20182019学年高中数学第1部分第2章圆锥曲线与方程2.6曲线与方程2.6.1曲线与方程讲义含解析苏教版选修212019
2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2椭圆及其标准方程课件新人教A版选修1_1
●规律总结
根据抛物线的几何性质求抛物线的方程 ，一般利用 待定系数法，先 “ 定形 ” ，再 “ 定量 ”． 但要注意充 分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分 类讨论．
◎变式训练
1．(1)抛物线y2＝ 4x的焦点为F，准线为 l，点 A是抛
物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，
垂足为K，则△AKF的面积是________． (2) 已知正三角形 AOB 的一个顶点 O 位于坐标原点， 另外两个顶点 A ， B 在抛物线 y2 ＝ 2px(p>0) 上，求这个 三角形的边长．
解析
如图，设 A(x0，y0)，过 A 作
AH⊥x 轴于 H， 在 Rt △ AFH 中， |FH| ＝ x0 － 1 ，由 ∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，故 y0＝ |AH|＝ 3(x0－1)，所以点 A 的坐标为(x0， 3(x0－1))， 将此代入抛物线方程可得 3x2 0－10x0＋3＝0， 1 解得 x0＝3 或 x0＝ (舍)， 3 1 故 S△AKF＝ ×(3＋1)×2 3＝4 3. 2
离之比，叫作抛物线的离心率，通过抛物线的定义及
图形特点易得抛物线的离心率为1.
(3)观察图形，分析抛物线的顶点坐标，以及对称性
分别是什么？ 提示 ① 所 有 抛 物 线 的 标 准 形 式 都 有 顶 点 (0 ，
0) ．②焦点在 x 轴上时抛物线图像关于 x 轴对称，焦点 在y轴上时抛物线图像关于y轴对称．
分析其几何图形存在哪些区别？ 提示 抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同 ，
椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心； 双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点， 两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点， 一个焦点，无中心．
2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 第1课时 双曲线
|PQ|＝ x2＋y－52＝ 54y－42＋5－b2，
其中 y≥2b，若 2b≤4，当 y＝4 时，|PQ|最小＝2． 从而，5－b2＝4，即 b2＝1，双曲线方程为y42－x2＝1． 若 2b>4，当 y＝2b 时，|PQ|最小＝2，从而54(2b－4)2＋5－b2＝4，所以 b＝72或 b ＝32(与 b>2 矛盾)． 所以双曲线方程为4y92 －44x92＝1． 故所求双曲线方程为y42－x2＝1 或4y92 －44x92＝1.
离心率 渐近线
c e＝__a____∈_____(_1_，__＋__∞_)____
____y＝__±__ba_x _____
___y_＝__±_ab_x______
• 2.等轴双曲线 • 实轴和虚轴等长的双曲线，标准方x2程－为y2＝__a2____________.
1．双曲线x42－y2＝1 的实轴长为 A．4 C． 3
『规律总结』 1.求双曲线的离心率，常常利用已知条件列出关于 a、b、c 的等式，利用 a2＋b2＝c2 消去 b 化为关于 a、c 的齐次式，再利用 e＝ac化为 e 的方 程求解．
2．学习双曲线中应注意的几个问题： (1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线只有两个顶点，离心率 e>1； (3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为 2，实轴长与虚轴长相 等，两条渐近线互相垂直； (4)注意双曲线中 a、b、c、e 的等量关系与椭圆中 a、b、c、e 的不同．
B．2 D．1
( A)
[解析] ∵双曲线ax22－by22＝1 的实轴长为 2a，∴双曲线x42－y2＝1 的实轴长为 2a ＝4．
2．(江西九江一中 2017－2018 期末)双曲线y42－x2＝1 的离心率 e＝
2018年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.1曲线与方程课件4苏教版选修2_1
分析特例归纳定义
4、（1）“曲线上的点的坐标都是这个方 程的解”，说明曲线上没有坐标不满足 方程的点，也就是说曲线上所有的点都 符合这个条件而毫无例外（纯粹性）。 （2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲 线上”说明符合条件的点都在曲线上而 毫无遗漏（完备性）。
解:（1）不正确，不具备完备性，应为x=3, (2)不正确，不具备纯粹性，应为y=±1. (3)正确。 (4)不正确，不具备完备性，应为x=0(-3≤y≤0).
