数据结构课程设计---二叉排序树和平衡二叉树的判别

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平衡二叉树和二叉排序树（二叉搜索树）区别

平衡⼆叉树和⼆叉排序树（⼆叉搜索树）区别
平衡⼆叉树是⼀种⼆叉搜索树。

其可以保证在log2(n)的时间内找到节点，⽽普通的⼆叉搜索树在最坏情况下性能近似与链
表，所⽤时间为log(n)。

常⽤的平衡⼆叉树有AVL树和红⿊树其算法的难点在于插⼊删除节点后树的旋转
平衡⼆叉树 ----> O(log2(n))
普通⼆叉搜索树 ----> O(n)
在⼆叉搜索树的插⼊和删除运算中，采⽤平衡树的优点是：使树的结构较好，从⽽提⾼查找运算的速度。

缺点是：是插⼊和删除运算变得复杂化，从⽽降低了他们的运算速度。

对⼆叉搜索树删除节点⽽引起的不平衡性进⾏的操作⽐插⼊节点的情况要复杂，在此就不再论述了。

操作系统的设计也有⽤到哦
很多数据库的实现是基于更复杂的平衡⼆叉树
可以⾃⼰实现⼀个集合或者map,统计单词出现的次数
stl的map/set都在⽤
普通⼆叉搜索树最坏情况是只有左边⼀个分⽀，如1-2-3-4-5（5在最上⾯，1在左下⾓），但是平衡⼆叉树可以调整。

为1-2-3-4-5（3在最上⾯，1在左下⾓，5在右下⾓）。

平衡⼆叉树 ----> O(log2(n))
普通⼆叉搜索树 ----> O(n)
所以平衡⼆叉树的搜索性能⽐⼆叉搜索树（⼆叉排序树）好。

数据结构c语言课设-二叉树排序

题目:二叉排序树的实现1 内容和要求1）编程实现二叉排序树，包括生成、插入，删除；2）对二叉排序树进展先根、中根、和后根非递归遍历；3）每次对树的修改操作和遍历操作的显示结果都需要在屏幕上用树的形状表示出来。

4）分别用二叉排序树和数组去存储一个班(50 人以上)的成员信息(至少包括学号、姓名、成绩3 项),比照查找效率，并说明在什么情况下二叉排序树效率高,为什么?2 解决方案和关键代码2.1 解决方案：先实现二叉排序树的生成、插入、删除，编写DisplayBST函数把遍历结果用树的形状表示出来。

