数值分析练习1-3章
数值分析第1章习题
一 选择题(55分=25分)(A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字)A. 4和3B. 3和2C. 3和4D. 4和4解,时,,m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。
当时,, ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。
(A)2. 为了减少误差，在计算表达式时，应该改为计算，是属于（）来避免误差。
（避免误差危害原则）A.避免两相近数相减；B.化简步骤，减少运算次数；C.避免绝对值很小的数做除数；D.防止大数吃小数解：由于和相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。
(B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则）A.计算B.计算C.计算D.计算解:A会有大数吃掉小数的情况C中两个相近的数相减，D中两个相近的数相减也会增大误差(D)4.若误差限为,那么近似数0.003400有()位有效数字。
(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3解：即m-n= -5,，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字(A)5.设的近似数为，如果具有3位有效数字，则的相对误差限为()（有效数字与相对误差的关系）A． B. C. D.解：因为所以,因为有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a的相对误差限为二 填空题：(75分=35分)1.设则有2位有效数字，若则a有3位有效数字。
(有效数字)解:,时,，，m-n= -4,所以n=2,即有2位有效数字。
当时, ，m-n=-5,所以n=3,即有3位有效数字。
2.设=2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x=2.3150(有效数字)解：一般四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到最末位，有几位就称该近似数有几位有效数字，所以要取5位有效数字有效数字的话，第6位是5，所以要进位，得到近似数为2.3150.3.设数据的绝对误差分别为0.0005和0.0002，那么的绝对误差约为0.0007 。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析-课后习题答案
1.01
1.01
1
0.66
0.995
0.66
1.17
2
0.67
1.17
0.553333
1.223333
3
0.553333
1.165
0.517778
1.241111
4
0.556667
1.223333
0.505926
1.247037
5
0.517778
1.221667
0.501975
1.249012
6
0.518889
1-4.求方程x2-56x+1=0的两个根,使它们至少具有四 位有效数字 ( 7832.798)2.
解 x1=28+27.982=55.982,x2=1/x1=0.017863
精选课件
2
二.习题2 (第50页)
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
2.11
3-4.用J迭代法和G-S迭代法求解方程组Ax=b,其中
A 1 1
问取何值时这两种迭代法是收敛的? 解 J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为
B 0 0
G 0 0
2
易得:(B)=||,(G)=2.故当||<1时两种方法都收敛.
3-7.给定方程组
精选课件
16
(1 ) 3 x 1 x 1 2 2 x x 22 3 4
x2 0
1 4 1
x3
0
1 4 1x4 0
1精选课4件x5 200
8
解
4 1 1 4 1
44
111 444
11
数值分析练习题
第一章绪论1若误差限为0.5 10,，那么近似数0.003400有几位有效数字？(有效数字的计算) 解: X * =0.3400x10,， x —x * W 1x10, = 1x10工'2 2故具有3位有效数字。
2理=3.14159…具有4位有效数字的近似值是多少？(有效数字的计算) 解：二=0.314159…10,欲使其近似值二*具有4位有效数字，必需n -n <-x101^，兀一一 x10^ <n 兰兀十一疋10,，即 3.14109 兰兀 <3.142092 2 2第二章插值法6已知函数值f (0) =6, f (1) =10, f ⑶=46, f (4) = 82, f (6) = 212 ，求函数的四阶均差f[0, 1, 3, 4, 6]和二阶均差f[4,1, 3]。
(均差的计算)解：采用列表法来计算各阶均差，有1从表中可查得：f[0,1,3, 4,6] 。
根据均差的对称性，f[4,1,3] = f[1,3,4] =615第三章函数逼近与曲线拟合解得：a 1 =丄(e-e 二)，a 22第四章数值积分与数值微分12 求积公式o f (x)dx 讥f (0) A 1 f (1) - B 0 f (0)，试确定系数 A , A 及B 。
，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。
(代数精度的应用和计算)A o A i =1 A iB o =1/2 A 1 =1/3J] 4 . 4 . 4 . 4 . 1 J 4^!171 =0.6970 4 2 4 5 6 7 2 8 16801 (f, J = e x dx =e —e‘J法方程组为0 2 I 1 = 1，(f, 2) = j xe x dx = 2e‘e —e 」「°拙2」l 2e线性最佳平方逼近多项式为：p( x)1 1e-e ex 。
