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因式分解知识点总结及典型试题
因式分解知识点总结及典型试题知识点一：因式分解的总体思路第一步：定项（以加减号为准，区分三项以下的和三项以上的两种因式分解）第二步：三项以下的要观察是否有公因式，有公因式先公因式提再分解。
第三步：三项以上的要分组，分组后再用公式法分解。
第四步：用公式法分解（如果是两项用平方差；三项用完全平方或十字相乘法）知识点二：公因式确定方法：各项中系数取最大公因数，相同字母取最低次幂，乘起来作为公因式1．（2016•平南县二模）分解因式m﹣ma2的结果是（）A．m（1+a）（1﹣a）B．m（1+a）2C．m（1﹣a）2D．（1﹣a）（1+a）2．（2016春•东湖区校级月考）计算：22014﹣（﹣2）2015的结果是（）A．22015B．22014C．﹣22014D．3×220143．（2015•菏泽）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2 C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）4．（2015•宜宾）把代数式3x3﹣12x2+12x分解因式，结果正确的是（）A．3x（x2﹣4x+4）B．3x（x﹣4）2C．3x（x+2）（x﹣2）D．3x（x﹣2）2 5．（2015•长沙校级自主招生）多项式a n﹣a3n+a n+2分解因式的结果是（）A．a n（1﹣a3+a2）B．a n（﹣a2n+a2）C．a n（1﹣a2n+a2）D．a n（﹣a3+a n）6．（2015•杭州模拟）下列代数式3（x+y）3﹣27（x+y）因式分解的结果正确的是（）A．3（x+y）（x+y+3）（x+y﹣3）B．3（x+y）[（x+y）2﹣9]C．3（x+y）（x+y+3）2D．3（x+y）（x+y﹣3）27．（2016•温州校级一模）多项式x2﹣1与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1B．x+1C．x2﹣1D．（x﹣1）28．（2016•赵县模拟）若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（）A．﹣15B．15C．2D．﹣89．-6xyz+3xy2-9x2y的公因式是（）A．-3x B．3xz C．3yz D．-3xy10.（1）m（a-2）+n（2-a）（2）（y-x）2+2x-2y．11．（2014春•玉环县期中）分解因式：x3﹣2x2﹣8x=．12．（2014春•诸城市校级月考）分解因式：x3﹣4x2﹣21x=．13．（2013秋•瑞安市校级期末）分解因式a3﹣a2﹣2a=．14．（2013•南充模拟）分解因式：2x2﹣2x﹣12=．15．（2015春•文昌校级期中）分解因式：x4﹣3x3﹣28x2=知识点三：平方差公式使用的条件：前提是两项；必须是平方的形式；平方的两项符号必须相反；只有具备上述三个条件才能平方差公式。
因式分解常用方法及练习
1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）a xabxacxaxm m mm 2213（2）a ab a b a ab b a ()()()32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：a xabxacxaxax axbx c x m m mm m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a nn n n 222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：a ab a b a ab ba ()()()32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b babab aa b b a a b a b a a b a ab b a a b a a 2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式)521456268123(1368987987136813689875、中考点拨：例1。
因式分解322x x x ()()解：322x xx ()()322231x x xxx ()()()()说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
三十道因式分解练习题
三十道因式分解练习题一、提取公因式类1. 因式分解：$6x^2 + 9x$2. 因式分解：$8a^3 12a^2$3. 因式分解：$15xy 20xz$4. 因式分解：$21m^2n 35mn^2$5. 因式分解：$4ab^2 + 6a^2b$二、公式法类6. 因式分解：$x^2 9$7. 因式分解：$a^2 4$8. 因式分解：$4x^2 25y^2$9. 因式分解：$9m^2 16n^2$10. 因式分解：$25p^2 49q^2$三、分组分解类11. 因式分解：$x^3 + x^2 2x 2$12. 因式分解：$a^3 a^2 3a + 3$13. 因式分解：$3x^2 + 3x 2x 2$14. 因式分解：$4m^2 4m 3m + 3$15. 因式分解：$5n^3 10n^2 + 3n 6$四、十字相乘法类16. 因式分解：$x^2 + 5x + 6$17. 因式分解：$a^2 7a + 10$18. 因式分解：$2x^2 9x 5$20. 因式分解：$4n^2 13n + 3$五、综合运用类21. 因式分解：$x^3 2x^2 5x + 10$22. 因式分解：$a^3 + 3a^2 4a 12$23. 因式分解：$2x^2 + 5x 3$24. 因式分解：$3m^2 7m + 2$25. 因式分解：$4n^2 + 10n 6$六、特殊因式分解类26. 因式分解：$x^4 16$27. 因式分解：$a^4 81$28. 因式分解：$16x^4 81y^4$29. 因式分解：$25m^4 49n^4$30. 因式分解：$64p^4 81q^4$一、平方差公式类1. 因式分解：$x^2 25$2. 因式分解：$4y^2 9$3. 因式分解：$49z^2 100$4. 因式分解：$25a^2 121b^2$5. 因式分解：$16m^2 36n^2$二、完全平方公式类6. 因式分解：$x^2 + 8x + 16$7. 因式分解：$y^2 10y + 25$8. 因式分解：$z^2 + 14z + 49$10. 因式分解：$b^2 + 22b + 121$三、交叉相乘法类11. 因式分解：$x^2 + 7x + 12$12. 因式分解：$y^2 5y 14$13. 因式分解：$z^2 + 11z + 30$14. 因式分解：$a^2 13a 42$15. 因式分解：$b^2 + 17b + 60$四、多项式乘法公式类16. 因式分解：$x^3 + 3x^2 + 3x + 1$17. 因式分解：$y^3 3y^2 + 3y 1$18. 因式分解：$z^3 + 6z^2 + 12z + 8$19. 因式分解：$a^3 6a^2 + 12a 8$20. 因式分解：$b^3 + 9b^2 + 27b + 27$五、分组分解法类21. 因式分解：$x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$22. 因式分解：$y^4 4y^3 + 6y^2 4y + 1$23. 因式分解：$z^4 + 8z^3 + 18z^2 + 8z + 1$24. 因式分解：$a^4 8a^3 + 18a^2 8a + 1$25. 因式分解：$b^4 + 12b^3 + 54b^2 + 108b + 81$六、多项式长除法类26. 因式分解：$x^5 x^4 2x^3 + 2x^2 + x 1$27. 因式分解：$y^5 + y^4 + 2y^3 2y^2 y + 1$28. 因式分解：$z^5 3z^4 + 3z^3 z^2 + z 1$29. 因式分解：$a^5 + 3a^4 3a^3 + a^2 a + 1$30. 因式分解：$b^5 5b^4 + 10b^3 10b^2 + 5b 1$答案一、提取公因式类1. $6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$2. $8a^3 12a^2 = 4a^2(2a 3)$3. $15xy 20xz = 5x(3y 4z)$4. $21m^2n 35mn^2 = 7mn(3m 5n)$5. $4ab^2 + 6a^2b = 2ab(2b + 3a)$二、公式法类6. $x^2 9 = (x + 3)(x 3)$7. $a^2 4 = (a + 2)(a 2)$8. $4x^2 25y^2 = (2x + 5y)(2x 5y)$9. $9m^2 16n^2 = (3m + 4n)(3m 4n)$10. $25p^2 49q^2 = (5p + 7q)(5p 7q)$三、分组分解类11. $x^3 + x^2 2x 2 = (x^2 + 2)(x 1)$12. $a^3 a^2 3a + 3 = (a^2 3)(a 1)$13. $3x^2 + 3x 2x 2 = (3x 2)(x + 1)$14. $4m^2 4m 3m + 3 = (4m 3)(m 1)$15. $5n^3 10n^2 + 3n 6 = (5n^2 3)(n 2)$四、十字相乘法类16. $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$17. $a^2 7a + 10 = (a 2)(a 5)$18. $2x^2 9x 5 = (2x + 1)(x 5)$19. $3m^2 + 11m + 4 = (3m + 1)(m + 4)$20. $4n^2 13n + 3 = (4n 1)(n 3)$五、综合运用类21. $x^3 2x^2 5x + 10 = (x^2 5)(x 2)$22. $a^3 + 3a^2 4a 12 = (a^2 + 4)(a 3)$23. $2x^2 + 5x 3 = (2x 1)(x + 3)$24. $3m^2 7m + 2 = (3m 1)(m 2)$25. $4n^2 + 10n 6 = (2n 1)(2n + 6)$六、特殊因式分解类26. $x^4 16 = (x^2 + 4)(x + 2)(x 2)$27. $a^4 81 = (a^2 + 9)(a + 3)(a 3)$28. $16x^4 81y^4 = (4x^2 + 9y^2)(2x + 3y)(2x 3y)$29. $25m^4 49n^4 = (5m^2 + 7n^2)(5m + 7n)(5m 7n)$30. $64p^4 81q^4 = (8p^2 + 9q^2)(4p + 3q)(4p 3q)$一、平方差公式类1. $x^2 25 = (x + 5)(x 5)$2. $4y^2 9 = (2y + 3)(2y 3)$3. $49z^2 100 = (7z + 10)(7z 10)$4. $25a。
