丰台区2018—2019学年度第二学期综合练习(二)高三数学(答案)文
北京市丰台区2019届高三5月综合练习(二模)数学理试题(解析版)
丰台区2019年高三年级第二学期综合练习（二）数 学（理科）2019. 05注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若集合2{|4}A x x =∈Z ≤，集合{|13}B x x =-<<，则A B = （A ）{0,1,2} （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}-（D ）{|12}x x -<≤答案：A考点：集合的运算，一元二次不等式。
解析：2{|4}A x x =∈Z ≤＝{|2}x x ∈≤Z －≤2＝{21,01,2}－，－，， 所以，AB ={0,1,2}2．若,x y 满足20,3,0,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥则x y -的最大值为（A ）3 （B ）0 （C ）1- （D ）3-答案：B考点：线性规划。
解析：不等式组表示的平面区域如下图，目标函数z x y =-经过点O （0,0）时，取得最大值为0 3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）16 （B ）43 （C ）83（D ）4 俯视图侧（左）视图正（主）视图2222答案：B 考点： 三视图。
解析：由三视图可知，该三棱锥如下图所示A －BCD ， 体积V ＝114222323⨯⨯⨯⨯=4．已知i 是虚数单位，a ∈R ，则“1a =”是“2(i)a +为纯虚数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 答案：A考点：充分必要条件。
丰台区2018年高三年级第二学期统一练习
丰台区2018年高三年级第二学期统一练习（二）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）1i - （10）121（11）1± （12）18000018y v v =+(0120)v <≤；100 （13）4；π3- （14）①②注：第12，13题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分；第14题只写对一个得2分，有一个错误不得分．三、解答题： （15）（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ACD 中，因为 π()DAC ADC C ∠=-∠+∠，π3ADC ∠=， 所以 πsin sin()3DAC C ∠=+∠1cos sin 22C C =∠+∠． …………………2分因为 cos C ∠=， 0πC <∠<，所以 sin C ∠==…………………4分所以 1sin 272714DAC ∠=⨯⨯． …………………5分 （Ⅱ）在△ABD 中，由余弦定理可得2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⋅⋅∠， …………………7分所以 222214626cos3AD AD π=+-⨯⨯⨯， 所以 261600AD AD +-=， 即 (16)(10)0AD AD +-=．所以 10AD =或16AD =-（舍）．所以 10AD =． …………………8分 在△ACD 中，由正弦定理得sin sin CD ADDAC C=∠∠，即= …………………10分 所以 15CD =． …………………11分 所以11sin sin 222ABC S AD BD ADB AD DC ADC ∆=⨯⨯⨯∠+⨯⨯⨯∠=．即ABC S ∆=…………………13分（16）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）m n <． …………………3分 （Ⅱ）设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A 组的客户”为事件M ，则11210101022029()38C C C P M C +==． …………………6分 所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A 组的客户的概率是2938． （III ）依题意ξ的可能取值为0，1，2．则119811101018(0)25C C P C C ξ===； 1111189211101013(1)50C C C C P C C ξ+===； 11121110101(2)50C C P C C ξ===． …………………10分 所以随机变量ξ的分布列为：所以随机变量ξ的数学期望01225505010E ξ=⨯+⨯+⨯=． …………………12分 即103=ξE ． …………………13分（17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：在三棱柱 111ABC A B C -中，侧面 11A ABB 为平行四边形， 所以 11B B A A ∥．又因为 1B B ⊄平面11A ACC ，1A A ⊂平面11A ACC，所以 1B B ∥平面11A ACC ． …………………2分 因为 1B B ⊂平面1BB D ，且平面1BB D 平面11A ACC DE =，所以 1B B DE ∥． …………………4分（Ⅱ）证明：在△ABC 中，因为 =AB BC ，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥．因为1A D ⊥平面ABC ，如图建立空间直角坐标系D xyz -． …………………5分 设=BD a ，=AD b ，在△1AA D 中 1=2AA AD ，190A DA ∠=︒， 所以 1AD ，所以 (0,0,0)D ，(0,,0)A b -1)A ，(,0,0)B a ．所以 1(0,)AA b = ，(,0,0)DB a = ．…………………7分所以 10000AA DB a b ⋅=⨯+⨯⨯= ，所以 1AA BD ⊥． …………………9分（Ⅲ）解：因为 (0,)E b ， 所以 1(,)DB DE DB a b =+=，即1(,)B a b ．因为 (0,,0)C b ，所以 1()CB a =． …………………10分 设平面11ABB A 的法向量为 =(,,)n x y z，因为 100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00by ax by ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令 =z a ，则y =，x =，EDA 1C 1B 1CABA1所以,,)n a =． …………………12分因为111|||cos ,|||||n CB n CB n CB ⋅<>==所以422441390a a b b -+=， 所以 =a b 或23a b =，即=2AC BD 或4=3AC BD ． …………………14分（18）（本小题共13分）（Ⅰ）解：依题意 ()cos sin f x x x x a '=--． …………………2分令 ()cos sin g x x x x a =--，π[0,]2x ∈， 则 ()2sin cos 0g x x x x '=--≤．所以()g x 在区间π[0,]2上单调递减．因为 (0)10g a =-≤，所以 ()0g x ≤，即 ()0f x '≤， …………………4分 所以()f x 的单调递减区间是π[0,]2，没有单调递增区间． …………………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，()g x 在区间π[0,]2上单调递减，且(0)1g a =-，ππ()22g a =--． 当 1a ≥时，()f x 在π[0,]2上单调递减． 因为 (0)0f a =>，ππ()(1)022f a =-<，所以()f x 有且仅有一个零点． …………………7分当 π02a --≥，即π2a ≤-时，()0g x ≥，即 ()0f x '≥，()f x 在π[0,]2上单调递增．因为 (0)0f a =<，ππ()(1)022f a =->，所以()f x 有且仅有一个零点． …………………9分当 π12a -<<时，(0)10g a =->，ππ()022g a =--<， 所以存在0π(0,)2x ∈，使得0()0g x =． …………………10分x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以 ()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)2x 上单调递减． …………………11分 因为 (0)f a =，ππ()(1)22f a =-，且0a ≠， 所以 2ππ(0)()(1)022f f a =-<，所以()f x 有且仅有一个零点．…………………12分 综上所述，()f x 有且仅有一个零点． …………………13分（19）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）依题意得 24a =，所以 2a =． …………………1分因为 12c e a ==，所以 1c =． …………………2分所以 23b =． …………………3分所以椭圆C 的方程为 22143x y +=． …………………4分（Ⅱ）椭圆的右焦点 (1,0)F ． …………………5分设直线 l ：(1)(0)y k x k =-≠，设 11(,)M x y ，22(,)N x y ． …………………6分联立方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ， 消y 得 2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=，0∆>成立． …………………8分所以 2122834k x x k +=+，21224(3)34k x x k-=+． …………………9分 因为 1212120y y k k m x m x --+=+=--， …………………10分所以122112()()0()()y m x y m x m x m x ----=--，即 1221()()0y m x y m x -+-=，…………11分所以 2112()(1)()(1)0k m x x k m x x --+--=恒成立． …………………12分因为 0k ≠，所以 1212(1)()220m x x x x m ++--=，即 222284(3)(1)2203434k k m m k k-+⋅-⋅-=++， …………………13分 化简为 2228(1)8(3)2(34)0k m k m k +---+=，所以 4m =． …………………14分（20）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为1=0a ，2=5a ， 所以 12a a <，所以 3214a a =-=． …………………1分因为 23a a >，所以 1234341a a a a ++==-． …………………2分因为 34a a >，所以 54+14a a ==． …………………4分 所以 34a =，43a =，54a =．