2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理 第Ⅰ卷 (选择题, 共60分) (1)
广东省广州市2020届高三普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试题(解析版)
2020年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若集合A ＝{x |y =√2−x }，B ＝{x |x 2﹣x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，1）B ．[0，1]C ．[0，2）D ．[0，2]2．已知复数z ＝1+bi （b ∈R ），z 2+i是纯虚数，则b ＝（ ）A ．﹣2B ．−12C ．12D ．13．若a ＝log 332，b ＝ln 12，c ＝0.6﹣0.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b4．首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ） A ．d ＞3B ．d ＜72C ．3≤d ＜72D ．3＜d ≤725．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a （0＜a ＜r ），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（ ）A ．a 2(1−p)rB ．a 2(1+p)rC ．a (1−p)rD ．a(1+p)r6．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面ACC 1A 1（包括边界）上一点，若EF ∥平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹是（ ） A ．线段B ．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分7．函数f（x）＝﹣2x+1|x|的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F 是AE上一点，AF→=2FE→，则BF→=（）A．12AB→−13AD→B．13AB→−12AD→C．−12AB→+13AD→D．−13AB→+12AD→9．已知命题p：（x2−1x）n的展开式中，仅有第7项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为495；命题q：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.7，则P （0＜ξ＜2）＝0.3．现给出四个命题：①p∧q，②p∨q，③p∧（￢q），④（￢p）∨q，其中真命题的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④10．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n+a n+1＝2n（n∈N*），则S2020＝（）A ．22020−23B ．22020+23C ．22021−23D ．22021+2311．过双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）右焦点F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，与双曲线交于点A ，若F 2P →=3F 2A →，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±12xB ．y ＝±xC ．y ＝±2xD ．y ＝±25x12．若关于x 的不等式e 2x ﹣alnx ≥12a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0，2e ]B ．（﹣∞，2e ]C ．[0，2e 2]D ．（﹣∞，2e 2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学(理科)试题含答案
2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1．设21(1)iz i +=-则|z|=（ ）A ．12B C ．1D2．已知集合{}{}023,22<+-===x x x B y y A x ，则（ ） A ．A∩B=AB ．A ∪B=RC ．A ⊆BD ．B ⊆A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C D ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12 B ．2 C.18D ．8 6.若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为 A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a+3，2bD ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S = A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()14sin 2xxx f x -=的部分图象大致为9已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|,则C 的方程为A ．221123x y += B.22183x y += C ．22163x y += D.22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即()21,n n n a a a n +++=+∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.n n n a ⎡⎤=-⎥⎦(设n是不等式(1211x x x ->+的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r 有下列结论：①n 的值可能为2②当n=3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x=-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式n ω>1恒成立 其中所有正确结论的编号为 A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程为 ▲14.若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 ▲15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF 体积的最大值为 ▲ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
广西南宁市2020届高三第二次适应性测试数学(理科)试题(解析版)
2020年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，1，2，3}2．设复数z满足z•（1﹣i）＝2+i，则z=（）A．12+32i B．12−32i C．1+3i D．1﹣3i3．（1﹣2x）5的展开式中含x3的系数为（）A．﹣80B．80C．10D．﹣104．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（）A．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B．前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D ．这10天学生在线学习人数在逐日增加5．已知各项不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝2a 2，则S 6a 2=（ ）A ．4B ．162C ．9D ．126．若函数y ＝a |x |（a ＞0，且a ≠1）的值域为{y |0＜y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a ＞1)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，则a 为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．48．某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．13B ．18C ．23D ．289．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．直线MN与平面ABCD所成角为45°D．异面直线MN与DD1所成角为60°10．已知双曲线E：x2a−y2b=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以OF（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）．若∠MFN＝120°，则双曲线E的离心率为（）A．4B．2C．43D．2√3311．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的图象经过点(π24，0)，一条对称轴方程为x=π6．则函数f（x）的周期可以是（）A．3π4B．π2C．π4D．π1212．已知函数f(x)={lnx，x＞0kx+1，x≤0，则当k＞0时，函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(√3，1)，向量b →=(−1，−√3)，则a →与b →的夹角大小为 ． 14．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测： 甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上； 丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是 ． 15．已知数列{a n }中，a 1＝2，且对于任意正整数m ，n 都有a m +n ＝a m a n ，则数列{a n }的通项公式是 ．16．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为G ．若四面体A ﹣EFG 外接球的表面积为π4，则正方形ABCD 的边长为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD 中，∠B ＝120°，AB ＝2．∠BAC 的平分线与BC 交于点E ，且AE =√6． （1）求∠BEA 及AC ；（2）若∠ADC ＝60°，求四边形ABCD 周长的最大值．18．红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝e bx+a，②y＝cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如表值：x z t∑8i=1(x i−x)2∑8i=1(t i−t)2∑8i=1(z i−z)(x i−x)∑8i=1(y i−y)(t i−t)25 2.8964616842268848.4870308表中z i＝lny i；z=18∑8i=1z i；t i=x i2；t=18∑8i=1t i；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值．（参考数据：e5.18≈178，e5.46≈235，e5.52≈250，e5.83≈340）附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线v=α+βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑ n i=1(ωi −ω)(v i −v)∑ ni=1(ωi −ω)2，α=v −βω．19．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AD ＝DC ，∠ADC ＝120°，三角形SAB 是等边三角形，平面SAB ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点．（1）求证：平面SCD ⊥平面SEF ；（2）若AB ＝2，求直线SF 与平面SCD 所成角的正弦值．20．已知函数f （x ）＝e x ﹣a •x ，其中e 是自然对数的底数． （1）若a ＝e ，证明：f （x ）≥0；（2）若x ∈[0，+∞）时，都有f （x ）≥f （﹣x ），求实数a 的取值范围．21．已知抛物线C ：x 2＝2y ，过点A （1，1）且互相垂直的两条动直线l 1，l 2与抛物线C 分别交于P ，Q 和M ，N ．（1）求四边形MPNQ 面积的取值范围；（2）记线段PQ 和MN 的中点分别为E ，F ，求证：直线EF 恒过定点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：{x =−2+t 1cosθ1y =t 1sinθ1（t 1为参数），曲线C 2：{x =2+t 2cosθ2y =t 2sinθ2（t 2为参数），且tan θ1tan θ2＝﹣1，点P 为曲线C 1与C 2的公共点． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+10＝0，求动点P到直线l的距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3．证明：（1）√2a+1+√2b+1+√2c+1≤3√3；（2）(1a−13)(1b−13)(1c−13)≥827．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，1，2，3}【分析】求出集合A，由此能求出A∩B．解：由集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}．故选：A．【点评】本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设复数z满足z•（1﹣i）＝2+i，则z=（）A．12+32i B．12−32i C．1+3i D．1﹣3i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z=2+i1−i=(2+i)⋅(1+i)2=12+32i，∴z=12−32i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（1﹣2x）5的展开式中含x3的系数为（）A．﹣80B．80C．10D．﹣10【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为3，求出展开式中x3的系数．解：（1﹣2x）5展开式的通项公式为T r+1=C5r•（﹣2x）r，令r＝3，得（1﹣2x）5展开式中x3的系数为C53•（﹣2）3＝﹣80．故选：A．【点评】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．4．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（）A．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B．前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D．这10天学生在线学习人数在逐日增加【分析】根据图象逐一进行分析即可解：对于A，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故A错误对于B：前5天的增长比例极差约为15%﹣5%＝10%，后5天增长比例极差约为40%﹣20%＝20%，故B错误；对于C：由折线图很明显，23﹣24的增长比例在下降，故C错误；对于D：由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故D正确，故选：D．【点评】本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识．5．已知各项不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5＝2a2，则S6a2=（）A．4B．162C．9D．12【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式即可得出．解：由题S6a2=S6a2=3(a1+a6)a2=3(a2+a5)a2=3(a2+2a2)a2=9．故选：C．【点评】本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6．若函数y＝a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y＝log a|x|的图象是（）A．B．C ．D ．【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a ＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．解：∵|x |≥0，∴若函数y ＝a |x |（a ＞0，且a ≠1）的值域为{y |0＜y ≤1}， ∴0＜a ＜1，当x ＞0时，数y ＝log a |x |＝log a x ，为减函数，当x ＜0时，数y ＝log a |x |＝log a （﹣x ），为增函数，且函数是偶函数，关于y 轴对称， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据指数函数的图象和性质求出a 的取值范围是解决本题的关键．7．椭圆C ：x 2a +y 2=1(a ＞1)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，则a 为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4【分析】由椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|＝2a ，|BF 1|+|BF 2|＝2a ，即可得出答案． 解：由椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a ＞1)的焦点在x 轴上，则椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|＝|BF 1|+|BF 2|＝2a ．∴△ABF 2的周长＝|AB |+|AF 2|+|BF 2|＝|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|＝8＝4a ．解得a ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．8．某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．13B ．18C ．23D ．28【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：模拟程序的运行，可得 n ＝1，得a ＝8， 不满足a−221∈Z ，n ＝2，得a ＝13，不满足a−221∈Z ，n ＝3，得a ＝18，不满足a−221∈Z ，n ＝4，得a ＝23，此时，满足a−221∈Z ，退出循环，输出a 的值为23．故选：C ．【点评】本小题主要考查程序框图的应用等基础知识，考查阅读理解能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识，属于基础题．9．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法错误的是（ ）A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．直线MN与平面ABCD所成角为45°D．异面直线MN与DD1所成角为60°【分析】连结BD，A1D，可得MN∥A1D，得到MN∥平面ADD1A1，判定A正确；证明AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥A1D，结合MN∥A1D，得MN⊥AB，判断B正确；求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确；求出异面直线MN与DD1所成角判断D错误．解：如图，连结BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点，知MN∥A1D，而MN⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1，故A正确；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，则AB⊥A1D，∵MN∥A1D，∴MN⊥AB，故B正确；直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45°，故C正确；而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，应为45°，故D错误．故选：D．【点评】本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题．10．已知双曲线E：x2a−y2b=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以OF（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）．若∠MFN＝120°，则双曲线E的离心率为（）A．4B．2C．43D．2√33【分析】画出图形，结合圆的对称性，求出∠MOF＝30°．然后求解双曲线的离心率即可．解：因为OF为直径，点M在圆上，所以OM⊥MF．又∠MFN＝120°，由圆的对称性，有∠MFO＝60°，所以∠MOF＝30°．由渐近线斜率tan∠MOF=ba=√33，所以离心率为e=√1+(ba)2=2√33．故选：D．【点评】本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查数形结合等数学思想．11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的图象经过点(π24，0)，一条对称轴方程为x=π6．则函数f（x）的周期可以是（）A．3π4B．π2C．π4D．π12【分析】直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论．解：由π6−π24=2k+14T，则T=π4k+2，k∈Z，当k＝0时，T=π2．故选：B．【点评】本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象和性质等基本知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想．12．已知函数f(x)={lnx，x＞0kx+1，x≤0，则当k＞0时，函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．4B．3C．2D．1【分析】先作出函数的图象，然后结合图象即可求解函数的零点个数．解：在平面直角坐标系中作出函数y＝f（x）（k＞0）的图象如图所示．令f[f（x）]﹣1＝0，得f[f（x）]＝1，则f（x）＝0或f（x）＝t（t＞1）．当f（x）＝0时，显然存在2个零点x1=−1k，x2＝1；当f（x）＝t（t＞1）时，存在1个零点x3．故函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为3．故选：B ．【点评】本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查逻辑推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，方程思想， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(√3，1)，向量b →=(−1，−√3)，则a →与b →的夹角大小为 150° ．【分析】根据向量a →，b →的坐标即可得出a →⋅b →，|a →|和|b →|的值，从而可得出cos ＜a →，b →＞=−√32，从而可得出a →，b →夹角的大小．解：∵cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=−√3−√32×2=−√32，且0≤＜a →，b →＞≤π， ∴a →与b →的夹角为150°． 故答案为：150°．【点评】本小题主要考查平面向量的数量积，两个向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测： 甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上； 丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是 丁 ． 【分析】逐个假设甲，乙，丙，丁被选上，检验是否符合题意即可． 解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件； 若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件； 若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件； 若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件， 所以被选派参加志愿者服务的是丁， 故答案为：丁．【点评】本题主要考查了逻辑推理等基础知识，考查学生逻辑推理能力等能力，是基础题．15．已知数列{a n }中，a 1＝2，且对于任意正整数m ，n 都有a m +n ＝a m a n ，则数列{a n }的通项公式是 a n =2n ．【分析】利用数列的递推关系式，通过m ＝1，推出数列是等比数列，然后求解通项公式即可．解：数列{a n }中，a 1＝2，且对于任意正整数m ，n 都有a m +n ＝a m a n ，令m ＝1，得a n +1＝2a n ，则{a n }是首项和公比均为2的等比数列，则a n =2n ． 故答案为：a n =2n ．【点评】本小题主要考查数列以及前n 项和等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力．16．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为G ．若四面体A ﹣EFG 外接球的表面积为π4，则正方形ABCD 的边长为 2 ．【分析】画出折叠后的四面体图形，利用等积法求出四面体内切球半径，再求内接球的表面积．解：依题意，折叠后的四面体如图1， 设正方形边长为a ，内切球半径为r ， 则AG ＝a ，EG =FG =a2； 记四面体内切球球心为O ，如图2，则V A ﹣EFG ＝V O ﹣EFG +V O ﹣AEF +V O ﹣AEG +V O ﹣AFG ，即V A−EFG =13(S △EFG +S △AEF +S △ABG +S △AFG )⋅r ，即13×12×a 2×a 2×a =13×a 2×r ，所以a ＝8r ；又4πr 2=π4，即r =14，所以a ＝2． 故答案为：2．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础知识，也考查了空间想象能力与运算求解能力．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2．∠BAC的平分线与BC交于点E，且AE=√6．（1）求∠BEA及AC；（2）若∠ADC＝60°，求四边形ABCD周长的最大值．【分析】（1）在△ABE中，由正弦定理可求sin∠AEB的值，又∠AEB＜∠B，可求∠AEB＝45°，利用三角形的内角和定理可求∠BAE的值，进而可求∠ACB的值，可得BC＝AB＝2，在△ABC中，根据余弦定理即可解得AC的值．（2）令AD＝m，CD＝n，在△ACD中，根据余弦定理，基本不等式可求m+n≤4√3，即可求解四边形ABCD周长的最大值．