练习1
1、指出下列各组直线与方程的关系
y y y
o
x
o
x
o
x
X-y=0
X-y=0
X-y=0
练习
2、判断正误：
已知f(x,y)=0是曲线c 的方程，
y
·
M
y ax2 (a＞0）
0
满足关系：
x
（1）、如果 (x 0 , y0 ) 是抛物线上的点，那么( x0 , y0 ) 一定是这个方程的解 （2）、如果( x0 , y0 ) 是方程 y ax (a＞0） 的解，那么以它为坐标的点一定
2
在抛物线上
分析特例归纳定义
（3）、说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系
曲线和方程
—— 第一课时 曲线和方程
1.曲线和方程
主要内容：曲线和方程的概念、意义及 曲线和方程的两个基本问题 重点和难点：曲线和方程的概念
知识准备
• 直线和方程： 直线和二元一次方程的关系 • 集合：
• 轨迹：什么叫点的轨迹？轨迹图形与条件有何关系？
2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程课件新人教A版
法二(定义法)：建立平面直角坐标系同法一 因为 AC⊥BC，则顶点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆(除去 A，B 两点)， 因此顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2＝a2(x≠± a)
母题探究：1.(变条件)若本例题改为“一个动点 P 到直线 x＝8 的距离是 它到点 A(2,0)的距离的 2 倍．求动点 P 的轨迹方程．如何求解？”
[跟踪训练] 2．已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点 C 在曲线 y＝3x2－1 上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．
[解] 设△ABC 的重心为 G(x，y)，顶点 C 的坐标为(x1，y1)，由重心坐标 x＝－2＋0＋x1， 3 公式得 0－2＋y1 y＝ ， 3
[ 提示 ]
(1) 会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程 y ＝
1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆． (2)充要条件是 f(x0，y0)＝0.
2．求曲线方程的步骤
[基础自测] 1．思考辨析 (1)若点 P 的坐标是方程 f(x，y)＝0 的解，则点 P 在方程 f(x，y)＝0 的曲 线上．( ) ) )
②因为点
m 2 2 M 2 ，－m 在方程 x ＋ ( y － 1) ＝10
表示的曲线上，
m 所以 x＝ ，y＝－m 适合方程 x2＋(y－1)2＝10， 2
m2 2 即 ＋ ( － m － 1) ＝10. 2
18 解得 m＝2 或 m＝－ . 5 18 故实数 m 的值为 2 或－ . 5
x1＝3x＋2， ∴ y1＝3y＋2.
