初中数学几何证明题经典例题ppt课件
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几何证明PPT教学课件
题型三 关于圆的综合应用
例3 如右图，梯形 ABCD 内接于⊙O，
AD∥BC，过 B 引⊙O 的切线分别交
DA、CA 的延长线于 E、F.已知 BC＝
8，CD＝5，AF＝6，则 EF 的长为________．
思维启迪 充分利用ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ似三角形与圆的知识．
解析 ∵BE 切⊙O 于 B， ∴∠ABE＝∠ACB. 又 AD∥BC， ∴∠EAB＝∠ABC， ∴△EAB∽△ABC， ∴ABCE＝BACB.又 AE∥BC，
6．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半．
7．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 8．圆内接四边形的性质定理
(1)圆的内接四边形的对角互补； (2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
9．圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互 补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
10．圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直 于这条半径的直线是圆的切线．
11．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 12．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 13．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的
两条线段长的积相等． 14．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长
AB、BC 的中点，EF 与 BD 相交于点
M.若 DB＝9，则 BM＝___3_____.
解析 ∵E 是 AB 的中点， ∴AB＝2EB. ∵AB＝2CD，∴CD＝EB. 又 AB∥CD，∴四边形 CBED 是平行四边形． ∴CB∥DE， ∴∠ ∠DEDEMM＝ ＝∠ ∠BFFBMM， ， ∴△EDM∽△FBM. ∴DBMM＝DBFE.∵F 是 BC 的中点， ∴DE＝2BF.∴DM＝2BM，∴BM＝13DB＝3.
几何证明举例教学课件ppt
Cபைடு நூலகம்
BD
(4) 以点A为圆心,m为半径画弧，交CD于点B;
(5) 连接AB.
△ABC即为所求作的三角形.
如图：已知AC＝BD，∠C=∠D=90°.
求证:Rt∆ABC≌Rt∆BAD.
D
O
A
C B
1.应用斜边直角边（HL）定理判定两个三角 形全等，要按照定理的条件，准确地找出“对应 相等”的边；
2.寻找使结论成立所需要的条件时，要注意 充分利用图形中的隐含条件，如“公共边、公共 角、对顶角等等”.
作业；
习题5.6 3题4题5题
现在你有几种判定直角三角形
全等的方法？
前
1.边角边 简称 “SAS” 三 个
2.角边角 简称 “ASA” 是
3.边边边
简称 “SSS”
基 本
4.角角边 简称 “AAS” 事
实
如图，在Rt△ABC和Rt△A ´B ´C´中，∠C= ∠C =90°，AB＝A ´B ´,AC＝A ´C ´. 能证明Rt∆ABC ≌Rt∆A´B´C´吗？
先利用基本作图“过一点作已知直线的 垂线”,作出三角形的直角顶点C.再根据直角 边AC的长确定顶点A，最后根据斜边长作出 另一个顶点B.
已知:线段l,m(l<m).
l
求作Rt∆ABC,使直角边AC=l,斜边AB=m.
m
作法： E
(1)任取一点C,作射线CD; A
(2) 过点C作射线CE⊥CD；
(3) 在CE上截取CA=l；
A/ ( A )
B/
B
C/ ( C)
方法2 将两个直角三角形的斜边重合在一起， 你能证明这两个直角三角形全等吗？
B(B/)
C
几何证明北师大版七年级数学下册习题PPT课件
(2)解：成立，理由如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α， ∴∠CAE＝∠ABD， ABD＝CAE, 在△ADB和△CEA中， BDA＝CEA
AB AC, ∴△ADB≌△CEA(AAS)， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(SAS)， 如图，直线a和b被直线c所截，下列条件中不能判断a∥b的是( ) C．∠2＋∠4＝180°
∴BE⊥AE； ∵E是CD的中点，∴DE＝EC.
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E， AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于 点G. 求证：(1)DF∥BC；
7．如图，BE＝FC，∠A＝∠D，∠B＝∠F.
