高三数学选择题解题技巧方法(文科)

合集下载

高中数学学习方法15篇

高中数学学习方法15篇今年高考文理科的数学试卷总体难度不大，为师生所接受。

文科试卷难易程度适中，尤其是填空题和选择题难度不大，解答题难易程度和试题坡度安排都比较合理，有利于考生的发挥，也有利于指导以后的学习。

理科试卷容易题、中等题和难题比例恰当，注重逻辑思维能力和表达能力(运用数学符号)以及数形结合能力的考查，部分试题新而不难，开放题有所体现，把能力的考查落到实处。

但我个人认为，今年试卷对高中数学的主干知识的核心内容考查不到位，但不等于我们今后可以完全不重视。

抓基础：不变应万变把基础知识和基本技能落到实处。

唯有如此才能以不变应万变。

比如，文科第22题是一道经典题型，考查圆锥曲线上一点到定点距离，既考老师又考学生。

所谓考老师是说这样的题型你讲过没有，是怎么讲的?学生的典型错误(以定点为圆心作一个与椭圆相切的圆，再利用判别式等于0)是怎么纠正?正确解法(转化为二次函数在某个区间上的最值)是怎么想到的?只有经过这样的教学环节，学生才能真正理解。

所谓考学生是说你自己做错了，老师重点讲评了的经典问题，你掌握了没有?掌握的标准是能否顺利解答相应的变式问题。

由于第(3)含有参数，需要分类讨论，能有效甄别考生的思维水平和运算能力。

本题以椭圆(解析几何重点内容之一)为载体，考查把几何问题转化为代数问题的能力(这是解析几何的核心思想)，以及含参数的二次函数求最值问题(也是代数中的重点和难点)，一举多得。

当然，可能会有人认为这道题形式不新，其实，要求考题全新既无必要，也不可能，只要有利于高校选拔和中学教学就好，不必过分求新、求异。

理科的第22题相对较难，不少同学反映不好表述。

若能从集合的包含关系这个角度考虑，则容易表述，部分考生是直接对两个数列进行分类，由于要用到一些多数学生不熟悉的整除知识，因而感到困难，无法下手。

这就体现基础知识和基本技能的重要性。

尽管今年理科试卷在知识点分布上有些不尽如人意，但复习不能受此影响，仍然要全面、扎实复习，不能留下知识点的死角，相应的技能、技巧要牢固掌握，思想方法都要总结到位，这样才能“不管风吹浪打，胜似闲庭信步”。

2018届高考文科数学(通用版)选择填空题解题技巧

2018届高考文科数学(通用版)选择填空题解题技巧选择题是高考试题的三大题型之一，其特点是难度中低、小巧灵活、知识覆盖面广，解题只要结果不看过程。

解选择题的基本策略是充分利用题干和选项信息，先定性后定量，先特殊再一般，先排除后求解，避免“小题大做”。

解答选择题主要有直接法和间接法两大类。

直接法是最基本、最常用的方法，但为了提高解题的速度，我们还要研究解答选择题的间接法和解题技巧。

直接法是最常用的解答选择题方法。

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择。

涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法。

特例法是解答选择题的间接法之一。

通过构造或寻找特殊情况，从而得到解题思路和答案。

特例法适用于一些比较抽象、比较难以直接运算的题目。

但需要注意的是，特例法只能得到部分答案，不能代表所有情况。

在解答选择题时，需要准确地把握题目的特点，提高用直接法解选择题的能力。

同时，在稳的前提下求快，避免“小题大做”，用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握基础知识的基础上的。

特例法是解决数学题的一种方法，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足条件的特殊函数或图形位置，进行判断。

特殊化法适用于含有字母或一般性结论的选择题，特殊情况可能是特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等。

例如，对于已知O是锐角△XXX的外接圆圆心，∠A＝60°，·AB＋·AC＝2m·AO，求sinCsinB的值，我们可以选取△ABC为正三角形的情况，此时A＝B＝C＝60°，取D为BC的中点，AO＝AD，则有AB＋AC＝2m·AO，化简得到m＝3/2.因此，sinCsinB＝（√3/2）^2＝3/4，答案为A。

需要注意的是，取特例要尽可能简单，有利于计算和推理；若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解。

