专题5.3 解析几何中的范围问题_玩转压轴题突破140分之小学三年级数学选填题高端精品

2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的范围与最值问题(解析版)

2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的范围与最值问题（解析版）圆锥曲线中的范围与最值问题思路引导圆锥曲线中的范围、最值问题的求解常用的三种方法：(1)不等关系法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围；（2）基本不等式法：根据题意将函数变形为两项和或积的形式，利用基本不等式求范围；(3)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解．母题呈现考法1利用不等关系求最值（范围）【例1】（2022·三明一中模拟预测）已知椭圆的一个顶点A (0，－1)，焦点在x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．【解题指导】【解题技巧】寻找不等关系的突破口(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围;(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系;(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围;(4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围;(5)利用函数值域的求法,确定所求范围.【跟踪训练】（2022·石家庄二中模拟预测）已知双曲线的焦点在x ).(1)求双曲线的标准方程；(2)双曲线的左右顶点为A ，B ，且动点(),C m n ，(),D m n -在双曲线上，直线BC 与直线AD 交于点P ，()M，)N，求PM PN →→⋅的取值范围.考法2利用基本不等式求最值【例2】（2022·全国甲（理）T ）20.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．（1）求C 的方程；（2）设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．【例3】（2022·河南焦作·三模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线8y =与抛物线C 交于点P ，且5||2PF p =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，求PQ 的最小值．【解题技巧】巧用基本不等式求最值问题利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值。

专题2.15超越方程反解难,巧妙构造变简单-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品(原卷版)

专题15 超越方程反解难，巧妙构造变简单【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如0109623x x x ，22ln 22x x x x 方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域．2、求导数，得单调区间和极值点．[来源:学*科*网]3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况求解．【典例指引】例1．已知函数ln f x ax x x 在2x e 处取得极小值．（1）求实数a 的值；（2）设22l n F x x x x f x ，其导函数为F x ，若F x 的图象交x 轴于两点12,0,,0C x D x 且12x x ，设线段CD 的中点为,0N s ，试问s 是否为0Fx 的根？说明理由．例2．设函数21ln 2fx x ax bx （1）当3,2a b 时，求函数f x 的单调区间；（2）令21(03)2aF xf x ax bx x x ，其图象上任意一点00,P x y 处切线的斜率12k 恒成立，求实数a 的取值范围．（3）当0,1ab 时，方程f x mx 在区间21,e 内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．例3．已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．【同步训练】1．已知函数21e 2x f x t x （R t ），且f x 的导数为f x ．（Ⅰ）若2F x f xx 是定义域内的增函数，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）若方程222f x f x x x 有3个不同的实数根，求实数t 的取值范围．2．已知函数322ln 3f x ax x 的图象的一条切线为x 轴．（1）求实数a 的值；（2）令g x f x f x ，若存在不相等的两个实数12,x x 满足12g x g x ，求证：121x x ．3．已知函数ln f x a x x （0a ），2g x x ．（1）若f x 的图象在1x 处的切线恰好也是g x 图象的切线．①求实数a 的值；②若方程f xmx 在区间1,e 内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．（2）当01a时，求证：对于区间1,2上的任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有1212fx f x g x g x成立．[来源:Z,xx,]4．已知函数ln , 2.718f x x x e ．（1）设2216g x f x x e x ，①记g x 的导函数为g x ，求g e ；②若方程0g x a 有两个不同实根，求实数a 的取值范围；（2）若在1,e 上存在一点0x 使20011m f x x 成立，求实数m 的取值范围．[来源学科网]5．已知函数233x f x x x e ．（1）试确定t 的取值范围，使得函数f x 在2,(2)t t 上为单调函数；（2）若t 为自然数，则当t 取哪些值时，方程0f x z x R 在2,t 上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z 的取值范围．6．已知函数21ln ,f x x ax g x x b x ，且直线12y 是函数f x 的一条切线．（1）求a 的值；（2）对任意的11,x e ，都存在21,4x ，使得12f x g x ，求b 的取值范围；（3）已知方程f x cx 有两个根1212,()x x x x ，若1220g x x c ，求证: 0b ．[来源学。

专题5.3+解析几何中的范围问题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品

一．方法综述圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围； ③利用基本不等式求出取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定取值范围．二．解题策略类型一利用题设条件，结合几何特征与性质求范围【例1】【安徽省淮北一中2017—2018第四次月考】若A 点坐标为()1,1，1F 是椭圆225945y x +=的下焦点，点P 是该椭圆上的动点，则1PA PF +的最大值为M ，最小值为N ，则M N -=__________．【答案】22【指点迷津】本题求最值的方法采用了几何法，在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷．【举一反三】【湖北省重点高中联考协作体2016-2017期中考试】已知双曲线222:41(0)xC y aa-=>的右顶点到其一条渐近线的距离等于3，抛物线2:2E y px=的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线1:4360l x y-+=和2:1l x=-的距离之和的最小值为__________．【答案】2类型二通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围【例2】【2017届云南省云南师范大学附属中学适应性月考（五）】抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．【指点迷津】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键．【举一反三】【河南省漯河市高级中学2018届上学期第三次模拟】已知椭圆是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________．（用表示）【答案】即答案为.类型三利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围【例3】【江西省九江市2017年三模】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C x y =，点P 是C 的准线 l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为,A B ，则AOB ∆面积的最小值为（） A ．2 B ． 2 C ． 2 D ． 4 【答案】B【指点迷津】解决本题的难点在于利用导数的几何意义确定两个切点,A B 的横坐标间的关系，便于确定直线AB 在y 轴上的解截距．【举一反三】【2016-2017学年江苏泰州中学月考】已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），若椭圆的离心率13,22e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则a 的最大值为___________．【答案】10类型四利用基本不等式求范围【例4】【江西省南昌市第二中学2017-2018期中考试】如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆()22114x y -+=于点,,,A B C D 四点，则4AB CD +的最小值为（）A ．172 B ． 152 C ． 132 D ． 112【答案】C【解析】由题意得()1,0F ，即为圆的圆心，准线方程为1x =-．由抛物线的定义得1A AF x =+，又12AF AB =+，所以12A AB x =+．同理12D CD x =+． ①当直线l 与x 轴垂直时，则有1A D x x ==， ∴331544222AB CD +=+⨯=． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为()1y k x =-，由()21{4y k x y x=-=消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，∴22241,A D A D k x x x x k +⋅=+=，∴55134424222A D A D AB CD x x x x +=++≥=，当且仅当4A D x x =时等号成立．综上可得1342AB CD +≥．选C ．【指点迷津】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．【举一反三】【吉林省普通中学2018届第二次调研】已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且·6OAOB =u u u v u u u v（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是（）A ．73 B ． 6 C ． 132D ． 43 【答案】B设点A 在x 轴的上方，则10y >， ∵1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭∴()1212111111111331943426224222S S y y y y y y y y ⎛⎫+=⨯⨯-+⨯⨯=++=+≥ ⎪⎝⎭ 当且仅当11922y y =，即132y =时取等号 ∴124S S +的最小值是6，故选B. 类型五求解函数值域得范围【例5】【云南省师范大学附属中学2018届12月适应性月考】已知椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ，2l ， 1l 与椭圆C 相交于点A ，B ，2l 与椭圆C 相交于点C ，D ，则下列叙述不正确的是（）A ．存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为7 B ．存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为487C ．弦长AB 存在最大值，且最大值为4D ．弦长AB 不存在最小值【答案】D()2212134k CD k +=+，特别地当21k=时，247AB CD ==，即487AB CD +=，则B 正确；由()222121333434k AB k k+==+++，故当0k =时， AB 取到最大值4，则C 正确；由233334AB k =+>+，但当弦AB 的斜率不存在时， 3AB =，故AB 存在最小值3，故D 选项不对，故选D ．【指点迷津】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．【举一反三】【河南省2018届12月联考】已知过抛物线C ：28y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，若R 为线段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S ，则OS OR的取值范围是（）A ． ()0,2B ． [)2,+∞C ． (]0,2 D ． ()2,+∞ 【答案】D类型六利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围【例6】【福建省2016届高三毕业班总复习形成性测试】设直线l 与抛物线22y px =相交于A ，B 两点，与圆()2225(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）A ． ()1,3B ． ()1,4C ． ()2,3D ． ()2,4 【答案】D【举一反三】【2017-2018学年黑龙江省黑河市孙吴一中期中考试】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B 2、B 1、A 、F ，延长B 1F 与AB 2交于点P ，若∠B 1PA 为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为_____．【答案】15⎫-+⎪⎪⎝⎭【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a 、b 、c ，（22a b -可得∠B 1PA 等于向量2B A u u u u v 与21F B u u u u v的夹角，∵A（a ，0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，b ），F 2（c ，0）∴2B A u u u u v =（a ，﹣b ），21F B u u u u v =（﹣c ，﹣b ），∵∠B 1PA 为钝角，∴2B A u u u u v 与21F B u u u u v 的夹角大于2π，由此可得2B A u u u u v •21F B u u u u v ＜0，即﹣ac+b 2＜0，将b 2=a 2﹣c 2代入上式得：a 2﹣ac ﹣c 2＜0，不等式两边都除以a 2，可得1﹣e ﹣e 2＜0，即e 2+e ﹣1＞0，解之得e ＜152--或e ＞152-+，结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得152-+＜e ＜1，即椭圆离心率的取值范围为（152-+，1）．故答案为（152-+，1）．三．强化训练1．【辽宁省凌源市2018届上学期期末】已知直线:10l x y +-=截圆()222:0x y rr Ω+=>所得的弦长为14，点,M N 在圆Ω上，且直线()():12130l m x m y m -'++-=过定点P ，若PM PN ⊥，则MN 的取值范围为__________．【答案】62,62⎡⎤-+⎣⎦所以MN 的取值范围是62,62⎡⎤-+⎣⎦．2．【福建省莆田市第二十四中学2017-2018期第二次月考】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点,B F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是__________．【答案】2,31⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为： 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 3．【江西省临川第二中学2018届上学期第四次月考】如图所示，点F 是抛物线28y x =的焦点，点,A B 分别在抛物线28y x =及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是__________．【答案】(]8,125．【福建省2016届高三毕业班总复习形成性测试】如图，P 是双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0，xy≠0)上的动点，F 1，F 2是双曲线的焦点，M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且20F M MP ⋅=u u u u v u u u v．某同学用以下方法研究|OM|：延长F 2M 交PF 1于点N ，可知△PNF 2为等腰三角形，且M 为F 2N 的中点，得|OM|=12|NF 1|=…=a．类似地：P 是椭圆22221x y a b+= (a >b >0，xy≠0)上的动点，F 1，F 2是椭圆的焦点，M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且20F M MP ⋅=u u u u v u u u v，则|OM|的取值范围是________．【答案】0＜|OM|＜c ．【解析】延长F 2M 交PF 1于点N ，可知△PNF 2为等腰三角形，且M 为F 2N 的中点，得|OM|=|NF 1|=（|PF 1|-|PF 2|），∵|PF 1|+|PF 2|=2a ，∴|OM|=a -|PF 2|， ∵a -c≤|PF 2|≤a +c ，∵P、F 1、F 2三点不共线∴0＜a -|PF 2|＜c ，∴0＜|OM|＜c ．6．【贵州省凯里市第一中学2016-2017效果检测】点P 是圆()()22251x y -+-=上的点，点Q 是抛物线24y x =上的点，则点Q 到直线1x =-的距离与到点P 的距离之和的最小值是__________．【答案】261-【解析】如下图， ()1261d PQ QM AQ QF AF =+≥-+≥=-，所以填261-．7．【山东省日照第一中学2017届高三4月考试】过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且4AB =，这样的直线可以作2条，则P 的取值范围是_____________．【答案】02p <<()()1122,,,A x y B x y ，则21222k p px x k ++=，根据抛物线性质，得()122222pAB AF BF p x x p p k=+=++=+>．则抛物线的焦点弦中通径长最短，则要使满足4AB =的直线可以作2条，则通径24p <，即2p <．那么p 的取值范围是()0,2．故本题应填02p << 8．【2017届上海市奉贤区4月调研测试（二模）】双曲线2213y x -=的左右两焦点分别是12,F F ，若点P 在双曲线上，且12F PF ∠为锐角，则点P 的横坐标的取值范围是________．【答案】77,,22⎛⎫⎛⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；9．【河南省豫南六市2016-2017第一次联考】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆：222x y b +=相切于点Q ，若Q 是线段2PF 的中点，e 为C 的离心率，则223a e b+的最小值是______________ 5【解析】连接1,PF OQ ，由OQ 为中位线，可得1//OQ PF ，112OQ PF =，圆222x y b +=，可得OQ b =且12PF b =，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，可得222PF a b =-，又2OQ PF ⊥，可得12PF PF ⊥，即有()()()2222222b ab c +-=，即为2222222b a ab b c a b +-+==-，化为23a b =，即23b a =， 225c a b a =-=，即有5c e a ==，则222515155923229293a a ea a ba a a ++⎛⎫==+≥⋅⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当59a a=时，即5a =时等号成立，所以223a e b +的最小值为5．10．【2016-2017学年湖北省黄冈市黄冈中学上学期期末】如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为__________．【答案】，，所以，应填答案．11．【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018上学期期末】抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为__________．【答案】3∴()()1323a b MN AB a b +≤=+MN AB 3答案：3 12．【2017届河南省师范大学附属中学12月月考】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足(1)AP OA λ=-u u u r u u u r()R λ∈，且72OA OP ⋅=u u u r u u u r ，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为．【答案】15。