前中后根遍历需要用到栈的数据构造，分模块编写栈与遍历代码。

要求比照二叉排序树和数组的查找效率，首先建立一个数组存储一个班的成员信息，分别用二叉树和数组查找，利用clock〔〕函数记录查找时间来比照查找效率。

2.2关键代码树的根本构造定义及根本函数typedef struct{KeyType key;} ElemType;typedef struct BiTNode//定义链表{ElemType data;struct BiTNode *lchild, *rchild;}BiTNode, *BiTree, *SElemType;//销毁树int DestroyBiTree(BiTree &T){if (T != NULL)free(T);return 0;}//清空树int ClearBiTree(BiTree &T){if (T != NULL){T->lchild = NULL;T->rchild = NULL;T = NULL;}return 0;}//查找关键字,指针p返回int SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p) {if (!T){p = f;return FALSE;}else if EQ(key, T->data.key){p = T;return TRUE;}else if LT(key, T->data.key)return SearchBST(T->lchild, key, T, p);elsereturn SearchBST(T->rchild, key, T, p);}二叉树的生成、插入，删除生成void CreateBST(BiTree &BT, BiTree p){int i;ElemType k;printf("请输入元素值以创立排序二叉树:\n");scanf_s("%d", &k.key);for (i = 0; k.key != NULL; i++){//判断是否重复if (!SearchBST(BT, k.key, NULL, p)){InsertBST(BT, k);scanf_s("%d", &k.key);}else{printf("输入数据重复！\n");return;}}}插入int InsertBST(BiTree &T, ElemType e){BiTree s, p;if (!SearchBST(T, e.key, NULL, p)){s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));s->data = e;s->lchild = s->rchild = NULL;if (!p)T = s;else if LT(e.key, p->data.key)p->lchild = s;elsep->rchild = s;return TRUE;}else return FALSE;}删除//某个节点元素的删除int DeleteEle(BiTree &p){BiTree q, s;if (!p->rchild) //右子树为空{q = p;p = p->lchild;free(q);}else if (!p->lchild) //左子树为空{q = p;p = p->rchild;free(q);}else{q = p;s = p->lchild;while (s->rchild){q = s;s = s->rchild;}p->data = s->data;if (q != p)q->rchild = s->lchild;elseq->lchild = s->lchild;delete s;}return TRUE;}//整棵树的删除int DeleteBST(BiTree &T, KeyType key) //实现二叉排序树的删除操作{if (!T){return FALSE;}else{if (EQ(key, T->data.key)) //是否相等return DeleteEle(T);else if (LT(key, T->data.key)) //是否小于return DeleteBST(T->lchild, key);elsereturn DeleteBST(T->rchild, key);}return 0;}二叉树的前中后根遍历栈的定义typedef struct{SElemType *base;SElemType *top;int stacksize;}SqStack;int InitStack(SqStack &S) //构造空栈{S.base = (SElemType*)malloc(STACK_INIT_SIZE *sizeof(SElemType));if (!S.base) exit(OVERFLOW);S.top = S.base;S.stacksize = STACK_INIT_SIZE;return OK;}//InitStackint Push(SqStack &S, SElemType e) //插入元素e为新栈顶{if (S.top - S.base >= S.stacksize){S.base = (SElemType*)realloc(S.base, (S.stacksize + STACKINCREMENT)*sizeof(SElemType));if (!S.base) exit(OVERFLOW);S.top = S.base + S.stacksize;S.stacksize += STACKINCREMENT;}*S.top++ = e;return OK;}//Pushint Pop(SqStack &S, SElemType &e) //删除栈顶,应用e返回其值{if (S.top == S.base) return ERROR;e = *--S.top;return OK;}//Popint StackEmpty(SqStack S) //判断是否为空栈{if (S.base == S.top) return TRUE;return FALSE;}先根遍历int PreOrderTraverse(BiTree T, int(*Visit)(ElemType e)) {SqStack S;BiTree p;InitStack(S);p = T;while (p || !StackEmpty(S)){if (p){Push(S, p);if (!Visit(p->data)) return ERROR;p = p->lchild;}else{Pop(S, p);p = p->rchild;}}return OK;}中根遍历int InOrderTraverse(BiTree T, int(*Visit)(ElemType e)) {SqStack S;BiTree p;InitStack(S);p = T;while (p || !StackEmpty(S)){if (p){Push(S, p);p = p->lchild;}else{Pop(S, p);if (!Visit(p->data)) return ERROR;p = p->rchild;}}return OK;}后根遍历int PostOrderTraverse(BiTree T, int(*Visit)(ElemType e)) {SqStack S, SS;BiTree p;InitStack(S);InitStack(SS);p = T;while (p || !StackEmpty(S)){if (p){Push(S, p);Push(SS, p);p = p->rchild;}else{if (!StackEmpty(S)){Pop(S, p);p = p->lchild;}}}while (!StackEmpty(SS)){Pop(SS, p);if (!Visit(p->data)) return ERROR;}return OK;}利用数组存储一个班学生信息ElemType a[] = { 51, "陈继真", 88,82, "黄景元", 89,53, "贾成", 88,44, "呼颜", 90,25, "鲁修德", 88,56, "须成", 88,47, "孙祥", 87, 38, "柏有患", 89, 9, " 革高", 89, 10, "考鬲", 87, 31, "李燧", 86, 12, "夏祥", 89, 53, "余惠", 84, 4, "鲁芝", 90, 75, "黄丙庆", 88, 16, "李应", 89, 87, "杨志", 86, 18, "李逵", 89, 9, "阮小五", 85, 20, "史进", 88, 21, "秦明", 88, 82, "杨雄", 89, 23, "刘唐", 85, 64, "武松", 88, 25, "李俊", 88, 86, "卢俊义", 88, 27, "华荣", 87, 28, "杨胜", 88, 29, "林冲", 89, 70, "李跃", 85, 31, "蓝虎", 90, 32, "宋禄", 84, 73, "鲁智深", 89, 34, "关斌", 90, 55, "龚成", 87, 36, "黄乌", 87, 57, "孔道灵", 87, 38, "张焕", 84, 59, "李信", 88, 30, "徐山", 83, 41, "秦祥", 85, 42, "葛公", 85, 23, "武衍公", 87, 94, "范斌", 83, 45, "黄乌", 60, 67, "叶景昌", 99, 7, "焦龙", 89, 78, "星姚烨", 85, 49, "孙吉", 90, 60, "陈梦庚", 95,};数组查询函数void ArraySearch(ElemType a[], int key, int length){int i;for (i = 0; i <= length; i++){if (key == a[i].key){cout << "学号：" << a[i].key << " 姓名：" << a[i].name << " 成绩：" << a[i].grade << endl;break;}}}二叉树查询函数上文二叉树根本函数中的SearchBST()即为二叉树查询函数。

二叉树的5种基本形态。 -回复

二叉树的5种基本形态。

-回复二叉树是计算机科学中常见的数据结构之一，它由节点和连接节点的边组成。

每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

基于节点连接的不同方式，二叉树可以存在多种基本形态。

在本文中，我们将探讨二叉树的五种基本形态，并详细介绍它们的特点、应用场景以及如何构建和遍历。

一、满二叉树满二叉树是一种非常特殊的二叉树，每一层节点都达到了最大数量，而且所有的叶子节点都在同一层。

满二叉树的特点是每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点。

满二叉树中的节点数量可以通过公式2^n - 1来计算，其中n为树的高度。

满二叉树的构建通常是基于完全二叉树进行。

满二叉树的应用场景包括：数据索引结构、哈夫曼编码。

二、完全二叉树完全二叉树是一种叶子节点除了最后一层可以不满外，其余的层节点都达到了最大数量的二叉树。

与满二叉树不同的是，完全二叉树的叶子节点总是尽量靠左分布。

完全二叉树可以通过数组来表示，节点的索引与数组中的位置一一对应。

完全二叉树的应用场景包括：堆数据结构、哈夫曼编码、优先队列。

三、二叉搜索树二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种有序的二叉树结构，其中左子树的所有节点值均小于根节点的值，右子树的所有节点值均大于根节点的值。