（Ⅱ）当 0m =时，30a =，40a =， …………………5分当 0m >时，因为 12a a <，所以 32211a a m a =-=-<，所以 12342133a a a m a ++-==．因为 34a a =，所以 2113m m --=，所以 2m =． …………………7分当 0m <时，因为 12a a >，所以 32211a a m a =+=+>，所以 12342133a a a m a +++==．因为 34a a =，所以 2113m m ++=，所以 2m =-． …………………9分所以 3n ≥时，1n n a a +=为常数的必要条件是 {2,0,2}m ∈-． 当2m =时，341a a ==，因为当 3(3)n k k ≤≤>时，1n a =，都有 102111n n S a n n+++++=== ， 所以当 2m =符合题意，同理 2m =-和0m =也都符合题意． …………………10分 所以m 的取值范围是 {2,0,2}-．（Ⅲ）{|2m m ≤-或02}m ≤≤． …………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2018年丰台二模数学文科
丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（二） 2018.5高三数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知U =R ，2{|230}A x x x =--<，则U A =ð(A) {|1x x ≤-或3}x ≥ (B) {|3x x ≤-或1}x ≥ (C) {|1x x <-或3}x >(D) {|3x x <-或1}x >（2）设a ，b 为非零向量，则“∥a b ”是“a 与b 方向相同”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（3）设双曲线2221(0)x y a a -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则a =(A)3(B)3(C)(D) （4）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为(A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 6（5）下列函数中，既是偶函数，又在区间)0,(-∞上为减函数的是(A) 2log ()y x =- (B) xx y -=1 (C) 21y x =-+(D) ||e x y =（6）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为(A) 25 (B) 20 (C) 13 (D) 6（7）在△ABC 中，D 为AB 中点，E 为CD 中点，设AB =a ，AC =b ，若AE λμ=+a b ，则λμ的值是 (A)14 (B)12 (C) 2(D) 4（8）某游戏开始时，有红色精灵m 个，蓝色精灵n个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，俯视图侧视图正视图则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色 (A) 只与m 的奇偶性有关 (B) 只与n 的奇偶性有关 (C) 与m ，n 的奇偶性都有关 (D) 与m ，n 的奇偶性都无关第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
高三数学-2018丰台区二模文 精品
丰台区2018年高三练习（二）数学试卷（文科）第I卷（选择题共40分）一. 选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知是纯虚数，则z等于（）A. B. C. D.2. 设a>0且，实数x、y满足，则y关于x的函数大致图象可能是（）A. （3）（4）B. （1）（3）C. （2）（4）D. （1）（2）3. 对于函数有下列命题：（）（1）函数的最小正周期是；（2）函数是偶函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数在上为减函数；其中正确命题的序号是（）A. （2）（3）B. （2）（4）C. （1）（3）D. （1）（2）（3）4. 如图，正方形ABCD，PB=BC，平面ABCD，则PC与BD所成的角是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 函数的图象如图所示，为奇函数，其定义域为，则不等式的解集是（）A. B.C. D.6. 分别在椭圆与抛物线上的两动点M、N间的距离的最小值是5，则m的值是（）A. B. C. D.7. 设球的体积为，球的内接等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的体积为，则等于（）A. B. 4：3 C. D.8. 等差数列中，，且，为数列的前n项和，则使的n的最小值为（）A. B. 20 C. 10 D. 11第II卷（非选择题共110分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在题中横线上。
9. 直线与的夹角为，则等于________________，过点（0，1）且与垂直的直线方程是_____________________。
10. 等比数列中，，则=_________，表示数列_________________。
11. 从5位同学中选2位同学分别担任班长和学习委员，有_______________种不同的选法；如果甲同学不适合做学习委员，有_______________种不同的选法（用数字作答）。
2019丰台区高三二模数学试题及答案(文理科)文科答案
丰台区2019年高三年级第二学期统一练习（二）数 学（文科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．Ⅲ 10．3 11．(0,)π写成闭区间也给满分 12．15 13．12 14． 8，(1)4n n +π注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数21()sin cos 2f x x x x =-． （Ⅰ）求()12f π-的值；（Ⅱ）求函数(),[0,]2y f x x π=∈的最小值，及取得最小值时的x 的值．解：（Ⅰ）∵21()sin cos 2f x x x x =-1sin 2cos 222x x =- sin(2)6x π=-，………………5分∴()sin(2)sin()1212632f ππππ-=-⨯-=-=- ． ………………7分 （Ⅱ）∵02x π≤≤∴02x π≤≤．∴52666x πππ-≤-≤． ………………9分∴1sin(2)126x π-≤-≤， 即1()12f x -≤≤． ………………11分∴min 1()2f x =- 此时266x ππ-=- ∴0x =． ………………12分∴当0x =时，min 1()2f x =-． ………………13分16.（本小题共13分）已知梯形ABCD 中，//BC AD ，112BC AD ==，CD =，G ，E ，F 分别是AD ，BC ，CD 的中点，且CG =CG 将△CDG 翻折成△CD G '． （Ⅰ）求证：EF //平面AD B '；（Ⅱ）求证：平面CD G '⊥平面AD G '．证明：（Ⅰ）∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，即E ，F 分别是BC ，C D '的中点， ∴EF 为△D BC '的中位线． ∴EF //D B '． ………………2分又∵EF ⊄平面AD B '，D B '⊂平面AD B '， ………………4分 ∴EF // 平面AD B '． ………………6分 （Ⅱ）∵G 是AD 的中点，112BC AD ==，即2AD =， ∴1DG =．又∵CDCG =∴在DGC ∆中，222DG GC DC += ∴DG GC ⊥． ………………9分 ∴GC D G '⊥，GC AG ⊥． ∵AG ∩D G '=G ，∴GC ⊥平面AD G '． ………………12分 又∵GC ⊂平面CD G '，∴平面CD G '⊥平面AD G '． ………………13分17.（本小题共13分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在[)70,80内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．FGEABCD 'ABC EDFG解：（Ⅰ）分数在[)70,80内的频率为：1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯10.70.3=-=． ………………3分（Ⅱ）平均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………6分 （Ⅲ）由题意，[)80,90分数段的人数为：0.256015⨯=人； ………………7分[]90,100分数段的人数为：0.05603⨯=人； ………………8分∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴[)80,90分数段抽取5人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ；[]90,100分数段抽取1人，记为M ． ………………9分因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的分数一定是在[)80,90分数段，所以只需在分数段[)80,90抽取的5人中确定1人． 设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件A ， ………………10分 则基本事件空间包含的基本事件有：(A ，B )，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )， (B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E)，(A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M )共15种． 