求证：△ABC≌△DFE. 证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
A D B F BC FE ∴△ABC≌△DFE(AAS)．
8．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点 O，连接线段AO，AO恰好平分∠BAC.求证：OB＝OC. 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，AO平分∠BAC，
(1)证明：∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACD＝∠BCE， AB＝BC, 在△ACD和△BCE中，ACD BCE
CD CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS)；
(2)解：由(1)知：△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE＝5，∴AB＝AD＋BD＝5＋2＝7.
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连 接BE交AD于F，且AD＝BD，DC＝DF.求证：BE⊥AC. 证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
初中几何证明题ppt课件
• 但也有同学会出现如“连接A,B两点，使 得——”，或者“延长——使得…与…平 行”这样的不规范或错误．
10
（2009南京中考模拟题）写出下列命题的已知、
求证，并完成证明过程．
命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两
个角所对的边也相等（简称：“等角对等
边”）．
A
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C． 求证：AB＝AC．
B AE
F 提示： C 过点B作BF⊥DC交DC的延长
线于点F．证明△BAE≌△BCF, D 四边形BEDF是正方形，BE=3.
13
例3 如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙
上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时
梯子的倾斜角为75°.若梯子底端距离地面的垂
直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°.求房子
4
2．格式规范 “∵∴” 的书写和推出符号的使用应统一． ∵△ABC≌△BAD =〉 AC＝BD． 又∵OA＝OB， =〉 OC＝OD =〉 ∠OCD＝∠ODC．
5
3．步骤规范 这里主要是我们许多同学会疏忽的共性 问题，由于证明的书写要体现严谨的思 路，但基于数学语言的不熟练和思路的 不清晰以及不少同学的粗枝大叶的性格， 经常会出现跳跃步骤的现象．
求证：（1）OA＝OB；（2）AB∥CD． 证明： （1）∵ABC≌BAD， ∴∠CAB＝∠DBA． ∴OA＝OB．
3
（3）角的正确表示
同样在上面证明中，也有同学将角的符号表示错误 或者漏写． 证明： （2）∵△ABC≌△BAD， ∴AC＝BD． 又∵OA＝OB， ∴ OC＝OD． ∴∠C＝ODC．
几何证明题如何书写才算规范
1
●怎样才算规范
1．语言规范 常见的数学语言使用要规范．如： （1）表示逻辑关系的因为、所以的简化符 号不能乱写， 因为用“∵”，所以用 “∴” ；
10
（2009南京中考模拟题）写出下列命题的已知、
求证，并完成证明过程．
命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两
个角所对的边也相等（简称：“等角对等
边”）．
A
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C． 求证：AB＝AC．
B AE
F 提示： C 过点B作BF⊥DC交DC的延长
线于点F．证明△BAE≌△BCF, D 四边形BEDF是正方形，BE=3.
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例3 如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙
上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时
梯子的倾斜角为75°.若梯子底端距离地面的垂
直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°.求房子
4
2．格式规范 “∵∴” 的书写和推出符号的使用应统一． ∵△ABC≌△BAD =〉 AC＝BD． 又∵OA＝OB， =〉 OC＝OD =〉 ∠OCD＝∠ODC．
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3．步骤规范 这里主要是我们许多同学会疏忽的共性 问题，由于证明的书写要体现严谨的思 路，但基于数学语言的不熟练和思路的 不清晰以及不少同学的粗枝大叶的性格， 经常会出现跳跃步骤的现象．
