =2，解得0=a 或1=a ②φ=A ，即0≠a 或1≠a ，a <-1，12<a ，解得11<<-a 0≠a 综上11≤<-a .20.解析：（1）依题意可得()vv v a v y 500550001.02+=+=，()1000≤<v ；（2）a vav y 10050052=⨯≥，当且仅当a v 10=时取等所以①10010≤a 即1000≤<a 时，速度a v 10=时最小②10010>a 即100>a 时，速度为h km 100时最小.21.解：（1）由()()01000=--=at a f ，解得2=t ，此时()x x a a x f 12-=，()()x f a a a a x f xxx x -=-=-=----2211，故函数为奇函数；（2）有题意可知，()x xaa x f 1-=，设21x x <，则有()()()()212112112211112x x x x x x x x x x a a a a a a a a a ax f x f +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-，故函数()x f 为R 上的增函数；（3）代入⎪⎭⎫⎝⎛231，，解得2=a ，()()x x x xm x g ----+=222222，[]3log 12，∈x ，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=-38,2322xxn ，则有()()22+-==mn n n p x g ，对称轴20m n =，区间中点12251=n ，则有：当625<m 时，10n n <，()3898238mp m h -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，当625≥m 时，10n n ≥，()3341723m p m h -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，故()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<-=625,3341762538982m m m mm h ，22.解：（1）由题意可知，当0=x 时，()0=x g ，当0<x 时，()()()33--=+-=-=x x x g x g ，故()⎪⎩⎪⎨⎧>+-=<--=0,30,00,3x x x x x x g ；由题意可知，函数()x g 在()+∞,0单调递减，若有和谐期间，则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=b b b g aa a g 2323，解方程xx 23=-，解得1=x 或2=x ，即有和谐区间[]2,1，区间值域刚好为[]2,1；（3）同理，可知还有一个和谐区间[]12--，，则有()⎩⎨⎧≤≤+--≤≤---=21,312,3x x x x x h 令()m x x p +=2，可知若()x p 与()x h 恰有两个交点，则必在[]12--，内有交点，则32--=+x m x 在[]12--，内有解，解得[]3,5--∈m ，且只有一解，则另一交点必在[]2,1内，即32+-=+x m x 在[]2,1内有解，解得[]1,3-∈m ，故存在，3-=m 使题设条件成立.11。
江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ▲ )．A ．0B ．1C.2D ．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·AC →＝( ▲ )． A ．－3B ．－10C ．9D ．15 3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，c ＝2，cos(B ＋C )＝14，则a 等于( ▲ )．A ．10B ．15C ．4D ．174．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝π3，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD →·BC →的值为( ▲ )． A ．－113B ．－13C ．23D ．435．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝a 2＋b 2－c 243，则C ＝( ▲ )．A ．π6B ．π3C ．π4D ．π26．若α，β∈(π2，π)，且sin α＝255，sin(α－β)＝－1010，则sin β＝( ▲ )．A ．7210B ．22C ．12D ．1107．已知|AB →|＝3，|AC →|＝2，若对于任意的实数m ，不等式|AB →＋AC →|≤|AB →＋mAC →|恒成立，则 cos ∠BAC ＝( ▲ )． A ．53 B ．－53 C ．－23 D ．238．已知ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A ＝2B ，则c b ＋(2ba)2的最小值为( ▲ )．A ．－1B ．73C ．3D ．103二､选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列命题为真命题的是( ▲ )．A ．若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1z 2为实数B ．若i 为虚数单位，则i 3＝iC ．若复数z ＝1＋i ，则z 2＝2iD ．若复数z ＝－12＋32i ，则1＋z ＋z 2＝010．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE ，AF及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( ▲ )． A ．AG ⊥△EFH 所在平面B ．AH ⊥△EFH 所在平面C ．EF ⊥△AGH 所在平面D ．HG ⊥△AEF 所在平面11．给出下列命题，其中正确的选项有( ▲ )．A ．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且同向B ．若非零向量a ､b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°C ．若单位向量的e 1､e 2的夹角为60°，则当|2e 1＋t e 2| (t ∈R )取最小值时，t ＝1D ．在△ABC 中，若(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中，正确的命题有( ▲ )．A ．c ＝a cosB ＋b cos A B ．若A ＞B ，则sin2A ＞sin2BC ．若A ＝30º，a ＝4，b ＝6，则满足条件的三角形有两解D ．若△ABC 是钝角三角形，则tan A ·tan C ＜1三､填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a ＝(sinα，4)，b ＝(1，cosα)，且a ⊥b ，则sin2α＋2sin 2α＝▲________．14．已知函数f (x )＝2cos 2(π2x －π4)－1，g (x )＝x 3，设函数F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )所有的零点之和为▲________．15．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若MN →＝λ1AM →＋λ2BN →，λ1，λ2∈R ，则λ1λ2的值为▲________．16．向量是数学中一个很神奇的存在，它将“数”和“形”完美地融合在一起，在三角形中就有很多与向量有关的结论．例如，在△ABC 中，若O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →＝12AB →2．证明如下：取AB 中点E ，连接OE ，可知OE ⊥AB ，则AB →·AO →＝2AE →·AO →＝2|AE →||AO →|cos ∠OAE＝2|AE →|(|AO →|cos ∠OAE )＝2AE →2＝12AB →2．利用上述材料中的结论与方法解决下面的问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，满足a ＞c 且2b cos A ＝3c ，3(c ＋a )＝2b ． 设O 为△ABC 的外心，若AO →＝x AB →＋yAC →，x ，y ∈R ，则x －2y ＝▲________．DC A B MNEAB·O四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17．(本小题10分)已知复数z =b i(b ∈R )，z －21＋i 是实数，i 是虚数单位(1) 求复数z ；(2) 若复数(m +z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．18．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17° ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12° ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48° ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一般的三角恒等式，并证明你的结论．19．(本小题12分)设向量a ＝(3cos α，sin α)，b ＝(sin β，3cos β)，c ＝(cos β，－3sin β)． (1)若a 与b －c 垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b －c |的最小值；20．(本小题12分)如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 四边长为1的菱形，∠ABC ＝π4， OA ⊥平面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点(1)画出平面AMN 与平面OCD 的交线(保留作图痕迹，不需写出作法)； (2)证明：直线MN ||平面OCD ； (3)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．ABCDOM N21．（本小题12分）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB 的一侧进行绿化，线段AB 长为4百米，C ，D 都设计在以AB 为直径的半圆上．设∠COB ＝θ． (1)现要在四边形ABCD 内种满郁金香，若∠COD ＝π3， 则当θ为何值时，郁金香种植面积最大；(2)为了方便游人散步，现要搭建一条道路，道路由线段BC ， CD 和DA 组成，若BC ＝CD ，则当θ为何值时，栈道的总 长l 最长，并求l 的最大值．22．（本小题12分）已知ΔABC 为锐角．．三角形，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．R 为ΔABC 外接圆半径． (1)若R ＝1，且满足sin B sin C ＝(sin 2B ＋sin 2C －sin 2A )tan A ，求b 2＋c 2的取值范围； (2)若b 2＋c 2＝2aR cos A ＋a 2，求tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值．江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ▲ )．A ．0B ．1 C.2 D ．2答案：D2．在平面直角坐标系xOy 中，已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·AC →＝( ▲ )．A ．－3B ．－10C ．9D ．15答案：D3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，c ＝2，cos(B ＋C )＝14，则a 等于( ▲ )．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。
江苏省南京市金陵中学2017-2018学年度第一学期高一数学期中考试 卷解析版
值范围是 【答案】 ,3 ；
．
【解析】 a 2 时，在 x 1 时， f x 是开口向下的二次函数，对称轴 x 因此在 x 1 时存在 x1 , x2 ；
a 1， 2
a 2 时， f x 在 ,1 递增，值域 , a 1 ，在 1, 递增，值域 3a 7, ，
f 5 f 5 lg 5 0 ， f 4 f 4 lg 4 1 0 ，则 f x 在 4,5 ， 5, 4 有零点，
．
则 k 的值的集合为 5, 4 ． 12. 函数 f x 在 0, 是增函数， g x f x ，若 g lg x g 1 ，则 x 的取值范围是
1 【答案】 0, 10
．
10, ；
1 或 x 10 ． 10
【解析】 g x 是偶函数，在 0, 是增函数，则 lg x 1 ，则 lg x 1 或 lg x 1 ，则 0 x
x 2 ax, x 1 13. 已知函数 f x ，若存在 x1 , x2 R 且 x1 x2 ，使得 f x1 f x2 成立，则实数 a 的取 3ax 7 , x 1
5.
个．
【答案】 8 ； 【解析】 f 1 0 或 1 ， f 0 0 或 1 ， f 1 0 或 1 ，映射共 23 8 个．
6.
1 若幂函数 f x 的图象经过点 2, ，则 f 6 的值为 4
．
【答案】
1 ； 36 1 1 ，则 2 ，则 f 6 62 ． 36 4
【解析】设 f x x ，则 2
江苏省南京市金陵中学—度第一学期高一数学期中考试试卷 苏教版必修1
江苏省南京市金陵中学2007—2008学年度第一学期期中考试高一数学2007．11．16一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答案卷的表格内）1. 已知集合P ＝{x ∈N ｜1≤x ≤10}，集合Q ＝{x ∈R ｜x 2＋x －6＝0}，则P ∩Q 等于 （A ）{1，2，3} （B ）{2，3} （C ）{1，2} （D ）{2}2. 函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是（A ）(－13，＋∞)（B ）(－13，1)（C ）(－13，13)（D ）(－∞，－13)3. 已知log 12b ＜log 12a ＜log 12c ，则 （A ）2b ＞2a ＞2c（B ）2a ＞2b ＞2c（C ）2c ＞2b ＞2a（D ）2c ＞2a ＞2b4. 函数f (x )＝9－x 2x的图象关于（A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线x －y ＝0对称5. 函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f (a )≤f (2)，则实数a 的 取值范围是 （A ）a ≤2 （B ）a ≥－2 （C ）－2≤a ≤2 （D ）a ≤－2或a ≥26. 设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1，2)内近似解的过程中，计算得到f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则方程的根落在区间 （A ）(1，1.25) （B ）(1.25，1.5) （C ）(1.5，2) （D ）不能确定二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答卷纸上） 7. 函数y ＝2x的值域为____▲____.8. 已知f (x )＝｜log a x ｜，其中0＜a ＜1，则f (2)，f (13)，f (14)由大到小排列为_____▲_____.9. 若函数y ＝mx 2－6x ＋2的图像与x 轴只有一个公共点，则m 的取值集合为______▲___. 10. 若log a 23＜1（a ＞0且a ≠1），则实数a 的取值范围是_____▲_____.11. 已知函数f (x )＝ax 7＋bx －2，若f (2008)＝10，则f (－2008)的值为_____▲_____.12. 函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x ， x ≤0，x 2＋1，x ＞0，若f (x )＝10，则x ＝_____▲_____.13.填写后面表格，其三个数依次为：____▲____.14.关于函数y＝log2(x2－2x＋3)有以下四个结论：①定义域为(－∞，－3]∪(1，＋∞)；②递增区间为[1，＋∞)；③最小值为1；④图象恒在x轴的上方.其中正确结论的序号是_______▲_______.三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本题满分8分）（1）化简：0.25－1×(32)12×(274)14；（2）已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，求log2xy的值.16.（本题满分10分）设函数f(x)＝｜x2－4x－5｜，x∈R.（1）在区间[－2，6]上画出函数f(x)的图像；（2）写出该函数在．R．上．的单调区间.17.（本题满分10分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月效益最大？最大效益是多少？18.（本题满分10分）已知幂函数f(x)＝x(2－k)(1＋k)（k∈Z）满足f(2)＜f(3).（1）求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；（2）对于（1）中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x，在区间[0，1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.19. （本题满分12分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .（1） 若a ＞b ＞c ，且f (1)＝0，证明f (x )的图象与x 轴有2个交点；（2） 在（1）的条件下，是否存在m ∈R ，使得f (m )＝－a 成立时，f (m ＋3)为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；（3） 若对x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，证明必有一个根属于(x 1，x 2).江苏省南京市金陵中学2007—2008学年度第一学期期中考试高一数学答案一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．将答案填在相应的横线上．7．[1，＋∞) 8．f (14)，f (13)，f (2)9．{0，92}10．(0，23)∪(0，＋∞)11． －14 12．3或－5 13．3，2，1 14．②③④三、解答题：本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分8分） （1）解：原式＝4×2－12×314×2714×4－14＝4×2－12×314×334×2－12＝4×2－1×3＝6.（2）解：根据题意，得⎩⎨⎧x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，( x －2y )2＝xy ，解得⎩⎨⎧x ＞2y ＞0，x ＝y ，或x ＝4y ，因此x ＝4y .所以log 2 xy＝log 24＝4.16．（本题满分10分）22（2） 函数在(－∞，－1]上单调递减；函数在[－1，2]上单调递增； 函数在[2，5]上单调递减； 函数在[5，＋∞)上单调递增.17．（本题满分10分） 解：（1）3600－3000＝600（元） 600÷50＝12（辆） 100－12＝88（辆）答：当每辆车的月租金为3600元时，能租出88辆.（2）设每辆车的月租金定为(3000＋50x )元时，租赁公司的月效益为y 元，则y ＝(100－x )(3000＋50x －150)－50x ，其中x ∈N ， 对于y ＝(100－x )(3000＋50x －150)－50x＝－50(x －21)2＋307050，当x ＝21时，此时月租金为3000＋50×21＝4050（元），y max ＝307050（元）. 答：当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月效益最大，为307050元. 18．（本题满分10分） 解：（1）对于幂函数f (x )＝x (2－k )(1＋k )满足f (2)＜f (3)， 因此(2－k )(1＋k )＞0， 解得－1＜k ＜2， 因为k ∈Z ， 所以k ＝0，或k ＝1， 当k ＝0时，f (x )＝x 2，当k ＝1时，f (x )＝x 2，综上所述，k 的值为0或1，f (x )＝x 2.（2）函数g (x )＝1－mf (x )＋(2m －1)x＝－mx 2＋(2m －1)x ＋1，因为要求m ＞0，因此抛物线开口向下， 对称轴x ＝2m －12m，当m ＞0时，2m －12m ＝1－12m ＜1，因为在区间[0，1]上的最大值为5，所以⎩⎨⎧1－12m ＞0，g (1－12m )＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧1－12m ≤0，g (0)＝5，解得m ＝52＋6满足题意.19. （本题满分12分） 解：（1）因为f (1)＝0， 所以a ＋b ＋c ＝0， 又因为a ＞b ＞c ， 所以a ＞0，且c ＜0， 因此ac ＜0， 所以Δ＝b 2－4ac ＞0， 因此f (x )的图象与x 轴有2个交点.（2）由（1）可知方程f (x )＝0有两个不等的实数根， 不妨设为x 1和x 2， 因为f (1)＝0， 所以f (x )＝0的一根为x 1＝1， 因为x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，所以x 2＝－b a －1＝ca，因为a ＞b ＞c ，a ＞0，且c ＜0，所以－2＜x 2＜0.因为要求f (m )＝－a ＜0， 所以m ∈(x 1，x 2)， 因此m ∈(－2，1)， 则m ＋3＞1，因为函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上单调递增； 所以f (m ＋3)＞f (1)＝0成立.（3）构造函数g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 1)－f (x 2)]，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 2)－f (x 1)]，于是g (x 1)g (x 2)＝14[f (x 1)－f (x 2)][f (x 2)－f (x 1)]＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2，因为f (x 1)≠f (x 2)， 所以g (x 1)g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2＜0，所以方程g (x )＝0在(x 1，x 2)内有一根， 即方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]必有一根属于(x 1，x 2).。
【金陵】2018-2019学年第二学期高一数学期中试卷及答案
C
6
故选 C.
B D
9. 若圆锥的侧面展开图是面积为 3 且圆心角为 2 的扇形，则此圆锥的体积为（ ）. 3
A. 2 2 3
【答案】A；
B. 2 3 3
C. 2
D. 3
【解析】因为圆锥侧面展开扇形面积 3 ，圆心角 2 ， 3
所以母线 l = 3 ，底面周长 c = 2，
所以底面半径 r = 1，高 h = l2 − r2 = 2 2 ，
5 13 5 13 65 可知当 C 最大时， C + 仍为锐角，
此时 sin (C + ) = 4 3 13 + 3 2 13 = 18 13 ，
5 13 5 13 65
所以原式最大值 = 13 18 13 = 18 . 65 5
三. 解答题（本大题共 6 小题，共 74 分） 17. （本小题 10 分）
=
c2 2
，且 SABC
=
1 absin C 2
，
所以 c2 = absin C ，
由 AC + BC + 2AB2 = b + a + 2c2 = a2 + b2 + 2c2 = a2 + b2 − c2 + 3c2 ，
BC AC BC AC a b ab
ab
ab
ab
可知原式 = 2cos C + 3sin C = 13 sin (C + ) ，其中 tan = 2 ，
所以体积V = 1 sh = 4 3 cm3 .