《因式分解500题》(含答案)
服务内核部-初数教研
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25. 因式分解：−4 3 2 + 6 2 3 − 12 2 2
26. 分解因式：−6 − 142 3 + 123
27. 分解因式：−26 3 2 + 13 2 2 + 52 5 2 4
28. 因式分解：
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43. 分解因式：( − )5 + ( − )5
44. 分解因式：(1 − + 2 ) − 1 + − 2
45. 将下列各式因式分解：
①53 ( − )3 − 104 3 ( − )2 ；
②( − )2 + ( − ) + ( − )；
6. 分解因式：32 + 6 2
7. 因式分解：2 2 −
8. 分解因式：32 − 6
9. 分解因式：12 − 3 2
10. 用提公因式法因式分解：22 3 + 6 2
11. 因式分解：2( − ) − ( − )
12. 分解因式：( − ) − ( − )
29. 分解因式：( − 3)2 − (2 − 6)；
30. 分解因式：18( − )2 − 12( − )3
31. 因式分解：10( − )2 + 5( − )
32. 计算：( + )2 − ( + )( − )
33. 分解因式：( + 1)( − 1) + ( − 1)
19. 因式分解：−43 + 162 − 26
20. 分解因式：6 2 − 9 + 3
21. 分解因式：−82 − 2 + 6 2
22. 因式分解：−14 − 7 + 49 2
《因式分解专题训练》有答案
因式分解专题训练一、整式有关概念：1.单项式（单个字母或数）（次数，系数）；2.多项式（次数，项数）3.同类项与合并同类项二、幂的运算性质：1. n m n m aa a +=⋅ 2. ()mn n m a a = 3. ()n n nb a ab = 4. n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5. n m n m a a a -=÷ 6. 10=a 7.p p a a 1=- 8. pp b a a b ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 三、整式的运算：加、减、乘、除（乘方、开方） 1. m （a+b+c ）=ma+mb+mc 2. （a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn3. （a+b ）（a-b ）＝22b a -4. ()2222a b ab a b +±=± 5. ()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++ 6.()()3322b a b ab a b a ±=+± 7. ()()()ca bc ab c b a a c c b b a 222222222222+++++=+++++ 四、因式分解：1.把一个多项式化成几个整式的积的形式. 2.方法（一提二套三分组） （套公式包括十字相乘法）五、方法·规律·技巧：1.性质、公式的逆向使用；2.整体代入（配方、换元）3.非负数 的运用（配方）六、实际运用1.下列变形中，正确的是（ ）A. ()123422+-=+-x x xB. ()112+=+÷xx x x C. ()()22y x y x y x -=+--- D. xx x x -=-11 2.若n m n m b b a ++-224a 52与可以合并成一项，则nm 的值是（ ） A. 2 B. 0 C. －1 D. 13.若22=+b a ，ab ＝2，则22b a +的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 23 D. 324.把多项式x x x 1212323+-分解因式，结果正解的是（ ）A. ()4432+-x x x B. ()243-x x C. ()()223-+x x x D. ()223-x x 5.已知0322=--x x ，则x x 422-的值为（ ）A. －6B. 6C. －2或6D. －2或306.下列等式从左到右的的变形，属于因式分解的是（ ）A. a （x-y ）=ax-ayB.()12122++=++x x x xC. ()()34312++=++x x x xD. ()()11x 3-+=-x x x x7.因式分解：()()21622---x x x ＝ .8.分解因式：（a-b ）（a-4b ）+ab ＝ .9.分解因式：()9332--+x x x ＝ . 10.分解因式：22my mx -＝ .11.多项式4x 2+1加上一个单项式后能成为一个完全平方式，请你写出符合条件的所有的单 项式： .12.计算：()20172016201642125.0⨯⨯-＝ . 13.已知===-n m n m a a a 4323,16,64则 .14.已知=+-=+-634x 964322x x x ，则 . 15.若()()222222,121y x y x y x +=-++＝ . 16、将下列各式分解因式：（1）x ax x 2842+-- （2）xy xy y x 2712322-+-（3）()b a b a +--22 （4）()()321612-+-x a x 17.将下列各式分解因式：（1）42161259y x - （2） 3394xy y x - （3）()()221162-++-x x （4）()()222516b a b a +--（5）2244y xy x -+- （6）22363ay axy ax ++（7）172x 4912+-x （8）()()9326322++-+y x y x （9）()()()()222510b a b a b a b a -+-+++ （10）()()1222222+-+-x x x x18.将下列各式分解因式： （1）232+-x x （2）1322++x x（3）22144y xy x -- （4）()()()32212-+-+-m x m x m 19.将下列各式分解因式：（1）()()a b y b a x -+-2249 （2）212+++-n n n x x x（3）()()xy y x41122--- （4）()133********-+-+-x x x x （5）()()15222222--+-x x x x （6）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）-12020.将下列各式分解因式：（1）9622-++-y x x （2）ab b a 44422-+-（3）2212b a a +--- （4）3223y xy y x x --+21.简便计算：（1）1323.16523.14823.1⨯⨯+⨯－ （2）814.13125.06.18⨯+⨯ （3）2.48.1425.042.032⨯+⨯+⨯ （4）7582－2582 （5）99992+19998+1 （6）20162－2015×2017 （7）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222201611411311211 （8）420172014201320132016201420142016222-⨯-⨯-+ 22.已知()()()()137373212-----x x x x 可分解因式为()()b x a x ++3，其中a 、b 都是整数，求a+3b 的值.23.已知2222912x 4,010644y xy y x y x +-=++-+求的值.24.已知13,022232++=-+x x x x 求的值.25.已知n 为正整数，试说明n n 332-+能被24整除. 26.若()5522,,1,1n m n m n n m m +≠+=+=求的值.27.设()()222222211212,...,35,13--+=-=-=n n a a a n （n 是大于0的自然数）。
(完整版)第十四章--整式乘除及因式分解(知识点+题型分类练习),推荐文档
C. ﹣2（3x﹣1）=﹣6x﹣2
D. ﹣2（3x﹣1）=﹣6x+2
2．（ 2015•济宁）化简 ﹣16（ x﹣0.5）的结果是（ ）
A． ﹣16x﹣0.5
B． ﹣16x+0.5
C． 16x﹣8
3.（2016·佛山）化简 m n (m n) 的结果是( )．
D． ﹣16x+8
A． 0
B． 2m
C．0.2a2b 与﹣ a2b D．a2b3 与﹣a3b2
4．（2015•柳州）在下列单项式中，与 2xy 是同类项的是（ ）
A．2x2y2
B．3y
C．xy
D．4x
5.（2014•毕节）若 2 am b4 与 5 an2 b2mn 可以合并成一项，则 mm 的值是（ ）
A．2
B． 0
C．﹣1
D．1
C. x·x2= x4 C.(-x2)3=-x6 C.(a2)3＝a6
D.（2x2）2=6x6 D.(x3)2＝x5
D.a6÷a3＝a2
8.下列运算正确的是 （ ）
A. 3 = 3
9.下列计算正确的是 (
B. ( 1 ) 1 22
)
A.a3·a2=a6
B．a2＋a4=2a2
10.下列计算正确的是（ ）
A. 6a－5a=1
B. a+2a2=3a3
） C.－(a－b)=－a+b
D.2(a+b)=2a+b
7.（2012•浙江）化简： 2(a 1) a _______ .
