第十一讲 分数、百分数应用题初步

第十一讲分数、百分数应用题初步教学说明：在课本上此章节应为小学六年级上半学期内容，也是整个小学的重难点，但各各学校的进度不一，有部分学校已经讲解过，在我们奥数的学习进度中也必须提前有所了解，所以教师在讲解时侧重于基础知识的理解应用提高，同时兼顾本班孩子的进度，进行适当补充，为我们以后的工程问题、经济浓度等问题打好基础！我们将“列方程解应用题”放在此讲之前，意在让学生多一种解决分数、百分数应用题的方法，增加他们的信心，但主体仍以算术方法为主，碰到个别例题教师可讲述方程思路.古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年．再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一．再过了五年，他幸福地得到了一个儿子．可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半．儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯”．你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？怎么样？你能根据大数学家丢番图的叙述找到答案么？呵呵！学习了今天的知识，你就可以在课后解决这个“数学趣题”了！好了，让我们开始今天的学习吧！内容概述在解有关分数的应用题时，首先要弄清以下几个基本问题：（1）如何求一个数的几分之几（或百分之几）？求一个数的几分之几，只需要将这个数乘以几分之几就得到．例如：5的24%是多少？解答：5×24%=1.2 .（2）如何求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）？求一个数是另一个数的几分之几，只需要将前一个数除以后一个数就得到．例如：23是34的几分之几？解答：2324834339÷=⨯=.（3）已知一个数的几分之几（或百分之几），如何求这个数？已知一个数的几分之几，要求这个数，只需要将这个几分之几的数除以几分之几．例如：一个数的23等于18，那么这个数等于多少？解答：2318182732÷=⨯=.分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，例如a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”．在几个量中，弄清哪一个是单位“1”很重要，否则容易出错误．而百分数应用题中所涉及的百分数，只是分母是100的分数，因而计算的方法和分数应用题是一样的，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系类型Ⅰ：单位“1”不变【例1】（奥数网习题库）（难度系数：★）六年级男生有50人，女生有40人，（1）女生人数是男生人数的几分之几？（2）男生人数比女生人数多百分之几？（3）女生人数比男生人数少百分之几？（4）女生比男生少的人数是全班人数的百分之几？分析：此题四个问题都是求一个数是另一个数的百分之几，解答的关键是找准单位“1”，要注意帮助学生找一些典型字眼如：“…的”、“…占…”、“…是…”、“…比…”等.（1）男生人数为单位“1”，40÷50=4/5；（2）女生人数为单位“1”，（50-40）÷40=25%；（3）男生人数为单位“1”，（50-40）÷50=20%；（4）全班人数为单位“1”，（50-40）÷（50+40）≈11.1% .【巩固】一个机关精简机构后有工作人员120人，比原来工作人员少40人，精简了百分之几？分析：“精简了百分之几”是在说“现在比原来少的人数是原来工作人员的百分之几”单位“1”就是“原来工作人数”，40÷（120+40）=25%.【例2】（1）（首师附入学测试题）（难度系数：★★）小强看一本书，每天看15页，4天后加快进度，又看了全书的25，还剩下30页，这本故事书有多少页？（2）（数学趣题）（难度系数：★★）古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年．再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一．再过了五年，他幸福地得到了一个儿子．可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半．儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯”．你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？分析：（1）教师可先讲解下题：小强看一本故事书，每天看20页，5天后还剩下全书的15没看，这本故事书有多少页？分析：1(205)(1)1255⨯÷-=（页）. 回到原题：4天看了15×4=60（页），而60+30=90页占全书的：1-25=35，这本故事书有：90÷35=150（页）. （2）活的岁数：1111(54)(1)8461272+÷----=(岁) ，结婚年龄：1184()21612⨯+=（岁）.【例3】 （奥数网习题库）（难度系数：★★★）有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5％，总人数增加16人，那么现有男同学多少人？分析：男生增加25人，总人数只增加16人，说明女生减少9人，而女生减小5％，故9人对应的为5％，女生原人数为9÷5％=180人．【例4】 （迎春杯刊赛）（难度系数：★★★）甲、乙、丙三人一起买了八个面包平分着吃，甲拿出五个面包的钱，乙付了三个面包的钱，丙没带钱，等吃完后一算，丙应该拿出四元钱，问：甲应收回多少钱?(以角为单位)分析：每人应付38个面包的钱，丙拿出的40角就是38个面包的钱，所以一个面包的价格应为：340158÷=（角），甲多付的钱为：8(5)15353-⨯=（角），所以甲应收回35角.【例5】 （奥数网习题库）（难度系数：★★★）好味多西饼屋推出一款新蛋糕，第一天卖出了全部的20%，第二天卖出了剩下的12，第二天比第一天多卖出40个，那么好味多西饼屋这次共推出新蛋糕多少个？ 分析：好味多西饼屋推出新蛋糕个数看作“1”，140(120%)20%2002⎡⎤÷⨯--=⎢⎥⎣⎦（个）.【巩固】（迎春杯决赛）迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的56％，如果再生产5040台，总产量就超过计划产量的16％．那么，原计划生产插秧机台．分析：5400÷(1+16％一56％)=9000(台).【例6】 （小数报数学竞赛）（难度系数：★★★）某运输队运一批大米．第一天运走总数的15多60袋，第二天运走总数的14少60袋．还剩下220袋没有运走。