事件A 包含的基本事件有(A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M )5种．………………12分 ∴恰有1人的分数不低于90分的概率为51()153P A ==．………………13分18.（本小题共14分）已知函数21(),(0)2af x x a x=+≠． （Ⅰ）当1x =时函数()y f x =取得极小值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞， ………………1分2()af x x x '=-． ………………3分 ∵1x =时函数()y f x =取得极小值，∴(1)0f '=． ………………4分 ∴1a =． ………………5分 当1a =时，在(0,1)内()0f x '<，在(1,)+∞内()0f x '>， ………………6分 ∴1x =是函数()y f x =的极小值点．∴1a =有意义． ………………7分 （Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞，322()a x af x x x x -'=-=．令()0f x '=，得x = ………………9分（ⅰ）当0a <时，x(-∞(0,)+∞ '()f x -++()f x极小值………………11分（ⅱ）当0a >时，x(,0)-∞)+∞'()f x --+()f x极小值综上所述： ………………13分当0a <时，函数()y f x =的单调递减区间为(-∞，单调递增区间为，(0,)+∞；当0a >时，函数()y f x =的单调递减区间为(,0)-∞，，单调递增区间为)+∞．………………14分19.（本小题共14分）已知椭圆C 的长轴长为，一个焦点的坐标为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l ：y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 为椭圆的右顶点．（ⅰ）若直线l 斜率k =1，求△ABP 的面积；（ⅱ）若直线AP ，BP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．（实际上，P 是不同于A ，B 的任一点，结论都成立．）解：（Ⅰ）依题意椭圆的焦点在x 轴上，且1c =，2a =， ………………1分∴a =2221b a c =-=． ………………2分∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=． ………………4分（Ⅱ）（ⅰ） 2222x y y x ⎧+=⎨=⎩………………5分∴3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ………………7分即33A，(33B --，P ．所以1233ABP S ∆==． ………………9分 （ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．椭圆的右顶点为P2222x y y kx⎧+=⎨=⎩ ， 消y 整理得 22(21)2k x +=， 不妨设x 1>0>x 2， ∴1x =2x =1y =2y =-．……………12分AP BP k k ⋅== ………………13分2222212221k k k -+=-+22212422k k -==--++ ∴ AP BP k k ⋅为定值12-． ………………14分20.（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =．数列{}n b 为等比数列，且首项11b =，48b =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和为n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问数列{}n c 中是否存在三项，使得这三项成等差数列．若存在，求出此三项，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∵ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，∴ 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．当1n =时，111a S ==亦满足上式，故21n a n =-，(*)n ∈N ． ………………3分又 数列{}n b 为等比数列，设公比为q ，∵ 11b =，3418b b q ==， ∴2q =．∴ 12n n b -= (*)n ∈N ． ………………6分（Ⅱ）2121nn n b n c a b ==-=-．123n n T c c c c =+++12(21)(21)(21)n =-+-++-12(222)n n =++-2(12)12n n -=--．所以 122n n T n +=--． ………………9分（Ⅲ）假设数列{}n c 中存在三项,,m k l c c c 成等差数列，不妨设(,,*)m k l m k l <<∈N因为 21nn c =-，所以 m k l c c c <<，且三者成等差数列．所以 2k l m c c c =+，即2(21)(21)(21)k m l-=-+-，2222k m l ⋅=+， 即222m k l k --=+．（方法一）因为 (,,*)m k l m k l <<∈N ， 所以1l k -≥，0m k -<． 所以 22l k -≥，20m k->，所以 222m k l k --+> 与222m k l k --=+矛盾．所以数列{}n c 中不存在成等差数列的三项． ………………13分 （方法二）2222k m l ⋅=+2(12)ml m-=+所以 12122k l m m +-=+， 即1212k ml m +--=+．所以 1221k ml m +---=．因为(,,*)m k l m k l <<∈N ，所以 12k m +-，2l m -均为偶数，而1为奇数， 所以等式不成立．所以数列{}n c 中不存在三项，使得这三项成等差数列． ………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
丰台区2018年高三年级第二学期统一练习(二)
丰台区年高三年级第二学期统一练习（二）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分。
二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分。
（）1i - （）121（）1± （）18000018y v v =+(0120)v <≤；100 （）4；π3- （）①②注：第，题第一个空填对得分，第二个空填对得分；第题只写对一个得分，有一个错误不得分．三、解答题： （）（本小题共分）解：（Ⅰ）在△ACD 中，因为 π()DAC ADC C ∠=-∠+∠，π3ADC ∠=， 所以 πsin sin()3DAC C ∠=+∠1sin 2C C =∠+∠． …………………分因为 cos 7C ∠=， 0πC <∠<，所以 sin 7C ∠==． …………………分所以 1sin =2714DAC ∠=⨯． …………………分 （Ⅱ）在△ABD 中，由余弦定理可得2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⋅⋅∠， …………………分所以 222214626cos3AD AD π=+-⨯⨯⨯， 所以 261600AD AD +-=， 即 (16)(10)0AD AD +-=．所以 10AD =或16AD =-（舍）．所以 10AD =． …………………分 在△ACD 中，由正弦定理得sin sin CD ADDAC C=∠∠， 即147=， …………………分 所以 15CD =． …………………分 所以11sin sin 22ABC S AD BD ADB AD DC ADC ∆=⨯⨯⨯∠+⨯⨯⨯∠=．即ABC S ∆=…………………分 （）（本小题共分） 解：（Ⅰ）m n <． …………………分 （Ⅱ）设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是组的客户”为事件，则11210101022029()38C C C P M C +==． …………………分 所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是组的客户的概率是2938． （）依题意ξ的可能取值为0，1，2．则119811101018(0)25C C P C C ξ===； 1111189211101013(1)50C C C C P C C ξ+===； 11121110101(2)50C C P C C ξ===． …………………分 所以随机变量ξ的分布列为：所以随机变量ξ的数学期望01225505010E ξ=⨯+⨯+⨯=． …………………分即103=ξE ． …………………分（）（本小题共分）（Ⅰ）证明：在三棱柱 111ABC A B C -中，侧面 11A ABB 为平行四边形， 所以 11B B A A ∥．又因为 1B B ⊄平面11A ACC ，1A A ⊂平面11A ACC，所以 1B B ∥平面11A ACC ． …………………分 因为 1B B ⊂平面1BB D ，且平面1BB D平面11A ACC DE =，所以1B B DE ∥． …………………分（Ⅱ）证明：在△ABC 中，因为 =AB BC ，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥．因为1A D ⊥平面ABC ，如图建立空间直角坐标系D xyz -． …………………分 设=BD a ，=AD b ，在△1AA D 中 1=2AA AD ，190A DA ∠=︒， 所以 1AD ，所以 (0,0,0)D ，(0,,0)A b -1)A ，(,0,0)B a ．所以 1(0,)AA b =，(,0,0)DB a =． …………………分所以 10000AA DB a b ⋅=⨯+⨯+⨯=，所以 1AA BD ⊥． …………………分（Ⅲ）解：因为 (0,)E b ， 所以 1(,)DB DE DB a b =+=，即1(,)B a b ．因为 (0,,0)C b ，所以 1()CB a =． …………………分 设平面11ABB A 的法向量为 =(,,)n x y z ，因为 100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00by ax by ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令 =z a ，则y =，x =，EDA 1C 1B 1CABA1所以(3,,)n b a =．