考点 3、根据题意列代数式
1.（2014•盐城）“x 的 2 倍与 5 的和”用代数式表示为
．
2.（2010·嘉兴）用代数式表示“a、b 两数的平方和”，结果为_______。
因式分解分类分成习题总汇【最新】(附加测试卷及答案)
因式分解分类分成习题总汇（附加测试卷及答案）一、提取公因式1.确定下列各多项式的公因式。
a.单项式类型1、ay ax +2、36mx my -3、2410a ab +4、2155a a +5、22x y xy -6、22129xyz x y - b.多项式类型7、()()m x y n x y -+- 8、()()2x m n y m n +++9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a ---2.把下列各式分解因式。
单项式类型 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn +5、23222515x y x y -6、22129xyz x y -7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +-13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+3.乘法分配律的逆运算填空。
（实际应用）1、22____()R r R r ππ+=+2、222(______)R r πππ+=3、2222121211___()22gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=4.填写适当的符号。
（符号辨析）1、__()x y x y +=+2、__()b a a b -=-3、__()z y y z -+=-4、()22___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=-7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=-5.把下列各式分解因式。
八年级上册数学因式分解基础知识点和典型习题分类汇总附答案
第13讲 因式分解基础❖ 基本知识（熟记，会推导，会倒过来写，要提问．） （1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种恒等变形叫因式分解．（2）因式分解的结果中，每个因式都必须是整式．(1)yx y x x+=+不是因式分解． （3）因式分解要分解到不能再分解为止．222(1)(1)(1)()x x x y x x y -+-=-+ 这样的分解是(1)(1)()x x x y +-+不彻底的，应该分解到．因式分解的方法 （1）提取公因式法()ma mb mc m a b c ++=++ （2）公式法22()()x y x y x y -=+-平方差公式： 2222222()2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-完全平方公式：（3）十字相乘法2()()()x p q x pq x p x q +++=++p q 可以用解二元一次方程的办法来找到和，因为方程2()0x p q x pq +++=p -q -的解是和．❖ 习题——因式分解 题型一：直接提公因式=-y xy 1、______________________=---)(3)(2a b n b a m 2、_____________________=-2242ab b a 3、______________________=-232x x 4、______________________参考答案1)1(-x y 、 2)32)((n m b a +-、 3)2(2b a ab -、 4)12(2-x x 、题型二：直接用公式225x -=1、______________________21a -=2、______________________=-229y x 3、______________________=-142x 4、______________________41242++x x 5、=______________________=-+--2)()(816y x y x 6、___________________811824+-x x 7、=______________________=+-22224129n m xymn y x 8、_____________________参考答案1)5)(5(-+x x 、 2)1)(1(-+a a 、 3)3)(3(y x y x -+、 4)12)(12(-+x x 、 52)212(+x 、 62)4(y x +-、722)3()3(+-x x 、 82)23(mn xy -、题型三：先提公因式，再套平方差或者完全平方公式． A ：先提后套平方差822-x 1、＝______________________=-x x 32、______________________=-x x 433、______________________=-1822x 4、______________________=-29ab a 5、______________________=-282a 6、______________________=-523x y x 7、______________________参考答案1)2)(2(2-+x x 、 2)1)(1(-+x x x 、 3)2)(2(-+x x x 、 4)3)(3(2-+x x 、 5)3)(3(b b a -+、 6)12)(22(2-+a a 、 7))((3x y x y x -+、B ：先提后套完全平方122x y xy y -+、=______________________3222x x y xy -+2、=_____________________=+-223363xy y x x 3、______________________x x x 48423-+-4、=______________________=-+-21422a a 5、______________________32214a ab ab -+-=6、_____________________参考答案12)1(-x y 、 22)(y x x -、 32)(3y x x -、 42)1(4--x x 、 52)21(2--a 、 62)2(b a a --、。
因式分解知识点及练习
知识点1.因式分解定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。
要点提示：1因式分解的对象是多项式；2被分解的是多项式，结果中的因式必须是整式，必须是积的形式。
练习：1．下列各式的因式分解结果中，正确的是（）A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a)B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy)D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)2.在下列等式中，属于因式分解的是A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bnB．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)D．x2－7x－8=x(x－7)－8知识点2.提公因式法公因式：一个多项式中各项都含有的一个公共的因式叫做这个多项式的公因式。
提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。
提公因式法基本步骤：（1）找出公因式（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。
例1.-am+bm+cm=-(a-b-c)ma(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。
注意：把变成不叫提公因式。
练习：2.下列各式公因式是a的是（）A. ax＋ay＋5 B．3ma－6ma2C．4a2＋10ab D．a2－2a＋ma3.－6xyz＋3xy2－9x2y的公因式是（）A.－3x B．3xz C．3yz D．－3xy4.把多项式（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）分解因式的结果是（）A．8（7a－8b）（a－b）;B．2（7a－8b）2 ;C．8（7a－8b）（b－a）;D．－2（7a－8b）5.（1）15×（a－b）2－3y（b－a）（2）39×37-13×34;3.公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。
因式分解专项练习100题及答案
因式分解专项练习100题及答案一、提取公因式(1) (61)(53)(61)(23)(61)(62)m n m n m n -++---+---(2) 424266x yz x y -(3) (72)(81)(72)(74)(72)(41)x x x x x x --++--++--(4) 444245a a x y -(5) 233332361515x y z x z x z ++(6) (53)(34)(53)(33)a b a b -----+(7) 323515a c bc +(8) 431216xyz xyz -(9) 431025c b c +(10) 3333189ax y a x y +(11) 324226a bc a b c -(12) 23341435a x y x -(13) (61)(25)(91)(61)x x x x -+-+-(14) 33434332816x y z y z y z ++(15) (32)(41)(32)(75)(32)(21)x x x x x x -++-++-+(16) (52)(2)(25)(52)m n n m +-++-+(17) (65)(43)(65)(64)x x x x +--+-(18) (85)(91)(85)(94)(85)(42)a b a b a b +--+++++-+(19) (23)(35)(23)(71)(23)(93)m n m n m n --+--++---(20) (35)(32)(35)(4)(35)(1)x x x x x x ---+-++-+二、公式法(21) 2212122x xy y -+(22) 22481a b -(23) 22784529x y -(24) 212396324x x -+(25) 22289121x y -(26) 2290064a b -(27) 2281450625m mn n -+(28) 2249238289m mn n ++(29) 225628881x x ++(30) 257664x -三、分组分解法(31) 281040xy x y --+(32) 8122842ab a b --+(33) 221635262124x y xy yz zx-++-(34) 21187060ax ay bx by +--(35) 2294221469a c ab bc ca ++--(36) 45352721mx my nx ny -+-(37) 2212621728a b ab bc ca --++(38) 863224xy x y -+-+(39) 4102870ab a b +++(40) 142070100ax ay bx by +--(41) 222720452057x z xy yz zx++--(42) 2273554426a b ab bc ca ++++(43) 302064xy x y ----(44) 4101640ax ay bx by --+(45) 2212354928x y xy yz zx -+--(46) 363060mx my nx ny --+(47) 424954xy x y -++-(48) 18168172ab a b --+(49) 2438010ab a b +++(50) 819182ax ay bx by -+-四、拆添项(51) 2281491268413a b a b -+++(52) 229143024m n m n -+++(53) 4224363316x x y y -+(54) 4224364716m m n n ++(55) 228191621277m n m n ---+(56) 22449249813x y x y ----(57) 422493364m m n n -+(58) 2264251289017m n m n -+--(59) 229643611213x y x y ----(60) 2281610827x y x y -+--五、十字相乘法(61) 223579424942x xy y x y ++--(62) 2228114254545x y z xy yz ---+(63) 22458835434510x xy y x y -++-+ (64) 22145521455025x xy y x y -++-+ (65) 2221261539236x