解：（1）在△ABE中，由正弦定理得：sin∠AEB=ABsinBAE=6=√22．又∠AEB＜∠B，则∠AEB＝45°，于是∠BAE＝180°﹣120°﹣45°＝15°，所以∠BAC＝30°，∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°．所以BC＝AB＝2．在△ABC中，根据余弦定理得AC2＝22+22﹣2×2×2×cos120°＝12，所以AC=2√3．（2）令AD＝m，CD＝n，在△ACD中，根据余弦定理得(2√3)2=m2+n2−2mncos60°=(m+n)2−3mn，即有(m+n)2=12+3mn≤12+3×(m+n2)2，即(m+n)24≤12，所以m+n≤4√3，当且仅当m=n=2√3时，“＝”成立．所以，四边形ABCD周长的最大值为4+4√3．【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力，属于中档题．18．红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝e bx+a，②y＝cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如表值：x z t∑8i=1(x i−x)2∑8i=1(t i−t)2∑8i=1(z i−z)(x i−x)∑8i=1(y i−y)(t i−t) 25 2.8964616842268848.4870308表中z i＝lny i；z=18∑8i=1z i；t i=x i2；t=18∑8i=1t i；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值．（参考数据：e5.18≈178，e5.46≈235，e5.52≈250，e5.83≈340）附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线v=α+βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑n i=1(ωi−ω)(v i−v)∑n i=1(ωi−ω)2，α=v−βω．【分析】（1）由模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，说明模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高；（2）令z＝lny，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则z=a+b x，由已知数据求得b与a的值，可得产卵数y关于温度x的回归方程，取x＝34求得y值得结论．解：（1）应该选择模型①．由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．（2）令z＝lny，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则z=a+b x，b=∑8i=1(z i−z)(x i−x)∑8i=1(x i−x)2=48.48168≈0.289，∴a=z−b x=2.89−0.289×25≈−4.34，则z关于x的线性回归方程为z=0.29x−4.34．于是有lny＝0.29x﹣4.34，∴产卵数y关于温度x的回归方程为y=e0.29x−4.34．当x＝34时，y＝e0.29×34﹣4.34＝e5.52≈250（个）．∴在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个．【点评】本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识，是中档题．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AD＝DC，∠ADC ＝120°，三角形SAB是等边三角形，平面SAB⊥平面ABCD，E，F分别为AB，AD 的中点．（1）求证：平面SCD⊥平面SEF；（2）若AB＝2，求直线SF与平面SCD所成角的正弦值．【分析】（1）由已知结合平面与平面垂直的性质可得SE⊥平面ABCD，进一步得到SE ⊥CD．连接BD，得BD∥EF．再证明BD⊥CD，结合BD∥EF，得CD⊥EF．再由直线与平面垂直的判定可得CD⊥平面SEF．进一步得到平面SCD⊥平面SEF；（2）过E作EN∥CD，则ES，EF，EN两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系．求出平面SCD的法向量与SF→的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线SF与平面SCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ∩平面ABCD ＝AB ， SE ⊂平面SAB ，SE ⊥AB ，∴SE ⊥平面ABCD ． 又∵CD ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥CD ．连接BD ，∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴BD ∥EF ． ∵AD ＝DC ＝AB ，∴∠ABD ＝∠ADB ．又∵∠BAD ＝∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝30°， ∴∠BDC ＝90°，得BD ⊥CD ． 又∵BD ∥EF ，∴CD ⊥EF ． 又SE ∩EF ＝E ，∴CD ⊥平面SEF ．又∵CD ⊂平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面SEF ；（2）解：过E 作EN ∥CD ，则ES ，EF ，EN 两两垂直， 故可如图建立空间直角坐标系．在△BDC 中，求得BD =2√3，CD ＝2，BC ＝4． 则E （0，0，0），F(0，√3，0)，S(0，0，√3)，C(52，3√32，0)，D(12，3√32，0)．故SD →=(12，3√32，−√3)，SC →=(52，3√32，−√3)，SF →=(0，√3，−√3)．设平面SCD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅SD →=12x +3√32y −√3z =0n →⋅SC →=52x +3√32y −√3z =0，可取n →=(0，2，3)． 则|cos〈n →，SF →〉|=|n →⋅SF→n →|⋅|SF →||=√3√6⋅√13=√2626．故SF 与平面SCD 所成角的正弦值为√2626．【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、直线与平面所成角、空间向量处理立体几何问题等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想，是中档题． 20．已知函数f （x ）＝e x ﹣a •x ，其中e 是自然对数的底数． （1）若a ＝e ，证明：f （x ）≥0；（2）若x ∈[0，+∞）时，都有f （x ）≥f （﹣x ），求实数a 的取值范围．【分析】（1）若a ＝e ，则f （x ）＝e x ﹣e •x ，所以f ′（x ）＝e x ﹣e ，再利用导函数f '（x ）的正负性与函数f （x ）的单调性之间的联系即可得f （x ）的单调性，从而确定f （x ）min ＝f （1），而f （1）＝0，进而得证；（2）构造函数g （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2ax ，则原问题转化为g （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立，然后求导g '（x ），令h （x ）＝g ′（x ），再求导h '（x ），从而可确定g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增，由于g ′（0）＝2﹣2a ，于是分a ≤1和a ＞1两种情形，讨论函数g （x ）的单调性，以便求证g （x ）min 与0的关系． 解：（1）若a ＝e ，则f （x ）＝e x ﹣e •x ，所以f ′（x ）＝e x ﹣e ， 当x ＝1时，f ′（x ）＝0；当x ∈（﹣∞，1）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 所以f （x ）在x ＝1时取得极小值，也是最小值．所以f （x ）≥f （1）＝0．（2）令g （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2ax ，则原问题转化为g （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立．由g ′（x ）＝e x +e ﹣x ﹣2a ，令h （x ）＝g ′（x ），则h′(x)=e 2x −1ex ≥0在[0，+∞）上恒成立，所以g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增， 又g ′（0）＝2﹣2a ，①当a ≤1时，g ′（x ）≥g ′（0）≥0，所以g （x ）在[0，+∞）上单调递增， 所以g （x ）≥g （0）＝0，即f （x ）≥f （﹣x ），满足题意．②当a ＞1时，因为g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增，所以g ′（x ）min ＝g ′（0）＝2﹣2a ＜0，所以存在t ∈（0，+∞），使得当x ∈（0，t ）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，t ）上单调递减，此时g （x ）＜g （0）＝0，这与g （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾． 综上所述，a ≤1，故实数a 的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题等，考查学生分类讨论和转化与化归的思想，以及运算求解能力，属于中档题．21．已知抛物线C ：x 2＝2y ，过点A （1，1）且互相垂直的两条动直线l 1，l 2与抛物线C 分别交于P ，Q 和M ，N ．（1）求四边形MPNQ 面积的取值范围；（2）记线段PQ 和MN 的中点分别为E ，F ，求证：直线EF 恒过定点．【分析】（1）两直线l 1，l 2的斜率一定存在，且不等于0．设l 1：y ＝k （x ﹣1）+1（k ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则l 2：y =−1k (x −1)+1（k ≠0）．联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式转化求解四边形MPNQ 面积的表达式，利用换元法结合二次函数的求解最小值即可．（2）由（1）求出PQ 中点E 的坐标为（k ，k 2+1），同理点F 的坐标为(−1k ，1k2+1)．求出直线EF 的斜率，得到直线EF 的方程，即可求解直线EF 恒过的定点． 解：（1）由题意可知两直线l 1，l 2的斜率一定存在，且不等于0．设l 1：y ＝k （x ﹣1）+1（k ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则l 2：y =−1k (x −1)+1（k ≠0）．因为联立直线l 1与抛物线的方程，有{y =k(x −1)+1#/DEL/#x 2=2y #/DEL/#⇒x 2−2kx +2k −2=0，其中△＝4k 2+8＞0，由韦达定理，有{x 1+x 2=2kx 1x 2=2k −2．由上可得|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√(1+k 2)(8+4k 2)，同理|MN|=√(1+1k2)(8+4k2)，则四边形MPNQ 面积S =12|PQ||MN|=12√(2+k 2+1k2)(80+32k 2+32k2)．令k 2+1k2=t ≥2．则S =12√(2+t)(80+32t)=√8t 2+36t +40．所以，当且仅当t ＝2，即k ＝±1时，S 取得最小值12，且当t →+∞时，S →+∞． 故四边形MPNQ 面积的范围是[12，+∞）． （2）由（1）有x 1+x 2＝2k ，y 1+y 2=2k 2+2，所以PQ 中点E 的坐标为（k ，k 2+1），同理点F 的坐标为(−1k ，1k2+1)．于是，直线EF 的斜率为k EF =k 2+1−(1k2+1)k+1k=k 2−1k 2k+1k=k −1k ，则直线EF 的方程为：y −(k 2+1)=(k −1k )(x −k)⇒y =(k −1k )x +2，所以直线EF 恒过定点（0，2）．【点评】本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想． 一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：{x =−2+t 1cosθ1y =t 1sinθ1（t 1为参数），曲线C 2：{x =2+t 2cosθ2y =t 2sinθ2（t 2为参数），且tan θ1tan θ2＝﹣1，点P 为曲线C 1与C 2的公共点． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ﹣ρsin θ+10＝0，求动点P 到直线l 的距离的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果． （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果． 解：（1）设点P 的坐标为（x ，y ）． 因为点P 为曲线C 1与C 2的公共点， 所以点P 同时满足曲线C 1与C 2的方程． 曲线C 1消去参数可得tanθ1=yx+2， 曲线C 2消去参数可得tanθ2=y x−2． 由tan θ1tan θ2＝﹣1，所以yx+2⋅yx−2=−1．所以点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝4（x ≠±2）．（2）由已知，直线l 的极坐标方程2ρcos θ﹣ρsin θ+10＝0，根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可化为直角坐标方程：2x﹣y+10＝0．因为P的轨迹为圆x2+y2＝4（去掉两点（±2，0）），圆心O到直线l的距离为d=5=2√5，所以点P到直线l的距离的取值范围为[2√5−2，2√5+2]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3．证明：（1）√2a+1+√2b+1+√2c+1≤3√3；（2）(1a−13)(1b−13)(1c−13)≥827．【分析】（1）由三个数的完全平方公式，结合均值不等式和不等式的性质，即可得证；（2）将1=a+b+c3代入原不等式的左边，化简整理，再由基本不等式和不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）(√2a+1+√2b+1+√2c+1)2=2(a+b+c)+3+ 2√(2a+1)(2b+1)+2√(2b+1)(2c+1)+2√(2c+1)(2a+1)≤2（a+b+c）+3+（2a+1+2b+1）+（2b+1+2c+1）+（2c+1+2a+1）＝6（a+b+c）+9＝27（当且仅当a＝b＝c＝1取“＝”）．所以√2a+1+√2b+1+√2c+1≤3√3；（2）由a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3，可得(1a−13)(1b−13)(1c−13)=(a+b+c3a−1 3)(a+b+c3b−13)(a+b+c3c−13)=b+c3a ⋅a+c3b⋅a+b3c≥127⋅2√bca⋅2√acb⋅2√abc=827（当且仅当a＝b＝c＝1取“＝”）．则(1a−13)(1b−13)(1c−13)≥827．【点评】本题主要考查基本不等式、不等式的证明方法、含绝对值的不等式等基本知识，考查化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力，是一道中档题．。
2020届呼市段考(理科数学)试卷+答案解析
2020届内蒙古呼和浩特市高三年级质量普查调研考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足(1)2i z i +=，则z 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合2{|60}A x x x =--<，集合{|10}B x x =->，则(A B = )A ．(1,3)B ．(2,3)-C ．(1,)+∞D ．(2,)-+∞3．在同一直角坐标系中，函数1xy a=，1log ()(02a y x a =+>且1)a ≠的图象可能是( ) A ．B ． C ． D ．4．设sin2sin αα=-，且α是第二象限的角，则tan2α的值是( )A B ．C ．D ．±5．函数sin y x =和tan y x =的图象在[2,2]ππ-上交点的个数为( ) A ．3B ．5C ．6D ．76．已知函数()f x 满足()(4)f x f x =-，52()4f x dx =⎰，则51()f x dx -⎰等于( ) A ．0B ．2C ．8D ．不确定7．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则3523n a a a +++⋯+等于( )A ．16(21)n +-B ．26(21)n -C ．3n -D ．6(21)n -8．已知0ω>，若2()2cos sin cos f x x x x ωωω=+在区间72(,)123ππ上单调时，ω的取值集合为A ，对(2,)x ∀∈+∞不等式902x x ω+->-恒成立时，ω的取值集合为B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF 的最小值为( ) A ．2-B ．0C ．3-D ．4-10．等差数列{}n a 的公差d 不为0，n S 是其前n 项和，给出下列命题： ①若0d <，且38S S =，则5S 和6S 都是{}n S 中的最大项； ②给定n ，对于一切*()k N k n ∈<，都有2n k n k n a a a -++=； ③若0d >，则{}n S 中一定有最小的项； ④存在*k N ∈，使1k k a a +-和1k k a a --同号． 其中正确命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．111．已知函数()f x 满足1()()x f x f x e '+=，且(0)1f =，则函数21()3[()]()2g x f x f x =-零点的个数为( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．0个12．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A ．9B ．13C ．16D ．18第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件01010y x x y y -⎧⎪+-⎨⎪+⎩，则3z x y =+的最大值为 ．14．如图，在等腰梯形ABCD 中，12DC AB =，BC CD DA ==，DE AC ⊥于点E ，如果选择向量AB 与CA 作基底，则DE 可用该基底表示为 ．15．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为 ． 16．已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图象过点4(,)5P m ，8(,)9n ，若3225(1)m n mn f +=，则a 的值是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数()sin()cos()63f x x x ππ=-+-，2()2sin 2xg x =．（1）若α是第二象限角，且()f α=，求()g α的值； （2）求()()f x g x +的最大值及最大值对应的x 的取值．BA18．（12分）已知函数21()sin()42f x x x π=++． （1）求函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程；（2）判断函数()f x 的导函数()f x '在(,)23ππ-上的单调性；并求出函数()f x 在[,]33ππ-上的最大值．19．（12分）（1）当()k k Z απ≠∈时，求证：1cos tan2sin ααα-=； （2）如图，圆内接四边形ABCD 的四个内角分别为A 、B 、C 、D ．若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =．求tantan tan tan 2222A B C D+++的值．A20．（12分）已知函数2()22f x x x alnx =-+，若函数()f x 在定义域上有两个极值点1x ，2x ，且12x x <． （1）求实数a 的取值范围； （2）证明：123()()202f x f x ln +++>．21．（12分）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有||1n n b a -，则称{}n b 与{}n a “接近”．（1）设{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；（2）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n c 满足：{}n c 与{}n a 接近，且在1(1k k c c k +-=，2，3，⋯，100)这100个值中，至少有一半是正数，求d 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，直线l 过点(2,)2P π，且与直线()3R πθρ=∈垂直．（1）设直线l 上的动点M 的极坐标为(,)ρα，用ρ表示cos()3πα-；（2）在以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴的直角坐标中，曲线C 的参数方程为cos (1sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数），若曲线C 与直线()3R πθρ=∈交于点Q ，求点Q 的极坐标及线段PQ 的长度．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()|||1|f x x x =+-． （1）若()|1|f x m -恒成立，求实数m 的最大值；（2）记（1）中m 的最大值为M ，正实数a ，b 满足22a b M +=，证明：2a b ab +．2020届内蒙古呼和浩特市高三年级质量普查调研考试理科数学参考答案及评分标准【选择题&填空题答案速查】12AB CA + 531个一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足(1)2i z i +=，则z 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】复数选：A ．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．2．已知集合2{|60}A x x x =--<，集合{|10}B x x =->，则(A B = )A ．(1,3)B ．(2,3)-C ．(1,)+∞D ．(2,)-+∞【解析】由条件得{|23}A x x =-<<，{|1}B x x =>，所以{|2}AB x x =>-，即(2,)-+∞，故选：D ．【点评】本题考查集合之间的基本运算，不等式的解法、并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．在同一直角坐标系中，函数1xy a =，1log ()(02ay x a =+>且1)a ≠的图象可能是( ) A ．B ．C ．D ．【点评】本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题． 4．设sin2sin αα=-，且α是第二象限的角，则tan2α的值是( )A B ．C ．D ．±【点评】本题考查三角函数的二倍角公式、特殊角的三角函数值．要求熟练应用三角函数的二倍角公式，要注意计算的正确率．属于基础题．5．函数sin y x =和tan y x =的图象在[2,2]ππ-上交点的个数为( ) A ．3B ．5C ．6D ．7【解析】方法一：图象法，在同一坐标系内画sin y x =与tan y x =在[0,2]π上的图象，由图知函数sin y x =和tan y x =的图象在[2,2]ππ-上共有5个交点，故选：B ．方法二：解方程sin tan x x =，即tan (cos 1)0x x -=，tan 0x ∴=或cos 1x =，[2,2]x ππ∈-，0x ∴=，π±，2π±，故有5个解，故选：B ．【点评】本题考查正弦函数的图象，正切函数的图象，考查作图能力，解方程思想，是基础题． 6．已知函数()f x 满足()(4)f x f x =-，52()4f x dx =⎰，则51()f x dx -⎰等于( )A ．0B ．2C ．8D ．不确定【解析】由()(4)f x f x =-得()f x 关于2x =对称．所以2512()()4f x dx f x dx -==⎰⎰， 所以525112()()()8f x dx f x dx f x dx --=+=⎰⎰⎰，故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定积分的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．7．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则3523n a a a +++⋯+等于( )A ．16(21)n +-B ．26(21)n -C ．3n -D ．6(21)n -【解析】22313a a q q ==，44513a a q q ==，∴2413533321a a a q q ++=++=，整理得4260q q +-=及【点评】本题主要考查了等比数列通项公式与前n 项和求解，属于基础题． 8．已知0ω>，若2()2cos sin cos f x x x x ωωω=+在区间72(,)123ππ上单调时，ω的取值集合为A ，对(2,)x ∀∈+∞不等式902x x ω+->-恒成立时，ω的取值集合为B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件，122πω，解6ω，A ∴922x +-在)上恒成立，是“x B ∈”的充分非必要条件．故选：A ．【点评】本题考查了二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，函数()sin()f x A x ωϕ=+的周期的计算公式，正弦函数的单调区间，基本不等式在求最值时的应用，考查了计算和推理能力，属于中档题．9．在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF 的最小值为( ) A ．2-B ．0C ．3-D ．4-【解析】设点(0,)E y ，点(0,2)F y +，y R ∈，则(1,)AE y =，(2,2)BF y =-+，∴221(2)(2)22(1)3AE BF y y y y y =-++=+-=+-；当1y =-时，AE BF 的最小值为3-，故选：C ．【点评】本题考查向量的坐标运算、数量积及函数最值问题．运算求解能力，是基础题． 10．等差数列{}n a 的公差d 不为0，n S 是其前n 项和，给出下列命题： ①若0d <，且38S S =，则5S 和6S 都是{}n S 中的最大项； ②给定n ，对于一切*()k N k n ∈<，都有2n k n k n a a a -++=； ③若0d >，则{}n S 中一定有最小的项；④存在*k N ∈，使1k k a a +-和1k k a a --同号． 