2020高考数学二轮复习专题三解析几何第11讲圆锥曲线中最值、范围问题练习

第11讲圆锥曲线中最值、范围问题课后自测诊断—-及时查漏补缺·备考不留死角1．已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上,则2m＋4的取值范围是______．解析:因为点（m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上,即在椭圆错误!＋错误!＝1上，所以点(m,n）满足椭圆的范围｜x｜≤错误!,|y|≤2错误!，因此｜m｜≤错误!，即－错误!≤m≤错误!，所以2m＋4∈[4－2错误!，4＋2错误!]．答案：[4－2错误!，4＋2错误!]2．(2019·常州期末)在平面直角坐标系xOy中，设直线l:x＋y ＋1＝0与双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧,则双曲线C的离心率e的取值范围是________．解析：双曲线的渐近线分别为y＝错误!x,y＝－错误!x,依题意有－错误!>－1，即b<a，e＝错误!＝错误!＝错误!<错误!.又因为e〉1，所以e的取值范围是(1,错误!)．答案：(1，2）3．（2019·海安中学月考)已知AB＝25，M是线段AB的中点，点P在平面内运动且PA＋PB＝6，则PM的最大值为________．解析：由题意，知点P的轨迹是以点A,B为焦点的椭圆，其长轴长为6，焦距为2错误!，所以短轴长为4，易知PM的最大值为3.答案：34．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A,B两点,点P在圆(x －2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是________．解析：设圆(x－2）2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝错误!，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为错误!＝2错误!，可得d max＝2错误!＋r＝3错误!，d min＝2错误!－r＝错误!。

由已知条件可得AB＝2错误!，所以△ABP面积的最大值为错误!×AB×d max＝6,△ABP面积的最小值为错误!×AB×d min＝2.综上，△ABP面积的取值范围是［2，6]．答案：［2，6]5．已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形,设P为该椭圆上的动点，C，D的坐标分别是（－2,0)，（2，0），则错误!·错误!的最大值为________．解析:由面积为4的正方形可知错误!所以椭圆方程为错误!＋错误!＝1，所以C，D为椭圆的焦点．设P(x0，y0)，则错误!·错误!＝x错误!＋y错误!－2，又x错误!＝4错误!，所以错误!·错误!＝－y错误!＋2≤2.答案：26．设椭圆C：错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________。

八大难点突破难点4 解析几何中的范围、定值和探索性问题 Word版含答案

难点四解析几何中的范围、定值和探索性问题(对应学生用书第68页)解析几何中的范围、定值和探索性问题仍是高考考试的重点与难点，主要以解答题形式考查，一般以椭圆为背景，考查范围、定值和探索性问题，试题难度较大．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用根与系数的关系进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值．下面对这些难点一一分析：1．圆锥曲线中的定点、定值问题该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明，难度较大．定点、定值问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．【例1】 (2017·江苏省南京市迎一模模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，直线y ＝x ＋2与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线x ＝12与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆D ，若圆D 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，求△ABD 的面积；(3)如图1，A 1，A 2，B 1，B 2是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E ，设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m －k 为定值.【导学号：56394098】图1[解] (1)∵直线y ＝x ＋2与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切， ∴|0－2|2＝b ，化为b ＝1.∵离心率e ＝32＝c a ，b 2＝a 2－c 2＝1，联立解得a ＝2，c ＝ 3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1； (2)把x ＝12代入椭圆方程可得：y 2＝1－116，解得y ＝±154. ∴⊙D 的方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝1516. 令x ＝0，解得y ＝±114， ∴|AB |＝112，∴S △ABD ＝12|AB |·|OD |＝12×112×12＝118. (3)证明：由(1)知：A 1(－2,0)，A 2(2,0)，B 2(0,1)，∴直线A 1B 2的方程为y ＝12x ＋1，由题意，直线A 2P 的方程为y ＝k (x －2)，k ≠0，且k ≠±12，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x ＋1，y ＝k x －2 ，解得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1. 设P (x 1，y 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －2 ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0. ∴2x 1＝16k 2－44k 2＋1，∴x 1＝8k 2－24k 2＋1，y 1＝k (x 1－2)＝－4k 4k 2＋1.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1. 设F (x 2,0)，则由P ，B 2，F 三点共线得，kB 2P ＝kB 2F .即－4k 4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x 2－0，∴x 2＝4k －22k ＋1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0. ∴EF 的斜率m ＝4k 2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝2k ＋14. ∴2m －k ＝2k ＋12－k ＝12为定值． [方法总结] 定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．(1)求定值问题常见的方法有两种①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2)定点的探索与证明问题①探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋m ，然后利用条件建立k ，m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．2．圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命题新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．图2【例2】 (苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2017届高三上学期期末)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .(ⅰ)当直线的PA 斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程； (ⅱ)设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，c ＋a 2c ＝62，解得⎩⎨⎧ a ＝4，c ＝22，则b ＝22，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1. (2)由题可设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋4)，k ＞0，则M (0,4k )，所以直线FN 的方程为y ＝224k (x －22)，则N ⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k . (ⅰ)当直线PA 的斜率为12，即k ＝12时，M (0,2)，N (0，－4)，F (22，0)，MF →＝(22，－2)，FN →＝(－22，－4)，MF →·FN →＝－8＋8＝0.所以MF ⊥FN ，所以圆心为(0，－1)，半径为3，所以△FMN 的外接圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝9. (ⅱ)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋4 ，x 216＋y 28＝1，消去y 并整理得，(1＋2k 2)x 2＋16k 2x ＋32k 2－16＝0，解得x 1＝－4或x 2＝4－8k 21＋2k 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－8k21＋2k 2，8k1＋2k 2，直线AN 的方程为y ＝－12k (x ＋4)，同理可得，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－41＋2k 2，－8k 1＋2k 2，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点．所以△APQ 的面积S ＝12OA ·(y P －y Q )＝2×16k 1＋2k 2＝322k ＋1k ≤82，当且仅当2k ＝1k ，即k ＝22时，取“＝”．所以△APQ 的面积的最大值为8 2.[方法总结] 这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找．求最值或范围常见的解法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求最值，求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等．用这种方法求解圆锥曲线的最值与范围问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注．3．圆锥曲线中的探索性问题探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神．因此越来越受到高考命题者的青睐．探索性问题实质上是探索结论的开放性问题．相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少(只有存在、不存在两个结论有时候需讨论)，因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试命题者的青睐．解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性．探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素．图3【例3】 (苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0)，B (1,2)．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P 满足条件，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【导学号：56394099】[解] (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2,0)，半径为2.因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－－1 ＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2. 因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝ 2＋m 22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P 满足条件，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4， PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，因为|2－2|＜ 2－0 2＋ 0－1 2＜2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P 的个数为2.[方法总结] (1)解决存在性问题的解题步骤：第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论．(2)解决存在性问题应注意以下几点：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．。