对于二叉搜索树的任意节点，左子树和右子树都是一棵二叉搜索树。

二叉搜索树的应用场景包括：快速搜索、有序数据存储、二叉排序树。

四、平衡二叉树平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左子树和右子树的高度差不超过1。

通过保持树的平衡性，平衡二叉树可以提供更快的搜索和插入操作。

平衡二叉树的应用场景包括：数据库索引、动态变化的数据集。

五、二叉链表二叉链表是一种常见的二叉树实现方式，它使用节点对象保存值和左右子节点的引用。

每个节点对象都包含一个值和两个指针，分别指向左子节点和右子节点。

通过这样的方式，可以使用链表来存储和表示二叉树。

二叉链表的应用场景包括：树的遍历、树的操作。

数据结构与算法系列研究五——树、二叉树、三叉树、平衡排序二叉树AVL

数据结构与算法系列研究五——树、⼆叉树、三叉树、平衡排序⼆叉树AVL树、⼆叉树、三叉树、平衡排序⼆叉树AVL⼀、树的定义树是计算机算法最重要的⾮线性结构。

树中每个数据元素⾄多有⼀个直接前驱，但可以有多个直接后继。

树是⼀种以分⽀关系定义的层次结构。

a.树是n(≥0)结点组成的有限集合。

{N.沃恩}(树是n(n≥1)个结点组成的有限集合。

{D.E.Knuth})在任意⼀棵⾮空树中：⑴有且仅有⼀个没有前驱的结点----根(root)。

⑵当n>1时，其余结点有且仅有⼀个直接前驱。

⑶所有结点都可以有0个或多个后继。

b. 树是n(n≥0)个结点组成的有限集合。

在任意⼀棵⾮空树中：⑴有⼀个特定的称为根（root）的结点。

⑵当n>1时，其余结点分为ｍ（ｍ≥0）个互不相交的⼦集T1，T2，…，Tm。

每个集合本⾝⼜是⼀棵树，并且称为根的⼦树（subtree）树的固有特性---递归性。

即⾮空树是由若⼲棵⼦树组成，⽽⼦树⼜可以由若⼲棵更⼩的⼦树组成。

树的基本操作1、InitTree(&T) 初始化2、DestroyTree(&T) 撤消树3、CreatTree(&T,F) 按F的定义⽣成树4、ClearTree(&T) 清除5、TreeEmpty(T) 判树空6、TreeDepth(T) 求树的深度7、Root(T) 返回根结点8、Parent(T,x) 返回结点 x 的双亲9、Child(T,x,i) 返回结点 x 的第i 个孩⼦10、InsertChild(&T,&p,i,x) 把 x 插⼊到 P的第i棵⼦树处11、DeleteChild(&T,&p,i) 删除结点P的第i棵⼦树12、traverse(T) 遍历树的结点：包含⼀个数据元素及若⼲指向⼦树的分⽀。

●结点的度: 结点拥有⼦树的数⽬●叶结点: 度为零的结点●分枝结点: 度⾮零的结点●树的度: 树中各结点度的最⼤值●孩⼦: 树中某个结点的⼦树的根●双亲: 结点的直接前驱●兄弟: 同⼀双亲的孩⼦互称兄弟●祖先: 从根结点到某结点j 路径上的所有结点（不包括指定结点）。

数据结构课程设计

“数据结构”课程设计报告二叉排序树的查找与性能分析学生姓名：段晓宣，张静指导教师：陈少军所在系：电子信息系所学专业：计算机科学与技术年级： 2010级计算机（1）班目录第一章需求分析1.1选题要求 (3)1.2选题的背景与意义 (3)1.3本组课程设计的目标 (3)1.4人员组成和分工 (3)第2章概要分析 (4)2.1系统数据流图 (4)2.2原始数据 (4)2.3输出数据 (4)2.4对数据的处理 (5)2.5数据结构 (5)2.6模块划分 (5)第3章详细设计 (6)3.1二叉排序树的创建 (6)3.2二叉排序树的插入 (7)3.3二叉排序树的查找 (7)3.4计算多数据的平均查找长度 (9)3.5主函数 (9)第4章用户手册 (10)4.1 用户须知 (10)第5章系统测试 (11)项目总结 (12)参考文献 (13)二叉树排序树的查找与性能分析摘要：21世纪是信息化的时代，计算机深入到生活的各个领域。