2 代入 y1＝3x2 － 1 ，得 3 y ＋ 2 ＝ 3(3 x ＋ 2) －1. 1
∴y＝9x2＋12x＋3 即为所求轨迹方程．
2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程课件新人教A版选修2
B．在圆C上，但不在直线l上
C．既在圆C上，也在直线l上
D．既不在圆C上，也不在直线l上
C
2．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是
()
3．已知直线：y＝kx－k＋1与曲线C：x2＋2y2＝m有公共
点，则m的取值范围是
A
()
A．m≥3
B．m≤3
C．m>3
D．m<3
4．8x已2＋知2x＋点8Oy2－(04,y0－)，5＝A0(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． 曲线(2的)以方程这个方程的解为坐方标程的的曲点线都是曲线上的点，那么， 这个方程叫做______________，这条曲线叫做 ______________．
1．已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4及直线l：x＋2y－2＝0，
C上，但在直线l上
(5)通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．
本章重点
曲线与方程的概念；椭圆的定义、标准方程、几何性质； 双曲线的定义、标准方程、几何性质；抛物线的定义、标准 方程、几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系．
本章难点
曲线方程的求法；三种曲线的定义、标准方程、几何性质 的综合应用；直线与圆锥曲线的位置关系．
〔跟踪练习 2〕 已知方程 x2＋(y－1)2＝10． (1)判断点 P(1，－2)、Q( 2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点 M(m2 ，－m)在此方程表示的曲线上，求 m 的值．
[思路分析] (1)只需判断点 P，Q 的坐标是否满足方程即可；(2)M 在曲线 C 上，则 M 点的坐标满足 C 的方程，代入建立 m 的方程解之即可．
[解析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点 P(1，－2)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上， 点 Q( 2，3)不在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上． (2)∵点 M(m2 ，－m)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上，∴x＝m2 ，y＝－m 适合上述方程， 即(m2 )2＋(－m－1)2＝10． 解之得 m＝2 或 m＝－158， ∴m 的值为 2 或－158．
2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程优质课件 北师大
对于本例(1)，试指出 M 的轨迹为椭圆，点 A 应具备的条件？ 解：因为|MA|＝|MQ|， 所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|， 要使 M 点轨迹为椭圆，则需|CQ|＞|CA|，故 A 点必须是圆 C 内且异于圆心 C 的定点．
迹方程为____2x_52_＋__1y_62_＝__1________．
解析：(1)由题意知，|AB|＋|AC|＋|BC|＝8， 即|AB|＋|AC|＝6＞2， 故顶点 A 的轨迹是以 B 和 C 为左右焦点的椭圆． a＝3，c＝1，b＝ a2－c2＝2 2. 由题意知点 A 不能在直线 BC 上，故该椭圆的标准方程为x92＋ y82＝1(x≠±3)．
2．椭圆x32＋y2＝1 的一个焦点坐标为( A )
A．( 2，0)
B．(0， 2)
C．(2，0)
D．(0，2)
解析：该椭圆的焦点坐标为(± 2，0)．
3．椭圆2x52＋1y62 ＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 4，则 P 到 另一个焦点的距离是___6_____． 解析：因为 a＝5，设 F1，F2 为椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2| ＝2a＝10，故 P 到另一个焦点的距离为 10－4＝6.
4．到两点 F1(－3，0)、F2(3，0)的距离之和为 10 的点的轨迹 方程是____2x_5_2 ＋__1_y62_＝__1________(写成标准形式)． 解析：因为|F1F2|＝6＜10，所以该轨迹为椭圆．
易知 c＝3，2a＝10，即 a＝5，b＝ a2－c2＝4.
故该椭圆的标准方程为2x52＋1y62 ＝1.
1．对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是 判断一曲线是否为椭圆的限制条件．若常数 2a＝|F1F2|时(F1，F2 为两定点)，轨迹是线段 F1F2，若常数 2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．
2018版高中数学第2章圆锥曲线与方程2_6_1曲线与方程学案苏教版选修2_1
2．6.1 曲线与方程[学习目标] 1.了解曲线和方程的概念.2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义．知识点曲线的方程、方程的曲线如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．思考(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？答案(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆．(2)若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.题型一曲线与方程的概念例 1 (1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么下列说法正确的是________．(填序号)①曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0；②凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；③不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0；④不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0.答案③(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．解①与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.②第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.反思与感悟 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点： 一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上． 跟踪训练1 判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程是y ＝r 2－x 2； (2)过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 的方程为|x |＝2.解 (1)不正确．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解，则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2.