3
3
14. 若 tan ， tan 是一元二次方程 3x2 + 5x − 2 = 0 的两个根，且 0 ， ， 22
江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高一上学期数学期中模拟试卷(含答案)
2024/2025学年度第一学期高一期中模拟试卷数 学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C.D. 2．若，则（ ）A ．3B ．4C ．9D ．163．设函数，其中，则是偶函数的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．4设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5.已知集合，则的非空真子集的个数为（ ）A.2B.3C.4D.66.已知，则（ ）A. B. C. D.2{}2450A x x x =--<∣{}2,0,2,4,10B =-A B = {}2,0,2,4-{}2,10-{}0,2,4{}2,424log log 2m n +=2m n =()()cos f x x ωϕ=+0ω>()f x ()01f =()00f =()01f '=()00f '=0.1e 1=-a 111b =ln1.1c =b c a <<c b a <<a b c <<a c b <<{}{}4,3,0,6,3A B x x =--=∈≤Z A B ⋂3212log 61a a +=+-a =39log 2323log 47.已知a ，b 为正数，若，有函数，则的最小值为（ ）A.B.C.9D.8设集合，若，则的取值范围为（ ）A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的两个零点分别为，且，则（ ）A. B. C. D.10. 设是非空的实数集，若，则（ ）A. 函数的定义域为B. 函数的值域为C. 函数值域为D. 函数无极值11. 若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则是3阶聚合点集B. 存在对任意正数，使不是阶聚合点集C. 若，则不是阶聚合点集D. “”是“是阶聚合点集”的充要条件第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．.x b ∀>-()()1x a f x x b -=+≥18a b +9+9+{}{}25,(1)0A x x B x x a x a =>=-++<A B =∅ a (,5]-∞[5,)+∞(,5)-∞(5,)+∞()e x f x a bx c =++1,1-()00f <1e e 2c a -+=-⋅0a >2e 0b a +<0a b c ++<,A B :f A B →()f x A()f x B ()3f x ax bx =+R ()3233f x x x x =-+M (,)x y M ∈()0,t ∞∈+(,)tx ty M ∈M t {}(,)M x y x y =≥M M t M t 22(,)14x M x y y ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭M 13[1,+t ∞∈）{}2(,)M x y y x =≥t12．已知集合A ，B ，C 均是集合的非空真子集，则以集合A ，B ，C 为元素所构成的集合的个数为 .13. 关于不等式的解集为，则实数的取值范围为_________．14．出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC =b ，BC =a (b ≥a )，AB =c ，图中两个阴影三角形的周长分别为l 1，l 2，则l 1+l 2a +b 的最小值为 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15.已知命题，命题.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.16.已知集合.（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求a 的取值范围.17. 已知函数.{}1,3,5,7,9{},,A B C x ()()222240a x a x -+--<R a 2: 12,0p x x a ∀≤≤-≥22:, 220q x x ax a a ∃∈+++=R p ⌝a p q ⌝a {}(){}21,lg 310A x a x aB x y x x =≤≤+==--1a =()B A ⋂R ðx A ∈x B ∈R ð()()211R y m x mx m m =+-+-∈(1)若不等式的解集为，求的取值范围；(2)当时，解不等式；(3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.18（1）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．（2）已知不等式的解集是，求不等式的解集．19.高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，.（1）求的解集和的解集.（2）若，恒成立，求取值范围.（3）若的解集为，求的范围.0y <∅m 2m >-y m ≥[]1,1x ∈-21y x x ≥-+m p x 22430x ax a -+<0a <q x 23100x x +->q p a 210ax bx -->1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭20x bx a --≥[]y x =[]x x []1.21=[]1.22-=-[]5522x -≤≤[][]2211150x x -+≤712x ∀≤≤[][]240x m x -+>m [][]22210x x a --+≤{}|03x x ≤<a参考答案选择题答案1-5 C D DA A 6-8 A B A多项选择题答案9 ABD 10.AD 11 ACD填空题答案12.4060 13. 14. 1+2215. 解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.实数的取值范围是.(2)由(1)知命题为真命题时，.命题为真命题时，，解得为真命题时，.，解得，即实数的取值范围为.16.解：（1）由题意，即，解得或，所以，或当时，，且，故.（2）“”是“”的充分不必要条件，故是的真子集.则满足两边等号不能同时成立，解得，综上所述，的取值范围为.17. （1）当时，由，得到，所以，不合题意，当时，由，得到，解得，{}22a a -<≤12x ≤≤214x ≤≤2: 12,0p x x a ⌝∃≤≤-<1a ∴>∴a {}|1a a >p 1a ≤q ()224420a a a ∆=-+≥0,a q ≤∴⌝0a >10a a ≤⎧∴⎨>⎩01a <≤a {}|01a a <≤23100x x -->()()250x x +->2x <-5x >{2B xx =<-∣5},x >1a ={}12A xx =∣……{}25B x x =-R ∣ð……(){}R 12B A xx ⋂=∣ð……x A ∈x B ∈R ðA B R ð2,15,a a -⎧⎨+⎩……24a -……a []2,4-1m =-0y <20x -<2x <1m ≠-0y <210Δ4(1)(1)0m m m m +>⎧⎨=-+-≤⎩m ≥所以实数的取值范围为.（2）当时，，即，可得，因为，①当时，即，不等式的解集为②当时，，因为，所以不等式的解集为③当时，．又，所以不等式的解集为,综上：，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．（3）由题对任意，不等式恒成立．即，因为时，恒成立．可得，设，则，所以，可得因为，当且仅当所以故得m 的取值范围18. 【解】（1）命题，m ∞⎫+⎪⎪⎭2m >-y m ≥2(1)1m x mx m m +-+-≥[(1)1](1)0m x x ++-≥2m >-10m +=1m =-{|1}x x ≥21m -<<-1(1)01x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭111m ->+1|11x x m ⎧⎫-≥≥⎨⎬+⎩⎭1m >-1(1)01x x m ⎛⎫+-≥ ⎪+⎝⎭1011m -<<+1{|1}1x x x m ≤-≥+或1m =-{|1}x x ≥21m -<<-1|11x x m ⎧⎫-≥≥⎨⎬+⎩⎭1m >-1{|1}1x x x m ≤-≥+或[1,1]x ∈-22(1)11m x mx m x x +-+-≥-+()212m x x x -+≥-[1,1]x ∈-()210x x -+>221x m x x -≥-+2t x =-13t ≤≤2x t =-222131(2)(2)13x t x x t t tt -==-+---++-3t t+≥t =221x x x -≤=-+2x =∞⎫+⎪⎪⎭22:{|430,(0)}{|3,(0)}p A x x ax a a x a x a a =-+<<=<<<命题或，是的必要不充分条件，∴ ，或，又，故实数的取值范围是．（2）依题意有和是方程的两根，且，则有，解得，即，解得或，即不等式的解集为或.19. 【1】由题意得，且，由，即，所以，故的解集为；由，即，，则，所以.所以的解集为.【2】，[x ]2−m [x ]+4>0恒成立，即，恒成立，2:{|3100}{|5q B x x x x x =+->=<-2}x >q p A B 32a ∴≥5a ≤-0a <a (,5]-∞-12-13-210ax bx --=0a <0112311123a b a a ⎧⎪<⎪⎪⎛⎫-+-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎩65a b =-⎧⎨=⎩20x bx a --≥2560x x -+≥2x ≤3x ≥{2x x ≤}3x ≥[][]1x x x ≤<+[]x ∈Z []5522x -≤≤[]22x -≤≤23x -≤<[]5522x -≤≤{}|23x x -≤<[][]2211150x x -+≤[]()[]()3250x x --≤[]532x ∴≤≤[]3x =34x ≤<[][]2211150x x -+≤{}|34x x ≤<712x ∀≤≤[]13x ≤≤此时712x ∀≤≤[][]4m x x <+又，当且仅当时，即时等号成立.故的最小值为，所以要使[x ]+4[x ]>m 恒成立，则.故的取值范围为.【3】不等式，即，由方程可得或.①若，不等式为，即，所以，显然不符合题意；②若，，由，解得，因为不等式的解集为，所以，解得③若，，由，解得，因为不等式解集为，所以，解得.综上所述， 或.故的范围为.[][]44x x +≥[]2x =23x ≤<[][]4x x +44m <m (),4∞-[][]22210x x a --+≤[]()[]()110x a x a +---≤[]()[]()110x a x a +---=[]1x a =-1a +0a =[][]2210x x -+≤[]1x =01x ≤<0a >11a a -<+[]()[]()110x a x a +---≤[]11a x a -≤≤+[]{}{}{}|11|03|1[]3x a x a x x x x -≤≤+=≤<=-<<110213a a -<-≤⎧⎨≤+<⎩12a ≤<0a <11a a +<-[]()[]()110x a x a +---≤[]11a x a +≤≤-{}{}{}|1[]1|03|1[]3x a x a x x x x +≤≤-=≤<=-<<110213a a -<+≤⎧⎨≤-<⎩21a -<≤-21a -<≤-12a ≤<a (][)2,11,2--⋃。
高一数学期中试卷
金陵中学2005—2006学年高一数学第一学期期中试卷命题：吴祥华 审核：张松年 05．11．2一、选择题1．幂函数n x y =的图象（ ）．A ．一定经过点（0，0）B ．一定经过点1(-，)1-C ．一定经过点1(-，)1D ．一定经过点1(，)12．若全集1{=U ，2，3，}4，集合1{=A ，}2，则满足U B A = 的集合B 有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．当x ≥3-时，化简-+2)3(x 33)3(-x 得（ ）． A ．6 B ．x 2C ．6或x 2-D ．x 2-或6或x 2 4．设10<<a ，则函数()5log +=x y a 的图象不经过（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．若函数x m y )1(-=是R 上的减函数，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．1(，)∞+ B ．0(，)1 C ．-∞(，)1 D ．1(-，)16．已知函数)(x f y =的图象如右图所示，则函数|)(|x f y =的图象为（ ）．7．下列关于函数x y 2log =的结论中，正确的是（ ）．A ．是函数2x y =的反函数B ．图象过点1(，)0C ．图象与直线x y -=无交点D ．定义域为0[，)∞+AB C8．23.0，3.0log 2与3.02的大小关系是（ ）．A ．3.0log 23.023.02<<B ．3.02223.0log 3.0<<C ．23.023.023.0log <<D ．3.02223.03.0log <<9．若函数)(x f 的定义域是1[-，]1，则函数)1(+x f 的定义域是（ ）．A ．1[-，]1B ．0[，]2C ．2[-，]0D ．0[，)2 10．若函数c bx x x f ++=2)(满足)3()1(f f =-，则（ ）． A ．)1()1(->>f c f B ．)1()1(-<<f c fC ．)1()1(f f c >->D ．)1()1(f f c <-<11．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间0[，]m 上的值域是2[，]3，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．1[，)∞+B ．[0，2]C ．-∞(，]2-D ．1[，]212．已知指数函数x a y =在[0，]1上的最大值与最小值的和为3，则实数a 的值为（ ）． A ．41 B ．21C ．2D ．4 二、填空题13．已知集合}02|{2=--=x x x P ，集合x x T <-=1|{≤}2，则集合=T P ．14．若)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(+=x x x f ，则当0<x 时，)(x f = ． 15．若函数)26(log 22+-=x mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ． 16．已知)(x f 与)(x g 是定义在R 上的非奇非偶函数，且)()(x g x f ⋅是定义在R 上的偶函数，试写出满足条件的一组函数：=)(x f ，=)(x g ．（只要写出满足条件的一组即可）三、解答题17．对于集合A ，B ，我们把集合{(a ，b )|A a ∈，B b ∈}记作B A ⨯．例如：=A {1，2}，=B {3，4}，则有=⨯B A {(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}， =⨯A B {(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}， =⨯A A {(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}， =⨯B B {(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}， 据此，试解答下列问题：（1）已知=C {m }，=D {1，2，3}，求D C ⨯； （2）已知=⨯B A {(1，2)，(2，2)}，求集合A ，B ；（3）若A 中有3个元素，B 中有4个元素，试确定B A ⨯有几个元素．18．完成下列填空，并按要求画出函数的简图，不写画法，请保留画图过程中的痕迹，痕迹用虚线表示，最后成图部分用实线表示．（1）函数|32|2--=x x y 的零点是 ，利用函数322--=x x y 的图象，在直角坐标系（1）中画出函数|32|2--=x x y 的图象．（2）函数12||+=x y 的定义域是 ，值域是，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）．利用x y 2=的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数12||+=x y 的图象．)1()2(19．计算：（1）已知0>a 且32=xa ，求xxxx aa a a --++33的值； （2）求1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+的值．20．已知函数1212log )(21+-=x x x f （-∞∈(x ，21()21 -，)∞+）． （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）指出函数)(x f 在区间21(，)∞+上的单调性，并加以证明．21．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数)(x f y =的解析式及定义域； （2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？高一数学期中试卷答题纸一．选择题（涂在答题卡上） 二．填空题13．=T P ．14．当0<x 时，=)(x f ． 15． ． 16．=)(x f ，=)(x g ． 三．解答题 17．18．（1）函数|32|2--=x x y 的零点是 ，利用函数322--=x x y 的图象，在直角坐标系（1）中画出函数|32|2--=x x y 的图象．（2）函数12||+=x y 的定义域是 ，值域是 ，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）．利用x y 2=的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数12||+=x y 的图象．3-O yx11-4-2342311-2-2-4O yx11-22311-2-)2(19．（1）（2）20．21．附加题22．设)(x f 是定义在1[-，]1上的奇函数，且对任意的1[,-∈b a ，]1， 当0≠+b a 时，都有ba b f a f ++)()(＞0．（1）若a ＞b ，试比较)(a f 与)(b f 的大小； （2）解不等式)21(-x f ＜)41(-x f ；（3）如果)()(c x f x g -=和)()(2c x f x h -=这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的取值范围．金陵中学2005—2006学年高一数学第一学期期中试卷命题：吴祥华审核：张松年05．11．2一、选择题1．幂函数n xy=的图象（）．DA．一定经过点（0，0）B．一定经过点)1,1(--C．一定经过点1(-，)1D．一定经过点1(，)12．若全集1{=U，2，3，}4，集合1{=A，}2，则满足UBA=的集合B有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个选D．}4,3{，}4,3,1{，}4,3,2{，}4,3,2,1{．3．当x≥3-时，化简-+2)3(x33)3(-x得（）． AA．6 B．x2C．6或x2-D．x2-或6或x24．设10<<a，则函数()5log+=xya的图象不经过（）． A A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．若函数xmy)1(-=在R上是减函数，则m的取值范围是（）． B A．1(，)∞+C．-∞(，)16．已知函数)(xfy=的图象为（）． B7．下列关于函数xy2log=的结论中正确的是（）． BA．是函数2xy=的反函数B．图象恒过定点1(，)0 C．图象与直线xy-=无交点D．定义域为0[，)∞+8．23.0，3.0log2与3.02的大小关系是（）． DA．3.0log23.023.02<<0 B．3.02223.0log3.0<<C．23.023.023.0log<<D．3.02223.03.0log<<9．若函数)(xf的定义域是1[-，]1，则函数)1(+xf的定义域是（）． C A．1[-，]1B．0[，]2C．2[-，]0D．0[，)210．若二次函数cbxxxf++=2)(，且)3()1(ff=-，则（）．A．)1()1(->>fcf B．)1()1(-<<fcfC．)1()1(ffc>->D．)1()1(ffc<-<解选B．∵)3()1(ff=-，∴函数cbxxxf++=2)(的对称轴是直线1=x，画出)(xf的草图（如图），又∵cf=)0(，)(xf在1[-，]1上递减，故)1()1(-<<fcf，∴选B．B11．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间0[，]m 上的值域是2[，]3则m 的取值范围是（ ）．DA ．1[，)∞+B ．[0，2]C ．-∞(，]2-D ．1[，]2 12．已知指数函数x a y =在[0，]1上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为（ ）．C A ．41 B ．21C ．2D ．4 二、填空题13．已知集合}02|{2=--=x x x P ，集合x x T <-=1|{≤}2，则集合=T P ． }2{．14．若)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(+=x x x f ，则当0<x 时，)(x f = ． )1()(x x x f -=15．若函数)26(log 22+-=x mx y 的定义域为R ，则m 的取值范围是 ． (∈m ),29+∞． 16．已知)(x f 与)(x g 是定义在R 上的非奇非偶函数，且)()(x g x f ⋅是定义在R 上的偶函数，写出满足条件的一组函数：=)(x f ，=)(x g ． 1)(+=x x f ，1)(-=x x g （答案不惟一） 三、解答题17．对于集合A ，B ，我们把集合{(a ，b )|A a ∈，B b ∈}记作B A ⨯．例如：=A {1，2}，=B {3，4}，则有=⨯B A {(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}， =⨯A B {(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}， =⨯A A {(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}， =⨯B B {(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}， 据此，试解答下列问题：（1）已知=C {m }，=D {1，2，3}，求D C ⨯； （2）已知=⨯B A {(1，2)，(2，2)}，求集合A ，B ；（3）若A 中有3个元素，B 中有4个元素，试确定B A ⨯有几个元素． 解：（1）由题知=⨯D C {(m ，1)，(m ，2)，(m ，3)}．（2）因为=⨯B A {(1，2)，(2，2)}，所以A 中有元素1，2，B 中含有元素2，即=A {1，2}，=B {2}． （3）B A ⨯中含有12个元素．18．完成下列填空，并按要求画出函数的简图，不写画法，请保留画图过程中的痕迹，痕迹用虚线表示，最后成图部分用实线表示．（1）函数|32|2--=x x y 的零点是 ，利用函数322--=x x y 的图象，在直角坐标系（1）中画出函数|32|2--=x x y 的图象．（2）函数12||+=x y 的定义域是 ，值域是 ，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）．利用x y 2=的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数12||+=x y 的图象．19．计算：（1）已知0>a ，32=xa ，求xx xx a a a a --++33的值；（2）求1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+的值．解：（1）原式x x x x x x a a a a a a ---++-+=)1)((221122-+=xxa a 371313=-+=． （2）原式10lg )1(10lg 215lg 2lg 5lg 2lg 33-⨯--+=21)5lg 2(lg 2-+=10lg 4-=4-=． 20．已知函数1212log )(21+-=x x x f （-∞∈(x ，21()21 -，)∞+）．（1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）指出函数)(x f 在区间21(，)∞+上的单调性，并加以证明． 解 （1）因为1212log )(21+---=-x x x f 1212log 21-+=x x 1211212log -⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x )(x f -=，所以函数)(x f 是奇函数．（3）设1212)(+-=x x x g 1221+-=x ． 设21x x m <<-，则)()(21x g x g -)12)(12(42112++-⋅-=x x x x ，因为0<m ，2121x x <<，所以012>-x x ，0121>+x ，0122>+x ， 所以0)12)(12(42112<++-⋅-x x x x ，即)()(21x g x g <，因为x y 21log =是减函数，所以)(log )(log 221121x g x g >，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在21(，)∞+上是减函数．21．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数)(x f y =的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ 解：（1）当x ≤6时，11550-=x y ，令011550>-x ，解得3.2>x ．∵∈x N ，∴x ≥3，∴3≤x ≤6，且∈x N ．当x <6≤20时，115)]6(350[---=x x y 1156832-+-=x x ．综上可知⎩⎨⎧∈≤<-+-∈≤≤-=).,206(,115683),,63(,115502N N x x x x x x x y （2）当3≤x ≤6，且∈x N 时，∵11550-=x y 是增函数，∴当6=x 时，185max =y 元．当x <6≤20，∈x N 时，1156832-+-=x x y 3811)334(32+--=x ， ∴当11=时，270max =y 元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元． 附加题22．设)(x f 是定义在1[-，]1上的奇函数，且对任意的1[,-∈b a ，]1，当0≠+b a 时，都有ba b f a f ++)()(＞0． （1）若a ＞b ，试比较)(a f 与)(b f 的大小；（2）解不等式)21(-x f ＜)41(-x f ； （3）如果)()(c x f x g -=和)()(2c x f x h -=这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的取值范围．解：设1-≤1x ＜2x ≤1，由奇函数的定义和题设条件，得)()()()()()()()(1212121212x x x x x f x f x f x f x f x f --+-+=-+=-＞0， ∴)(x f 在]1,1[-上是增函数．∵∈b a ,]1,1[-，a ＞b ，∴)(a f ＞)(b f ．（2）∵)(x f 是]1,1[-上的增函数，∴不等式)21(-x f ＜)41(-x f 等价于 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-,4121,1411,1211x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--<--≤-⇔,141,4121,211x x x x ∴原不等式的解集是}4521|{≤≤-x x ． （3）设函数)(),(x h x g 的定义域分别是P 和Q ，则1|{-=x P ≤c x -≤}11|-=c x ≤x ≤}1+c ，1|{-=x Q ≤2c x -≤}11|{2-=c x ≤x ≤}12+c ． 于是=Q P φ的充要条件是1+c ＜12-c 或12+c ＜1-c ．解得c 的取值范围是-∞(，2()1 -，)+∞．。