23解：分别取f (x) = 1, x , x，使求积公式准确成立，有2解得：A 。
数值分析第二版(丁丽娟)答案
练习： 第一章
答案
练习二 练习三
练习四
1、 什么是幂法？它收敛到矩阵 A 的哪个特征向量？ 若 A 的按模最大的特征值是单根，用幂法求此特征 值的收敛速度由什么量来决定？怎样改进幂法的收敛速度？
2、 反幂法收敛到矩阵的哪个特征向量？ 在幂法或者反ห้องสมุดไป่ตู้法中，为什么每步都要将迭代向量规范化？
，求差商 （2）
例6 设
，
Hermite 插值多项式 其误差余项。
，满足
例7已知函数 的取值如下，
x
－1
y
－1
y’
4
，求函数
在区间
上的
，
。并写出
0
1
3
1
3
31
28
求其三次样条插值函数
，并求出
在 -0.5 和2 的近似值。
练习六
1、解：由
由 10（1）解：
第七章答案 得
得
。
0
1
0 0.235294 0.400000 0.4800 0.5
16（3）解： 将
代入得
，
解得：
对于求积公式 有2次代数精确度。
，
，将
代入不成立，因此公式具
19（1）解：
将
代入得
将
代入得
将
代入得
因此其代数精确度为2次，不是 Gauss 型求积公式。
21、解：三点公式
16.007498295841852 16.002385008517887
16.002177786576915 16.00069286350589
则开根号得 4.000114446266071 4.000272214059553 4.000086607000640
数值分析作业题(1)
第一章 误差与算法1. 误差分为有__模型误差___, _观测误差___, __方法误差____, ___舍入误差____, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 .2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。
0.2499作为1/4的近似值, 有几位有效数字？00.24990.249910,0m =⨯=即，031|0.2499|0.00010.5100.510,34m n n ---=<⨯=⨯=即22 3.1428751...,7=作为圆周率的近似值，误差和误差限分别是多少，有几位有效数字？2133.142875 3.14159260.00126450.5100.510---=<⨯=⨯有3位有效数字.* 有效数字与相对误差的关系3. 利用递推公式计算积分110,1,2,...,9n x n I x e dx n -==⎰错误!未找到引用源。
, 建立稳定的数值算法。
该算法是不稳定的。
因为:11()()...(1)!()n n n I n I n I εεε-=-==-111n n I I n n -=-， 10110I =4. 衡量算法优劣的指标有__时间复杂度,__空间复杂度_.时间复杂度是指: , 两个n 阶矩阵相乘的乘法次数是 , 则称两个n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂度为 .二 代数插值1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange 和Newton 插值多项式, 并写出误差估计式, 以及验证插值多项式的唯一性。
x 0 1 4f(x) 1 9 3Lagrange:设0120120,1,4;()1()9()3x x x f x f x f x ======则，， 对应 的标准基函数 为:1200102()()(1)(x 4)1()(1)(x 4)()()(01)(04)4x x x x x l x x x x x x ----===------ 1()...l x =2()...l x =因此, 所求插值多项式为:220()()()....i i i P x f x l x ===∑ (3)2()()(0)(1)(x 4)3!f R x x x ξ=--- Newton:构造出插商表:xi f(xi ) 一 二 三0 11 9 84 3 -2 -5/2所以, 所求插值多项式为:2001001201()()[,]()[,,]()()518(0)(0)(1)2...P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x =+-+--=+----=插值余项: 2()[0,1,4,](0)(1)(x 4)R x f x x x =---2. 已知函数f(0)=1,f(1)=3,f(2)=7,则f[0,1]=___2________, f[0,1,2]=____1______)('],[000x f x x f =3.过0,1两节点构造三次Hermite 插值多项式, 使得满足插值条件: f(0)=1. .’(0)=... f(1.=2. .’(1)=1设0101010,1,()1()2'()0,'()1x x f x f x f x f x ======则，， 写出插商表:xi f(xi) 一 二 三0 10 1 01 a 1 11 a 1 0 a-1因此, 所求插值多项式为:插值余项:222()[0,0,1,1,](1)R x f x x x =-4.求f(x)=sinx 在[a,b]区间上的分段线性插值多项式, 并写出误差估计式。
数值分析第二版(丁丽娟)答案
第二章答案
第三章答案
0 0.5 0.5 1 1 2.5000
5.0000 5.5000
第四章答案
2 10.5000 19.0000 19.5000
3 42.5000 91.0000 91.5000
4 170.5000 315.0000 315.5000
5 682.5000 1467.0000 1467.5000
第八章答案
练习： 第一章
答案
练习二 A 的哪个特征向量？ 若 A 的按模最大的特征值是单根，用幂法求此特征 值的收敛速度由什么量来决定？怎样改进幂法的收敛速度？