两边开平方取算术平方根，得x 20＋y 20＝r 即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、r 为半径的圆上的一点如点(r 2，－32r )在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，r 为半径的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2.(2)不正确．直线l 上的点的坐标都是方程|x |＝2的解．然而，坐标满足|x |＝2的点不一定在直线l 上，因此|x |＝2不是直线l 的方程，直线l 的方程为x ＝2. 题型二 由方程判断其表示的曲线例2 方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？ 解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0，或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.反思与感悟 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线． 跟踪训练2 “(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0”，其表示什么曲线？ 解 因为(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x ＋2y >0，或者x ＋2y ＝8，即2x ＋3y －5＝0(x <10)或者x ＋2y ＝8，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x <10)(去除端点)和一条直线x ＋2y ＝8. 题型三 曲线与方程关系的应用例3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R )，求k 的取值范围．解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋12)2＋12.∴k ≤12，∴k 的取值范围是(－∞，12]．反思与感悟 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上． (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．跟踪训练3 (1)已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是________． 答案 a >1解析 ∵a >0，∴方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)的图象大致如图，要使方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y ＝a |x |在y 轴右侧的斜率大于y ＝x ＋a 的斜率，∴a >1.(2)已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，求b 的取值范围．解 由方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1y ≥0.消去x ，得到2y 2－2by ＋b 2－1＝0(y ≥0)．l 与C 有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2－8b 2－1>0，y 1＋y 2＝b >0，y 1y 2＝b 2－12≥0，解得1≤b < 2.所以b 的取值范围为[1，2)．1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的________条件． 答案 必要不充分解析 ∵y ＝－2x ≤0，而y 2＝4x 中y 可正可负，∴点M 在曲线y 2＝4x 上时， 点M 不一定在y ＝－2x 上．反之，点M 在y ＝－2x 上时，点M 一定在y 2＝4x 上． 2．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________． 答案 四个点解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.3．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是________．(填序号)答案 ④解析 对于①，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除①； 对于②，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除②；对于③，曲线上第三象限的点，由于x <0，y <0，不满足方程，排除③.4．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 答案π3或5π3解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或α＝5π3.5．过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为______________．答案 x ＋y －1＝0 解析 设M (x ，y )，如图，由直角三角形的性质可知PM ＝MO ，即(x －1)2＋(y －1)2＝x 2＋y 2， ∴x ＋y －1＝0.1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．2．点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程．3．方程表示的曲线的判断步骤：4．判断方程表示曲线的注意事项：(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．(2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．。
2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1圆锥曲线课件苏教版选修1_1
(1)顶点A的轨迹是什么？ 解答 由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A.由正弦定 理，可得AC＋AB＝2BC. 又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC， 所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点).
(2)指出轨迹的焦点和焦距.
解答
椭圆的焦点为B、C，焦距为10.
类型三 例3
抛物线定义的应用
若动圆与定圆 (x－ 2)2 ＋ y2 ＝ 1 外切，又与直线 x ＋ 1 ＝ 0 相切，求动
解答
圆圆心的轨迹.
如图所示，设动圆O′的半径为r，则动圆的圆 心O′到点(2,0)的距离为r＋1，点O′到直线x ＝－1的距离为r，从而可知点O′到点(2,0)的 距离与到直线x＝－2的距离相等.由抛物线定义 可知，动圆圆心O′的轨迹是抛物线.
(1)判断动点到定点与到定直线的距离相等.
(2)要特别注意定点不在定直线上.
|x＋y－2| 跟踪训练3 若动点P(x，y)满足＝ x ＋y－2 ＝ ，则动点 2 过点(0,2)且与直线x＋y－2＝0垂直的一条直线 P(x，y)的轨迹是___________________________________________.
思考3
点D在移动过程中，满足什么条件？
答案
DA＝DC.
梳理 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点
的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的 焦点 ，定直线l叫做抛物线的 准线 .
题型探究
类型一 例1
椭圆定义的应用
在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列.