解析几何问题的题型与方法

半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 e c 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e a
越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆.
2.椭圆的第二定义
⑴ 定义：平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e c （e＜1＝时，这 a
则椭圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
(六)椭圆的简单几何性质
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解析几何问题的题型与方法
1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为 x 2 y 2 1（ a ＞ b ＞0）. a2 b2
⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线 x= a 和 y= b 所围成的矩形里.
一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定
系数法求解.
(九)双曲线的简单几何性质
x2 1.双曲线 a 2
y2 b2
1的实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率 e
c
＞1，离心率 e 越大，双曲线的开口
a
越大.
2.
x2
双曲线
y2
1的渐近线方程为 y b x 或表示为 x2
和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双
曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握 a、b、c、p、e 之间的关系及相
应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决

专题5.3 解析几何中的范围问题(解析版)

一．方法综述圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；③利用基本不等式求出取值范围；④利用函数的值域的求法，确定取值范围．二．解题策略类型一利用题设条件，结合几何特征与性质求范围【例1】【安徽省六安市第一中学2019届高考模拟四】点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：设椭圆的左焦点为则故要求的最小值，即求的最小值，圆的半径为2所以的最小值等于，的最小值为，故选D.【指点迷津】1. 本题考查了椭圆定义的知识、圆上一动点与圆外一定点距离的最值问题，解决问题时需要对题中的目标进行转化，将未知的问题转化为熟悉问题，将“多个动点问题”转化为“少（单）个动点”问题，从而解决问题.2.在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷．【举一反三】1.【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】已知实数满足，，则的最大值为（）A．B．2 C．D．4【答案】D【解析】设点在圆上，且，原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，如图所示，易知取得最大值时点A,C均位于直线下方，作直线于点，直线于点，取的中点，作直线于点，由梯形中位线的性质可知，当直线时，直线方程为，两平行线之间的距离：，由圆的性质，综上可得：的最大值.本题选择D选项.2.点分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】设圆是圆关于直线对称的圆，可得,圆的方程为，可得当点位于线段上时，线段的长就是圆与圆上两个动点之间的距离最小值，此时的最小值为，,圆的半径为,圆的半径为，∴，因此的最小值为，所以A 选项是正确的.类型二通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围【例2】抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．【指点迷津】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键．【举一反三】【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模】已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得.设，，则，，.又到直线的距离，则的面积，当且仅当，即时，的面积取得最大值.此时，.故选A.类型三利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围【例3】【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】若直线x ﹣my+m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是（） A ．（0，1） B ．（0，2）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）【答案】D 【解析】圆与直线联立，整理得图像有两个交点方程有两个不同的实数根，即得.圆都在轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.，解得，故选D 项. 【指点迷津】圆都在轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到，令其小于0，是否关注“判别式”大于零是易错点.【举一反三】已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），若椭圆的离心率1,22e ⎡∈⎢⎣⎦，则a 的最大值为___________．类型四利用基本不等式求范围【例4】如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆()22114x y -+=于点,,,A B C D 四点，则4AB CD +的最小值为（）A ．172 B ． 152 C ． 132 D ． 112【答案】C【解析】由题意得()1,0F ，即为圆的圆心，准线方程为1x =-．由抛物线的定义得1A AF x =+，又12AF AB =+，所以12A AB x =+．同理12D CD x =+． ①当直线l 与x 轴垂直时，则有1A D x x ==， ∴331544222AB CD +=+⨯=．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为()1y k x =-，由()21{4y k x y x=-=消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，∴22241,A D A D k x x x x k +⋅=+=，∴551344222A D AB CD x x +=++≥=，当且仅当4A D x x =时等号成立．综上可得1342AB CD +≥．选C ．【指点迷津】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．【举一反三】【1.河南省安阳市2019届高考一模】已知双曲线的一个焦点恰为圆Ω：的圆心，且双曲线C 的渐近线方程为．点P 在双曲线C 的右支上，，分别为双曲线C 的左、右焦点，则当取得最小值时，＝（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】由圆Ω：的圆心（2，0），可得焦点，，双曲线C 的渐近线方程为，可得，且，解得，，设，可得，，当且仅当时取等号，可得．故选：B ．2.【四川省凉山州市2019届高三第二次诊断】已知抛物线:的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为___．【答案】8【解析】设，设直线为,联立直线和抛物线得到，两根之和为：,同理联立直线和抛物线得到由抛物线的弦长公式得到代入两根之和得到，已知，故答案为：8.类型五构建目标函数，确定函数值范围或最值【例5】【上海市交大附中2019届高考一模】过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为______．【答案】【解析】∵点为直线上的任意一点，∴可设，则过的圆的方程为，化简可得，与已知圆的方程相减可得的方程为，由直线的方程为，联立两直线方程可解得，，故线段的中点，∴点到直线的距离，∵，∴，∴，∴，∴，即故答案为：【指点迷津】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．【举一反三】1.【2019届高三第二次全国大联考】已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，直线的方程为，所以，直线的方程为，所以，故．由可得，整理得，显然函数在上单调递增，所以，即．故选A．2.【山东师范大学附属中学2019届高三第四次模拟】已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C 离心率的取值范围是______．【答案】【解析】解：设双曲线的左焦点为，连接，，，可得四边形为矩形，设，，即有，且，，，，由，可得，则，可得，即有，则，即有．故答案为：．类型六利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围【例6】【云南省保山市2019年高三统一检测】已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是______．【答案】【解析】根据题意，直线，即，则有，解可得，则直线恒过点．设，又由与直线垂直，且为垂足，则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，所以；即的取值范围是；故答案为：．【指点迷津】1.本题根据题意，将直线变形为，分析可得该直线恒过点，设，进而分析可得点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，据此分析可得答案．2.此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果为定点，且动点满足，则动点的轨迹为圆；（2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．特别地，当，则的轨迹为圆（除去）；（3）如果为定点，且动点满足(为正常数)，则动点的轨迹为圆；【举一反三】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B 2、B 1、A 、F ，延长B 1F 与AB 2交于点P ，若∠B 1PA 为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为_____．【答案】⎫⎪⎪⎝⎭【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a 、b 、c ，（可得∠B 1PA 等于向量2B A 与21F B 的夹角，∵A（a ，0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，b ），F 2（c ，0） ∴2B A =（a ，﹣b ），21F B =（﹣c ，﹣b ）， ∵∠B 1PA 为钝角，∴2B A 与21F B 的夹角大于2π，由此可得2B A •21F B ＜0，即﹣ac+b 2＜0，将b 2=a 2﹣c 2代入上式得：a 2﹣ac ﹣c 2＜0，不等式两边都除以a 2，可得1﹣e ﹣e 2＜0，即e 2+e ﹣1＞0，解之得e ＜12-或e ＞12-，结合椭圆的离心率e∈（0，1）＜e ＜1，1）．故答案为（12-+，1）．三．强化训练一、选择题1．【江西省上饶市2019届高三二模】已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且，若的范围为，则双曲线的离心率的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】设F'为双曲线的右焦点，连接AF'，BF'，,∴四边形AFBF'为矩形，且AB=2c，∴在中，，（1），（2）（1）（2）两式相加故选：B2．【四川省南充市高三2019届第二次高考适应】已知直线与椭圆交于两点，且（其中为坐标原点），若椭圆的离心率满足，则椭圆长轴的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】联立得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）△＝4a4﹣4（a2+b2）（a2﹣a2b2）＞0，化为：a2+b2＞1．x1+x2＝，x1x2＝．∵OP⊥OQ，∴＝x1x2+y1y2＝x1x2+（x1﹣1）（x2﹣1）＝2x1x2﹣（x1+x2）+1＝0，∴2×﹣+1＝0．化为a2+b2＝2a2b2．∴b2＝．∵椭圆的离心率e满足≤e≤，∴，∴，，化为5≤4a2≤6．解得：≤2a≤．满足△＞0．∴椭圆长轴的取值范围是[，]．故选：A．3．【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】已知抛物线：，定点，，点是抛物线上不同于顶点的动点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出抛物线，如图所示.由图可知，当直线与抛物线相切时，最大.设直线的方程为，联立得.令，得，此时，所以.4．【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的准线方程是若点的坐标为，此时直线的方程为，显然点到直线的距离的最小值是1若点的坐标为，其中则直线的斜率为直线的斜率为直线的方程为即，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为代入抛物线方程得所以解得所以与直线平行且与抛物线相切的直线方程为所以点到直线的距离的最小值为直线与直线的距离，即因为所以综合两种情况可知点到直线的距离的最小值的取值范围是所以选B项.5．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】如果图至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】化简得，所以，函数靠近圆心的最大值点为，最小值点为，所以只需，解之可得.故选D6．【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得，即有，由椭圆定义可得e,∴．在三角形中，由m+n=2a,cos-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos最小，最大，∴=,∴故选：D．7．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】已知正方体中，，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设的中点为，连接、，则在中，，，∴.∴是以为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形内）.以为原点建系如图所示，则，，，设的坐标为，则,..设点的坐标为，则.故选：B8．