xy y x y -----(66) 2216232876a ab b a b --+++(67) 22225424450x y z yz xz -++-(68) 2243014192912m mn n m n +++++(69) 221526713152m mn n m n ++--+(70) 222523x xy y x y +-+++(71) 22228630463111x y z xy yz xz +-+-+(72) 2222415821432x y z xy yz xz -+--+(73) 2285921556742m mn n m n -+-++(74) 22915412133x xy y x y ++--+(75) 22232237a b c ab bc ac -+---(76) 2159341515x xy x y ++++(77) 226271510174x xy y x y +---+(78) 22241128602624x xy y x y --+++(79) 22812839228x xy y x y +--++(80) 23036553025p pq p q --++六、双十字相乘法(81) 2223520245342x y z xy yz xz +--+-(82) 22273422113x y z xy yz xz +-+-+(83) 22256356212910x y z xy yz xz -----(84) 22228282065198a b c ab bc ac +-+-+(85) 22264212946x y z xy yz xz -----(86) 2214133592635x xy y x y -+-++(87) 22227493042769x y z xy yz xz -+-++(88) 2226184242711x y z xy yz xz +++--(89) 22243110472921x xy y x y ++---(90) 22228101827354a b c ab bc ac -++++七、因式定理 (91) 3222x x x +--(92) 321845192a a a -+-(93) 323744x x x +++(94) 3228115x x x +++(95)32--+671510y y y (96)3212351710++-x x x (97)32x x x+++526356 (98)32+++x x x157911745 (99)32-+-522236x x x (100)32--+35159x x x因式分解专项练习100题答案一、提取公因式 (1) (61)(32)m n --- (2) 426()x y z y - (3) (72)(114)x x --+ (4) 442(45)a x y - (5) 2333(255)x z y x ++ (6) (53)(67)a b --+ (7) 235(3)c a bc + (8) 34(34)xyz z - (9) 425(25)c b c + (10) 3229(2)ax y a y + (11) 32(3)a bc c ab - (12) 3237(25)x a y x - (13) (61)(74)x x --- (14) 33338(42)y z x z z ++ (15) (32)(137)x x -+ (16) (52)(3)m n +- (17) (65)(21)x x -+- (18) (85)(45)a b +-+ (19) (23)(137)m n ---(20) (35)(3)x x --+ 二、公式法 (21) 2(11)x y - (22) (29)(29)a b a b +- (23) (2823)(2823)x y x y +- (24) 2(1118)x - (25) (17)(17)x y x y +- (26) (308)(308)a b a b +- (27) 2(925)m n - (28) 2(717)m n + (29) 2(169)x + (30) (248)(248)x x +- 三、分组分解法 (31) 2(5)(4)x y -- (32) 2(27)(23)a b -- (33) (87)(253)x y x y z -+- (34) (310)(76)a b x y -+ (35) (7)(926)a c a b c -+- (36) (53)(97)m n x y +- (37) (4)(367)a b a b c +-+ (38) 2(4)(43)x y -+-(39) 2(7)(25)a b ++ (40) 2(5)(710)a b x y -+ (41) (94)(355)x z x y z -+- (42) (7)(756)a b a b c +++ (43) 2(51)(32)x y -++ (44) 2(4)(25)a b x y -- (45) (357)(47)x y z x y --+ (46) 3(10)(2)m n x y -- (47) (49)(6)x y --- (48) (29)(98)a b -- (49) (310)(81)a b ++ (50) (92)(9)a b x y +- 四、拆添项(51) (971)(9713)a b a b ++-+ (52) (32)(312)m n m n ++-+(53) 2222(694)(694)x xy y x xy y ++-+ (54) 2222(64)(64)m mn n m mn n ++-+ (55) (937)(9311)m n m n +--- (56) (271)(2713)x y x y ++-- (57) 2222(398)(398)m mn n m mn n ++-+ (58) (8517)(851)m n m n ++--(59) (381)(3813)x y x y ++-- (60) (99)(93)x y x y ++-- 五、十字相乘法 (61) (577)(76)x y x y +-+ (62) (925)(975)x y z x y z +--+ (63) (955)(572)x y x y -+-+ (64) (275)(735)x y x y -+-+ (65) (731)(356)x y x y ++-- (66) (832)(23)a b a b ++-+ (67) (524)(526)x y z x y z --+- (68) (423)(74)m n m n ++++ (69) (32)(571)m n m n +-+- (70) (23)(1)x y x y -+++ (71) (465)(76)x y z x y z +++- (72) (434)(652)x y z x y z ++-+ (73) (76)(837)m n m n ---- (74) (33)(341)x y x y +-+- (75) (2)(32)a b c a b c --+- (76) (533)(35)x y x +++ (77) (634)(51)x y x y --+- (78) (346)(874)x y x y -+++(79)(847)(24)x y x y--+-(80)(65)(565)p p q---六、双十字相乘法(81)(544)(756)x y z x y z-+--(82)(3)(74)x y z x y z+++-(83)(852)(773)x y z x y z++--(84)(745)(474)a b c a b c+-++ (85)(273)(364)x y z x y z--++ (86)(27)(735)x y x y----(87)(975)(376)x y z x y z++-+ (88)(334)(26)x y z x y z+-+-(89)(853)(327)x y x y+++-(90)(456)(723)a b c a b c++-+七、因式定理(91)(1)(1)(2)x x x+-+(92)(2)(61)(31)a a a---(93)2(2)(32)x x x+++(94)2(1)(265)x x x+++(95)2(2)(655)y y y-+-(96)(2)(31)(45)x x x+-+ (97)(3)(51)(2)x x x+++(98)(3)(35)(53)x x x+++ (99)(1)(52)(3)x x x---(100)2(3)(343)x x x-+-。
用因式分解法解一元二次方程(知识点 经典例题 综合练习)---详细答案
用因式分解法解一元二次方程【主体知识归纳】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A＝0或B ＝0．【基础知识讲解】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1． 解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6． (2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0． ∴x 1＝0，x 2＝23． 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：- 2 -原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？ 例2：用适当方法解下列方程：(1)3(1－x )2＝27；(2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0；(6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．解：(1)(1－x )2＝9，(x －1)2＝3，x －1＝±3，∴x 1＝1＋3，x 2＝1－3．(2)移项，得x 2－6x ＝19，配方，得x 2－6x ＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x －3)2＝28，x －3＝±27， ∴x 1＝3＋27，x 2＝3－27． (3)移项，得3x 2－4x －1＝0， ∵a ＝3，b ＝－4，c ＝－1，∴x ＝37232)1(34)4()4(2±=⨯-⨯⨯--±--， ∴x 1＝372+，x 2＝372-． (4)移项，得y 2－2y －15＝0，把方程左边因式分解，得(y －5)(y ＋3)＝0； ∴y －5＝0或y ＋3＝0，∴y 1＝5，y 2＝－3．(5)将方程左边因式分解，得(x －3)［5x －(x ＋1)］＝0，(x －3)(4x －1)＝0， ∴x －3＝0或4x －1＝0， ∴x 1＝3，x 2＝41． (6)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0， ［2(3x ＋1)］2－［5(x －2)］2＝0，［2(3x ＋1)＋5(x －2)］·［2(3x ＋1)－5(x －2)］＝0， (11x －8)(x ＋12)＝0，∴11x －8＝0或x ＋12＝0，∴x 1＝118，x 2＝－12． 说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简．- 3 -(2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．例3:解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2．解：(1)当a 2－b 2＝0，即｜a ｜＝｜b ｜时，方程为－4abx ＝0． 当a ＝b ＝0时，x 为任意实数．当｜a ｜＝｜b ｜≠0时，x ＝0． (2)当a 2－b 2≠0，即a ＋b ≠0且a －b ≠0时，方程为一元二次方程． 分解因式，得［(a ＋b )x ＋(a －b )］［(a －b )x －(a ＋b )］＝0， ∵a ＋b ≠0且a －b ≠0， ∴x 1＝b a a b +-，x 2＝ba ba -+． 说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a ＝b ＝0；②｜a ｜＝｜b ｜≠0；③｜a ｜≠｜b ｜．例4:已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252yxy x y xy x ++--的值． 剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可．由已知x 2－xy －2y 2＝0因式分解即可得x 与y 的比值．解：由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ．当x ＝2y 时，135y 13y 5y 5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y 5xy 2x y 5xy 2x 2222222222-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=++--． 当x ＝－y 时，21y 4y 2y 5y )y (2)y (y 5y )y (2)y (y 5xy 2x y 5xy 2x 222222222-=-=+⋅-⋅+--⋅-⋅--=++--2． 