F2相离)，试问：动点C的轨迹是什么曲线？ 解答
2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末整合提升优质课件 新人教A版选修2-1
典例 3 (1)若椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，则双曲
渐近线方程为
A．y＝±12x
B．y＝±2x
C．y＝±4x
D．y＝±14x
(2)(2017·天津理，5)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左焦点为 若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲
则x1＋x2＝－1＋4km2k2， x1x2＝21m＋2－2k22 ， m2<2k2＋1，
即x1＋x2＝－1＋4km2k2， x1·x2＝21m＋2－2k22 ，
所以 kMA·kNA＝x1－y1 2·x2－y2 2＝kx1x－1＋m2·xk2x－2＋m2＝－12． 所以(2k2＋1)x1x2＋(2km－ 2)(x1＋x2)＋2m2＋2＝0， 即 m2＋ 2km＝0⇒m＝0 或 m＝－ 2k(舍去)． 所以 MN：y＝kx 过定点(0,0)． 当 MN 斜率不存在时 M，N 为短轴两端点，显然也符合题意 恒过定点(0,0)．
∴|OQ|＝12|AF1|＝a． ∴Q 点的轨迹是以原点 O 为圆心，半径为 a 的圆．
(2)设 F1、F2 分别为双曲线ax22－by22＝1 的左、右焦点，A1、A 线的左、右顶点，P 为双曲线右支上的任一点，求证：以 A1A2 为 PF2 为直径的圆外切，又与以 PF1 为直径的圆内切.
[思路分析] 设 N、M 分别是 PF1、PF2 的中点，只要证明|O 并且|ON|＝12|PF1|－a.因为点 P 在双曲线的右支上，F1、F2 是双曲 具备了运用定义解题的条件，故应从双曲线的定义入手去探索证
(1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右顶点 A 的两条斜率乘积为－12的直线分别交椭圆于 问：直线 MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，
[教学课件]2018-2019版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课课件北师大版选修
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知识点五
三法求解离心率
1.定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y轴上，都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ c ，已知其中的 a 任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法. 2.方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求 离心率的十分重要的思路及方法.
知识点二
椭圆的焦点三角形
x2 y2 设P为椭圆 2＋ 2 ＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且 a b ∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图).
α (1)焦点三角形的面积 S＝b tan . 2
2
(2)焦点三角形的周长 L＝2a＋2c.
知识点三
双曲线及渐近线的设法技巧
8 11 1 所以 sin ∠F1PF2＝ ，所以 S△F1PF2 ＝ |PF1|· |PF2|· sin ∠F1PF2 27 2 1 8 11 ＝ ×3×9× ＝4 11.即△F1PF2 的面积为 4 11. 2 27
反思与感悟
涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义
结合解三角形的知识来解决.
图形
封闭图形
变量范围
|x|≤a，|y|≤b或
|y|≤a，|x|≤b
x≥0或x≤0或
y≥0或y≤0 无对称中心 一条对称轴
对称性
对称中心为原点 两条对称轴
顶点 离心率 决定形状的因素
四个 e＝ c，且0<e<1 a e决定扁平程度
两个 e＝ c ，且e>1 a
一个 e＝1
e决定开口大小 2p决定开口大小
第二章 圆锥曲线与方程
2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程学案新人教版
2.1.1 曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.知识点一曲线与方程的概念思考1 设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？(1){P|PA＝PB}(A，B是两个定点)；(2){P|PO＝3 cm}(O为定点).答案(1)线段AB的垂直平分线；(2)以O为圆心，3 cm为半径的圆.思考2 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.梳理一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考1 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明.答案不能.还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.思考2 方程x－y＝0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x－y＝0呢？答案方程x－y＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程x－y＝0的解.例如，点A(－2，－2)不满足方程，但点A 是第一、三象限角平分线上的点.方程x－y＝0能够表示第一、三象限的角平分线.梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度1 曲线与方程的判定例1 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是( )A.方程f(x，y)＝0的曲线是CB.方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC.f(x，y)＝0是曲线C的方程D.以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上答案 B解析不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A、C、D错误.举例如下：曲线C：一、三象限角平分线，方程为|x|＝|y|，显然满足已知条件，但A、C、D错.反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.跟踪训练1 设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是( )A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0答案 D解析“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A 、C 错，B 显然错.