高考数学解题技巧轻松应对各类难题

高考数学解题技巧轻松应对各类难题在高考中，数学科目常常是许多学生的心头之患。

无论是理科生还是文科生，数学的考试都是一个难题。

然而，只要我们掌握一些解题技巧，就能够轻松应对各类难题。

本文将为大家介绍几种高考数学解题技巧，希望能对大家在高考中取得好成绩提供帮助。

一、数据分析技巧在高考数学中，数据分析题是比较常见的题型。

解决数据分析题的关键是要能够正确理解和运用给定的数据信息。

下面介绍几种常见的数据分析技巧。

1.1 查看单位和数量在解决数据分析题时，首先要仔细查看题目中给出的单位和数量。

理解单位和数量的含义对于解题至关重要。

通过仔细观察可以避免在计算过程中出现单位不匹配或数量计算错误等问题。

1.2 寻找规律很多数据分析题中的数据通常包含一些规律，而这些规律往往是解题的关键。

因此，在解题过程中需要耐心地分析并观察数据之间的关系。

当找到规律后，可以根据规律进行推算，从而解决问题。

1.3 利用图表信息数据分析题中常常会提供一些图表信息，如表格、图形等。

这些图表信息可以为解题提供重要的线索。

在解题过程中，应该注重观察这些图表，分析其中的数据关系，从而找到解题的突破口。

二、代数运算技巧代数运算是高考数学中的重要部分，也是常常令考生困扰的部分之一。

下面介绍几种代数运算技巧，帮助考生更好地解决代数题。

2.1 合理利用等价变形在解决代数题时，经常需要进行等价变形。

合理地利用等价变形，可以简化计算过程，提高解题效率。

通过对方程或不等式进行等价变形，可以将复杂的问题转化为简单的形式，从而更加方便解题。

2.2 注意因式分解因式分解是代数运算中常用的方法之一。

理解和掌握因式分解的方法，可以在解决代数题时事半功倍。

经常有一些高考数学题目需要用到因式分解来解决，因此要熟练掌握因式分解的技巧。

2.3 运用数列知识数列题是高考数学中的一大难点，需要考生对数列的性质和规律进行深入的理解和应用。

掌握数列的定义、通项公式以及常见的数列性质等知识，可以帮助考生更好地解决数列题。

高考数学答题技巧与套路精选

高考数学答题技巧与套路精选高考数学答题技巧一、难题先跳过手热好得分周洁娴，毕业于华师一附中理科班，高考664分。

说到去年高考数学和理科综合，周洁娴仍心有余悸。

数学开考时不顺，她几道选择题拿不准，十几分钟后越做越慌。

她决定跳过这几题往后面做，没想到思路打开了，答题很顺利，之前拿不准的题也好上手了。

“我感觉脑袋也像机器，需要预热!”二、开头最易错回头可救分“基础题得分和丢分都很容易。

”去年毕业于武汉三中的黑马陈野介绍，越容易的题越要仔细。

陈野说，自己能超常发挥，很大程度因为考试时基础题得分高，特别是理科综合和数学两门。

做选填题时，无论题目多简单，都会保证做完后再检查一遍，确保能做的题目不出错。

“既然得不到难题分，一定要保证简单题不错。

”周洁娴回忆，考数学时，离交卷还剩10分钟，她开始回头检查。

结果重新算了算看上去不对劲的答案，发现真有错误，救回10多分。

三、时间很宝贵掐表做综合对于综合考试的时间，受访学生均认为，一定要学会合理分配时间。

周洁娴回忆，做综合试卷的物理部分时，最后一题有点难。

当时她做前面部分花的时间已超出预算，结果越做越急，无奈之下只得放弃物理最后一题。

好在自己做化学时挤出了一些时间，最后回头才完成物理这道压轴题。

毕业于武汉一中的黑马梁巾认为，综合科目的答题没必要刻意按照统一的答题模式，但最好分科进行，不交叉答题。

答题时，应先做自己最拿手的科目。

四、审题别偷懒用时别吝啬“不集中精力仔细审题，一不留神就丢分。

”去年全市理科状元，武汉三中学生徐懋祺以685分考入北大。

他建议考生，不要小看题干中的每个隐含条件和细节，审题一定要非常仔细。

“要留意题目的所有条件。

”毕业于武汉四中的黑马刘恋念说，物理题有时会给出很多物理量。

这时不妨把已知的物理量都圈起来，做题时如发现所给物理量没用，肯定是答题思路有问题，一定要重新思考。

“文科综合更是重在审题。

”毕业于武汉十二中的黑马佘晔介绍，文科综合里的选择题干扰项特别多。

高考文科生学数学 “偷懒”也能考到148分的秘诀

高考文科生学数学“偷懒”也能考到148分的秘诀对于大部分考生来说，数学满分也许是永难企及的美梦，然而不够完美的148分却能拉近你我的距离。

如果平凡的我能够做到，你也一定没问题。

我身在“牛班”，却不是“牛人”。

同班同学里做题比我快的有之，钻题比我深的有之，然而高考考场上比我分高的却少之又少。

如果说我有什么特别之处，那就在于我是个地道的“懒人”。

因为“懒”，我不愿苦苦挣扎于题海；因为“懒”，我总是拼命地寻找捷径。

事实证明，数学是门可以走捷径的学科，不会“偷懒”的学生是与高分无缘的。

“偷懒”也有一定的方法，下面我就和大家分享一下我的“偷懒真经”。

捷径一少题海多精题“偷懒”的第一要任就在于减少复习的负荷量。

数学最大的负荷是永无止境的题海。

开学伊始，我便整理出一个大体的概念框架，并利用已有的做题经验对应框架进行知识点筛选，删除要求低的和已掌握的，突出重点和难点。

这样在第一轮复习大家都埋头做题之时，我便早早地跳出了题海。

省下时间只是手段，把精力花在研究“精题”上才是目的。

我最大限度地利用了两大类“精题”：一类是涵盖了多项考点的“母题”，一类是同一题型中频率较高的“错题”。

经验表明，对这两类题的反复研究和提炼大大提升了我学习数学的效率，为短期内成绩攀升打下坚实基础。

捷径二少抄书多翻译文科数学的一大特色，就在于你可以通过有效的总结来代替无尽的习题。

总结并不代表一味地抄公式抄概念，而应该用自己的语言和做题经验归纳出针对自身的解题技巧，这也就是我所谓的“翻译”。

事实上，高三一年我花在总结上的工夫与做题相比有过之而无不及。

从总结中萃取出的一本针对性极强的“翻译”小册子最终成为我数学攻坚的不二法宝。

捷径三少动手多动脑高三的任务很重，文科每天的作业量足以把手写到抽筋。

为了“偷懒”，我在动笔做题之前总先浏览一遍题干，遇到会做的题绝不浪费笔墨，遇到相同类型的题也只综合起来做个思路比较即可（当然前提是计算和格式能过关）。

这个习惯不仅为我省去了大量无意义的劳动，更让我获得了从更高层次上审视题目的机会，从而加强了对许多考点的纵深理解。

文科高考数学重难点04 解析几何(解析版)