2、 反幂法收敛到矩阵的哪个特征向量？ 在幂法或者反幂法中，为什么每步都要将迭代向量规范化？
1.32
1.68
2.08
2.52
3.00
解答下列问题 （1）试列出相应的差分表； （2）写出牛顿向前插值公式； （3）用二次牛顿前插公式计算 f（0.225）；
例3已知当 x=-1，0，2，3时，对应的函数值为
，
，
，
，
，求 的四次 Newton 插值多项式。
例4 设 对 n=1,2,3时
，证明：
例5 设 （1）
第一章答案第二章答案第三章答案第四章答案050525000500005500010500019000019500021000000000000000380001950004250009100009150001700000000000000018199999999999999166363636363636371705000315000031550001623809523809523716578947368421051161794871794871796825000146700001467500016058823529411764161208791208791201603825136612021827305000505100005051500016014662756598241160349206349206351601109350237717910922500023483000023483500016003663003663004160074982958418521600238500851788743690500080827000080827500016000915583226515160021777865769151600069286350589则开根号得400011444626607140002722140595534000086607000640对应的特征向量为第五章答案第六章答案2727930204331053600038939418364475947673代入数据得132解
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
数值分析习题与答案
第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限和相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值和函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值和二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差和导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析 第1-4章习题
第1-4章一、叙述1．内积2．泛函数列强收敛3．Bessel不等式4．距离空间、赋范线性空间、内积空间的关系。
5．Cauchy点列6．距离空间的稠密性、可分性7．范数8．Cauchy-Schwarz不等式9．赋范线性空间成为内积空间的条件10．广义Fourier级数11．商高定理并证明。
12．内积与范数关系。
13．叙述并证明距离成为赋范线性空间的条件。
二、举例1.完全规范正交系2.有界线性泛函，有界非线性泛函。
3.不完备的线性空间4.Bessel不等式5.由内积导出的范数6.由内积导出的距离7.不完备的内积空间8.Cauchy点列9.泛函的范数10.距离空间的稠密性和可分性，并各举一例。
X的强收敛，举例。
11.n12.线性算子、非线性算子各一例。
13.稠密子集14.不完备的内积空间Xρ中子集合A在子集合B中稠密的概念，并举例说明。
15.距离空间(,)16.什么是可分的Hilbert空间，并举例说明。
17.什么是巴拿赫(Banach)空间，举一个Banach空间的例子。
18.19.三、证明T有界。
1.线性算子T有界的充要条件是||||2. 设(,)x y ρ为距离空间X 的距离，证明：(,)1(,)x y x y ρρ+也是距离空间的距离。
3. 证明内积(,)x y 是,x y 的连续泛函。
4. 证明距离空间中，距离(,)x y ρ是两个变元,x y 的连续函数。
5. 距离空间成为赋范线性空间的条件，并证明。
6. 由范数的三角不等式推出||||||||||||||x y x y −≤−，并由此推出范数的连续性。
7. 在实数空间中，求证||(,)1||x y x y x y ρ−=+−满足距离公理。
8. 赋范线性空间(,||||)E i 也是距离空间；9. 当距离空间(,)X ρ满足下列两个条件时，也是赋范线性空间：（1）X 是线性空间；（2）(,)(,0),(,)||(,0)x y x y x y x ρρρααρ=−=。
数值分析练习题附答案
目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注：将近似值改写为标准形式X 1 =（5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4）*101 即n=4,m=1 绝对误差限｜△X 1｜=｜X *1-X 1｜≤ 12×10m-n ＝12×10-3 相对误差限｜△r X 1｜= ｜X∗1−X1｜｜X∗1｜≤｜X∗1−X1｜｜X1｜= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注：原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法（直接法）2-1用列主元Gauss消元法解方程组解：回代得解：X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解，并求解方程组Ax=b,其中解：(注：详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y＝P