命题角度2 曲线与方程的概念应用例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是xy ＝±k .证明 ①如图，设M (x 0，y 0)是轨迹上的任意一点.因为点M 与x 轴的距离为|y 0|，与y 轴的距离为|x 0|，所以|x 0|·|y 0|＝k ，即(x 0，y 0)是方程xy ＝±k 的解.②设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程xy ＝±k 的解，则x 1y 1＝±k ，即|x 1|·|y 1|＝k .而|x 1|，|y 1|正是点M 1到纵轴、横轴的距离，因此点M 1到这两条直线的距离的积是常数k ，点M 1是曲线上的点.由①②可知，xy ＝±k 是与两条坐标轴的距离的积为常数k (k >0)的点的轨迹方程.反思与感悟 解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.跟踪训练2 写出方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线.解 由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0.即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1).类型二 曲线与方程关系的应用例3 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值. 解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，Q (2，3)不在此曲线上. (2)∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10.解得m ＝2或m ＝－185. 反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围.解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0. ∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋12. ∴k ≤12， ∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.1.曲线f (x ，y )＝0关于直线x －y －3＝0对称的曲线方程为( )A.f (x －3，y )＝0B.f (y ＋3，x )＝0C.f (y －3，x ＋3)＝0D.f (y ＋3，x －3)＝0 答案 D解析 由对称轴x －y －3＝0得x ＝y ＋3，y ＝x －3可知D 正确.2.方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x －y ＝0对称答案 C解析 同时以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变，所以方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线关于原点对称.3.方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________.答案 两条相交直线解析 原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0.4.若曲线ax 2＋by 2＝4过点A (0，－2)，B (12，3)，则a ＝________，b ＝________. 答案 4 1解析 ∵曲线过A (0，－2)，B (12，3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4b ＝4，14a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，a ＝4. 5.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________. 答案 4个点 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－2， ∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点.1.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.40分钟课时作业一、选择题1.“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 结合曲线方程的定义易得.2.曲线C 的方程为y ＝2x －1(1<x <5)，则下列四个点中在曲线C 上的是( )A. (0，0)B.(7，15)C.(2，3)D.(4，4)答案 C解析 由y ＝2x －1(1<x <5)得A ，B 的横坐标不满足题意，D 项中坐标代入后不满足方程，故选C.3.方程|x |＋|y |＝|xy |＋1表示的曲线是( )A.一条直线B.一个正方形C.一个圆D.四条直线 答案 D解析 由|x |＋|y |＝|xy |＋1得(|x |－1)(|y |－1)＝0，即x ＝±1或y ＝±1，因此该方程表示四条直线.4.下列方程对应的曲线是同一条曲线的是( )①y ＝log a x a ；②y ＝x 2；③y ＝log a a x ；④y ＝3x 3.A.①②B.③④C.②④D.①③答案 B解析 由y ＝log a a x ＝x ，y ＝3x 3＝x ，得③④表示同一条曲线.5.过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2＝1的两条互相垂直的半径OA 、OB ，若在该圆上存在一点C ，使得OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )，则以下说法正确的是( )A.点P (a ，b )一定在单位圆内B.点P (a ，b )一定在单位圆上C.点P (a ，b )一定在单位圆外D.当且仅当ab ＝0时，点P (a ，b )在单位圆上答案 B解析 ∵OC →2＝(aOA →＋bOB →)2，且OA →⊥OB →，∴a 2＋b 2＋2abOA →·OB →＝a 2＋b 2＝1，因此点P (a ，b )一定在单位圆上，故选B.6.方程|x |－|y |＝0表示的图形是下图中的( )答案 C解析 由|x |－|y |＝0知y ＝±x ，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线.7.已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，若动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围的面积为( )A.9πB.8πC.4πD.π答案 C解析 设P (x ，y )，∵|PA |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，∴(x －2)2＋y 2＝4.∴点P 的轨迹为以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，∴所围成的面积S ＝π·22＝4π.