重难点04 解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1，0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：a c（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；a c e（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）一、单选题一、单选题1．（2020·贵州贵阳一中高三月考（文））已知圆C ：(x +3)2+(y +4)2=4上一动点B ，则点B 到直线l :3x +4y +5=0的距离的最小值为（）A ．6B ．4C ．2D．【答案】C【分析】因为圆心到直线的距离，Cl 4d ==所以最小值为，422-=故选：C ．2．（2020·河南开封市·高三一模（文））已知双曲线的离心率与椭圆221(0)x y m m -=>的离心率互为倒数，则该双曲线的渐近线方程为（）2213x y m m +=A ．B ．C ．D．y =y x =y x =y =【答案】B【分析】双曲线的离心率为221(0)x y m m -=>e =在椭圆中，由于，则，所以焦点在轴上2213x y m m +=0m >30m m >>y 所以椭圆的离心率为2213x y m m +=e =解得：1=2m =所以双曲线的渐近线方程为：2212x y -=y x =±故选：B3．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知平行于轴的一条直线与双曲线x 相交于，两点，，（为坐标原()222210,0x y a b a b -=>>P Q 4PQ a=π3PQO ∠=O点），则该双曲线的离心率为（）．A BC D【答案】D【分析】如图，由题可知，是等边三角形，POQ △，，4PQ a =()2,P a ∴将点P 代入双曲线可得，可得，22224121a a a b -=224b a =离心率.∴c e a ===故选：D.4．（2020·河南周口市·高三月考（文））已知直线：与圆：l 340x y m -+=C 有公共点，则实数的取值范围为（）226430x y x y +-+-=m A ．B ．C ．D ．()3,37[]37,3-[]3,4[]4,4-【答案】B 【分析】因为圆的标准方程为，C ()()223216x y -++=所以，半径，()3,2C -4r =所以点到直线C :340l x y m -+=根据题意可知，解得.1745m+≤373m -≤≤故选：B5．（2020·全国福建省漳州市教师进修学校高三三模（文））已知直线:210l kx y k --+=与椭圆交于A 、B 两点，与圆交于C 、D22122:1(0)x y C a b a b +=>>222:(2)(1)1C x y -+-=两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）[2,1]k ∈--AC DB =1CA ．B ．C ．D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭【答案】C【分析】直线，即为，可得直线恒过定点，:210l kx y k --+=(2)10k x y -+-=(2,1)圆的圆心为，半径为1，且，为直径的端点，222:(2)(1)1C x y -+-=(2,1)C D 由，可得的中点为，AC DB =AB (2,1)设，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 则，，2211221x y a b +=2222221x y a b +=两式相减可得，1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=由．，124x x +=122y y +=可得，由，即有，2122122y y b k x x a -==--21k -- (2)2112b a……则椭圆的离心率．(0c e a ==故选：C6．（2020·全国高三其他模拟（文））已知，为的两个顶点，点()1,0A ()3,0B ABC :C在抛物线上，且到焦点的距离为13，则的面积为（）24x y =ABC :A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】A【分析】解:因为点在抛物线上,设，C 24x y =()00,C x y 抛物线的准线方程为，24x y =1y =-根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.由，得，0113y +=012y =所以.()01131121222ABC S AB y =⨯⋅=⨯-⨯=△故选:A7．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知抛物线的焦点为，过的直线24x y =F F l 与抛物线相交于，两点，．若，则（）．A B 70,2P ⎛-⎫ ⎪⎝⎭PB AB ⊥AF =A ．B ．C ．D ．322523【答案】D【分析】由题意可知，，设，，()0,1F 211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，2227,42x PB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 222,14x BF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 因为，且，，三点共线，则由可得，PB AB ⊥A B F 0AB PB ⋅= 0BF PB ⋅=所以，即，222222710424x x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭422226560x x+-=解得或（舍），所以.222x =2228x =-2x =设直线的方程为，与抛物线方程联立，AB 1y kx =+得，消去得，则，所以.214y kx x y =+⎧⎨=⎩y 2440x kx --=124x x =-1x =±则.21124x y ==所以.12213y F pA =+==+故选：D.8．（2020·四川高三一模（文））已知直线与双曲线：y kx =C ()222210,0x y a b a b -=>>相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（A B F C 3AF BF=OA b=为坐标原点），则双曲线的离心率为（）O C AB C ．2D【答案】B【分析】设是右焦点，则，，即，F 'BF AF '=3AF BF=3AF AF '=又，∴，，而，∴22AF AF AF a''-==AF a'=3AF a=,OA b OF c'==，OA AF '⊥由得，AOF AOF π'∠+∠=cos cos 0AOFAOF '∠+∠=∴，整理得．222902b c a b bc c +-+===ce a 故选：B ．9．（2020·河南新乡市·高三一模（文））已知双曲线的左、()2222:10,0x y C a b a b -=>>右焦点分别为、，过原点的右支于点，若1F 2F O C A ，则双曲线的离心率为（）1223F AF π∠=AB 1C D【答案】D 【分析】推导出，可计算出，利用余弦定理求得112F OA F AF :::1F A =2AF =，进而可得出该双曲线的离心率为，即可得解.1212F F e AF AF =-【详解】题可知，，，123F OA π∠=121AF O F AF ∠=∠ 112F OA F AF ∠=∠112F OA F AF ∴:△△，所以，可得.11112F O F AF A F F =1F A =在中，由余弦定理可得，12F AF :22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅即，解得.2220AF c +=2AF=双曲线的离心率为.1212F F e AF AF ===-故选：D.【点睛】10．（2020·全国高三专题练习（文））已知圆，则在轴和轴上22:(2)2C x y ++=x y 的截距相等且与圆相切的直线有几条（）C A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【分析】若直线不过原点，其斜率为，设其方程为，1-y x m =-+则，解得或，d 0m =4-当时，直线过原点；0m =若过原点，把代入，()0,0()2200242++=>即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条，故选：C ．二、解答题11．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知椭圆的离心率()2222:10x y C a b a b +=>>，且直线与圆相切．1x ya b +=222x y +=（1）求椭圆的方程；C（2）设直线与椭圆相交于不同的两点﹐，为线段的中点，为坐标原l C A B M AB O 点，射线与椭圆相交于点，且，求的面积．OM C P OP OM=ABO :【答案】（1）；（2．22163x y +=【分析】（1，∴（为半焦距）．c a=c∵直线与圆．1x ya b +=222x y +==又∵，∴，．222c b a +=26a =23b =∴椭圆的方程为．C 22163x y +=（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，l 设直线的方程为．l (x nn =<<∵，∴．OP OM==225n =∴．ABOS ==△（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，l ():0l y kx m m =+≠，．()11,A x y ()22,B x y 由，消去，得．22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222214260k x kmx m +++-=∴，即．()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>22630k m -+>∴，．122421kmx x k +=-+21222621m x x k -=+∴线段的中点．AB 222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭当时，∵，∴．0k =OP OM==215m =∴．ABOS =△当时，射线所在的直线方程为．