江苏省南京市金陵中学2021至2022学年高三上学期期中检测数学试卷
2022届高三第一学期数学学科期中检测考试时间：120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰•韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”．韦恩用图1中的四块区域Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ分别表示下列四个集合：AB ，()U A B ∩，()U A B ⋂，()()U U A B ⋂，则图2中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．ABC ⋂⋂B ．()U A BC ⋂⋂ C ．()U A B C ⋂⋂D ．()U A B C ⋂⋂2．在复平面内，复数z 的对应点为()1,1-，则2z =（ ）AB ．C ．2i -D ． 2i3．已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ． a ⃗+2b ⃗⃗ B ．2a ⃗+b ⃗⃗ C ． 2a ⃗−b⃗⃗ D ．a ⃗−2b⃗⃗ 4．著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1C θ︒，空气温度为0C θ︒，则t 分钟后物体的温度θ（单位：C ︒）满足：()010kte θθθθ-=+-.若常数0.05k =，空气温度为30C ︒，某物体的温度从90C ︒下降到50C ︒，大约需要的时间为（ ）（参考数据：ln 3≈1.1） A ．16分钟B ．18分钟C ．20分钟D ．22分钟5．已知函数()1sin 1sin f x x x=++，定义域为R 的函数()g x 满足()()2g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则()61i i i x y =+=∑（ ） A ．0B ．6C ．12D ．246．在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC ，AB AC =2BC =，点G 为三角形ABC 的重心，若四面体ABCD 的外接球的表面积为2449π，则tan AGD ∠=（ ）A ．12B ．2C D 7．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左，右焦点，点P 在C 上，若123F PF π∠=，且||2OP a =(O 为坐标原点)，则C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±8．设2021ln2019a =，2020ln2020b =，2019ln2021c =，则（ ） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩()~70,100X N ，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-≤<+=，()220.9544P X μσμσ-≤<+=.A ．该校学生体育成绩的方差为10B ．该校学生体育成绩的期望为70C ．该校学生体育成绩的及格率不到85%D ．该校学生体育成绩的优秀率超过4%10．等差数列{}n a 中，11a =，公差[]1,2d ∈，且391515a a a λ++=，则实数λ的可能取值为（ ）A ．13-B ．1917-C ．32-D ．2-11．设0x >，,x y R ∈，则（ ） A ．“x y >”⇒“||x y >” B ．“x y <”⇒“x y <” C ．“x y ≥”⇒“x y x y +≥+”D ．“x y >”⇒“x y x y +≥+”12．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形224x y +=.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题: A 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； B 当32a =-时，直线2y ax a =+与白色部分有公共点；C 黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点(),x y ，则x y +1；D 若点()0,1P ，MN 为圆224x y +=过点P 的直径，线段AB 是圆224x y +=所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为12. 其中所有正确结论的序号是（ ）三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．在5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式中，若含2x -项的系数为40-，则正实数a =___________ 14．已知幂函数()233my m m x =--在()0,∞+上单调递减，则m =___________.15．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底而直径和高均为10cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为___________.（精确到0. 01cm ）.16．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =，以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为123,,O O O ，若三角形123O O O ABC 的周长最小值为___________四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）三角测量法是在地面上选定一系列的点，并构成相互连接的三角形，由已知的点观察各方向的水平角，再测定起始边长，以此边长为基线，即可推算各点坐标的一种测量方法.在实际测量中遇到高大障碍物的测量，需要跨越时的测量，无法得到平距的测量都需要用到三角测量法.如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图△ABC ，由于实际情况，Rt △ABC （∠ACB =2π）的边和角无法测量，以下为可测量数据：①BD =2；②CD ；③∠BDC =6π；④∠BCD =4π.以上可测量数据中至少需要几个可以推算出Rt △ABC 的面积？请选择一组并写出推算过程.注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个作答计分.18．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a ，满足()22*1120,n n n n a a a a n N ++--=∈且1 2.a =（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设12n n n b a log a =⋅，若n b 的前n 项和为n S ，求n S19．（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到2×2列联表如下∶（1）将上2×2列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X ，求X 的分布列及期望.（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n =a +b +c +d ）20．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90ABC ∠=︒，2PA =，AC =（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（2）若二面角P BC A --的大小为45︒，过点A 作AN PC ⊥于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小． 21．（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，双曲线C 的右顶点A 在圆22:2O x y +=上，且122AF AF →→⋅=-. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M ､N ，问(OMN O 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.22．（12分）已知函数()()2x xf x ae x e =-.（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若对于任意的R x ∈，()10f x a+≤恒成立，求a 的最小值.数学期中测试参考答案17．解：至少需要3个可测量数据. 选择组合一：①③④或②③④ 在BCD △中，因为sin sin sin BC BD CDBDC BCD CBD==∠∠∠，所以BC =因为tan tan 2642ABC ACB πππ⎛⎫∠=+=∠= ⎪⎝⎭，所以tan AC BC ABC =⋅∠=故122ABCSAC BC =⋅= 选择组合二：①②③在BCD △中，因为2222cos 2BC BD CD BD CD BDC ∠=+-⋅⋅=，所以BC =结合正弦定理sin sin sin BC BD CD BDC BCD CBD ==∠∠∠，可求得7,412BCD CBD ππ∠=∠=.因为7tan tan 2122ABC ACB πππ⎛⎫∠=-=∠= ⎪⎝⎭，所以AC =故122ABCSAC BC =⋅= 选择组合三：①②④ 在BCD △中，因为sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，所以sin CBD ∠=. 因为CBD ∠为钝角，所以712CBD π∠=.因为7tan tan 2122ABC ACB πππ⎛⎫∠=-=∠= ⎪⎝⎭，所以AC =故122ABCSAC BC =⋅= 18．（1）2n n a =；（2）()1122n n +-⋅-.19．（1）根据所给数据得到如下2×2列联表Ⅰ根据公式可得22100(40401010)36 2.70650505050K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄有关.（2）根据分层抽样知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，则X 的可能为1，2，3，12823108(1)120C C P X C ===211231056(2),120C C P X C ===3831056(3)120C P X C ===其分布列为()1231201201205E X =⨯+⨯+⨯= 20．（1）因为PA ⊥底面ABC ，所以PA BC ⊥， 又90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥，又PA ，AB 为平面PAB 内的两条相交直线， 所以BC ⊥平面PAB ， 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PAB ；（2）解法一：由（1）可知，ABP ∠为二面角P BC A --的平面角，所以45ABP ∠=︒， 又2PA =，AC =90ABC ∠=︒，所以2AB BC ==，过点A 作AM PB ⊥于M ，则AM ⊥平面PBC 且M 为PB 中点，连接MN ， 则ANM ∠为直线AN 与平面PBC 所成的角， 在Rt ANM △中，AM =AN =所以sin AM ANM AN ∠==故60ANM ∠=︒，所以直线AN 与平面PBC 所成的角为60°． 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，可得()0,0,0B ，()2,0,0A ，()2,0,2P ，()0,2,0C ，设(),,N x y z ，PN PC λ=（01λ<<），则22x λ=-，2y λ=，22z λ=-， 因为AN PC ⊥，()2,,AN x y z =-，()2,2,2PC =--， 所以()22220x y z --+-=，解得13λ=，所以424,,333N ⎛⎫⎪⎝⎭，故224,,333AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(),,a x y z =，因为()0,2,0BC =，()2,0,2BP =， 由00a BC a BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20220y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1z =-，所以()1,0,1a =-为平面PBC 的一个法向量，所以24cos ,a AN --==，故直线AN 与平面PBC所以直线AN 与平面PBC 所成的角为60°．21．解：（1）设双曲线C 的半焦距为c ，由点(,0)A a 在圆22:2O x y +=上，得a =由221((2c c c AF AF →→⋅=-⋅=-=-2，得2c =，所以2222b a c =-=，所以双曲线C 的标准方程为22122x y -=. （2）设直线l 与x 轴相交于点D ，双曲线C 的渐近线方程为y x =±当直线l 的斜率在存在时，直线l为|x OD =|MN ==1||||2OMN S MN OD =⋅=2 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，显然0k ≠，则,0m D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭把直线l 的方程与22:2C x y -=联立得()221k x -2220,kmx m +++=由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别相交可知直线l 与双曲线的渐近线不平行，所以210k -≠，且0m ≠，于是得()()22222Δ4412010k m k m k ⎧=--+=⎪⎨-≠⎪⎩, 得()22210m k =->，得1k >或1k <-,设()()1122,,,M x y N x y ,由y kx m y x =+⎧⎨=⎩，得11m y k =-, 同理得21m y k=+,所以121||2OMN S OD y y =-221 2.2111m m m m k k k k =-==-+- 综上，OMN 的面积恒为定值2.22．解：（1）因为0a =，所以()x f x xe =-，()()1x f x x e '=-+.令()0f x '=，得1x =-.当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>；当()1,x ∈-+∞时，()0f x '<.故()f x 的单调速增区间是(),1-∞-，单调递减区间是()1,-+∞.（2）()()()24114x x x x f x ae x e e x ae '=-+=-+-.因为R x ∀∈，()10f x a+≤， 又()02f a =，所以120a a +≤，则0a <. 令()14x g x x ae =+-，则()g x 在R 上单调递增.因为当0x <时，()14g x x a <+-，所以()4141140g a a a -<-+-=.因为()1140g ae --=->，所以()041,1x a ∃∈--，使得()00g x =.且当()0,x x ∈-∞时，()0g x <，则()0f x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，则()0f x '<， 所以()f x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.故()()00200max 2x x f x f x ae x e ==-.由()000140x g x x ae =+-=，得0014x x a e +=. 由()max 10f x a+≤，得0000200014e e e 2e 1x x x x x x x +-⋅≥+， 即001421x x -≥+. 结合010x +<，得2018x -≤，所以031x -≤<-.令()()1314x x h x x e +=-≤<.则()04x x h x e -'=>， 所以()h x 在[3,1)--上单调递增，所以()()332e h x h -≥-=，即32e a ≥-. 故a 的最小值为32e -.。
江苏省南京市金陵中学、海安高级中学2024-2025学年高一上学期期中学业质量监测数学试题
江苏省南京市金陵中学、海安高级中学2024-2025学年高一上学期期中学业质量监测数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0A =-，{}0,1B =，则A B = （）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．已知1a <=（）A ．－1B ．1C ．21a -D ．12a-3．已知函数()21f x x +=，则()1f -=（）A ．0B ．1C ．2D ．44．命题“0x ∀≥，20x ≥”的否定为（）A ．0x ∃≥，20x <B ．0x ∃<，20x ≥C ．0x ∀<，20x ≥D ．0x ∀≥，20x <5．已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“220a b +=”的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6．已知0m n <<，则（）A ．22m n <B ．2m mn<C ．33m n <D ．11m n --<7．已知9log 4a =，15log 10b =，23c =，则（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．c b a<<8．定义：{}min ,a b 表示a 、b 中的较小者．若函数(){}2min 12,11y x x =----在区间[],m n 上的取值范围为[]1,0-，则n m -的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．甲、乙、丙、丁四位同学均完成了1道选项为A 、B 、C 、D 的单选题，他们的对话如下：甲：我选的A ；乙：我选的B ；丙：我选的C ；丁：我选的不是C ．已知这四位同学选的选项各不相同，且只有一位同学说了谎，则说谎的同学可能是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，下列结论正确的是（）注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值A ．若()f x ，()g x 均为增函数，则()()y f x g x =+也为增函数B ．若()f x ，()g x 均为减函数，则()()y f x g x =也为减函数C ．若()f x ，()g x 均存在零点，则()()y f x g x =也存在零点D ．若()f x ，()g x 均存在零点，则()()y f x g x =+也存在零点11．设x ，y 为正数，且log log 22log (034a a ax yx y a ++=>且1)a ≠，则（）A ．22y x x y+的最小值是2B ．xy 的最大值是8116C ．2x y +的最大值是92D ．224x y +的最大值是818三、填空题12．函数y =的定义域为.13．已知23a=，2log 5b =，则15log 8=（用a 、b 表示）四、单选题14．已知0a >，关于x 的不等式260x ax -+≤的解集中有且仅有3个整数1n -，n ，1n +，则n =，a 的取值范围为．五、解答题15．已知全集U =R ，集合{}27100A x x x =-+<，{}11B x m x m =-<<+．(1)当3m =时，求()R A B ð；(2)若A B B = ，求m 的取值范围．16．已知a ∈R ，命题:1p x ∀>，121a x x -≤+-，命题:0q x ∃≥，2210x x a -+-=．(1)若p 为真命题，求a 的最小值；(2)若p 和q 恰好一真一假，求a 的取值范围.17．已知A 、B 为东西方向的海岸线上相距12km 的两地（B 在A 的东侧），C 是A 、B 之间距A 地3km 处的一地，在C 地正南方向3km 处有一海岛P ，由海岛P 开往海岸的小船以10km /h 的速度按直线方向航行.(1)某人在海岛P 上乘小船在距C 地正东方向4km 处的D 地登岸，登岸后以5km /h 的速度向东步行到B 地，求此人从海岛P 到达B 地的时间；(2)一快递员以km /h v 的速度从A 地向B 地骑行，同时某人乘小船从海岛P 向海岸出发，两人恰好相遇于C 、B 之间的E 地，且距C 地()km 09x x <<，求快递员的速度v 的最大值．18．已知函数()p x =，(21)q x x=-．(1)是否存在x ∈R ，使得(())0p q x =请说明理由；(2)设函数1()()(2f x p x q x =--，判断并证明()f x 在区间1(,)4+∞上的单调性；(3)设函数1(),1()4()2,12p x x g x q x x ⎧<<⎪=⎨⎪+≤<⎩证明：121(,2)4,x x ∀∈，且12x x ≠，1212|()()|||g x g x x x -<-．注：函数1y x x=+在[1,)+∞上单调递增．19．我们知道，任何一个正实数x 都可以表示成10(110,)n x a a n =⨯≤<∈Z ．当0n ≥时，记x 的整数部分的位数为()10n f a ⨯，例如()1.02102f ⨯=；当0n <时，记x 的非有效数字的个数为()10n f a ⨯，例如()21.02102f -⨯=．(1)求()21.0210f ⨯，()11.0210f -⨯，并写出()10nf a ⨯的表达式（不必写出过程）；(2)若1002x =，且取lg20.301=，求,n a 以及()10nf a ⨯；(3)已知*k ∈N ，猜想：()2kf 与()2k f -的大小关系，并证明你的结论．。
江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题及解析
金陵中学2023-2024学年第二学期高一年级期中测试数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1下列几何体中,棱数最多的为()A.五棱锥B.三棱台C.三棱柱D.四棱锥【答案】A2设z =2+4i1-3i(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z =()A.-1+iB.-1-iC.1-iD.1+i【答案】B 【解析】z =2+4i 1-3i =2+4i 1+3i 1-3i 1+3i=-10+10i10=-1+i,故z =-1-i.3△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =x ,b =3,A =π4,该三角形有两个解,则实数x 的取值范围为()A.3,6B.2,23C.62,3 D.62,3【答案】D【解析】由正弦定理x π4sin =3B sin ,可得B sin =62x ，即y =62x与y =sinB ,θ∈0,3π4有两个交点,则a 的取值范围是22<62x<1,即62<x <3,所以x 的取值范围是62,3.4已知a =3,-1 ,单位向量c 与b =2,1 同向共线,则c 在a方向上的投影向量为()A.-3510,510B.3510,-510C.-22,322D.322,-22【答案】B【解析】由已知得c =bb=255,55 ,则c 在a 方向上的投影向量为=a ⋅ca2a =3510,-510 .5已知M =sin 100°-cos 100°,N =2sin44°cos12°+sin46°sin12° ,P =121+tan22° 1+tan23° ,那么M ,N ,P 之间的大小顺序为()A.M <N <P B.P <M <NC.N <M <PD.P <N <M【答案】B【解析】M =sin100°-cos100°=2sin100°×22-cos100°×22=2sin 100°-45° =2sin55°>2sin45°=1,N =2sin44°cos12°+cos44°sin12° =2sin 44°+12° =2sin56°>2sin55°=M ,又tan 22°+23° =tan22°+tan23°1-tan22°tan23°=1,即tan22°+tan23°+tan22°tan23°=1,所以Q =121+tan22° 1+tan23° =121+tan22°+tan23°+tan22°tan23° =1,所以P <M <N .6已知θ∈0,π4 ,且cos2θ=53,则tan θ=()A.3-52B.3-54C.55D.5【答案】A【解析】(方法一)由cos2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=53,所以3-3tan 2θ=5+5tan 2θ,则tan 2θ=3-53+5=3-5 24,由θ∈0,π4 ,则tan θ=3-52.(方法二)因为θ∈0,π4 ),所以2θ∈0,π2 ,sin2θ=1-cos 22θ=23,所以tan θ=1-cos2θsin2θ=1-5323=3-52.(方法三)因为cos2θ=cos 2θ-sin 2θ=53,且cos 2θ+sin 2θ=1,所以cos 2θ=121+53 ,sin 2θ=121-53 ,所以tan 2θ=sin 2θcos 2θ=3-53+5=6-256+25=5-15+12,由θ∈0,π4,则tan θ∈0,1 ,所以tan θ=5-15+1=3-52.7十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域,主要用于测量太阳等星体的方位,便于船员确定位置,如图1所示,十字测天仪由杆AB和横档CD构成,并且E是CD的中点,横档与杆垂直并且可在杆上滑动,十字测天仪的使用方法如下:如图2,手持十字测天仪,使得眼睛可以从A点观察,滑动横档CD使得A,C在同一水平面上,并且眼睛恰好能观察到太阳,此时视线恰好经过点D,DE的影子恰好是AE.然后,通过测量AE的长度,可计算出视线和水平面的夹角∠CAD(称为太阳高度角),最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.若在一次测量中,AE=60,横档CD的长度为40,则太阳高度角的正弦值为()A.45B.35C.13D.34【答案】B【解析】由题意知AE垂直平分CD,故CE=12CD=20,在Rt△AEC中,AE=60,则AC=AE2+CE2=602+202=2010,则sin∠CAE=CEAC=1010,cos∠CAE=AEAC=31010,而∠CAD=2∠CAE,故sin∠CAD=2sin∠CAE cos∠CAE=2×1010×31010=35,即太阳高度角的正弦值为3 5 .8△ABC中,BC=2,AC=23,∠ACB=90°,D为线段CB的中点,点E,F分别在线段BA,AC上.若△DEF为正三角形,则△DEF的面积为()A.3316B.338C.7316D.3328【答案】C【解析】在△ABC中,BC=2,AC=23,∠ACB=90°,设∠CDF=θ,则∠BDE=120°-θ,在△DCF中,因为CD=12CB=1,∠DCF=90°在△DEB中,∠EBD=60°,∠DEB=θ,则BDsinθ=EDsin60°,ABC DEFθ所以ED =32sin θ=32sin θ,由题,△DEF 为正三角形,所以DF =DE ,即:1cos θ=32sin θ,所以tan θ=32,所以cos θ=27,所以DF =1cos θ=72,从而△DEF 的面积为S △DEF =34DF 2=34722=7316.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