说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用．【同步达纲练习】 1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( ) A ．x 1＝－16，x 2＝8 B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8- 4 -(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( ) A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( ) A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( ) A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( ) A ．5B ．5或11C ．6D ．11(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________． (3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________． (4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________． (5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________． 3．用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0；(3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0；(2)(x－2)2＝256；(3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0；(5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9；(7)(1＋2)x2－(1－2)x＝0；(8)5x2－(52＋1)x＋10＝0；(9)2x2－8x＝7(精确到0．01)；(10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．5．解关于x的方程：(1)x2－4ax＋3a2＝1－2a；(2)x2＋5x＋k2＝2kx＋5k＋6；(3)x2－2mx－8m2＝0； (4)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0．- 5 -- 6 -6．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx yx +-的值．7．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．8．请你用三种方法解方程：x (x ＋12)＝864．9．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系式h ＝－5(t －2)(t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2． 当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． (1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗- 7 -参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2．(1)t 1＝－7，t 2＝4(2)x 1＝－21，x 2＝－2(3)y 1＝－1，y 2＝－23(4)x 1＝－m ，x 2＝－n (5)x 1＝5，x 2＝－1 3．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－21，x 2＝21；(3)x 1＝0，x 2＝7；(4)x 1＝7，x 2＝－3；(5)x 1＝－5，x 2＝3；(6)x 1＝－1，x 2＝31；(7)x 1＝53，x 2＝－21；(8)x 1＝8，x 2＝－2．4．(1)x 1＝1，x 2＝3；(2)x 1＝18，x 2＝－14；(3)x 1＝253+，x 2＝253-；(4)x 1＝3，x 2＝－1；(5)t 1＝0，t 2＝－23；(6)y 1＝0，y 2＝3；(7)x 1＝0，x 2＝22－3；(8)x 1＝55，x 2＝10；(9)x 1≈7.24，x 2＝－3.24；(10)x 1＝－1，x 2＝－7．5．(1)x 2－4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1， (x －2a )2＝(a －1)2， ∴x －2a ＝±(a －1)， ∴x 1＝3a －1，x 2＝a ＋1．(2)x 2＋(5－2k )x ＋k 2－5k －6＝0，x 2＋(5－2k )x ＋(k ＋1)(k －6)＝0，［x －(k ＋1)］［x －(k －6)］＝0， ∴x 1＝k ＋1，x 2＝(k －6)．(3)x 2－2mx ＋m 2＝9m 2，(x －m )2＝(3m )2∴x 1＝4m ，x 2＝－2m(4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0， (x ＋m )［x ＋(m ＋1)］＝0， ∴x 1＝－m ，x 2＝－m －16．(x ＋4y )(x －y )＝0，x ＝－4y 或x ＝y当x ＝－4y 时，y x y x +-＝3544=+---y y y y ； 当x ＝y 时，y x y x +-＝yy yy +-＝0． 7．(x 2＋y 2)(x 2＋y 2－1)－12＝0， (x 2＋y 2)2－(x 2＋y 2)－12＝0， (x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋3)＝0， ∴x 2＋y 2＝4或x 2＋y 2＝－3(舍去)8．x 1＝－36，x 2＝249．∵x 2＋3x ＋5＝9，∴x 2＋3x ＝4，- 8 -∴3x 2＋9x －2＝3(x 2＋3x )－2＝3×4－2＝1010．10＝－5(t －2)(t ＋1)，∴t ＝1(t ＝0舍去)11．(1)x 1＝－2，x 2＝2(2)(x 2－2)(x 2－5)＝0， (x ＋2)(x －2)(x ＋5)(x －5)＝。
(word完整版)因式分解过关练习题及答案
因式分解专题过关1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+82．将下列各式分解因式（1)x3y﹣xy (2）3a3﹣6a2b+3ab2．3．分解因式(1）a2（x﹣y）+16(y﹣x）（2）(x2+y2)2﹣4x2y24．分解因式：(1)2x2﹣x (2）16x2﹣1 (3）6xy2﹣9x2y﹣y3 (4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）25．因式分解：（1)2am2﹣8a (2）4x3+4x2y+xy26．将下列各式分解因式：（1)3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y28．对下列代数式分解因式：（1）n2(m﹣2）﹣n（2﹣m） (2）（x﹣1)（x﹣3)+19．分解因式：a2﹣4a+4﹣b210．分解因式：a2﹣b2﹣2a+111．把下列各式分解因式：（1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2)+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+112．把下列各式分解因式：(1)4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5)2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．因式分解专题过关1．将下列各式分解因式（1)3p2﹣6pq; （2)2x2+8x+8分析：(1）提取公因式3p整理即可；（2）先提取公因式2,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1)3p2﹣6pq=3p（p﹣2q），(2)2x2+8x+8，=2(x2+4x+4）,=2（x+2）2．2．将下列各式分解因式(1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2．分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可；（2）首先提取公因式3a,再利用完全平方公式进行二次分解即可．解答：解：（1)原式=xy(x2﹣1）=xy（x+1)（x﹣1)；（2）原式=3a(a2﹣2ab+b2)=3a（a﹣b)2．3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x)；（2）（x2+y2)2﹣4x2y2．分析：(1）先提取公因式(x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1)a2(x﹣y）+16（y﹣x)，=(x﹣y)（a2﹣16）,=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）;（2)(x2+y2）2﹣4x2y2,=（x2+2xy+y2）(x2﹣2xy+y2），=(x+y）2(x﹣y)2．4．分解因式：(1）2x2﹣x； (2)16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3； (4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．分析:（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解;（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y)看作整体,利用完全平方公式分解因式即可．解答：解：（1)2x2﹣x=x（2x﹣1)；（2)16x2﹣1=（4x+1）(4x﹣1）;（3)6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y)2;（4)4+12（x﹣y）+9(x﹣y）2，=［2+3（x﹣y）］2，=（3x﹣3y+2）2．5．因式分解:（1）2am2﹣8a；（2)4x3+4x2y+xy2分析：（1）先提公因式2a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提公因式x,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1)2am2﹣8a=2a（m2﹣4)=2a（m+2）（m﹣2)；(2）4x3+4x2y+xy2，=x（4x2+4xy+y2）,=x（2x+y）2．6．将下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x2+y2)2﹣4x2y2．分析：（1）先提公因式3x，再利用平方差公式继续分解因式;（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式．解答:解:（1）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x)（1﹣2x）;（2）（x2+y2）2﹣4x2y2=(x2+y2+2xy)（x2+y2﹣2xy)=（x+y）2(x﹣y）2．7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3；（2）(x+2y）2﹣y2．分析：（1）先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方式继续分解因式；（2）符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式进行因式分解即可．解答：解：（1）x2y﹣2xy2+y3=y（x2﹣2xy+y2)=y(x﹣y)2；（2）（x+2y）2﹣y2=（x+2y+y)（x+2y﹣y）=（x+3y）（x+y）．8．对下列代数式分解因式：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m); （2）(x﹣1）（x﹣3）+1．分析:(1）提取公因式n（m﹣2）即可；（2）根据多项式的乘法把（x﹣1）(x﹣3）展开，再利用完全平方公式进行因式分解．