其中正确命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】因为{}n a 成等差数列，所以其前n 项和是关于n 的二次函数的形式且缺少常数项，0d <说明二次函数开口向下，又38S S =，说明函数关于直线 5.5x =对称，所以5S 、6S 都是最大项，①正确； 同理，若0d >，说明函数是递增的，故{}n S 中一定存在最小的项，③正确； 而②是等差中项的推广，②正确；对于④，1k k a a d +-=-，1k k a a d --=，因为0d ≠，所以二者异号，④错误． 所以正确命题的个数为3个．故选：B ．【点评】考查学生灵活运用等差数列的前n 项和的公式，掌握等差数列的性质和通项公式． 11．已知函数()f x 满足1()()x f x f x e '+=，且(0)1f =，则函数21()3[()]()2g x f x f x =-零点的个数为( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．0个，(0)1f =6(1)x x =+【点评】本题考查了函数的解析式得求法和函数零点的判断，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题． 12．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A．9B．13C．16D．18【解析】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2714⨯=个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示212⨯=个两位数；则一共可以表示14216+=个两位数；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是理解算筹的定义．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满足约束条件1010y xx yy-⎧⎪+-⎨⎪+⎩，则3z x y=+的最大值为5．【解析】可行域如图所示，作出直线3y x z=-+，可知z要取最大值，即直线经过点C．解方程组1010x yy+-=⎧⎨+=⎩得(2,1)C-，所以32(1)5maxz=⨯+-=．故答案为5．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．14．如图，在等腰梯形ABCD中，12DC AB=，BCCD DA==，DE AC⊥于点E，如果选择向量AB与CA 作基底，则DE可用该基底表示为1122AB CA+．【解析】由题意可得E为AC的中点，由平面向量的线性运算可得，BA111222DE DC CE DC CA AB CA =+=+=+．故答案是：1122AB CA +．【点评】本题考查了平面向量的加减法、线性运算，是基础题．15．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为 53 ．【点评】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，以及方程思想，是数列在实际生活中的应用，属于基础题．16．已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图象过点4(,)5P m ，8(,)9n ，若3225(1)m n mn f +=，则a 的值是 12 ．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数()sin()cos()63f x x x ππ=-+-，2()2sin 2xg x =．（1）若α是第二象限角，且()f α=，求()g α的值； （2）求()()f x g x +的最大值及最大值对应的x 的取值．），（．（α是第二象限角，，（∴()g α=．（（2）f ，（当sin(x -，（，（．（【点评】本题主要考查利用三角恒等变换化简三角函数，结合三角函数图象求最值，考查运算求解，推理论证，属于中档题． 18．（12分）已知函数21()sin()42f x x x π=++． （1）求函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程；（2）判断函数()f x 的导函数()f x '在(,)23ππ-上的单调性；并求出函数()f x 在[,]33ππ-上的最大值．，（，（，（．（，（单调递增；（，（上单调递减，（．（【点评】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数判断原函数的单调性，函数在闭区间上的最值问题． 19．（12分）（1）当()k k Z απ≠∈时，求证：1cos tan2sin ααα-=； （2）如图，圆内接四边形ABCD 的四个内角分别为A 、B 、C 、D ．若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =．求tantan tan tan 2222A B C D+++的值．21cos 22sin cossin 2222ααααα-==．（π=，（cos 1cos 1cos 2sin sin sin C A A C A A -+=+=，（，（，（，（，（，（．（，（，（，（．（【点评】本题主要考查了三角恒等变换公式化简以及正余弦定理的运用倍角公式的应用，考查了四点共圆对角互补，多次使用余弦定理解决问题等，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题． 20．（12分）已知函数2()22f x x x alnx =-+，若函数()f x 在定义域上有两个极值点1x ，2x ，且12x x <．A（1）求实数a 的取值范围； （2）证明：123()()202f x f x ln +++>． ，（．（．（，（，（上单调递减，（，（．（【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道综合题．21．（12分）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有||1n n b a -，则称{}n b 与{}n a “接近”．（1）设{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；（2）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n c 满足：{}n c 与{}n a 接近，且在1(1k k c c k +-=，2，3，⋯，100)这100个值中，至少有一半是正数，求d 的取值范围．，（，（，（是接近的．（法一：||1n n c a -，11n n n a c a +∴-，11n n c a ∴--+-，（1111n n c a +++，11122n n n n n a c c a a +++∴----+，122n n d c c d +-∴-+，（2d -，则10n n c c +-恒成立，不符合条件，（2d >-，令(1)n n n c a =+-，（||(1)|1n n n a -=-<，此时12(1)n n d c +---，（为偶数时，2n c d =-，（从1取到个偶数，（，，．（（5分）⋯，100)中有100个正数，符合题意；（6分）101n >+， 符合题意；（个正数，符合题意；（12d -，若存在数列11n n c a +，1111n n a c a --+，11(1)20n n n c a a d ++--=+，则1(k k c c k +-=100)中无正数，不符合题意； 的取值范围是(2,)-+∞．（12分）【点评】本题考查数列的应用，对新定义类问题要认真审题，加强分析灵活运用所学知识去解决新问题．考查运算求解、推理论证以及转化与化归，是中难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，直线l 过点(2,)2P π，且与直线()3R πθρ=∈垂直．（1）设直线l 上的动点M 的极坐标为(,)ρα，用ρ表示cos()3πα-；（2）在以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴的直角坐标中，曲线C 的参数方程为cos (1sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数），若曲线C 与直线()3R πθρ=∈交于点Q ，求点Q 的极坐标及线段PQ 的长度．，（直线；（，（动点，（；（，（，（，（，（．（【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()|||1|f x x x =+-． （1）若()|1|f x m -恒成立，求实数m 的最大值；（2）记（1）中m 的最大值为M ，正实数a ，b 满足22a b M +=，证明：2a b ab +． 【解析】（1）法一：()|||1||(1)|1f x x x x x =+---=，且()|1|f x m -恒成立，（2分）|1|1m ∴-，即111m ∴--，得02m ，（4分）；（011x x <，（)|1|x m -恒成立，（1|1|m -，02m ，（实数m 的最大值为2；（）法一：222a b +=，令a 22(cos sin )4sin ab θθ-=+-，（(0,2πθ∈，(1,2]t ∈，（()f t 在(1,)(2)0f =0ab ，2a b ab ∴+．（法二：由（，又222a b ab +，故1ab ，（22222()4222(1)(21)a b a b ab b ab ab +-=+-=--+，01ab <，1)0ab +，（2b ab ．（【其他做法请老师酌情给分】【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．。
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
甘肃省武威第十八中学2020届高三数学上学期第二次诊断考试试题
甘肃省武威第十八中学2020届高三数学上学期第二次诊断考试试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝｛1，2,3}，B＝{2，3，4｝，则A∪B＝(）A．{1,2,3，4｝ B．{1，2,3｝C．{2,3，4｝D．｛1,3，4｝2．函数f（x）＝错误!＋错误!的定义域为（)A．［0，2) B．(2，＋∞)C．[0，2)∪（2,＋∞）D．（－∞，2)∪(2，＋∞)3．集合错误!中的角所表示的范围(阴影部分)是（)4．为了得到函数y＝2sin错误!的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象（)A．向右平移错误!个单位长度B．向右平移错误!个单位长度C．向左平移错误!个单位长度D．向左平移错误!个单位长度5．设函数f(x)＝cos错误!，则下列结论错误的是（）A．f（x)的一个周期为－2πB．y＝f(x）的图象关于直线x＝错误!对称C．f（x＋π)的一个零点为x＝错误!D．f（x)在错误!单调递减6。
如果f错误!＝错误!，则当x≠0且x≠1时,f（x）等于（）A.错误!B。
错误! C.错误!D。
错误!－17．最小正周期为π且图象关于直线x＝错误!对称的函数是( ) A．y＝2sin错误!B．y＝2sin错误!C．y＝2sin错误!D．y＝2sin错误!8.函数f(x）在(－∞,＋∞)单调递减，且为奇函数．若f（1)＝－1，则满足－1≤f(x－2）≤1的x的取值范围是（)A．［－2，2］B．[－1,1］C．[0，4］D．［1,3]9．已知函数f(x）＝log2x＋错误!，若x1∈（1,2），x2∈(2，＋∞），则（)A．f（x1）〈0,f（x2）〈0 B．f(x1)<0，f（x2)〉0C．f（x1)〉0,f(x2)〈0 D．f（x1)〉0，f(x2)〉010．已知函数f(x）的导函数为f′（x）,且满足f（x）＝2xf′（1）＋ln x,则f′（1)＝（)A．－e B．－1C．1 D．e11.已知函数f（x）的导函数f′（x）＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x）的图象可能是( )12．已知扇形的周长是6,面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ）A．1 B．4C．1或4 D．2或4二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分。
2023届四川省泸县高2020级高考数学(理工类)适应性考试2【含答案】
估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，则21s 22s A ．，B ．，C ．，D ．12x x >2212s s >12x x >2212s s <12x x <2212s s >1x <4．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：为坐标原点），若过点作互相垂直的两O1,3,4 3⎫⎬⎭三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第试题考生都必须作答．第22（一）必考题：共60分。
(1)求证：平面平面BDG ⊥ABC (2)若，求平面2AB BC CP ===19．（12分）公司采用招考的方式引进入才，规定考生必须在测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用，已知考生在每个测试点的测试结果互不影响，若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点、、测试合格的概率分别为，A B C 23，，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是．231223（）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大?请说明理由；1（）假设小李选择测试点、进行测试，小王选择测试点、进行测试，记为两人在各测试点测试2A B A C X 合格的测试点个数之和，求随机变量的分布列及数学期望．X EX 20．（12分）已知椭圆的上、下顶点分别为，左顶点为，是面积为()2222:10x y C a b a b +=>>,A B D ABD △的正三角形．3(1)求椭圆的方程；C (2)过椭圆外一点的直线交椭圆于两点，已知点与点关于轴对称，点与点关C (),0M m C ,P Q P P 'x Q Q '于轴对称，直线与交于点，若是钝角，求的取值范围．x PQ 'P Q 'K AKB ∠m 21．（12分）已知函数，.若函数在定义域内有两个不同的极值点()2ln 12a f x x x x x =--+a ∈R ()f x .12x x ，(1)求实数a 的取值范围；(2)当时，证明：.02m <≤12m x x a +>（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。
江西省高安中学2020届高三上学期第二次段考数学(理)试题Word版含答案
江西省高安中学2018届高三第二次段考试题理科数学命题人：朱细秀 第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 4 x11.已知集合 A 二{x ・Z| 0} , B 二{x|2x 乞4}，则A "B=x+2 4 B.{0,1,2} C. A.{x| —1 _x _2} D.{-2, -1,0,1,2} 2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（1 , 1 x B. y = g x 1「X {-1,0,1,2}A. y C. y = tanx 3•函数 f(x) =3si n (― 3-2x ）的一个单调递增区间是（ 4. 5. 6. A .[ ----- ----- ][12，12 ] 下列说法正确的是（ 7 13 B.[——-^] [12 ， 12 ]) C. 5兀兀 D・F ]A. -x, y R,若x y^O,则x^1且y —1B. a R a - ：：：1”是“a ・T 的必要不充分条件 aC.命题“ x • R ，使得x 2 2x 0 ”的否定是D. -x _0 都有 2x x 2已知数列'a n'为等差数列，其前 A. 110 B.55 f （x ）是定义在R 上的偶函数, b = f (3), c 二 2 A. a :: b ::: c 卄 1 7.右 tan :-----“ -x R ，都有 x 2 2x 3 0” n 项和为 S n , 2a ? -a 8 = 5，则 Sn 为（） C.50 D.不能确定 f （x ）在（0,上单调递增, 2 f （log 3），则下列不等式成立的是（B. a :: c :: bC. c :: b ■ a D 1 a 二 f(log 3), .c ：： a ：： b3 —a J2Tt Tt .，则sin i 2a +工h 勺值为（ 4'2 ，.4（2 B.-5102 D.-10&圆O 的半径为3，一条弦AB=4,P 为圆O 上任意一点，则AB BP 的取值范围为（）A. (1,::)A. 1-16,0]B.0,16] C. [-20,4] D. [-4,20 ]的投影为()A .匕！B 空C. 乂D ・1313 6 13 10.已知函数 f (x)是函数f (x)的导函数，1 f(1)，对任意实数都有ef(x) - f (x) • 0，则不等式 f(x) :::i 的解集为()b 的夹角为 9.已知向量a , 120，且|a|=2 , |b|=3则向量2a 3b 在向量2a b 方向上11. 已知数列[为等差数列，若a"- a^ < 25恒成立，则印Va?的取值范围是A . [-10、2,10、、2]B . ^^2,5,2]C. [-10,10]D. [-5,5]12.函数f(x)"OS(2x—32 二 )4 cos 2x -2311二 19二3X (x [12 12 ])所有零点之和为A.3B.二、填空题(每题 5分，满分13.等比数列 加 的各项均为正数,4 二C.-3第n 卷(共90分)20分，将答案填在答题纸上)10且 a 1Q an - a g a 12 = 2e ，则 In a 1 In a 2 • I H ln a®C. (1,e)“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是___________ 万元.三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，已知点A a,a ,B 2,3 ,C 3,2 .(i)若向量超AC 的夹角为钝角，求实数a的取值范围；(n)若a=1，点P x,y在：ABC三边围成的区域(含边界)上，OP = mAB nAC m, n R，求m - n 的最大值.18. (本小题满分12分)已知等差数列:a/?的前n项和为S n，已知a^7 , a3为整数，且 &的最大值为S5.(i)求订鳥的通项公式；(n)设0二豊，求数列＜：b n [的前n项和「.2n19. (本小题满分12分)x 兀已知函数f (x)二cos2x 4sin x sin2( ).(i)将函数f 2x的图像向右平移二个单位得到函数g x的图像，若「/ ],6 12 2 求函数g x的值域；(n)已知a,b,c分别为ABC中角代B,C的对边，且满足b = 2 , f(A)=』2 1 ,、3a =2bsin 代B(0,3)，求ABC 的面积.20. (本小题满分12分)P 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面E-PAB 丄平面 ABCD , PB=PC,. ABC =45：，点 E 是线段 PA 上 靠近点A 的三等分点.(I)求证：AB _ PC(n)若：PAB 是边长为2的等边三角形，求直线 DE 与平面PBC 所成角的正弦值.21. (本小题满分12分)已知正项数列的前n 项和为S n ，且2S n 二K -1 a n 2 .(I)求的通项公式；22. (本小题满分12分)已知函数 f x = xe T-a ln x x .(I)若函数f x 恒有两个零点，求 a 的取值范围； (n)若对任意x 0，恒有不等式f x -1成立.①求实数a 的值；②证明：x 2e x • x 2 l nx • 2si nx江西省高安中学2018届高三第二次段考试题理科数学参考答案(n)设数列n-1 2n na n的前n 项和为T n ,试比较T n 与J2n 1 18-n -2n-2n +1的大CB B B BCD C D A A C9兀l13.100 14.6 15.4.5 16.37.5ss417.解：(1)由晶=2 _a,3 _a , AC -3- a,2 - a ,ABjAC =2 a 1 2 -5a 6 :: 0,2 ::: a ::: 3 又 a =舟,AB 与卞C 夹角为二，所以a 訂 2,5 L 巴3 i ； ........................................................................................................ 5 分.2 2'(2)T OP = mAB nAC, x, y = m 1,2 i 亠 n 2,1 ,即 x = m 2n, y = 2m n ，解得 m-n 二y-x ，令 y_x=t ,由图知，当直线 y=x+t 过点B(2,3 )时，t 取得最大值1,故m-n 的最大值为1..10分■2】Ed 乞-13 , 3 4 d =29 75 11 -2n所以T n23 •…—，① 2 2 2 -1 十 9 7 5 11 —2 n 金 —T n — •… r-，② 2 2 2 2 21②式减①式得，-丄几2 n数列 ；的通项公式为a n =11 -2n(2) 因为 b.11「2n18.解：(1)由 a ? =7 , a 3为整数知等差数列Ya. ?的公差d 为整数.又 S n ^Ss ，故 a 5 -0 ,a6- 0 ,解得因此9 11 1 9 T 1丄…— 2g n 』11 —2nx \=cos 2x +4sin x sin 3JI24丿=cos2x 4sinx 1 - cos I X■ 2丿平面 PAB 平面 ABCD ，且面 PAB 面ABCD = AB ， PO _ 面ABCD：‘PB 二PC, Rt POB 也 Rt POC(HL), OB = OC又 ABC =45 , OC _ AB又PO CO=O,由①②，得AB _面POC ，又PC 面POC ，AB _ PC(n)T 「.：PAB 是边长为2的等边二角形，3整理得 因此T n2n _7=7 2n12分-1 - 2 sin x ， ............................................................ (1)平移可得g x = 2sin !2x _丄 x •—— 12 2 —"1， 3兀2兀& _ 6，3x J 时，g X min =0 ；当 X = 5 二时，g x max =312 12 •••所求值域为1.0,3 1 (2)由已知.、3a=2bsi nA 及正弦定理得：,3s in A=2si n Bsi nA , 二 sin B = ，T 0 cB £三，-B=—，由 f ( A ) = +1得 sin A = ，又 a = b < b ， 2 2 3 2 v 3 10分 由正弦定理得：a =空6， 311分 二S 应BC =^ab sin C =丄*：空6疋2疋皿 +忑 =3 +忑A2 234 312分20. (I)作 po _ AB 于 O①，连接OC19.解:P二PO 」3,OA =OB =OC =1如图建立空间坐标系，P(0,0, ..3),B(1,0,0)C(0,1,0)A(-1,0,0)设面PBC 的法向量为n = (x, y,z)pB =(1,0,「3), BC =(-1,1,0)n吁x —辰=0,令x‘,得n (3®n BC - -x y = 0AP =(1,0, ..3), AE =〔AP =(丄,0,-^), CB 二 DA =(1,-1,0)3 3 34a •' 3DE =DA AE =( — ,“,——),设DE 与面PBC 所成角为二 3 33三严 3 _ 3 16 1 3.3 3 1 .9 911分21. (1 )证明：当 n =1 时，20 = (a ( -1)G 2)；印 0,2当 n 一2时，2a n =2(S n - S n" =a 2 -a j ： ' a^a n j , (a n ' a n 」)(a n -a n 4 -1) = 0■■ a n ■ a n 40,・ a n -a n4 =1 • (4)分.数列；a n 是以2为首项1为公差的等差数列，.a n 二n • 123n ,n22 2 2 2 2 T n ： 21 3n ： >1 n ：「1 n 1c 2 (18 -n)—2n — 2 2 (n —17)~2~n 1sin v -| cos ：： n, DE | =| -D^- | = .3 7•••直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值、3712分(2)解：.na nn(n 1) n 1 nT2n 118 _n) _2n _2 2I nc 〒2n ^(18_ n)_2n_2：：：0,. Tn :::c 十2n ^(18_ n)_2n_20,. T n22.【解析】(1) f x = xe x - a lnx-ax, x - 0，则f X = X 1 e x -a 1 1 = X 1e : l x 丿 V当a 乞0时，f x .0,故f x 单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意； .............................................................................. 2分 当a - 0时，「x =0有唯一解x =x 0，此时e x0x 0 = a ，贝yf x min =f 人 l=X0e " -alnx 0-ax 。
2020届吉林省东北师范大学附属中学高三上学期第二次模拟数学(理)试题(解析版)