江苏省金陵中学2020学年第一学期高一数学期中考试卷 苏教版
江苏省金陵中学2020学年第一学期高一数学期中考试卷一、选择题1．幂函数n x y =的图象（ ）．A ．一定经过点（0，0）B ．一定经过点1(-，)1-C ．一定经过点1(-，)1D ．一定经过点1(，)12．若全集1{=U ，2，3，}4，集合1{=A ，}2，则满足U B A =Y 的集合B 有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．当x ≥3-时，化简-+2)3(x 33)3(-x 得（ ）．A ．6B ．x 2C ．6或x 2-D ．x 2-或6或x 24．设10<<a ，则函数()5log +=x y a 的图象不经过（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若函数x m y )1(-=是R 上的减函数，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．1(，)∞+B ．0(，)1C ．-∞(，)1D ．1(-，)1 6．已知函数)(x f y =的图象如右图所示，则函数 |)(|x f y =的图象为（ ）． 7．下列关于函数x y 2log =的结论中，正确的是（ ）．A ．是函数2x y =的反函数B ．图象过点1(，)0C ．图象与直线x y -=无交点D ．定义域为0[，)∞+8．23.0，3.0log 2与3.02的大小关系是（ ）．A ．3.0log 23.023.02<<B ．3.02223.0log 3.0<<C ．23.023.023.0log <<D ．3.02223.03.0log << A B C9．若函数)(x f 的定义域是1[-，]1，则函数)1(+x f 的定义域是（ ）．A ．1[-，]1B ．0[，]2C ．2[-，]0D ．0[，)210．若函数c bx x x f ++=2)(满足)3()1(f f =-，则（ ）．A ．)1()1(->>f c fB ．)1()1(-<<f c fC ．)1()1(f f c >->D ．)1()1(f f c <-<11．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间0[，]m 上的值域是2[，]3，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．1[，)∞+B ．[0，2]C ．-∞(，]2-D ．1[，]212．已知指数函数x a y =在[0，]1上的最大值与最小值的和为3，则实数a 的值为（ ）．A ．41B ．21 C ．2 D ．4 二、填空题13．已知集合}02|{2=--=x x x P ，集合x x T <-=1|{≤}2，则集合=T P I ．14．若)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(+=x x x f ，则当0<x 时，)(x f = ．15．若函数)26(log 22+-=x mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．16．已知)(x f 与)(x g 是定义在R 上的非奇非偶函数，且)()(x g x f ⋅是定义在R 上的偶函数，试写出满足条件的一组函数：=)(x f ，=)(x g ．（只要写出满足条件的一组即可） 三、解答题17．对于集合A ，B ，我们把集合{(a ，b )|A a ∈，B b ∈}记作B A ⨯．例如：=A {1，2}，=B {3，4}，则有=⨯B A {(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，=⨯A B {(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，=⨯A A {(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，=⨯B B {(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，据此，试解答下列问题：（1）已知=C {m }，=D {1，2，3}，求D C ⨯；（2）已知=⨯B A {(1，2)，(2，2)}，求集合A ，B ；（3）若A 中有3个元素，B 中有4个元素，试确定B A ⨯有几个元素．18．完成下列填空，并按要求画出函数的简图，不写画法，请保留画图过程中的痕迹，痕迹用虚线表示，最后成图部分用实线表示．（1）函数|32|2--=x x y 的零点是 ，利用函数322--=x x y 的图象，在直角坐标系（1）中画出函数|32|2--=x x y 的图象．（2）函数12||+=x y 的定义域是 ，值域是 ，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）．利用x y 2=的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数12||+=x y 的图象．19．计算：（1）已知0>a 且32=x a，求x x x x a a a a --++33的值； （2）求1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+的值．20．已知函数1212log )(21+-=x x x f （-∞∈(x ，21()21Y -，)∞+）． )2(（1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）指出函数)(x f 在区间21(，)∞+上的单调性，并加以证明．21．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数)(x f y =的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？附加题22．设)(x f 是定义在1[-，]1上的奇函数，且对任意的1[,-∈b a ，]1， 当0≠+b a 时，都有ba b f a f ++)()(＞0． （1）若a ＞b ，试比较)(a f 与)(b f 的大小；（2）解不等式)21(-x f ＜)41(-x f ；（3）如果)()(c x f x g -=和)()(2c x f x h -=这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的取值范围．[参考答案]一、选择题1．幂函数n xy=的图象（）．DA．一定经过点（0，0） B．一定经过点)1,1(--C．一定经过点1(-，)1 D．一定经过点1(，)12．若全集1{=U，2，3，}4，集合1{=A，}2，则满足UBA=Y的集合B有（）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个选D．}4,3{，}4,3,1{，}4,3,2{，}4,3,2,1{．3．当x≥3-时，化简-+2)3(x33)3(-x得（）． AA．6 B．x2C．6或x2- D．x2-或6或x24．设10<<a，则函数()5log+=xya的图象不经过（）． A A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若函数xmy)1(-=在R上是减函数，则m的取值范围是（）． B A．1(，)∞+ BC．-∞(，)1 D6．已知函数)(xfy=的图象为（）． B7．下列关于函数xy2log=的结论中正确的是（）． BA．是函数2xy=的反函数 B．图象恒过定点1(，)0 C．图象与直线xy-=无交点 D．定义域为0[，)∞+8．23.0，3.0log2与3.02的大小关系是（）． DA．3.0log23.023.02<<0 B．3.02223.0log3.0<<C．23.023.023.0log<< D．3.02223.03.0log<<9．若函数)(xf的定义域是1[-，]1，则函数)1(+xf的定义域是（）． CA．1[-，]1 B．0[，]2 C．2[-，]0 D．0[，)210．若二次函数cbxxxf++=2)(，且)3()1(ff=-，则（）．A．)1()1(->>fcf B．)1()1(-<<fcfC．)1()1(ffc>-> D．)1()1(ffc<-<解选B．∵)3()1(ff=-，∴函数cbxxxf++=2)(的对称轴是直线1=x，画出)(xf的草图（如图），又∵cf=)0(，)(xfA B在1[-，]1上递减，故)1()1(-<<f c f ，∴选B ．11．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间0[，]m 上的值域是2[，]3则m 的取值范围是（ ）．DA ．1[，)∞+B ．[0，2]C ．-∞(，]2-D ．1[，]212．已知指数函数x a y =在[0，]1上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为（ ）．C A ．41 B ．21 C ．2 D ．4 二、填空题13．已知集合}02|{2=--=x x x P ，集合x x T <-=1|{≤}2，则集合=T P I ． }2{．14．若)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(+=x x x f ，则当0<x 时， )(x f = ． )1()(x x x f -= 15．若函数)26(log 22+-=x mx y 的定义域为R ，则m 的取值范围是 ． (∈m ),29+∞． 16．已知)(x f 与)(x g 是定义在R 上的非奇非偶函数，且)()(x g x f ⋅是定义在R 上的偶函数，写出满足条件的一组函数：=)(x f ，=)(x g ． 1)(+=x x f ，1)(-=x x g （答案不惟一）三、解答题17．对于集合A ，B ，我们把集合{(a ，b )|A a ∈，B b ∈}记作B A ⨯．例如：=A {1，2}，=B {3，4}，则有=⨯B A {(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，=⨯A B {(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，=⨯A A {(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，=⨯B B {(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，据此，试解答下列问题：（1）已知=C {m }，=D {1，2，3}，求D C ⨯；（2）已知=⨯B A {(1，2)，(2，2)}，求集合A ，B ；（3）若A 中有3个元素，B 中有4个元素，试确定B A ⨯有几个元素．解：（1）由题知=⨯D C {(m ，1)，(m ，2)，(m ，3)}．（2）因为=⨯B A {(1，2)，(2，2)}，所以A 中有元素1，2，B 中含有元素2，即=A {1，2}，=B {2}．（3）B A ⨯中含有12个元素．18．完成下列填空，并按要求画出函数的简图，不写画法，请保留画图过程中的痕迹，痕迹用虚线表示，最后成图部分用实线表示．（1）函数|32|2--=x x y 的零点是 ，利用函数322--=x x y 的图象，在直角坐标系（1）中画出函数|32|2--=x x y 的图象．（2）函数12||+=x y 的定义域是 ，值域是 ，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）．利用x y 2=的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数12||+=x y 的图象．19．计算：（1）已知0>a ，32=xa ，求xx xx a a a a --++33的值； （2）求1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+的值． 解：（1）原式x x x x x x a a a a a a ---++-+=)1)((221122-+=xx a a 371313=-+=． （2）原式10lg )1(10lg 215lg 2lg 5lg 2lg 33-⨯--+=21)5lg 2(lg 2-+=10lg 4-=4-=． 20．已知函数1212log )(21+-=x x x f （-∞∈(x ，21()21Y -，)∞+）． （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）指出函数)(x f 在区间21(，)∞+上的单调性，并加以证明．解 （1）因为1212log )(21+---=-x x x f 1212log 21-+=x x 1211212log -⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x )(x f -=， 所以函数)(x f 是奇函数．（3）设1212)(+-=x x x g 1221+-=x ． 设21x x m <<-，则)()(21x g x g -)12)(12(42112++-⋅-=x x x x ， 因为0<m ，2121x x <<，所以012>-x x ，0121>+x ，0122>+x ， 所以0)12)(12(42112<++-⋅-x x x x ，即)()(21x g x g <， 因为x y 21log =是减函数，所以)(log )(log 221121x g x g >，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在21(，)∞+上是减函数．21．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数)(x f y =的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？解：（1）当x ≤6时，11550-=x y ，令011550>-x ，解得3.2>x ．∵∈x N ，∴x ≥3，∴3≤x ≤6，且∈x N ．当x <6≤20时，115)]6(350[---=x x y 1156832-+-=x x ．综上可知⎩⎨⎧∈≤<-+-∈≤≤-=).,206(,115683),,63(,115502N N x x x x x x x y （2）当3≤x ≤6，且∈x N 时，∵11550-=x y 是增函数，∴当6=x 时，185max =y 元．当x <6≤20，∈x N 时，1156832-+-=x x y 3811)334(32+--=x ， ∴当11=时，270max =y 元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元． 附加题22．设)(x f 是定义在1[-，]1上的奇函数，且对任意的1[,-∈b a ，]1，当0≠+b a 时，都有ba b f a f ++)()(＞0． （1）若a ＞b ，试比较)(a f 与)(b f 的大小；（2）解不等式)21(-x f ＜)41(-x f ； （3）如果)()(c x f x g -=和)()(2c x f x h -=这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的取值范围．解：设1-≤1x ＜2x ≤1，由奇函数的定义和题设条件，得)()()()()()()()(1212121212x x x x x f x f x f x f x f x f --+-+=-+=-＞0， ∴)(x f 在]1,1[-上是增函数．∵∈b a ,]1,1[-，a ＞b ，∴)(a f ＞)(b f ．（2）∵)(x f 是]1,1[-上的增函数，∴不等式)21(-x f ＜)41(-x f 等价于 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-,4121,1411,1211x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--<--≤-⇔,141,4121,211x x x x ∴原不等式的解集是}4521|{≤≤-x x ．（3）设函数)(),(x h x g 的定义域分别是P 和Q ，则1|{-=x P ≤c x -≤}11|-=c x ≤x ≤}1+c ， 1|{-=x Q ≤2c x -≤}11|{2-=c x ≤x ≤}12+c ．于是=Q P I φ的充要条件是1+c ＜12-c 或12+c ＜1-c ．解得c 的取值范围是-∞(，2()1Y -，)+∞．。
高一数学期中试卷 - 金陵中学
金陵中学2005—2006学年高一数学第一学期期中试卷命题：吴祥华 审核：张松年 05．11．2一、选择题1．幂函数n x y =的图象（ ）．A ．一定经过点（0，0）B ．一定经过点1(-，)1-C ．一定经过点1(-，)1D ．一定经过点1(，)12．若全集1{=U ，2，3，}4，集合1{=A ，}2，则满足U B A = 的集合B 有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．当x ≥3-时，化简-+2)3(x 33)3(-x 得（ ）． A ．6 B ．x 2C ．6或x 2-D ．x 2-或6或x 2 4．设10<<a ，则函数()5log +=x y a 的图象不经过（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．若函数x m y )1(-=是R 上的减函数，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．1(，)∞+ B ．0(，)1 C ．-∞(，)1 D ．1(-，)16．已知函数)(x f y =的图象如右图所示，则函数|)(|x f y =的图象为（ ）．7．下列关于函数x y 2log =的结论中，正确的是（ ）．A ．是函数2x y =的反函数B ．图象过点1(，)0C ．图象与直线x y -=无交点D ．定义域为0[，)∞+8．23.0，3.0log 2与3.02的大小关系是（ ）．A ．3.0log 23.023.02<<B ．3.02223.0log 3.0<<C ．23.023.023.0log <<D ．3.02223.03.0log <<9．若函数)(x f 的定义域是1[-，]1，则函数)1(+x f 的定义域是（ ）．A ．1[-，]1B ．0[，]2C ．2[-，]0D ．0[，)2ABC10．若函数c bx x x f ++=2)(满足)3()1(f f =-，则（ ）． A ．)1()1(->>f c f B ．)1()1(-<<f c fC ．)1()1(f f c >->D ．)1()1(f f c <-<11．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间0[，]m 上的值域是2[，]3，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．1[，)∞+ B ．[0，2]C ．-∞(，]2-D ．1[，]212．已知指数函数x a y =在[0，]1上的最大值与最小值的和为3，则实数a 的值为（ ）． A ．41 B ．21C ．2D ．4 二、填空题13．已知集合}02|{2=--=x x x P ，集合x x T <-=1|{≤}2，则集合=T P ． 14．若)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(+=x x x f ，则当0<x 时，)(x f = ． 15．若函数)26(log 22+-=x mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．16．已知)(x f 与)(x g 是定义在R 上的非奇非偶函数，且)()(x g x f ⋅是定义在R 上的偶函数，试写出满足条件的一组函数：=)(x f ，=)(x g ．（只要写出满足条件的一组即可）三、解答题17．对于集合A ，B ，我们把集合{(a ，b )|A a ∈，B b ∈}记作B A ⨯．例如：=A {1，2}，=B {3，4}，则有=⨯B A {(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}， =⨯A B {(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}， =⨯A A {(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}， =⨯B B {(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}， 据此，试解答下列问题：（1）已知=C {m }，=D {1，2，3}，求D C ⨯； （2）已知=⨯B A {(1，2)，(2，2)}，求集合A ，B ；（3）若A 中有3个元素，B 中有4个元素，试确定B A ⨯有几个元素．18．完成下列填空，并按要求画出函数的简图，不写画法，请保留画图过程中的痕迹，痕迹用虚线表示，最后成图部分用实线表示．（1）函数|32|2--=x x y 的零点是 ，利用函数322--=x x y 的图象，在直角坐标系（1）中画出函数|32|2--=x x y 的图象．（2）函数12||+=x y 的定义域是 ，值域是 ，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）．利用x y 2=的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数12||+=x y 的图象．19．计算：（1）已知0>a 且32=xa ，求xx xx a a a a --++33的值；（2）求1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+的值．20．已知函数1212log )(21+-=x x x f （-∞∈(x ，21()21 -，)∞+）． （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）指出函数)(x f 在区间21(，)∞+上的单调性，并加以证明．21．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数)(x f y =的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？高一数学期中试卷答题纸一．选择题（涂在答题卡上） 二．填空题13．=T P ．14．当0<x 时，=)(x f ． 15． ． 16．=)(x f ，=)(x g ． 三．解答题 17．18．（1）函数|32|2--=x x y 的零点是 ，利用函数322--=x x y 的图象，在直角坐标系（1）中画出函数|32|2--=x x y 的图象．（2）函数12||+=x y 的定义域是 ，值域是 ，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）．利用x y 2=的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数12||+=x y 的图象． 19．（1） （2）)2(20．21．附加题22．设)(x f 是定义在1[-，]1上的奇函数，且对任意的1[,-∈b a ，]1， 当0≠+b a 时，都有ba b f a f ++)()(＞0．（1）若a ＞b ，试比较)(a f 与)(b f 的大小；（2）解不等式)21(-x f ＜)41(-x f ； （3）如果)()(c x f x g -=和)()(2c x f x h -=这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的取值范围．金陵中学2005—2006学年高一数学第一学期期中试卷命题：吴祥华 审核：张松年 05．11．2一、选择题1．幂函数n x y =的图象（ ）．DA ．一定经过点（0，0）B ．一定经过点)1,1(--C ．一定经过点1(-，)1D ．一定经过点1(，)12．若全集1{=U ，2，3，}4，集合1{=A ，}2，则满足U B A = 的集合B 有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 选D ．}4,3{，}4,3,1{，}4,3,2{，}4,3,2,1{． 3．当x ≥3-时，化简-+2)3(x 33)3(-x 得（ ）． A A ．6 B ．x 2C ．6或x 2-D ．x 2-或6或x 2 4．设10<<a ，则函数()5log +=x y a 的图象不经过（ ）． AA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．若函数x m y )1(-=在R 上是减函数，则m 的取值范围是（ ）． BA ．1(，)∞+ C ．-∞(，)1 6．已知函数)(x f y =的图象为（ ）． B7．下列关于函数x y 2log =的结论中正确的是（ ）． BA ．是函数2x y =的反函数B ．图象恒过定点1(，)0C ．图象与直线x y -=无交点D ．定义域为0[，)∞+ 8．23.0，3.0log 2与3.02的大小关系是（ ）． DA ．3.0log 23.023.02<<0B ．3.02223.0log 3.0<<C ．23.023.023.0log <<D ．3.02223.03.0log <<9．若函数)(x f 的定义域是1[-，]1，则函数)1(+x f 的定义域是（ ）． C A ．1[-，]1 B ．0[，]2 C ．2[-，]0 D ．0[，)2 10．若二次函数c bx x x f ++=2)(，且)3()1(f f =-，则（ ）． A ．)1()1(->>f c f B ．)1()1(-<<f c fC ．)1()1(f f c >->D ．)1()1(f f c <-< 解 选B ．∵)3()1(f f =-，∴函数c bx x x f ++=2)(的对称轴是直线1=x ，画出)(x f 的草图（如图），又∵c f =)0(，)(x f 在1[-，]1上递减，故)1()1(-<<f c f ，∴选B ．11．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间0[，]m 上的值域是2[，]3则m 的取值范围是（ ）．DA ．1[，)∞+B ．[0，2]C ．-∞(，]2-D ．1[，]212．