0k ≠OM 12y x k =-由，消去，得，．2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2221221P k x k =+22321Py k =+∴M POMy OPy ===∴．经检验满足成立．22521m k =+0∆>设点到直线的距离为，则．O ld d =∴212ABOS x =-===△综上，．ABO :12．（2020·云南高三其他模拟（文））已知椭圆的左右焦点分2222:1(0)x y C a b a b +=>>别为，离心率为，椭圆上的点到点的距离之和等于4.12,F F 12C 31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭12,F F （1）求椭圆的标准方程；C（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足()2,1P l C A B 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.2PA PB PM ⋅= l 【答案】（1）；（2）存在直线满足条件，其方程为.22143x y +=l 12y x =【分析】解：（1）由题意得，所以.2221224c a a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的标准方程为.C 22143x y +=（2）若存在满足条件的直线，则直线的斜率存在，设其方程为.l l (2)1y k x =-+代入椭圆的方程得.C 222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=设，两点的坐标分别为，，A B ()11,x y ()22,x y 所以.所以，222[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ∆=---+--=+>12k >-且，.1228(21)34k k x x k -+=+21221616834k k x x k --=+因为，即，2PA PB PM ⋅= 12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=所以.2212(2)(2)(1)54x x k PM --+==即.[]2121252()4(1)4x x x x k -+++=所以，222222161688(21)44524(1)3434344k k k k k k k k k ⎡⎤---+-⋅++==⎢⎥+++⎣⎦解得.12k =±又因为，所以.12k >-12k =所以存在直线满足条件，其方程为.l 12y x =13．（2020·广西北海市·高三一模（文））已知抛物线的准线为2:2(0)C x py p =>，焦点为F .1y =-（1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，求的最小值.||||AP BQ ⋅【答案】（1）；（2）2.24x y =【分析】（1）因为抛物线的准线为，12py =-=-解得，2p =所以抛物线的方程为.24x y =（2）由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，由（1）得，则直线l 的方程为.(0,1)F 1y kx =+设，，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭由消去y ，得，214y kx x y =+⎧⎨=⎩2440x kx --=所以，.124x x k +=124x x =-因为抛物线C 也是函数的图象，且，214y x =12y x '=所以直线PA 的方程为.()2111142x y x x x -=-令，解得，所以，0y =112x x =11,02P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭从而||AP =同理得||BQ =所以，||||AP BQ ⋅==，=，==当时，取得最小值2.0k =||||AP BQ ⋅14．（2020·广东东莞市·高三其他模拟（文））在平面直角坐标系中，已知两定点xOy，，动点满足.()2,2A -()0,2B P PAPB=（1）求动点的轨迹的方程；P C （2）轨迹上有两点，，它们关于直线：对称，且满足C E F l 40kx y +-=，求的面积.4OE OF ⋅=OEF ∆【答案】（1）动点的轨迹是圆，其方程为（2）P ()()22228x y -+-=【分析】（1）设动点的坐标为，则.P (),xyPAPB==整理得，故动点的轨迹是圆，且方程为.()()22228x y -+-=P ()()22228x y -+-=（2）由（1）知动点的轨迹是圆心为，半径的圆，圆上两点，关P ()2,2C R =E F 于直线对称，由垂径定理可得圆心在直线：上，代入并求得l ()2,2l 40kx y +-=1k =，故直线的方程为.l 40x y +-=易知垂直于直线，且.OC l OC R=设的中点为，则EF M ()()OE OF OM ME OM MF⋅=+⋅+()()OM ME OM ME=+⋅- ，又，.224OM ME =-= 22222OM OC CM R CM =+=+ 222ME R CM =-∴，，∴，.224CM = CM =ME==2FE ME == 易知，故到的距离等于，∴OC FE :O FE CM 12OEF S ∆=⨯=15．（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆xOy 的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭22221(0)x y a b a b +=>>3(2Q A B 圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.P PA y C PB x D （1）求椭圆的标准方程（2）若，求线段的长20OB OC +=PA （3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由ABCD 【答案】（1）；（2；（3）是定值，6.22194x y +=【分析】（1）解：由题意得，解得.26a =3a =把点的坐标代入椭圆C 的方程，得Q 22221x y a b +=229314ab +=由于，解得3a =2b =所以所求的椭圆的标准方程为.22194x y +=（2）解：因为，则得，即，20OB OC += 1(0,1)2OC OB =-=(0,1)C 又因为，所以直线的方程为.(3,0)A -AP 1(3)3y x =+由解得(舍去)或，即得221(3)3194y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩30x y =-⎧⎨=⎩27152415x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2724,1515P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以||AP ==即线段AP （3）由题意知，直线的斜率存在，可设直线.PB 2:23PB y kx k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭令，得，0y =2,0D k ⎛⎫⎪⎝⎭由得，解得(舍去)或222194y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2249360k x kx +-=0x =23649kx k =+所以，即2218849k y k -=+22236188,4949k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭于是直线的方程为，即AP 22218849(3)36314k k y x k k -+=⨯+++2(32)(3)3(32)k y x k -=++令，得，即，0x =2(32)32k y k -=+2(32)0,32k C k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭所以四边形的面积等于ABDC 1||||2AD BC ⨯⨯122(32)13212326232232k k k k k k k -+⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即四边形的面积为定值.ABDC 16．（2020·江西南昌市·南昌二中高三其他模拟（文））已知抛物线的()220y px p =->焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，F x ()2,M m -52MF =l A 两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.B A B M MA MB 1k 2k （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标.122k k +=-l 【答案】（Ⅰ）；22y x =-（Ⅱ）见解析.（Ⅰ）由抛物线的定义可以，5(2)22p MF =--=,抛物线的方程为.1p ∴=22y x =-（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点的坐标为M (2,2)-当直线斜率不存在时，此时重合，舍去. l ,A B 当直线斜率存在时，设直线的方程为l l y kx b=+设，将直线与抛物线联立得：()()1122,,,A x y B x y l 2222(22)02y kx bk x kb x b y x=+⎧+++=⎨=-⎩212122222,kb b x x x x k k --+==①又，12121222222y y k k x x --+=+=-++即，()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-，()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=将①代入得，222(1)0b b k b ---+=即(1)(22)0b b k +--=得或1b =-22b k =+当时，直线为，此时直线恒过;1b =-l 1y kx =-(0,1)-当时，直线为，此时直线恒过（舍去）22b k =+l 22(2)2y kx k k x =++=++(2,2)-所以直线恒过定点.l (0,1)-。