解答:解：（1)n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）=n2(m﹣2）+n（m﹣2）=n（m﹣2)（n+1）；（2）(x﹣1）（x﹣3）+1=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2．分析:本题有四项，应该考虑运用分组分解法．观察后可以发现，本题中有a的二次项a2,a的一次项﹣4a，常数项4，所以要考虑三一分组,先运用完全平方公式，再进一步运用平方差公式进行分解．解答:解：a2﹣4a+4﹣b2=(a2﹣4a+4）﹣b2=（a﹣2）2﹣b2=(a﹣2+b）(a﹣2﹣b）．分析:当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有a的二次项，a的一次项,有常数项．所以要考虑a2﹣2a+1为一组．解答：解:a2﹣b2﹣2a+1=(a2﹣2a+1）﹣b2=(a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．11．把下列各式分解因式：（1)x4﹣7x2+1; （2）x4+x2+2ax+1﹣a2(3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y)2（4)x4+2x3+3x2+2x+1分析：(1）首先把﹣7x2变为+2x2﹣9x2，然后多项式变为x4﹣2x2+1﹣9x2,接着利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解；（2）首先把多项式变为x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2，然后利用公式法分解因式即可解；(3）首先把﹣2x2（1﹣y2)变为﹣2x2(1﹣y)（1﹣y），然后利用完全平方公式分解因式即可求解；（4）首先把多项式变为x4+x3+x2++x3+x2+x+x2+x+1，然后三个一组提取公因式,接着提取公因式即可求解．解答：解:（1）x4﹣7x2+1=x4+2x2+1﹣9x2=（x2+1）2﹣(3x）2=(x2+3x+1）（x2﹣3x+1）；(2）x4+x2+2ax+1﹣a=x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2=(x2+1）﹣(x﹣a）2=(x2+1+x﹣a)（x2+1﹣x+a）;（3）(1+y）2﹣2x2(1﹣y2)+x4(1﹣y)2=（1+y）2﹣2x2（1﹣y）（1+y）+x4（1﹣y）2=（1+y)2﹣2x2（1﹣y)(1+y)+[x2（1﹣y）］2=［（1+y）﹣x2（1﹣y）]2=（1+y﹣x2+x2y）2（4)x4+2x3+3x2+2x+1=x4+x3+x2++x3+x2+x+x2+x+1=x2(x2+x+1）+x（x2+x+1）+x2+x+1=(x2+x+1)2．12．把下列各式分解因式：（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9;（。
因式分解题型分类练习
专题一、因式分解一、知识点1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解；（也叫做把这个多项式分解因式）；2、公因式：多项式的各项都有的一个公共因式；3、因式分解的方法：提公因式法：关键在于找出最大公因式因式分解：平方差公式：a²-b²=(a +b)(a -b)公式法完全平方公式：(a +b)²=a²+2ab +b²(a -b)²=a²+2ab +b²二、考点点拨与训练考点1：判定是否是因式分解典例：（2021·山东烟台市·八年级期末）下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（）A ．211m m m m ⎛⎫+=+⎪⎝⎭B ．()22211x x x ++=-C ．()()22m n m n m n -=+-D ．()24343x x x x -+=-+巩固练习1．（2021·沙坪坝区·重庆八中八年级期末）下列各式，从左到右变形是因式分解的是（）A ．a （a+2b ）＝a 2+2abB ．x ﹣1＝x （1﹣1x）C ．x 2+5x+4＝x （x+5）+4D ．4﹣m 2＝（2+m ）（2﹣m ）2．（2021·北京九年级专题练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A ．x （x ﹣2）＝x 2﹣2xB ．（x +1）2＝x 2+2x +1C ．x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2）D ．x +2＝x （1+2x）3．（2020·浙江七年级期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A ．22()()x y x y x y -=-+B ．3(3)xy x x y +=+C ．221(1)(1)2x x x x x+-=+-+D ．22122x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭考点2：求因式中的字母系数典例：（2021·江西赣州市·八年级期末）仔细阅读下面的例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是2x +，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x n +，得25(2)()x x m x x n ++=++，则225(2)2x x m x n x n ++=+++，25n ∴+=，2m n =，解得3n =，6m =，∴另一个因式为3x +，m 的值为6．依照以上方法解答下列问题：（1）若二次三项式254x x -+可分解为(1)()x x a -+，则a =________；（2）若二次三项式226x bx +-可分解为(23)(2)x x +-，则b =________；（3）已知二次三项式229x x k +-有一个因式是21x -，求另一个因式以及k 的值．巩固练习1．把多项式2x ax b ++分解因式，得(2)(3)x x +-，则a ，b 的值分别是（）A ．1,6a b ==B ．1,6a b =-=C ．1,6a b =-=-D ．1,6a b ==-2．因式分解2x mx n ++时，甲看错了m 的值，分解的结果是(6)(2)x x -+，乙看错了n 的值，分解的结果为(8)(4)x x +-，那么2x mx n ++分解因式正确的结果为（）A ．(3)(4)x x +-B ．(4)(3)x x +-C ．(6)(2)x x +-D ．(2)(6)x x +-3．多项式2x px q +-(0,0p pq >>)分解因式的结果足()()++x m x n ，则下列判断正确的是()A ．0mn >B ．0mn <C ．0m >且0n >D ．0m <且0n <4．如果多项式x 2﹣mx ＋6分解因式的结果是（x ﹣3）（x ＋n ），那么m ，n 的值分别是（）A ．m ＝﹣2，n ＝5B ．m ＝2，n ＝5C ．m ＝5，n ＝﹣2D ．m ＝﹣5，n ＝2．典例：63．（2020·山东中区·初二期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x （x+1）+x （x+1）2=（1+x ）[1+x+x （x+1）]=（1+x ）2（1+x ）=（1+x ）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+x （x+1）2019，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+x （x+1）n （n 为正整数）结果是．巩固练习1．把多项式m 2（a ﹣2）﹣m （a ﹣2）因式分解，结果正确的是（）A ．（a ﹣2）（m 2﹣m ）B ．m （a ﹣2）（m +1）C ．m （a ﹣2）（m ﹣1）D ．m （2﹣a ）（m +1）2．一个长、宽分别为a 、b 的长方形的周长为10，面积为6，则22a b ab +的值为________．3．若2,1xy x y =-=，则代数式22x y xy -+的值为_________．4．因式分解：63-9a 2=_________.考点4：用平方差公式因式分解典例：（2020·思南县张家寨初级中学期末）因式分解：(1)33a b ab -；(2)44-b a ．巩固练习1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A ．a 2+4b 2B ．﹣x 2+16y 2C ．﹣a 2﹣4b 2D ．a ﹣4b 22．（______）()224x x -=-．3．如果490m n +=，2310m n -=，那么()()2223m n m n +--=______.4．把()22 23m m -+分解因式，结果是_________．5．若x a y b =⎧⎨=⎩是方程组235237x y x y +=-⎧⎨-=⎩的解，则代数式2294b a -的值是_______．典例：（2020·沈阳市第一二七中学期中）如果二次三项式x 2﹣16x+m 2是一个完全平方式，那么m 的值是（）A ．±8B ．4C ．±4D ．8巩固练习1．（2020·湖南期末）下列因式分解错误的是（）A ．29(3)(3)x x x -=+-B ．24(4)x x x x +=+C ．2244(2)x x x ++=+D ．2239(3)x x x -+=-2．（2020·重庆月考）下列多项式中，不能进行因式分解的是（）A ．﹣a 2+b 2B ．﹣a 2﹣b 2C ．a 3﹣3a 2+2aD ．a 2﹣2ab+b 2﹣13．已知x 2＋kx ＋25可以用完全平方公式进行因式分解，那么k 的值是（）A ．5B ．±5C ．10D ．±104．下列各式能分解因式的是（）．A ．21x --B ．214x x -+C ．222a ab b +-D ．2a b-5．（2020·吉林市舒兰市教育局初三开学考试）分解因式(x －1)2－2(x －1)＋1的结果是()A ．(x －1)(x －2)B ．x 2C ．(x ＋1)2D ．(x －2)26．分解因式：（a+b ）2﹣4ab=．7．因式分解：(1)()()323x x x ---；(2)3231827a a a-+-8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）把()()2222221t tt t ++++分解因式，并求3t =-时的值．考点6：综合应用提公因式法和公式法进行因式分解典例：（2020·福建宁化·期末）已知有理数x ，y 满足12x y +=，3xy =-．（1）求(1)(1)x y ++的值；（2）求22xy +的值．巩固练习1．已知223,13x y x y -=+=，求（1）xy 的值；（2）32232x y x y xy -+的值．2.因式分解：(1)3m 2n-12mn+12n ；(2)a 2(x-y)+9(y-x)3.已知a+b=3，ab =2，求代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3的值．4.先因式分解，再求值：12a 3b +a 2b 2+12ab 3，其中a ＝2，b ＝3．考点7：利用因式分解进行简便计算典例：计算：①2032﹣203×206+1032②20192﹣2018×2020．巩固练习1．（2020·广西兴宾·初一期中）计算：2222211111(1(1(1)...(1)(156799100-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-的结果是（）A ．101200B ．101125C ．101100D ．11002．计算：1252-50×125+252=()A ．100B ．150C ．10000D ．225003．计算：752-252=（）A ．50B ．500C ．5000D ．7100考点8：应用因式分解解决问题典例：（2019·南阳市第三中学月考）阅读材料：若2222816=0m mn n n -+-+，求m 、n 的值．解：∵2222816=0m mn n n -+-+，∴()()22228160m mn nnn -++-+=∴()()2240m n n -+-=，而()20m n -≥，()240n -≥，∴()20m n -=且()240n -=，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)22440a b a +-+=，则a=______；b=_________．(2)已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足222222a b c ab bc ++--=0，关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为________________．(3)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且2226100a b a b +--+=，求△ABC 的周长．巩固练习1．设,,a b c 是三角形的三边长，且满足222a b c ab bc ca ++=++，关于此三角形的形状有以下判断：①是直角三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是钝角三角形，其中正确的说法的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若a 、b 、c 为一个三角形的三条边，则()22a c b --的值（）A ．一定为正数B ．一定为负数C ．可能为0D ．可能为正数，也可能为负数3．已知d ＝x 4﹣2x 3+x 2﹣10x ﹣4，则当x 2﹣2x ﹣4＝0时，d 的值为（）A ．4B ．8C ．12D ．16。