求证：（1）OA＝OB；（2）AB∥CD． 证明： （1）∵ABC≌BAD， ∴∠CAB＝∠DBA． ∴OA＝OB．
3
（3）角的正确表示
同样在上面证明中，也有同学将角的符号表示错误 或者漏写． 证明： （2）∵△ABC≌△BAD， ∴AC＝BD． 又∵OA＝OB， ∴ OC＝OD． ∴∠C＝ODC．
几何证明题如何书写才算规范
1
●怎样才算规范
1．语言规范 常见的数学语言使用要规范．如： （1）表示逻辑关系的因为、所以的简化符 号不能乱写， 因为用“∵”，所以用 “∴” ；
《初中几何证明题》课件
提高练习题
总结词：能力提升
详细描述：提高练习题是在基础练习题的基础上，进一步加深对几何证明题的理解和应用。这些题目 通常涉及多个知识点，需要学生综合运用所学知识进行解答，有助于提高学生的思维能力和解题技巧 。
竞赛练习题
总结词
挑战与突破
VS
详细描述
竞赛练习题是针对初中数学竞赛的几何证 明题，难度较大，对学生的思维能力和解 题技巧提出了更高的要求。这些题目通常 需要学生突破常规思维，寻找独特的解题 方法，有助于培养学生的创新思维和解决 问题的能力。
反证法
总结词
通过假设结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明结论成立 。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法。首先假设结论不成立，然后 在此基础上进行推理和计算，如果推导出矛盾，则说明假设 不成立，从而证明结论成立。
综合法与分析法
总结词
综合法是从已知条件出发，逐步推导到结论；分析法是从结论出发，逐步推导到已知条 件。
05
几何证明题总结与反思
总结几何证明题的解题思路
明确已知条件和求证目标
在解题前，应仔细阅读题目，明确已 知的条件和需要证明的目标，以便确 定解题方向。
分析图形结构
根据题目的描述，分析图形的结构， 包括角度、线段、平行、垂直等关系 ，为解题提供依据。
选择合适的证明方法
根据图形的结构和已知条件，选择合 适的证明方法，如利用全等三角形、 相似三角形、勾股定理等。
逐步推导
根据选择的证明方法，逐步推导所需 证明的结论，每一步推导都要有明确 的逻辑依据。
反思几何证明题的常见错误与注意事项
常见错误
在解题过程中，容易出现一些常 见的错误，如混淆已知条件和求 证目标、忽略图形的结构、选择 错误的证明方法等。
人教版八年级数学上册：第三部分 专题探究 专题四 几何证明专题 ppt课件
〔2〕解：△ABE是等边三角形. 理由如下. ∵BC是线段AE的垂直平分线， ∴BA=BE,即△ABE是等腰三角形. 又∵∠CAB=60°， ∴△ABE是等边三角形.
5. 如图3-4-10,知：在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交 于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求 证：BE+CF=EF. 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD=∠DBC. ∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC. ∴∠EDB=∠EBD. ∴DE=BE. 同理，CF=DF. ∴EF=DE+DF=BE+CF， 即BE+CF=EF.
第三部分 专题探求
专题四 几何证明专题
考点突破
考点一: 证明三角形全等 【例1】如图3-4-1所示，在△ABC中，AD⊥BC， CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE相交于点H， 假设AE=CE，求证：△AEH≌△CEB. 证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH=∠CEB=90°， ∠EAH=90°-∠B，∠ECB=90°-∠B. ∴∠EAH=∠ECB. 在△AEH和△CEB中， ∴△AEH≌△CEB〔ASA〕.
根底训练
6. 如图3-4-11，AB=CD，BC=DA，点E，F在AC上， 且AE=CF. 试阐明：△BCF≌△DAE. 证明：在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA〔SSS〕. ∴∠ACB=∠CAD. 在△BCF和△DAE中，
∴△BCF≌△DAE〔SAS〕.
7. 如图3-4-12，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分 ∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点 F. 求证：DE=BF. 证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠1=∠2. ∵DE⊥AC，∠ABC=90°,∴DE=BD. 可证△BCD≌△ECD, ∴∠3=∠4. ∵BF∥DE，∴∠4=∠5. ∴∠3=∠5. ∴BD=BF. ∴DE=BF.