随着计算机的发展，许多高科技产品如雨后春笋应运而生。

但究其本质而言，无非是以前的理论加以包装。

对于数据控制、管理及处理等方面也可见一斑。

在如今应用的计算机的数据存储方式仍然主要以线性，树型，图型等为主要的及结构。

因此了解并掌握数据结构的知识是很有必要的。

在此次实训期间，本组人员通过运用所学数据结构的知识，进行以二叉排序树的查找与性能分析为题的课程设计，在同组人员的共同努力下，基本实现了：1.创建二叉排序树2.利用文件存储二叉排序树3.二叉排序树的插入4.二叉排序树的查找5.二叉排序树平均查找长度的算法第1章需求分析1.1选题要求（1）根据输入的先序及递归建立二叉排序树；（2）通过文件，向二叉排序树插入结点，并生成二叉树；（3）设置报名号为关键字，可以根据关键字进行查找；（5）查找的同时可以判断比较的次数；（6）根据查找的算法计算出10000个数据平均查找长度；1.2选题的背景与意义（1）树型存储结构数据存储结构中重要的组成部分，二叉树由是树的重点。

数据结构之二叉树（BinaryTree）

数据结构之⼆叉树（BinaryTree）⽬录导读⼆叉树是⼀种很常见的数据结构，但要注意的是，⼆叉树并不是树的特殊情况，⼆叉树与树是两种不⼀样的数据结构。

⽬录⼀、⼆叉树的定义⼆、⼆叉树为何不是特殊的树三、⼆叉树的五种基本形态四、⼆叉树相关术语五、⼆叉树的主要性质（6个）六、⼆叉树的存储结构（2种）七、⼆叉树的遍历算法（4种）⼋、⼆叉树的基本应⽤：⼆叉排序树、平衡⼆叉树、赫夫曼树及赫夫曼编码⼀、⼆叉树的定义如果你知道树的定义（有限个结点组成的具有层次关系的集合），那么就很好理解⼆叉树了。

定义：⼆叉树是n(n≥0)个结点的有限集，⼆叉树是每个结点最多有两个⼦树的树结构，它由⼀个根结点及左⼦树和右⼦树组成。

（这⾥的左⼦树和右⼦树也是⼆叉树）。

值得注意的是，⼆叉树和“度⾄多为2的有序树”⼏乎⼀样，但，⼆叉树不是树的特殊情形。

具体分析如下⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 1、⼆叉树与⽆序树不同⼆叉树的⼦树有左右之分，不能颠倒。

⽆序树的⼦树⽆左右之分。

2、⼆叉树与有序树也不同（关键）当有序树有两个⼦树时，确实可以看做⼀颗⼆叉树，但当只有⼀个⼦树时，就没有了左右之分，如图所⽰：三、⼆叉树的五种基本状态四、⼆叉树相关术语是满⼆叉树；⽽国际定义为，不存在度为1的结点，即结点的度要么为2要么为0，这样的⼆叉树就称为满⼆叉树。

这两种概念完全不同，既然在国内，我们就默认第⼀种定义就好）。

完全⼆叉树：如果将⼀颗深度为K的⼆叉树按从上到下、从左到右的顺序进⾏编号，如果各结点的编号与深度为K的满⼆叉树相同位置的编号完全对应，那么这就是⼀颗完全⼆叉树。

如图所⽰：五、⼆叉树的主要性质⼆叉树的性质是基于它的结构⽽得来的，这些性质不必死记，使⽤到再查询或者⾃⼰根据⼆叉树结构进⾏推理即可。

性质1：⾮空⼆叉树的叶⼦结点数等于双分⽀结点数加1。

证明：设⼆叉树的叶⼦结点数为X，单分⽀结点数为Y，双分⽀结点数为Z。

《二叉树的概念》课件

过程中进行一些特定的操作。
05
二叉树的应用
Chapter
在数据结构中的应用
二叉搜索树
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的每个节点的左子树上的所有元素都小于该节点，右子树上的所有元素都大于该节点。这种数据结构可以用于快速查找、插入和删除操作。
AVL树和红黑树
这两种二叉树都是自平衡二叉搜索树，它们通过调整节点的左右子树的高度来保持树的平衡，从而在插入、删除等操作时具有较好的性能。
VS
详细描述
平衡二叉树的特点是，它的左右子树的高度差不会超过1，且左右子树都是平衡二叉树。平衡二叉树的性质还包括，它的所有叶节点的层数相等，且所有非叶节点的左右子树的高度差不超过1。平衡二叉树的查找、插入和删除操作的时间复杂度为 O(log n)，其中n为节点数。
04
二叉树的遍历
Chapter
决策树
在机器学习和人工智能领域，决策树是一种重要的分类和回归方法。其基础结构就是二叉树，通过构建决策树，可以解决分类和回归问题。
THANKS
感谢观看
代码表示法
总结词：严谨规范
详细描述：使用编程语言的语法结构来表示二叉树，每个节点用对象或结构体表示，节点间的关系通过指针或引用表示，严谨规范，易于编写和调试。
03
二叉树的性质
Chapter
深度最大的二叉树
总结词
深度最大的二叉树是指具有最大可能深度的二叉树。
详细描述
在二叉树中，深度最大的二叉树是满二叉树，即每个层级都完全填满，没有空缺的节点。满二叉树的深度等于其节点总数减一。
02
二叉树的表示方法
Chapter
图形表示法
总结词：直观明了
详细描述：通过图形的方式展示二叉树的结构，每个节点用圆圈或方框表示，节点间的关系用线段表示，直观易懂，易于理解。