二、填空题8.设命题甲：点P 的坐标适合方程f (x ，y )＝0，命题乙：点P 在曲线C 上，命题丙：点Q 坐标不适合f (x ，y )＝0，命题丁：点Q 不在曲线C 上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件.答案 充分不必要解析 依题意可知，曲线C 上的点都满足方程，但以满足方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点不一定都在曲线C 上，那么逆否命题为不满足方程的解为坐标的点一定不在曲线C 上，从而丙是丁的充分条件，但不是必要条件.9.方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是____________.答案 点(1，2)解析 由(x －1)2＋y －2＝0，知(x －1)2＝0且y －2＝0即x ＝1且y ＝2，所以(x －1)2＋y －2＝0表示的是点(1，2).10.在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________.答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝(1－2)2＋(0＋1)2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.三、解答题11.直线y ＝x －2与曲线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，求证：OA ⊥OB .证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，y 2＝2x ，消去y 并整理，得x 2－6x ＋4＝0， 由x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4，从而有y 1·y 2＝(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝4－12＋4＝－4.又OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝4－4＝0，∴OA →⊥OB →，即OA ⊥OB .12.已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积.解 由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.13.已知两曲线f(x，y)＝0与g(x，y)＝0的一个交点为P(x0，y0).求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上.证明因为P(x0，y0)是两曲线的交点，所以点P的坐标既满足方程f(x，y)＝0，又满足方程g(x，y)＝0，即f(x0，y0)＝0且g(x0，y0)＝0，故f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0，所以P(x0，y0)的坐标是方程f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0的解，故点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上.。
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2．6.1 曲线与方程在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中．问题1：直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？提示：相等．问题2：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？提示：不对．问题3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y＝±x.曲线的方程和方程的曲线如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．正确理解曲线与方程的概念(1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．曲线与方程的概念[例1] 如果曲线C上的点满足方程F(x，y)＝0，有以下说法：①曲线C的方程是F(x，y)＝0；②方程F(x，y)＝0的曲线是C；③坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线C上；④坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线C上．其中正确的是________．(填序号)[思路点拨] 根据曲线与方程的概念进行判断．[精解详析] 依据曲线的方程及方程的曲线的定义，曲线上的点应具备纯粹性和完备性．由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性．[答案] ④[一点通] 判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．1．判断下列结论的正误，并说明理由．(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3；(2)到y轴距离为2的点的直线方程为x＝－2.解：(1)正确．理由如下：∵满足曲线方程的定义．∴结论正确．(2)错误．理由如下：∵到y轴距离为2的点的直线方程还有一个，∴结论错误．2. 下列方程表示如图所示的直线c，对吗？为什么？(1)－＝0；(2)x2－y2＝0；(3)|x|－y＝0.解：第(1)题中，曲线C上的点不全都是方程－＝0的解，如点(－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第(2)题中，尽管“曲线C上的坐标都是方程的解”，但以方程x2－y2＝0的解为坐标的点不全在曲线C上，如点(2，－2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第(3)题中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：点与曲线的位置关系[例2] 方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0的曲线经过点A(0，－3)、B(0,4)、C、D(8,0)中的________个．[思路点拨] 方程表示两条直线x－4y－12＝0和x＋2y－8＝0，但应注意对数的真数大于0，即x＋2y>0.[精解详析] 由对数的真数大于0，得x＋2y>0，∴A(0，－3)、C(，－)不符合要求；将B(0,4)代入方程检验，符合要求；将D(8,0)代入方程检验，符合要求．[答案] 2[一点通] 点与实数解建立了如下关系：C上的点(x0，y0)f(x，y)＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可．3．已知直线l：x＋y＋3＝0，曲线C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4，若P(1，－1)，则点P与l、C的关系是________．