【北京市朝阳区2019年高三年级第一次综合练习】已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（）A．B．[,]C．D．）【答案】D【解析】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，－2），直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.二、填空题9．【广东省执信中学2018届高三11月月考】抛物线的焦点为，设、是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为______．【答案】【解析】解：由抛物线焦半径公式得，，所以由，得，因此，，，所以的最大值为.所以填．10．【上海市徐汇区2019届高三上学期期末】已知圆M：，圆N：直线分别过圆心M、N，且与圆M相交于A，B两点，与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆上任意一点，则的最小值为______．【答案】8【解析】由题意可得，，，，，，为椭圆上的点，由题意可知，，，故答案为：8．11．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．【答案】【解析】设点P(x,y),（x＞1），所以，因为，当y＞0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.当y≤0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是减函数，所以当y≤0时函数k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.12.【北京市顺义区2019届高三期末】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点交抛物线的准线于点C，满足：若，则______；若，则的取值范围为______．【答案】3【解析】解：由题意，抛物线的准线为，，所以另一种情况同理．所以AF的斜率为，方程为，代入抛物线方程可得，所以可得，因为：，所以，设直线AB的方程为，代入到，可得，，由，可得，，，，，，，，解得故答案为：3，．13.已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F，点P在椭圆C上，线段2PF与圆：222x y b +=相切于点Q ，若Q 是线段2PF 的中点，e 为C 的离心率，则223a e b+的最小值是______________【解析】连接1,PF OQ ，由OQ 为中位线，可得1//OQ PF ，112OQ PF =，圆222x y b +=，可得OQ b =且12PF b =，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，可得222PF a b =-，又2OQ PF ⊥，可得12PF PF ⊥，即有()()()2222222b a b c +-=，即为2222222b a ab b c a b +-+==-，化为23a b =，即23b a =，3c a ==，即有3c e a ==，则2225151932292a a ea ba a ++⎛⎫==+≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当59a a=时，即3a =时等号成立，所以223a e b +的最小值为3．14．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知是抛物线上一动点，定点，过点作轴于点，则的最小值是______．【答案】【解析】由抛物线可知，其焦点坐标为，准线，设点P 到其准线的距离为，根据抛物线的定义可的则点P到y轴的距离为，且则（当且仅当三点共线时取等号），所以的最小值为2.15．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．【答案】【解析】设点P(x,y),（x＞1），所以，因为，当y＞0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.当y≤0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是减函数，所以当y≤0时函数k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】以抛物线焦点为圆心，为半径作圆交轴于，两点，连结交抛物线于点（在线段上），延长交抛物线的准线于点，若，且，则的最大值为_____．【答案】32【解析】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为，所以以为圆心，为半径的圆的方程为，因为，两点为圆与轴的两个交点，不妨令为轴正半轴上的点，由得，；所以直线的斜率为，因此直线的方程为，由得；由得，所以，，，又，且，所以，即，因此，当且仅当时，取等号.故答案为17．【河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（一)】已知抛物线的焦点且垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，动直线与抛物线相交于两点，若，则直线与圆相交所得最短弦的长度为________．【答案】4【解析】由题意可知，＝2，＝﹣2，∴•＝﹣4，设，则，∴y1y2＝﹣4．又直线，联立方程组消去x得：y2﹣4ty﹣4n＝0，则y1y2＝﹣4n，y1+y2＝4t，∵y1y2＝﹣4，∴n＝1．即直线过点E（1，0）．又圆的圆心P（2，-2），半径r=3，∴当弦最短时，PE,弦长=2=4,故答案为:4.18．【山东省聊城市2019届高三一模】抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，当取得最小值时，直线的方程为_____．【答案】或【解析】设点的坐标为当且仅当，即时取等号，此时点坐标为或，此时直线的方程为即或故答案为：或19．【四川省成都市2019届高三第二次诊断】已知为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线相交于不同的两点,抛物线在两点处的切线分别是,且相交于点,则的小值是___. 【答案】6【解析】设直线l的方程为：y＝kx+1，A（），B（．联立，化为：x2﹣4kx﹣4＝0，可得：＝4k，＝﹣4，|AB|＝＝k（）+4＝4k2+4．对x2＝4y两边求导可得：y′，可得切线PA的方程为：y﹣（x﹣）切线PB的方程为：y﹣（x﹣），联立解得：x（）＝2k，y＝﹣1．∴P（2k，﹣1）．∴|PF|．∴|PF|，令t≥2．则|PF|t f（t），f′（t）＝1，当t>4, f′（t）>0;t<4, f′（t）<0可得t＝4时，函数f（t）取得极小值即最小值f（4）＝6．当且仅当k时取等号．故答案为：6．20．【天津市和平区2019届高三下学期第一次调查】已知为正数，若直线被圆截得的弦长为，则的最大值是____________.【答案】【解析】圆的圆心坐标为(0,0)，半径r=2，由直线被圆截取的弦长为,可得圆心到直线的距离，，则时,取得最大值.故答案为：．。

专题6.1 导数中的构造函数-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品

【方法综述】函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F nx x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()()F n f x x x =；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nxx e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()()F nxf x x e =．【解答策略】类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1．利用()f x 与x （n x ）构造常用构造形式有()xf x ，()f x x ；这类形式是对u v ⋅，uv型函数导数计算的推广及应用，我们对u v ⋅，u v 的导函数观察可得知，u v ⋅型导函数中体现的是“+”法，uv型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u v ⋅型，当导函数形式出现的是“-”法形式时，优先考虑构造uv．例1.【2019届高三第二次全国大联考】设是定义在上的可导偶函数，若当时，，则函数的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．0或2 【指点迷津】设，当时，，可得当时，，故函数在上单调递减，从而求出函数的零点的个数．【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则A ．B ．C ．当时，取得极大值D ．当时，2．利用()f x 与x e 构造()f x 与x e 构造，一方面是对u v ⋅，uv函数形式的考察，另外一方面是对()x x e e '=的考察．所以对于()()f x f x '±类型，我们可以等同()xf x ，()f x x的类型处理， “+”法优先考虑构造()()F xx f x e =⋅， “-”法优先考虑构造()()F xf x x e=．例2、【湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【指点迷津】令，可得，可设，，解得，，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．【举一反三】【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x ，都有，当时，若，则实数a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．3．利用()f x 与sin x ，cos x 构造sin x ，cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．()()F sin x f x x =，()()()F sin cos x f x x f x x ''=+；()()F sin f x x x =，()()()2sin cos F sin f x x f x xx x'-'=； ()()F cos x f x x =，()()()F cos sin x f x x f x x ''=-；()()F cos f x x x =，()()()2cos sin F cos f x x f x xx x'+'=．例3、已知函数()y f x =对于任意,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（） A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()024f f π⎛⎫<⎪⎝⎭ D ．()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭【指点迷津】满足“()()cos sin 0f x x f x x '+>”形式，优先构造()()F cos f x x x=，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．类型二构造具体函数关系式这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题． 1.直接法：直接根据题设条件构造函数例4、α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（） A ．αβ> B ．22αβ> C ．αβ< D ．0αβ+> 【指点迷津】根据题目中不等式的构成，构造函数()sin f x x x =，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．【举一反三】【福建省2019届备考关键问题指导适应性练习（四)】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【指点迷津】根据题目中方程的构成，构造函数，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．2. 参变分离，构造函数例5.【云南省玉溪市第一中学2019届高三下学期第五次调研】设为函数的导函数，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【指点迷津】根据，变形可得，通过构造函数，进一步确定的最大值，利用导数，结合的单调性，即可求解.【举一反三】【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（）A．B．C．D．【强化训练】一、选择题1．【山西省2019届高三百日冲刺】已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．2．【海南省海口市2019届高三高考调研】已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．3．【辽宁省抚顺市2019届高三一模】若函数有三个零点，则实数的取值范围是() A．B．C．D．4．【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．5．【2019届山西省太原市第五中学高三4月检测】已知函数，若函数在上无零点，则（）A．B．C．D．6．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】已知函数为上的偶函数，且当时函数满足，，则的解集是（）A．B．C．D．8．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评】若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．-3 B．-4 C．-5 D．9．【宁夏六盘山高级中学2019届高三二模】定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，则（）A．B．C．D．10．【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）A．B．C．D．11．【2019届高三第二次全国大联考】已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．0或2二、填空题12．【江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考】若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．13．【山东省济南市山东师范大学附属中学2019届高三四模】定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．14．【广东省佛山市第一中学2019届高三上学期期中】已知定义在R上的奇函数满足f（1）=0，当x ＞0时，，则不等式的解集是______．15.【重庆市第一中学校2019届高三3月月考】设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______. 16．【湖南师大附中2019届高三月考（七)】设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．。