2019—2020学年髙三年级上学期 第二次摸底考试（数学）学科试卷（理）考试时间：120分钟一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}240P x R x x =∈-≤，{}3Q x R x =∈<，则P Q ⋃=（ ） A. []3,4 B. (]3,4- C. (],4-∞ D. ()3,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】分别求解二次不等式和绝对值不等式，求并集即可. 【详解】对集合P ：240x x -≤，解得[]0,4x ∈； 对集合Q ：3x <，解得：()3,3x ∈-； 求并集得：(]3,4P Q ⋃=-， 故选：B .【点睛】本题考查不等式的求解、并集的运算. 2.复数311ii++等于( ) A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】C 【解析】2311(1)2.11(1)(1)2i i i ii i i i i +++====+--+ 本题选择C 选项.3.若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的（ ）A. 允分不必要条件B. 必要不允分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由p 是q 的充分不必要条件，可得：若p ，则q ，再根据其逆否命题，即可求得. 【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，则可记作： 若p ，则q 为真，求其逆否命题为：若q ⌝，则p ⌝， 故：p ⌝是q ⌝的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题考查充分条件和必要条件，以及命题之间的转化. 4.设120202019a =，2019log b =20201log 2019c =，则( ) A. c b a >> B. b c a >>C. a b c >>D. a c b >>【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】120200201901912a >==Q,20192019log log 201910b <<==, 202020201log log 102019c =<=, a b c >>,故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用..5.将函数2sin 16y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），那么所得图象的一个对称中心的坐标为（ ） A. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,112π⎛⎫-⎪⎝⎭ C. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,13π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由三角图像变换，先求变换后的解析式，再求对称中心即可.【详解】将函数2sin 16y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短为原来的12， 则得()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令26x k ππ-=，解得()212k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，解得12x π=，此时函数值为-1，故选：B.【点睛】本题考查三角函数图像的变换，及变换后函数的性质.6.已知命题“00x ∃≥，200210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A. [)1,-+∞B. ()0,∞+C. []1,1-D. [)0,+∞【答案】A 【解析】 【分析】求该命题的否定，再将恒成立问题转化为最值问题求解即可.【详解】命题：00x ∃≥，200210x ax ++<是假命题；则其否定:0x ∀≥，2210x ax ++≥是真命题； 当0x =时，10≥显然成立；当0x >时，2210x ax ++≥，解得122x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭而1122x x+≥当且仅当1x =时取得，故： 1122x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭，由题可知： 122x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭等价于1a ≥-，故选：A.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，属综合基础题.7.若直线y ex b =+是曲线ln y x =的一条切线，则函数()3ln f x b x x x=---的单调递增区间是（ ） A. ()0,3 B. ()1,3-C. ()3,+∞D. (),1-∞-和()3,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由y ex b =+是曲线的切线，求出b ，再求具体函数的单调增区间即可. 【详解】设切点为()00,ln x x ，则可得过该点的切线方程为：001ln 1y x x x =+-，又知切线为：y ex b =+， 故得：01x e =，1ln 12b e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则： ()33ln 2ln f x b x x x x x x=---=--，()2231f x x x=-+'，令()0f x ¢>， 解得：2230x x --<，即()1,3x ∈- 又该函数定义域为：()0,+?，故单调增区间为()0,3.故选：A.【点睛】本题考查曲线上一点处的切线方程的求解，以及求具体函数的单调区间，属综合基础题. 8.下列函数中同时具有以下性质的是（ ） ①最小正周期是π； ②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数； ④图象的一个对称中心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭． A. 26cos x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 2cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据选项，对每个函数进行逐一分析即可.【详解】对A ：函数的最小正周期为4π，故A 不正确； 对B ：该函数在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数，故B 不正确； 对C ：函数图像不关于3x π=直线对称，故C 不正确；对D ：该函数满足四条性质，故D 正确. 故选：D .【点睛】本题考查正余弦函数的最小正周期、单调区间、对称轴、对称中心，属基础综合题.9.己知函数()()()()()24112111xa x f x x a x x ⎧--<⎪=⎨+-+≥⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A. [)1,+∞ B. []1,0 C. [)1,3 D. [)0,3【答案】C 【解析】 【分析】先保证每段函数都是增函数，再考虑断点处函数值的关系，解不等式组即可. 【详解】若满足题意，则()()41xf x a =--要为增函数，则：41a ->；①若保证()()()22111f x x a x x =+-+≥单调递增，则：11a -≤；②若要保证该函数在R 上单调递增，则在断点处：()()411211a a --≤+-+③由①②③解得：[)1,3a ∈. 故选：C .【点睛】本题考查分段函数在R 上的单调性，需要满足每段函数均为单调的，同时也要考虑断点处函数值的关系.10.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A. (－∞，0) B.C. (0,1)D. (0，＋∞)【答案】B 【解析】函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），则f′（x ）=lnx ﹣ax+x （﹣a ）=lnx ﹣2ax+1， 令f′（x ）=lnx ﹣2ax+1=0得lnx=2ax ﹣1，函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ）有两个极值点，等价于f′（x ）=lnx ﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax ﹣1与y=lnx 的图象相切，由图可知，当0＜a ＜时，y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点． 则实数a 的取值范围是（0，）． 故选B ．11.己知O 是ABC ∆内一点，230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AB AC =-uu u r uu u r g ，且23BAC π∠=，则OBC ∆的面积为（ ）A.B.C. D.6【答案】D 【解析】 【分析】由230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v可确定O 点的位置，再求解面积即可. 【详解】分别取AC 、BC 的中点为D 、E ，作图如下：由230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v，可得：()2OA OC OB OC +=-+u u u v u u u v u u u v u u u v，即：2OD OE =-u u u v u u u v ，故O 是DE 上靠近E 点的三等分点， 故6ABC OBC S S ∆∆=，根据题意可知：4AB ACAB AC cosA=⋅=u u u r u u u r故12ABC S AB AC sinA ∆==则16OBC ABC S S ∆∆==， 故选：D .【点睛】本题考查向量的运算、三角形面积公式的计算，属综合基础题.12.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()f x =()()()log 3a g x f x x =-+有5个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (]1,18,6⎛⎫+∞⎪⎝⎭U B. ()6,+∞C. 1,18⎛⎫ ⎪⎝⎭D. {}11,121410⎛⎫⋃⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】将函数有5个零点的问题，转化为图像有5个交点的问题，则数形结合可得.【详解】()()2f x f x +=-可得：该函数关于1x =对称，又其关于原点对称，故： 该函数的周期为4；()()()log 3a g x f x x =-+有5个零点，等价于函数()y f x =与()log 3a y x =+有5个交点，当()0,1a ∈时，若满足两函数有5个交点，则由下图可知：()log 3a y x =+在7x =时的函数值log 101a >-，且在11x =时的函数值log 141a <-，解得：11,1410a ⎛⎫∈⎪⎝⎭； 当()1,a ∈+∞时，若满足两函数有5个交点，则由下图可知：此时，函数应该过点()9,0C ，故log 121a =，解得12a =. 综上所述：12a =或11,1410a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故答案为：D.【点睛】本题综合考查函数的性质，以及零点问题，利用数形结合；属综合中档题.二、填空题：13.己知向量a r ，b r 满足a b ⊥r r，1a =r，2a b +=r r =b r ______．【答案】1 【解析】 【分析】由向量垂直可得0a b =v n v，将2a b +=v v 两边平方，结合已知，即可求得.【详解】因为a b ⊥v v ，故0a b =v n v ；2a b +=vv ，两边平方，则：22445a b a b ++=v n v vv ，解得：244b =v ，即：1b =r .故答案为：1.【点睛】本题考查向量的数量积、模长的计算，属向量基础运算题. 14.已知tan 2θ=，则sin cos θθ=____． 【答案】25. 【解析】试题分析：把所求的式子分母看作“1”，利用sin 2θ+cos 2θ=1，从而把所求的式子化为关于tanθ的关系式，把tanθ的值代入即可求出值．详解：由tanθ=2，则sinθcosθ=22sin cos sin cos θθθθ+=1215tan tan θθ=+.故答案为25.点睛：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．本题利用了sin 2θ+cos 2θ=1巧妙的完成弦切互化．常用的还有三姐妹的应用，一般sin cos sin cos αααα+-，，sin *cos αα，这三者我们成为三姐妹，结合22sin cos 1αα+=，可以知一求三.15.己知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos sin b C c B a A +=，1AB =，2BC =，且1AB BC =-u u u r u u u rn ，则C ∠=______． 【答案】6π【解析】 【分析】由cos cos sin b C c B a A +=可求角A ，利用向量数量积，求得B ，从而推出C. 【详解】由：cos cos sin b C c B a A +=，可得：1sinA =，又()0,A π∈，故90A =︒； 由1AB BC -⋅=u u u r u u u r，可得：()cos 1AB BC B π-=-⋅u u u r u u u r，解得：60B =︒；由三角形内角和得：30C =︒， 故答案为6π. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查了正弦定理的应用，属基础题. 16.定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，己知()f x '是它的导函数，且恒有()()cos sin 0x f x x f x '⋅+⋅<成立，且13f π⎛⎫=⎪⎝⎭，则不等式()2cos f x x <的解集为______． 【答案】32x x ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由()()cos sin x f x x f x ⋅+⋅'可构造函数()()f x F x cosx=，由其单调性及特殊值，可求得不等式.【详解】由()()cos sin 0x f x x f x ⋅'+⋅<，可构造函数：()()f x F x cosx =，则：()()()2cos sin 0cos x f x x f x F x x''⋅+⋅=<；故()F x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 由13f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可得23F π⎛⎫= ⎪⎝⎭； 而()2cos f x x <等价于()23F x F π⎛⎫<=⎪⎝⎭，解得：,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：32xx ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查：利用导数构造函数，求解不等式的问题，属导数中的中档题；本题中()()cos sin x f x x f x ⋅+⋅'的构造形式需要注意.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-，数列{}n b 是等差数列，且11b a =，43b a =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若11n n n n c a b b +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n n a -=，n b n = （2）1221nn T n =-++ 【解析】 【分析】（1）由21n n S a =-，利用1n n n a S S -=-求得n a ；再利用基本量求得n b ； （2）先求n a 的前n 项和，再用裂项求和即可.【详解】（1）当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =，当2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---122n n a a -=-，∴12n n a a -=，当2n =时，2221S a =-即22121a a +=-，∴22a =， ∴212a a =，∴{}n a 为以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a -=，∵11b =，434b a ==，4113b b d -==， ∴n b n =．（2）由（1）可得：()1121n n c n n -=-+，所以1111112231n n T S n n ⎛⎫=--+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭112112211n n n n =--+=-+++ 【点睛】第一问考查1n n n a S S -=-的利用，以及基本量求解通项公式；第二问考查分组求和与裂项求和. 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AB //CD ，2AB CD =，PA PD =，PA ⊥平面PCD ．（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）设2AD CD ==，求平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）11【解析】 【分析】（1）由CD ⊥平面PAD ，通过线面垂直，推出面面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）证明：∵PA ⊥平面PCD ，且CD ⊂平面PCD ， ∴PA CD ⊥又AD CD ⊥且PA AD A ⋂=， ∴CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）取AD 的中点O ，连接PO ，作图如下：∵PA PD =，∴PO AD ⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ， 建立如图所示的直角坐标系，()0,1,0D ，()2,1,0C ，()0,0,1P ，()410B -，，， ()2,2,0BC =-u u u v ，()4,1,1PB =--u u u v，∴平面PBC 的一个法向量()1,1,3m =v，平面PAD 的一个法向量()2,0,0n DC ==u u uv vcos m n m n m n⋅=v v v vv v11=，∴平面PBC 与平面PAD . 【点睛】本题第一问考查通过线面垂直证明面面垂直，第二问考查利用向量求解二面角的大小.19.已知函数()()2sin 2cos 12f x x x x ππ⎛⎫=--++- ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间；（2）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，己知()2f A =-，2a =，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数整理为标准型，再求单调区间；（2）由（1）解得角A ，利用余弦定理及均值不等式，得bc 的最大值，即可得面积最大值.【详解】（1）()cos cos2f x x x x =-+12sin2cos222x x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()222262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，又∵[]0,x π∈，∴函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）∵()2f A =- ∴2sin 226A π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 即sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ABC ∆为锐角三角形， ∴262A ππ-=，∴3A π=在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-， 又2a =，∴2242b c bc bc bc bc =+-≥-=， 当且仅当2b c ==时，()max 4bc =，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤∴当2b c ==时，()max ABC S ∆=【点睛】（1）第一问考查利用三角恒等变换化简三角函数为标准型，并求其单调性；（2）第二问考查三角函数与解三角形的结合，以及利用余弦定理，均值不等式求解三角形面积最大值得问题；本题属综合中档题，需要重视，高考常考.20.已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点F ，抛物线2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且l 交椭圆C 于A B 、两点，点A F B 、、在直线:4g x =上的射影依次为D K E 、、. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r，当m 变化时，证明：12λλ+为定值； （3）当m 变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析；（3）5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：：1）由题设条件求出椭圆的右焦点F 与上顶点坐标，即可得出b ：c 的值，再求出2a 的值即可求得椭圆C 的方程：：2：设()()1122,,,A x y B x y ：联立直线与椭圆的方程：结合韦达定理得出12y y +与12y y ：再根据12,MA AF MB BF λλ==u u u v u u u v u u u v u u u v 及10,M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭：从而可表示出12λλ+：化简即可得证：：3：）当0m =时，易得AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭：可猜想：m 变化时：AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭：再证明猜想成立即可.试题解析：：1：∵:1l x my =+过椭圆C 的右焦点F ： ∴右焦点()1,0F ，即21c =：又∵2x =的焦点(为椭圆C 的上顶点，∴b =222234b a b c ==+=，：∴椭圆C 的方程22143x y +=：：2）由22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩得，()2234690m y my ++-=： 设()()1122,,,A x y B x y ，则121222693434m y y y y m m 、+=-=-++： ∵121,,0,MA AF MB BF M m λλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ：∴()()111112222211,1,,,1,x y x y x y x y m m λλ⎛⎫⎛⎫+=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭：∴1212111,1my my λλ=--=--： ∴1212221269822/34343y y m m my y m m λλ++=--=--=-++：综上所述，当m 变化时，12λλ+的值为定值83-：：3）当0m =时，直线l x ⊥轴，则ABED 为矩形，易知AE 与BD 是相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，猜想AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，证明如下： ∵11112533,,,222AN x y my y NE y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ：∵()()121121222333369022223434m my y y y y my y m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-=---=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭： ∴//AN NE u u u v u u u v，即A N E 、、三点共线. 同理可得B N D 、、三点共线，则猜想成立，即当m 变化时，AE 与BD 相交于定点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.点睛：：1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题：：2）求定值问题常见的方法：：从特殊入手：求出定值：再证明这个值与变量无关：：直接推理、计算：并在计算推理的过程中消去变量：从而得到定值． 21.已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的两个零点分别是1x ，2x ，求证：122x x a+>． 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，得其导数的主导因式为二次函数，对参数进行分类讨论即可；（2）要证122x x a +>，即证：212x x a >-，根据函数的单调性，等价于证：()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故构造函数()()2F x f x f x a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，讨论其单调性即可. 【详解】（1）函数()()2ln 2f x x ax a x=-+-定义域为()0,+∞，()()()()121122ax x f x ax a x x-+=-+-=-'， ①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<， 则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：由（1）易知0a >，且()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 不妨设1210x x a<<<， 构造函数()()2F x f x f x a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()()()()()()()2'222212222ax ax ax F x f x fx f x f x a a x ax x ax -+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+-== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎣'⎭⎦'''， ∵10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()()()22102ax F x x ax ='->-， ∴()F x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ∴()11210F x F f f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 的即()2f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又1x ，2x 是函数()f x 的两个零点且110x a<<， ∴()112f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭， 又∵()()12f x f x =，∴()212f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭， 而2x ，12x a -均大于1a ，且()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴212x x a >-，∴122x x a+>，得证． 【点睛】本题第一问考查利用导数对含参函数单调性讨论；第二问考查极值点偏离问题的处理方法，构造函数法；本题的第二问属于经典题型，需要重点关注.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t ay t a=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为23sin 4ρρθ=+． （1）求曲线C 的参数方程； （2）若3=4πα，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 【答案】（1）cos 1sin 2x y ββ=⎧⎪⎨=+⎪⎩（β为参数） （2）2 【解析】 【分析】（1）将极坐标方程，化为直角方程，再转化为参数方程即可；（2）可以利用直线参方中参数的几何意义进行处理，也可以利用直角坐标系中的弦长公式. 【详解】（1）由23=sin 4ρρθ+得，2234x y y +=+， 的即22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， ∴曲线C 的参数方程为12x cos y sin ββ=⎧⎪⎨=+⎪⎩（β为参数）． （2）解法一：若3=4πα， 则直线l参数方程为1212x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 代入2234x y y +=+， 整理得2410t ++=，560=>n ，12t t +=，1214t t =， ∴122AB t t =-==． 解法二：若34πα=，则直线l 的直角坐标方程为0x y +=， ∵曲线C 为圆，它的直角坐标方程为22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 圆心为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径1r =，圆心到直线l的距离14d ==，∴2AB ===． 【点睛】本题考查将极坐标方程转换为参数方程、利用直线参方中t 的几何意义求解弦长；本题中第二问的方法二，也是一种很好的思路，利用直角坐标系中的弦长公式进行求解.【选修4-5：不等式选讲】23.己知函数()2f x x a a =-+．的（1）当2a =时，求不等式()8xf x ≥的解集；（2）若不等式()14f x x ≥-+有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}2x x ≥ （2）(]5,3,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U【解析】【分析】（1）将绝对值函数，转化为分段函数，分段求解不等式，先交后并即可；（2）不等式有解，等价于214x a x a ---≥-有解，求21x a x ---的最大值即可. 【详解】（1）当2a =时，()2,4426,4x x f x x x x -≥⎧=-+=⎨-<⎩， 当4x ≥时，由()8xf x ≥，得2280x x --≥，得4x ≥．当4x <时，由()8xf x ≥，得2680x x -+≤，得24x ≤<，∴不等式()8xf x ≥的解集为{}2x x ≥．（2）由()14f x x ≥-+有解，可得214x a x a ---≥-有解， 又()()212121x a x x a x a ---≤---=-∴214a a -≥-①．当4a ≥时，不等式①恒成立 当142a ≤<时，不等式①可化214a a -≥-，可得543a ≤<， 当12a <时，不等式①可化为124a a -≥-，可得3a ≤-． ∴实数a 的取值范围是(]5,3,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、绝对值不等式的性质、有解问题的转化，属不等式中档题.。