b 其中P为单位阵（原因是A矩阵未进行行变换）即L y＝P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)＝(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux ＝y ，得到结果x即Ux ＝y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)＝(y 1y 2y 3)＝(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x ＝(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解，求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) ， b ＝(123)解：（注：课本 P 26 P 27 根平方法）设L=(l i j )，D=diag(d i )，对k=1,2,…,n,其中d k =a kk －∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11－∑l 1j 20j=1d j =16－0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22－∑l 2j 21j=1d j =5－(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=－32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解：A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解：A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)＝(123) ，得(y 1y 2y 3)＝(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)＝(0.250.8751.7083) ，得(x 1x 2x 3)＝(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组：解：(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)＝(100200)，得(y1y2y3y4y5)＝(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)＝(256.66671.785700.4784753.718)，得(x1x2x3x4x5)＝(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法（迭代法）2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3（1） 写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式（分量形式） （2） 讨论这两种迭代法的收敛性（3） 取初值x (0)=(0，0，0)T ，若用Jacobi 迭代法计算时，预估误差 ｜｜x*-x (10)｜｜∞ （取三位有效数字）解：（1）Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR（2）因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω（3）由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。
数值分析习题答案
第一章 绪论3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：**1 1.1021x =,**20.031x =, **3385.6x =, **456.430x =,**57 1.0.x =´解：*1 1.1021x =是五位有效数字；是五位有效数字；*20.031x =是二位有效数字；是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字；是四位有效数字；*456.430x =是五位有效数字；是五位有效数字； *57 1.0.x =´是二位有效数字。
是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
题所给的数。
解：解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x e e e e e -----=´=´=´=´=´ ***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x e e e e ----++=++=´+´+´=´***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x e e e e ---=++=´´´+´´´+´´´»**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x e e e ---+»´´+´´=´= 6．设028Y =，按递推公式11783100n n Y Y -=- （n=1,2,n=1,2,……）计算到100Y 。
数值分析章节练习题
数值分析章节练习题数值分析是一门研究利用计算机和数学方法进行数值计算和数值模拟的学科。
在数值分析的学习过程中，解决各种练习题是非常重要的。
本文将使用合适的格式给出数值分析的章节练习题。
练习题1已知非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0，试用二分法求方程的根，并计算精确度ε要求小于等于10^-5。