已知指数函数x a y =在[0，]1上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为（ ）．C A ．41 B ．21C ．2D ．4 二、填空题13．已知集合}02|{2=--=x x x P ，集合x x T <-=1|{≤}2，则集合=T P ． }2{．14．若)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(+=x x x f ，则当0<x 时，)(x f = ． )1()(x x x f -=B15．若函数)26(log 22+-=x mx y 的定义域为R ，则m 的取值范围是 ． (∈m ),29+∞． 16．已知)(x f 与)(x g 是定义在R 上的非奇非偶函数，且)()(x g x f ⋅是定义在R 上的偶函数，写出满足条件的一组函数：=)(x f ，=)(x g ． 1)(+=x x f ，1)(-=x x g （答案不惟一） 三、解答题17．对于集合A ，B ，我们把集合{(a ，b )|A a ∈，B b ∈}记作B A ⨯．例如：=A {1，2}，=B {3，4}，则有=⨯B A {(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}， =⨯A B {(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}， =⨯A A {(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}， =⨯B B {(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}， 据此，试解答下列问题：（1）已知=C {m }，=D {1，2，3}，求D C ⨯； （2）已知=⨯B A {(1，2)，(2，2)}，求集合A ，B ；（3）若A 中有3个元素，B 中有4个元素，试确定B A ⨯有几个元素． 解：（1）由题知=⨯D C {(m ，1)，(m ，2)，(m ，3)}．（2）因为=⨯B A {(1，2)，(2，2)}，所以A 中有元素1，2，B 中含有元素2，即=A {1，2}，=B {2}． （3）B A ⨯中含有12个元素．18．完成下列填空，并按要求画出函数的简图，不写画法，请保留画图过程中的痕迹，痕迹用虚线表示，最后成图部分用实线表示． （1）函数|32|2--=x x y 的零点是 ，利用函数322--=x x y 的图象，在直角坐标系（1）中画出函数|32|2--=x x y 的图象．（2）函数12||+=x y 的定义域是 ，值域是 ，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）．利用x y 2=的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数12||+=x y 的图象．19．计算：（1）已知0>a ，32=xa ，求xx xx a a a a --++33的值；（2）求1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+的值．解：（1）原式x x x x x x a a a a a a ---++-+=)1)((22112-+=xa a 371313=-+=． （2）原式10lg )1(10lg 215lg 2lg 5lg 2lg 33-⨯--+=21)5lg 2(lg 2-+=10lg 4-=4-=． 20．已知函数1212log )(21+-=x x x f （-∞∈(x ，21()21 -，)∞+）．（1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）指出函数)(x f 在区间21(，)∞+上的单调性，并加以证明．解 （1）因为1212log )(21+---=-x x x f 1212log 21-+=x x 1211212log -⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x )(x f -=，所以函数)(x f 是奇函数．（3）设1212)(+-=x x x g 1221+-=x ． 设21x x m <<-，则)()(21x g x g -)12)(12(42112++-⋅-=x x x x ，因为0<m ，2121x x <<，所以012>-x x ，0121>+x ，0122>+x ， 所以0)12)(12(42112<++-⋅-x x x x ，即)()(21x g x g <， 因为x y 21log =是减函数，所以)(log )(log 221121x g x g >，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在21(，)∞+上是减函数．21．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数)(x f y =的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ 解：（1）当x ≤6时，11550-=x y ，令011550>-x ，解得3.2>x ．∵∈x N ，∴x ≥3，∴3≤x ≤6，且∈x N ．当x <6≤20时，115)]6(350[---=x x y 1156832-+-=x x ．综上可知⎩⎨⎧∈≤<-+-∈≤≤-=).,206(,115683),,63(,115502N N x x x x x x x y （2）当3≤x ≤6，且∈x N 时，∵11550-=x y 是增函数，∴当6=x 时，185max =y 元．当x <6≤20，∈x N时，1156832-+-=x x y 3811)334(32+--=x ， ∴当11=时，270max =y 元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元． 附加题22．设)(x f 是定义在1[-，]1上的奇函数，且对任意的1[,-∈b a ，]1，当0≠+b a 时，都有ba b f a f ++)()(＞0．（1）若a ＞b ，试比较)(a f 与)(b f 的大小；（2）解不等式)21(-x f ＜)41(-x f ； （3）如果)()(c x f x g -=和)()(2c x f x h -=这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的取值范围． 解：设1-≤1x ＜2x ≤1，由奇函数的定义和题设条件，得)()()()()()()()(1212121212x x x x x f x f x f x f x f x f --+-+=-+=-＞0，∴)(x f 在]1,1[-上是增函数．∵∈b a ,]1,1[-，a ＞b ，∴)(a f ＞)(b f ．（2）∵)(x f 是]1,1[-上的增函数，∴不等式)21(-x f ＜)41(-x f 等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-,4121,1411,1211x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--<--≤-⇔,141,4121,211x x x x ∴原不等式的解集是}4521|{≤≤-x x ．（3）设函数)(),(x h x g 的定义域分别是P 和Q ，则1|{-=x P ≤c x -≤}11|-=c x ≤x ≤}1+c ，1|{-=x Q ≤2c x -≤}11|{2-=c x ≤x ≤}12+c ．于是=Q P φ的充要条件是1+c ＜12-c 或12+c ＜1-c ． 解得c 的取值范围是-∞(，2()1 -，)+∞．。
江苏省南京市金陵中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题含答案解析
金陵中学2022—2023学年第一学期期中考试高一数学试卷2022.11一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设{}1A x x =<，{}B x x a =<，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1),-∞B ．(],1-∞C ．(1,)+∞D ．[)1,+∞2．已知命题p ：1x ∀≥，21x ≥，则命题p 的否定为（ ）A ．1x ∀≥，21x <B ．1x ∃<，21x ≥C ．1x ∀<，21x <D ．1x ∃≥，21x <3．“0a >”是“函数2()(1)2f x a x x =+-在区间(1,)+∞上单调递增”的（）A ．充不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．设函数3()2023f x ax bx =++，其中a ，b 为常数，若()25f -=，则()2f =（）A ．5-B ．2018-C ．2028D ．40415．已知实数a ，b ，c 满足2643b c a a +=-+，254c b a a -=-+，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b c a>>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．c a b>>6．在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数，当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染1个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径，假设某种传染病的基本传染数为0R ，1个感染者平均会接触到N 个新人（0N R ≥），这N 人中有V 个人接种过疫苗（VN 为接种率），那么1个感染者可传染的平均新感染人数0()R N V N-．已知某病毒在某地的基本传染数03log R =，为了使1个感染者可传染的平均新感染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（ ）A ．90%B ．80%C ．70%D ．60%7．设函数2,1,()24, 1.x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在1x ，2x ∈R ，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(3),-∞B ．(4),-∞C ．(5),-∞D ．(6),-∞8．已知0a >，b ∈R ，若0x >时，关于x 的不等()()212ax x bx -+-≥0恒成立，则2b a+的最小值是（ ）A B ．C ．4D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3} 2．（5分）命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是（）A．∃x0∈R，x02﹣1＜0B．∃x0∈R，x02﹣1≤0C．∀x∈R，x2﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜03．（5分）函数y＝+的定义域为（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪（﹣1，]4．（5分）函数f（x）＝的最小值为（）A．3B．2C．2D．15．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，﹣]B．[，4]C．[﹣3，4]D．[3，]7．（5分）若关于x的不等式ax2+2x+1＜0有实数解，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）8．（5分）若非空数集G满足“对于∀a，b∈G，都有a+b，a﹣b，ab∈G，且当b≠0时，∈G”，则称G是一个“理想数集”，给出下列四个命题：①0是任何“理想数集”的元素；②若“理想数集”M有非零元素，则N*⊆M③集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个“理想数集”；④集合T＝{x|x＝a+b，a，b∈Z}是“理想数集”．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．（5分）以下说法中正确的有（）A．“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“存在x∈R，使得f（﹣x）＝f（x）”B．“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f （x2）”C．设M，P是两个非空集合，则M⊆P的含义是“对于∀x∈M，x∈P”D．设f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件10．（5分）已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有（）A．若ac2＞bc2，则a＞bB．若，则a＞bC．若a＞b＞0，ac＞bd＞0，则c＞dD．若，则a＜b11．（5分）下列说法中不正确的有（）A．设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝BB．函数y＝与y＝为同一个函数C．函数y＝+的最小值为2D．设y＝f（x）是定义在R上的函数，则函数y＝xf（|x|）是奇函数12．（5分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域内的∀x，都有f（x）+f（﹣x）＝0；②对于定义域内的∀x1，x2当x1≠x2时，都有＜0则称函数f（x）为“颜值函数”．下列函数中，是“颜值函数”的有（）A．f（x）＝B．f（x）＝x2C．f（x）＝D．f（x）＝﹣2x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的条件（填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．14．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（1）+g（1）＝．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝a与函数y＝|x﹣a|+2﹣a的图象有且只有一个公共点，则实数a的值为．16．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（10分）计算：（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2；（2）π0﹣（8）﹣2+×（4）﹣1．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|＜0}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B和（∁U A）∪B；（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．19．（12分）设函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），已知f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）．（1）求b，c的值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间[0，2]上的最小值为﹣4，求实数a的值．20．（12分）根据试验检测，一辆P型运输汽车在高速公路上匀速行驶时，耗油率（L/h）近似与车速（km/h）的平方成正比，且当车速是100km/h时，耗油率为L/h．已知A，B两地间有一条长130km的高速公路，最低限速60km/h，最高限速120km/h．若某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从A地转运至B地，已知过路费为40元，支付给雇用司机的工资平均每小时80元．假设汽油的价格是8元/L，汽车匀速行驶（起步、必要的减速或提速等忽略不计），问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最低？最低为多少元？21．（12分）已知函数f（x）＝为奇函数．（1）求实数a的值；（2）求证：f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（3）若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，求实数m的取值范围．22．（12分）设f（x）是R上的减函数，且对任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）；函数g（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）若a＝﹣1，b＝5，且______．（①存在t∈[﹣3，2]；②对任意t∈[﹣3，2]），不等式f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＞0成立，求实数m的取值范围；请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解．（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，求a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{2，3}．故选：B．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是（）A．∃x0∈R，x02﹣1＜0B．∃x0∈R，x02﹣1≤0C．∀x∈R，x2﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜0【分析】根据特称命题的否定形式进行判断【解答】解：命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是∀x∈R，x2﹣1＜0，故选：D．【点评】本题考查了命题的否定，属于基础题．3．（5分）函数y＝+的定义域为（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪（﹣1，]【分析】可看出，要使得原函数有意义，需满足，然后解出x的范围即可．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得且x≠﹣1，∴原函数的定义域为：．故选：D．【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，区间的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）函数f（x）＝的最小值为（）A．3B．2C．2D．1【分析】先研究函数在每一段的单调性，分别求出它们的最值，然后求解函数的最值，就是大中取大，小中取小．【解答】解：对于函数函数f（x）＝，当x≤1时，f（x）＝x2﹣2x+3．在（﹣∞，1]上递减；所以此时y min＝f（1）＝2，当x＞1时，f（x）＝x+≥2＝2，当且仅当x＝，取等号，综上可知原函数的最小值为：2．故选：C．【点评】本题考查分段函数的性质，一般来讲分段函数的处理原则：分段函数，分段处理．如本题求最值，应先在每一段上求它们的最大（小）值，最后大中取大．小中取小．5．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：函数y＝的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除A，C，当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除D，故选：B．【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．6．（5分）若函数f（x）＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，﹣]B．[，4]C．[﹣3，4]D．[3，]【分析】根据分段函数的单调性的判断方法建立不等式组，即可求解．【解答】解：要满足已知题意，只需，解得，故选：B．【点评】本题考查了分段函数的单调性，考查了学生解不等式的能力，属于基础题．7．（5分）若关于x的不等式ax2+2x+1＜0有实数解，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）【分析】讨论a＝0、a＜0和a＞0时，求出不等式有解时a的取值范围．【解答】解：a＝0时，不等式为2x+1＜0，有实数解，满足题意；a＜0时，一元二次不等式为ax2+2x+1＜0，不等式对应的二次函数开口向下，所以有实数解；a＞0时，一元二次不等式为ax2+2x+1＜0，应满足△＝4﹣4a＞0，解得a＜1；综上知，a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：D．【点评】本题考查了不等式有解的应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．8．（5分）若非空数集G满足“对于∀a，b∈G，都有a+b，a﹣b，ab∈G，且当b≠0时，∈G”，则称G是一个“理想数集”，给出下列四个命题：①0是任何“理想数集”的元素；②若“理想数集”M有非零元素，则N*⊆M③集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个“理想数集”；④集合T＝{x|x＝a+b，a，b∈Z}是“理想数集”．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用已知条件中理想数集的定义判断命题的真假，题目中给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证．【解答】解：对于①，设a＝b∈G，显然有a﹣a∈G，即0∈G，故0是任何“理想数集”的元素，故①正确；对于②：当a＝b时，显然有，则1+1，2+1，…，N+1∈M，所以N*∈M，故②正确；对于③：易知2∈P，而，故③错误；对于④：a，b∈Z，故1+2∈T，而，故④错误．故选：B．【点评】本题考查学生对于新定义题型的理解和把握能力，理解“理想数集”的定义是解决该题的关键，题目着重考察学生的构造性思维，属于难题．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．（5分）以下说法中正确的有（）A．“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“存在x∈R，使得f（﹣x）＝f（x）”B．“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f （x2）”C．设M，P是两个非空集合，则M⊆P的含义是“对于∀x∈M，x∈P”D．设f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件【分析】根据偶函数的定义即可判断A；由增函数的定义即可判断B；由子集的定义即可判断C；由充分必要条件的定义即可判断D．【解答】解：对于A，“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“对任意的x∈R，都有f（﹣x）＝f（x）”，故A错误；对于B，“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）”，故B正确；对于C，由子集的定义可知C正确；对于D，若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，若f（x）是定义在R上的函数，且f（0）＝0，不能得出f（x）为奇函数，例如f（x）＝x2，故“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查函数奇偶性单调性的定义，考查子集的定义，充要条件的定义，属于中档题．10．（5分）已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有（）A．若ac2＞bc2，则a＞bB．若，则a＞bC．若a＞b＞0，ac＞bd＞0，则c＞dD．若，则a＜b【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】解：对于A，若ac2＞bc2，则a＞b，故A正确；对于B，若＜0＜，则a＜0＜b，故B错误；对于C，取a＝9，b＝1，c＝2，d＝3，满足a＞b＞0，ac＞bd＞0，但c＜d，故C错误；对于D，若，则﹣＝＞0，则b＞a，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．11．（5分）下列说法中不正确的有（）A．设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝BB．函数y＝与y＝为同一个函数C．函数y＝+的最小值为2D．设y＝f（x）是定义在R上的函数，则函数y＝xf（|x|）是奇函数【分析】由集合的基本运算即可判断A；判断定义域与解析式是否相同即可判断B；利用换元及对勾函数的性质即可判断选项C；由函数的奇偶性的定义即可判断D．【解答】解：对于A，设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝B，故A正确；对于B，函数y＝＝|x|，函数y＝＝x，两函数定义域相同，解析式不同，故不是同一函数，故B错误；对于C，令t＝≥，则y＝+t在[，+∞）上单调递增，所以当t＝时，取得最小值为，所以函数y＝+的最小值为，故C错误；对于D，函数y＝g（x）＝xf（|x|），g（﹣x）＝﹣xf（|﹣x|）＝﹣xf（|x|）＝﹣g（x），所以函数y＝xf（|x|）是奇函数，故D正确．故选：BC．【点评】本题主要考查即可得基本运算，同一函数的判断，函数最值的求法，以及函数奇偶性的判断，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域内的∀x，都有f（x）+f（﹣x）＝0；②对于定义域内的∀x1，x2当x1≠x2时，都有＜0则称函数f（x）为“颜值函数”．下列函数中，是“颜值函数”的有（）A．f（x）＝B．f（x）＝x2C．f（x）＝D．f（x）＝﹣2x【分析】先理解已知两条性质反映的函数性质，①f（x）为奇函数，②f（x）为定义域上的减函数，由此判断各选项是否同时具备两个性质即可．【解答】解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f （x）为定义域上的减函数，对于A，f（x）＝为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，其单调区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故A不是“颜值函数”；对于B，f（x）＝x2为定义域上的偶函数，故B不是“颜值函数”；对于C，函数f（x）＝的图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故C是“颜值函数”．对于D，f（x）＝﹣2x为定义域上的奇函数，且是定义域上的减函数，故D是“颜值函数”．故选：CD．【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的必要且不充分条件（填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，0＜x＜2⇒0＜x＜5，∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要且不充分条件，即0＜x＜5是|x﹣1|＜1的必要且不充分条件故答案为：必要且不充分．