解析几何中的定值与定点问题(原卷版)高考数学选填压轴题第19讲

第19讲解析几何中的定值与定点问题一．方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；（1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。

（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

二．解题策略类型一定值问题【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）A．B．C．2p D．【举一反三】1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（）A．2B．2C．1D．2．（2020温州高三月考）如图，P 为椭圆上的一动点，过点P 作椭圆的两条切线PA ，PB ，斜率分别为k 1，k 2．若k 1•k 2为定值，则λ＝（）A ．B ．C ．D ．3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3（k 1k 2k 3≠0）．若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为﹣1（O 为坐标原点），则＝．类型二定点问题【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，A 是抛物线C 上异于坐标原点的任意一点，过点A 的直线l 交y 轴的正半轴于点B ，且A ，B 同在一个以F 为圆心的圆上，另有直线l ′∥l ，且l ′与抛物线C 相切于点D ，则直线AD 经过的定点的坐标是（）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，0）D ．（2，0）【举一反三】1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（）A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,12．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,04⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭3．（2020大理一模）已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，满足122k k ⋅=-，则直线MN 经过的定点为___________．三．强化训练1．（2020·黑龙江高三模拟）直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ，2k 满足3221=k k ，则l 的横截距（）A ．为定值3-B ．为定值3C ．为定值1-D ．不是定值2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线7ax by +=（0a >，0b >）和函数()1log m f x x =+（0m >，1m ≠）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(1)25x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba 的取值范围是（）A ．3443⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．340,,43⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭3．（2020·全国高三模拟）过x 轴上的点(),0P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点，若2211||||AP BP +为定值，则实数a 的值为（）A.1B.2C ．3D ．44．（2020•越城区高三期末）已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，则“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（）A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件5．（2020·湖北高考模拟）设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（）A ．定值aB ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点(),P x y 是圆22:2210C x y x y ++-+=上任意一点，若212x y x y a -+++--为定值，则a 的值可能为（）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆C ：224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，,A B 为切点，则直线AB 经过定点（）A ．48,99⎛⎫⎪⎝⎭B ．24,99⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,08．（2020·全国高三期末（理））已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题：①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值；②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值；③当k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值．其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．39．（2020·浙江高三期末）斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（）A ．0ky 为定值B ．OA OB ⋅为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹是圆的一部分10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线2:8C y x =，圆22:(2)4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是（）A ．1324M M M M ⋅B ．14FM FM ⋅C ．1234M M M M ⋅D ．112FM M M ⋅11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L-距离”之和等于定值（大于12|F F ）的点的轨迹可以是（）A ．B．C．D．12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线2222222211(0,0)x y x y a b a b b a-=-=>>与的离心率分别是12e e 、，则22122212e e e e +是定值；③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A B 、，则直线AB 过定点；其中正确的命题有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个13．已知O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为（）A ．2λB ．λC ．2λD ．无法确定【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题14．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（）.A ．13B ．12C ．2D ．3【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题15．已知1F ，2F 是双曲线221169x y -=的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ 的值为A ．16B ．12C ．8D ．随α变化而变化16．已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，则1MPF 与2MPF 的面积之和为()A ．1B ．32C ．2D ．3【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题17．已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点（）A ．(1,0)B ．C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭18．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON +=（）A ．54B ．45C ．43D ．34【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题19．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（）A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________．21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =________.22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点A ，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________.24．（2020·河北定州一中高三月考）P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点，异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数，则点B 的坐标为______．25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________26．（2020·江苏高三月考）椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________．27．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q 两点，若以线段PQ为直径的圆过定点M ，则MF =______．【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题28．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____.29．过双曲线22221x y a b-=的右焦点(,0)F c 的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，若1PM MF λ= ，2PN NF λ= ，规定12λλ+=PM PN MF NF + ，则PM PN MF NF +的定值为222a b .类比双曲线这一结论，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，PM PNMF NF+的定值为________.【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题30．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题31．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________．。

高考数学大题专项突破五解析几何

��M上.
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题型一题型二题型三题型四题型五题型六
(2)解:由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4,
①设 W(x0,y0),证明:��202 + ��02<1; ②求四边形QRST的面积的最小值.
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题型一题型二题型三题型四题型五题型六
(1)解:设动圆半径为 r,由于 D 在圆内,圆 P 与圆 C 内切,则 |PC|=2 2-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2 2>|CD|=2,由椭圆定义可知,点 P
题型一题型二题型三题型四题型五题型六
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(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.
由
�� = �� + ��2 = 2��
2,可得
y2-2my-4=0,
则 y1y2=-4. 又 x1=��212,x2=��222, 故 x1x2=(��14��2)2=4. 因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为��1 ·��2 = -4=-1,
的轨迹 E 是椭圆,a=
2,c=1,b=
2-1=1,故
E
的方程为�� 2
2
+y2=1.
(2)①证明:由已知条件可知,垂足 W 在以 CD 为直径的圆周上,则有
��02 + ��02=1,又因 Q,R,S,T 为不同的四个点,故��202 + ��02<1.
-6-

专题06 解析几何中的范围问题(原卷版)

专题06 解析几何中的范围问题常见考点考点一面积取值范围问题典例1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程是y x =，焦距为4.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A ，B 两点，与y 轴交于M 点，O 为坐标原点，若MO ON =，求ABN 面积的取值范围.变式1-1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上位于第二象限的任一点，直线l 是12F PF ∠的外角平分线，过左焦点1F 作l 的垂线，垂足为N ，延长1F N 交直线2PF 于点M ，2ON =（其中O 为坐标原点），椭圆C 的离心率为12(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点2F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，点T 在线段AB 上，且3AT TB =，点B 关于原点的对称点为R ，求ART △面积的取值范围.变式1-2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12 F F ，，焦距为2，离心率e =抛物线2:2E y px =的焦点是2F M ，是椭圆C 上的任意一点，且位于y 轴左侧，过点M 分别作抛物线E 的两条切线，切点分别为P Q ，.(1)求椭圆C 和抛物线E 的方程；(2)求MPQ 面积的取值范围.变式1-3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点1F ，2F 是椭圆C 的左右焦点，且右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程；(2)过左焦点1F 且与x 轴不重合的直线交椭圆于A ，B 两点，求2ABF 面积的取值范围.考点二其他取值范围问题典例2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>P 满足12 4.PF PF +=(1)求椭圆C 的方程；(2)若动直线2y kx =-与椭圆C 相交于M 、N 两点，若坐标原点O 总在以MN 为直径的圆外时，求k 的取值范围.变式2-1．已知椭圆22221x y a b +=的左右焦点分别为1F ，2F ，，P 是椭圆上一点，且12PF F △面积的最大值为1.(1)求椭圆的方程；(2)过2F 的直线交椭圆于M ，N 两点，求11F M F N ⋅的取值范围.变式2-2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，点A ⎭在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线()():30l y k x k =-≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，点M 是线段PQ 的中点，直线l '过点M ，且与直线l 垂直.记直线l '与y 轴的交点为N ，求MN 的取值范围.变式2-3．已知抛物线()2:20C y px p =>与直线2x =相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，4OA OB ⋅=-.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点F 是抛物线C 的焦点，点P 是抛物线C 上任意一点，点Q 是线段PF 的中点，求直线OQ 斜率的取值范围.巩固练习练习一面积取值范围问题1．已知直线:l x my t =+与抛物线24y x =交于,A B 两点，点C 为抛物线上一点，且ABC 的重心为抛物线焦点F .(1)求m 与t 的关系式；(2)求ABC 面积的取值范围.2．椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>的两焦点分别为1F ，2F ，椭圆与y 轴正半轴交于点Q ，122QF F S =.(1)求曲线C 的方程；(2)过椭圆C 上一动点P (不在x 轴上)作圆22:1O x y +=的两条切线PC PD 、，切点分别为C D 、，直线CD 与椭圆C 交于E G 、两点，O 为坐标原点，求OEG 的面积S 的取值范围.3．已知定点()1,0M -，圆()22:116N x y -+=（N 为圆心，O 为坐标原点），点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记点P 的轨迹为曲线C ，过N 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的方程；(2)点T 在线段AB 上，且2AT TB =，点B 关于原点的对称点为R ，求BRT 面积的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线340x y ++与圆1C ：222x y r +=相切，另外，椭圆2C ：()222210x y a b a b +=>>1F 作x 轴的垂线交椭圆于C ，D 两点．且1CD =． (1)求圆1C 的方程与椭圆2C 的方程；(2)经过圆1C 上一点P 作椭圆2C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线P A ，PB 分别与圆1C 相交于M ，N 两点（异于点P ），求△OAB 的面积的取值范围．练习二其他取值范围问题5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点()1,0F ，且椭圆C ． (1)求椭圆C 的方程；(2)若A 、B 为C 上不同的两点，动点M 、N 满足：()2OM OA OB λλ=+-，()2ON OA OB λλ=-+，且M 在C 上．（i ）求证：点N 在C 上；（ii ）若AB 过焦点F ，求实数λ的取值范围．6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>过点P ⎫⎪⎝⎭ (1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点P 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且原点O 到直线l 的距离为1，求OA OB ⋅的取值范围．7．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>(2,0)A -，(2,0)B ，过点2(,0)3M -作直线l 与椭圆交于点P ，Q （点P ，Q 异于点A ，B ），连接直线AQ ，PB 交于点N .(1)求椭圆的方程；(2)当点P 位于第二象限时，求tan PNQ ∠的取值范围.8．已知A 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，()10B ,是x 轴上的点，以A 为圆心且过点B 的圆与y 轴分别交于点E 、F ，且当圆A 与x 轴相切时，A 到抛物线焦点的距离为32．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设线段BE 、BF 长度分别为1l 、2l ，求221212+l l l l 的取值范围．。