解答：为了使用二分法求解，我们需要先找到一个方程f(x)在两个初始点a和b之间变号的区间[a, b]。
根据f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0，我们可以尝试让a = 2和b = 3，计算f(2) = -1和f(3) = 16，结果符号相反，说明[a, b]内有方程的根。
接下来，我们将[a, b]等分为两个子区间。
我们选择其中一个子区间，并判断它内部是否还有方程的根。
继续等分的过程可以一直进行下去，直到满足我们的精确度要求。
具体的计算过程如下：1. 计算中点c = (a + b) / 2，并计算f(c)的值。
2. 判断f(c)和f(a)的符号是否相同。
2.1 如果符号相同，说明方程的根在[c, b]区间内，将a的值更新为c。
2.2 如果符号不同，说明方程的根在[a, c]区间内，将b的值更新为c。
3. 重复步骤1和步骤2，直到满足精确度的要求。
通过上述的计算过程，我们最终得到方程f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0的根为x ≈ 2.09455，满足精确度要求。
练习题2已知函数f(x) = sin(x)，使用拉格朗日插值多项式求解f(0.45)的近似值。
解答：拉格朗日插值多项式可以用于在给定的一些数据点上近似估计函数的值。
该多项式的表达式如下所示：P(x) = Σ[yj * Lj(x)], j = 0, 1, 2, ..., n其中yj为已知数据点的函数值，Lj(x)表示拉格朗日基函数，计算公式如下：Lj(x) = Π[(x - xi) / (xj - xi)], i = 0, 1, 2, ..., n, i ≠ j对于给定的函数f(x) = sin(x)，我们可以选择一些数据点来近似估计f(x)在其他点的值。
数值分析
数值分析 第一章： 误差估计绝对误差，相对误差，有效数字。
大数吃小数。
（填空）三角分解（大题）杜利脱尔分解，克洛脱分解，乔列斯基分解，平方根法，追赶法， 例 1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度为 ，问： 各是多少？两直杆的实际长度 在什么范围内？ 例2 设 是分别由准确值 经过四舍五入而得到的近似值， 问： 各是多少？例3 下列近似值的绝对误差限都是0.005， 问：各个近似值有几位有效数字？求和时从小到大相加，可使和的误差减小。
1、下列各近似值均有四位有效数字，试指出它们的绝对误差限和相对误差限。
2、下列近似值的绝对误差限都是0.0005，试指出它们有几位有效数字。
3、在四位十进制的限制下，试选择精确度最高的算法，计算下式的值。
答案：1、0.000005,0.03712%;0.005,0.04052%;0.0005,0.04167%.2、4、2、03、1342004、 高斯消去法步骤：(1) 首先将增广阵 [ A, b ] 化为上三角阵； (2) 用三角方程组，回代求解 。
例1在四位十进制的限制下，分别用不选主元高斯消去法与列选主元高斯消去法求解下列方程组。
mm b mm a 24,312==)( ,)( ,)(,)(b a b a r r εεεεm m y m m m m x m m b b b a a a m m b a r r 5.245.23,5.3125.311%,08.2245.0)()( %,16.03125.0)()( ,5.0)()(≤≤≤≤≈==≈====εεεεεε1200.2,18.2=-=b a )( ,)( ,)(,)(b a b a r r εεεε%0024.01200.200005.0)()( %,23.018.2005.0)()( 05000.0)(,005.0)(≈==≈====b b b a a a b a r r εεεεεε41086.0,0312.0,38.1-⨯=-==c b a 200.1,341.12,01347.0-=-==c b a 00032.0,042.0,00031.1-==-=c b a 906050401013402++++⨯=u )1(41,1411---==+n n n n y ny n y y 1231231230.012 0.0100.1670.67810.8334 5.91012.132001200 4.2981x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解：用顺序消去法的消元过程：回代后，得列选主元高斯消去法的消元过程：回代后，得杜利脱尔分解：如果方程组 Ax =b 的系数阵 A 能分解为A =LU ， 其中，L 是下三角矩阵，U 是上三角矩阵.例1.3 用矩阵的杜利脱尔（Doolittle ）分解解方程组解：设 比较两边系数得:3215.546,100.0,104.0x x x ===-3215.546,45.76,17.46x x x ==-=11121212221210010010n n n n nn u u u l u u A l l u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0.01200.0100.16700.67811.0000.8334 5.91012.1032001200 4.200981.0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦320.01200.0100.16700.678100.1000108.01044.4101467445410179810-⎡⎤⎢⎥→⨯--⎢⎥⎢⎥--⨯-⨯⎣⎦3550.01200.0100.16700.678100.1000108.01044.4100117510654710-⎡⎤⎢⎥→⨯--⎢⎥⎢⎥-⨯-⨯⎣⎦0.01200.0100.16700.67811.0000.8334 5.91012.1032001200 