专题02 选填题解法——数形结合法-高考数学选择填空必备解题技巧

高中数学选填题解法——数形结合法邓小平说过，不管黑猫白猫能抓老鼠的就是好猫。

在数学选择题里，不是每道题都要正面去解，有时正面解反而易错，本专题介绍选择题的方法。

数形结合法在选择题如果运用好的话，往往会有出其不意的效果。

1、已知函数f(x)=()⎩⎨⎧≥++< 0x 2x ln 0x x 4x 2若方程|f(x)|-a=0有四个不同的解，则a 的取值范围是（） A 、（0,4） B 、[)4,0 C 、[)4,ln2 D 、(]4,2ln【答案】C【解析】本题是2019莆田高三第二学期质检文科第10题，本题可采用数形结合法。

在坐标轴中分别画出|f(x)|与y=a 图像。

从图像中易知当方程|f(x)|-a=0有四个不同的解，当y=a 这条直线为y=ln2时刚好有四个交点，当y=a 这条直线为y=4时最多只有三个交点，所以a 取值范围为[)4,ln2，即答案为C 。

2、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤+++0,22x 0x 1,|2-2|2x x x > 若方程f(x)=kx+2k 有四个不同的解，则实数k 取值范围为（）A 、（-∞，-2-22）∪（31，1） B 、（22-2，1） C 、（31，1） D 、（31，22-2）【答案】B【解析】本题是华大新高考联盟2019届1月教学质量监测文科数学第11题，在直角坐标系中画出y 1=f(x)图像（蓝色部分），再做出y 2=kx+2k=k （x+2）图像，恒过定点（-2,0）。

从图像上可发现当y 2=kx+2k=k （x+2）过（0,2）时即图中m 直线，y 1与y 2图像有三个交点，此时k=1；当y 2=kx+2k=k （x+2）与22x 2++x 相切时即图中n 直线，此时k=22-2或k=22--2，而当k=22--2时即图中q 直线，显然y 1与y 2只有一个交点，舍去。

当y 2直线在直线n 与直线m 直线质检移动时，y 1与y 2有四个交点，所以k 取值范围为（22-2，1），答案为B 。

2022全国甲卷高考文科数学试题及答案解析

2022全国甲卷高考文科数学试题及答案解析高考结束之后，各位考生和家长最想知道的就是考生考的怎么样，有很多考生在考完很着急想要知道试题答案从而进行自我估分，下面是小编分享的2022全国甲卷高考文科数学试题及答案解析，欢迎大家阅读。

2022全国甲卷高考(文科)数学试题及答案解析数学选择题蒙题窍门看相反。

选项有一个是正X，一个是负X的时候，在这两个中选。

正确答案只有一个，如果选项中有两项意思完全相反，那么正确答案很可能就在这两个之间。

极端法：在求极值、取值、解析几何上，找极端情况去分析。

规律法：数学第一题不会是A，最后一题不会是A。

题目看起来数字简单，答案选复杂的，题目看起来数学复杂，答案看简单的。

选项有根号的一般不选，选项有1的一般选1。

图形题，选特值。

数学选择题蒙题口诀1、答案有根号的，不选2、答案有1的，选3、三个答案是正的时候，在正的中选4、有一个是正x，一个是负x的时候，在这两个中选5、题目看起来数字简单，那么答案选复杂的，反之亦然6、上一题选什么，这一题选什么，连续有三个相同的则不适合本条7、答题答得好，全靠眼睛瞟8、以上都不实用的时候选b数学解题技巧1、首先是精选题目，做到少而精。

只有解决质量高的、有代表性的题目才能达到事半功倍的效果。

然而绝大多数的同学还没有辨别、分析题目好坏的能力，这就需要在老师的指导下来选择复习的练习题，以了解高考题的形式、难度。

2、其次是分析题目。

解答任何一个数学题目之前，都要先进行分析。

相对于比较难的题目，分析更显得尤为重要。

我们知道，解决数学问题实际上就是在题目的已知条件和待求结论中架起联系的桥梁，也就是在分析题目中已知与待求之间差异的基础上，化归和消除这些差异。

当然在这个过程中也反映出对数学基础知识掌握的熟练程度、理解程度和数学方法的灵活应用能力。

例如，许多三角方面的题目都是把角、函数名、结构形式统一后就可以解决问题了，而选择怎样的三角公式也是成败的关键。

做数学方法选择题蒙题技巧

一.做数学方法选择题蒙题技巧数学选择题蒙题技巧1：代入法代入法往往适合给定了一些条件的题型，比如说是未知数ab，它会分别给出a、b一个特定的条件，然后让你求ab组合在一起的式子，这么看可能会很复杂。

但是如果是选择题，你可以把选项中的答案代入到式子中来计算，就会简单很多!数学选择题蒙题技巧2：区间法区间法也可以称之为排除法，靠着大概计算出来的数据或是猜测的一些数据来选择。

比如说一个选择题题目里给了好几个角度，很明显，答案一定和这几个角度有关系。

数学选择题蒙题技巧3：坐标法如果做一些图形题时可能会完全找不到思路，第一可以用比例法，第二就可以用坐标法，不管是哪类的三角函数，其实只要找到两点坐标，就可以直接代入函数求垂直、求长度、求相切相离公式，直接就可以求出答案，不用一点点的找角度了。

数学选择题蒙题技巧4：比例法其实比例法很简单也很无赖，遇到图形题，首先把已知条件标上去，未知的可以用量角器量出来，之后就可以用尺子来量出两条实线的比例关系，然后通过已知的一边，用比例去估算求的那一边就可以了。

不要怀疑，就是这么神奇!数学选择题蒙题技巧5：函数法函数法就是要把一些计算转换成函数，然后代入答案，移项，把方程的一边变为0，然后把函数表达式画出来，看与零点有没有唯一的焦点，这样就可以根据函数的图像判断答案了!数学选择题蒙题技巧6：经验法经验法可以在一些排序或是有规律的题目中使用。

它会有一些答案明显是为了凑数的答案，这样一下就可以排除，另外还有一些找规律分类的题目，如果不会或是没有思路，那么就选重复答案最多的那几个，那是最有可能的答案!二.文科生数学解题技巧方法一、调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

高考数学必考题型及答题技巧整理

高考数学必考题型及答题技巧整理（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如工作报告、致辞讲话、条据书信、合同范本、规章制度、应急预案、心得体会、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as work reports, speeches, policy letters, contract templates, rules and regulations, emergency plans, insights, teaching materials, essay encyclopedias, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!高考数学必考题型及答题技巧整理高考数学必考题型及答题技巧整理总结高考临近，你是否还在焦虑数学做的不好。