重庆市渝中区、九龙坡区等主城区2020届高三学业质量调研抽测(第二次)数学(理科)试题 (解析版)
2020年高考数学二诊试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12个小题）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |log 2x ＞1}，则A ∪B ＝（ ） A ．（2，+∞）B ．（2，3]C ．[﹣1，3]D ．[﹣1，+∞）2．已知复数z 在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i 为虚数单位，则z1−i =（ ）A ．−12+12i B ．−12+72i C ．−72+12i D ．72+12i3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布N （100，σ2）且P （x ＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（ ） A ．200B ．300C ．400D ．6004．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（ ）A ．79B ．−79C ．2√23D ．−2√235．已知p ：﹣2≤x ﹣y ≤2且﹣2≤x +y ≤2，q ：x 2+y 2≤2，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）的定义域为R 且满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）＝f （2﹣x ），若f （1）＝4，则f （6）+f （7）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣4C ．0D ．47．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π128．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（ ）A ．81256B ．2764C ．964D ．9169．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√612．已知函数f （x ）＝（lnx +1﹣ax ）（e x ﹣2m ﹣ax ），若存在实数a 使得f （x ）＜0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(12，1)D ．(−1，12)二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 ．14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 ．15．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆面积为16π，且cos 2C ﹣cos 2B ＝sin 2A +sin A sin C ，则a +c 的最大值为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC ∩BD ＝O ，E 是B 1C （不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是 ． ①D 1O ⊥平面A 1C 1D ； ②OE ∥平面A 1C 1D ；③三棱锥A 1﹣BDE 体积为定值； ④二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的正弦值为√66．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．20．已知圆C：（x+2）2+y2＝24与定点M（2，0），动圆I过M点且与圆C相切，记动圆圆心I的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点M，且与曲线E交于A，B两点，P为直线x＝3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．21．设函数f（x）=e xx，g（x）＝lnx+1x．（Ⅰ）若直线x＝m（m＞0）与曲线f（x）和g（x）分别交于点P和Q，求|PQ|的最小值；（Ⅱ）设函数F（x）＝xf（x）[a+g（x）]，当a∈（0，ln2）时，证明：F（x）存在极小值点x0，且e x0（a+lnx0）＜0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2+√22ty=√22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M的直角坐标为（2，0），直线l和曲线C交于A、B两点，求1|MA|+1 |MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x+a2|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）+|x﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x，不等式|2x+3|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（2，+∞）B．（2，3]C．[﹣1，3]D．[﹣1，+∞）【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A＝[﹣1，3]，∵B＝{x|log2x＞1}＝[2，+∞），∴A∪B＝[﹣1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i为虚数单位，则z1−i=（）A．−12+12i B．−12+72i C．−72+12i D．72+12i【分析】复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），可得z＝﹣3+4i，代入再利用复数运算法则即可得出．解：复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），∴z＝﹣3+4i，则z1−i =−3+4i1−i=(−3+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=−72+12i，故选：C．【点评】本题考查了复数运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（）A．200B．300C．400D．600【分析】先根据正态曲线的对称性性质，算出P（100≤x≤120），然后用该值乘以1000即可．解：因为综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．∴P（x＜80）＝P（x＞120）＝0.2，P（x≤100）＝P（x≥100）＝0.5．∴P（100≤x≤120）＝P（x≥100）﹣P（x＞120）＝0.3．故综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为1000×0.3＝300．故选：B．【点评】本题考查正态分布密度函数的性质及应用，要注意利用正态曲线的对称性求解概率，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力，属于中档题．4．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（）A．79B．−79C．2√23D．−2√23【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos（α−π2），利用诱导公式可求sinα，再根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．解：∵sin(α2−π4)=√33，∴cos（α−π2）＝1﹣2sin2（α2−π4）＝1﹣2×（√33）2=13，即sinα=13，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（13）2=79．故选：A．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．已知p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，q：x2+y2≤2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．即可判断出关系．解：p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．∴由q⇒p，由p无法得出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝4，则f（6）+f（7）＝（）A．﹣8B．﹣4C．0D．4【分析】推导出f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，由此根据f（1）＝4，能求出f（6）+f（7）的值．解：∵函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），∴f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，∵f （1）＝4，∴f （6）＝f （2）＝f （0）＝0，f （7）＝f （3）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣4， 则f （6）+f （7）＝0﹣4＝﹣4． 故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π12【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)=2sin （ωx −π6），由于函数满足f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，所以T ＝π，解得ω＝2．故f （x ）＝2sin （2x −π6）．将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数g （x ）＝2sin （2x +2φ−π6）图象，由于函数g （x ）关于原点对称，所以2φ−π6=k π（k ∈Z ），解得φ=kπ2+π12（k ∈Z ），当k ＝0时，φ=π12， 即实数φ的最小值为π12．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（ ）A ．81256B ．2764C ．964D ．916【分析】基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，由此能求出恰有一个社区未被这4名党员选取的概率．解：某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作， 假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作， 基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为P =m n =C 41C 42A 3344=916．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f （x ）在R 上是增函数，结合函数的解析式可得{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得a 的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f （x ）满足对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则函数f （x ）在R 上是增函数，又由f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1，则有{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得：43＜a ＜4，即a 的取值范围为（43，4）．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题． 10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π【分析】先由题设条件找到球心的位置，再利用∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6⇒△ABC 为等边三角形，进一步找出球的半径，计算出体积． 解：如图，记PA 的中点为O ，连OB ，OC ．∵∠PBA ＝∠PCA ＝90°， ∴OA ＝OP ＝OB ＝OC ，因此O 为三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心． 又∵PB ＝PC =√6，∴△PAB ≌△PAC ，∴AB ＝AC ．又∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．记点O 在底面ABC 内的射影为O 1，则O 1为△ABC 的中心．连接OO 1，O 1A ，点P 到底面ABC 的距离为2，∴OO 1＝1．设AB ＝a ，则O 1A =√33a ．在直角三角形PBA 中，PA =√6+a 2．在直角三角形OO 1A 中，OA 2＝1+（√3a 3）2＝1+a 23=|PA|24=6+a 24，解得：a =√6， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R ＝OA =√3．所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积V =43π（√3）3＝4√3π． 故选：C ．【点评】本题主要考查多面体的外接球问题，属于基础题．11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√6【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，通过余弦定理以及渐近线的斜率，列出关系式求解双曲线的离心率即可． 解：由题意可知|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，所以|MF 2|＝2a ，|MF 1|＝4a ，所以16a 2＝4a 2+4c 2﹣2×2a ×2c cos ∠MF 2F 1，tan∠MF2F1=ba，所以cos∠MF2F1=ac，所以：16a2＝4a2+4c2﹣2×2a×2c×ac，可得5a2＝4c2．所以双曲线的离心率为：e=√5．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝（lnx+1﹣ax）（e x﹣2m﹣ax），若存在实数a使得f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(12，+∞)B．(−∞，12)C．(12，1)D．(−1，12)【分析】分析题意可知，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，作出函数g（x）与函数h（x）的图象，只需分析出极限情况即可得解．解：依题意，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，考虑直线y＝ax与函数g（x），函数h（x）均相切于同一点的情况，设切点为（x0，y0），由g′(x)=1x，h′(x)=ex−2m可知，{1x0=e x0−2my0=e x0−2my0=lnx0+1，解得{x0=1y0=1m=12，作出图象如下，由图象观察可知，当m ＜12时，函数h （x ）越偏离函数g （x ），符合题意，即实数m 的取值范围为(−∞，12)． 故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，涉及了导数的几何意义的运用，考查等价转化思想，推理能力与计算能力，理解题意是关键，属于较难难题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 π3 ．【分析】根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，设|a →|＝t ，则|b →|＝2t ，由向量垂直与数量积的关系可得a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，又由|b →|=2|a →|，设|a →|＝t ≠0，则|b →|＝2t ，又由a →⊥(a →−b →)，则a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得：cos θ=12；又由0≤θ≤π，则θ=π3； 故答案为：π3．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的性质以及应用，属于基础题． 14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 12 ．【分析】通过抛物线的方程可知p ＝4，利用中点坐标公式可知x A +x B ＝2×4＝8，最后结合抛物线的定义即可求得焦点弦|AB|的长度．解：∵抛物线y2＝8x，∴p＝4，又点P（4，y0）是AB的中点，∴x A+x B＝2×4＝8，由抛物线的定义可知，|AB|＝x A+x B+p＝x A+x B+4＝8+4＝12．故答案为：12．【点评】本题考查抛物线的定义及其焦点弦的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆面积为16π，且cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，则a+c的最大值为8．【分析】设△ABC的外接圆的半径为R．根据△ABC的外接圆面积为16π，利用正弦定理可得R．由cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，化为：1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，利用正弦定理及其余弦定理可得B，进而得出b．利用基本不等式的性质即可得出．解：设△ABC的外接圆的半径为R．∵△ABC的外接圆面积为16π，∴16π＝πR2，解得R＝4．∵cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，∴b2﹣c2＝a2+ac，即c2+a2﹣b2＝﹣ac，∴cos B=a2+c2−b 22ac =−ac2ac=−12，B∈（0，π），解得B=2π3．∴b＝2R sin B＝8×√32=4√3．∴（c+a）2＝ac+(4√3)2≤(a+c)24+48，∴c+a≤8．当且仅当a＝c＝4时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，E是B1C（不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是②③．①D1O⊥平面A1C1D；②OE∥平面A1C1D；③三棱锥A1﹣BDE体积为定值；④二面角B1﹣AC﹣B的平面角的正弦值为√6．6【分析】根据正方体的几何特征，即可判断各命题的真假．解：如图所示，取AD中点F，连接OF，D1F，因为OF⊥平面ADD1A1，所以D1F为OD1在平面ADD1A1的射影，显然，D1F不垂直于A1D，故OD1不垂直于A1D，D1O不垂直于平面A1C1D，①错误；因为AC∥A1C1，B1C∥A1D，所以平面ACB1∥平面A1C1D，而OE⊂平面ACB1，根据线面平行的定义可知，OE∥平面A1C1D，所以②正确；因为B1C∥A1D，所以B1C∥平面A1BD，故点E到平面A1BD等于点C到平面A1BD的距离，所以三棱锥A1﹣BDE体积为定值，③正确；因为B 1B ⊥平面ABC ，AC ⊥BD ，所以∠B 1OB 为二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的平面角，在△B 1BO 中，tan ∠B 1OB =22=√2，sin ∠B 1OB =√23=√63，④错误．故答案为：②③．【点评】本题主要考查利用面面平行的判定定理，线面平行的定义，线面垂直的判定定理判断命题真假，以及三棱锥体积的求法，二面角的求法的应用， 考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．【分析】本题第（Ⅰ）题根据题干a n +1＝2S n +1，可得当n ≥2时有a n ＝2S n ﹣1+1成立，两式相减后再运用公式a n ＝S n ﹣S n ﹣1（n ≥2），进一步转化计算可判断出数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到数列{a n }的通项公式；第（Ⅱ）题先由第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n }的通项公式并判别出数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列，再通过等差数列的求和公式可计算出T n的表达式，再代入1 T1+1T2+⋯+1T n进行计算时运用1n2＜1n−1−1n（n≥2）进行放缩即可证明不等式成立．【解答】（Ⅰ）解：依题意，由a n+1＝2S n+1，可得当n≥2时，a n＝2S n﹣1+1，两式相减，得a n+1﹣a n＝2S n+1﹣2S n﹣1﹣1＝3a n（n≥2），又∵a1＝1，a2＝2S1+1＝2×1+1＝3，∴a2＝3a1符合上式，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，故a n=3n−1，n∈N*．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，b n＝log3（a n•a n+1）＝log3（3n﹣1•3n）＝log332n﹣1＝2n﹣1，则b n＝2n﹣1＝1+（n﹣1）•2，故数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴T n=n(1+2n−1)2=n2，∴1T1+1T2+⋯+1T n=1 12+122+⋯+1n2＜1+11⋅2+12⋅3+⋯+1(n−1)n＝1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n＝2−1 n＜2，∴不等式1T1+1T2+⋯+1T n＜2成立．【点评】本题主要考查数列求通项公式，数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，定义法，指、对数的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.841 5.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【分析】（Ⅰ）求出K 2，即可判断是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．（Ⅱ）每天生产的次品数为x ，X 的可能值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（Ⅰ）K 2=200×(85×5−95×15)2100×100×20×180=509≈5.556＜6.635．∴没有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”． （Ⅱ）∵每天生产的次品数为x ，日利润y ＝30（50﹣x ）﹣50x ＝1500﹣80x ，其中0≤x ≤4，x ∈N ． 由1500﹣80x ≥1340得0≤x ≤2．∵X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过2件的人数之和， ∴X 的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过2件的概率为2+8+1030=23，乙1天中生产的次品数不超过2件的概率为3+6+930=35，∴P(X =0)=13×25=215，P(X =1)=23×25+13×35=715，P(X =2)=23×35=615， ∴随机变量X 的分布列为：X12P215715615∴E(X)=0×215+1×715+2×615=1915．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接DM，DN．由已知可得BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B 是矩形，结合D为AB1的中点．即可证明四边形CMDN是平行四边形，得CM∥DN，再由直线与平面平行的判定可得CM∥平面AB1N；（Ⅱ）取BC的中点为O，B1C1的中点为E，连接AO，OE，证得AO⊥平面BB1C1C．以OB，OE，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A1B1→的坐标与平面AB1N 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接DM，DN．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B是矩形，∴D为AB1的中点．又∵M为AB的中点，∴DM∥BB1，且DM=12BB1．∵N 为CC 1 的中点，∴CN =12CC 1， ∴DM ＝CN ，且DM ∥CN ，∴四边形CMDN 是平行四边形，得CM ∥DN ， 又DN ⊂平面AB 1N ，CM ⊄平面AB 1N ， ∴CM ∥平面AB 1N ；（Ⅱ）解：取BC 的中点为O ，B 1C 1 的中点为E ，连接AO ，OE ， ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ，又平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，∴AO ⊥平面BB 1C 1C ．以OB ，OE ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则A （0，0，√3），A 1（0，4，√3），B 1（1，4，0），N （﹣1，2，0）， A 1B 1→=(1，0，−√3)，AB 1→=(1，4，−√3)，B 1N →=(−2，−2，0)． 