4.200981.0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦232001200 4.200981.000.45845.90911.7900.5500100.16700.6744-⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⨯⎣⎦32001200 4.200981.000.4584 5.90911.79000.096090.5329⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦.201814513252321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x LU u u u u u u l l l =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332322131211323121111513252321⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=======2454132321333223223121131211u l u u l l u u u ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2441321153121U L 于是练习： 用矩阵的杜利脱尔（Doolittle ）分解 A=LU 解方程组。
数值分析第一章练习
第一章习题一、填空题1、为了使计算 32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为 。
2、若a=2.42315是2.42247的近似值，则a 有( )位有效数字.3、求方程011015.02=--x x 的根，要求结果至少具有6位有效数字。
已知0099.10110203≈，则两个根为=1x ，=2x .（要有计算过程和结果）4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( )位有效数字；5*x 的相对误差的( )倍；6、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；7、计算方法主要研究( )误差和( )误差；8、722,141.3,142.3分别作为π的近似值有 , , 位有效数字。
9、设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则A x 有_______位有效数字。
10、按四舍五入原则数2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为 和 。
11、-43.578是舍入得到的近似值，它有 ( ) 位有效数字，相对误差限为( )。
二、选择题1、用1+3x 近似表示31x +所产生的误差是( )误差。
A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D. 截断2、-324.7500是舍入得到的近似值，它有( )位有效数字。
A. 5B. 6C. 7D. 83、用s *=21g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 ( g 为重力加速度 )， s t 是在时间t 内的实际距离，则s t - s *是（ ）误差。
A. 舍入B. 观测C. 模型D. 截断4、舍入误差是( )产生的误差。
A. 只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C. 观察与测量D.数学模型准确值与实际值5、3.141580是π的有( )位有效数字的近似值。
A. 6B. 5C. 4D. 7三、计算题1、为了使20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？2、设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x 的误差限。
数值分析练习1-3章
数值分析练习1-3章第⼀章绪论⼀、填空题1、已知 71828.2e =，求x 的近似值a 的有效数位和相对误差：题号精确数xx 的近似数aa 的有效数位a 的相对误差⑴ e 2.7 ⑵ e 2.718 ⑶ e/100 0.027 ⑷e/1000.027182、设原始数据x 1，x 2，x 3和x 4的近似值（每位均为有效数字）如下：a 1=1.1021，a 2=0.031，a 3=385.6，a 4=56.430则⑴ a 1+a 2+a 4= ，相对误差界为；⑵ a 1a 2a 3= ，相对误差界为；⑶ a 2/a 4= ，相对误差界为。
⼆、为使20的近似值的相对误差⼩于0.01%，问应取多少位有效数字？三、当x 接近于0时，怎样计算xxsin cos 1-以及当x 充分⼤时，怎样计算x x -+1，才会使其结果的有效数字不会严重损失。
四、在数值计算中，为了减⼩误差，应该尽量避免的问题有哪些？并举出相应的实例.五、对于序列,1,0,9991=+=?n dx x x I nn ，试构造两种递推算法计算10I ，在你构造的算法中，那⼀种是稳定的，说明你的理由；第⼆章插值法１、在互异的n+1个点处满⾜插值条件P(x i )=y i ,(i=0,1,…n)的次数不⾼于n 的多项式是( )的(Ａ)存在且唯⼀ (Ｂ)存在 (Ｃ)不存在 (Ｄ)不唯⼀2、当f(x)是次数不超过n 的多项式时，f(x)的插值多项式是 ( )(Ａ)不确定 (Ｂ)次数为n (Ｃ)f(x)⾃⾝（D ）次数超过n 3、插值基函数的和j jx l)(= ( )(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定4、设f(x)=x 3-x+5，则f[20,21,22,23]= ( )； f[20,21,22,23,24]= ( )(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定5、( )插值⽅法具有公式整齐、程序容易实现的优点，⽽( )插值⽅法计算灵活，如果节点个数变化时，不需要重新构造多项式，它们都是( )的⽅法(Ａ)构造性 (Ｂ)解⽅程组 (Ｃ)拉格朗⽇ (Ｄ)⽜顿６、⼀般地，内插公式⽐外推公式( ),⾼次插值⽐低次插值( )，但当插值多项式的次数⾼于七、⼋次时，最好利⽤( )插值公式 (Ａ)粗糙 (Ｂ)精确 (Ｃ)分段低次 (Ｄ)⾼次７、整体光滑度⾼，收敛性良好，且在外型设计、数值计算中应⽤⼴泛的分段插值⽅法为（）.（Ａ）分段线性插值（Ｂ）分段抛物插值（Ｃ）分段三次埃尔⽶特插值（Ｄ）三次样条插值。