这批大米原来一共有多少袋？分析：可画图帮助学生理解，(220-60+60)÷(1-15-14)=400（袋）．此题也可使用倒推法解决.【巩固】小强看一本故事书，第一天看了全书的18还多21页，第二天看了全书的16少6页，还剩172页，这本故事书一共有多少页？分析：如右图，11 (172621)(1)264().86-+÷--=页【例7】（奥数网习题库）（难度系数：★★★）奥数网派出60名选手参加2008年“华罗庚金杯小学数学邀请赛”，其中女选手占14．正式比赛时有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的211．正式参赛的女选手有多少名？分析：因为女选手人数有变化，男选手人数未变，所以抓住男选手人数不变求解．把总人数视为“1”，男选手人数是60×(1-14)=45(人)，男选手人数占正式参赛选手总数的1-211，所以正式参赛选手总数是：45÷(1-211)=55(人)，正式参赛的女选手人数是55×211=10(人)．【例8】（小数报数学竞赛初赛）（难度系数：★★★）甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是86元.在人民市场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的49，乙买一件衬衫花去了人民币16元．这样两人身上所剩的钱正好一样多．问甲、乙两人原先各带了多少钱?分析：把甲所带的钱视为单位“1”，那么甲原来带了45(8616)(2)4599-÷+⨯=（元），乙原来带了41元．类型Ⅱ：单位“1”变化【例9】（小数报数学竞赛二试）（难度系数：★）专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的1 1 4倍．鸭比鸡少几分之几？分析：把鸭看成1，那么鸡就是114，鸭比鸡少：（114-1）÷114=15.（此时的单位“1”是鸡的只数）【巩固】某校男生比女生多37，女生比男生少几分之几？分析：男生比女生多37，则男生有1+37=107，女生比男生少37÷107=310.【例10】（1）（十一中学入学考试题）（难度系数：★★）某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比元月份增产了还是减产了？（2）一件商品先涨价15％，然后再降价15％，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？分析：（1）一定会有同学认为三月份比元月份不增不减，这对吗？工厂二月份比元月份增产10％，我们就要将元月份产量看作1，将元月份产量看作1，则二月份产量为：111(110%)10⨯+=，三月比二月减产10％，则三月份产量为：1199(110%)110100⨯-=p，所以三月份比元月份减产了 .（2）1×（1+15%）×（1-15%）=0.9775＜1，所以现在的价格比原价降低了.【例11】（迎春杯决赛）（难度系数：★★）—路铁水凝成铁块，其体积缩小了134，那么这个铁块又熔化成铁水（不计损耗），其中体积增加了几分之几?分析：设铁水的体积为1，则铁块为1-134=3334．现在变回来，那么铁块的体积就要变为单位1，则铁水的体积就为l÷3334=3433，故体积增加了：341(1)13333-÷=.【例12】（07年希望杯培训试题）（难度系数：★★★）某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的14，后来又有20名同学参加大扫除，实际参加的人数是未参加人数的13，这个学校有多少人？分析：11204003141⎛⎫÷-=⎪++⎝⎭（人）.【巩固】（迎春杯决赛）（难度系数：★★★）小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的38，第二次运了50块，这时已运来的恰好是没运来的57.问还有多少块蜂窝煤没有运来？分析：运完第一次后，还剩下58没运，再运来50块后，已远来的恰好是没运来的57，也就是说没运来的占全部的712，所以，第二次运来的50块占全部的：57181224-=，全部蜂窝煤有：150120024÷=（块），没运来的有：7120070012⨯=（块）.【例13】（华杯赛口试）（难度系数：★★★）一根木杆，第一次截去了全长的12，第二次截去所剩木杆的13，第三次截去所剩木杆的14，第四次截去所剩木杆的15，这时量得所剩木杆长为6厘米．问：木杆原来的长是多少厘米?分析：法1：设木杆原长为1，第一次截后所剩为原长的12；第二次截后所剩为12×(1一13)=13；第三次截后所剩为13×(1一14)=14；第四次截后所剩为14×(1一15)=15，即原长的15等于6厘米，由部分求整体得：木杆原长=6÷15=6×5=30(厘米)．法2: 倒推法！注意单位“1”的不断变化.此法方便学生解答出类似附加8的题目.【巩固】建筑工地需要一批水泥，从仓库第一次运走全部的25，第二次运走余下的13，第三次运走（前两次运后）又余下的34，这时还剩下15吨水泥没运走．这批水泥共是多少吨？分析：法1：把这批水泥视为单位“1”，第一次远走后所剩为：23155-=，第二次远走后所剩为：312(1)535⨯-=，第二次远走后所剩为：231(1)5410⨯-=，即原来的110即为15吨，原来有水泥=11515010÷=（吨）法2:画线段图帮助分析，依据逆向思路可以得出，最后剩下的15吨对应的是“又余下”的14，因此求出“又余下”为60吨，这时60吨对应得恰好是“余下”的23，这样可以求出“余下”的吨数为90吨，即全部的35，所以原有水泥150吨.附加题目【附1】（华杯赛初赛）（难度系数：★★★）右图是一个园林的规划图，其中，正方形的34是草地；圆的67是竹林；竹林比草地多占地450平方米． 问：水池占多少平方米?分析：把水池的面积作为1个单位，那么草地的面积便是3个单位，而竹林的面积是6个单位。