设平面AB 1N 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB 1→=x +4y −√3z =0n →⋅B 1N →=−2x −2y =0，令x ＝1，得n →=(1，−1，−√3)． 设A 1B 1与平面AB 1N 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜A 1B 1→，n →＞|＝|A 1B 1→⋅n→|A 1B 1→|⋅|n →||=25=2√55． ∴A 1B 1与平面AB 1N 所成角的正弦值为2√55．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20．已知圆C ：（x +2）2+y 2＝24与定点M （2，0），动圆I 过M 点且与圆C 相切， 记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ，且与曲线E 交于A ，B 两点，P 为直线x ＝3上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，由题意可得|IC |+|IM |＝2√6＞4为定值，由椭圆的定义可得E 的轨迹为椭圆，且可知a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出AB 的中点D 的坐标，进而求出弦长|AB |，可得直线PQ 的斜率，再由P 在直线x ＝3上，可得|PQ |的长，由△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，进而求出k 的值．解：（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，题意可知，点I 满足： |IC |＝2√6−r ，|IM |＝r ， 所以，|IC |+|IM |＝2√6，由椭圆定义知点I 的轨迹是以C ，M 为焦点的椭圆， 所以a =√6，c ＝2，b =√2， 故轨迹E 方程为：x 26+y 22=1；（Ⅱ）直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），联{x 26+y 22=1y =k(x −2)消去y 得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6＝0．直线y ＝k （x ﹣2）恒过定点（2，0），在椭圆内部，所以△＞0恒成立，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则有x 1+x 2=12k21+3k2，x 1x 2=12k 2−61+3k2，所以|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√6(1+k 2)1+3k2，设AB 的中点为Q （x 0，y 0），则x 0=6k21+3k2，y 0=−2k 1+3k2，直线PQ 的斜率为−1k（由题意知k ≠0），又P 为直线x ＝3上的一点，所以x P ＝3，|PQ |=√1+1k2|x 0﹣x P |=√1+k2k2−3(1+k 2)1+3k2， 当△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，即√1+k 2k 2−3(1+k 2)1+3k2=√32−2√6(1+k 2)1+3k2，解得k ＝±1，即直线l 的方程为x ﹣y ﹣2＝0，或x +y ﹣2＝0．【点评】本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合，及等边三角形的性质，属于中档题．21．设函数f （x ）=e xx，g （x ）＝lnx +1x ．（Ⅰ）若直线x ＝m （m ＞0）与曲线f （x ）和g （x ）分别交于点P 和Q ，求|PQ |的最小值；（Ⅱ）设函数F （x ）＝xf （x ）[a +g （x ）]，当a ∈（0，ln 2）时，证明：F （x ）存在极小值点x 0，且e x 0（a +lnx 0）＜0．【分析】（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，利用导数求出函数h（x）在定义域上的最小值，即为|PQ|的最小值；（Ⅱ）对函数F(x)=e x(a+1x+lnx)求导得F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，分析可知当x∈(12，x0)，F（x）单调递减；当x∈（x0，1），F（x）单调递增，进而得证x0是F（x）的极小值点，且x0∈(12，1)，a+lnx0=1x02−2x=1−2x0x02，由此可证ex0（a+lnx0）＜0．解：（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，则h′(x)=xex−e xx2−1x+1x2=(x−1)(e x−1)x2，当x∈（0，+∞）时，e x﹣1＞0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上有最小值h（1）＝e﹣1，∴当m＝1时，|PQ|的最小值为e﹣1；（Ⅱ）证明：F(x)=e x(a+1x+lnx)，则F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，因为e x＞0，所以F′（x）与a+2x−1x2+lnx同号．设t(x)=a+2x−1x2+lnx，则t′(x)=x2−2x+2x3=(x−1)2+1x3＞0，故t（x）在（0，+∞）单调递增，因a∈（0，ln2），t（1）＝a+1＞0，t(12)=a+ln12＜0，所以存在x0∈(12，1)，使得t（x0）＝0，当x∈(12，x0)，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x ∈（x 0，1），F ′（x ）＞0，F （x ）单调递增；所以若a ∈（0，ln 2），存在x 0∈(12，1)，使得x 0是F （x ）的极小值点，由t （x 0）＝0得a +2x 0−1x 02+lnx 0=0，即a +lnx 0=1x 02−2x 0=1−2xx 02， 所以e x 0(a +lnx 0)=e x 0⋅1−2x 0x 02＜0． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想及推理论证能力，属于中档题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+√22ty =√22t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M 的直角坐标为（2，0），直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（Ⅰ）直接将直线的参数方程中的参数t 消去，可得直线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系结合此时t 的几何意义求解．解：（Ⅰ）将{x =2+√22ty =√22t 中参数t 消去得x ﹣y ﹣2＝0， 将{x =ρcosθy =ρsinθ代入ρsin 2θ＝8cos θ，得y 2＝8x ， ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为x ﹣y ﹣2＝0和y 2＝8x ；（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得t 2−8√2t −32=0，设A 、B 两点对应的参数为t 1，t 2，则|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，且t 1+t 2=8√2，t 1t 2＝﹣32，∴|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=16， ∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=12．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝|2x +a 2|．（Ⅰ）当a ＝2时，求不等式f （x ）+|x ﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立，求实数a 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由题意可得|2x +4|+|x ﹣1|≥5，由零点分区间法，绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，运用绝对值不等式的性质可得该不等式左边的最大值，再由绝对值的解法和二次不等式的解法可得所求范围． 解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）+|x ﹣1|＝|2x +4|+|x ﹣1|≥5，则{x ＜−2−2x −4−x +1≥5或{−2≤x ≤12x +4−x +1≥5或{x ＞12x +4+x −1≥5， 解得x ≤−83或0≤x ≤1或x ＞1，所以原不等式的解集为（﹣∞，−83]∪[0，+∞）； （Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立， 即|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，又因为|2x +3|﹣|2x +a 2|≤|2x +3﹣2x ﹣a 2|＝|a 2﹣3|，要使原不等式恒成立，则只需|a 2﹣3|＜2a ， 由﹣2a ＜a 2﹣3＜2a ，即{a 2+2a −3＞0a 2−2a −3＜0，即为{a ＞1或a ＜−3−1＜a ＜3， 可得1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围是（1，3）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
辽宁省实验中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试卷
辽宁省实验中学2024届高三第二次月考数学试卷命题人：高三数学备课组校对人：高三数学备课组第I卷(选择题共60分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1.复数z=2−i2+i,则在复平面内，复数z对应的点Z在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设命题p:∃x>0,eˣ+x−2≤0,则命题¬p为( )A.∀x≤0,eˣ+x−2>0B.∀x>0,eˣ+x−2>0C.∃x≤0,eˣ+x−2>0D.∃x>0,eˣ+x−2>03.“α+β=π”是“sinα=sinβ”成立的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要4. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益. 假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)=P02t30,其中P₀为初始时该放射性同位素的含量. 已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为−3√2ln210,则该放射性同位素含量为4.５贝克时衰变所需时间为 ( )天天天天5. 同一坐标系中，二次函数y=ax²+bx与指数函数y=(ba )x的图象只可能是 ( )6. 为了得到y=2sin(2x−π3)的图像只需把函数y=√2(cos2x+sin2x)的图像（）A.向右平移7π12B.向左平移7π12C.向右平移7π24D.向左平移7π247. 下列关于平面向量的说法错误的是( )A.b⃗≠0⃗,且(a⋅b⃗)c=a (c⋅b⃗),则a与b⃗一定共线B.b⃗≠0⃗ ,且a⋅b⃗=c⋅b⃗, 则(a−c)⊥b⃗C.b⃗≠0⃗,且a⋅b⃗=c⋅b⃗,| a|>|c|>0,则(a⋅b⃗) > (c⋅b⃗)D.b⃗≠0⃗ ,且a//b⃗, c//b⃗,则a//c8. 已知函数f(x), g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2x)=6, g(x)f(x4)=4,若g(x)的图像关于x=·2对称，g(2) =3，则∑k=118f(k)=（）二、选择题(本题共4小题，每题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得５分，部分选对得２分，有选错的得零分)9.已知函数 f (x )=Asin (ωx +)(|φ|<π2)的图像如右图所示，则 ( )A.f (0)=3√32 B. f(x)的最小正周期为π C.φ=π6 D.φ=π310. 已知钝角三角形ABC ，A 、B 为两锐角，则下列说法正确的是( )A. sinA<cosBB. sinA+sin B<sinCC. tanA + tanB + tanC<0D. tanAtanB<111. 已知 11ᵗ=12,a =12ᵗ−13,b =10ᵗ−11,则下列说法正确的有( )A. a<0B. b<0C. a>bD. b>a12.函数 f (x )=e⁻ᵃˣlnx(a >0),则下列说法错误．．的有 ( ) A.函数有唯一零点B. 函数的极大值小于1C.∀x 1,x 2∈(0,+∞),x 1≠x 2,f (x 1+x 22)≥f (x 1)+f (x 2)2D. ∀x₀, x₀∈(0,+∞),x₀≠. x 2,f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2三、填空题：(本题共4小题，每题5分，共20分)13.cos π7cos 2π7cos 4π7=14.a =(2,1),b ⃗ =(m ,−2), 若a 与b⃗ 的夹角为钝角，则m 的取值范围是 . 15．Ｐ为边长为１的正八边形ABCDEFGH 内部及边界上的一点，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .16.已知(a²+2abb²=1,则a²+b²的最小值为 .四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分10分)已知 α∈(0,π),sinα+cosα=√62,且 cosα<sinα. (1) 求角α的大小.(2)x ∈R, 求函数 f (x )=sinx +2sin 2(x 2+α)的值域，18．（满分１２分）如图所示，在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，边 a =√19, a b =sin B+c 2sinB ,点M 在线段AC 上，满足BM=BA.(1) 求角A 的值;(2) 若2BM =3MC, 求 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值. 19.(满分12分)某种项目的射击比赛规则是 开始时在距离目标６0米处射击，如果命中记４分，同时停止射击；若第一次射击未命中目标，可以进行第二次射击，但目标已在 90 米远处，这时命中记 3 分，同时停止射击；若第二次射击仍未命中目标，还可以进行第三次射击，此时目标已在120 米远处，这时命中记 2 分，同时停止射击；若三次都未命中，则记１分.已知甲射手在 60米处击中目标的概率为12, 他命中目标的概率与距离的平方成反比，且各次射击都是独立的.(１)求射手甲分别在90米和120米处命中的概率；(２)求射手甲进行射击比赛中命中目标的概率；(3) 设ξ为射手甲进行射击比赛的得分，求Eξ.20.(满分 12分)王先生今年初向银行申请个人住房贷款80万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分１０年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息).(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还12000元，最后一个还贷月应还5000元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为％，银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为17000元，试判断王先生该笔贷款能否获批(不考虑其他因素).参考数据1.003119≈1.428, 1.003120≈1.433, 1.003¹²¹≈1.43721.(满分 12分)设点P(t,0)(t≠0)是函数f(x)=x³+ax与g(x) =bx²+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。
2020届全国高考复习理科数学综合检测二(全国卷)(解析版)
2021届高考复习综合检测二（全国卷）数学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3 ．本次考试时间120 分钟，满分150 分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题（本题共12小题，每小题 5 分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝｛x|x2－x－2>0｝，B＝｛x|log2x≤2｝，则A∩B等于（）A．（－∞，－1）∪ （0，＋∞ ）B．（2,4]C．（0,2）D．（－1,4]2－i2．复数z＝－对应的点在复平面内位于（）1＋iA．第一象限C．第三象限 3.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.32 16 8 164．在△ ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝2 3sin B，则 A 等于（）5．（2019 ·河南省郑州市第一中学适应性考试）已知函数 f （x）是定义在R 上的偶函数，且 f （0）B．第二象限D．第四象限A.π 2π 5 πB.3C. 3D. 6＝0，当x<0时， f (x)单调递增．若实数 a 满足 f (3－|a ＋1|)>f9．抛物线 y 2＝2px(p>0)的焦点为 F ，已知点 A 和 B 分别为抛物线上的两个动点．＝120°，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ，垂足为 N ，则 |MN|的最大值为 ( ) |AB |A. 3 B ． 1 C.233 D. 3333，则 a 的取值范围是 ( ) 3A.32，B. －∞， －3∪ －1，＋∞22C.4， 3，D. －∞，4∪ －2，＋∞336．一个几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的体积为()A.6＋6π 368＋ 2π 3 C.69＋2π 3 D. 67．已知函数 f (x)＝ Acos(ωx ＋ φ) πA>0， ω>0， |φ|<2 的图象如图所示， 若函数h(x)＝f (x)＋1的2 π π 4 πA. 3B.2C. 3 D ． π8． (2019 ·上海市吴淞中学期末 a －x 2)函数 f (x)＝|x ＋a 1－|－x1为奇函数的充要条件是 (A ． 0<a<1B ． a>1C ． 0<a ≤1D ．a ≥1且满足∠ AFB则 两个不同零点分别为 x 1， x ，|lg|x －1|| x ≠1 ，10．(2019 ·上海市曹杨中学期末 )设定义域为 R 的函数 f (x)＝则关于 x 的方0 x ＝ 1 ，程 f 2(x)＋ bf (x)＋c ＝0有 7个不同实数根的充要条件是 ( )数 t 的取值范围是 ( )A ． (－∞， 2) C ．(－∞， 3)第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)、填空题 (本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在题中横线上 )13．已知定义在 R 上的奇函数，当 x>0时， f (x)＝log 2x －3x ，则 f (－1)＝ ________ . 14．若 (x －1)5－2x 4＝a 0＋ a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋ a 3(x －2)3＋a 4(x － 2)4＋a 5(x －2)5，则 a 2＝15．设 f ′(x)和g ′(x)分别是 f (x)和g(x)的导函数，若 f ′(x) ·g ′(x)<0在区间 I 上恒成立，则1称 f (x)和 g(x)在区间 I 上单调性相反．若函数 f (x)＝3x 3－2ax(a ∈R)与 g(x)＝x 2＋2bx(b ∈ R)在3区间 (a ，b)上单调性相反 (a>0) ，则 b － a 的最大值为 ______ ．16．已知圆 O ：x 2＋y 2＝1 与 x 轴负半轴的交点为 A ， P 为直线 3x ＋4y － a ＝0 上一点，过 P作圆 O 的切线，切点为 T ，若|PA|＝2|PT|，则 a 的最大值为 ______ ．三、解答题 (本题共 6 小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(12 分)在锐角△ ABC 中， a ，b ，c 为内角 A ，B ，C 的对边，且满足 (2c －a)cos B － bcos A ＝0.(1)求角 B 的大小；(2)已知 c ＝ 2，AC 边上的高 BD ＝3 721，求△ ABC 的面积 S 的值．A ． b<0 且 c>0C ．b<0 且 c ＝ 0B ． b<0 且 c<0D ． b ≥ 0 且 c 11．(2020 ·哈尔滨市师范大学附属中学月考)已知 O 为△ ABC 的外接圆的圆心， 且 3O →A ＋ 4O →B ＝－ 5OC ，则 C 的值为 ( )πA.4πD.1212．已知函数 f (x)＝ln x ＋ x － t 2t ∈R ，若对任意的 x ∈[1,2] ，f (x)>－x ·f ′(x)恒成立，则实B. －∞， 32D. －∞，18．(12 分)如图，在长方体ABCD －A1B1C1D 1 中，AA1＝1，底面ABCD 的周长4，E 为BA1 为的中点．(2)当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，求直线BA1 与平面A1CD 所成的角θ.在椭圆 C 1 上．(1)求椭圆 C 1 的方程；(2)设 P 为椭圆 C 2上一点，过点 P 作直线交椭圆 C 1于 A ，C 两点，且 P 恰为弦 AC 的中点，则当点 P 变化时，试问△ AOC 的面积是否为常数， 若是，求出此常数， 若不是，请说明理由．20．(12 分 )当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．目前，国家教育主管部 门正在研制的 《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》 ，以及将出台的加强劳动教育 指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求．为激发学生加强体育活 动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者 得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 8 局时停止．设甲在每局中获1胜的概率为 p p>12 ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为19.(12 分 )已知椭圆 C 1： 22 a x 2＋b y 2＝1(a>b>0)和椭圆C 2：x 2＋y 2＝1 的离心率相同，且点 ( 2，1)5.9.(1)求p 的值；(2)设X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X 的分布列和均值E(X)．1－xx 121.(12分)函数 f (x)＝ln x＋(a∈R且a≠0)，g(x)＝(b－1)x－xe x－(b∈R)．ax x(1)讨论函数 f (x)的单调性；(2)当a＝1时，若关于x的不等式 f (x)＋g(x)≤－2恒成立，求实数b的取值范围．请在第22～23 题中任选一题作答．22．(10分)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标4cos θx＝2＋tcos α，系，已知曲线 C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ2，直线l 的参数方程是(t 为参1－cos2θy＝2＋tsin α数，0≤ α<π．)(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线 C 交于A，B 两点，且线段AB 的中点为M (2,2)，求α.23．(10分)已知函数 f (x)＝m－|x＋4|(m>0) ，且 f (x－2)≥0的解集为［－3，－1］．(1)求m 的值；1 1 1(2)若a，b，c 都是正实数，且a＋2b＋3c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.答案精析1．B [∵集合 A ＝ {x|x 2－x － 2>0} ＝{ x|x<－ 1或 x>2}， B ＝{x|log 2x ≤ 2} ＝ { x|0<x ≤ 4} ，∴A ∩B ＝{x|2<x ≤4}＝（2,4]．]2－i2－ i 1－ i1－ 3i 1 3i2．D [z ＝12－＋i i，即z ＝21＋－ii 11－－ii＝1－23i＝12－32i ，故z 在复平面内对应的点位于第四象限．]3． C [设小正方形的边长为 1，可得阴影平行四边形的底为2，高为 22，阴影等腰直角三角形的直角边为 2，斜边为 2 2，大正方形的边长为 2 2，4． A [∵sin C ＝2 3sin B ，∴由正弦定理得 c ＝2 3b ，则 c 2＝ 12b 2. 又 a 2－ b 2＝ 3bc ，那么 a 2＝ 7b 2， cos A ＝b2＋2c b 2c－a2＝46b 32b 2＝23∵A ∈（0，π，）∴A ＝6π.]5． B [∵f （3－|a ＋1|）＞f － 33 ，∴f （3－|a ＋1|）＞f 33 ＝f （3 2）， 又 f （x ）为偶函数，且在 （－ ∞ ，0）上单调递增，1∴f （x ）在（0，＋ ∞ ）上单调递减， ∴|a ＋1|＞2，31解得 a ∈ －∞，－32 ∪ －21，＋ ∞ .]6． B [几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为3，底面为边长为 2 的11π·21正方形；半圆锥高为 3，底面为半径为 1 的半圆，因此体积为 13× 3×22＋ 13× 3× π2·＝13327．A [由图象可知， A ＝2， 4T ＝23π－6π＝2π，∴T ＝2π，ω＝1，∴f （x ）＝ 2cos （x ＋φ），所以 P ＝2× 22＋ 21×2×2 2 2× 2 2由余弦定理得8＋ π 36 ，故选 B.] 3π π π ∵f 6 ＝2cos 6＋φ＝2，且 |φ|<2π， ππ∴φ＝－ 6，f （x ）＝2cos x －6 ，π令 h （x ）＝ f （x ）＋1＝ 2cos x － ＋ 1＝ 0，6π1可得 cos x －6 ＝－ 2，解得 x －π＝2π＋2k π，k ∈Z 或 x －π＝4π＋2k π，k ∈Z ，6 3 6 3x ＝5π＋2k π，k ∈Z 或 x ＝ 3π＋2k π，k ∈Z ，62则|x 1－x 2|的最小值为 32－56＝23 .]则（a ＋b ）2－ab ≥（a ＋b ）2－ a ＋2 b 2＝ 34（a ＋b ）2，3即|AB|2≥43（a ＋b ）2，8．C [f （x ）＝ a －x 2 |x ＋1|－1 f （－ x ） ＝ a －x 2|－x ＋1|－1f (x) 为奇函数，a － x 2 ＝－ a － x 2|x ＋ 1|－ 1＝－|－x ＋1|－1∴|x ＋1|＋ |x －1|＝2，∴－1≤x ≤1，考虑定义域 a －x 2≥0，即－ a ≤ x ≤ a(a>0)且 x ≠0， 由抛物线的定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形 ABPQ 中， 2|MN |＝ |AQ|＋|BP|＝a ＋b ， 由余弦定理得 |AB|2＝a 2＋b 2－2abcos 120 °＝ a 2＋ b 2＋ ab ，整理得 |AB|2＝ (a ＋ b)2－ ab ， 因为 ab ≤ a ＋2 b2，满足 a ≤1， ∴0<a ≤1.]