数据结构课程思政课程设计

数据结构课程思政课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握数据结构的基本概念，包括线性表、树、图等结构的特点和应用场景。

2. 使学生了解各类数据结构在解决问题中的优势与局限，并能运用相关知识对实际问题进行分析和描述。

3. 培养学生运用所学数据结构知识，解决实际编程问题的能力。

技能目标：1. 培养学生运用数据结构进行问题分析和算法设计的能力。

2. 提高学生编程实践能力，使其能熟练使用至少一种编程语言实现常见数据结构及相关算法。

3. 培养学生团队协作和沟通能力，通过小组讨论、项目实施等形式，提高解决实际问题的综合能力。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对数据结构在计算机科学中的重要地位的认识，激发学习兴趣和探究精神。

2. 引导学生树立正确的价值观，认识到数据结构在解决实际问题中的积极作用，培养社会责任感和使命感。

3. 培养学生面对复杂问题时的耐心、细心和毅力，形成积极向上的学习态度。

本课程针对高中年级学生，结合数据结构课程的特点，注重理论与实践相结合，强调思政教育的融入。

在教学过程中，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，引导他们主动参与课堂讨论和实践操作。

通过本课程的学习，期望学生能够掌握数据结构的基本知识和技能，培养良好的学习习惯和团队合作精神，形成积极向上的人生态度。

二、教学内容1. 线性表：包括线性表的定义、特点、实现方法及应用案例。

重点讲解顺序表、链表的结构特点及操作方法。

教材章节：第一章《线性表》2. 栈与队列：介绍栈与队列的基本概念、操作原理及在实际应用中的使用场景。

教材章节：第二章《栈与队列》3. 树与二叉树：讲解树的基本概念、二叉树的性质、遍历方法以及常见的树结构，如二叉排序树、平衡二叉树等。

教材章节：第三章《树与二叉树》4. 图：介绍图的基本概念、存储结构、遍历方法以及最短路径、最小生成树等算法。

教材章节：第四章《图》5. 查找与排序：讲解常见的查找算法（如二分查找、哈希查找等）和排序算法（如冒泡排序、快速排序等）的原理和实现。

数据结构：第9章查找2-二叉树和平衡二叉树

NODE *t; char x; {if(t==NULL)
return(NULL); else
{if(t->data==x) return(t);
if(x<(t->data) return(search(t->lchild,x));
else return(search(t->lchild,x)); } }
——这种既查找又插入的过程称为动态查找。二叉排序树既有类似于折半查找的特性，又采用了链表存储，它是动态查找表的一种适宜表示。
注：若数据元素的输入顺序不同，则得到的二叉排序树形态也不同！
讨论1：二叉排序树的插入和查找操作例：输入待查找的关键字序列=（45，24，53，45，12，24，90）
二叉排序树的建立对于已给定一待排序的数据序列,通常采用逐步插入结点的方法来构造二叉排序树,即只要反复调用二叉排序树的插入算法即可，算法描述为： BiTree *Creat (int n) //建立含有n个结点的二叉排序树 { BiTree *BST= NULL;
for ( int i=1; i<=n; i++) { scanf(“%d”,&x); //输入关键字序列
– 法2：令*s代替*p
将S的左子树成为S的双亲Q的右子树，用S取代p 。若C无右子树，用C取代p。
例：请从下面的二叉排序树中删除结点P。
F P
法1:
F
P
C
PR
C
PR
CL Q
CL QL
Q SL
S PR
QL S
SL
法2:
F
PS
C
PR
CL Q
QL SL S SL

简述二叉树的五种形态

简述二叉树的五种形态二叉树是一种常用的数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。

根据节点的分布情况，二叉树可以分为五种形态，分别是满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树、搜索二叉树和线索二叉树。