解析：由1－1＋3≠0，∴P不在l上，即P?l；又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4，∴点P在曲线C上，即P∈C.答案：P?l，P∈C4．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)、M2(－2，2)是否在这个圆上．解：(1)设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以＝5，也就是x ＋y＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．(2)设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x＋y＝25，两边开方取算术平方根，得＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．由(1)、(2)可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M1(3，－4)的坐标代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－2，2)的坐标代入方程x2＋y2＝25，左右两边不等，(－2，2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．坐标法在求曲线的方程中的应用[例3] 如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m．试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．[思路点拨] 按照对称建系，把中心放在坐标原点上，焦点放在坐标轴上，然后用待定系数法求解．[精解详析] 如图，建立冷却塔的轴截面所在平面的直角坐标系xOy，使小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC′，BB′都平行于x轴，且CC′＝13×2，BB′＝25×2.设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，易知a＝12，令点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y－55)．因为点B，C在双曲线上，所以由方程②，得y＝(负值舍去)，代入方程①，得－＝1，化简得19b2＋275b－18 150＝0.③用计算器解方程③，得b≈25.所以，所求双曲线的方程为－＝1.[一点通] 对于此类已知曲线类型求曲线方程的实际应用问题，求解的关键是建立适当的平面直角坐标系，利用待定系数法求解．采用此法要善于联系平面图形的性质，建立恰当的直角坐标系．5.一种卫星接收天线的轴截面如图，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为4.8 m，深度为0.5 m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程．解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合．设抛物线的标准方程是y2＝2px(p＞0)．由已知条件可得，点A的坐标是(0.5，2.4)，代入方程，得2.42＝2p×0.5，即p＝5.76.所以，所求抛物线的标准方程是y2＝11.52x.1．理解曲线的方程与方程的曲线的概念必须注意：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可．2．点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件是f(x0，y0)＝0.[对应课时跟踪训练(十五)]1．曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的序号是________．①(0,0)；②；③(1,5)；④(4,4)．解析：∵y＝x(1≤x≤5)，∴(4,4)在曲线C上．答案：④2．若P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，则a的值为________．解析：∵P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，∴4－9a＝1，解得a＝.答案：3．以下各组方程表示的曲线相同的是________(填序号)．①x2＝y2与y＝|x| ②y＝与y＝10lg x③xy＝1与y＝④＝1与＝1解析：①、②、③中方程表示的曲线不相同．答案：④4．方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线是________．解析：由题意，得或x＝1，故方程表示的是一条射线与一条直线．答案：一条射线与一条直线5．若点M(m，m)在曲线x－y2＝0上，则m的值为________．解析：∵点M在曲线x－y2＝0上，∴m－m2＝0，解得m＝0或m＝1.答案：0或16．下列命题是否正确？若不正确，说明原因．(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|＝2；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝x.解：(1)错误，因为以方程|x|＝2的解为坐标的点，不都在直线l上，直线l只是方程|x|＝2所表示的图形的一部分．(2)错误，因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线y＝x和y＝－x，故命题错误．7．已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断P(1，－2)，Q(，3)两点是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M(，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值．解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10，而()2＋(3－1)2≠10.所以点P(1，－2)在方程表示的曲线上，点Q(，3)不在方程表示的曲线上．(2)因为点M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，所以2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－.8. 如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，AM＝，AN＝3，且BN＝6，建立适当的坐标系，求曲线C的方程．解：如图，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，点O为坐标原点．依题意可设曲线C的方程为y2＝2px(p>0)，则p＝MN.由题意知x1≤x≤x2，y>0，其中x1、x2分别为A、B的横坐标．∵M、N，AM＝，AN＝3，∴解得或∵△AMN为锐角三角形，∴>x1，故舍去∴由点B在曲线C上，得x2＝BN－＝4.综上得，曲线C的方程为y2＝8x(1≤x≤4，y>0)．。