…………………分 因为 111|||cos ,|||||3n CB nCB n CB b ⋅<>==所以7，即 422441390a a b b -+=， 所以 =a b 或23a b =，即=2AC BD 或4=3AC BD ． …………………分 （）（本小题共分）（Ⅰ）解：依题意 ()cos sin f x x x x a '=--． …………………分令 ()cos sin g x x x x a =--，π[0,]2x ∈， 则 ()2sin cos 0g x x x x '=--≤．所以()g x 在区间π[0,]2上单调递减．因为 (0)10g a =-≤，所以 ()0g x ≤，即 ()0f x '≤， …………………分 所以()f x 的单调递减区间是π[0,]2，没有单调递增区间． …………………分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，()g x 在区间π[0,]2上单调递减，且(0)1g a =-，ππ()22g a =--． 当 1a ≥时，()f x 在π[0,]2上单调递减． 因为 (0)0f a =>，ππ()(1)022f a =-<，所以()f x 有且仅有一个零点． …………………分当 π02a --≥，即π2a ≤-时，()0g x ≥，即 ()0f x '≥，()f x 在π[0,]2上单调递增．因为 (0)0f a =<，ππ()(1)022f a =->，所以()f x 有且仅有一个零点． …………………分当 π12a -<<时，(0)10g a =->，ππ()022g a =--<， 所以存在0π(0,)2x ∈，使得0()0g x =． …………………分x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以 ()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)2x 上单调递减． …………………分 因为 (0)f a =，ππ()(1)22f a =-，且0a ≠，所以 2ππ(0)()(1)022f f a =-<，所以()f x 有且仅有一个零点．…………………分 综上所述，()f x 有且仅有一个零点． …………………分（）（本小题共分） 解：（Ⅰ）依题意得 24a =，所以 2a =． …………………分因为 12c e a ==，所以 1c =． …………………分所以 23b =． …………………分所以椭圆C 的方程为 22143x y +=． …………………分（Ⅱ）椭圆的右焦点 (1,0)F ． …………………分设直线 l ：(1)(0)y k x k =-≠，设 11(,)M x y ，22(,)N x y ． …………………分联立方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ， 消y 得 2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=，0∆>成立． …………………分所以 2122834k x x k +=+，21224(3)34k x x k-=+． …………………分 因为 1212120y y k k m x m x --+=+=--， …………………分所以122112()()0()()y m x y m x m x m x ----=--，即 1221()()0y m x y m x -+-=，…………分所以 2112()(1)()(1)0k m x x k m x x --+--=恒成立． …………………分因为 0k ≠，所以 1212(1)()220m x x x x m ++--=，即 222284(3)(1)2203434k k m m k k-+⋅-⋅-=++， …………………分 化简为 2228(1)8(3)2(34)0k m k m k +---+=，所以 4m =． …………………分（）（本小题共分） 解：（Ⅰ）因为1=0a ，2=5a ， 所以 12a a <，所以 3214a a =-=． …………………分因为 23a a >，所以 1234341a a a a ++==-． …………………分因为 34a a >，所以 54+14a a ==． …………………分 所以 34a =，43a =，54a =．（Ⅱ）当 0m =时，30a =，40a =， …………………分当 0m >时，因为 12a a <，所以 32211a a m a =-=-<，所以 12342133a a a m a ++-==． 因为 34a a =，所以 2113m m --=，所以 2m =． …………………分当 0m <时，因为 12a a >，所以 32211a a m a =+=+>，所以 12342133a a a m a +++==． 因为 34a a =，所以 2113m m ++=，所以 2m =-． …………………分所以 3n ≥时，1n n a a +=为常数的必要条件是 {2,0,2}m ∈-． 当2m =时，341a a ==，因为当 3(3)n k k ≤≤>时，1n a =，都有 102111n n S a n n+++++===，所以当 2m =符合题意，同理 2m =-和0m =也都符合题意． …………………分 所以m 的取值范围是 {2,0,2}-．（Ⅲ）{|2m m ≤-或02}m ≤≤． …………………分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2018——2019高三数学二模(试卷)理
丰台区2019年高三年级第二学期综合练习（二）数 学（理科）2019. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若集合2{|4}A x x =∈Z ≤，集合{|13}B x x =-<<，则A B = （A ）{0,1,2}（B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}-（D ）{|12}x x -<≤2．若,x y 满足20,3,0,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥则x y -的最大值为（A ）3 （B ）0 （C ）1- （D ）3-3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）16（B ）43（C ）83（D ）44．已知i 是虚数单位，a ∈R ，则“1a =”是“2(i)a +为纯虚数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，如果输入的[0,2]x ∈，那么输出的y 值不可能为 （A ）1- （B ）0 （C ）1（D ）26．已知函数()sin(2)()22f x x θθππ=+-<<的图象过点1(0,)2P ，现将()y f x =的图象向左平移(0)t t >个单位长度得到的函数图象也过点P ，那么 （A ）3θπ=，t 的最小值为3π（B ）3θπ=，t 的最小值为π （C ）6θπ=，t 的最小值为3π （D ）6θπ=，t 的最小值为π 7．已知点P 是边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，若||1AP AB AD --=，则||AP 的最大值是（A ）1（B ）（C ）1（D ）28．某码头有总重量为13.5吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过0.35吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重1.5吨的卡车侧（左）视图正（主）视图（A ）12辆 （B ）11辆 （C ）10辆 （D ）9辆第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市丰台区2018年高三二模数学(文科)试卷及答案
北京市丰台区2018年高三二模数学(文科)试卷及答案丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（二） 2018.5高三数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知U =R ，2{|230}A x xx =--<，则UA =ð(A) {|1x x ≤-或3}x ≥ (B) {|3x x ≤-或1}x ≥ (C) {|1x x <-或3}x > (D) {|3x x <-或1}x >（2）设a ，b 为非零向量，则“∥a b ”是“a 与b 方向相同”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（3）设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则a = (A) 3(B) 23(C)(D)（4）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的俯视图侧视图正视图体积为 (A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 6（5）下列函数中，既是偶函数，又在区间)0,(-∞上为减函数的是 (A)2log ()y x =-(B) xx y -=1(C)21y x =-+ (D) ||e x y =（6）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为 (A) 25 (B)20(C) 13(D) 6（7）在△ABC 中，D 为AB 中点，E 为CD 中点，设AB =a ，AC =b，若AE λμ=+a b ，则λμ的值是(A) 14(B) 12(C) 2(D) 4（8）某游戏开始时，有红色精灵m 个，蓝色精灵n个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色(A) 只与m 的奇偶性有关 (B) 只与n 的奇偶性有关 (C) 与m ，n 的奇偶性都有关 (D) 与m ，n 的奇偶性都无关第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
丰台区2018年高三年级第二学期综合练习