高三数学文科解题教学的基本思路

恰当的Ｕ，与不定积分的思想完全相同，ｖ当Ｕ，选择不恰当时，ｖ很难算出定积分，体求解时，时须先换元，分部积分．具有再
、了／
Ｉ（ｔ－ｎｔｉＩ．＝ａａ＋ｅｉ＝ｓｄｒｎｔ２詈ｌ＝ｃｅｒ）ｔａｓｄｃ１詈｜
２５０）２４０
本” 。课本中例题、习题的设置。现着本节知识应达到的能力体要求。然高考数学试题不会考查课本上的原题，每次对高虽但考试卷分析时不难发现，多题目都能在课本上找到“ 源 ” 许根，不少高考题就是对课本原题的变形、造及综合，开课本进改撇行复习，管对教师还是学生而言都是不可取的做法。对课本不例题和习题的整合，到旧题新解、题重温，使学生获得做熟可新的感受和乐趣。
注：从上例看出：对积分上限、限互为倒数的区间『．］下ａ
ａ
例６计算定积分：。．ｌｆ
雹
数学文科解题教学的基本思路
李健
（兴市第一高级中学，泰江苏泰兴摘要：文论述了如何让高三文科班学生的数学在总复本
习阶段取得进步，高教学效率和质量，中解题教学是关键。提其关键词：高三文科数学教学解题思路

高中文科生学好数学的方法有哪些

高中文科生学好数学的方法有哪些高中文科生学好数学的方法有哪些高中数学对于文科生来说是个大难题，其实只要掌握恰当的高中数学学习方法，文科生一样可以学好高中数学。

那么高中文科生学好数学的方法有哪些呢?下面是小编整理的一些高中文科生学好数学的方法，供参考。

高中文科生学好数学的方法之吃透课本高中文科生想要提高数学成绩，首先要充分理解高中数学课本，学习高中数学的过程是活的，数学能力是随着知识的发生而同时形成的，所以要掌握高中数学课本中的每一个概念，每一条法则，从不同的角度来培养和提高高中数学水平，理解教材中的重点知识，弄清与前后知识的联系等，只有把握住教材，才能掌握学习的主动。

高中文科生学好数学的方法之自主学习学习是高中生自己的事，所以高中生应该主动学习，这样才能提升高中数学的学习质量。

在高中数学课前主动预习，数学课后自主复习，养成良好的高中数学学习习惯。

制定适合自己的高中数学学习方法，形成一个完整的知识体系，提高高中数学学习效率。

高中文科生学好数学的方法之练习高中文科生要想学好高中数学，平时的练习必不可少，但这并不意味着要进行题海战术，做练习也要讲究科学性。

在选择参考书方面可以听一下老师的意见，一般来说老师会根据自己的教学方式和进度给出一定的建议，在做做题时高中文科同学应注意总结出各类数学题目的解题方法并且掌握。

小编建议高中文科生要适当舍得放弃对于大部分数学基础不是很扎实的同学来说，放弃太难的高中数学题是一个比较明智的.选择。

一、对同学们的劝告进入了高二学年，已经适应了高中的学习和生活，在这个阶段是很关键也是很危险的，同学们很容易就散漫下来，对自己放松了，认为还有一两年才高考呢，现在不学高三学也来得及，有这种想法的同学就大错特错了，成绩是靠平时学习的积累，高二这年正是你继续打好基础的时间，这阶段学习是很关键的，我们不但不能对自己放松，更应该对自己加油，充电，为高三的复习打好铺垫，如果这个时候对自己放松是对自己的一种不负责任，而且想在高三这短短的一年时间里充电复习，这是完全不可行的，我们也是很理解学习的辛苦，偶尔的放松不是不行的，但是要切忌，千万不要对自己永久的放松。

高考数学考试考生答题技巧

高考数学考试考生答题技巧关于高考四个答题技巧”技巧1:借问得分阅卷时，特别强调知识点的把握，在解题的过程中，要把定理的条件和结论写全，中间的步骤可以省略，如文科立体几何题中，第一小题只要写清垂直的条件和结论，即使不会证明，也要写上结论(只要条件和结论都有就可得分)，就是中间一步不会证明，也可以写上结论，跳过去往下证，这样后面的仍可得分。

技巧2:难题“割肉”学生平时训练时，应对自己提出明确的要求，题目再难，每个题目中的条件总是可以推导出结论的，哪怕是只推导出一个结论，也可能是得分点，有了得分点，也就说明得分了。

高考阅卷时是按步骤、按得分点给分的。

技巧3:步骤规范学生在平时训练时，要明确哪些步骤是可省的，哪些是不可省的，哪些是必须写的，哪些是不可写的，在做题时，尽量按得分点、按步骤书写，严格训练。

切忌拖沓冗长，模糊不清。

技巧4:重视书写要用0.5毫米的黑色墨水签字笔作答。

因为标准的扫描试卷尺寸是十四寸，正好填满屏幕。

因为是扫描，所以如果字迹过细、过淡，可能会影响阅卷人的正常判断。

其次，答题时，字迹要工整、清楚，不要写得太细长;字距适当，行距不宜过密。

最后，要严格按照答题要求，在答题卡对应题号指定的答题区域内答题，书写在规定区域内。

要注意几个易混字的书写规范，如“z、Z、2”,“b、6、0、9、q”,“4、+”等，若不注意书写，电子卷就不太容易区分。

历年高考数学试卷的启发1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向;(很多无规律的公式大家是不是都容易记混呢?如果你也有类似的困扰，也许高考数学知识点公式定理记忆口诀能帮的到你~)2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。

如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。

当然，我们也要考虑结论的独立性;3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键;二、答题策略选择1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。

高三数学常见问题有哪些重要的数学解题技巧

高三数学常见问题有哪些重要的数学解题技巧数学是很多小伙伴的拉分项目，每个人都有着不同的问题，那么常见的问题有哪些?有哪些提高分数的解题技巧呢? 今天小编在这分享一些高三数学常见问题给大家，欢迎大家阅读!数学常见问题问题1：老师，对于一个数学超级差的文科生，题海战术有用吗?有什么值得推荐的资料呢?老师：同学你好，很高兴可以为你解答。