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．14．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（1）+g（1）＝2．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣1）﹣g（﹣1）＝（﹣1）2﹣1+2＝2，结合函数的奇偶性可得f（﹣1）﹣g（﹣1）＝f（1）+g（1），即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（﹣1）﹣g（﹣1）＝（﹣1）2﹣1+2＝2，又由函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则f（﹣1）﹣g（﹣1）＝f（1）+g（1）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝a与函数y＝|x﹣a|+2﹣a的图象有且只有一个公共点，则实数a的值为1．【分析】由已知可转化为函数y＝2a﹣2与函数y＝|x﹣a|的图象只有一个交点，利用函数的图象性质即可求解．【解答】解：由已知可令a＝|x﹣a|+2﹣a，可得：2a﹣2＝|x﹣a|，可看成函数y＝2a﹣2与函数y＝|x﹣a|图象只有一个公共点，而函数y＝|x﹣a|是以x＝a为对称轴，最小值为0的函数，所以要满足题意只需令2a﹣2＝0，即a＝1，故答案为：1【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于基础题．16．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，则的最小值为16．【分析】由＝+++＝++（+）（x+2y），利用基本不等式即可求得最小值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝2，∴＝+++＝++（+）（x+2y）＝++4≥4+2＝16，当且仅当＝时，取得最小值16．故答案为：16．【点评】本题考查了利用基本不等式性质求最值问题，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（10分）计算：（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2；（2）π0﹣（8）﹣2+×（4）﹣1．【分析】（1）利用对数的运算性质求解．（2）利用有理数指数幂的运算性质求解．【解答】解：（1）原式＝2lg5+2lg2+lg5•lg20+（lg2）2＝2+lg5•（2lg2+lg5）+（lg2）2＝2+（lg5）2+2lg5•lg2+（lg2）2＝2+（lg5+lg2）2＝2+1＝3．（2）原式＝1﹣+×＝1﹣16+2＝﹣13．【点评】本题主要考查了对数的运算性质和有理数指数幂的运算性质，是基础题．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|＜0}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B和（∁U A）∪B；（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．【分析】（1）可以求出集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|1＜x＜5}，然后进行交集、并集和补集的运算即可；（2）根据B∩C＝C可得出C⊆B，然后讨论C是否为空集：C＝∅时，m﹣1＞2m；C≠∅时，，然后解出m的范围即可．【解答】解：（1）A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|1＜x＜5}，U＝R，∴A∩B＝{x|3≤x＜5}，∁U A＝{x|﹣2＜x＜3}，（∁U A）∪B＝{x|﹣2＜x＜5}；（2）∵B∩C＝C，∴C⊆B，①C＝∅时，m﹣1＞2m，解得m＜﹣1；②C≠∅时，，解得；综上得实数m的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的定义及运算，全集的定义，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．19．（12分）设函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），已知f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）．（1）求b，c的值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间[0，2]上的最小值为﹣4，求实数a的值．【分析】（1）由f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）可知x＝﹣1，x＝3是x2+bx+c＝0的解，然后结合方程的根与系数关系可求；（2）g（x）＝f（x）﹣ax＝x2﹣（a+2）x﹣3开口向上，对称轴x＝，然后结合对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论可求．【解答】解：（1）由f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）可知x＝﹣1，x＝3是x2+bx+c ＝0的解，故，解得，b＝﹣2，c＝﹣3，（2）g（x）＝f（x）﹣ax＝x2﹣（a+2）x﹣3开口向上，对称轴x＝，（i）即a≥2时，函数g（x）在[0，2]上单调递减，g（x）min＝g（2）＝﹣2a ﹣3＝﹣4，解得，a＝（舍），（ii）即a≤﹣2时，函数g（x）在[0，2]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝﹣3≠﹣4，（舍），（iii）当0即﹣2＜a＜2时，函数g（x）在[0，2]上先减后增，g（x）min＝g （）＝﹣3﹣＝﹣4，解得，a＝4（舍）或a＝0，综上，a＝0．【点评】本题主要考查了二次函数与二次不等式的相互转化关系的应用及二次函数闭区间上最值的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．20．（12分）根据试验检测，一辆P型运输汽车在高速公路上匀速行驶时，耗油率（L/h）近似与车速（km/h）的平方成正比，且当车速是100km/h时，耗油率为L/h．已知A，B两地间有一条长130km的高速公路，最低限速60km/h，最高限速120km/h．若某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从A地转运至B地，已知过路费为40元，支付给雇用司机的工资平均每小时80元．假设汽油的价格是8元/L，汽车匀速行驶（起步、必要的减速或提速等忽略不计），问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最低？最低为多少元？【分析】设车速为xkm/h，用x表示出油耗和行车时间，得出总费用关于x的函数，根据基本不等式求出费用最小值．【解答】解：设车速为xkm/h，耗油率m（x）＝kx2，则由题意可得m（100）＝10000k ＝，∴k＝＝．∴从A地到B地消耗汽油的价钱为，司机的工资为＝，故从A地到B地的总费用f（x）＝≥2＝300元．当且仅当，即x＝80∈[60，120]时取等号．∴从A地到B地的车速是80km/h时，转运一次的总费用最低为300元．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查函数解析式求解，函数最值的计算，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝为奇函数．（1）求实数a的值；（2）求证：f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（3）若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，求实数m的取值范围．【分析】（1）由f（x）为奇函数，结合奇函数的定义代入可求；（2）结合单调性定义，设2≤x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（3）结合（2）中单调性即可求解函数最值．【解答】解：（1）因为f（x）＝为奇函数，x≠0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以，整理可得，ax＝0，所以a＝0，（2）证明：由（1）可得f（x）＝＝x+，设2≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+，＝x1﹣x2+＝（x1﹣x2）（1﹣）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（3）由（2）可得f（x）＝x在[2，4]上单调递增，故f（x）max＝f（4）＝5，f（x）min＝f（2）＝4，若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，所以1≤m2﹣2m﹣2，解得m≥3或m≤﹣1．【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的应用及判断，还考查了函数单调性在求解最值中的应用．22．（12分）设f（x）是R上的减函数，且对任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）；函数g（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）若a＝﹣1，b＝5，且______．（①存在t∈[﹣3，2]；②对任意t∈[﹣3，2]），不等式f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＞0成立，求实数m的取值范围；请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解．（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，求a的取值范围．【分析】（1）令x＝y＝0，可得f（0），再令y＝﹣x，结合奇偶性的定义，即可得到结论；（2）分别选①②，将原不等式转化为﹣m＞t2+2t+4对t∈[﹣3，2]成立或恒成立，结合参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围；（3）考虑g（x）＝0与g（g（x））＝3的解集相等，求得b＝3，再由g（x）≤0的解集，结合判别式的符号和因式分解，可得所求范围．【解答】解：（1）令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），即f（0）＝0，再令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为R上的奇函数；（2）①存在t∈[﹣3，2]．f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＝f[（g（t）﹣1）+（3t+m）]＞0＝f（0），由f（x）是R上的减函数可得g（t）﹣1+（3t+m）＜0，即t2﹣t+4+3t+m＜0，也即t2+2t+4+m＜0，可得﹣m＞t2+2t+4对t∈[﹣3，2]成立，y＝t2+2t+4＝（t+1）2+3在t＝﹣1时取得最小值4，则﹣m＞3，即m＜﹣3；选②任意t∈[﹣3，2]，f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＝f[（g（t）﹣1）+（3t+m）]＞0＝f（0），由f（x）是R上的减函数可得g（t）﹣1+（3t+m）＜0，即t2﹣t+4+3t+m＜0，也即t2+2t+4+m＜0，可得﹣m＞t2+2t+4在任意t∈[﹣3，2]恒成立，y＝t2+2t+4＝（t+1）2+3在t＝2时取得最大值12，则﹣m＞12，即m＜﹣12；（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，可得g（x）＝0与g（g（x））＝3的解集相等，可得g（0）＝3，即b＝3，g（x）＝x2+ax+3≤0，可得△＝a2﹣12≥0，即a≥2（a≤﹣2舍去），又g（g（x）﹣3＝（x2+ax+3）2+a（x2+ax+3）+3﹣3＝（x2+ax+3）（x2+ax+3+a），由题意可得x2+ax+3+a≥0恒成立，可得△＝a2﹣4（a+3）≤0，解得﹣2≤a≤6，又a＞0，可得0＜a≤6，综上可得2≤a≤6．【点评】本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立和成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
2021-2022学年江苏省南京市金陵中学河西分校高一下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省南京市金陵中学河西分校高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数z 满足(1)3i z i +=-，则z 在复平面内对应的点为（ ） A ．（2，1） B ．（1，2） C ．(2,1)- D ．(1,2)-【答案】D【分析】等式两边同除1i +，再化简即可的出答案. 【详解】因为3(3)(1)24121(1)(1)2i i i iz i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点为(1,2)-. 故选：D.【点睛】本题考查复数的基本运算与几何意义，属于基础题.熟练掌握分式复数的化简是本题的关键.2．已知向量()1,2a =，()3,0b =，若()a b a λ-⊥，则实数λ=（ ） A ．0 B ．35C ．1D ．3【答案】B【分析】根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得λ的值. 【详解】因为向量()1,2a =，()3,0b =，且()a b a λ-⊥，所以()0a b a λ-⋅=，即20a a b λ-⋅=，所以有530λ-=，解得35λ=，故选：B.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下： （1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式； （2）根据向量数量积运算法则进行化简； （3）利用向量数量积坐标公式求得结果. 3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，3sin 4A =，则B 等于（ ） A ．无解 B ．2π3 C ．π3或2π3D ．6π或5π6【答案】A【分析】利用正弦定理求得sin B ，进而求得正确答案.【详解】由正弦定理得363,,sin 13sin sin sin 24a b B A B B ===>，所以B 无解. 故选：A4．如图，△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，则以下说法正确的是（ ）A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等边三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形 【答案】C【分析】画出原图，利用原图与直观图之间的转化比例求解. 【详解】解：将其还原成原图，如图，设2A C ''=，则可得21OB O B ''==，2AC A C ''==， 从而2AB BC ==，所以222AB BC AC +=，即AB BC ⊥， 故ABC 是等腰直角三角形. 故选：C.5．每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图.若点G 、H 、M 、N 分别是正八面体ABCDEF 的棱DE BC AD BF 、、、的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．GH ⊥平面FBCB ．GH 与MN 是异面直线C ．//GH 平面EABD ．MN 与GH 是相交直线【答案】C【分析】作出辅助线，得到四边形MNHG 是平行四边形，排除BD ，进而证明出GH 与BC 不垂直，故GH 与平面FBC 不垂直，GH ∥平面EAB ，得到正确答案.【详解】连接AC EF 、，BD ，则它们相交且相互平分，故四边形AECF 为平行四边形，则AE ∥CF .又G 、H 、M 、N 分别是正八面体ABCDEF 的棱DE BC AD BF 、、、的中点，所以,GM AE NH CF ∥∥，且11,22GM EA NH CF ==，∴GM NH ∥，且,GM NH =所以四边形MNHG 是平行四边形，排除B 、D 选项，易证平面GMH ∥平面EAB ，又GH ⊂平面GMH ，∴GH ∥平面EAB ，C 正确；因为EH ⊥BC ，MH ⊥BC ，EH MH H ⋂=，所以BC ⊥平面EMH ，而GH ⊄平面EMH ，而GH EH H =，所以GH 与BC 不垂直，故GH 与平面FBC 不垂直，A 错误；故选：C6．已知1sin cos 2θθ-=，则2cos 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．716B ．78C 5D 7【答案】B【解析】由同角三角函数的平方关系、二倍角公式可得3sin24θ=，再由降幂公式、诱导公式可得21sin2cos 42πθθ+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即可得解.【详解】由1sin cos 2θθ-=两边平方得：221sin 2sin cos cos 4θθθθ-+=，所以32sin cos 4θθ=即3sin24θ=， 所以21cos 21sin272cos 4228πθπθθ⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、诱导公式及二倍角公式的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7．已知向量a ，b 满足4a =，5b =，4a b ⋅=，则cos ,a a b +=（ ） A ．57B ．37C ．27-D ．57-【答案】A【分析】根据向量夹角公式计算即可. 【详解】由()222cos ,2a a b a a b a a b a a baa ab b⋅++⋅+==++⋅+又4a =，5b =，4a b ⋅= 所以2225cos ,74162a a b a a b aa ab b+⋅+===⨯+⋅+故选：A8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b cos A ＝c ﹣12a ，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A B C ．4 D ．6【答案】A【分析】由正弦定理,三角函数恒等变换可得sin A cos B ＝12sin A ，可求cos B ，设AD ＝x ，则CD ＝2x ，AC ＝3x ，根据cos ∠ADB ＝﹣cos ∠CDB 利用余弦定理可得4c 2+a 2+2ac ＝36，根据基本不等式可得ac ≤6，进而可求解． 【详解】在△ABC 中，b cos A ＝c ﹣12a ， 由正弦定理可得sin B cos A ＝sin C ﹣12sin A ，可得sin B cos A ＝sin （A +B ）﹣12sin A ＝sin A cos B +cos A sin B ﹣12sin A ， 即sin A cos B ＝12sin A ， 由于sin A ≠0， 所以1cos 2B =，由B ∈（0，π），可得B ＝3π，设AD ＝x ，则CD ＝2x ，AC ＝3x ，在△ADB ，△BDC ，△ABC 中分别利用余弦定理，可得cos ∠ADB ＝2244x c x+-，cos ∠CDB＝22448x a x +-，cos ∠ABC ＝22292a c x ac+-，由于cos ∠ADB ＝﹣cos ∠CDB ，可得6x 2＝a 2+2c 2﹣12， 再根据cos ∠ABC ＝12，可得a 2+c 2﹣9x 2＝ac ，所以4c 2+a 2+2ac ＝36，根据基本不等式可得4c 2+a 2≥4ac ， 所以ac ≤6，当且仅当a ＝23，c ＝3时等号成立， 所以△ABC 的面积S ＝12ac sin ∠ABC ＝34ac ≤332． 故选：A ．【点睛】本题考查解三角形，关键点是熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了运算求解能力和逻辑思维能力. 二、多选题93） A ．2sin67.5cos67.5︒︒ B ．22cos 112π-C ．212sin 15-︒D ．22tan22.51tan 22.5︒-︒【答案】BC【分析】利用二倍角公式及特殊角的三角函数值即可得到答案 【详解】22sin67.5cos67.5sin135︒︒=︒=A 错误 232cos 1cos126ππ-==B 正确 2312sin 15cos30-︒=︒=C 正确 22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒=︒=-︒，故D 错误 综上所述，故选B C ，【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，着重考查了倍角公式的应用，属于基础题10．已知复数z 满足11z z =-=，且复数z 对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）A ．复数z 的虚部为3i 2B ．113i 22z =-C ．21z z =-D ．复数z 的共轭复数为13i 22-+【答案】BC【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，由其对应的点在第一象限和复数模长运算可构造方程求得,a b ，由此可得13i 22z =+；根据复数虚部和共轭复数的定义、复数的运算法则依次验算各个选项即可.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，z 对应的点在第一象限，0a ∴>，0b >，11z z =-=，()222211a b a b ∴+=-+=，解得：12a =，32b =，13i 22z ∴=+；对于A ，z 的虚部为32，A 错误； 对于B ，13i111322i 22131313i i i 222222z -===-⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确； 对于C ，221313i i 2222z ⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，131i 22z -=-+，21z z ∴=-，C 正确； 对于D ，13i 22z =-，D 错误. 故选：BC.11．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是线段BC 1上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．AC ⊥BD 1B ．A 1P 6C ．A 1P ⊥平面ACD 1 D ．异面直线A 1P 与AD 1所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；【详解】如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()10,1,1C ，所以()1,1,0AC =-，()11,1,1BD =--，()10,1,1A B =-，()11,0,1BC =-，所以10AC BD =，所以1AC BD ⊥，故A 正确；因为P 是线段1BC 上一动点，所以1B B C P λ=()01λ≤≤，所以()()()110,1,11,0,1,1,1A P B B A P λλλ=+=-+-=--，所以()21221311222A P λλλ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭12λ=时m 1in 6A P=B 正确； 设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n AC n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y z ==，所以()1,1,1n =，因为1110n P A λλ=-++-=，即1n A P ⊥，因为1A P ⊄平面1ACD ，所以1//A P 平面1ACD ，故C 错误；设直线1A P 与1AD 所成的角为θ，因为11//AD BC ，当P 在线段1BC 的端点处时，3πθ=，P在线段1BC 的中点时，2πθ=，所以,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确； 故选：ABD12．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2sin2tan 2sin cos 2C A C C =+-，则下列结论中错误的是（ ） A ．ABC 可能是直角三角形 B ．角B 可能是钝角 C ．必有2A B = D ．可能有2a b =【答案】BC【解析】首先根据三角恒等变形得到cos 0C =或sin 2sin A B =，再逐一判断选项. 【详解】依题意得)2sin sin 2sin cos (22cos cos 2cos (12cos )cos cos A AC C C C C C A A=-+-=⋅⋅-，整理得cos [2(sin cos cos sin )sin ]0C A C A C A ⋅+-=，即cos (2sin sin )0C B A ⋅-=，所以cos 0C =或sin 2sin A B =.因此当cos 0C =时，ABC 是直角三角形，故A 选项正确；而当sin 2sin A B =时，由正弦定理可得2a b =，因此选项D 正确；选项C 错误；无论是cos 0C =还是sin 2sin A B =，均可得角B 为锐角，故B 错误.故选BC. 故选：BC【点睛】本题考查三角恒等变形，判断三角形形状和性质，意在考查转化与化归的思想，本题的关键是正确化简为cos 0C =或sin 2sin A B =，属于中档题型. 三、填空题13．在ABC 中，bc ＝20，5ABCS =，ABC 的外接圆的半径为3，则a ＝______．【答案】3【分析】由三角形面积公式及正弦定理可求解. 【详解】由5ABCS=，有111sin 20sin 5sin 222bc A A A =⨯⨯=⇒=,再由正弦定理有23sin aA =⨯，即12332a =⨯⨯=. 故答案为：314．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的项点A 、B 分别在x 轴非负半轴和y 轴非负半轴上，顶点C 在第一象限内，AB ＝2，BC ＝1，设∠DAx ＝θ，若，则OC OD ⋅的取值范围为______．【答案】(]1,3【分析】分别过点C 、D 作x 、y 轴的垂线，设点()11,C x y 、()22,D x y ，根据锐角三角函数的定义可得出点C 、D 的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算和二倍角的正弦公式可求出OC OD ⋅的取值范围.