《几何证明举例》PPT课件
出要使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件”看作“结
论”，一步一步逆推，直至归结为已知条件。
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21
等腰三角形的判定方法有下列几 种： ①定义，②判定定理 。
等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 是 条件和结论刚好相反。 。
运用等腰三角形的判定定理时，应注 意 在同一个三角形中 。
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C 60
A B C 精6选0课件p（pt 等式的性质 ）
17
交流与探索
思考：等边三角形的每个内角都等于600的逆命题是什 么？这个逆命题是真命题吗？
逆命题是真命题： 如果一个三角形的每个内角都等于600 ，那么这个三
角形是等边三角形。
你能把这个逆命题的条件适当减少,使它仍然是真命题吗？
4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角
为3_5_°__，3_5__°。
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2
学习目标
1.进一步掌握证明的基本步
骤和书写格式。
2.能用“公理”和“已经证
明的定理”为依据，证明等
腰三角形的性质定理和判定
定理。
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3
回顾与思考 ☞
1.我们学习了证明的相关知识，你还记得我们依据
7
Ａ
已知：△ABC中，AB＝AC
求证：∠Ｂ＝ ∠Ｃ
证明：作BC边上的中线 AD
∴ BD = CD (中线定义)
∵在 △BAD与 △CAD中
AB = AC (已知)
Ｂ DＣ
BD = CD （已证） AD = AD (公共边)
∴ △BAD≌△CAD( SSS )
∴ ∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
符号表示：
2021年中考数学专题三 几何证明(42PPT)
【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗?请说明理由. 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时,小兵发现四边形ABDE为矩形(如图3).求 AF的长. 活动二:在图3中,取AD的中点O,再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度 (0≤α≤90),连接OB,OE(如图4).
【探究】当EF平分∠AEO时,探究OF与BD的数量关系,并说明理由.
2
∴OF=OA-AF=21 - x,
2
在Rt△OFE中, ∵OF2+EF2=OE2,
∴(2- x1)2+32= 1(x+4)2,解得:x= ,9
2
4
4
∴AF= 9 cm.
4
【探究】BD=2OF,
理由:如图2,延长OF交AE于点H,
∵四边形ABDE为矩形,
∴∠OAB=∠OBA=∠ODE
=∠OED,
OA=OB=OE=OD,
2
∴S菱形DCEB=BC·DO=318 .
考点四 与图形变换有关的探究题 【示范题4】(2020·嘉兴中考)在一次数学研究性学习中,小兵将两个全等的直 角三角形纸片ABC和DEF拼在一起,使点A与点F重合,点C与点D重合(如图1),其中 ∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=3cm,AC=DF=4cm,并进行如下研究活动. 活动一:将图1中的纸片DEF沿AC方向平移,连接AE,BD(如图2),当点F与点C重合 时停止平移.
【解析】(1)如图2,连接AM, 由已知得△ABD≌△ACE, ∴AD=AE,AB=AC,∠BAD=∠CAE, ∵MD=ME, ∴∠MAD=∠MAE, ∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE, 即∠BAM=∠CAM, 在△ABM和△ACM中,
AB AC BAM CAM AM AM，
初中几何证明题PPT课件
∵∠DEC+∠DEB＝180°．
∴ ∠A+∠C=180°.
例2 如图，在四边形ABCD中，AB=BC, ∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E． S四边形ABCD =9，求BE的长.
B AE
F 提示： C 过点B作BF⊥DC交DC的延长
线于点F．证明△BAE≌△BCF, D 四边形BEDF是正方形，BE=3.
（2009南京中考模拟题）写出下列命题的已知、
求证，并完成证明过程．
命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两
个角所对的边也相等（简称：“等角对等
边”）．
A
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C． 求证：AB＝AC．
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在△ABD和△ACD中， ∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD． B D C ∴AB＝AC．
D
F
A
E
B
●添加辅助线的规范
• 添加辅助线经常出现在几何证明题中，我 们如何使用正确规范的语言添加辅助线显 得尤为重要．经常使用的辅助线词语，如 “连接”，“延长…到…使得…”， “作…与…平行”“ 作…与…垂直，垂 足为…”．
• 但也有同学会出现如“连接A,B两点，使 得——”，或者“延长——使得…与…平 行”这样的不规范或错误．
（1）∵ABC≌BAD， ∴∠CAB＝∠DBA． ∴OA＝OB．
（3）角的正确表示
同样在上面证明中，也有同学将角的符号表示错误 或者漏写． 证明： （2）∵△ABC≌△BAD， ∴AC＝BD． 又∵OA＝OB， ∴ OC＝OD．
∴∠C＝ODC．
2．格式规范 “∵∴” 的书写和推出符号的使用应统一． ∵△ABC≌△BAD =〉 AC＝BD． 又∵OA＝OB， =〉 OC＝OD =〉 ∠OCD＝∠ODC．
中考数学专题复习课件：题型3 几何证明(共15张PPT)
5.[2017·重庆中考]在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM， 垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC. (1)如图1，若AB＝3 ，BC＝5，求AC的长； (2)如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一 点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中 点，求证：∠BDF＝∠CEF.