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第一章 绪论一、填空题1、 已知 71828.2e =，求x 的近似值a 的有效数位和相对误差：题号精确数xx 的近似数aa 的有效数位a 的相对误差⑴ e 2.7 ⑵ e 2.718 ⑶ e/100 0.027 ⑷e/1000.027182、 设原始数据x 1，x 2，x 3和x 4的近似值（每位均为有效数字）如下：a 1=1.1021，a 2=0.031，a 3=385.6，a 4=56.430则 ⑴ a 1+a 2+a 4= ，相对误差界为 ； ⑵ a 1a 2a 3= ，相对误差界为 ； ⑶ a 2/a 4= ，相对误差界为 。
二、为使20的近似值的相对误差小于0.01%，问应取多少位有效数字？三、当x 接近于0时，怎样计算xxsin cos 1-以及当x 充分大时，怎样计算x x -+1，才会使其结果的有效数字不会严重损失。
四、在数值计算中，为了减小误差，应该尽量避免的问题有哪些？并举出相应的实例.五、对于序列,1,0,9991=+=⎰n dx x x I nn ，试构造两种递推算法计算10I ，在你构造的算法中，那一种是稳定的，说明你的理由；第二章 插值法１、在互异的n+1个点处满足插值条件P(x i )=y i ,(i=0,1,…n)的次数不高于n 的多项式是( )的(Ａ)存在且唯一 (Ｂ)存在 (Ｃ)不存在 (Ｄ)不唯一2、当f(x)是次数不超过n 的多项式时，f(x)的插值多项式是 ( )(Ａ)不确定 (Ｂ)次数为n (Ｃ)f(x)自身 （D ）次数超过n 3、 插值基函数的和∑=nj jx l)(= ( )(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定4、 设f(x)=x 3-x+5，则f[20,21,22,23]= ( )； f[20,21,22,23,24]= ( )(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定5、( )插值方法具有公式整齐、程序容易实现的优点，而( )插值方法计算灵活，如果节点个数变化时，不需要重新构造多项式，它们都是( )的方法(Ａ)构造性 (Ｂ)解方程组 (Ｃ)拉格朗日 (Ｄ)牛顿６、一般地，内插公式比外推公式( ),高次插值比低次插值( )，但当插值多项式的次数高于七、八次时，最好利用( )插值公式 (Ａ)粗糙 (Ｂ)精确 (Ｃ)分段低次 (Ｄ)高次７、整体光滑度高，收敛性良好，且在外型设计、数值计算中应用广泛的分段插值方法为（ ）.（Ａ）分段线性插值 （Ｂ）分段抛物插值 （Ｃ）分段三次埃尔米特插值 （Ｄ）三次样条插值。
８、差商与差分的关系式为f[x 0,x 1,…,x k ]=（ ）,f[x n ,x n-1,…,x n-k ]=（ ）。
（Ａ）k n k h k f !∆ （Ｂ）k k h k f !0∆ （Ｃ）k n k h k f !∇ （Ｄ）kk h k f !0∇二、填空题1、插值问题是指。
通常称 为插值函数， 为插值区间， 为被插值函数， 称为插值节点。
2、讨论代数多项式插值问题的原因是 。
3、Lagrange 插值多项式为_________________ 。
4、设函数Y=F(X)在[a,b]上的n 阶导数()()X F n 连续，()()X F n 1+在（a,b ）内存在，Ln(x)是F(X)在n x x x ,,,10 处的n 次Lagrange 插值多项式，则对[a,b]中每一个点x 存在依赖于x 的点[]b a x ,∈ξ，使插值余项R(x)= 。
其插值误差与 有关。
5、牛顿插值公式为 ________________。
6、埃尔米特插值问题是解决 。
7、样条插值问题的提法是 。
记 称为S(x)在节点k x 处的弯矩。
称为三弯矩法。
８、已知函数Y=F(x)的观测数据为X 1 2 3 4 Y-5-63则三次Lagrange 插值多项式为。
三、已知函数表：X 0.32 0.340.36Y=sinX0.3145670.333487 0.352274分别用拉格朗日线性插值和抛物线插值求sin0.3367的近似值，并估计截断误差。
四、已知F(x)=Shx 的函数值X 0.4 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05 Y0.410750.578150.696750.888111.026521.25382求()x N 3，再由()x N 3增加节点x=0.9求()x N 4，并计算F(0.596)的近似值。
五、给定f(X)=cosX 的函数值 X0.00.10.20.30.40.50.6F(X) 1.0 0.995 0.98006 0.95533 0.92106 0.87758 0.82533求cos0.048及cos0.575的值，并估计余项。
六、给定函数表为X 2.2 2.4 2.6 F(x)0.5207843 0.5104147 0.4813306 ()x F '-0.0014878-0.1004889-0.1883635利用Hermite 插值求F(2.5)的近似值。