一、满二叉树满二叉树是指除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点的二叉树。

也就是说，满二叉树的所有层都是满的，并且最后一层的叶子节点都靠左排列。

满二叉树的节点数可以通过公式计算得到，假设树的高度为h，则节点数为2^h - 1。

满二叉树的特点是结构简单，查找速度快。

在满二叉树中，任意两个节点的路径长度都相同。

二、完全二叉树完全二叉树是指除了最后一层之外，其他层都是满的，并且最后一层的叶子节点都靠左排列的二叉树。

完全二叉树的特点是节点数较少，结构相对简单。

完全二叉树通常用数组来表示，因为它的节点之间的关系可以通过数组的下标来表示。

在完全二叉树中，任意一个节点的左子节点的下标为2i，右子节点的下标为2i+1。

三、平衡二叉树平衡二叉树是指左右子树的高度差不超过1的二叉树。

平衡二叉树的特点是查找、插入和删除的时间复杂度都为O(logn)，其中n是节点的数量。

平衡二叉树的高度可以通过节点的平衡因子来计算，平衡因子定义为左子树的高度减去右子树的高度。

平衡因子的取值范围为-1、0和1，当平衡因子的绝对值大于1时，需要通过旋转操作来调整树的平衡性。

四、搜索二叉树搜索二叉树，也称为二叉搜索树或排序二叉树，是一种特殊的二叉树。

它的特点是对于树中的任意一个节点，其左子树中的所有节点都小于它，右子树中的所有节点都大于它。

搜索二叉树的中序遍历结果是一个递增的有序序列。

搜索二叉树的特点是可以快速地查找某个节点，时间复杂度为O(logn)，其中n是节点的数量。

但是，如果搜索二叉树不平衡，即左子树或右子树过深，则会导致查找的时间复杂度退化为O(n)。

五、线索二叉树线索二叉树是对二叉树进行了优化的数据结构，它通过添加指向前驱和后继节点的线索，使得遍历操作更加高效。

二叉排序树(二叉链表结构存储)数据结构课程设计报告

二叉排序树（二叉链表结构存储）数据结构课程设计报告目录1需求分析 (1)1.1课程设计题目、任务及要求 (1)1.2课程设计思想 (1)2概要设计 (2)2.1 二叉排序树的定义 (2)2.2二叉链表的存储结构 (2)2.3建立二叉排序树 (2)2.4二叉排序树的生成过程 (3)2.5中序遍历二叉树 (3)2.6二叉排序树的查找 (3)2.7二叉排序树的插入 (4)2.8平均查找长度 (4)3详细设计和实现 (4)3.1主要功能模块设计 (4)3.2主程序设计 (5)4调试与操作说明 (12)4.1程序调试 (12)4.2程序操作说明 (13)总结 (16)致谢 (17)参考文献 (19)1需求分析1.1课程设计题目、任务及要求二叉排序树。

用二叉链表作存储结构(1)以(0)为输入结束标志,输入数列L，生成一棵二叉排序树T；(2)对二叉排序树T作中序遍历,输出结果；(3)计算二叉排序树T查找成功的平均查找长度,输出结果；(4)输入元素x,查找二叉排序树T:若存在含x的结点,则删除该结点,并作中序遍历(执行操作2)；否则输出信息“无x”；1.2课程设计思想建立二叉排序树采用边查找边插入的方式。

查找函数采用递归的方式进行查找。

如果查找成功则不应再插入原树，否则返回当前结点的上一个结点。

然后利用插入函数将该元素插入原树。

对二叉排序树进行中序遍历采用递归函数的方式。

在根结点不为空的情况下，先访问左子树，再访问根结点，最后访问右子树。

由于二叉排序树自身的性质，左子树小于根结点，而根结点小于右子树，所以中序遍历的结果是递增的。

计算二插排序树的平均查找长度时，仍采用类似中序遍历的递归方式，用s记录总查找长度，j记录每个结点的查找长度，s置初值为0，采用累加的方式最终得到总查找长度s。

平均查找长度就等于s/i(i为树中结点的总个数)。

删除结点函数，采用边查找边删除的方式。

如果没有查找到，则不对树做任何的修改；如果查找到结点，则分四种情况分别进行讨论：1、该结点左右子树均为空；2、该结点仅左子树为空；3、该结点仅右子树为空；4、该结点左右子树均不为空。