题海只是其中之一，重要的是在做题之后要总结。

不然做再多也是白做。

可以先做十道题，总结方法，然后再用下面的十题检验这种方法。

再总结。

以此类推，资料就《五三》吧，毕竟高考题最经典，也是我们必须要应付的难度。

问题2：老师，想知道怎么系统的复习，还有就是求最大值最小值这种题没有思路。

老师：系统复习需要分三轮，第一轮看课本看笔记，把之前的都看一遍，做相应的题目。

第二轮走题型，每道题型都练一段时间。

第三轮综合卷，熟悉高考模式，查漏补缺。

一元最值问题，就是函数的值域，方法要掌握，图像法，换元法，分离常数法，反解法，数形结合法等二元函数的最值问题，方法有消元，均值不等式，线性规划。

问题3：如何用合适的方法学习数学?老师：合适的方法是适合自己的，每个学生的情况各有不同，一些学霸会把笔记做的特别认真，也会有一些学霸没有任何笔记本。

看自己是听觉型的，视觉型的，还是感觉型的。

我认为学习数学的方法，可以归结为四个字：勤思练查，多勤奋，多思考，多练习，多查漏。

高三数学解题技巧一、三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。

二、数列题1.证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n 的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。

关于高考数学答题技巧有哪些

关于高考数学答题技巧有哪些从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。

不同的数学家和哲学家对数学的准确范围和定义有一系列的看法。

下面我为大家带来高考数学答题技巧有哪些，盼望大家喜爱!高考数学答题技巧专题一、三角变换与三角函数的性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h④结合性质求解。

