运用生存模型与极值理论对上证指数与成交量的研究

运用生存模型与极值理论对上证指数与成交量的研究——兼论股市的政策效应中国科学技术大学雷鸣缪柏其宁静一、引言人们对股市的研究非常之多，对股市收益率和波动率有大量的讨论，过去的一、二十年里，关注的焦点在于运用时间序列模型如ARCH和GARCH等研究波动率，并运用灵活的估计方法，如GMM等来估计参数。

近年来，人们更关注于高频数据、长记忆特性、重尾和多维变量的研究。

可以说，在股市研究中广泛运用了统计模型和方法，是金融、经济学与统计学的完美结合。

生存分析（Survival Analysis）的模型和方法是工程、医学和生物学等领域中一个很受关心的内容，生存分析已成为现代数理统计的一个重要分支。

许多统计学家在这一领域作出了大量工作，尤其是Cox的重要贡献。

本文将生存分析方法引入对股市的分析，因为股市指数的连续上涨和下跌可以看作是一种特殊的生存过程，当股指连续上涨到头转为下跌时，可以视作上涨的“死亡”；同样当股指连续下跌到头转为上涨时，可视作下跌的“死亡”，股指就是在这两种状态下不停地进行着“生”、“死”相互转化的。

股指连续涨跌的点数可以看作是连续的生存模型，而股指连续涨跌的天数可以看作是离散的生存模型。

由于篇幅的限制，本文仅考虑股指连续涨跌点数这种连续的生存模型。

在这一模型里，股指连续涨跌了多少点，可以看作是一个生存过程的时间。

二、上证指数生存模型的三个主要函数的经验估计我们研究了1992年5月21日至2001年3月12日的上证指数。

(舍掉92年5月21日以前的数据是因为在此前后的上证指数编报方法不同，无法放到一起作比较。

)为了能够长对股指在时间内进行统计比较，我们采用相对收益率替代股指涨跌点数，即：r=(p(t)-p(t-1))/p(t-1)我们得到数据的方法如表1：表1：时间股指收盘价p(t)每日收益率r(%)(P(t)-P(t-1))/P(t-1)连涨的收益率(%)ix连跌的收益率（%）iy1992-5-21 1266.49 5.8 11.891992-5-22 1339.99 6.091992-5-25 1421.57 -8.46 19.54 1992-5-26 1301.35 -8.311992-5-27 1193.17 -2.771992-5-28 1160.17 6.42 6.421992-5-29 1234.71 -4.17 14.92 1992-6-1 1183.24 -3.571992-6-2 1141.02 -7.181992-6-3 1059.07 4.29 4.41992-6-4 1104.46 0.12 1992-6-5 1105.76 -1.11 1.11 1992-6-8 1093.46 3.03 8.39 1992-6-9 1126.62 5.36 1992-6-10 1187.02 -0.73 1.29 1992-6-11 1178.3 -0.56 1992-6-12 1171.71 0.01 0.01 1992-6-15 1171.85 -0.19 0.29 1992-6-17 1169.57 -0.1 1992-6-18 1168.43 0.3 0.3 1992-6-19 1171.94 -0.17 1.79 …… ………… …… ……注：连涨的收益率i x 和连跌的收益率i y 的数学表达如下： 令：k 0=0k 2m+1=inf{t:t>k 2m,p(t+1)-p(t)<0}, m=0,1,2,3… k 2m+2=inf{t:t>k 2m+1,p(t+1)-p(t)≥0},m=0,1,2,3…1+m x =∑+122)(m mk k t r ,m=0,1,2,3… 1+m y =∑++2212)(m m k k t r ,m=0,1,2,3…连涨的收益率X 和连跌的收益率Y 可看作是两个不同的生存过程。

我们发现X 和Y 的分布在实行“T ＋1”前后和实行“涨停板”前后不一样，即它们在“T+0”政策时期（1992年5月21日-1994年12月30日），“T+1”政策时期（1995年1月1日-1996年12月15日），“涨停板”政策时期（1996年12月16日-2001年3月12日）是不同的，这反映出股市的政策效应。

1、X 在不同时期的生存函数S （r ）的估计与比较X 的生存函数S(r)的定义是股指连续上涨的收益率X 大于r 的概率，即 S(r)=P(X >r)它可用连涨收益率大于r 者所占的比例来估计：总个数的个数大于r x r S=)(ˆ X 在不同政策下的生存函数S （r ）的经验估计如图1：图1：X 在不同政策时期的经验生存曲线不同时期的生存函数估计0.20.40.60.811.200~11~22~33~44~55~66~77~88~99~1010~1111~1212~1313~1414~1515~1616~1717~1818~19收益率(%)S (r )从图中可以看出，在“T+0”时期、“T+1”时期和“涨停板”时期的连续上涨的收益率X 的生存函数是明显不同的：“T+0”政策时期的生存函数曲线坡度最平缓，表示高的生存率或较大的收益率，也就是说连涨的股指收益率在这一时期经常达到很大的涨幅；而实行“T+1”政策以后，生存曲线的变得徒峭多了，表示低的生存率或小的收益率，表明实行“T+1”政策以后股指连涨的幅度大大降低了，例如，实行T+1前, X 的均值为5.6%，X 超过6.5%收益率的概率有0.28;而实行T+1后，X 的均值下降为3.5%，X 超过6.5%收益率的概率就只有0.15了。