2.如图，已知BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于点E， EF∥AC交AB于点F. (1)求证：BE＝AF； (2)连接DF，试探究当△ABC满足什么条件时，使得四边形 BEDF是菱形，并说明理由．
解：(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC. ∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE. ∴∠BDE＝∠DBC.∴BE＝DE. ∵EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形． ∴AF＝DE.∴AF＝BE. (2)当AB＝BC时，四边形BEDF是菱形．理由如下： ∵AB＝BC，∴∠A＝∠C. ∵EF∥AC，∴∠A＝∠BFE，∠C＝∠BEF. ∴∠BFE＝∠BEF.∴BF＝BE. ∵DE＝BE，∴BF＝DE. 又∵DE∥AB，∴四边形BEDF是平行四边形． 又∵BF＝BE，∴平行四边形BEDF是菱形．
【解】证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝90°. ∵MN⊥AF，∴∠AHM＝90°. ∴∠BAF＋∠MAH＝∠MAH＋∠AMH＝90°. ∴∠BAF＝∠AMH. 在△AMN和△BAF中，
∠AMN＝∠BAF， AM＝BA， ∠MAN＝∠ABF
∴△AMN≌△BAF(ASA)．∴AF＝MN.
∵MD⊥DE，MN为⊙O的直径， ∴∠MDE＝∠MEN＝90°. ∵∠NME＝∠DME，∴△MDE∽△MEN.
满分技法►与三角形有关的证明，通常是通过三角形相似进行相 关运算．看到证线段之间成比例，想到三角形相似，是在此问题 当中的一个定性思维．相似三角形有以下6种基本图形(如下图所 示)．
几何证明PPT教学课件
规律方法总结 1．几何证明的难度应严格控制，在解决同一个问题的过
程中，相似三角形(或全等三角形)的使用不宜超过 2 次，添置的辅助线不超过 3 条． 2．相似三角形是平面几何中极为重要的内容．从概念上 看，相似是全等的拓展，全等只是相似的特殊情形， 而且研究有关全等的各种问题几乎都可以平行地研 究有关各种相似问题． 3．圆是轴对称图形，利用这一点可研究垂径定理和圆心 角、弧、弦、弦心距的关系定理．关系定理使我们在 圆心角、弧、弦、弦心距的证明中得以相互转化；垂 径定理又可与等腰三角形的性质定理相沟通．
4．直线和圆的相切的位置关系，以及由它引伸出来的 一系列知识，如切线长定理、弦切角定理和圆有关 的比例线段定理又是本节的重点，利用上述定理可 很方便地证明角相等、线段相等、以及线段的比例 问题.
知能提升演练
一、选择题
1．若三角形三边上的高为 a、b、c，这三边长分别为
6、4、3，则 a∶b∶c 等于
取 BC 的中点 P， 作 PQ∥DH 交 EH 于 Q，如图， 则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线， ∴PQ＝21(AE＋DH)＝12(12＋16)＝14. 同理：CG＝21(PQ＋DH)＝12(14＋16)＝15.
答案 4 15
变式训练 1 如右图，在梯形 ABCD 中，
AB∥CD，且 AB＝2CD，E、F 分别是
4．在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，CD⊥AB，垂足为 D，
则下列说法不正确的是
(C )
A．CD2＝AD·DB
B．AC2＝AD·AB
C．AC·BC＝AD·BD
D．BC 是△ACD 外接圆的切线
解析 由射影定理知 A、B 正确，因为 CD⊥AB，所 以△ACD 外接圆 O 中，AC 是直径，又 AC⊥BC，故 BC 是圆 O 的切线．D 正确．
中考数学专题复习课件专题三简单的几何证明与计算(共35张PPT(完整版)5
6．(导学号65244233)(2017·青岛)如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为 AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF. (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠B＝∠D， AB＝BC＝DC＝AD.∵点 E，O，F 分别为 AB，AC，AD 的中点，
【思路引导】(1)先计算AM，CM的长，再由勾股定理可得AC的长．(2)延长 EF到点G，使得FG＝EF，先证明△BMD≌△AMC，得AC＝BD，再证明 △BFG≌△CFE，可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得 ∠BDG＝∠G＝∠E.