2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。

②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sinx，y=cosx的性质确定条件。

③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h 的性质，写出结果。

④（反思）：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。

专题二、解三角形问题1、解题路线图(1)①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。

(2)①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。

2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

②定工具：即依据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

③求结果。

④再反思：在实施边角互化的时候应留意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。

专题三、数列的通项、求和问题1、解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。

②求通项公式。

③求数列和通式。

2、构建答题模板①找递推：依据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。

②求通项：依据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。

③定（方法）：依据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。

④写步骤：规范写出求和步骤。

⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。

专题四、利用空间向量求角问题1、解题路线图①建立坐标系，并用坐标来表示向量。

对数比较大小，反思解题技巧———以２０２０年全国高考数学全国Ⅲ卷文科第１０题为例

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３４数学学习与研究㊀２０２１２９对数比较大小反思解题技巧对数比较大小，反思解题技巧㊀㊀㊀以２０２０年全国高考数学全国Ⅲ卷文科第１０题为例Һ李晓梅㊀孔德宏㊀（云南师范大学数学学院，云南㊀昆明㊀６５０５００）㊀㊀ʌ摘要ɔ解决对数比较大小的方法众多，本文以２０２０年一道数学高考题为例，探究底数不同㊁真数不同的对数比较大小的方法，灵活运用作差法㊁作商法㊁换底公式㊁放缩法等解题技巧，从学生角度考虑解题思路，培养学生解题思维．ʌ关键词ɔ高考数学；对数比较；高考解题ʌ基金项目ɔ云南师范大学研究生核心课程建设项目‘数学课程与教材研究“（编号：ＹＨ２０１８－Ｃ０６）一㊁引言对数比较问题是高考热点题型，一定程度上反映了学生的数学运算㊁直观想象㊁数学抽象等核心素养［１］，那么底数不同㊁真数也不同的对数比较大小可采用何种方法解题？本文以２０２０年全国高考数学全国Ⅲ卷文科第１０题为例对该问题进行探究．二㊁试题呈现（２０２０年全国高考数学全国Ⅲ卷文科第１０题）设ａ＝ｌｏｇ３２，ｂ＝ｌｏｇ５３，ｃ＝２３，则（㊀）Ａ．ａ＜ｃ＜ｂ㊀㊀Ｂ．ａ＜ｂ＜ｃ㊀㊀Ｃ．ｂ＜ｃ＜ａ㊀㊀Ｄ．ｃ＜ａ＜ｂ三㊁解法探究数值比较大小的常用方法有作差法和作商法，而对数比较大小常见问题可分为三类：（１）底数相同的对数可利用函数单调性进行比较；（２）真数相同的对数可利用图像法进行比较；（３）底数不同㊁真数不同的对数引入中间变量（０，１等）进行比较．［２］在实际应用中，直接引入中间变量往往较难实现，需结合条件转化解决．本文从学生做题情况考虑，阐述作差法㊁作商法㊁换底公式㊁放缩法等不同解法［３］，探究底数不同㊁真数不同的对数比较大小的解题技巧，具体解法如下文．由题易知：０＜ａ，ｂ，ｃ＜１．对数ａ和ｂ的底数都大于真数，二者底数㊁真数均大于１．考虑函数单调性问题，易知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ３ｘ与函数ｇ（ｘ）＝ｌｏｇ５ｘ在定义域ｘ＞０上单调递增．解法１（作差法）：借助对数运算性质变形整理，再根据差值正负情况判断两数大小关系．ａ－ｃ＝ｌｏｇ３２－２３＝ｌｏｇ３２－ｌｏｇ３３２３＝ｌｏｇ３２３２３＝ｌｏｇ３３８９＜ｌｏｇ３１，故ａ－ｃ＜０，即ａ＜ｃ．同理，ｂ－ｃ＝ｌｏｇ５３－２３＝ｌｏｇ５３－ｌｏｇ５５２３＝ｌｏｇ５３５２３＝ｌｏｇ５３２７２５＞ｌｏｇ５１，故ｂ－ｃ＞０，即ｃ＜ｂ．综上得ａ＜ｃ＜ｂ．注：先将对数与常数作差比较，可进一步化为同底数的两对数相减，借助对数运算性质，两数相减后得到的值是一个可判断正负的对数．解法２（作商法）：将对数与常数作商比较，借助对数运算性质变形整理，化为可与１比较大小的对数式，进而判断两对数大小关系．ａｃ＝３２㊃ｌｏｇ３２＝１２㊃ｌｏｇ３８＜１２㊃ｌｏｇ３９，故０＜ａｃ＜１，即ａ＜ｃ．ｂｃ＝３２㊃ｌｏｇ５３＝１２㊃ｌｏｇ５２７＞１２㊃ｌｏｇ５２５，故ｂｃ＞１，即ｃ＜ｂ．综上得ａ＜ｃ＜ｂ．注：与作差比较法类似，先与常数做比较，化简变形的过程要注意对数式与同底数对数比较大小的情况．解法３（换底公式＋作差法）：借助换底公式将对数化为底数为ｅ的对数式，两两作差后通分判断正负．ａ＝ｌｏｇ３２＝ｌｎ２ｌｎ３，ｂ＝ｌｏｇ５３＝ｌｎ３ｌｎ５，则ａ－ｂ＝ｌｎ２ｌｎ３－ｌｎ３ｌｎ５＝ｌｎ２㊃ｌｎ５－ｌｎ３㊃ｌｎ３ｌｎ３㊃ｌｎ５，需学生熟记ｌｎ２ʈ０．６９３１４７，ｌｎ３ʈ１．０９８６１２，. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１３５㊀数学学习与研究㊀２０２１２９ｌｎ５ʈ１．６０９４３８，即可得到ａ－ｂ＜０，即ａ＜ｂ；同理，ａ－ｃ＝ｌｎ２ｌｎ３－２３＝３㊃ｌｎ２－２㊃ｌｎ３３㊃ｌｎ３＝ｌｎ８－ｌｎ９３㊃ｌｎ３＜０，故ａ＜ｃ；ｂ－ｃ＝ｌｎ３ｌｎ５－２３＝３㊃ｌｎ３－２㊃ｌｎ５３㊃ｌｎ５＝ｌｎ２７－ｌｎ２５３㊃ｌｎ５＞０，故ｂ＞ｃ．综上可得ａ＜ｃ＜ｂ．注：将对数的底数都换成自然数ｅ，简化计算过程，方便学生计算，在判断正负的过程中穿插对数函数的单调性知识．解法４（换底公式＋单调性）：先考虑ａ＝ｌｏｇ３２与ｃ＝２３比较大小，利用换底公式将常数ｃ＝２３转化成底数为３的对数式，即ｃ＝２３＝ｌｏｇ３３２３＝１３ｌｏｇ３９，则ａ＝ｌｏｇ３２＝１３ｌｏｇ３２３＝１３ｌｏｇ３８，由对数函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ３ｘ在ｘ＞０上单调递增，易得ａ＜ｃ．同理，考虑ｂ＝ｌｏｇ５３与ｃ＝２３比较大小，将ｃ＝２３转化为底数为５的对数形式，即ｃ＝２３＝１３ｌｏｇ５５２＝１３ｌｏｇ５２５，则ｂ＝ｌｏｇ５３＝１３ｌｏｇ５３３＝１３ｌｏｇ５２７，由对数函数ｇ（ｘ）＝ｌｏｇ５ｘ在ｘ＞０上单调递增，易得ｃ＜ｂ．故ａ＜ｃ＜ｂ．注：将三个数两两转化为同底数的对数进行比较，便可利用函数单调性判断大小．解法５（换底公式＋真数值比较）：对数ａ＝ｌｏｇ３２与对数ｃ＝２３比较大小，可看作ｌｏｇ３２与ｌｏｇ３３２３比较大小，由对数函数单调性可知，该问题即为判断２与３２３的大小关系，亦即２３与３２的大小，易知２３＜３２，故２＜３２３⇒ｌｏｇ３２＜ｌｏｇ３３２３⇒ａ＜ｃ．同理，知３３＞５２，故３＞５２３⇒ｌｏｇ５３＞ｌｏｇ５５２３⇒ｂ＞ｃ．综上可得ａ＜ｃ＜ｂ．注：该解法与解法４类似，本质是化为同底数的真数两两比较，但相较于解法４，该解法从数值本身出发，考虑真数部分值的大小，计算量明显减少．解法６（放缩法）：若ａ＞ｂ＞０，ｋ＞０，则有ｋａ＞ｋｂ．可根据此不等式的性质将对数式进行放缩，将三个数值均放大３倍后大小关系不变，此时３ａ＝３ｌｏｇ３２＝ｌｏｇ３８，将３ａ的值与最接近的整数作大小比较，即引入中间变量，有３ａ＝ｌｏｇ３８＜ｌｏｇ３９＝２；同理，将ｂ放大３倍，即３ｂ＝３ｌｏｇ５３＝ｌｏｇ５２７＞ｌｏｇ５２５＝２；３ｃ＝２．故ａ＜ｃ＜ｂ．注：将对数ａ乘以ｋ后，使得对数ｋａ尽可能接近整数，方便计算．本质是引入整数类的中间变量，使用时需把握放缩程度，减少计算量．四㊁解题反思从一道对数比较大小的高考选择题的求解过程中可以看出高考题目的灵巧多变，更为学生学习以及教师教学引发一定思考，所谓一题多解更多反映的是解题思维和技巧的灵活多变，是对同一问题的多角度探究，是学生实践能力和创新意识的提升．底数不同㊁真数不同的对数比较大小多引入中间变量，需观察对数式构造合适的中间变量，将对数作适当变形．本题给出了两个对数式㊁一个分数，一定程度上给了学生明显的提示，即考虑分数的作用，引入中间变量，或在变形过程中，考虑分数值指明的化简方向．底数不同㊁真数不同的对数比较大小，往往与底数相同的对数以及真数相同的对数比较大小问题息息相关，并不局限于某种固定的方法，实际求解需结合条件灵活运用，要求学生熟练掌握对数运算性质和对数函数单调性的相关知识，深入理解数形结合思想方法更有助于问题的解决．教师则需注意从学生的角度考虑解题思路，培养学生解题思维与技巧，及时发现问题并给予引导，锻炼学生解决问题的能力，发展学生核心素养，激发学生学习兴趣，让学生感悟数学的魅力．ʌ参考文献ɔ［１］王思华．思维巧切入，大小妙比较以２０２０年全国卷Ⅰ（理）第１２题为例［Ｊ］．中学数学，２０２１（１）：３１－３２．［２］储玺．比较不同类型对数大小的办法［Ｊ］．语数外学习（高中版中旬），２０２０（９）：４４．［３］梅俊．比较对数大小的几种方法［Ｊ］．数学教学研究，２０００（２）：３３－３４．. All Rights Reserved.。