设|AF|＝a ，|BF|＝b ， Q ，P ，当且仅当 a ＝b ，即 |AF|＝|BF|时取等号，故选 D.]10．C [令 t ＝f (x)，考虑方程 t 2＋bt ＋c ＝0的根， 该方程必有两个不同实数解， 设解为 t ＝t 1， t＝t 2，由题设方程 t1＝f ( x)和方程 t 2＝f (x)的解即为方程 f 2(x)＋ bf (x)＋c ＝0 的解， 因为方程 f 2(x)＋bf (x)＋c＝0 有 7 个不同的解，根据 f (x)的图象 (如图所示 )可得，直线 y ＝t 1与 y ＝f (x)的图象有 3 个不同的公共点， 直线 y ＝t 2与 y ＝f (x)的图象有 4 个不同的公共点，故 t1＝0，t 2>0，所以 c ＝0，t 2＝－ b>0 即 b<0，故选 C.]→ 1 → →且OC ＝－ 5(3OA ＋4OB)，→ → → 1 → → ∴OC ·OC ＝|OC|2＝ 215(3OA ＋4OB)2 ＝295|O →A|2＋2254O →A ·O →B ＋ 2165|O →B|2 ＝|O →C|2＋2254O →A ·O →B ， ∴24O →A ·O →B ＝0，∴∠ AOB ＝90°.25 如图所示，建立平面直角坐标系，设 A(0,1) ，B(1,0)，由 3O →A ＋4O →B ＝ (4,3)＝－ 5O →C ，则 C ＝ 4π.]x 2－ln x ＋ 1－t 212．B [∵ f ′(x)＝2，11 22令 g(x)＝x ＋x ，又 g(x)＝x ＋x 在[1,2] 上单调递增，xx33∴g(x)min ＝g(1)＝2，∴t <2.] 13．3解析 因为 f (1)＝ log 21－ 3＝－ 3， 又 f (x)为定义在 R 上的奇函数， 所以 f (－1)＝－f (1)＝3. 14．－ 38解析 令 x － 2＝t ，则 x ＝ t ＋ 2.由条件可得 (t ＋1)5－2(t ＋2)4＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋ a 3t 3＋ a 4t 4＋a 5t 5， 故 t 2的系数为 C 53－2C 42×22＝－ 38，即 a 2＝－ 38.115.2解析 由题意知 f ′(x)＝x 2－2a ， g ′(x)＝2x ＋2b ， 函数 f (x)与 g(x) 在区间 (a ， b)上单调性相反， 则(x 2－ 2a)(2x ＋2b)<0 在 x ∈(a ，b)上恒成立， 又 0<a<b ，所以 2x ＋ 2b>0，于是 x 2－2a<0 在 x ∈( a ， b)上恒成立．可知 C4，－ 3 ，5，－5 ，则CA ＝45，85 ，C →B ＝ 95， 3， 5，CA ·CBcos C ＝|CA|×|CB|24 ＝ 2， 4 5× 3 10 2 5 × 53625 25又对任意的 x ∈ [1,2] ，f ′ (x) ·x ＋ f (x)>0 恒成立， ∴对任意的 x ∈ [1,2] ，2x2－2tx ＋1>0 恒成立，即对任意的 x ∈ [1,2] ， 2x 2－2tx ＋1> 0 恒成立，则 t <2x ＋12x＝ x ＋1 2x12 x ＋ 恒成立，x x 2易知x2－2a<0 的解集为（－2a，2a），所以（a，b）? （－2a，2a），所以b－a≤2a－a＝－a－21 2＋12，11当a＝21，b＝1 时，b－a取得最大值12.2316.3 解析易知A（－1,0），设P（x，y），由|PA|＝2|PT|，可得（x＋1）2＋y2＝4（x2＋y2－1），1 16化简得x－132＋y2＝196，可转化为直线3x＋4y－a＝0 与圆x－31 2＋y2＝196有公共点，所以d＝|1－a|≤4，5317 23 解得－137≤a≤233.23故 a 的最大值为233.317．解(1)∵(2c－a)cos B－bcos A＝0，由正弦定理得(2sin C－sin A)cos B－sin Bcos A＝0，∴ (2sin C－sin A)cos B＝sin Bcos A，2sin Ccos B－sin(A＋B)＝0，1∵A＋B＝π－C 且sin C≠ 0，∴cos B＝2，∵B∈(0，π∴B＝π.311（2）∵ S△ABC＝2acsin B＝2BD ·b，代入c＝2，BD＝3721，sin B＝23，得b＝37a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4－2a，代入b＝37a，得a2－9a＋18＝0，解得a＝3，b＝7a＝6，b＝ 2 7，又∵三角形为锐角三角形，∴a2<c2＋b2，∴a＝3，b＝7.证明如下：如图，连接 AB 1， C 1D ， 则 AB 1C 1D 是平行四边形， ∵E 是 AB 1的中点，1∴AE ∥C 1D ，AE ＝2C 1D ， ∴AEC1D 为梯形， A ，E ， C 1，D 四点共面， 又EC 1与AD 为梯形的两腰，故 EC 1与 AD 相交.(2)设 AB ＝b ，AD ＝2－b ，VABCD －A 1B 1C 1D 1＝b(2－ b)×AA 1＝b （2－b ）≤b ＋22－ b2＝1，当且仅当 b ＝ 2－ b ，即 b ＝1 时取等号， 方法一 连接 BD （图略），设点 B 到平面 A 1CD 的距离为 h ，则根据等体积法 VB －A 1CD ＝VA 1 －BCD ，其中 S △A 1CD ＝21×CD ×A 1D ＝ 22， ∴h ＝22， 则直线 BA 1与平面 A 1CD 所成的角 θ满足 sin方法二 分别以边 AB ，AD ，AA 1所在的直线为 x ，y ，z 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 B(1,0,0)，A 1(0,0,1) ，C(1,1,0)，D(0,1,0)，设平面 A 1CD 的法向量为 n ＝ （x ， y ， z ），11 ∴ S △ABC ＝2ac sin B ＝2×2× 3×3＝3 32＝218．解 （1）EC 1 与 AD 是相交直线VA 1－ BCD ＝13S △ BCD × AA 1＝16，36h1θ＝BA1＝2，π∵ θ∈ 0， 2 ，θ＝6π.BA 1＝(－1,0,1)， CD ＝(－1,0,0)， CA 1＝（－1， 1,1),－ x ＝ 0， 即－ x － y ＋z ＝ 0，取 z ＝ 1，则 n ＝ （0,1,1），n ·CD ＝ 0，则→n ·C →A 1＝∴sin θ＝ |cos 〈B →A 1， n 〉 |＝ 1＝2× 2＝1， 2，π ∵ θ∈ 0，∴θ＝6π.2 1 c 219．解 （1）由题意知， a 2＋b 2＝1，且a ＝ 2 ，即 a 2＝ 4， b 2＝ 2，所以椭圆 C 1的方程为 x 4 ＋y 2＝1.（2）是． ①当直线 AC 的斜率不存在时，必有 P （ ± 2，0），此时 |AC|＝2，S△AOC＝ 2.② 当直线 AC 的斜率存在时，设其斜率为 k ，点 P （x 0，y 0），则 AC ：y － y 0＝ k （x － x 0），直线 AC 与椭圆 C 1联立，得 （1＋2k 2）x 2＋4k （y 0－kx 0）x ＋ 2（y 0－ kx 0） 2－ 4＝ 0，设 A 则 x 0＝ x1＋ x2＝－2k y0－k 2x0，即 x 0＝－2ky 0，1＋2k 2 0 02 2 21又 x 02＋ 2y 20＝2， ∴y 02＝1＋ 2k 2，S △AOC ＝21×|y01－＋k kx02|× 1＋k 216k 2 y 0－ kx 0 2－4 1＋2k 2 [2 y 0－ kx 0 2 －4]1＋ 2k 2 ＝2|y 0－ kx 0| 2 1＋ 2k 2 － 2 1＋2k 2 y 0－ kx 0 2＝21＋2k 2 |y 0| 2 1＋2k 2 － 1＋ 2k 2 2y 20 1＋2k 2＝ 2|y 0| 1＋ 2k 2＝ 2.综上， △AOC 的面积为常数 2.20．解 （1）依题意，当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时，第二局比赛结束时比赛结束．所以有 p 2＋ （1－p ）2＝95，解得 p ＝ 32或 p ＝13（舍）．（2）依题意知， X 的所有可能值为 2,4,6,8.5 设每两局比赛为一轮， 则该轮结束时比赛停止的概率为 59.若该轮结束时比赛还将继续， 则甲、 乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．4从而有 P(X ＝ 2)＝59，5 5 20 P(X ＝4)＝ 1－9 × 9＝81，所以随机变量 X 的分布列为21．解 (1)∵ f (x)＝ln x ＋a 1x －1a ，1 1 ax － 1 ∴f ′ (x)＝ － 2＝2 (x>0) ， x ax 2 ax 2当 a<0 时， f ′(x)>0，∴f (x)在(0，＋ ∞ )上单调递增，1当 a>0 时，由 f ′ (x)>0 得 x> ； a1由 f ′ (x)<0 得 0<x< ，a11∴f (x)在 0，1a 上单调递减，在 a 1，＋ ∞ 上单调递增． aa11 综上，当a<0时，f (x)在(0，＋ ∞ )上单调递增；当a>0时，f (x)在 0，1 上单调递减，在 1，＋∞aa 上单调递增．(2)由题意，当 a ＝ 1 时，不等式 f (x)＋g(x)≤－2，11即 ln x ＋ －1＋(b － 1)x －xe x － ≤－2，xxln x 1即 b －1≤ e x －ln x x － 1x 在 (0，＋ ∞)上恒成立，xx1 令 u(x)＝ x 2e x ＋ ln x ，则 u ′ (x)＝ (x 2＋ 2x)e x＋ x >0，x∴u(x)在(0，＋∞)上单调递增，P(X ＝6)＝ 1－ 59 × 1－5 ×5＝80，9 9 729 P(X ＝8)＝×5－1×5－1－5 ×1＝ 64. －9 729.则 E(X)＝2× 59＋4×2810＋6×78209＋8×64 729 2 522729 . 令 h(x)＝ e x － ln xxx1， x ，则 h ′(x)＝ e x － 1－ lnx x 2＋x 2＝x 2e x ＋ ln xx 2又 u （1）＝ e>0， u 1 ＝ e －ln 2<0，∴u(x)有唯一零点 x 0 2<x 0<1 ， 所以 u(x 0)＝0，即 x 0ex 0＝－ln x0，(*)x 0当 x ∈(0，x 0)时，u(x)<0，即 h ′ (x)<0 ， h(x)单调递减； x ∈(x 0，＋∞)时，u(x)>0，即 h ′( x)>0 ， h(x)单调递增， ∴h(x 0)为 h(x)在定义域内的最小值．x 1令k(x)＝xe x 2<x<1，则方程 (*)等价于 k(x)＝k(－ln x)，1又易知 k(x)单调递增，所以 x ＝－ln x ，e x ＝ x 1，x∴h(x)的最小值为∴ b － 1≤ 1，即 b ≤2， ∴实数 b 的取值范围是 (－∞，2］．4cos θ22．解 (1)曲线 C ：ρ＝2θ，即ρsin 2θ＝4cos θ，于是有ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 化为直角坐标方程为 y 2＝4x.y 2＝4x ，(2)方法一 联立 x ＝2＋tcos α，y ＝2＋tsin α，则(2＋tsin α)2＝4(2＋tcos α)， 即 t 2sin 2α＋ (4sin α－ 4cos α)t － 4＝ 0.由 AB 的中点为 M(2,2)，得 t 1＋ t 2＝0，有 4sin α－ 4cos α＝0， 所以 k ＝tan α＝1，π由 0≤α<π 得α＝ .方法二 设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，则（y 1＋ y 2）（ y 1－ y 2）＝ 4（x 1－ x 2），y 1－y 2 y 1＋y 2＝4，∴k ＝tan α＝＝1，x 1－x 2由 0≤α<π得α＝π.方法三设 A4，y1，B 4，y2 (y 1<y 2)，则由 M(2,2)是 AB 的中点，得4＋4＝4， ? y 1＋y 2＝4，ln x 0 1 1－x0 124y 21＝ 4x 1，y1y2＝0，y1＋y2＝4y1<y2，∴y1＝0，y2＝4，知A(0,0)，B(4,4)，π ∴k＝tan α＝1，由0≤α<π 得α＝.4方法四依题意设直线l：y－2＝k(x－2)，与y2＝4x联立得y－2＝k y4－2 ，即ky2－4y－8k＋8＝0.4由y1＋y2＝＝4，得k＝tan α＝1，k因为0≤α<π ，所以α＝4π.23．(1)解依题意 f (x－2)＝m－|x＋2|≥0，即|x＋2|≤m，则－m－2≤x≤－2＋m，－m－2＝－3，∴m＝1.－2＋m＝－1，1 1 1(2)证明∵a1＋21b＋31c＝1(a，b，c>0)，∴a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) 1a＋21b＋31c ＝3＋a＋2b＋a＋3c＋2b＋3c≥9，2b a 3c a 3c 2b3当且仅当a＝2b＝3c，即a＝3，b＝2，c＝1时取等号．4。
安徽省皖南八校2020届高三第二次(12月)联考数学理试题Word版含解析
安徽省皖南八校2020届高三第二次（12月）联考数学理试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为虚数单位，，若为实数，则实数A. -1B.C. 1D. 22.已知集合，，则A. B.C. D.3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为A. B. C. D.4.已知为等差数列，若，则A. 18B. 24C. 30D. 325.如图，在中，，，，则的值为A. -4B. -3C. -2D. -86.已知函数，则不等式的解集是A.B.C.D.7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在三视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为A. B. C. D.8.若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则当最小时，函数图像的一个对称中心的坐标是A. B. C. D.9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.10.已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为A. B.C. D.11.已知函数若存在实数，，，且，使，则的取值范围是A. B. C. D.12.圆与直线相切，且圆心的坐标为，设点的坐标为，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数，满足条件则的最大值为__________．14.已知，且，则__________．15.记为数列的前项和，，记，则__________．16.已知函数满足，且，当时，，若曲线与直线有5个交点，则实数的取值范围是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角、、所对的边分别是、、，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）已知的面积为，，求边的长.18.如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）试确定点的位置，使得二面角的余弦值为．19.某县大润发超市为了惠顾新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖中奖的礼金为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）凡是元旦当天在超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望.20.如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：.21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）讨论函数的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（Ⅰ）若，求曲线与直线的交点坐标；（Ⅱ）求直线所过定点的坐标，并求曲线上任一点到点的距离的最大值和最小值.23.已知函数.（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.安徽省皖南八校2020届高三第二次（12月）联考数学理试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为虚数单位，，若为实数，则实数A. -1B.C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意，根据复数的运算法则，求得，再根据复数的概念，即可求解.【详解】由题意，可得，有，故选C.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的运算法则，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，求得，进而根据补集的运算，即可得到答案.【详解】由题意，可得，，则，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的补集的运算，其中解答中正确求解全集和熟记集合的补集的运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率.【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为，最大正方形的边长为，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：，故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题.4.已知为等差数列，若，则A. 18B. 24C. 30D. 32【答案】B【解析】【分析】数列为等差数列，由，可得，进而又由，代入即可求解.【详解】由题意，数列为等差数列，且，可得，则，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，合理运算求解是解答的关键，体现了等差数列的基本量的运算问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5.如图，在中，，，，则的值为A. -4B. -3C. -2D. -8【答案】D【解析】【分析】由题意把转化为、求解即可.【详解】因为，，，所以,故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，向量在向量方向上的投影，属于中档题.6.已知函数，则不等式的解集是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，根据函数的解析式，求解函数是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，函数，则，所以函数是定义域上的单调递增函数，又由，即函数定义域上的奇函数，又由不等式可转化为即，即，解得，即不等式的解集为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在三视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图可判断出P,Q点的位置，然后利用侧面展开图求PQ间距离，比较不同展开图得到的距离即可求解.【详解】由三视图可知该几何体为正四棱柱，底面边长为1，高为2，P,Q位置如图：沿EF展开，计算,沿FM展开，计算,因此点到点的路径中，最短路径的长度为.故选D.【点睛】本题主要考查了三视图，棱柱的侧面展开图，属于中档题.8.若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则当最小时，函数图像的一个对称中心的坐标是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据函数的图象变换和三角函数的性质，求得，得出函数的解析式，由此可求解函数图象的一个对称中心的坐标，得到答案.【详解】由题意，将函数的图像向左平移个单位，可函数的解析式为，又由函数的图像关于轴对称，则，即，解得，当时，，此时函数，令，当时，，所以函数图象的一个对称中心的坐标是，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换和三角函数的图象与性质，确定的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，三棱锥中，，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD看作底面，则当平面平面时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高，△BCD是等腰直角三角形，则，综上可得，三棱锥的体积的最大值为.本题选择A选项.点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，选择合适的底面是处理三棱锥体积问题的关键所在．10.已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得，再分别求得，根据勾股定理，求得和的关系，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离为，即，则,又由，所以为等腰三角形，则为的中点，所以，在直角中，则，即，整理得，解得，又由，则，即，所以双曲线的渐近线方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，结合图象，根据勾股定理合理列出关于的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11.已知函数若存在实数，，，且，使，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的图象，设，且，由，得，进而得，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】由函数，可得函数的图象如图所示，又由存在实数，，，且，设，且，则，即，解得，所以，当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的性质的综合应用，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中作出函数的图象，化简得出，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.圆与直线相切，且圆心的坐标为，设点的坐标为，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意点到直线的距离，可求得圆的方程，又由存在这样的点，当与圆相切时，转化为，由此列出不等式，求得，即可求解.【详解】由题意点到直线的距离为，可得圆的方程为.若存在这样的点，当与圆相切时，即可，可得，得，则.解得：.【点睛】本题主要考查了直线与圆的综合应用问题，其中解答中求得圆的方程，把存在这样的点，当与圆相切时，转化为，列出不等式，求得，进而求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数，满足条件则的最大值为__________．【答案】1【解析】【分析】作出可行域，根据线性规划知识求最优解即可.【详解】作出可行域如图：作出直线：，平移直线，当直线在y轴上的截距最小时，有最大值，如图平移过点时，.故填1.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，直线的截距，属于中档题.14.已知，且，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意，根据三角函数的基本关系式，化简得，进而，代入即可求解.【详解】由题意有，得，由，，有，得，则.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式，合理化简，求得，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.记为数列的前项和，，记，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意，根据数列的通项和的关系，求得，再由等比数列的定义，得出数列是以为首项，为公比的等比数列，求得通项公式为，利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意有，得，当时有，两式做差得，故数列是以为首项，为公比的等比数列，可得数列的通项公式为，所以.【点睛】本题主要考查了等比数列中通项公式与关系，以及等比数列的定义和前项和公式的应用，其中解答中根据数列中通项公式与关系，以及等比数列的定义得出数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.已知函数满足，且，当时，，若曲线与直线有5个交点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意，可得知是周期为2的偶函数，利用与的图像，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，可得，可得，所以是周期为的周期函数，又由，则函数的图象关于对称，由当时，，要使得与直线有5个交点，即与直线的图象由5个交点，作出函数与直线的图象，如图所示，则当时，，解得，当当时，，解得，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把得函数与直线的交点，转化为与直线的图象的交点，分别作出函数与直线的图象，列出不等式组是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角、、所对的边分别是、、，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）已知的面积为，，求边的长.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简得，得到，即可求解的值；（Ⅱ）由的面积为，求得，再由余弦定理，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）由正弦定理有，有，得，由，得，有，由，得.（Ⅱ）的面积为.又，，∴.由余弦定理得：.∴.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18.如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）试确定点的位置，使得二面角的余弦值为． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）点在的中点.【解析】试题分析：(Ⅰ)首先根据余弦定理计算,在中满足勾股定理，,然后根据题设所给的平面,得到,这样就证明了线面垂直的条件；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，设，这样设点的坐标，求平面和平面的法向量，根据求，确定点E 的位置.试题解析：解：（Ⅰ）证明：∵BC=，CC 1=BB 1=2，∠BCC 1=，在△BCC 1中，由余弦定理，可求得C 1B=，∴C 1B 2+BC 2=，即C 1B⊥BC．又AB⊥侧面BCC 1B 1，故AB⊥BC 1，又CB∩AB=B，所以C 1B⊥平面ABC ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系， 则B （0，0，0），A （0，2，0），C （，0，0），C 1（0，0，），B 1（﹣，0，），∴=（0，2，﹣），设，则=+λ=（0，0，﹣）+λ（﹣，0，）=（﹣λ，0，﹣+λ）设平面AC 1E 的一个法向量为=（x ，y ，z ），由，得，令z=，取=（，1，），又平面C1EC的一个法向量为=（0，1，0）所以cos＜，＞===，解得λ=．所以当λ=时，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．考点：1.空间向量的应用；2.线面垂直的证明.【方法点睛】主要考察了空间向量的应用，属于基础题型，利用空间向量求立体几何中的常见问题的解决方法，（1）证明垂直时，证明线线垂直，即证明直线的方向向量的数量积等于0，证明线面垂直，即证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，即数量积等于0，（2）求异面直线所成角，先求异面直线的方向向量，代入公式，（3）求线面角，先求直线的方向向量和平面的法向量，代入公式，（4）求二面角，先求两个平面的法向量，根据公式，根据二面角的大小确定二面角或.19.