因式分解全章分类练习经典不要错过
一、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
因式分解和整式乘法互为逆运算练习：1、下列从左到右是因式分解的是（ ）A. x(a-b)=ax-bxB. x 2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y 2C. x 2-1=(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若2249a kab b ++可以因式分解为2(23)a b -，则k 的值为______3、已知a 为正整数，试判断2a a +是奇数还是偶数？4、已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式(5)x +，且m+n=17，试求m ，n 的值二、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法： 平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++三、提取公因式法分解因式：提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数 2、字母是相同字母3、字母的次数-相同字母的最低次数习题：1、将多项式3222012a b a bc -分解因式，应提取的公因式是（ ）A 、abB 、24a bC 、4abD 、24a bc2、已知(1931)(1317)(1317)(1123)x x x x -----可因式分解为()(8)ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c 等于（ ） A 、-12 B 、-32 C 、38 D 、723、分解因式（1）6()4()a a b b a b +-+ （2）3()6()a x y b y x --- （3）12n n n x x x ---+（4）20112010(3)(3)-+- （5）ad bd d -+； （6）4325286x y z x y -（10）（a －3）2－（2a －6） （11）－20a －15ax; （12）（m ＋n ）（p －q ）－（m ＋n ）（q ＋p ）4、先分解因式，再计算求值（1）22(21)(32)(21)(32)(12)(32)x x x x x x x -+--+--+ 其中x=1.5（2）22(2)(1)(1)(2)a a a a a -++--- 其中a=185、已知多项式42201220112012x x x +++有一个因式为21x ax ++，另一个因式为22012x bx ++，求a+b 的值6、若210ab +=，用因式分解法求253()ab a b ab b ---的值【巩固】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++四、用乘法公式分解因式：平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反练习：1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、22x 4y +B 、22x 2y 1-+C 、224x y -+D 、224x y -- 2、分解下列因式（1）2312x - （2）2(2)(4)4x x x +++- （3）22()()x y x y +--（4）32x xy - （5）2()1a b -- （6）22229()30()25()a b a b a b ---++（7）2522-b a ； （8）229161b a +-； （9）22)()(4b a b a +--（10）22009201120101⨯- （11）22222100999897...21-+-++-3、若n 为正整数，则22(21)(21)n n +--一定能被8整除4、（创新题）计算：)10011)(9911()411)(311)(211(22222--⋅⋅⋅---。
《因式分解》知识点归类及例题分析
《因式分解》知识点归类及例题分析《《因式分解》知识点归类及例题分析》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一.知识概要：二.知识点精讲1.因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的的形式.分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.2.因式分解的方法：⑴，⑵，⑶，3.提公因式法：___________________.4.公式法:⑴⑵⑶.5.十字相乘法：.6.因式分解的一般步骤:一“提”(公因式)，二“用”(公式)，三“十字”(相乘).7.易错知识辨析(1)注意因式分解与整式乘法的区别;(2)完全平方公式、平方差公式中的字母，不仅可以表示一个数，也可以表示一个单项式或一个多项式.三.例题分析与跟踪训练知识点1因式分解例1把多项式分解因式，下列结果正确的是 ()A.B.C.D.分析：利用整式乘法与因式分解是互逆运算的方法进行判定，也可以提公因式a后，用十字相乘法。
答案：A方法点拨：对于复杂多项式的因式分解，可以利用因式分解是整式乘法互逆运算的原理来判定多项式的因式分解是否正确.跟踪训练1：把分解因式，结果正确的是()A.B.C.D.知识点2提公因式法进行因式分解例2因式分解：_______________.分析：多项式中有公因式的，可以通过提取公因式的方法，进行因式分解。
答案：方法点拨：认真观察多项式，正确寻找到各项的公因式是解答此类问题的关键.跟踪训练2：分解因式：.知识点3用公式法进行因式分解例3在实数范围内因式分解= _____________.分析：观察多项式，发现其有平方差公式特点，所以可以使用平方差公式进行因式分解。
需要注意要将因式分解在实数范围内进行到底，且不可半途而废.答案：方法点拨：掌握平方差公式和完全平方公式特点，是解答此类问题的关键.跟踪训练3：下列因式分解错误的是()A.B.C.D.课外练习巩固一、分解因式：1.=2..3..4.(x+3)2-(x+3) ___________.5. .6.，.7.=__________.8..9.二、在三个整式中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。
因式分解知识点和题型打印稿
因式分解1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：)(c b a ac ab +=+（2）运用公式法：))((22b a b a b a -+=-222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-（3）分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++（4）十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
把下列各式分解因式：1、nx ny - 2、2294n m -3、()()m m n n n m -+- 4、3222a a b ab -+5、()222416x x +- 6、22)(16)(9n m n m --+；（一）分组后能直接提公因式1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy(二）分组后能直接运用公式3、y y x x 3922---4、yz z y x 2222---（一）二次项系数为1的二次三项式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a代数式求值1、 已知312=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值2、 若x 、y 互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x 、y 的值3、 已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值。
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因式分解练习题 ( 提取公因式 ) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。
1、 ay ax2、3mx 6my3、4a210ab4、15a2 5a5、x2y xy 26、12xyz 9x2 y 27、 m x y n x y8、 x m n y m n 29、abc(m n)3 ab(m n) 10、12x(a b)2 9m(b a)3 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、2 R 2 r ____( R r )2、2 R 2 r 2 (______)3、1gt121gt22___(t12 t2 2 ) 4、15a2 25ab 2 5a(_______) 2 2专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。
1、x y __( x y)2、b a __(a b)3、z y __( y z)4、 y2___(x y)2 x5、( y x) 3 __( x y)36、(x y)4 __( y x) 47、( a b) 2n ___(b a) 2n (n为自然数 )8、( a b) 2n 1 ___(b a)2 n 1 (n为自然数 )9、 1 x (2 y) ___(1 x)( y 2) 10、 1 x (2 y) ___(x 1)( y 2) 11、(a b)2 (b a) ___( a b)3 12、(a b)2 (b a)4 ___( a b)6专项训练四、把下列各式分解因式。
1、 nx ny2、a2ab3、4x36x24、8m2n2mn5、25x2y315x2 y26、12 xyz9x2 y27、3a2y3ay 6 y8、a2b5ab 9b9、x2xy xz10、24 x2 y 12xy228 y3 11、3ma36ma212ma12、56 x3yz14x2 y2 z21xy2 z213、15x3y25x2 y 20 x2 y314、16x432 x356x2专项训练五：把下列各式分解因式。
1、x(a b) y( a b)2、5x( x y) 2 y( x y)3、6q( p q) 4 p( p q)4、(m n)( P q) ( m n)( p q)5、a( a b) (a b)26、x( x y) 2y(x y)7、(2 a b)(2 a 3b) 3a(2a b)8、x( x y)( x y) x( x y) 29、p( x y) q( y x)10、m(a3) 2(3 a)11、(a b)(a b) (b a)12、a(x a) b( a x) c( x a)13、3( x1)3 y (1 x)3 z14、ab(a b) 2a(b a)215、mx(a b) nx(b a)16、( a2b)(2 a 3b) 5a(2 b a)(3b 2a) 17、(3a b)(3a b) (a b)(b 3a)18、a(x y)2b( y x)19、x(x y)22( y x)3( y x)220、(x a)3 (x b) (a x) 2 (b x)21、( y x) 2x(x y)3( y x) 422、3(2a3b) 2n 1(3b 2a)2 n ( a b)(n为自然数 )专项训练六、利用因式分解计算。
1、 7.6 199.8 4.3 199.8 1.9 199.82、 2.186 1.237 1.237 1.1863、( 3)21( 3)20 6 3194、 1984 20032003 2003 19841984专项训练七：利用因式分解证明下列各题。
1、求证：当 n 为整数时，n2n 必能被2整除。
2、证明：一个三位数的百位上数字与个位上数字交换位置，则所得的三位数与原数之差能被 99 整除。
3、证明：32002 4 320011032000能被 7整除。
专项训练八：利用因式分解解答列各题。
1、已知a+b=13，ab=40，求2a2b+2ab2的值。
2， ab 1，求 a3b+2a2b2 +ab3的值。