由此可以看出“T+1”政策对减小股指连续的大涨大跌效果非常明显。

同时我们也看到，实行“涨停板”政策以后，生存曲线变得较“T+1”时期更陡了一点，表明股指连续上涨的幅度更小，例如实行涨停板后，X 的均值为2.6%，X 超过6.5%收益率的概率为0.11。

由上可见“T+1”政策和“涨停板”政策对股市的影响。

如果我们对不同政策下连续上涨收益率X 的分布做Smirnov 检验，“T+1”前后检验的p －value 值是0.017，说明X 的分布在此前后的差别是显著的；“涨停板”前后检验的p －value 值是0.62，说明X 的分布在此前后的差别不显著。

由此看出二种政策对股指的影响结果是有区别的，但不管怎样，“T+1”和“涨停板”政策不仅减小了股指每日收益率的波动，也减小了连涨连跌收益率的波动。

2、连涨的收益率X 在不同时期概率密度函数的经验估计X 的概率密度函数f(r)的定义是： f(r)=rr r X r P r ∆∆+<≤→∆)(limf(r)可用下面公式来估计：总个数的个数在区间),[)(ˆr r r X r f∆+= X 在不同时期的概率密度函数f(r)的经验分布如图2：图2：X 在不同政策下的经验概率密度曲线不同时期的概率密度估计510152025300~11~22~33~44~55~66~77~88~99~1010~1111~1212~1313~1414~1515~1616~1717~1818~19收益率(%)连涨的股指收益率X 在任何收益率区间内下跌的比例和下跌出现机会的峰值都可以从密度曲线中找出。

从X 在三个时期的密度曲线显示的生存模式大致是：在r 较小时密度高，随着r 的增加密度减小，也就是说连续上涨的收益率的幅度是以小涨居多，大涨居少。

从图中也可以看出，在“涨停板”时期f(r)曲线的一个明显不同之处在于，当收益率极小时f(r)值较低，之后才达到高峰，再下跌，而不象“T+0”和“T+1”时期的高峰都是处在收益率极小时。

3、X 在不同时期危险率函数h(r)的估计与比较危险率函数（或称失效率函数）h(r)简单地说就是条件生存率。

连涨的收益率X 的定义为： h(r)=)|lim(→∆≥∆+<≤r r x r r x r r r它可以用下面公式进行估计：rr x r r r x r h∆×≥∆+=的个数的个数在区间),[)(ˆ 粗略地说，危险率函数h(r)表示当股指连涨（或连跌）的收益率为r 时，在往后的单位收益率区间内下跌（或上涨）的（条件）概率，它表明股指在上涨（或下跌）到多少点时下跌（或上涨）的可能性大小。

这一指标对于分析和预测股指具有重要的应用价值。

X 在不同时期危险率函数如图3。

图3：X 在不同政策时期的经验危险率曲线0不同时期的危险率曲线0204060801001200~11~22~33~44~55~66~77~88~99~1010~1111~1212~1313~1414~1515~1616~1717~1818~1919~20收益率(%)由图中看出，在不同时期，X 的危险率曲线是不一样的：T+0时的危险率曲线先高后低，之后基本成一条直线，表明这一时期当股指在上涨很小时下跌的可能性大，而当股指涨到一定幅度时下跌的可能性大致相同； T+1时期的危险率曲线基本在一条直线上下有所波动，表明股指在这一时期无论上涨到多少时其下跌的可能性基本上是一样的；涨停板时期的危险率曲线开始较低，然后逐渐增加，之后也基本成为一条直线，表明这一时期股指在上涨很小时下跌的可能性较小，继续上涨时下跌的可能性增大，而当股指涨到一定幅度时下跌的可能性大致一样了。

三条线在后半段均呈现大的波动而难以看清(似乎有上升趋势)，是因为收益率很高的数据不够多，因此估计值不稳定（高收益意味着高风险）。

三个生存函数间的关系是： h(r)=f(r)/S(r) f(r)=)(')](1[r S r S drd−=− h(r)=)(ln )()('r S drdr S r S −= })(exp{)(0∫−=r dr r h r S可见，知道了三个函数中任何一个，另两个很容易导出。

同样可以对连跌Y 作类似分析。

三、理论分布的估计与检验根据经验概率密度曲线和危险率函数曲线的形状，我们发现用伽玛（Γ）分布可以很好地拟合。

Γ分布的概率密度函数为：x e x x f λγλγλ−−−Γ=1)()1()( 0,0,0>>>λγx记为Γ(),λγ,其中γ为形状参数，λ为刻度参数。

Γ分布的矩估计很容易得到：λγλ~/~,/~2t t S ==，其中t 为样本均值，2S 为样本方差。

或用极大似然估计（m.l.e.）得到参数，这需要解如下方程组：∑==−ni i x n 10ˆˆλγ 0ln )ˆ()ˆ('ˆln 1=+ΓΓ−∑=ni ix n n γγλ 这里，的微商是)()('γγΓΓ。

对中小样本，矩估计的效并不明显比m.l.e.差，但在大样本场合，矩估计不如m.l.e.。