数据结构二叉树知识点总结

数据结构二叉树知识点总结二叉树是指每个节点最多有两个子节点的树结构。

它是一种重要的数据结构，在算法和程序设计中被广泛应用。

下面是对二叉树的主要知识点进行详细总结。

1.二叉树的基本概念：-树节点：树的基本单元，包含数据项（节点值）和指向其他节点的指针。

-根节点：树的第一个节点。

-叶节点（又称为终端节点）：没有子节点的节点。

-子节点：一些节点的下一级节点。

-父节点：一些节点的上一级节点。

-兄弟节点：拥有同一父节点的节点。

-深度：从根节点到当前节点的路径长度。

-高度：从当前节点到最远叶节点的路径长度。

2.二叉树的分类：-严格二叉树：每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点。

-完全二叉树：除了最后一层外，其他层的节点数都达到最大，并且最后一层的节点依次从左到右排列。

-满二叉树：每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点，并且所有叶节点都在同一层上。

-平衡二叉树：任意节点的两棵子树的高度差不超过13.二叉树的遍历：-前序遍历：根节点->左子树->右子树。

递归实现时，先访问当前节点，然后递归遍历左子树和右子树。

-中序遍历：左子树->根节点->右子树。

递归实现时，先递归遍历左子树，然后访问当前节点，最后递归遍历右子树。

-后序遍历：左子树->右子树->根节点。

递归实现时，先递归遍历左子树，然后递归遍历右子树，最后访问当前节点。

-层序遍历：从上到下，从左到右依次访问每个节点。

使用队列实现。

4.二叉查找树（BST）：-二叉查找树是一种有序的二叉树，对于树中的每个节点，其左子树的节点的值都小于当前节点的值，右子树的节点的值都大于当前节点的值。

-插入操作：从根节点开始，递归地比较要插入的值和当前节点的值，根据比较结果向左或向右移动，直到找到插入位置为止。

-查找操作：从根节点开始，递归地比较要查找的值和当前节点的值，根据比较结果向左或向右移动，直到找到目标节点或到叶节点。

-删除操作：有三种情况：-被删除节点是叶节点：直接将其删除。

数据结构与算法(3)：二叉树

证！
1.3.3 性质三
包含n个结点的二二叉树的高高度至至少为log2(n + 1)；
证明：根据"性质2"可知，高高度为h的二二叉树最多有2{h}–1个结点。反之，对于包含n个节点的二二
叉树的高高度至至少为log2(n + 1)。
1.3.4 性质四
对任何一一颗二二叉树T，如果其终端结点数为n0 ，度为2的结点数为n2 ，则n0 = n2 + 1 证明：因为二二叉树中所有结点的度数均不不大大于2，所以结点总数(记为n)="0度结点数(n0)" + "1度结点数(n1)" + "2度结点数(n2)"。由此，得到等式一一。(等式一一) n = n0 + n1 + n2
}
还有一一种方方式就是利利用用栈模拟递归过程实现循环先序遍历二二叉树。这种方方式具备扩展性，它模拟了了递归的过程，将左子子树不不断的压入入栈，直到null，然后处理理栈顶节点的右子子树。
java
public void preOrder(Node root){ if(root==null)return;
2. 叶子子数为2h 3. 第k层的结点数是：2k−1； 4. 总结点数是2k − 1，且总节点数一一定是奇数。
1.4.2 完全二二叉树
定义：一一颗二二叉树中，只有最小小面面两层结点的度可以小小于2，并且最下一一层的叶结点集中在靠左的若干干位置上。这样现在最下层和次下层，且最小小层的叶子子结点集中在树的左部。显然，一一颗满二二叉树必定是一一颗完全二二叉树，而而完全二二叉树未必是满二二叉树。
} root = s.pop(); root = root.right;//如果是null，出栈并处理理右子子树 } }

数据结构_第9章_查找2-二叉树和平衡二叉树

F
PS
C
PR
CL Q
QL SL S SL
10
3
18
2
6 12
6 删除10
3
18
2
4 12
4
15
15
三、二叉排序树的查找分析
1) 二叉排序树上查找某关键字等于给定值的结点过程，其实就是走了一条从根到该结点的路径。比较的关键字次数＝此结点的层次数; 最多的比较次数＝树的深度（或高度），即 log2 n+1
-0 1 24
0 37
0 37
-0 1
需要RL平衡旋转 (绕C先顺后逆）
24
0
-012
13
3573
0
01
37
90
0 53 0 53
0 90
作业
已知如下所示长度为12的表：
（Jan, Feb, Mar, Apr, May, June, July, Aug, Sep, Oct, Nov, Dec）
(1) 试按表中元素的顺序依次插入一棵初始为空的二叉排序树，画出插入完成之后的二叉排序树，并求其在等概率的情况下查找成功的平均查找长度。
2) 一棵二叉排序树的平均查找长度为：
n i1
ASL 1
ni Ci
m
其中：
ni 是每层结点个数； Ci 是结点所在层次数； m 为树深。
最坏情况：即插入的n个元素从一开始就有序， ——变成单支树的形态！
此时树的深度为n ; ASL= (n+1)/2 此时查找效率与顺序查找情况相同。
最好情况：即：与折半查找中的判ห้องสมุดไป่ตู้树相同（形态比较均衡）树的深度为：log 2n +1 ； ASL=log 2(n+1) –1 ；与折半查找相同。

数据结构中各种树

数据结构中各种树阅读⽬录数据结构中有很多树的结构，其中包括⼆叉树、⼆叉搜索树、2-3树、红⿊树等等。

本⽂中对数据结构中常见的⼏种树的概念和⽤途进⾏了汇总，不求严格精准，但求简单易懂。

1. ⼆叉树⼆叉树是数据结构中⼀种重要的数据结构，也是树表家族最为基础的结构。

⼆叉树的定义：⼆叉树的每个结点⾄多只有⼆棵⼦树(不存在度⼤于2的结点)，⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒。

⼆叉树的第i层⾄多有2i-1个结点；深度为k的⼆叉树⾄多有2k-1个结点；对任何⼀棵⼆叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