【详解】过点D 分别作x 、y 轴的垂线，垂足点分别为E 、F ， 过点C 分别作x 、y 轴的垂线，垂足点分别为M 、N （如图所示）则OBA DAE BCN θ∠=∠=∠=， 因为顶点C 在第一象限内，所以π02θ<<， 设点()11,C x y 、()22,D x y ，则1cos x CN θ==，12cos sin y OB BN θθ=+=+， 22sin cos x OA AE θθ=+=+，2sin y DE θ==；则()cos ,2cos sin C θθθ+，()2sin cos ,sin D θθθ+， 则()()cos 2sin cos 2cos sin sin OC OD θθθθθθ⋅=+++14sin cos 12sin 2θθθ=+=+，因为π02θ<<，所以02πθ<<， 则0sin 21θ<≤，则112sin 23θ<+≤ 因此，OC OD ⋅的取值范围是(]1,3. 故答案为：(]1,3.15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别为BC 、BC 1的中点，则平面AEF 截正方体所得的截面面积为______． 5 【分析】利用两平行线确定一个平面，作出平面AEF 截正方体的截面，进而求其面积即可.【详解】取11B C 的中点G ，连接1A G ，GF ，如图，由正方体的几何特征可知：11////GE BB AA ，111GE BB AA ===，且1AA AE ⊥所以四边形1AEGA 为矩形，其面积22115112S AA AE ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭即为截面面积， 5. 16．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边为a b c ，，，满足cos sin sin cos sin sin A B C B A C +=2cos sin sin C A B ，则C 的最大值为_________．【答案】3π 【分析】利用两角和的正弦公式、正弦定理化简已知等式可得22cos c ab C =，根据余弦定理和基本不等式可得1cos 2C ≥，结合0()C π∈，即可得出结果. 【详解】因为cos sin sin cos sin sin 2cos sin sin A B C B A C C A B +=， 得sin (cos sin cos sin )2cos sin sin C A B B A C A B +=，sin sin()2cos sin sin C A B C A B +=， 2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理，得22cos c ab C =，所以2cos 2c C ab= 又222cos 2a b c C ab +-=，所以22c ab=2222a b c ab +- 整理得22222a b c ab +=≥，当且仅当a b =时取等号，所以22221cos 222a b c ab ab C ab ab +--=≥=，当且仅当a b =时取等号， 又0()C π∈，，所以C 的最大值为3π. 故答案为：3π 四、解答题17．若复数z ＝（m 2＋m －6）＋（m 2－m －2）i （m ∈R ，i 是虚数单位）．(1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)z 在复平面内对应的点在第二象限，求m 的取值范围． 【答案】(1)-3 (2)(3,1)--【分析】（1）由纯虚数的定义建立方程，求解即可； （2）由第二象限的点的特征建立不等式组，求解即可.【详解】(1)解：因为z 是纯虚数，所以226020m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得3,m =-所以m 的值为-3；(2)解：因为z 在复平面内对应的点在第二象限，所以226020m m m m ⎧+-<⎨-->⎩，解得3<1m -<-，所以m 的取值范围为(3,1)--．18．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别AB ，PD 的中点，且P A ＝AD ．(1)求证：AF //平面PEC ； (2)求证：AF ⊥平面PCD ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得//AF 平面PEC . （2）结合线面垂直的判定定理来证得AF ⊥平面PCD . 【详解】(1)设G 是PC 的中点，由于F 是PD 的中点， 所以1//,2GF CD GF CD =，由于E 是AB 的中点，四边形ABCD 是矩形， 所以1//,2AE CD AE CD =，所以//,GF AE GF AE =，所以四边形AFGE 是平行四边形， 所以AF //EG ，因为AF ⊂/平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， 所以//AF 平面PEC .(2)由于P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA CD ⊥，因为CD AD ⊥，PA AD A ⋂=，PA 、AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD ， 因为AF ⊂平面PAD ， 所以CD AF ⊥，因为,PA AD F =是PD 的中点， 所以AF PD ⊥，因为PD CD D ⋂=，PD 、CD ⊂平面PCD ， 所以AF ⊥平面PCD .19．已知向量(cos 52sin )a αβα=+，(sin 52cos )b αβα=-，且//a b . （1）求cos()αβ+的值；（2）若,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan 3α=，求2αβ+的值.【答案】（125（2）4π. 【分析】（1）由共线向量的坐标表示列出等式，利用两角和的余弦公式化简等式即可得解；（2）由cos()αβ+的值求出tan()αβ+，再利用两角和的正切公式求出tan(2)αβ+，根据2αβ+的范围即可求得2αβ+.【详解】（1）因为//a b ，所以cos (52cos )sin (52sin )0αβααβα--+=，()225(cos cos sin sin )2cos sin 2αβαβαα-=+=， 5cos()2αβ+=，即25cos()5αβ+=. （2）由,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得0αβ<+<π，又因为25cos()05αβ+=>， 所以02παβ<+<，则5sin()5αβ+=，1tan()2αβ+=，因为1tan 3α=，所以11tan tan()32tan(2)1111tan tan()132ααβαβααβ++++===-+-⨯， 因为02πα<<，所以02αβπ<+<，所以24παβ+=.【点睛】本题考查两角和与差的余弦、正切公式，已知三角函数值求角，涉及向量共线的坐标表示，属于中档题.20．在平行四边形ABCD 中，,M N 分别是线段,AB BC 的中点(1)令AB a =，AD b =，试用向量,a b 表示,DM DN ； (2)若1DM =，2DN =，3MDN π∠=，求a b ⋅的值；【答案】(1)12DM a b =-；12DN a b =- (2)209【分析】（1）利用平面向量线性运算可直接得到结果； （2）由（1）可得42332433a DN DMb DN DM ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由平面向量数量积的定义和运算律即可求得结果.【详解】(1)1122DM AM AD AB AD a b =-=-=-； 111222DN DC CN AB DA AB AD a b =+=+=-=-.(2)由（1）知：1212DM a b DN a b⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则42332433a DN DMb DN DM ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又cos 1DM DN DM DN MDN ⋅=⋅∠=，22422482083333999a b DN DM DN DM DN DM DN DM⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32208209999=-+=. 21．在①3a sin C ＝4c cos A ；②2sin5sin 2B Cb a B +=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知， ，32a =．(1)求sin A ；(2)如图，M 为边AC 上一点，MC ＝MB ，π2ABM ∠=，求△ABC 的面积． 【答案】(1)45；(2)278【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求出sin A 即可；（2）根据两角互补其余弦值之和为0，利用余弦定理建立等式求出,BM MC 的长，再利用面积公式求ABC 的面积即可.【详解】(1)若选择条件①，在ABC 中，由正弦定理得3sin sin 4sin cos A C C A =.sin 0C ≠ 3sin 4cos A A ∴= 即229sin 16cos A A = 225sin 16A ∴=又sin 0A >，4sin 5A ∴= 若选择条件②，2sin5sin 2B Cb a B +， π2sin52A b B -∴=，即2sin cos 5sin 2AB A B =. 又sin 0B ≠，2cos52AA ∴=，cos 5cos 222A A A =cos 02A≠ sin 25A ∴=则cos 25A =4sin 2sincos 225A A A ∴==.(2)设()0BM MC m m ==>，易知4cos cos sin 5BMC BMA A ∠=-∠=-=-在BMC △中，由余弦定理得 22418225m m ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，解得m =21133sin 52252BMC S m BMC ∴=∠=⨯⨯=△ 在Rt ABM 中，4sin 5A =，BM =，π2ABM ∠=AB ∴=则158ABM S =31527288ABC S ∴=+=△22．阅读下面材料： sin3θ＝sin （2θ＋θ） ＝sin2θcos θ＋cos2θsin θ33sin 4sin θθ=-， 解答下列问题： (1)用cos θ表示cos3θ；(2)若函数()πcos 3π4sin 5π4cos 4x f x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，其中a ∈R ，π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，f （x ）＜0有解，求a 的取值范围．【答案】(1)3cos34cos 3cos θθθ=-(2)(-∞【分析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式以及同角三角函数基本关系化简，即可得出结果；（2）利用诱导公式和cos3θ的公式把函数()f x 化为关于πcos 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的一元二次函数，再利用换元法和参变分离法得到方程a t <+在⎤⎥⎝⎦上有解，再利用函数g t 的值域求出实数a 的取值范围． 【详解】(1)解：()cos3cos 2θθθ=+cos2cos sin 2sin θθθθ=-()222cos 1cos 2sin cos θθθθ=--()322cos cos 21cos cos θθθθ=--- 34cos 3cos θθ=-，即3cos34cos 3cos θθθ=-；(2)解：()3πcos 3π4sin 5π4cos 4x f x x x ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=++- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭2ππ4cos cos 244x x ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令πcos 4t x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2t ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，所以2240t --<在⎤⎥⎝⎦有解，参变分离可得a <在⎤⎥⎝⎦上有解， 令()g t =121t t <<<，则12112t t <<，故()()()1212120g t g t t t ⎛-=-< ⎝⎭， 所以()g t =+在⎤⎥⎝⎦上是增函数， 所以g t的值域为(， 即实数a的取值范围为(-∞．。
江苏省南京市金陵中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题
江苏省南京市金陵中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ） A ．0B ．10C ．2D ．8-2．已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，tan 3β=，则tan αβ（ ）A ．34-B ．43- C ．34D ．433．在平面直角坐标系xOy 中，若点1,0A ，()0,1B ，()2,3C --，则ABC 的面积为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．124．若实数,x y 满足22log log 1x y +=，则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．C ．3D ．45．如图，在ABC 中，CD 为角C 的平分线，若2B A =，23AD BD =，则cos A 等于（ ）A ．13B ．12C ．34D ．06．已知函数()sin sin3f x x x =-，[]0,x π∈，则()f x 的所有零点之和等于（ ） A ．54π B ．3πC ．πD ．2π7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:29C x y -+=，,E F 是直线:2l y x =+上的两点，若对线段EF 上任意一点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得cos 0APB ∠≤，则线段EF 长度的最大值为（ ）A ．2BC ．D ．4二、多选题8．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与圆()2222x y -+=相切，则直线l 的方程可以是（ ） A ．0x y +=B ．20x y +-=C ．0x y -=D ．40x y +-=10．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2222cos 2c a b ab C ≤++，则C 的取值可以是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 11．在正方体1111ABCD A BC D -，点,,E F G 分别是棱11111,,A D A A A B 的中点，下列说法正确的是（ ） A ．1EF B C ⊥ B ．1//BC 平面EFGC ．1AC ⊥平面EFGD ．异面直线FG 、1BC 所成角的大小为4π12．集合{}22(,)|4A x y x y =+=，{}222(,)|(3)(4)B x y x y r =-+-=，其中0r >，若A B中有且仅有一个元素，则r 的值是（ ）. A ．3 B ．5C ．7D ．9三、填空题13．若锐角α满足3sin 5α=，则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________.14．在平面直角坐标系xOy 中，若圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线l 的方程为________.15．已知ABC 的面积为2AC AB -=，1cos 4A =-，则BC 的长为________.16．在ABC 中，若cos B =()2tan 3sin 2A C -的最小值为________.四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点(),A m n ，()2,1B ，()2,3C -. （1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且ABC 的面积等于7，求点A 的坐标. 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝b cos A ． （1）求ba的值； （2）若sin A ＝13，求sin(C －π4) 的值．19．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，点E 为PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：PC BD ⊥.20．围建一个面积为2360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修，假设旧墙足够长），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口.如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：m ），围建场地的总费用为y （单位：元）. （1）将y 表示为x 的函数；（2）试确定x ，使修建此矩形场地围建的总费用最小，并求出最小总费用.21．如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，3AC =，ABC ，D 为边长BC上一点，158AD =.（1）求BC 的长； （2）求sin ACD ∠的值； （3）求cos CAD ∠的值.22．已知圆()22:11M x y -+=，15,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,B t ，()()0,404C t t -<<，直线,PB PC都是圆M 的切线，且点P 在y 轴右侧.（1）过点A 的直线l 被圆M l 的方程； （2）当1t =时，求点P 的横坐标； （3）求PBC 面积的最小值.参考答案1．D 【分析】利用过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=的斜率相等可得答案. 【详解】∵直线210x y +-=的斜率等于2-，∴过点()2,A m -和(),4B m 的直线的斜率也是2-， 422mm -∴=-+，解得8m =-， 故选：D. 2．B 【分析】先由tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭求出tan α的值，再利用两角差的正切公式计算()tan αβ-【详解】解：因为tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tan tan421tan tan 4παπα+=-，即tan 121tan αα+=-， 解得1tan 3α=， 因为tan 3β=，所以13tan tan 43tan 11tan tan 3133αβαβαβ， 故选：B 3．A 【分析】将三角形ABC 拆分为三角形ABD 和三角形ACD ，由两点式计算BC 所在直线，计算直线与x 轴的交点，分别求出三角形的底和高，公式求面积即可.【详解】解：因为1,0A ，()0,1B ，()2,3C --所以BC 所在直线为()()()131002y x ---=---,即210x y -+=，设直线BC 与x 轴的交点为D ，过点C 做x 轴的垂线，垂足为E ，则1,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,0E -则11322ABC ABD ACD S S S AD BO AD CE =+=⨯⨯+⨯⨯=故选：A 4．B 【分析】由题得2xy =，再利用基本不等式求解. 【详解】因为22log log 1x y +=， 所以2log 1,0,0,2xy x y xy =>>=.所以x y +≥（当且仅当x y =所以x y +的最小值是故选：B 5．C 【分析】由CD 为角C 的平分线，23AD BD =，可得32AC BC =，设3AC x =，2BC x =，然后在ABC 中利用正弦定理可得322sin cos sin x xA A A=，化简计算可得答案【详解】解析：因为CD 为角C 的平分线 所以AD ACBD BC= 因为23AD BD = 所以32AC BC = 所以不妨设3AC x =，2BC x = 因为在ABC 中，sin sin AC BCB A=，2B A = 所以32sin 2sin 2sin cos sin AC BC x xA A A A A=⇒= 因为在ABC 中，sin 0A ≠，0x ≠ 所以32322sin cos sin 2cos x x A A A A=⇒=所以3cos 4A =. 故选：C 6．D 【分析】将()f x 变形为()()sin 2sin 2x x x x --+，利用两角和、差的正弦公式化简求零点，进而求出零点之和. 【详解】()()()sin sin3sin 2sin 22sin cos2f x x x x x x x x x =-=--+=-， []0,x π∈，由()2sin cos20f x x x =-=，得10x =，24x π=，334x π=，4x π=，则零点之和为2π. 故选：D 7．C 【分析】设圆的切线为PM 、PN ，由cos 0APB ∠≤得90APB ∠≥，即90MPN ∠≥， 再求得PC 的取值范围，求得点P 的坐标，即可求得EF 的最大值． 【详解】由题意，圆心到直线:2l y x =+的距离为3d ==（半径）故直线l 和圆相交；当点P 在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角， 当且仅当两条线均为切线时，APB ∠才是最大的角，不妨设切线为PM ，PN ，则由cos 0APB ∠≤， 得90APB ∠≥， 90MPN ∴∠≥；当90MPN ∠=时，32sin sin 452MPC PC ∠===，PC ∴=设()00,2P x x +，PC =解得：0x =设())2,2E F，如图，EF 之间的任何一个点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得90APB ∠≥，线段EF 长度的最大值为EF ==故选：C 8．BC【分析】根据线面平行的判定定理判断． 【详解】A 中如下图，由中位线定理//MQ CD ，而//CD AB ，从而//MQ AB ，AB ⊄平面MNQ ，有线面平行；B 中，如下图，BC MN O =，在平面ABC 上，OQ 与AB 显然相交，因此AB 与平面MNQ相交，不平行．C 中，如下图，C 是所在棱中点，则//CQ MN ，即CQ ⊂平面MNQ ，而在底面ABQ 上，直线CQ 与直线AB 相交，AB 与平面MNQ 相交，不平行．D 中，如下图，由中位线定理//MN CD ，而//CD AB ，从而//MN AB ，AB ⊄平面MNQ ，有线面平行；故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：本题考查线面平行的判断，关键是找到线线平行．正方体中平行线很多，易于寻找，在说明线面相交时，注意线线相交一定要在一个平面内的两条直线才能确定是否相交． 9．ACD 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径，结合选项逐个验证. 【详解】因为圆()2222x y -+=的圆心为()2,0对于A ，圆心到直线的距离d =对于B ，圆心到直线的距离0d =，不正确；对于C ，圆心到直线的距离d对于D ，圆心到直线的距离d 故选：ACD. 10．ABC 【分析】利用222=cos 2a b c C ab+-代入条件可得22cos cos 10C C +-≥,进而求解即可【详解】因为2222cos 2c a b ab C ≤++所以()2222cos 2cos cos 2cos 2cos 12a b c C C C C C ab+-≥-⇒≥-⇒≥-- 所以22cos cos 10C C +-≥解得1cos 2C ≥或cos 1C ≤- 因为()0,C π∈ 所以1cos 2C ≥所以0,3C π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：ABC. 11．ABC 【分析】对于A ：连接1BD ，由中位线定理得1//EF AD ，又由11BC B C ⊥，可判断； 对于B ：根据线面平行的判定定理可判断； 对于C ：根据线面垂直的判定定理可判断；对于D ：连接1AB AC ，，可得1AB C ∠（或其补角）就是异面直线FG 、1BC 所成的角，由此可判断. 【详解】对于A ：连接1BD ，因为,E F 分别是棱111,A D A A 的中点，所以1//EF AD ，又11//BC AD ，所以1//BC EF ，又11BC B C ⊥，所以1EF B C ⊥，故A 正确；对于B ：由A 选项的解析得1//BC EF ，又EF ⊂平面EFG ，1BC ⊄平面EFG ，所以1//BC 平面EFG ，故B 正确；对于C ：连接11B D ，则1111B D AC ⊥，又因为,E G 分别是棱1111,A D A B 的中点，所以11//EG B D ，所以11EG AC ⊥，又1AA ⊥面1111D C B A ，EG ⊂面1111D C B A ，所以1AA EG ⊥，又11A A AC A =，11A A AC ⊂，面11A AC ，所以EG ⊥面11A AC ，所以1EG AC ⊥，同理可证1FG AC ⊥，又EG FG G =，EG FG ⊂，面EFG ，所以1AC ⊥平面EFG ，故C 正确；对于D ：连接1AB AC ，，因为,F G 分别是棱111,A A A B 的中点，所以1//FG AB ，所以1AB C ∠（或其补角）就是异面直线FG 、1BC 所成的角，又1ABC 是正三角形，所以13AB C π∠=，所以异面直线FG 、1BC 所成角的大小为3π，故D 不正确， 故选：ABC.12．AC 【分析】题意说明两个圆只有一个公共点，两个圆相切（外切和内切）时，只有一个公共点． 【详解】圆224x y +=的圆心是(0,0)O ，半径为2R =， 圆222(3)(4)x y r -+-=圆心是(3,4)C ，半径为r ，5OC =，当25r +=，3r =时，两圆外切，当25r -=，7r =时，两圆内切，它们都只有一个公共点． 故选：AC ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系，解题关键是确定集合中的元素，本题实质是考查圆与圆的位置关系．13【分析】由同角三角函数关系求出cos α，由两角和的余弦公式即可求出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】 解：3sin 5α=，且α为锐角，所以4cos 5α=，cos cos cos sin sin 444πππααα⎛⎫+=-=⎪⎝⎭.14．20x y -+= 【分析】直线l 为两个圆心的中垂线，分别求圆心，利用点斜式求解即可. 【详解】若圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称， 则直线l 为两个圆心的中垂线， 224x y +=的圆心为1(0,0)O ，224440x y x y ++-+=的圆心为2(2,2)O -.121O O k =-，中点为(1,1)-可得直线l 为11y x -=+ ，整理得：20x y -+=. 