专题32以解析几何中最值范围的综合问题的解答题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列(解析版)

【名师综述】圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理。

1.【四川省绵阳市高2014届第二次诊断性考试数学（理）】（本题满分13分）已知椭圆C 的两个焦点是(0，-3)和(0，3)，并且经过点3(1)2，，抛物线的顶点E 在坐标原点，焦点恰好是椭圆C 的右顶点F ．（Ⅰ）求椭圆C 和抛物线E 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线l 1、l 2，l 1交抛物线E 于点A 、B ，l 2交抛物线E 于点G 、H ，求HB AG ⋅的最小值．试题解析：（I ）设椭圆的标准方程为12222=+bx a y (a >b >0)，焦距为2c ，2.【2014年“皖西七校”高三年级联合考试】（本小题满分13分）在平面直角坐标系中,已知点(1,0)E 和(1,0)F ,圆E 是以E 为圆心,半径为22的圆,点P 是圆E 上任意一点，线段FP 的垂直平分线l 和半径EP 所在的直线交于点Q .（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程T ；（Ⅱ）已知M ，N 是曲线T 上的两点，若曲线T 上存在点P ，满足OM ON OP λ+=（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围.3.（山东省德州市2014届高三上学期期末考试） (本题满分l3分)已知椭圆C ：2211x y m +=+的两个焦点是F 1(-c,0)，F 2(c ，0)(c>0)。

高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题练习(2021年

创新设计（浙江专用）2017届高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题练习编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（创新设计（浙江专用）2017届高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题练习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题练习一、选择题1.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0,错误!)且斜率为k的直线l与椭圆错误!＋y2＝1有两个不同的交点,则k的取值范围为（)A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!∪错误!解析由已知可得直线l的方程为y＝kx＋错误!，与椭圆的方程联立，整理得错误!x2＋2错误!kx＋1＝0,因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝8k2－4错误!＝4k2－2＞0，解得k＜－错误!或k＞错误!，即k的取值范围为错误!∪错误!.答案D2。

F1，F2是椭圆错误!＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动,则错误!·错误!的最大值是( ) A。

－2 B。

1C.2 D。

4解析设P（x，y)，依题意得点F1（－错误!，0）,F2(错误!，0）,错误!·错误!＝（－错误!－x）(错误!－x）＋y2＝x2＋y2－3＝错误!x2－2，注意到－2≤错误!x2－2≤1，因此错误!·错误!的最大值是1。

答案B3。

已知椭圆错误!＋错误!＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点,若|BF|＋｜AF2｜的最大值为5，则b的值是（)2A.1B. 2C.错误!D。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第九章高考专题突破五第1课时含解析