七、已知函数Y=F(x)的函数值X 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 F(x)0.50000.54770.62450.67080.7280求三次样条插值函数S(x)，使其满足()()053.025.0""==S S 。
八、设f(x)=22511x +在［-１，１］上，取n=5,按等距节点求分段线性插值函数()x I h ,并求各节点中间处()x I h 的值。
九、证明：n 次拉格朗日插值基函数()x L 0可写成()()()()()()()()()()()n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L ------++----+--+=-0201011020101010001十、证明：n 阶差商的下列性质：⑴若F(x)=cf(x),则F[n x x x ,,,10 ]=cf[n x x x ,,,10 ]； ⑵若F(x)=f(x)+g(x)，则F[n x x x ,,,10 ]=f[n x x x ,,,10 ]+g[n x x x ,,,10 ]。
十一、数值试验题１、已知由ＭＡＴＬＡＢ生成的一组原始数据t=linspace(0,5,100);y=1-cos(3*t).*exp(-t)，确定它们所代表的函数穿越95.0=y 线的时刻。
（１）通过图形初步判断第一个穿越时刻(利用plot 与ginput)； （２）利用插值获得较准确的穿越时刻（分别利用一维插值interp1之中的nearest 、cubic 、spline 选项）；（３）利用求零点语句fzero 求穿越时刻，以便与（2）比较（可以不作）。
２、利用MATLAB 环境（１）画出函数f(x)=cos(x)在区间[0,pi]上的图形；（２）分别画出将上面区间等分成Ｎ＝４，1０，１００时的分段线性插值的图形。
第三章 函数逼近与曲线拟合一、选择题１、函数逼近的基本问题：(1)选定逼近函数类型，如( )、( )、( )(2)按一定逼近目标求逼近函数，如( )、( )、( )等最佳逼近问题 (3)研究逼近函数的( )、( )及( )等理论问题 (Ａ)三角多项式 (Ｂ)代数多项式 (Ｃ)简单函数 (Ｄ)最佳一致逼近 (Ｅ)最佳平方逼近 (Ｆ)最小二乘逼近 (Ｇ)存在唯一性 (Ｈ)收敛性 (Ｉ)误差估计 ２、设f(x)∈Ｃ[a,b]，m 和M 分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则f(x)的零次最佳一致逼近多项式为( )。
(Ａ)Ｍ (Ｂ)ｍ (Ｃ))(21m M - (Ｄ))(21m M + ３、)(x T n 在[-1,1]上的零点为k x ＝( ),(k=1,2,…,n)；极值点为k x ＝( ), (k=0,1,…,n),其极大极小值交替为 ( )。
（Ａ）n k πcos（Ｂ）πn k 212cos- （Ｃ）πn k 212cos + （Ｄ）πnk 1cos - ４、在最高次项系数是１的一切n 次多项式中，于区间[-1,1]上与零有最小偏差的多项式为( )。
(Ａ))(x T n (Ｂ))(211x T nn - (Ｃ)121-n (Ｄ))(21x T n n ５、对于连续函数f(x)，x ∈[a,b]，常用的范数有：∞)(x f ＝( )；1)(x f ＝( )；2)(x f ＝( )。
(Ａ)212))((⎰badx x f (Ｂ)2)(max x f bx a ≤≤ (Ｃ))(max x f bx a ≤≤(Ｄ)⎰b adx x f )( (Ｅ)⎰badx x f )(６、在所有首项系数为１的n 次多项式中，首项系数为１的n 次( )在[-1,1]上与零的平方逼近误差最小。
(Ａ)切比雪夫多项式 (Ｂ)勒让德多项式 (Ｃ)拉盖尔多项式 (Ｄ)埃尔米特多项式二、填空题１、Weierstrass 定理说明，定义在闭区间上的任何连续函数f(x)可以用________逼近到任意精确的程度。
２、对f(x)∈Ｃ[a,b]及任给的ε＞０，求n 次多项式P n (x)，使ε<-∞)()(x p x f n则称P n (x)为[a,b]上f(x)的 ，称在无穷范数意义下的逼近为_______________________；而称达到最小偏差的多项式为 ，该问题称为 。
３、对定义在[a,b]上的函数y=f(x)，求n 次多项式P n (x)，使min )()(2=-x p x f n则称P n (x)为 ，称在２范数意义下的逼近问题为 。
4、切比雪夫多项式为___________________________________； 多项式序列)}({x T n 关于权函数212)1()(--=x x ρ为＿ 。
８、函数31,,12-x x 在[-1,1]上的关系是__________。
９、对于超定方程组Ax=b ，用最小二乘法导出的法方程组为__________。
二、在区间[]π,0上给定函数x x f sin )(=，求其在},,1{2x x span =Φ上的关于1)(≡x ρ的最佳平方逼近多项式，并估计其误差。
三、求a,b 使⎰-+202]sin [πdx x b ax 达到最小。
四、利用勒让德多项式为基，求f(x)=x ４在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差22δ。
五、求解超定方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-4321212121x x x x x x 。
六、用最小二乘法求形如y=a+bx 2的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计平方误差。
x 19 25 31 38 44 y19.032.349.073.397.8七*、数值试验题： １、对给定数据表 X -0.75 -0.5-0.25 0 0.25 0.5 0.75y 0.33 0.88 1.44 2.00 2.56 3.13 3.71 试分别用Matlab 中的函数polyfit 作一次、二次、三次多项式拟合，并比较优劣。