⼆叉树的⽰例：满⼆叉树和完全⼆叉树：满⼆叉树：除最后⼀层⽆任何⼦节点外，每⼀层上的所有结点都有两个⼦结点。

也可以这样理解，除叶⼦结点外的所有结点均有两个⼦结点。

节点数达到最⼤值，所有叶⼦结点必须在同⼀层上。

满⼆叉树的性质： 1) ⼀颗树深度为h，最⼤层数为k，深度与最⼤层数相同，k=h; 2) 叶⼦数为2h; 3) 第k层的结点数是：2k-1; 4) 总结点数是：2k-1，且总节点数⼀定是奇数。

完全⼆叉树：若设⼆叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～(h-1)层) 的结点数都达到最⼤个数，第h层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全⼆叉树。

注：完全⼆叉树是效率很⾼的数据结构，堆是⼀种完全⼆叉树或者近似完全⼆叉树，所以效率极⾼，像⼗分常⽤的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要⽤堆才能优化，⼆叉排序树的效率也要借助平衡性来提⾼，⽽平衡性基于完全⼆叉树。

⼆叉树的性质：1) 在⾮空⼆叉树中，第i层的结点总数不超过2i-1, i>=1; 2) 深度为h的⼆叉树最多有2h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点; 3) 对于任意⼀棵⼆叉树，如果其叶结点数为N0，⽽度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1; 4) 具有n个结点的完全⼆叉树的深度为log2(n+1); 5)有N个结点的完全⼆叉树各结点如果⽤顺序⽅式存储，则结点之间有如下关系：若I为结点编号则如果I>1，则其⽗结点的编号为I/2；如果2I<=N，则其左⼉⼦（即左⼦树的根结点）的编号为2I；若2I>N，则⽆左⼉⼦；如果2I+1<=N，则其右⼉⼦的结点编号为2I+1；若2I+1>N，则⽆右⼉⼦。

二叉排序树与平衡二叉排序树基本操作的实现文本文档

10 设计说明书（论文）质量 30 综述简练完整，有见解；立论正确，论述充分，结论严谨合理；实验正确，分析处理科学。
11 创新 10 对前人工作有改进或突破，或有独特见解。
成绩
指导教师评语
指导教师签名：年月日
摘要及关键字
本程序中的数据采用“树形结构”作为其数据结构。具体采用的是“二叉排序树”。
1.2.5 平衡二叉树( AVL树 )
①平衡二叉树(Balanced Binary Tree)是指树中任一结点的左右子树的高度大致相同。 ②任一结点的左右子树的高度均相同(如满二叉树)，则二叉树是完全平衡的。通常，只要二叉树的高度为O(1gn)，就可看作是平衡的。 ③平衡的二叉排序树指满足BST性质的平衡二叉树。 ④AVL树中任一结点的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1。在最坏情况下，n个结点的AVL树的高度约为1.44lgn。而完全平衡的二叉树高度约为lgn，AVL树是最接近最优的。
1.2.4平均查找长度…………………………………………………………… 6
1.2.5平均二叉树（AVL树）…………………………………………………… 6
1.2.6平衡因子………………………………………………………………… 7
1.2.7平衡二叉树的调整方法…………………………………………………… 7
攀枝花学院本科学生课程设计任务书
题目二叉排序树与平衡二叉树的实现
1、课程设计的目的
使学生进一步理解和掌握课堂上所学各种基本抽象数据类型的逻辑结构、存储结构和操作实现算法，以及它们在程序中的使用方法。
使学生掌握软件设计的基本内容和设计方法，并培养学生进行规范化软件设计的能力。
3）使学生掌握使用各种计算机资料和有关参考资料，提高学生进行程序设计的基本能力。

平衡二叉树的判定方法

平衡二叉树的判定方法平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它的左子树和右子树的高度差不超过1。

判断一棵二叉树是否为平衡二叉树有多种方法，下面将详细介绍这些方法。

1. 递归计算子树的高度：判断一棵二叉树是否为平衡二叉树的最直接方法是计算每个节点的左右子树的高度，并比较它们的差值。

如果有任何一个节点的左右子树高度差超过1，那么这棵二叉树就不是平衡二叉树。

具体步骤如下：- 编写一个函数用于计算二叉树的高度，可以使用递归的方法。

若二叉树为空，返回0；否则，返回左右子树中高度较大的一个加1。

- 对根节点调用上述函数，计算出左右子树的高度差。

- 若左右子树的高度差小于等于1，并且左右子树都是平衡二叉树，则这棵二叉树是平衡二叉树；否则，不是平衡二叉树。

这种方法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是二叉树的节点数，因为需要递归计算每个节点的高度。

2. 利用后序遍历加剪枝：上述方法中，每一个节点都重复计算了自己的左右子树的高度，可以使用后序遍历的方式进行优化，即先处理左右子树，再处理根节点。

通过在处理每个节点的同时记录它的高度信息，可以在判断左右子树的高度差的时候避免重复计算。

具体步骤如下：- 编写一个函数用于计算二叉树的高度，可以使用递归的方式。

若二叉树为空，返回0；否则，分别计算左右子树的高度，并记录在当前节点的高度信息中。