高考专题突破五　高考中的解析几何问题第1课时　范围、最值问题题型一　范围问题例1 设椭圆＋＝1(a >)的右焦点为F ，右顶点为A .已知＋＝，其中O 为原点，e x 2a 2y 2331OF 1OA 3e FA为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．解　(1)设F (c,0)，由＋＝，1OF 1OA 3e FA即＋＝，可得a 2－c 2＝3c 2.1c 1a 3c a (a －c )又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4.所以椭圆的方程为＋＝1.x 24y 23(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组Error!消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝.8k 2－64k 2＋3由题意得x B ＝，从而y B ＝.8k 2－64k 2＋3－12k 4k 2＋3由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有＝(－1，y H )，＝.FH → BF → (9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3)由BF ⊥HF ，得·＝0，BF → FH →所以＋＝0，解得y H ＝.4k 2－94k 2＋312ky H 4k 2＋39－4k 212k因此直线MH 的方程为y ＝－ x ＋.1k 9－4k 212k设M (x M ，y M )，由方程组Error!消去y ，解得x M ＝.20k 2＋912(k 2＋1)在△MAO 中，由∠MOA ≤∠MAO ，得MA ≤MO ，即(x M －2)2＋y ≤x ＋y ，2M2M 2M 化简，得x M ≥1，即≥1，20k 2＋912(k 2＋1)解得k ≤－或k ≥.6464所以直线l 的斜率的取值范围为∪.(－∞，－64][64，＋∞)思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．跟踪训练1 (2018·浙江)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．y 24(1)证明　设P (x 0，y 0)，A ，B .(14y 21，y 1)(14y 2，y 2)因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程2＝4·，(y ＋y 02)14y 2＋x 02即y 2－2y 0y ＋8x 0－y ＝0的两个不同的实根．20所以y 1,2＝，2y 0±4y 20－4(8x 0－y 20)2所以y 1＋y 2＝2y 0，所以PM 垂直于y 轴．(2)解　由(1)可知Error!所以PM ＝(y ＋y )－x 0＝y －3x 0，182123420|y 1－y 2|＝2.2(y 20－4x 0)所以△PAB 的面积S △PAB ＝PM ·|y 1－y 2|＝.1232432200(4)y x -因为x ＋＝1(－1≤x 0<0)，02y 204所以y －4x 0＝－4x －4x 0＋4∈[4,5]，0220所以△PAB 面积的取值范围是.[62，15104]题型二　最值问题命题点1　利用三角函数有界性求最值例2 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则AF ·BF 的最小值是________．答案　4解析　设直线AB 的倾斜角为θ，可得AF ＝，BF ＝，则AF ·BF ＝×21－cos θ21＋cos θ21－cos θ＝≥4.21＋cos θ4sin 2θ命题点2　数形结合利用几何性质求最值例3 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．答案　22解析　双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线间的距离d ＝＝.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤|1－0|12＋(－1)222，故c 的最大值为.2222命题点3　转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4 已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b .x 2a 2y 2b 233(1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M 在椭圆C 上，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM(3，32)相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求△OAB 面积的最大值．解　(1)由题意，得a －c ＝b ，则(a －c )2＝b 2，3313结合b 2＝a 2－c 2，得(a －c )2＝(a 2－c 2)，13即2c 2－3ac ＋a 2＝0，亦即2e 2－3e ＋1＝0，结合0<e <1，解得e ＝.12所以椭圆C 的离心率为.12(2)由(1)得a ＝2c ，则b 2＝3c 2.将M 代入椭圆方程＋＝1，解得c ＝1.(3，32)x 24c 2y 23c 2所以椭圆方程为＋＝1.x 24y 23易得直线OM 的方程为y ＝ x .12当直线l 的斜率不存在时，线段AB 的中点不在直线y ＝ x 上，故直线l 的斜率存在．12设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，与＋＝1联立消y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，x 24y 23由题意得Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(3＋4k 2－m 2)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝，－8km ±48(3＋4k 2－m 2)2(3＋4k 2)所以x 1＋x 2＝－，8km 3＋4k 2因为y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝，6m 3＋4k 2所以线段AB 的中点N 的坐标为，(－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2)因为点N 在直线y ＝ x 上，12所以－＝2×，4km 3＋4k 23m 3＋4k 2解得k ＝－.32所以Δ＝48(12－m 2)>0，解得－2<m <2，且m ≠0，33AB ＝ |x 2－x 1|1＋(－32)2＝.39612－m 2又原点O 到直线l 的距离d ＝，2|m |13所以S △OAB ＝××1239612－m 22|m |13＝≤· ＝.36(12－m 2)m 23612－m 2＋m 223当且仅当12－m 2＝m 2，即m ＝±时等号成立，6符合－2<m <2，且m ≠0.33所以△OAB 面积的最大值为.3思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．跟踪训练2 已知椭圆＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋对称．x 2212(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解　(1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b .由Error!1m消去y ，得x 2－x ＋b 2－1＝0.(12＋1m 2)2b m 因为直线y ＝－x ＋b 与椭圆＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋>0，①1m x 224m 2设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x M ，y M )，则x 1,2＝，2b m ± －2b 2＋2＋4m 22(12＋1m 2)即x 1＋x 2＝＝，2b m12＋1m 24mb m 2＋2x 1x 2＝＝，b 2－112＋1m 22m 2(b 2－1)m 2＋2所以x M ＝＝，y M ＝－x M ＋b ＝，x 1＋x 222mb m 2＋21m m 2b m 2＋2将AB 的中点M 代入直线方程y ＝mx ＋，解得b ＝－，②(2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2)12m 2＋22m 2由①②得m <－或m >.6363(2)令t ＝∈∪，则t 2∈.1m (－62，0)(0，62)(0，32)则AB ＝· |x 1－x 2|1＋1m 2＝· ，t 2＋1－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12且O 到直线AB 的距离为d ＝.t 2＋12t 2＋1设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝AB ·d ＝ ≤，1212－2(t 2－12)2＋222当且仅当t 2＝时，等号成立，此时满足t 2∈.12(0，32)故△AOB 面积的最大值为.221．已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解　(1)由题意，得椭圆C 的标准方程为＋＝1，x 24y 22所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2，因此a ＝2，c ＝.2故椭圆C 的离心率e ＝＝.c a 22(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以· ＝0，OA → OB →即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－.2y 0x0又x ＋2y ＝4，2020所以AB 2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝2＋(y 0－2)2＝x ＋y ＋＋4(x 0＋2y 0x 0)20024y 20x 20＝x ＋＋＋4204－x 2022(4－x 20)x 20＝＋＋4(0<x ≤4)．x 2028x2020因为＋≥4(0<x ≤4)，当且仅当x ＝4时等号成立，所以AB 2≥8.x 2028x202020故线段AB 长度的最小值为2.22．(2018·无锡模拟)已知椭圆＋＝1，过点B 作直线l 与椭圆交于另一点C ，求△OBC x 24y 23(1，32)面积的最大值．解　由题意知直线OB 的方程为y ＝x ，即3x －2y ＝0.32设经过点C 且平行于直线OB 的直线l ′方程为y ＝x ＋b ，32则当l ′与椭圆只有一个公共点时，△OBC 的面积最大．联立Error!消去y ，整理得3x 2＋3bx ＋b 2－3＝0，由Δ＝9b 2－12(b 2－3)＝0，解得b ＝±2.3当b ＝2时，C ；3(－3，32)当b ＝－2时，C .3(3，－32)所以△OBC 面积的最大值为× ×＝.121＋94|33＋3|1333．(2018·常州中学月考)如图，设椭圆C ：＋＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公x 2a 2y 2b 2共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .(1)解　设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由Error!消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为.(－a 2km b 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2)又点P 在第一象限，且m 2＝b 2＋a 2k 2，即m ＝，b 2＋a 2k 2故点P 的坐标为.(－a 2k b 2＋a 2k 2，b 2b 2＋a 2k 2)(2)证明　由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离d ＝，|－a 2k b 2＋a 2k 2＋b 2k b 2＋a 2k 2|1＋k 2整理得d ＝.a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k 2因为a 2k 2＋≥2ab ，b 2k 2所以≤＝a －b ，a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k 2a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab 当且仅当k 2＝时等号成立．b a 所以点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .4．已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的离心率为，过点M (1，0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两x 2a 2y 2b 222点，MA ＝λMB ，且当直线l 垂直于x 轴时，AB ＝.2(1)求椭圆C 的方程；(2)当λ∈时，求弦长AB 的取值范围．[12，2]解　(1)由已知e ＝，得＝，①22c a 22∵当直线垂直于x 轴时，AB ＝，2∴椭圆过点，(1，22)代入椭圆方程得＋＝1，②1a 212b2又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③可得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 22(2)当过点M 的直线的斜率为0时，点A ，B 分别为椭圆长轴的端点，λ＝＝＝3＋2>2MA MB 2＋12－12或λ＝＝＝3－2<，不符合题意．MA MB 2－12＋1212∴直线l 的斜率不能为0.设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线的方程代入椭圆方程得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，显然方程有两个不同实数解．∴y 1,2＝，－2m ±4m 2＋4(m 2＋2)2(m 2＋2)∴Error!将④式平方除以⑤式可得＋＋2＝－，y 1y 2y 2y 14m 2m 2＋2由已知MA ＝λMB 可知，＝－λ，y 1y2∴－λ－＋2＝－，1λ4m 2m 2＋2又λ∈，∴－λ－＋2∈，[12，2]1λ[－12，0]∴－≤－≤0，解得m 2∈.124m 2m 2＋2[0，27]AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋m 2)(y 1－y 2)2＝82＝82，(m 2＋1m 2＋2)(1－1m 2＋2)∵m 2∈，∴∈，[0，27]1m 2＋2[716，12]∴AB ∈.[2，928]故弦长AB 的取值范围是.[2，928]5．(2018·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的x 2a 2y 2b2离心率为，且右焦点F 到左准线的距离为6.222(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．解　(1)由题意，得Error!解得Error!则b ＝2，2所以椭圆C 的标准方程为＋＝1.x 216y 28(2)由题可设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋4)，k >0，则M (0,4k )，所以直线FN 的方程为y ＝(x －2)，22k2则N .(0，－2k )联立Error!消去y 并整理，得(1＋2k 2)x 2＋16k 2x ＋32k 2－16＝0，解得x 1＝－4，x 2＝，所以P ，4－8k 21＋2k 2(4－8k 21＋2k 2，8k 1＋2k 2)直线AN 的方程为y ＝－(x ＋4)，12k同理可得，Q ，(8k 2－41＋2k 2，－8k 1＋2k 2)所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点．所以△APQ 的面积S ＝OA ·(y P －y Q )＝2×＝≤8，1216k 1＋2k 2322k ＋1k2当且仅当2k ＝，即k ＝时，取等号．1k 22所以△APQ 的面积的最大值为8.26．已知圆G ：x 2＋y 2－2x －y ＝0经过椭圆＋＝1(a >b >0)的右焦点F 及上顶点B .过椭圆2x 2a 2y 2b 2外一点M (m,0)(m >a )作倾斜角为的直线l 交椭圆于C ，D 两点．5π6(1)求椭圆的方程；(2)若· <0，求m 的取值范围．FC → FD →解　(1)∵圆G ：x 2＋y 2－2x －y ＝0经过点F ，B ，2∴F (2,0)，B (0，)，∴c ＝2，b ＝，22∴a 2＝b 2＋c 2＝6，椭圆的方程为＋＝1.x 26y 22(2)由题意知直线l 的方程为y ＝－(x －m )，m >，336由Error!消去y ，整理得2x 2－2mx ＋(m 2－6)＝0.由Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0，解得－2<m <2.33∵m >，∴<m <2.663设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1,2＝，m ±12－m 22所以x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝，m 2－62∴y 1y 2＝· [－33(x 1－m )][－33(x 2－m )]＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋.13m 3m 23∵＝(x 1－2，y 1)，＝(x 2－2，y 2)，FC → FD →∴·＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2FC → FD →＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋＋4＝.43m ＋63m 232m (m －3)3又·<0，即<0，解得0<m <3.FC → FD → 2m (m －3)3又<m <2，∴<m <3.636故m 的取值范围是(，3)．6。

专题五高考解三角形专题之三角形中的范围问题(最全面值得收藏)

专题四三角形中的范围问题一、一组对边对角给定的三角形面积（周长）范围问题或最值问题一组对边对角给定的三角形面积（周长）范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用基本不等式或重要不等式求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围. 真题再现【2020全国Ⅱ卷理数17题】ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C =－－．（1）求A ；（2）若3=BC ，求ABC △周长的最大值．【解析】（1）由正弦定理得222BC AC AB AC AB --=⋅，由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，所以1cos 2A =-.又因为0πA <<，所以2π3A =.（2）函数解法由正弦定理及得sin sin sin AC AB BCB C A===所以AC B =，π)3cos AB A B B B =--=.即π33cos 3)3BC AC AB B B B ++=+=++.又π03B <<，所以当当且仅当π6B =时，ABC △周长取得最大值3+ 基本不等式解法由（1）知3=BC ，2π3A =由余弦定理得2222)(43)(9AC AB AC AB AC AB AB AC AB AC +≥⋅-+=⋅++= 即32≤+AC AB ，当且仅当3==AC AB 时等号成立所以ABC △周长的最大值为3+【2013全国Ⅱ卷理数17题】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a = b cos C + c sin B . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b =2，求△ABC 面积的最大值.【解析】（Ⅰ）由a = b cos C + c sin B 得 sin A = sin B cos C + sin C sin B即 sin (B +C ) = sin B cos C + sin C sin B所以cos B = sin B ，即B = π4（Ⅱ）解法一：余弦定理+基本不等式由余弦定理得：a 2 +c 2 - 2 ac = 4 即 4+ 2 ac = a 2 +c 2 ≥ 2ac 解得 ac ≤ = 42- 2= 2(2 + 2 ) 所以△ABC 面积S =24ac ≤ 1 + 2 . 即△ABC 面积的最大值为1 + 2 . 解法二：正弦定理+三角函数由正弦定理得22sin sin sin ===CcB b A a 所以C c A a sin 22,sin 22== 所以△ABC 面积1)42sin(2)4sin(sin 2242+-=+⋅==ππA A A ac S ，其中430π<<A 当且仅当242ππ=-A ，即83π=A 时△ABC 面积的最大值为1 + 2 解法三：几何方法（适用于小题）△ABC 中边b 和角B 确定，所以△ABC 的外接圆半径为222=R 又因为边b 固定，所以点B 在优弧AC 上运动，如图，当且仅当点B 在弧AC 的中点时，高线最大，三角形的面积最大此时128sin 1424sin 2122max +=⋅==ππAB SBAC相关例题【例1】（2014全国Ⅰ卷理数16题）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 . 【答案】3【例2】在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且C B A ,,成等差数列，3=b ，则ABC ∆面积的取值范围为_______. 【答案】]433,23(【例3】（2011课标卷理数16题）在ABC 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为。