解：(1)∵∠ABM＝45°，AM⊥BM， ∴AM＝BM＝ABcos45°＝3 2× 22＝3. 则 CM＝BC－BM＝5－3＝2，∴AC＝ AM2＋CM2＝ 22＋32＝ 13.
【例2】 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点， EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N. (1)求证：△ABM∽△EFA； (2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
【思路引导】(1)由两角相等即可证明；(2)由勾股定理求出AM，得出AF， 由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可求解．
5．(导学号65244232)(2017·包头)如图，在△ABC中，∠C＝90°， ∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于 点F，已知CD＝3. (1)求AD的长； (2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°. ∵AD 平分∠CAB，∴∠CAD＝12∠CAB＝30°. 在 Rt△ACD 中，∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝6.
2023-2024学年北师大版数学七年级下册专题十四 几何证明 课件(24张PPT)
又∵ ∠ = ∘ ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∘ ，
∴ ⊥ .
6.如图，∠ACB = 90∘ ，AC = BC，AD ⊥ CE，BE ⊥ CE，垂
足分别是点D，E.
（1）求证：△ BEC ≌△ CDA；
证明：∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = ∘ .
专题十四 几何证明
几何证明题是考查学生综合能力的一种题型，几何证明能培养学生的逻
辑思维能力、抽象思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力.本专题包
括对三角形全等的判定与性质,轴对称的性质进行相关几何证明.
类型一 与三角形全等有关的证明
1.如图，∠1 = ∠2，AB = AD，点E在边BC上，
∠C = ∠AED，AB与DE交于点O.
∴ = ，∴ ∠ = ∠ = ∘ .
易证∠ = ∠ + ∠ = ∘ + ∘ = ∘ .
∵ ∠ = ∠ = ∘ ，∴ ∠ = ∠ − ∠ = ∘ .
2.如图，已知AB = AD，BC = DE，AC = AE.求证：∠1 = ∠2.
证明：在△ 和△ 中，
= ,
= ,
= ,
∴△ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠，
∴ ∠ − ∠ = ∠ − ∠，
即∠ = ∠.
3.如图，已知∠B = ∠C，∠1 = ∠2，BE = CD.求证：
AB = AC.
（1）求证：△ ABD ≌△ ACD′；
证明：∵ 以△ 的边所在直线为对称轴作△ 的轴对称图形
△ ′，∴ = ′.
在△ 和△ ′中，
= ,
= ′ ,
= ′ ,
∴△ ≌△ ′ .
（2）若∠BAC = 120∘ ，求∠DAE的度数.
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21
如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE， 等边三角形ACF，连接DE，EF。求证：四 边形ADEF是平行四边形。
22
如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任 意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段 EB和GD相交如图：在正方形ABCD中，E 为CD边上的一点，F为BC的 延长线上一点，CE＝CF
⑴△BCE与△DCF全等吗？说 明理由；
⑵若∠BEC＝60，o求∠EFD。
3
已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于 E， DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱 形；
4
18
已知：如图，AB//CD， ADC=90 o，BE=EC， 求证： AED=2 EDC
19
已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一点， DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF
20
如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分 别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC 的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证 明你的结论．
如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形， ∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证： △CDA≌△CEB
5
如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB上 的高。G、F分别是BC、DE的中点,试证明 FG⊥DE
6
如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是 CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）求证：EB=GD； （2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由； （3）若AB=2，AG= ，2 求EB的长
23
12
已知：如图，//ABCD，AE=ED，BF=FC， //EMAF交DC于M， 求证：FM=AE。
13
已知：如图，⊿ABC中，E、F分别是AB、 BC中点，M、N是AC上两点，EM、FN交于 D，若AM=MN=NC，求证：四边形ABCD是 平行四边形。
14
已知：如图，1= 2，AB=3AC，BE⊥AD，
（1）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形； （2）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得
∠EFD=∠BCD，并说明理由．
7
已知：如图平行四边形ABCD，DE⊥AC， AM⊥BD，BN⊥AC，CF⊥BD 求证：MN∥EF
8
已知：如图菱形ABCD，E是BC上一点，AE、 BD交于F，若AE=AB ∠DAE=2∠BAE
求证：BE=AF
9
已知：如图正方形ABCD，P、Q分别是BC、 DC上的点，若∠1=∠2 求证：PB+QD=PA
10
已知：如图正方形ABCD，AC、BD交于点O， E、F分别是BC、OD的中点 求证：AF⊥EF
11
已知：如图，，AB=BC，D、E分别是AB、 BC上一点，DM⊥AE交AC于M， BN⊥AE 交 AC于N，若BD=BE求证：MN=NC。
如图，M是△ABC的边BC的中 点，AN平分∠BAC，BN垂直 AN于点N，延长BN交AC于点D， 已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN （2）求△ABC的周长.