丰台区年高三年级第二学期综合练习（一）数学（文科）第一部分 （选择题 共分）一、选择题共小题，每小题分，共分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（）复数21i =+ () 1i -+() 1i --() 1i + () 1i -（）已知命题p ：1x ∃<，21x ≤，则p ⌝为()1x ∀≥，21x > () 1x ∃<，21x > ()1x ∀<，21x >() 1x ∃≥，21x >（）已知0a b <<，则下列不等式中恒成立的是()11a b> ()<() 22a b > () 33a b >（）已知抛物线C 的开口向下，其焦点是双曲线2213y x -=的一个焦点，则C 的标准方程为 () 28y x =() 28x y =-() 2y =() 2x =（）设不等式组05,05x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩确定的平面区域为D ，在D 中任取一点(,)P x y 满足2x y +≥的概率是()1112 ()56()2125()2325 （）执行如图所示的程序框图，那么输出的a 值是() 12-() 1-() 2()12，是 开始 结束? 输出a侧视图俯视图正视图第题 第题 （）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()43() 4()83（）设函数π()sin(4)4f x x =+9π([0,])16x ∈，若函数()()y f x a a =+∈R 恰有三个零点1x ，2x ，3x 123()x x x <<，则1232x x x ++的值是()π2()3π4 () 5π4() π第二部分 （非选择题 共分）二、填空题共小题，每小题分，共分。
（）已知集合{|20}A x x =-≤≤，{|03}B x x =<≤，则A B =U ． （）圆心为(1,0)，且与直线1y x =+相切的圆的方程是．（）在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =． （）已知点(2,0)A ，(0,1)B ，若点(,)P x y 在线段AB 上，则xy 的最大值为． （）已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，2()(1)1f x x =--+．①当[1,0]x ∈-时，()f x 的取值范围是；②当函数()f x 的图象在直线y x =的下方时，x 的取值范围是． （）已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==．①若3AB AC =，则AB CD ⋅=；①若AP AB AD =+，则||AP 的最大值为．三、解答题共小题，共分。
北京市丰台区2019届高三5月综合练习(二模)数学理答案
9． 3
3 10． 5
11． 满足 a1, a2 0, d 0 （答案不唯一）
12. 2
13．36
三、解答题（共 6 小题，共 80 分） 15.（共 13 分）
解：（Ⅰ）因为 3a cos B b sin A ，
14． (1,0) ；16
由正弦定理可得 3 sin Acos B = sin B sin A . 因为在△ABC 中， sin A ¹ 0 ，
分
………………2 分 ………………3 分
………………4 .………………5 ………………6 .………………7
.………………8
………………9
因为 0 < A < 2 ， 3
所以
<
A+
<
5
.
6
66
分
当 A + = ，即 A = 时，
62
3
sin A sin C 有最大值 3 .
分
y2 3
得
1.
4k 2 3
x2 8k 2 x 4k 2 12 0 ．
则
x1 x2 x1x2
8k 2 4k 2
, 3
4k 2 12 4k 2 3 .
…………………8分
故 k1
1 3 k2
y1 x1 2
y2 3(x2 2)
f (x) 1 2ax (2a 1)
（Ⅱ）由题可知
x
2ax2 (2a 1)x 1 x
(2ax 1)(x 1)
x
．
①当 a 0 时，由（Ⅰ）知，函数 f (x) 在区间 (1, ) 上单调递减，
2018丰台高三数学二模考试答案及解析文科
丰台2018高三二模 2018.5高三数学（文科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）25-（10） 5 （11）50x +-=（12）2；π6（13）1-；1,4,2-∞-（）（-1-） （14）①② 注：第12，13题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 第14题只写对一个得2分，有一个错误不得分．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）在△ADB 中，由余弦定理得222cos2AD BD AB ADB AD BD +-∠=⋅100361962106+-=⨯⨯12=-． …………………2分 因为 (0,π)ADB ∠∈， …………………3分 所以2π3ADB ∠=． …………………5分 （Ⅱ）由 cos DAC ∠=，可知sin DAC ∠=， …………………6分 所以2πsin sin()3C DAC ∠=-∠ …………………8分 12142147=⨯+⨯=． …………………10分 在△ADC 中，由正弦定理得sin sin AC ADADC C=∠∠， …………………12分 所以=所以 AC = …………………13分（16）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为 23n S n =，所以 113a S ==． …………………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-2233(1)n n =--63n =-．…………………3分 因为当 1n =时，16133a ⨯-==， …………………4分 所以数列{}n a 的通项公式是 63n a n =-． …………………5分 （Ⅱ）设数列{}n b 的公比为q ．因为 113a b =，所以 11b =． (6)分因为 242b b a ⋅=， 所以 239b =． …………………8分因为 2310b b q =>，所以 33b =，且23q =． (10)分因为{}n b 是等比数列，所以21{}n b -是首项为11b =，公比为23q =的等比数列． (11)分所以 212(1())131(31)1132n n nn b q T q --===---． 即 1(31)2nn T =-． …………………13分（17）（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为 1A D ⊥平面ABC ，所以 1A D ⊥AC ． …………………1分 因为△ABC 中，=AB BC ，D 是AC 的中点，所以 BD AC ⊥． …………………2分 因为 1A DBD D =， …………………3分所以 AC ⊥平面1A BD ． …………………4分 所以 1AC A B ⊥． …………………5分 （Ⅱ） 因为 1A D ⊥平面ABC ，因为 BD ⊂平面ABC ，所以 1A D BD ⊥． …………………6分 由（Ⅰ）知 BD AC ⊥． 因为 1ACA D D =， …………………7分所以 BD ⊥平面11A ACC ． …………………8分 因为 BD ⊂平面1BB D ，所以 平面1BB D ⊥平面11AAC C ． …………………9分 （Ⅲ）因为在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ABB 为平行四边形，所以 11B B A A ∥． …………………10分 因为 1B B ⊄平面11A ACC ，1A A ⊂平面11A ACC ， …………………11分 所以 1B B ∥平面11A ACC ． …………………12分 因为 1B B ⊂平面1BB D ，且平面1BB D平面11A ACC DE =， (13)分所以 1B B DE ∥． …………………14分（18）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）A 组平均值为：2808340338332330230225225220=+++++++；……………1分B 组平均值为：2002202303323383403603803008+++++++=．……………2分（Ⅰ）将A 组客户中实际平均续航里程数为338, 340的客户分别记为1a ，2a ；将B 组客户中实际平均续航里程数为338, 340, 360, 380的客户分别记为1b ，2b ，3b ，4b ． 从A ，B 两组实际平均续航里程数大于335km 的客户中各随机抽取1位客户的事件包括：11b a ，21b a ，31b a ，41b a ，12b a ，22b a ，32b a ，42b a ，共8种， …………………5分其中A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数的事件包括：11b a ，12b a ，22b a ，共3种． (7)分设“A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数”为事件M ， …………………8分则3()8P M =． …………………10分 所以A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数的概率为38．（III ）A 组数据的方差小于B 组数据的方差． …………………13分（19）（本小题共13分）解：（Ⅰ）()()sin f x x a x '=--． …………………2分因为 (0,π)x ∈，所以 sin 0x >． .....................3分 由 ()0f x '=得 x a =． (4)分当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,π)上单调递减； …………………5分 当πa ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,π)上单调递增； …………………6分 当0πa <<时，x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是(0,)a ，单调递减区间是(,π)a ． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,π)上单调递减； 当πa ≥时，()f x 在(0,π)上单调递增；当0πa <<时，以()f x 的单调递增区间是(0,)a ，单调递减区间是(,π)a ．………9分 （Ⅱ）设 2()21g x x x =--．因为 2()(1)2g x x =--，当1x =时，()g x 有最小值为2-． (10)分因为对于任意1(0,π)x ∈，存在2(0,π)x ∈，都有 2122()21f x x x >--，所以 (0)2(π)2f f ≥-⎧⎨≥-⎩， 即2(π)2a a -≥-⎧⎨--≥-⎩． 所以π22a -≤≤，即a 的取值范围是[π2,2]-． …………………13分（20）（本小题共14分）（Ⅰ）解：依题意 24a =，所以 2a =． …………………1分因为 12c e a ==，所以 1c =． …………………2分所以 23b =， …………………3分所以椭圆C 的方程为 22143x y +=．