2、已知a b3 2因式分解习题 ( 二 )专题训练一：利用平方差公式分解因式题型 (一 )：把下列各式分解因式1、x242、9y23、1a24、4x2y25、125b26、x2y2z27、4m2 0.01b2 8、a21x2 9、36 m2n29 92 22 16b2 12、25 p2 49q210、4x 9 y 11、0.81a13、a2x4b2 y214、x4 115、16a4 b4 16、1a4 16b4 m4 81题型 (二 )：把下列各式分解因式1、( x p)2(x q)22、(3m2n)2(m n)23、16(a b) 29(a b)24、9( x y) 24( x y) 25、( a b c) 2( a b c)26、4a2(b c) 2题型 (三 )：把下列各式分解因式1、x5 x32、4ax2 ay 23、2ab3 2ab4、x3 16x5、3ax2 3ay 46、x2(2 x 5) 4(5 2x)7、x34xy 28、32x3y42x39、ma416mb410、8a( a 1)22a311、ax 416 a12、16 mx( a b)29mx(a b)2题型 (四 )：利用因式分解解答下列各题1、证明：两个连续奇数的平方差是8 的倍数。
2、计算⑴ 75822582⑵ 42921712⑶ 3.529 2.52 4⑷ (1 12 )(112 )(112 ) (112 )(1 1 2) 2 3 4 9 10专题训练二：利用完全平方公式分解因式题型 (一 )：把下列各式分解因式1、x22x 12、4a24a 13、1 6 y9 y22m2 24、1m5、x 2x 16、a8a 167、14t 4t 28、m214m 499、b222b12110、y2 y 1 11、25m2 80m 64 12、4a2 36 a 81413、4 p2 20 pq 25q2 14、 x2 xy y2 15、4x2 y2 4xy4题型 (二 )：把下列各式分解因式1、( x y)26( x y) 92、a22a(b c) (b c)23、 4 12( x y) 9( x y)24、 (m n)2 4m( m n) 4m 25、 ( x y) 4( x y 1)2 26、 (a 1)4a(a 1) 4a题型 (三 )：把下列各式分解因式1、 2xy x 2y 2 2、 4xy 2 4x 2 y y 3 3、 a 2a 2 a 3题型 (四 )：把下列各式分解因式 1、 1 x22xy 2 y 22、 x 4 25x 2 y 2 10 x 3 y23、 ax 2 2a 2 x a 34、 (x 2 y 2 ) 2 4x 2 y 25、 ( a 2 ab )2 (3ab 4b 2 )26、 ( x y)4 18( x y) 2 817、 ( a 2 1)2 4a( a 2 1) 4a 28、 a 4 2a 2 (b c) 2 (b c) 49、 x 4 8x 2 y 2 16 y 410、 (a b)2 8(a 2 b 2 ) 16(ab) 2题型 (五 )：利用因式分解解答下列各题 1、已知： x 12， y8, 求代数式 1x 2 xy1 y 2的值。
222、已知 a b2， ab 3 ，求代数式 a 3 b+ab 3 -2a 2b 2的值。
23、已知： a 、 b 、 c 为△ ABC 的三边，且 a 2 b 2 c 2 ab bc ac 0，判断三角形的形状，并说明理由。
因式分解习题 ( 三)十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为 1 的二次三项式x2(a b)x ab (x a)( x b)方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax 2bx c a1a2 x2(a1c2a2c1) x c1c2(a1 x c1)( a2 x c2 )它的特征是“ 拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．二、典型例题例、分解因式：x2 5x 6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于 6=2× 3=(-2) ×(-3)=1 × 6=(-1) × (-6) ，从中可以发现只有2×3 的分解适合，即 2+3=5 。
1 2解： x 2 5x 6 = x 2 ( 2 3) x 2 3 1 3= (x 2)( x 3) 1× 2+1× 3=5此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的和要等于一次项的系数。
例 1、分解因式：x2 7x 6解：原式 = x2 [( 1) ( 6)] x ( 1)( 6) 1 -1= ( x 1)( x 6) 1 -6（-1） +（ -6） = -7练习 1、分解因式(1) x2 14 x 24 (2) a2 15a 36 (3) x2 4x 5练习 2、分解因式(1) x2 x 2 (2) y2 2 y 15 (3) x2 10x 24（二）二次项系数不为 1 的二次三项式——ax 2 bx c条件：（1）a a1a2 a1 c1（ 2）c c1c2 a2 c2（ 3）b a1c2 a2 c1 b a1c2 a2c1分解结果： ax2 bx c = (a1 x c1 )( a2 x c2 )例 2、分解因式：3x211x 10分析： 1 -23-5（-6） +（-5） = -11解： 3x211x 10 = (x 2)(3x5)练习 3、分解因式：（ 1）5x27x 6（2）3x27 x 2（ 3）10 x217x 3（4） 6 y 211y 10（三）多字母的二次多项式例 3、分解因式：a28ab 128b2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
18b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a 2 8ab 128b2 = a2 [8b ( 16b)] a 8b ( 16b)= ( a 8b)( a 16b)练习 4、分解因式(1) x2 3xy 2y 2 (2) m2 6mn 8n 2 (3) a2 ab 6b2例 4、2x2 7 xy 6 y 2 例 10、x2y2 3xy 21 -2y 把 xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3解：原式 = (x 2 y)(2x 3y) 解：原式 = (xy 1)( xy 2)练习 5、分解因式：（ 1）15 x2 7 xy 4 y 2 （ 2）a2x2 6ax 8综合练习10、（ 1）8x6 7x3 1 （2）12x2 11xy 15y 2（ 3）( x y) 23( x y) 10（4）( a b) 24a 4b 3（ 5）x2y25x 2 y 6x2（6）m24mn 4n23m 6n 2（ 7）x24xy 4 y 22x 4 y 3（8）5( a b)223(a2 b 2 ) 10( a b) 2（ 9）4x24xy 6x 3y y 210（10）12(x y)211( x2y 2 ) 2( x y) 2思考：分解因式：abcx 2(a 2 b 2c2 )x abc例 5分解因式：( x22x 3)( x22x 24)90 ．例 6、已知x46x2x 12 有一个因式是x2ax 4，求a值和这个多项式的其他因式．课后练习一、选择题1．如果x2 px q ( x a)( x b) ，那么p等于( )A ． ab B． a＋ b C．－ ab D ．－ (a＋ b)2．如果x2 (a b) x 5b x 2 x 30 ，则b为( )A ． 5 B．－ 6 C．－ 5 D ． 63．多项式x2 3x a可分解为 (x－ 5)(x－ b)，则 a， b 的值分别为( ) A．10和－2 B．－10和 2 C．10 和 2 D．－10 和－ 24．不能用十字相乘法分解的是( )A ．x2 x 2 B．3x2 10x2 3x C． 4x 2 x 2 D．5x2 6xy 8 y2 5．分解结果等于 (x＋ y－ 4)(2x＋ 2y－ 5)的多项式是( )A ．2( x y) 2 13(x y) 20 B．(2x 2 y) 2 13(x y) 20C．2( x y) 2 13( x y) 20 D．2( x y) 2 9( x y) 206．将下述多项式分解后，有相同因式x－ 1 的多项式有( )① x2 7x 6 ；② 3x2 2x 1 ；③ x 2 5x 6 ；④ 4x2 5x 9 ；⑤15x2 23 x 8 ；⑥ x4 11x2 12A．2个B．3 个C．4 个D．5 个二、填空题7．x23x 10 8．m25m 6 __________ ．( m＋ a)(m＋ b)． a＝ __________ ，b＝ __________ ．9．2x2 5x 3 (x－3)(__________)．10．x2 ____ 2y 2 (x－ y)(__________) ．11．a2 n a (_____) (____ ____)2．m12．当 k＝ ______时，多项式3x27x k 有一个因式为(__________)．13．若 x－ y＝ 6，xy 17，则代数式x3y 2x2y2xy3的值为__________．36三、解答题14．把下列各式分解因式：(1) x47 x2 6 ；(2) x45x236 ；(3) 4x465 x2 y216 y4；(4) a67a3b38b6；(5) 6a45a34a 2；(6) 4a637 a4b29a2b4．15．把下列各式分解因式：(1) ( x2 3) 2 4x2；(2) x2( x 2)2 9 ；(3) (3x22x 1)2( 2x23x 3)2；(4) (x2x) 217 (x2x)60 ；(5) (x22x)27(x22x) 8 ；(6) (2a b) 214(2a b)48 ．16．已知 x＋ y＝ 2， xy＝ a＋ 4，x3y326 ，求a的值．十字相乘法分解因式题型 (一)：把下列各式分解因式⑴ x25x 6⑵x25x 6⑶ x25x 6⑷ x25x 6⑸ a27a 10⑹ b28b 20⑺ a2b22ab 15⑻ a4b23a2b 18题型 (二)：把下列各式分解因式⑴ a24ab 3b2⑵ x23xy10 y2⑶ a27ab 10b2⑷ x28xy20 y2⑸ x22xy 15 y2⑹ x25xy 6y2⑺ x24xy 21 y2⑻ x27xy12 y2题型 (三)：把下列各式分解因式⑴ ( x y)24( x y) 12⑵ ( x y)25( x y) 6⑶⑸⑺( x y)28( x y) 20⑷ (x y)23( x y) 28 ( x y)29( x y) 14⑹ ( x y)25( x y) 4 ( x y)26( x y) 16⑻ ( x y)27( x y) 30题型 (四)：把下列各式分解因式⑴ ( x23x) 22( x23x) 8⑵ (x22x)( x22x 2) 3 ⑶ 3x318x2 y 48xy 2⑷ (x25x)22( x25x) 24 ⑸ ( x22x)( x22x 7) 8⑹ x45x2 4⑺x2 y 3xy 210 y3⑻ a2b27ab 310b4因式分解习题 ( 四)分组分解因式练习：把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法.(1)a2－ ab+3b－ 3a；(2)x 2－ 6xy+9y 2－ 1；解(3)am － an－m2+n 2；(4)2ab－ a2－ b2 +c2.第(1) 题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.第(2) 题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式继续分解因式 .第(3) 题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式 .第(4) 题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运用提公因式或分式法进行因式分解 .在添括号时，要注意符号的变化 .这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.二、新课例 1 把 am+bm+an－ cm+bn－ cn 分解因式 .例 2 把 a4b+2a3b2－ a2b－ 2ab2分解因式 .例 3 把 45m2－ 20ax2+20axy －5ay2分解因式 .三、课堂练习把下列各式分解因式：(1)a2+2ab+b2－ac－bc；(2)a2－ 2ab+b2－m2－2mn－ n2；(3)4a2+4a－ 4a2 b+b+1；(4)ax 2+16ay2－ a－ 8axy；五、作业1.把下列各式分解因式：(1)x 3y－xy 3；(2) 4x 2－ y2+2x－ y；(3) a 4b－ ab4；(4) x 4y+2x 3y2－ x2y-2xy 2；(5) a 4+a3+a+1；(6)x 3－8y3－ x2－ 2xy － 4y2；(7)x 2+x － (y2 +y) ；(8)ab(x2－y2)+xy(a 2－b2).（ 9）x26x 7（10）x22xy y 22x 2 y 3。