2022年高考数学必刷压轴题- 有关三角形中的范围问题(选择题、填空题)(新高考地区专用)

专题26 有关三角形中的范围问题【方法点拨】1.正弦平方差公式sin 2α－sin 2β＝sin(α－β) sin(α＋β).2.化边、化角、作高三个方向如何选择是难点，但一般来说，涉及两内角正切间的等量关系时作高更简单些.【典型题示例】例 1 在锐角ABC △中，22a b bc -=，则112sin tan tan A B A-+的取值范围为______________.【答案】⎫⎪⎪⎝⎭【解析】∵22a b bc -=，利用正弦定理可得：22sin sin sin sin A B B C -=，由正弦平方差公式得()()sin sin sin sin A B A B C B -+=，即()sin sin sin sin C B C A B -=，易知sin 0C ≠，故()sin sin A B B -=又ABC △为锐角三角形，∴A B B -=，即2A B =，∴022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴64B ππ<<，32A ππ<<∵()sin 1112sin 2sin 2sin tan tan sin sin sin A B A A A B A B A A--+=+=+ 又32A ππ<<，∴sin 12A <<，令sin 12t A t ⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭，则()1212f t t t t ⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭，由对勾函数性质知，()12f t t t =+在t ⎫∈⎪⎪⎝⎭上单调递增，又2f =+=⎝⎭()112131f =+⨯=，∴12sin sin A A ⎫+∈⎪⎪⎝⎭.例2 若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是．【分析】将已知和所求都“化边”，然后使用基本不等式即可.所求的最值可想到余弦定理用边进行表示，，考虑角化边得到：，进而消去计算表达式的最值即可【解析】 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C .由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab≥26ab －22ab 8ab＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23时等号成立.∴cos C 的最小值为6－24. 例3 在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin 2 A + sin 2B = 2sin 2C ，则的最小值为．【解析一】（作高线，化斜为直，角化边）由正弦定理，得：，如图，作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，CD ＝y ，BD ＝h ，因为，所以，，化简，得：，解得：x ＝3ycos C 222cos 2a b c C ab+-=sin 2sin A B C +=2a c =c 111tan tan tan A B C ++22222a b c +=22222a b c +=222222()()2()y h x y x h +++=+22230x xy y --=，，，＝＝＝＝. 【解析二】（边化角）由正弦定理，得：，即，由余弦定理得：，即，由正弦定理，得：，即，化简得，以主元，化简得.例4 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若82222=++c b a ，则ABC ∆的面积的最大值为．【解析一】（余弦定理+二次函数）看到式子的结构特征，联想余弦定理得：所以当时，，．【解析二】（三角形中线长定理+基本不等式）设BC 边上的中线为AM ，则22222()4a b c AM +=+∵82222=++c b a ∴22282a b c +=-代人得：2222(82)4c c AM -=+，即225416c AM +=tan()tan B A C +=-tan tan C tan B 1tan tan C A A +=--1tan tan 1tan tan tan A C A C B-=-+111tan tan tan A B C ++11tan tan A C +tan tan 1tan tan A C A C -++21h x y xyh h h h x y-+++22434y h y h yh -+1344y h h y +≥22222a b c +=()22222+3b c a b -=24cos 3bc A b =4cos 3c A b =4sin cos 3sin C A B =4sin cos 3sin()C A A C =+tan 3tan C A =82222=++c b a 2222233832cos 242a b c a b C ab ab ab +-+-==≥-222222113253()sin ()1()()1442162S ab C ab ab ab ab ⎡⎤=≤--=-+-⎢⎥⎣⎦125ab =2max 45S ⎡⎤=⎣⎦ABC ∆根据基本不等式得：225416c AM c +=≥=⋅ 又因为三角形一边上的中线不小于该边上的高所以c ⋅≥所以16≥，S ≤时．【解法三】（隐圆）以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设A ⎝⎛⎭⎫－c 2，0，B ⎝⎛⎭⎫c 2，0，C (x ，y )，则由a 2＋b 2＋2c 2＝8，得⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＋⎝⎛⎭⎫x ＋c22＋y 2＋2c 2＝8，即x 2＋y 2＝4－54c 2，所以点C 在以原点(0,0)为圆心，4－54c 2为半径的圆上，所以S ≤c24－54c 2＝125⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4－54c 2＋54c 2≤255.ABC ∆【巩固训练】1. （多选题）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b bc =+，则角A 可为（） A ．34π B ．4π C ．712π D ．23π 2.在△ABC 中，若2sin 22cosBC A =-，则cos B 的最小值是 . 3. 已知ABC ∆中， sin 2sin cos 0A B C +=，则tan A 的最大值是 ( )ABCD4.若的内角满足，则角的最大值是 .5.已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若)(2c a a b +=，则Ba Ab Aa cos cos sin -的取值范围是（）A .)22,0(B .)23,0(C .)22,21(D .)23,21( 6.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，1a =，cos cos 1b A B -=，当A ，B 则变化时，2sin 2sin B A λ-存在最大值，则正数λ的取值范围为______________.A.0⎛ ⎝⎭B . 102⎛⎫⎪⎝⎭， C .32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， D. 112⎛⎫⎪⎝⎭， 7. 在ΔABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若√2a ，b ，c 成等差数列，则 3sinA +√2sinC的最小值为________．ABC ∆sin sin 2sin A B C +=C【答案与提示】1. 【答案】BC【解析】∵22a b bc =+，利用正弦定理可得：22sin sin sin sin A B B C -=，由正弦平方差公式得()()sin sin sin sin A B A B C B -+=，即()sin sin sin sin C B C A B -=，易知sin 0C ≠，故()sin sin A B B -= ∴A B B -=，即2A B = ∵0A B π<+<， ∴102A A π<+<，∴203A π<<，故选：BC .2.【答案】12【提示】已知可化为coscos sin sin 2222A C A C +2sin 2A C π--=2cos 22A C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos cos sin sin 2222A C A C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，弦化切得1tan tan 223A C =∴1tantan 1tan tan122tan 23tan tan tan 2222A C A CB AC A C --==≤=⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ∴26B π≤，3B π≤，∴1cos 2B ≥. 3. 【答案】A【提示】化边、化角、作高三个方向均可解决. 4.【答案】【解析】由可得：， ∵在递减，∴3πsin sin 2sin A B C +=2a b c +=2a bc +∴=2222222233112442cos 2222a b a b a b ab a b c C ab ab ab +⎛⎫+-+- ⎪+-⎝⎭∴===≥cos C ()0π，03C π<≤5. 【答案】C【解析】由)(2c a a b +=得：22sin sin sin sin B A A C =+，即22sin sin sin sin B A A C -=即()()sin sin sin sin B A B A A C +-=，而()sin sin 0B A C +=≠，所以()sin sin B A A -= 又ABC △为锐角三角形，∴B A A -=，即2B A =，∴022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴64A ππ<<()22sin sin sin 1sin ,cos cos sin cos sin cos sin 22a A A AA b A aB B A A B B A ⎛===∈ ---⎝⎭6. 【答案】A【解析】由1a =，cos cos 1b A B -=得：cos cos b A a B a -=根据正弦定理得：sin cos sin cos sin B A A B A -=，即()sin sin B A A -= 又ABC △为锐角三角形，∴B A A -=，即2B A =，∴022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴64A ππ<< ，232A ππ<<2sin 2sin sin 2(1cos2)sin 2cos2B A A A A A λλλλ-=--=+-()2A ϕλ=+-（tan ϕλ=）∵232A ππ<<∴欲使2sin 2sin B A λ-存在最大值，必有22A πϕ+=∴06πϕ<<，故tan 0tan tan6πϕλ<=<，即0λ<<. 7.【答案】2(√3+1)【解析】由题得2b =√2a +c ，∴cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−(√22a+c 2)22ac，所以cosB =12a 2+34c 2−√22ac 2ac≥2√12a 2⋅34c 2−√22ac2ac=√6−√24，所以0<B ≤750，∴0<sinB ≤√6+√24，因为2sinB=√2sinA+sinC，∴√2sinA+sinC≤√6+√22，∴√2sinA+sinC√6+√22≤1．所以3sin A +√2sin C≥(3sinA+√2sinC)⋅√2sinA+sinC√6+√22=4√2+2sinAsinC+3sinCsinA√6+√22≥4√2+2√2sinAsinC⋅3sinCsinA√6+√22=√2+2√6√6+√22=2(√3+1)．故答案为：2(√3+1)．。