…………………4分 （Ⅱ）解：椭圆得右焦点(1,0)F ．当直线l 的斜率不存在时，不妨取3(1,)2M ，3(1,)2N -，3MN =，不合题意． (5)分当直线l 的斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ． …………………6分联立方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ， 消y 得 2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=，0∆>成立． (7)分所以 2122834k x x k +=+，21224(3)34k x x k-=+． …………………8分因为247MN ==， …………………9分247=，所以2212347k k +=+，所以1k =±． …………………10分 （Ⅲ）证明：当直线l 的斜率不存在时，不妨取3(1,)2M ，3(1,)2N -，此时123922233k k +=+=． …………………11分当直线l 的斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ． 此时21211221221121)(416)4)(3()4)(3(4343x x x x x y x y x y x y k k ++---+--=--+--=+． 分子化为21122121)(4)(324y x y x y y x x +++-+-248))(53(22121++++-=k x x k x kx ．所以222222222143)3(4438416248438)53(43)3(42k k k k k k k k k k k k k +-++⨯-+++⨯+-+-⨯=+ )3(8)43(4)43)(3(2)53(2)3(2222222-+-+++++--⨯=k k k k k k k k k 299181822=++=k k ．综上所述，12k k +为定值2． …………………14分。
2018丰台高三数学二模考试答案解析文科
海淀高三二模参考答案及评分标准 数 学（文科）2018．5一． 选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．24x y 10．1， 11．12，π312 13．35 14． ①②③ 注：① 10题、11题第一个空答对给3分，第2个空答对给2分；② 14题只写出1个序号给2分，只写出2个序号给3分．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分） 【解析】（1）方法1：因为数列{}n a 是等差数列， 所以212n n n a a a +++=． 因为1223n n a a n +-=+， 所以223n a n +=+．所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-． 所以21n a n =-，（1n =，2，3，）． ………………6分方法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为1223n n a a n +-=+， 所以21322527a a a a -=⎧⎨-=⎩，所以11+2537a d a d =⎧⎨+=⎩，所以112a d =⎧⎨=⎩．所以21n a n =-，（1n =，2，3，）． ………………6分（2）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列， 所以12n n n a b -+=， 因为21n a n =-， 所以12(21)n n b n -=--． 设数列{}n b 的前n 项和为n S ， 则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-12(121)122n n n -+-=-- 221n n =--．所以数列{}n b 的前n 项和为221n n --． ………………13分 16．（本小题13分） 【解析】（1）1()2cos (sin )2f x x x x =2sin cos x x x =11cos2sin 222x x +=πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==． 所以曲线()y f x =的相邻两条对称轴的距离为2T ，即π2． ………………6分（2）由（1）可知π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当[]0,x α∈时，πππ2,2333x α⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦．因为sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 在[]0,α上单调递增，NM P DCFE B所以ππππ,2,3322α⎡⎤⎡⎤--⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即0ππ232αα>⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得50π12α<≤． 故α的最大值为5π12． …………………13分 17．（本小题14分） 【解析】（1）折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC DE ⊥， 所以折叠后，DE PF ⊥，DE CF ⊥， 又PFCF F =，PF ，CF ⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF ． …………………4分 （2）因为四边形AECD 为菱形， 所以DC AE ∥，DC AE =． 又点E 为AB 的中点， 所以DC EB ∥，DC EB =． 所以四边形DEBC 为平行四边形． 所以CB DE ∥．又由（1）得，DE ⊥平面PCF ， 所以CB ⊥平面PCF ． 因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF ． …………………9分 （3）存在满足条件的点M ，N ，且M ，N 分别是PD 和BC 的中点． 如图，分别取PD 和BC 的中点M ，N ． 连接EN ，PN ，MF ，CM ． 因为四边形DEBC 为平行四边形， 所以EF CN ∥，12EF BC CN ==． 所以四边形ENCF 为平行四边形． 所以FC EN ∥．在PDE △中，M ，F 分别为PD ，CM 中点， 所以M F PE ∥．又EN ，PE ⊂平面PEN ，PE EN E =，MF ，PE EN E =平面CFM ，所以平面CFM ∥平面PEN ． …………………14分18．（本小题13分） 【解析】（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人．所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：60.610=，……………4分（2）设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，由（1）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人． 因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、（5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件，而事件A 包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件， 所以31()155P A ==． ………………9分 （3）12=x x ，2212s s > ………………13分19．（本小题13分） 【解析】（1）()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 令()0f x =，得20x a +=，2x a =-． 当0a ≥时，方程无解，()f x 没有零点；当0a <时，得x = …………………4分综上，当0a ≥时()f x 无零点；当0a <时，()f x 零点为 （Ⅱ）2'()(1)()x xa a f x e x e x x=-++ 322()xx x ax a e x++-=． 令32()g x x x ax a =++-(1)x >，则2'()32g x x x a =++， 其对称轴为13x =-，所以'()g x 在(1,)+∞上单调递增． 所以2'()31215g x a a >⨯+⨯+=+． 当5a ≥-时，'()0g x >恒成立，所以()g x 在(1,)+∞上为增函数． …………………13分 20．（本小题14分）【解析】（1）椭圆C 的方程可化为2212x y +=，所以a ，1b =，1c =，所以长轴长为2a =e c a ==． …………………4分 （Ⅱ）方法1：证明：显然直线1A P 、2A Q 、1A Q 、2A P 都存在斜率，且互不相等， 分别设为1k ，2k ，3k ，4k设直线1A P的方程为1(y k x =+，2A Q的方程为2(y k x =，联立可得21M x =同理可得4343)N k k x k k +=-．下面去证明1412k k =-．设00(,)P x y ，则220022x y +=．所以22001422001222y y k k x y ====---． 同理2312k k =-．所以1221211211222())1122N M k k k k x x k k k k --++===----．所以直线MN 垂直于x 轴． …………………14分方法2：设直线l 方程为y kx m =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ． 由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=． 当0∆>时，122412kmx x k -+=+，21222212m x x k -=+．直线1A P方程为y x =+，直线2A Q方程为y x =-，x x +=，得x =21121221[((((y x y x x y x y x -=++其中，21122112((()(()(y x y x kx m x kx m x +--=++-+1212()()x x m x x =++-+12211221(()(()(y x y x kx m x kx m x +++-+++1212212()()kx x m x x x x =+++-22122212122242()12124()12)m kmk m x x k k k x x k x x --=++-++-=+-+=-所以2M kx m-=，即点M 的横坐标与P ，Q 两点的坐标无关，只与直线l 的方程有关． 所以2N M kx x m-==，直线MN 垂直于x 轴． …………………14分。