故答案为：20x y -+=. 15．8 【分析】求得sin A 的值，利用三角形的面积公式求得24bc =，结合余弦定理可求得a 的值，即为所求. 【详解】在ABC 中，1cos 4A =-，所以sin A =由1sin 2ABC S bc A ==△24bc ∴=，由余弦定理得()22222221552cos 22464222a b c bc A b c bc b c bc =+-=++=-+=+⨯=，因此，8BC a ==. 故答案为：8. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积公式以及同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.16．6 【分析】由题知4B π=，34C A π=-，所以()224cos 22cos 2tan 3sin 21cos 2A A A C A+-=+，进而令1cos 2A t +=，[)0,2t ∈，再根据基本不等式求解即可得答案.【详解】解：在ABC 中，因为()cos 0,B B π=∈，所以4B π=，34C A π=- 所以()()()222223sin 3cos tan 3sin 2tan 3sin 2cos 22cos A A A C A A A A π⎛⎫-⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24cos 2cos 21cos 2A A A --⎛⎫=- ⎪+⎝⎭24cos 22cos 21cos 2A AA +=+ 令1cos 2A t +=，[)0,2t ∈，原式24622= 4666t t t t t-+=+-≥=，当且仅当[)0,2t =是等号成立.故答案为：617．（1）240x y +-=；（2）()3,4A 或()3,0-. 【分析】（1）利用点斜式求得BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S =△以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标. 【详解】 （1）∵311222AB k -==---，采用点斜式设直线方程：11(2)2y x -=-- ∴240x y +-=（2）∵A 点在中线AD 上，把A 点坐标代入，2360-+=m n 点A 到直线:240BC x y +-=的距离d =∵11||722ABC S d BC =⋅⋅==△ 即23603 2474m n m m n n -+=⎧=⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩或30m n =-⎧⎨=⎩所以，点A 的坐标为()3,4A 或()30A -,18．（1）1（2 【详解】分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到结果，（2）由（1）可得：C=π-2A ，利用sinA=13，A 为锐角，可得：cosA ，sin2A ，cos2A 的值，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式即可求值． （1）由a cos B ＝b cos A ，得sin A cos B ＝sin B cos A ， 即sin(A －B )＝0．因为A ，B ∈(0，π)，所以A －B ∈(－π，π)，所以A －B ＝0， 所以a ＝b ，即＝1．（2）因为sin A ＝，且A 为锐角，所以cos A ＝． 所以sin C ＝sin(π－2A )＝sin2A ＝2sin A cos A ＝，cos C ＝cos(π－2A )＝－cos2A ＝－1＋2sin 2A ＝－． 所以sin(C －)＝sin C cos －cos C sin ＝．点睛：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式的应用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接EO ，可证//PA EO ，线面平行的判定定理可证//PA 平面BDE ；（2）由菱形对角线垂直和线面垂直可证BD ⊥平面PAC ，从而得出BD PC ⊥.【详解】（1）证：连接AC 交BD 于O 点，连接EO ∵底面ABCD 是菱形 ∴O 为AC 的中点 ∵点E 为PC 的中点 ∴//PA EO∵EO ⊂平面BDE ，且PA ⊄平面BDE ∴//PA 平面BDE（2）证：∵底面ABCD 是菱形 ∴AC BD ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ∴PA BD ⊥∵AC PA A ⋂=，∴BD ⊥平面PACPC ⊂平面PAC ，∴BD PC ⊥20．（1）()23602253602y x x x=+->；（2）当24x =时，min 10440y =元.【分析】(1)设矩形的宽为a 米，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得 a ＝360x，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式； (2)根据(1)中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值． 【详解】 （1）设宽为a 米 ∵360ax =，∴360a x=∴36045180(2)1802y x x x=+-+⨯⨯2360225360(2)x x x=+->（2）∵2x >利用基本不等式：y 2360225360(2)x x x=+->∴36010440y ≥=当且仅当2360225x x=时，即24x =时取等号，此时min 10440y =元答：当24x =米时，修建费用最小，最小费用为10440元. 21．（1）7；（2；（3）12或7198.【分析】（1）由三角形的面积可求出5c =，再利用余弦定理可求出BC 的长； （2）在ABC 中，利用正弦定理直接求解即可；（3）在ACD △中利用正弦定理求出sin ADC ∠，再利用同角三角函数的关系求出cos ADC ∠的值，而()()cos cos cos CAD ACD ADC ACD ADC π∠=-∠+∠=-∠+∠⎡⎤⎣⎦，然后利用两角和的余弦公化简计算即可 【详解】解：（1）设角,,A B C 所对边为,,a b c，由题知132S c =⨯=，解得5c =， 在ABC 中，由余弦定理可得219252352a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得7a =，即7BC =；（2）在ABC 中，由余弦定理可得9492511cos 23714ACB +-∠==⨯⨯，又因为()0,ACD π∠∈，则sin sin ACD ACB ∠=∠= （3）在ACD △153sin ADC =∠，解得sin ADC ∠=1cos 7ADC ∠=±，①当1cos 7ADC ∠=时，()()cos cos cos CAD ACD ADC ACD ADC π∠=-∠+∠=-∠+∠⎡⎤⎣⎦ cos cos sin sin ACD ADC ACD ADC =-∠∠+∠∠11111472=-⨯= ②当1cos 7ADC ∠=-时，()()cos cos cos CAD ACD ADC ACD ADC π∠=-∠+∠=-∠+∠⎡⎤⎣⎦ cos cos sin sin ACD ADC ACD ADC =-∠∠+∠∠1117114798⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭ 22．（1）12x =或2410370x y +-=；（2）3；（3）163. 【分析】（1）分类讨论：斜率不存在时成立；斜率存在时，先求弦心距，再利用弦长可求斜率，从而可求方程；（2）根据题意易得:1PB y =，设:3PC y nx =-，利用M 到直线PC 距离为1，求得n ，得出直线PC 的方程，从而可得点P 的横坐标；（3）由于BC 长度一定，故求PBC 面积的最小值，即求P 的横坐标的最小值，利用PB ，PC 是圆的切线，可求P 的坐标，根据已知，可求其最小值． 【详解】解：（1）由题意知，圆心M 到直线l的距离12d ==， ①当直线l 的斜率不存在时，1:2l x =，满足圆心M 到直线l 的距离等于12； ②当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则51:22l y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即502k kx y --+=，圆心M到直线l的距离12d ==，解得125k =-，则:2410370l x y +-=；综上得，直线l 的方程为12x =或2410370x y +-=（2）当1t =时，此时()0,1B ，()0,3C -，又因为直线,PB PC 都是圆M 的切线，且点P 在y 轴右侧.易得:1PB y =；且PC 斜率存在，设为n ，则:3PC y nx =-，即30nx y --=， M 到直线PC1=，解得43n =， 则4:33PC y x =-，把1y =代入433y x =-，解得3x =， 则P 的横坐标为3；（3）因为4BC =为定值，且B 、C 在y 轴上，所以要求PBC 面积的最小值，即求P 的横坐标的绝对值的最小值， 设点P 的横坐标为p x ，由题知，直线,PB PC 的斜率皆存在，设PB 的斜率为m ，则:PB y mx t =+，即0mx y t -+=．因为PB 与圆M1=，得212t m t -=． 所以21:2t PB y x t t-=+．同理可得21(4):42(4)t PA y x t t --=+--． 由22121(4) 4.2(4)t y x t t t y x t t ⎧-=+⎪⎪⎨--⎪=+-⎪-⎩解得222841P t tx t t -=-+． 则2222411144pt t x t t t t -+==+--．因为04t <<，所以2044t t >-≥-，所以234px ≤，83P x ≥．当2t =时，83P x =，此时18164233ABCS=⨯⨯=． 所以PBC 面积的最小值为163．。
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金陵中学2005—2006学年高一数学第一学期期中试卷命题：吴祥华 审核：张松年 05．11．2一、选择题1．幂函数n x y =的图象（ ）．A ．一定经过点（0，0）B ．一定经过点1(-，)1-C ．一定经过点1(-，)1D ．一定经过点1(，)12．若全集1{=U ，2，3，}4，集合1{=A ，}2，则满足U B A = 的集合B 有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．当x ≥3-时，化简-+2)3(x 33)3(-x 得（ ）． A ．6 B ．x 2C ．6或x 2-D ．x 2-或6或x 2 4．设10<<a ，则函数()5log +=x y a 的图象不经过（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．若函数x m y )1(-=是R 上的减函数，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．1(，)∞+ B ．0(，)1 C ．-∞(，)1 D ．1(-，)16．已知函数)(x f y =的图象如右图所示，则函数|)(|x f y =的图象为（ ）．7．下列关于函数x y 2log =的结论中，正确的是（ ）．A ．是函数2x y =的反函数B ．图象过点1(，)0C ．图象与直线x y -=无交点D ．定义域为0[，)∞+8．23.0，3.0log 2与3.02的大小关系是（ ）．A ．3.0log 23.023.02<<B ．3.02223.0log 3.0<<C ．23.023.023.0log <<D ．3.02223.03.0log <<9．若函数)(x f 的定义域是1[-，]1，则函数)1(+x f 的定义域是（ ）．A ．1[-，]1B ．0[，]2C ．2[-，]0D ．0[，)2 10．若函数c bx x x f ++=2)(满足)3()1(f f =-，则（ ）． A ．)1()1(->>f c f B ．)1()1(-<<f c fABCC ．)1()1(f f c >->D ．)1()1(f f c <-<11．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间0[，]m 上的值域是2[，]3，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．1[，)∞+ B ．[0，2]C ．-∞(，]2-D ．1[，]212．已知指数函数x a y =在[0，]1上的最大值与最小值的和为3，则实数a 的值为（ ）． A ．41 B ．21C ．2D ．4 二、填空题13．已知集合}02|{2=--=x x x P ，集合x x T <-=1|{≤}2，则集合=T P ． 14．若)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(+=x x x f ，则当0<x 时，)(x f = ． 15．若函数)26(log 22+-=x mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．16．已知)(x f 与)(x g 是定义在R 上的非奇非偶函数，且)()(x g x f ⋅是定义在R 上的偶函数，试写出满足条件的一组函数：=)(x f ，=)(x g ．（只要写出满足条件的一组即可）三、解答题17．对于集合A ，B ，我们把集合{(a ，b )|A a ∈，B b ∈}记作B A ⨯．例如：=A {1，2}，=B {3，4}，则有=⨯B A {(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}， =⨯A B {(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}， =⨯A A {(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}， =⨯B B {(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}， 据此，试解答下列问题：（1）已知=C {m }，=D {1，2，3}，求D C ⨯； （2）已知=⨯B A {(1，2)，(2，2)}，求集合A ，B ；（3）若A 中有3个元素，B 中有4个元素，试确定B A ⨯有几个元素．18．完成下列填空，并按要求画出函数的简图，不写画法，请保留画图过程中的痕迹，痕迹用虚线表示，最后成图部分用实线表示．（1）函数|32|2--=x x y 的零点是 ，利用函数322--=x x y 的图象，在直角坐标系（1）中画出函数|32|2--=x x y 的图象．)2(（2）函数12||+=x y 的定义域是 ，值域是 ，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）．利用x y 2=的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数12||+=x y 的图象．19．计算：（1）已知0>a 且32=xa ，求xx xx a a a a --++33的值；（2）求1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+的值．20．已知函数1212log )(21+-=x x x f （-∞∈(x ，21()21 -，)∞+）． （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）指出函数)(x f 在区间21(，)∞+上的单调性，并加以证明．21．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数)(x f y =的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？高一数学期中试卷答题纸一．选择题（涂在答题卡上） 二．填空题13．=T P ．14．当0<x 时，=)(x f ． 15． ． 16．=)(x f ，=)(x g ． 三．解答题 17．18．（1）函数|32|2--=x x y 的零点是 ，利用函数322--=x x y 的图象，在直角坐标系（1）中画出函数|32|2--=x x y 的图象．（2）函数12||+=x y 的定义域是 ，值域是 ，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）．利用x y 2=的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数12||+=x y 的图象．19．（1） （2） 20．)2(21．附加题22．设)(x f 是定义在1[-，]1上的奇函数，且对任意的1[,-∈b a ，]1， 当0≠+b a 时，都有ba b f a f ++)()(＞0．（1）若a ＞b ，试比较)(a f 与)(b f 的大小；（2）解不等式)21(-x f ＜)41(-x f ； （3）如果)()(c x f x g -=和)()(2c x f x h -=这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的取值范围．金陵中学2005—2006学年高一数学第一学期期中试卷命题：吴祥华 审核：张松年 05．11．2一、选择题1．幂函数n x y =的图象（ ）．DA ．一定经过点（0，0）B ．一定经过点)1,1(--C ．一定经过点1(-，)1D ．一定经过点1(，)12．若全集1{=U ，2，3，}4，集合1{=A ，}2，则满足U B A = 的集合B 有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 选D ．}4,3{，}4,3,1{，}4,3,2{，}4,3,2,1{． 3．当x ≥3-时，化简-+2)3(x 33)3(-x 得（ ）． A A ．6 B ．x 2C ．6或x 2-D ．x 2-或6或x 2 4．设10<<a ，则函数()5log +=x y a 的图象不经过（ ）． AA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．若函数x m y )1(-=在R 上是减函数，则m 的取值范围是（ ）． BA ．1(，)∞+ C ．-∞(，)1 6．已知函数)(x f y =的图象为（ ）． B7．下列关于函数x y 2log =的结论中正确的是（ ）． BA ．是函数2x y =的反函数B ．图象恒过定点1(，)0C ．图象与直线x y -=无交点D ．定义域为0[，)∞+ 8．23.0，3.0log 2与3.02的大小关系是（ ）． DA ．3.0log 23.023.02<<0B ．3.02223.0log 3.0<<C ．23.023.023.0log <<D ．3.02223.03.0log <<9．若函数)(x f 的定义域是1[-，]1，则函数)1(+x f 的定义域是（ ）． C A ．1[-，]1 B ．0[，]2 C ．2[-，]0 D ．0[，)2 10．若二次函数c bx x x f ++=2)(，且)3()1(f f =-，则（ ）． A ．)1()1(->>f c f B ．)1()1(-<<f c fC ．)1()1(f f c >->D ．)1()1(f f c <-< 解 选B ．∵)3()1(f f =-，∴函数c bx x x f ++=2)(的对称轴是直线1=x ，画出)(x f 的草图（如图），又∵c f =)0(，)(x f 在1[-，]1上递减，故)1()1(-<<f c f ，∴选B ．11．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间0[，]m 上的值域是2[，]3则m 的取值范围是（ ）．D A ．1[，)∞+ B ．[0，2] C ．-∞(，]2- D ．1[，]2 12．已知指数函数x a y =在[0，]1上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为（ ）．C A ．41 B ．21C ．2D ．4 二、填空题13．已知集合}02|{2=--=x x x P ，集合x x T <-=1|{≤}2，则集合=T P ． }2{．14．若)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(+=x x x f ，则当0<x 时，)(x f = ． )1()(x x x f -=15．若函数)26(log 22+-=x mx y 的定义域为R ，则m 的取值范围是 ． (∈m ),29+∞．B16．已知)(x f 与)(x g 是定义在R 上的非奇非偶函数，且)()(x g x f ⋅是定义在R 上的偶函数，写出满足条件的一组函数：=)(x f ，=)(x g ． 1)(+=x x f ，1)(-=x x g （答案不惟一） 三、解答题17．对于集合A ，B ，我们把集合{(a ，b )|A a ∈，B b ∈}记作B A ⨯．例如：=A {1，2}，=B {3，4}，则有=⨯B A {(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}， =⨯A B {(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}， =⨯A A {(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}， =⨯B B {(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}， 据此，试解答下列问题：（1）已知=C {m }，=D {1，2，3}，求D C ⨯； （2）已知=⨯B A {(1，2)，(2，2)}，求集合A ，B ；（3）若A 中有3个元素，B 中有4个元素，试确定B A ⨯有几个元素． 解：（1）由题知=⨯D C {(m ，1)，(m ，2)，(m ，3)}．（2）因为=⨯B A {(1，2)，(2，2)}，所以A 中有元素1，2，B 中含有元素2，即=A {1，2}，=B {2}． （3）B A ⨯中含有12个元素．18．完成下列填空，并按要求画出函数的简图，不写画法，请保留画图过程中的痕迹，痕迹用虚线表示，最后成图部分用实线表示． （1）函数|32|2--=x x y 的零点是 ，利用函数322--=x x y 的图象，在直角坐标系（1）中画出函数|32|2--=x x y 的图象．（2）函数12||+=x y 的定义域是 ，值域是 ，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）．利用x y 2=的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数12||+=x y 的图象．19．计算：（1）已知0>a ，32=xa ，求xx xx a a a a --++33的值；（2）求1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+的值．解：（1）原式x x x x x x a a a a a a ---++-+=)1)((221122-+=xxaa 371313=-+=． （2）原式10lg )1(10lg 215lg 2lg 5lg 2lg 33-⨯--+=21)5lg 2(lg 2-+=10lg 4-=4-=． 20．已知函数1212log )(21+-=x x x f （-∞∈(x ，21()21 -，)∞+）．（1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）指出函数)(x f 在区间21(，)∞+上的单调性，并加以证明．解 （1）因为1212log )(21+---=-x x x f 1212log 21-+=x x 1211212log -⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x )(x f -=，所以函数)(x f 是奇函数．（3）设1212)(+-=x x x g 1221+-=x ． 设21x x m <<-，则)()(21x g x g -)12)(12(42112++-⋅-=x x x x ，因为0<m ，2121x x <<，所以012>-x x ，0121>+x ，0122>+x ，所以0)12)(12(42112<++-⋅-x x x x ，即)()(21x g x g <，因为x y 21log =是减函数，所以)(log )(log 221121x g x g >， 即)()(21x f x f >，所以)(x f 在21(，)∞+上是减函数．21．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数)(x f y =的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ 解：（1）当x ≤6时，11550-=x y ，令011550>-x ，解得3.2>x ．∵∈x N ，∴x ≥3，∴3≤x ≤6，且∈x N ．当x <6≤20时，115)]6(350[---=x x y 1156832-+-=x x ．综上可知⎩⎨⎧∈≤<-+-∈≤≤-=).,206(,115683),,63(,115502N N x x x x x x x y （2）当3≤x ≤6，且∈x N 时，∵11550-=x y 是增函数，∴当6=x 时，185max =y 元．当x<6≤20，∈x N 时，1156832-+-=x x y 3811)334(32+--=x ， ∴当11=时，270max =y 元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元． 附加题22．设)(x f 是定义在1[-，]1上的奇函数，且对任意的1[,-∈b a ，]1，当0≠+b a 时，都有ba b f a f ++)()(＞0．（1）若a ＞b ，试比较)(a f 与)(b f 的大小；（2）解不等式)21(-x f ＜)41(-x f ； （3）如果)()(c x f x g -=和)()(2c x f x h -=这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的取值范围． 解：设1-≤1x ＜2x ≤1，由奇函数的定义和题设条件，得)()()()()()()()(1212121212x x x x x f x f x f x f x f x f --+-+=-+=-＞0，∴)(x f 在]1,1[-上是增函数．∵∈b a ,]1,1[-，a ＞b ，∴)(a f ＞)(b f ．（2）∵)(x f 是]1,1[-上的增函数，∴不等式)21(-x f ＜)41(-x f 等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-,4121,1411,1211x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--<--≤-⇔,141,4121,211x x x x∴原不等式的解集是}4521|{≤≤-x x ．（3）设函数)(),(x h x g 的定义域分别是P 和Q ，则1|{-=x P ≤c x -≤}11|-=c x ≤x ≤}1+c ，1|{-=x Q ≤2c x -≤}11|{2-=c x ≤x ≤}12+c ．于是=Q P φ的充要条件是1+c ＜12-c 或12+c ＜1-c ．解得c 的取值范围是-∞(，2()1 -，)+∞．。