三角形中位线定理 知识讲解

三角形中位线定理
【学习目标】
1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．
2. 掌握中点四边形的形成规律.
【要点梳理】
要点一、三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个
小三角形的周长为原三角形周长的1
2
，每个小三角形的面积为原三角形
面积的1
4
.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、三角形的中位线
1、（优质试题•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．
【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．
（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．
【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN∥AD，MN=AD，
在RT△ABC中，∵M是AC中点，
∴BM=AC，
∵AC=AD，
∴MN=BM．
（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
由（1）可知，BM=AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，
∵MN∥AD，
∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴BN2=BM2+MN2，
由（1）可知MN=BM=AC=1，
∴BN=
【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
举一反三：
【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.
【答案】5；
解：∵四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．
∵B点坐标为（3，2），
∴OA＝3，AB＝2．
∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，
∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．
∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．
2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为．
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
H
F E
D
C
B
A
【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．
（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．【答案解析】
（1）解：∵BC=10，AH=8，
∴S△ABC=×8×10=40，
∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的，
∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20，
故答案为：20；
（2）证明：
∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠DAF，
∵AH是△ABC的高
∴△ABH、△ACH是直角三角形，
∵点D、点F是斜边AB、AC中点，
∴DH=DA，HF=AF，
∴∠DAH=∠DHA ，∠FAH=∠FHA ，
∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA ，
即∠DAF=∠DHF ，
∴∠DEF=∠DHF ．
【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF ．
3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．
【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．
【答案与解析】
解：延长BD 交AC 于点N ．
∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，
∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，
在△ABD 和△AND 中，
BAD NAD AD =AD
ADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)
∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．
∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，
∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，
∴ DM ＝12
CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 举一反三：
【变式】如图所示，四边形ABCD 中，Q 是CD 上的一定点，P 是BC 上的一动点，E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点；当点P 在BC 边上移动的过程中，线段EF 的长度将( )．
A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定
【答案】B；
解：连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，
∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．
∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，
∴线段EF的长度将保持不变．
4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：
（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；
（2）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；
（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．
【答案与解析】
解：（1）取AC的中点H，连接HE、HF
∵点E为BC中点
∴EH为△ABC的中位线
∴EH∥AB，且EH=1
2
AB
同理FH∥DC，且FH=1
2
DC。