北京市丰台区2019届高三5月综合练习数学文科试卷(二)含答案
丰台区2019年高三年级第二学期统一练习（二） 2019.5高三数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项． 1. 复数()i 1i -=（A ）1i - （B ）1i -- （C ）1i -+ （D ）1i + 2.过点（2,0）且圆心为（1,0）的圆的方程是（A ）2220x y x ++= （B ）2220x y x +-= （C ）2240x y x +-= （D ）2240x y x ++= 3.在不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩．表示的平面区域内任取一个点(,)P x y ，使得1x y +≤的概率为（A ）12 （B ）14 （C ）18（D ）1124.已知点P 在抛物线24y x =上，它到抛物线焦点的距离为5，那么点P 的坐标为 （A ）(4, 4)，（4，-4） （B ）（-4,4），（-4,-4）（C ）（5，25），（5，25-） （D ）（-5，25），（-5，25-） 5. 已知函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是奇函数”是“(1)(1)f f =--”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6.将函数()sin2f x x =的图象向左平移6π个单位后与函数()g x 的图象重合，则函数 ()g x 为（A ）sin(2)6x π- （B ）sin(2)6x π+（C ）sin(2)3x π-（D ）sin(2)3x π+7. 已知230.5log 3,log 2,log 2a b c ===，那么（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c b a << （D ）b c a <<8.下表为某设备维修的工序明细表，其中“紧后工序”是指一个工序完成之后必须进行的下一个工序.工序代号 工序名称或内容 紧后工序 A 拆卸 B ，C B 清洗D C 电器检修与安装 H D 检查零件E ，G E 部件维修或更换F F 部件配合试验G G部件组装HH 装配与试车将这个设备维修的工序明细表绘制成工序网络图，如图，那么图中的1,2,3,4表示的工序代号依次为（A ）E ，F ，G ，G （B ）E ，G ，F ，G （C ）G ，E ，F ，F （D ）G ，F ，E ，F第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,2),(1,3)a b ==-，则|2|a b +=_______.10.已知双曲线2221x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为33y x =，则a = .11.某产品广告费用x 与销售额y （单位：万元）的统计数据如下表，根据下表得到回归方程y ^=10.6x +a ，则a =_________.广告费用x4 2 35 销售额y （万元）492639584321H DCBA12.当n ＝3，x ＝2时，执行如图所示的程序框图， 则输出的结果为____________.13. 一个三棱柱被一个平面截去一部分，剩下的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________________.14. 某旅行达人准备一次旅行，考虑携带A ，B ，C 三类用品，这三类用品每件重量依次为1kg ，2kg ，3kg ，每件用品对于旅行的重要性赋值依次为2,2,4，设每类用品的可能携带的数量依次为123,,(1,1,2,3)i x x x x i ≥=，且携带这三类用品的总重量不得超过11kg.当携带这三类用品的重要性指数123224x x x ++最大时，则1x ，2x ，3x 的值分别为_________________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足sin 3cos c A a C =． （I ）求角C 的大小；（Ⅱ）若23b =，5c =,求a 的值. 16.（本小题共13分）某校举办的数学与物理竞赛活动中，某班有36名同学，参加的情况如下表：（单位：人）参加物理竞赛未参加物理竞赛参加数学竞赛 9 4 未参加数学竞赛320（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一科竞赛的概率；（Ⅱ）在既参加数学竞赛又参加物理竞赛的9名同学中，有5名男同学,,,,a b c d e 和4名女同学甲、乙、丙、丁.现从这5名男同学和4名女同学中各随机选1人，求a 被选中且甲未被选中的概率.17.（本小题共14分）否是结束输出S k ≤n ?k =k+1S =S ∙x +k S =x +1,k =1开始输入 n , x第12题 3534俯视图侧视图主视图第13题如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC =2，BC =1，且AC ⊥BC ，点D ，E ，F 分别为AC ，AB ，A 1C 1的中点． （Ⅰ）求证：A 1D ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求证：EF ∥平面BB 1C 1C ； （Ⅲ）写出四棱锥A 1-BB 1C 1C 的体积. （只写出结论，不需要说明理由）18.（本小题共13分）已知{}n a 是各项为正数的等比数列，12320,64a a a +==,数列{}n b 的前n 项和为n S ，2log n n b a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）求证:对任意的*n ∈N ，数列 n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列.19. （本小题共13分）设函数()e (1)xf x a x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(0,2]上存在唯一零点，求a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆w :22221(0)x y a b a b+=>>过点（0，2），椭圆w 上任意一点到两焦点的距离之和为4.（Ⅰ）求椭圆w 的方程;（Ⅱ）如图，设直线:(0)l y kx k =≠与椭圆w 交于,P A两点，过点00(,)P x y 作PC ⊥x 轴，垂足为点C ， 直线AC 交椭圆w 于另一点B .①用直线l 的斜率k 表示直线AC 的斜率； ②写出∠APB 的大小，并证明你的结论.C 1B 1A 1FEDACBPCBAyxO丰台区2019年高三年级第二学期数学统一练习（二）数 学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
2018丰台高三数学二模考试试题文科
丰台2018高三二模 2018.5高三数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知U =R ，2{|230}A x x x =--<，则UA =(A) {|1x x ≤-或3}x ≥ (B) {|3x x ≤-或1}x ≥ (C) {|1x x <-或3}x >(D) {|3x x <-或1}x >（2）设a ，b 为非零向量，则“∥a b ”是“a 与b 方向相同”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（3）设双曲线2221(0)x y a a -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则a =(A)33 (B)233(C)3(D) 23（4）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为(A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 6（5）下列函数中，既是偶函数，又在区间)0,(-∞上为减函数的是(A) 2log ()y x =- (B) xx y -=1 (C) 21y x =-+(D) ||e x y =（6）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为(A) 25 (B) 20 (C) 13 (D) 6（7）在△ABC 中，D 为AB 中点，E 为CD 中点，设AB =a ，AC =b ，若AE λμ=+a b ，则λμ的值是 (A)14(B)121俯视图侧视图正视图112(C) 2 (D) 4（8）某游戏开始时，有红色精灵m 个，蓝色精灵n 个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色 (A) 只与m 的奇偶性有关 (B) 只与n 的奇偶性有关 (C) 与m ，n 的奇偶性都有关 (D) 与m ，n 的奇偶性都无关第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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丰台区2018—2019学年度第二学期综合练习（二）
高三数学（文科） 2019.05
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空3分，第二空2分）
9．
3
π
10．3
5 11．4
12．满足12,0a a >,0d <(答案不唯一) 13．(22
- 14．6； 三、解答题（共6小题，共80分） 15．（共13分）
解：（Ⅰ）因为11a =，1e n n a a +=⋅()n *∈N ，
所以数列{}n a 是1为首项，e 为公比的等比数列，
所以1
n n a e -=. ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1
ln ln e 1n n a n -==-， ………………5分
所以 (1)
012(1)2
n n n T n -=+++
+-=
， ………………7分 所以
23
111n
T T T +++
2222
122334
(1)
n n =
++++
⨯⨯⨯-
1111111
2[(1)()()()]
223341n n =-+-+-++-- ………………10分 1
2(1)n =-.
………………11分 因为10n >，所以111n -<.所以12(1)2
n -<
即
23
111
2n
T T T +++
< ………………13分
16．（共13分）
解:（Ⅰ）由已知)(x f 图象得 2.A =
3342
T π
=，则 2T =π. 因为22T ω
π
==π，0ω> 所以1ω=. …………2分 因为02
ϕπ<<， 所以3
ϕπ
=
. …………4分 所以()2sin(+)3
f x x π
=． …………6分
（Ⅱ）由题可得：()2cos2g x x =． …………8分
故()2sin 2y g x x =+
2cos22sin2x x =+
+)4x π
=． …………10分
因为3+22+2242
k x k πππ
π+π≤≤， …………11分
所以
5++88
k x k ππ
ππ≤≤. 所以()g x 的单调递减区间为5+,+,88k k k ππ⎡⎤
ππ∈⎢⎥⎣⎦
Z . …………13分
17．（共13分） 解：（Ⅰ）高一年级知识竞赛的达标率为
10.0350.85-⨯=. ………………4分
（Ⅱ）高一年级成绩为[95,100]的有0.025404⨯⨯=名，记为1A ，2A ，3A ，4A ，
高二年级成绩为[95,100]的有2名，记为1B ，2B . ………………6分 选取2名学生的所有可能为：
12A A ，13A A ，14A A ，11A B ，12A B ，23A A ，24A A ，21A B ，22A B ，34A A ，31A B ，32A B ，41A B ，42A B ，12B B ，共15种；
其中2名学生来自于同一年级的有12A A ，
13A A ，14A A ，23A A ，24A A ，34A A ，12B B ，共7种； ………………8分
设2名学生来自于同一年级为事件A ， 所7
()15
P A =
. ………………10分 （Ⅲ）12X X <． ………………13分
18．（共14分）
解：（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3
ADC π
∠=
，O 为线段CD 的中点， 所以'OD AO ⊥． ………………1分
因为平面⊥'AOD 平面ABCO ， 平面 'AOD 平面AO ABCO =，
'OD ⊂平面'AOD ，
所以'OD ⊥平面ABCO ． ………………4分 因为BC ⊂平面ABCO ，
所以'OD BC ⊥． ………………5分
（Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP ，PM ；
因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点，
所以AB PM //，AB PM 2
1
=
． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，DC AB //， 所以122
a OC CD =
=． 所以AB OC //，AB OC 2
1
=
． ………………6分 所以OC PM //，OC PM =．
所以四边形OCMP 为平行四边形， ………………7分 所以OP CM //，
因为⊄CM 平面'AOD ，⊂OP 平面'AOD ，
所以//CM 平面'AOD ； ………………10分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．
所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高． ………………11分
因为1'3V S OD =⨯⨯==底，
所以2a =． ………………14分
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由题知22224,
1,2
.
a c a a
b
c =⎧⎪⎪
=⎨⎪⎪=+⎩
解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ …………………3分
所以求椭圆E 的方程为22
143x y +=．
…………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()2,0A -,()2,0B
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =．
由2
21 1.4
3x x y
=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,3.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,3.2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 得1213,22k k =
=或1213,22k k =-=-；均有121
3
k k =． 猜测存在1
3λ=
．
…………………6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,C x y ，()22,D x y ．
由()2211.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()
2222
4384120k x k x k +-+-=．
则21222
1228,43412.43k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
…………………8分
故1212121
323(2)
y y k k x x -=-+-
…………………9分
2112
123(2)(2)3(2)(2)
x y x y x x --+=
+-
()1212122583(2)(2)
k x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦
=
+- 2222128(3)40843433(2)(2)
k k k k k x x ⎡⎤--+⎢⎥++⎣
⎦=+- 0.= …………………13分
所以存在常数13λ=使得1213
k k =恒成立
…………………14分
20．（共13分） 解：（Ⅰ）当3a =时， 32()3f x x x =-，
2'()363(2)f x x x x x =-=-． …………………2分
当[0,2]x ∈时，'()0f x ≤，
所以()f x 在区间[0,2]上单调递减． …………………4分 所以()f x 在区间[0,2]上的最小值为(2)4f =-． …………………5分
（Ⅱ）设过点(1,(1))P f 的曲线()y f x =的切线切点为00(,)x y ，
2'()32f x x ax =-，(1)1f a =-，
所以32
0002
0000,(1)(32)(1).y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩ 所以320002(3)210x a x ax a -+++-=．
令32()2(3)21g x x a x ax a =-+++-， 则2()62(3)2g x x a x a '=-++
(1)(62)x x a =--，
令()0g x '=得1x =或3
a x =， 因为3a >，所以
1
a
>． ()g x 的极小值为()(1)03a
g g <=，
所以()g x 在(,)3a
-∞上有且只有一个零点1x =．
因为3222
()2(3)21(1)(1)0g a a a a a a a a =-+++-=-+>，
所以()g x 在(,)3
a
+∞上有且只有一个零点．
所以()g x 在R 上有且只有两个零点．
即方程320002(3)210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根，
所以过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切． …………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）。