某县大润发超市为了惠顾新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖中奖的礼金为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）凡是元旦当天在超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望.【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，可知64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.（Ⅱ）由题意，随机变量的所有可能取值为，的取值为50，30，10，0，分别求解相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，∴.（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，的取值为50，30，10，0，∴.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.20.如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，设椭圆方程代入点即可求解（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为：，联立方程组,消元得，写出的斜率，同理得直线的斜率，利用根与系数的关系化简即可得出结论.【详解】（Ⅰ）如图，取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，得，将点代入椭圆的方程得：，解得：故椭圆的方程为：.（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为由图可知直线的斜率存在，设直线的方程为：联立方程，消去得：，，.有直线的斜率为：.同理直线的斜率为：.由.由上得直线与的斜率互为相反数，可得.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率，属于难题.21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）讨论函数的零点个数.【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）当时，，求得，得出函数的单调性，即可求解函数的极小值. （Ⅱ）当，方程的，则方程有两个不相等的实数根，记为，，得函数的减区间为，增区间为，求得函数的最小值，没有零点；当时，函数仅有一个零点为；当时，得函数的增区间为，减区间为，求得，由此时函数有两个零点，即可得到答案.【详解】解：（Ⅰ）当时，，令可得.故函数的增区间为，减区间为故当时，函数的最小值为.（Ⅱ）由∵，方程的，则方程有两个不相等的实数根，记为，，则，，有，故函数的减区间为，增区间为，有当时，，又函数单调递减，（1）当时，，此时，函数没有零点；（2）当时，函数仅有一个零点为；（3）当时，有，由，有令，有，故函数的增区间为，减区间为，由，可得不等式（当且仅当时取等号）成立故有当时，，则此时函数有两个零点.由上知时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点；当时函数没有零点.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（Ⅰ）若，求曲线与直线的交点坐标；（Ⅱ）求直线所过定点的坐标，并求曲线上任一点到点的距离的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）与；（Ⅱ），.【解析】【分析】（Ⅰ）求出曲线C和直线的普通方程,联立解方程组即可求出交点坐标（Ⅱ）直线所过定点的坐标为，曲线上任一点到P的距离利用两点间距离公式写出，利用三角函数值域的有界性求距离的最值即可. 【详解】（Ⅰ）曲线的普通方程为，当时，直线的普通方程为：联立，解得：或，曲线与的交点为与.（Ⅱ）当时，，，则直线过定点的坐标为，故曲线上任一点到点的距离为：由，故，【点睛】本题主要考查了由参数方程化普通方程，直线系的定点，两点间的距离，属于中档题.23.已知函数.（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数的最小值，则，，，根据，利用均值不等式求最值即可.【详解】（Ⅰ）可得当时，，即，所以无解；当时，，得，可得；当时，，得，可得.∴不等式的解集为.（Ⅱ）根据函数可知当时，函数取得最小值，可知，∵，，，∴.当且仅当，即时，取“=”.∴的最小值为1.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题.。
江苏省南京市2023届高三年级第二次模拟考试数学试题
南京市2023届高三年级第二次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第 I 卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．集合A ＝{x ∈N |1＜x ＜4}的子集个数为A ．2B ．4C ．8D ．162．已知复数z 满足i z ＝2－i ，其中i 为虚数单位，则―z 为A ．－1－2iB ．1＋2iC ．－1＋2iD ．1－2i3．在△ABC 中，角A ，B ，c 的对边分别为a ，b ，c ．若b sin A ＋B 2＝c sin B ，则角C 的大小为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π64．在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知：①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球．下列说法正确的为A ．丙参加了铅球B ．乙参加了铅球C ．丙参加了标枪D ．甲参加了标枪5．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示(图中●表示太极，表示◖阳仪，◗表示阴仪)．若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即a 1为天一对应的经历过的两仪数量总和0，a 2为衍生到地二时经历过的两仪数量总和2，a 3为衍生到天三时经历过的两仪数量总和4，…，按此规律，则a 15为大衍图A ．84B ．98C ．112D ．1286．直角三角形ABC 中，斜边AB 长为2，绕直角边AC 所在直线旋转一周形成一个几何休，若该几何体外接球表面积为16π3，则AC 长为 A ．32B ．1C ． 2D ．3 7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 为其左焦点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆C 交于点A ，B ，且AF ⊥AB ．若∠ABF ＝30°，则椭圆C 的离心率为A ．73B ．63C ．76D ．668．已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′(x )．若对任意x ∈R 有f ′(x )＞1，f (1＋x )＋f (1－x )＝0，且f (0)＝－2，则不等式f (x －1)＞x －1的解集为A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．在(x －2x)n 的展开式中 A ．常数项为160 B ．含x 2项的系数为60C ．第4项的二项式系数为15D ．所有项的系数和为110．若实数x ，y 满足x 22－y 2＝1，则 A ．|x |≥ 2 B ．x 2＋y 2≥2 C ．y x ＜12D ．|x －2y |≤2 11．已知函数f (x )＝|e x －a |，a ＞0．下列说法正确的为A ．若a ＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝1的图象有两个公共点B ．若函数y ＝f (x )与y ＝a 2的图象有两个公共点，则0＜a ＜1C ．若a ＞1，则函数y ＝f (f (x ))有且仅有两个零点D ．若y ＝f (x )在x ＝x 1和x ＝x 2处的切线相互垂直，则x 1＋x 2＝012．已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，AA 1＝AB ，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，则A ．点A 1在平面ABCD 内的射影在AC 上B ．AC 1⊥平面A 1BDC ．AC 1与平面A 1BD 的交点是△A 1BD 的重心D ．二面角B 1－BD －C 的大小为45°第II 卷 (非选择题 共90分)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．13．若直线x －2y ＋a ＝0被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则实数a 的值为▲ ．14．幂函数f (x )＝x α(α∈R )满足：任意x ∈R 有f (－x )＝f (x )，且f (－1)＜f (2)＜2，请写出符合上述条件的一个函数f (x )＝ ▲ ．15．一个袋子中有n (n ∈N *)个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为p (n )，则p (n )的最大值为 ▲ ．16．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC 为正三角形，AD ，BE ，CF 围成的△DEF 也为正三角形．若D 为BE 的中点，①△DEF 与△ABC 的面积比为 ▲ ；②设→AD ＝λ→AB ＋μ→AC ，则λ＋μ＝ ▲ ．(第一空2分，第二空3分)(图1) (图2)四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω＞0．(1)若函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，求f (3π2)的值； (2)若函数f (x )的图象关于(π3，0)对称，且函数f (x )在[0，π4]上单调，求ω的值． 18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，n ∈N *．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：1a 12＋1a 22＋…＋1a n 2＜716． 19．(本小题满分12分)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，AB ＝22，AD ＝DC ＝2，如图1．现将△ADC 沿对角线AC 折成直二面角P －AC －B ，如图2，点M 在线段BP 上．(1)求证：AP ⊥CM ；(2)若点M 到直线AC 的距离为255，求BM BP的值．(图1) (图2)20．(本小题满分12分)进行独立重复试验，设每次成功的概率为p (0＜p ＜1)，则失败的概率为1－p ，将试验进行到恰好出现r 次成功时结束试验，以X 表示试验次数，则称X 服从以r ，p 为参数的帕斯卡分步或负二项分布，记为X ~N B (r ，p )．(1)若X ~N B (3，13)，求P (X ＝5)； (2)若X ~N B (2，12)，n ∈N *，n ≥2． ①求∑ni ＝2P (X ＝i )； ②要使得在n 次内结束试验的概率不小于34，求n 的最小值． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x －1－log a x ，a ＞1．(1)若a ＝e ，求证：f (x )≥1；(2)若关于x 的不等式f (x )＜1的解集为集合B ，且B (1a，a )，求实数a 的取值范围． 22．(本小题满分12分)已知抛物线C 1：y 2＝x 和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝2．(1)若抛物线C 1的准线与x 轴相交于点T ，MN 是过C 1焦点F 的弦，求→TM ·→TN 的最小值；(2)已知P ，A ，B 是抛物线C 1上互异的三个点，且P 点异于原点．若直线P A ，PB 被圆C 2截得的弦长都为2，且P A ＝PB ，求点P 的坐标．。
江淮十校2020届高三第二次联考数学(理科)
江淮十校2020届高三第二次联考数 学（理科） 2019.11命题单位：池州一中 命题人：方治文 审题人：刘玉注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1、若全集R U =，集合{}{}01|,16|2≤-=<∈=x x B x Z x A ，则=)(B C A U A 、{}41|<≤x x B 、{}41|<<x x C 、{}321，， D 、{}32， 2、下列说法错误的是A 、命题“若0342=+-x x ，则3=x ”的逆否命题为“若3≠x ，则0342≠+-x x ”B 、命题“x x x 32),,0(<+∞∈∀”是假命题C 、若命题q p ⌝、均为假命题，则命题q p ∧⌝为真命题D 、若)(x f 是定义在R 上的函数,则“0)0(=f ”是“)(x f 是奇函数”的必要不充分条件3、已知函数x x e e x f -=-)(（e 为自然数对数的底数），若5.07.0-=a ，7.0log 5.0=b ，5log 7.0=c ，则A 、)()()(c f a f b f <<B 、)()()(a f b f c f <<C 、)()()(b f a f c f <<D 、)()()(c f b f a f <<4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，176,330,2244===-n n S S S ，则=nA 、14B 、15C 、16D 、175、函数x x y sin 22-=的图象大致是A 、B 、C 、D 、6、已知向量)1,3(=，向量a 为单位向量，且1=⋅b a ，则b a -2与a 2的夹角余弦值为A 、21B 、33C 、21- D 、33-7、平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边为单位圆O 交于点),(00y x P ，且)0,2(πα-∈，则53)6cos(=+πα，则0x 的值为 A 、10433- B 、10334- C 、10433+ D 、10334+ 8、关于函数)3ln()1ln()(x x x f --+=有下述四个结论：①)(x f 在)3,1(-单调递增 ②)(x f y =的图象关于直线1=x 对称 ③)(x f 的图象关于点)0,1(对称 ④)(x f 的值域为RA 、0B 、1C 、2D 、39、阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离为定值λ（1,0≠>λλ）的动点轨迹.已知在A B C ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，,2cos cos ,sin 2sin =+=A b B a B A 则ABC ∆面积的最大值为A 、2B 、3C 、34D 、 35 10、在A B C ∆中，BAC BAC ∠︒=∠,60的平分线AD 交BC 于D ，且有AB t AC AD +=32，若6||=，则=|| A 、32 B 、33 C 、34 D 、3511、已知函数)0(12cos2sin )(2>+-=ωωωx x x f 在区间)2,1(上单调，则ω的取值范围是 A 、]83,0(π B 、]43,0(π C 、]87,43[]83,0(πππ D 、],43[]83,0(πππ 12、已知)1ln )(1ln ()(++++=x x x ax x f 与2)(x x g =的图象至少有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是A 、)22,21(-B 、)1,21(- C 、)122(， D 、)2,1( 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理第Ⅰ卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数i ai-+21为纯虚数，则实数a 为( )A.2B.2-C.21-D.212.若向量)2,1(),3,2(-==,则=-⋅)2(( )A.8B.7C.6D.53.等差数列}{n a 的前n 项和为nS ,若5597531=++++a a a a a ,则=9S ( )A. 66B.99C.110D.1954.设αβ，为两个平面，则α∥β的充要条件是( )A ．α内有无数条直线与β平行B ．α，β平行于同一条直线C ．α内有两条相交直线与β平行D ．α，β垂直于同一平面5.已知曲线xe a xf )12()(+=在0=x 处的切线过点)1,2(,则实数=a ( )A.3B.3-C.31D.31-6.函数23cos()2()cos()x xf x x x ππ++=-++在],[ππ-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7.在各棱长均相等的四面体A BCD -中，已知,M N 分别是是棱,AD BC 中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值（ ）A ．23B. 3C. 23D. 13-8.若把函数()y f x =的图象沿x 轴向左平移4π个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sin y x =的图象,则()y f x =的一个对称中心为( )A ．(0,0)B ．(,1)4πC ．(,1)2πD ．3(,0)4π9. ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：①如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥;②如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥;③如果//,m αβα⊂，那么//m β;④如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题的个数为( )A.1B.2C.3D.410. 在ABC ∆中，2sin 4sin 3sin C CB A CA B AB ⋅=⋅+⋅，则三角形的ABC ∆形状是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法确定11.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*11,24()n n n a m a S n N +==+∈，若1n n a a +≥，则实数m 的最小值为（ ）A. 2-B. 4-C. 5-D. 412.设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()3f x f x x '->，则关于x 的不等式31(3)(3)03x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭的解集为( )A.)6,3(B.)3,0(C.)6,0(D.),6(+∞第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13.已知cos()44πα+=,则=α2sin . 14.已知函数244)(+=x x x f ，数列}{n a 满足)2020(n f a n =，则数列}{n a 的前2019项和为 .15.已知,0833,0,0=-++>>xy y x y x 则y x 3+的最小值是 .16.在四棱锥ABCD P -中,⊥PA 底面ABCD ,,2,//,===⊥AP DC AD DC AB AB AD1=AB ,若点E 为棱PC 上一点,满足AC BE ⊥,则=EC PE.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知关于x 的不等式|2|1()x m m R -≤∈的解集为[0,1].（1）求m 的值；（2）若,,a b c 均为正数，且a b c m ++=，求111313131a b c +++++的最小值.18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ，且满足sin cos()6c B b C π=-.（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的周长为12，面积为43，求三角形三边长. 19．（本小题满分12分）直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）111ABC A B C -中，D 为1B B 中点，F 为线段1C D 的中点.112.2AC AB BC C C ====（1）若M 为AB 中点，求证：//FM 面11A ACC ；（2）求二面角111F AC B --的余弦值.20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 11n n S S -=(2,)n n N ≥∈，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2n an b =，13(1)(4)n n n n b c b b -=--，设n T 是数列{}n c 的前n 项和，证明：12n T <-.21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，BCD ∠=135°，PA ⊥底面ABCD ，2AB AC PA ===，,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：面EMF ⊥面PAC ；（2）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值．22．（本小题满分12分）已知函数2().xx f x ae x a=--（1）当1a =时，证明：对任意的0x ≥，都有2()1.2x f x ≥-（2）若对任意的[1,),()1x f x ∈-+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.数学理参考答案15:;610:;11,12ADBCD DCBCA B A -- 32019113.;14.;15.4;16.42317.（1）11|2|122m m x m x -+-≤⇒≤≤11=0=1122m m m -+⇒=，……5分（2）1a b c ++=[(31)(31)3(1)]a b c +++++2111()(111)313131a b c ++≥+++++当且仅当13a b c ===时，111313131a b c +++++的最小值32 ……10分（注：“当且仅当13a b c ===时”不写，扣2分）18.（1）由正弦定理得，sin sin sin cos()6C B B C π=-，sin C C =即tan C =3C π=；……6分（2）由余弦定理得222c a b ab =+-，342321==ab S ,12=++c b a解得4===c b a……12分19.（1）取AA 1中点N ，连结C 1N ，ND ，取C 1N 中点E ，连结EF ，AE ，∵AN//BD,AN=BD,∴四边形ANDB 为平行四边形，∴AB//ND ，AB=ND ，∵NE=EC 1，C 1F=FD ，∴NDEF 21//=，又∵ND AM 21//=∴四边形MAEF 为平行四边形，∴MF//AE ，∵⊄MF 面11A ACC ，AE ⊂面11A ACC ，//FM 面11A ACC ；……5分（2）在平面A 1B 1C 1上过A 1作垂直于A 1B 1的直线为x 轴，分别以A 1B 1，A 1A 为z y ,轴，建系A 1-xyz ，)1,23,23(),0,1,3(1F C ，)1,23,23(),0,1,3(111==A C A ，设平面FA 1C 1的法向量),,(z y x =0311=+=⋅y x C A ，023231=++=⋅z y x A ，取3,3,3=-==z y x ，)3,3,3(-= ……9分平面A 1B 1C 1的一个法向量)1,0,0(=m ，设二面角111F AC B --的大小为θ，7219933cos =++==θ ……12分20.（1）nn S n =-+=)1(1，当12,21-=-=≥-n S S a n n n n （当1=n 时也符合），所以12-=n a n ……5分（2）122-=n n b ，)121121(41)12)(12(23411232321232---=--⋅=-----n n n n n n c )]121121()121121()121121[(4112323111---++---+---=---n n n T2112141)121121(411121-=-⋅<---=---n……12分21.(1)∵⊥PA 面ABCD ，EF ⊂面ABCD ，∴EF ⊥AP在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠=∠45ACB ABC ，∴AB ⊥AC ，又BEAF =//，∴四边形ABEF 为平行四边形，∴AB//EF ，因此，AC ⊥EFAP AC=C ，AP ⊂面PAC ，AC ⊂面PAC ，∴EF ⊥面PAC又EF ⊂面EMF ，∴面EMF ⊥面PAC .……5分（2）分别以AE ，AD ，AP 为z y x ,,轴，建系A-xyz设]1,0[,∈=λλPD PM ，),0,2,2(),0,2,2(C B -)0,0,2(),0,22,0(),2,0,0(E D P)2,2,2(-=，)0,22,0(=，设平面PBC 的法向量),,(z y x =，0222=-+=⋅z y x ，022==⋅y ，)1,0,2(=，平面ABCD 的一个法向量)1,0,0(=，)2,22,0(-==λλ，)2,0,2(-=， )22,22,2(λλ+--=-=PM PE ME ，直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，即|,cos ||,cos |><=><，即||||m n =1|22|3|2|λλ+-=，PM PD ]1,0[233∈-==λ ……12分22．（1）当1a =时，设1221)()(22---=+-=x x e x x f x g x ， x e x g x --='1)(，设x e x g x h x --='=1)()(，)0(01)(≥≥-='x e x h x ，所以)(x h 在),0[+∞上是增函数，0)0(1)()(=≥--='=h x e x g x h x ，所以)(x g 在),0[+∞上是增函数，即0)0(1221)()(22=≥---=+-=g x x e x x f x g x ，对任意的0x ≥，都有2()1.2x f x ≥- ……5分（2）若对任意的[1,),()1x f x ∈-+∞≥恒成立，e a f f ≥⇒≥-≥1)1(,1)0(……6分a x ae x f x g x21)()(--='=，ea e a a e a g a ae x g x 22)1(2)(2-=-=-'≥-='（其中)(x g '增函数）， ①当e a 2≥时，0)(≥'x g ，012212)1(21)(>-≥-+=-≥--=e a e a g a x ae x g x ， 在),1[+∞-上，)(x f 是增函数，=-)1(f 111≥-+a e a e a ≥⇔2符合题意，……8分 ②当e a e 2<≤时，存在唯一0)(),,1(00='+∞-∈x g x ，此时202ln a x = 在),1[0x -上，0)(<'x g ；0)(),,(0>'+∞x g x ， a a a a x ae x f x g x 200min 2ln 21221)()(0--=--='=设x x x x h ln 42ln 212)(---=，0ln 42ln 22)(2>-+='xx x h ，)(x h 在)2,[e e 上是增函数， 01212ln 24)()(>->--=≥ee e h x h ，所以0)()(>'=xf xg ， 在),1[+∞-上，)(x f 是增函数，=-)1(f 111≥-+ae a 解得e a ≥ 综合①②，e a ≥……12分。