1
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC， CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若∠ACB＝30 ， 菱形OCED 的面积为8 ，求3 AC
求证：AD=DE
15
已知：如图，AB//CD， D=90 o， BE=EC=DC，求证： AEC=3 BAE
16
已知如图，AB=DC，AE=DE，BF=FC，FE交
BA、CD的延长线于G、H，求证：1= 2。
17
已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一点， DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF
如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE， 等边三角形ACF，连接DE，EF。求证：四 边形ADEF是平行四边形。
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如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任 意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段 EB和GD相交如图：在正方形ABCD中，E 为CD边上的一点，F为BC的 延长线上一点，CE＝CF
⑴△BCE与△DCF全等吗？说 明理由；
⑵若∠BEC＝60，o求∠EFD。
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已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于 E， DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱 形；
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已知：如图，AB//CD， ADC=90 o，BE=EC， 求证： AED=2 EDC
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已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一点， DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF
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如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分 别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC 的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证 明你的结论．
如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形， ∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证： △CDA≌△CEB
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如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB上 的高。G、F分别是BC、DE的中点,试证明 FG⊥DE
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如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是 CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）求证：EB=GD； （2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由； （3）若AB=2，AG= ，2 求EB的长
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已知：如图，//ABCD，AE=ED，BF=FC， //EMAF交DC于M， 求证：FM=AE。
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已知：如图，⊿ABC中，E、F分别是AB、 BC中点，M、N是AC上两点，EM、FN交于 D，若AM=MN=NC，求证：四边形ABCD是 平行四边形。
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已知：如图，1= 2，AB=3AC，BE⊥AD，
（1）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形； （2）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得
∠EFD=∠BCD，并说明理由．
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已知：如图平行四边形ABCD，DE⊥AC， AM⊥BD，BN⊥AC，CF⊥BD 求证：MN∥EF
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已知：如图菱形ABCD，E是BC上一点，AE、 BD交于F，若AE=AB ∠DAE=2∠BAE
求证：BE=AF
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已知：如图正方形ABCD，P、Q分别是BC、 DC上的点，若∠1=∠2 求证：PB+QD=PA
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已知：如图正方形ABCD，AC、BD交于点O， E、F分别是BC、OD的中点 求证：AF⊥EF
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已知：如图，，AB=BC，D、E分别是AB、 BC上一点，DM⊥AE交AC于M， BN⊥AE 交 AC于N，若BD=BE求证：MN=NC。
如图，M是△ABC的边BC的中 点，AN平分∠BAC，BN垂直 AN于点N，延长BN交AC于点D， 已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN （2）求△ABC的周长.
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如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC， CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若∠ACB＝30 ， 菱形OCED 的面积为8 ，求3 AC
求证：AD=DE
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已知：如图，AB//CD， D=90 o， BE=EC=DC，求证： AEC=3 BAE
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已知如图，AB=DC，AE=DE，BF=FC，FE交
BA、CD的延长线于G、H，求证：1= 2。
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已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一点， DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF