长沙市一中2011届高三月考试卷(六)

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14章能力测试2

第十四章导数综合能力测试(Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．(2011·广东省高州市南塘中学月考)已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)解析：∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x＋1＝－4e x ＋1e x ＋2. ∵e x >0，∴e x ＋1ex ≥2，∴y ′∈ [－1,0)，∴tan α∈[－1,0)，又α∈[0，π)， ∴α∈[3π4，π)，故选D.答案：D2．(2011·桂林市高三月考试题)已知某函数的导数为y ′＝12(x －1)，则这个函数可能是( )A ．y ＝ln 1－xB ．y ＝ln11－xC ．y ＝ln(1－x )D ．y ＝ln 11－x解析：对选项求导． (ln 1－x )′＝11－x(1－x )′ ＝11－x ·12(1－x )－12·(－1)＝12(x －1).故选A.答案：A3．(济南外国语学校高中部2011届高三质量检测)函数y ＝x 2x 2－3x ＋2的单调递增区间是( )A ．(－2，1)∪(1，2)B ．(－2，1)及(1，2)C ．(－2，2)D ．(－2,1)∪(1,2)答案：B4．(海南省嘉积中学2011届高三数学质检(三))已知函数f (x )＝ax －x 3，对区间[0,1]上任意的x 1，x 2，当x 1<x 2时总有f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1，成立，则a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(0,4)C ．(1,4)D ．(0,1)解析：当x 1<x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>1即f ′(x )>1，a －3x 2>1，∴a >3x 2＋1，∴a >4，故选A. 答案：A5．(武汉市2011届高三年级2月调研考试)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，且f ′(0)>0.若对于任意实数x 都有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( )A ．3 B.52 C ．2D.32解析：依题意得f ′(0)＝b >0，a >0，b 2≤4ac ，f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a ＋c b ＋1≥a ＋c 2ac＋1≥1＋1＝2，当且仅当⎩⎨⎧b ＝2aca ＝c ，即a ＝12b ＝c >0时取等号，因此f (1)f ′(0)的最小值是2，选C.答案：C6．(2011·四川绵阳市一模试题)给出以下命题：①设f (x )是定义在(－a ，a )上的偶函数，且f ′(0)存在，则f ′(0)＝0；②设函数f (x )是定义在R 上的导函数，则函数f (x )·f (－x )的导函数为偶函数；③方程x e x ＝2在区间(0,1)上有且只有一个实数根．其中真命题是( ) A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③解析：①由于f (x )是偶函数，则f ′(－x )＝－f ′(x )，∴f ′(0)＝－f ′(0)，∴f ′(0)＝0，故①正确；②设F (x )＝f (x )·f (－x )，则F ′(x )＝f ′(x )·f (－x )＋f (x )f ′(－x )，而F ′(－x )＝f ′(－x )·f (x )－f (－x )·f ′(x )＝－F ′(x )，故②不正确；③设f (x )＝x e x ，x ∈(0,1)，f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(x ＋1)e x >0，∴f (x )在(0,1)上单调递增，又f (0)＝0.f (1)＝e>2，故f (x )在(0,10)上有且仅有一个实数根，故③正确，因此选D.答案：D7．(2011·四川省武胜县一模试题)设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处的切线斜率为k ，则函数k ＝g (t )的图象为( )解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，为奇函数，否定A 、C ，当0<x <π2时，f ′(x )>0，否定D.故选B.答案：B8．(2011·四川省武胜县一模试题)已知函数g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的导函数为f (x )，a ＋b ＋c ＝0，且f (0)·f (c )>0，设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两根，则|x 1－x 2|的取值范围是( )A ．[33，23) B ．[13，49)C ．[13，33)D ．[19，13)解析：∵f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，f (0)＝c ，f (1)＝3a ＋2b ＋c ＝a －ck ，由f (0)·f (c )>0得c (a －c )>0，∴a >c >0或c <a <0，设t ＝ca，∴0<t <1|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝49×a 2＋c 2－ac a 2＝23t 2－t ＋1∈[33，23)．故选A.答案：A9．(四川省成都市2011届高三四校第一次联考)设变量a ，b 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧b ≥a ，a ＋3b ≤4，a ≥－1.若z ＝a －3b 的最小值为m ，则函数f (x )＝13x 3＋m16x 2－2x ＋2的极小值等于( )A ．－43B ．－16C ．2D.196解析：作出变量a ，b 满足的可行域，如图中阴影部分所示，可知目标z ＝a －3b 过点(－2,2)时，z 取得最小值－8，∴m ＝－8.∴f (x )＝13x 3－816x 2－2x ＋2＝13x 3－12x 2－2x ＋2，∴f ′(x )＝x 2－x －2.令f ′(x )＝0，可得x ＝2或x ＝－1，结合函数f (x )的单调性知x ＝2时，f (x )取得极小值－43，故选A.答案：A10．(2011·山东省济宁一中月考试题)定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1.f ′(x )为f (x )的导函数，已知函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．若两正数a ，b 满足f (2a ＋b )＜1，则b ＋2a ＋2的取值范围是( )A ．(13，12)B ．(－∞，12)∪(3，＋∞)C ．(12，3)D ．(－∞，－3)解析：由y ＝f ′(x )的图象知，当x ＜0时，f ′(x )＜0，函数f (x )是减函数；当x ＞0时，f ′(x )＞0，函数f (x )是增函数；两正数a ，b 满足f (2a ＋b )＜1，f (4)＝1，点(a ，b )的区域为图中的阴影部分(不包括边界)，b ＋2a ＋2的意义为阴影部分的点与点A (－2，－2)连线的斜率，直线AB 、AC 的斜率分别为12、3，则b ＋2a ＋2的取值范围是(12，3)，故选C.答案：C11．(2011·四川宜宾二诊)若函数f (x )＝－1b e ax (其中e 为自然对数的底数)的图象在x ＝0处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不能确定解析：∵f ′(x )＝(－1b e ax )′＝－a b ·e ax∴k ＝－a b ·e a ·0＝－ab.又直线过点(0，－1b )，∴l ：ax ＋by ＋1＝0.又l 与圆x 2＋y 2＝1相离，∴1a 2＋b 2>1. ∴a 2＋b 2<1.∴P 点在圆内．答案：B12．(2011·湖北襄樊调研统考)已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①f (x )＝a x g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；③f (x )g ′(x )>f ′(x )g (x )．若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于( )A.54B.12 C ．2D ．2或12解析：记h (x )＝f (x )g (x )＝a x ，则有h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0，即a x ln a <0，故ln a <0,0<a <1.由已知得h (1)＋h (－1)＝52，即a ＋a －1＝52，a 2－52a ＋1＝0，故a ＝12或a ＝2，又0<a <1，因此a ＝12，选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上．) 13．(2011·武汉模拟)函数y ＝x ln(－x )－1的单调减区间是________．答案：(－1e，0)14．(2011·河北邯郸市月考)已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝－2或x ＝2，列表得：答案：3215．(陕西省西安铁一中2011届高三摸底考试数学试卷)若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝____________.解析：∵f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2，又f ′(a )＝0，∴a ＝3.答案：316．(济南外国语学校高中部2011届高三质量检测)已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，导函数为f ′(x )＝x 2＋2cos x 且f (0)＝0，则满足f (1＋x )＋f (x 2－x )>0的实数x 的集合是____________．答案：(－1,1)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．) 17．(本小题满分10分)(长沙市一中2011届高三月考试卷(六))已知函数f (x )＝－x 2＋ax －ln x (a ∈R )．(1)求函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件； (2)当函数f (x )在[12，2]上单调时，求a 的取值范围．解析：(1)∵f ′(x )＝－2x ＋a －1x ＝－2x 2＋ax －1x(x >0)，∴f (x )既有极大值又有极小值⇔方程2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实根x 1，x 2. ∴a >2错误．∴函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件是a >2 2. (2)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，令g (x )＝2x ＋1x，则g ′(x )＝2－1x 2，g (x )在[12，22)上递减，在(22，2]上递增．又g (12)＝3，g (2)＝92，g (22)＝22，∴g (x )max ＝92，g (x )min ＝2 2.若f (x )在[12，2]上单调递增，则f ′(x )≥0即a ≥g (x )，∴a ≥92.若f (x )在[12，2]上单调递减，则f ′(x )≤0，即a ≤g (x )，∴a ≤2 2.所以f (x )在[12，2]上单调时，则a ≤22或a ≥92.18．(本小题满分12分)(2011·北京市朝阳区高三年级第一次综合练习)已知函数f (x )＝2x ＋a ln x ，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝x ＋2，求a 的值； (2)求函数f (x )在区间(0，e ]上的最小值．解析：(1)直线y ＝x ＋2的斜率为1，函数y ＝f (x )的导函数为：f ′(x )＝－2x 2＋a x ，则f ′(1)＝－212＋a1＝－1，∴a ＝1.(2)f ′(x )＝ax －2x2，x ∈(0，＋∞)，①当a ＝0时，在区间(0，e ]上f ′(x )＝－2x 2<0，此时f (x )在(0，e ]上单调递减，则f (x )在区间(0，e ]上最小值为f (e )＝2e；②当2a <0时，即a <0，f ′(x )<0，f ′在(0，e ]上单调递减，f (x )最小值为f (e )＝2e ＋a ；③当0<2a <e 即a >2e 时区间(0，2a )上f ′(x )<0.在(2a ，e )上f ′(x )上递增，则f (x )的最小值为f (2a )＝a ＋a ln 2a； ④当2a ≥e 即0<a ≤2e 时f ′(x )≤0，此时f (x )在(0，e ]上递减，f (x )的最小值为f (e )＝2e＋a .综上可知，f (x )min＝⎩⎨⎧2e ＋a (a ≤2e )a ＋a ln 2a (a >2e).19．(本小题满分12分)(广西百所重点中学2011届高三阶段性检测)已知函数f (x )＝－x 2＋ln(1＋2x )．(1)求f (x )的最大值；(2)设b >a >0，证明：ln a ＋1b ＋1>(a －b )(a ＋b ＋1)．解析：(1)因为f (x )＝－x 2＋ln(1＋2x )，则1＋2x >0，那么x >－12，即函数f (x )的定义域为{x |x >－12}．又f ′(x )＝－2x ＋21＋2x ＝－4x 2－2x ＋21＋2x(x >－12)，由f ′(x )>0，得－4x 2－2x ＋2>0，则－12<x <12，所以当－12<x <12时，f (x )为增函数；由f ′(x )<0，得－4x 2－2x ＋2<0，则x >12，所以当x >12时，f (x )为减函数．所以当x ＝12时，f (x )取得最大值，f (12)＝－14＋ln2，即f (x )的最大值为－14＋ln2.(2)因为b >a >0，则b ＋12>a ＋12>12，根据(1)知当x >12时，f (x )为减函数，所以f (b ＋12)<f (a ＋12)，即－(b ＋12)2＋ln[1＋2(b ＋12)]<－(a ＋12)2＋ln[1＋2(a ＋12)]，化简得ln a ＋1b ＋1>(a －b )(a ＋b ＋1)．20．(本小题满分12分)(陕西省西安铁一中2011届高三摸底考试数学试卷)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋(2－a )ln x ，(a ∈R ，a ≠0)(1)当a ＝18时，求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )在区间[e ，e 2]上的最小值．解析：(1)当a ＝18时f (x )＝x 2－4x －16ln x ，(x >0) f ′(x )＝2x －4－16x ＝2(x ＋2)(x －4)x，由f ′(x )>0得(x ＋2)(x －4)>0，解得x >4或x <－2，因为x >0，所以函数f (x )的单调递增区间是(4，＋∞) 由f ′(x )<0得(x ＋2)(x －4)<0，解得－2<x <4，因为x >0，所以函数f (x )的单调递减区间是(0,4]．综上所述，函数f (x )的单调增区间是(4，＋∞)，单调减区间是(0,4]． (2)在x ∈[e ，e 2]时，f (x )＝x 2－4x ＋(2－a )ln x 所以f ′(x )＝2x －4＋2－a x ＝2x 2－4x ＋2－ax ，设g (x )＝2x 2－4x ＋2－a当a <0时，有Δ＝16＋4×2(2－a )＝8a <0，此时g (x )>0，所以f ′(x )>0，f (x )在[e ，e 2]上单调递增，所以f (x )min ＝f (e )＝e 2－4e ＋2－a 当a >0时，Δ＝16－4×2(2－a )＝8a >0，令f ′(x )>0，即2x 2－4x ＋2－a >0，解得x >1＋2a 2或x <1－2a 2；令f ′(x )<0，即2x 2－4x ＋2－a <0，解得1－2a 2<x <1＋2a 2. ①若1＋2a 2≥e 2，即a ≥2(e 2－1)2时， f (x )在区间[e ，e 2]上单调递减，所以f (x )min ＝f (e 2)＝e 4－4e 2＋4－2a . ②若e <1＋2a 2<e 2，即2(e －1)2<a <2(e 2－1)2时， f (x )在区间[e,1＋2a2]上单调递减，在区间[1＋2a 2，e 2]上单调递增，所以f (x )min ＝f (1＋2a 2)＝a 2－2a －3＋(2－a )ln(1＋22)． ③若1＋2a2≤e ，即0<a ≤2(e －1)2时，f (x )在区间[e ，e 2]上单调递增，所以f (x )min ＝f (e )＝e 2－4e ＋2－a综上所述，当a ≥2(e 2－1)2时，f (x )min ＝a 4－4e 2＋4－2a ；当2(e －1)2<a <2(e 2－1)2时，f (x )min ＝a 2－2a －3＋(2－a )ln(1＋2a2)；当a ≤2(e －1)2时，f (x )min ＝e 2－4e ＋2－a .21．(本小题满分12分)(2011年湖北省鄂南高中、黄冈中学、黄石二中、华师一附中、荆州中学、孝感高中、襄攀四中、襄樊五中八校高三第一次联考)已知函数f (x )＝ln(12＋12ax )＋x 2－ax (a 为常数，a >0)．(1)若x ＝12是函数f (x )的一个极值点，求a 的值；(2)求证：当0<a ≤2时，f (x )在[12，＋∞)上是增函数；(3)若对任意的a ∈(1,2)，总存在x 0∈[12，1]，使不等式f (x 0)>m (1－a 2)成立，求实数m 的取值范围．解析：由题知，f ′(x )＝12a 12＋12ax ＋2x －a ＝2ax (x －a 2－22a)1＋ax .(1)由已知，得f ′(12)＝0且a 2－22a ≠0，∴a 2－a －2＝0，∵a >0，∴a ＝2.(2)∵0<a ≤2，∴a 2－22a －12＝a 2－a －22a ＝(a －2)(a ＋1)2a ≤0，∴12≥a 2－22a ，∴当x ≥12时，x－a 2－22a≥0.又2ax 1＋ax>0，∴f ′(x )≥0，故f (x )在[12，＋∞)上是增函数．(3)若a ∈(1,2)，由(2)知，f (x )在[12，1]上的最大值为f (1)＝ln(12＋12a )＋1－a ，于是问题等价于：对任意的a ∈(1,2)，不等式ln(12＋12a )＋1－a ＋m (a 2－1)>0恒成立．记g (a )＝ln(12＋12a )＋1－a ＋m (a 2－1)(1<a <2)，则g ′(a )＝11＋a －1＋2ma ＝a1＋a[2ma －(1－2m )]，当m ＝0时，g ′(a )＝－a1＋a <0，∴g (a )在区间(1,2)上单调递减，此时，g (a )<g (1)＝0；当m <0，a ∈(1,2)时，2ma －(1－2m )<0，∴g ′(a )＝a1＋a [2ma －(1－2m )]<0，∴g (a )在区间(1,2)上单调递减，此时，g (a )<g (1)＝0，综上，当m ≤0时不可能使g (a )>0恒成立，故必有m >0，又g ′(a )＝2ma 1＋a [a －(12m －1)]，若12m －1>1，可知g (a )在区间(1，min{2，12m－1})上递减，在此区间上，有g (a )<g (1)＝0，与g (a )>0恒成立矛盾，故12m －1≤1，这时g ′(a )>0，g (a )在(1,2)上递增，恒有g (a )>g (1)＝0，满足题设要求，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >012m －1≤1，即m ≥14，所以实数m 的取值范围为[14，＋∞)．22．(本小题满分12分)(湖北省荆州市2011届高中毕业班质量检查(二))已知函数f (x )＝e x ＋ax ，g (x )＝e x ln x (e 是自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线也是抛物线y 2＝4(x －1)的切线，求a 的值；(2)若对于任意x ∈R ，f (x )>0恒成立，试确定实数a 的取值范围；(3)当a ＝－1时，是否存在x 0∈(0，＋∞)，使曲线C ：y ＝g (x )－f (x )在点x ＝x 0处的切线斜率与f (x )在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的x 0的个数；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为f ′(x )＝e x ＋a ，f ′(1)＝e ＋a ，所以在x ＝1处的切线为y －(e ＋a )＝(e ＋a )(x －1)，即y ＝(e ＋a )x ，与y 2＝4(x －1)联立，消去y 得(e ＋a )2x 2－4x ＋4＝0，由Δ＝0知，a ＝1－e 或a ＝－1－e.(2)f ′(x )＝e x ＋a ，①当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上单调递增，且当x →－∞时，e x →0，ax →－∞， ∴f (x )→－∞，故f (x )>0不恒成立，所以a >0不合题意；②当a ＝0时，f (x )＝e x >0对任意x ∈R 恒成立，所以a ＝0符合题意；③当a <0时，令f ′(x )＝e x ＋a ＝0，得x ＝ln(－a )，当x ∈(－∞，ln(－a ))时，f ′(x )<0，当x ∈(ln(－a )，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，ln(－a ))上单调递减，在(ln(－a )，＋∞)上单调递增，所以[f (x )]min ＝f (ln(－a ))＝－a ＋a ln(－a )>0，∴a >－e ，又a <0，∴a ∈(－e,0)，综上所述：a ∈(－e,0]．(3)当a ＝－1时，由(2)知[f (x )]min ＝f (ln(－a ))＝－a ＋a ln(－a )＝1.设h (x )＝g (x )－f (x )＝e x ln x －e x ＋x ，设h ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x －e x ＋1＝e x (ln x ＋1x－1)＋1，假设存在实数x 0∈(0，＋∞)，使曲线C ：y ＝g (x )－f (x )在点x ＝x 0处的切线斜率与f (x )在R 上的最小值相等，则x 0即为方程的解，令h ′(x )＝1得：e x (ln x ＋1x－1)＝0，因为e x >0，所以ln x ＋1x－1＝0，令φ(x )＝ln x ＋1x －1，则φ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，当0<x <1时，φ′(x )<0，当x >0时，φ′(x )>0.所以φ′(x )＝ln x ＋1x－1在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以φ(x )≥φ(1)＝0，故方程φ(x )＝ln x ＋1x－1＝0有唯一解为1. 所以存在符合条件的x 0，且仅有一个．。

湖南省长沙市一中2011届高三第七次月考【理数】

湖南省长沙市一中2011届高三月考试卷(七)数学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿命题人：李湘斌审题人：赵意扬 (考试范围：高考理科内容(不含选修系列4))本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线x ＋y －1＝0的倾斜角是( )A.－π4B.π4C.3π4D.π22.“p ∧q 是真命题”是“p ∨q 是真命题”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A.9πB.10πC.11πD.12π4.在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A.40 B.42 C.43 D.455.设m >0，则直线x ＋3y ＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切6.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是( )A.y ＝sin(2x ＋π6)B.y ＝sin(2x －π6)C.y ＝cos(2x ＋π3)D.y ＝cos(2x －π6)7.函数y ＝lg x －9x的零点所在的大致区间是( )A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)8.设m ∈N *，F (m )表示log 2m 的整数部分，则F (210＋1)＋F (210＋2)＋F (210＋3)＋…＋F (211)的值为( )A.10×210B.10×210＋1C.10×210＋2D.10×210－1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.∫10x 2d x ＝ .10.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品.产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，已知A 种型号产品共抽取了16件，那么此样本的容量n ＝ .11.如右图所示的算法流程图中，输出S 的值为 .12.设A 、B 为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －2y ＋1＝0，则直线PB 的方程是 .13.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝3|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为 .14.在△ABC 中，P 为中线AM 上的一个动点，若|AM |＝2，则PA ·(PB ＋PC )的最小值为 .15.如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点(1,0)处标数字1，点(1，－1)处标数字2，点(0，－1)处标数字3，点(－1，－1)处标数字4，点(－1,0)处标数字5，点(－1,1)处标数字6，点(0，1)处标数字7，…以此类推，①标数字50的格点的坐标为 .②记格点坐标为(m ，n)的点(m 、n 均为正整数)处所标的数字为f(m ，n)，若n>m ，则f(m ，n)＝ .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2x2cos (π4＋x)·sin x的值.17.(本小题满分12分)某旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团只能任选其中一条线路，不同的旅游团可选相同的旅游线路.(1)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率； (2)求选择甲线路旅游团的团数的分布列和期望.如右图，简单组合体ABCDPE ，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC.(1)若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB ；(2)若PDAD ＝2，求平面PBE 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小.19.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝12ax 2＋(1－a)x －1－ln x ，a ∈R .(1)若函数在区间(2,4)上存在．．单调递增区间，求a 的取值范围； (2)求函数的单调增区间.20.(本小题满分13分)某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草，为增强观赏性，在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草(如图)，并以该直角三角形斜边开辟观赏小道(不计小道的宽度)，某园林公司承接了该中心花园的施工建设，在施工时发现，椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点距离和为4(单位：百米)，且椭圆上点到焦点的最近距离为1(单位：百米).(1)试以椭圆中心为原点建立适当的坐标系，求出该椭圆的标准方程； (2)请计算观赏小道的长度(不计小道宽度)的最大值.顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A 0(1,1)，过A 0作抛物线的切线交x 轴于B 1，过B 1点作x 轴的垂线交抛物线于A 1，过A 1作抛物线的切线交x 轴于B 2，…，过A n (x n ，y n )作抛物线的切线交x 轴于B n ＋1(x n ＋1,0)(1)求{x n }，{y n }的通项公式；(2)设a n ＝11＋x n ＋11－x n ＋1，数列{a n }的前n 项和为T n .求证：T n >2n －12.(3)设b n ＝1－log 2y n ，若对任意正整数n ，不等式(1＋1b 1)(1＋1b 2)…(1＋1b n)≥a 2n ＋3成立，求正数a的取值范围.炎德·英才大联考长沙市一中2011届高三月考试卷(七)数学(理科) 教师用卷长沙市一中高三理科数学备课组组稿命题人：李湘斌审题人：赵意扬 (考试范围：高考理科内容(不含选修系列4))本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

长沙市一中2011届高三第七次月考语文试卷

长沙市一中2011届高三第七次月考语文试卷基础试题2011-02-18 20595d56b7b401017dgv长沙市一中2011届高三第七次月考语文试卷一、语言文字运用(15分，每小题3分)1．下列词语中，字形与加点的字读音全都正确的一组是A．僯选繁文缛节rù裙裾jū靡靡之音mǐB．编纂心广体胖páng漩涡xuàn插科打诨hùnC．洗练绠短汲深gěng果脯fǔ犯而不校jiàoD．秸秆犄角之势jǐ症结zhēng以儆效尤jǐng1． C. （僯选——遴选心广体胖pán漩涡xuān犄角之势——掎）2．.下列各句中，加点的成语使用恰当的一句是A.12月2日，湖南茶业博览会在省展览馆举行，这次博览会，汇集了君山银针、安化黑茶、古丈毛尖等1万多种名优湘茶，真可谓浩如烟海，应有尽有。

B.日本右翼势力对疆独台独藏独暗送秋波，企图借助分裂分子达到反华和对抗中国的目的，理所当然地遭到了中国政府和民众的强烈抨击。

C.2010年斯坦科维奇杯洲际篮球赛三四名的决赛中，中国队在大比分落后的情况下拼尽全力，反戈一击，以76比58战胜老对手伊朗队，取得第三名。

D.嘎纳电影节参赛片、华人导演李安执导的美国电影《制造伍德斯托克》在首映，赢得影评家和普通观众真诚热情的溢美之词。

2．B.（暗送秋波旧时比喻美女的眼睛象秋天明净的水波一样。

原指暗中眉目传情，泛指献媚取宠，暗中勾搭。

浩如烟海形容文献、资料等非常丰富。

反戈一击掉转武器向自己原来所属的阵营进行攻击。

溢美之词溢水满外溢，引申为过分。

过分吹嘘的话语。

常用于贬义场合）3.下列各句中，没有语病的一句是A.昨天，一种先进的身份识别仪器——救助管理指纹识别系统昨日在贵阳市救助站安装完毕，即将投用。

这使得职业乞讨者到救助站骗住骗吃骗票的现象得到了根本改观；贵阳市救助站也将成为全国首家通过指纹识别仪进行救助管理的重点中转救助站。

B.元月1日至2日，中共中央政治局常委、国务院总理温家宝冒着摄氏零下25度左右的严寒，深入被白雪覆盖的锡林郭勒大草原腹地，走访牧民家庭到内蒙古自治区锡林郭勒盟牧区看望各族干部群众，向他们致以新年的问候和祝福。

12章能力测试2

第十二章概率与统计综合能力测试(Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

)1．(2011·成都市高中毕业班第一次诊断性检测题)某学校有教职工100人，其中教师80人，职员20人．现从中随机抽取10人组成一个考察团外出学习考察，则这10人中恰有8名教师的概率为( )A.A 802A 208A 10010B.A 808A 202A 10010C.C 808C 202C 10010 D.C 802C 208C 10010解析：依题意得从100名教职工中随机抽取10人的选法种数是C 10010种，其中所选的10人中恰有8名教师的选法种数是C 808C 202种，因此所求的概率等于C 808C 202C 10010，选C.答案：C2．(2011·甘肃省天水一中第三次月考)新华中学高一年级有540人，高二年级有440人，高三年级有420人，用分层抽样的方法，抽取容量为70的样本，则高一、高二、高三三个年级应分别抽取( )A ．28人，24人，18人B ．27人，22人，21人C ．26人，24人，20人D ．25人，24人，21人解析：高一、高二、高三三个年级人数比为27 22 21，按分层抽样的要求，抽取的样本中三个年级人数比应保持不变，又知样本容量为70，故三个年级分别应抽取27人、22人、21人．答案：B3．(2011·广东省惠中中学第四次测试)已知样本： 10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12 那么频率为0.25的范围是( ) A ．5.5～7.5 B ．7.5～9.5 C ．9.5～11.5D ．11.5～13.5解析：统计结果为：5.5～7.5,2个数据；7.5～9.5,6个数据；9.5～11.5,7个数据；11.5～13.5,5个数据．因此频率为0.25的范围是D.答案：D4．(成都市2011届高中毕业班第一次诊断性检测)设a 是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数，b 是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a ，b )，记“在这些基本事件中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是( )A.12B.512C.13D.14解析：由log b a ≥1，知a ≥b >1，(a ，b )构成的所有基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个，其中(2,2)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)共5个基本事件满足log b a ≥1，所以事件E 发生的概率为512，故选B.答案：B5．(湖北省黄冈市高三年级2011年3月份质量检测(理))随机变量ξ的概率分布规律为P (ξ＝n )＝a (23)n (n ＝1、2、3、4、…)，其中a 是常数，则P (12<ξ<52)的值为( )A.29 B.59 C.13D.23解析：依题意得a ·231－23＝1，∴a ＝12，P (ξ＝n )＝12×(23)n ，P (12<ξ<52)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝12×23＋12×(23)2＝59.故选B. 答案：B6．(2011年北京市海淀区高三年级第一学期期末练习)某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有()A ．75辆B ．120辆C ．180辆D ．270辆解析：根据图可知组距为10，则车速在[40,50)、[50,60)的频率分布是0.25、0.35，因此车速低于限速的汽车共有(0.25＋0.35)×300＝180(辆)．答案：C7．(广西百所重点中学2011届高三阶段性检测)某校有初中学生900人，高中学生1200人，教师120人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本进行调查，如果应从高中生中抽取80人，那么n的值是()A．120 B．148C．140 D．136解析：n＝(900＋1200＋120)×801200148.答案：B8．(2011·邯郸市高三月考试题)统计某校1000名学生的数学测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是()A．20% B．25%C．6% D．80%解析：根据频率分布直方图，得出不合适的频率为：(0.015＋0.005)×10＝0.2，故及格率为(1－0.2)×100%＝80%，选D.答案：D点评：样本数据的频率分布和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况．利用直方图一定要注意其纵轴的意义．在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于相应各组的频率．根据率计算中，一一列举计数，将统计与概率有机地结合考查，这一直是高考试题中一道亮丽的风景线．9．(武汉市武昌区2011届高三年级元月调研测试)如果随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6926，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974.已知随机变量x～N(3,1)，则P(4<x<5)＝()A．0.0430 B．0.2819C．0.0215 D．0.1359解析：x～N(3,1)，作出相应的正态曲线，如图，依题意P(2<x<4)＝0.6826，P(1<x<5)＝0.9544，曲边梯形ABCD 的面积为0.9544，曲边梯形EFGH 的面积为0.6826，其中A 、E 、F 、B 的横坐标分别为1、2、4、5，由曲线关于x ＝3对称，知曲边梯形FBCG 的面积为0.9544－0.68262＝0.1359.答案：D10．(2011·上海市吴淞中学期中测试)设随机变量ξ～N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实根的概率为12，则μ的值是( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：由题意得，Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，则P (ξ>4)＝12，故P (ξ>4)＝1－p (ξ≤4)＝1－φ(4－μσ)，∴φ(4－μσ＝12.又φ(0)＝12，∴μ＝4.故选C. 答案：C11．(2011·福建省三明中学月考试题)某年级200名学生的一次数学质量测验成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于70分的学生人数是( )A ．140B ．14C ．36D ．68解析：成绩不低于70分的学生人数是10×(0.036＋0.024＋0.010)×200＝140，故选A. 答案：A12．(2011·辽宁沈阳四校协作联合测试)已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ＝bx ＋a ，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ＝bx ＋a ”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：依题意，得y 1＝bx 1＋a ，y 2＝bx 2＋a ，…，y 10＝bx 10＋a .当x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010时，y 0＝(bx 1＋a )＋(bx 2＋a )＋…＋(bx 10＋a )10＝b ·x 1＋x 2＋…＋x 1010＋a ＝bx 0＋a ；反过来，当(x 0，y 0)满足线性回归方程y ＝bx ＋a 时，即y 0＝bx 0＋a ，不能得出x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010且y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010.综上所述，“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ＝bx ＋a ”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的必要不充分条件，选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上．) 13．(长沙市一中2011届高三月考试卷(六))若x 1，x 2，x 3，…，x 2009，x 2010的方差是2，则3(x 1－1)，3(x 2－1)，…，3(x 2009－1)，3(x 2010－1)的方差是____________．解析：由Dξ＝2，得D (3(ξ－1))＝32Dξ＝18. 答案：1814．(2011·湖北荆州质检Ⅱ)某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)有如下几组样本数据：据相关性，求得回归直线的斜率为0.7，那么这组数据的回归直线方程是________________________．解析：∵y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5.由y ＝0.7·x ＋b ，解得b ＝0.35.答案：y ＝0.7x ＋0.3515．(河北省保定市2011届高三年级第一次调研考试)根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 ml(不含80)之间，属于酒后驾车，暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80 mg/100 ml(含80)以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月22日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28000人，下图是对这28000人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为____________人．解析：由直方图知，血液酒精浓度在80～90 mg/100 ml 内的频率是0.1，血液酒精浓度在90～100 mg/100 ml 内的频率是0.05，所以属于醉酒驾车的人数是(0.1＋0.05)×28000＝4200.答案：420016．(2011·湖北八校第二次联考)某校在2010年的“八校第一次联考”中有1000人参加考试，数学考试的成绩ξ～N (90，a 2)(a >0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有____________人．解析：由正态分布图象可知：由P (70≤ξ≤110)＝35，则有P (90≤ξ≤110)＝310.由P (ξ≥90)＝12，故P (ξ≥110)＝12－310＝15. 故学生人数为1000×15＝200人．答案：200三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．) 17．(本小题满分10分)(广西百所重点中学2011届高三阶段性检测)袋中有同样的球5个，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数．(1)求随机变量ξ的概率分列布； (2)求随机变量ξ的数学期望与方差．解析：(1)随机变量ξ的可能取值为2,3,4.P (ξ＝2)＝C 21C 31C 21C 51C 41＝35，P (ξ＝3)＝A 22C 31＋A 32C 21C 51C 41C 31＝310，P (ξ＝4)＝A 33C 21C 51C 41C 31C 21＝110. 则随机变量ξ的概率分布列为：(2)随机变量ξ的数学期望Eξ＝2×35＋3×310＋4×110＝52.随机变量ξ的方差Dξ＝(2－52)2×35＋(3－52)2×310＋(4－52)2×110＝920. 18．(本小题满分12分)(四川省成都市2011届高三四校第一次联考)家电下乡活动中，某商店的促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，若中奖，该商店返还顾客现金200元，某顾客购买了一价格为3400元的家电，得到3张奖券．(1)求商店恰好返还顾客现金200元的概率；(2)设该顾客有ξ张奖券中奖，求ξ的分布列和数学期望．解析：(1)商店恰好返还顾客现金200元，即该顾客的3张奖券中有且只有一张中奖，记该事件为A ，则P (A )＝C 31×(15)×(1－15)2＝48125.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且 P (ξ＝0)＝(1－15)3＝64125，P (ξ＝1)＝C 31×(15)×(1－15)2＝48125，P (ξ＝2)＝C 32×(15)2×(1－15)＝12125，P (ξ＝3)＝C 33×(15)3＝1125.所以ξ的分布列为数学期望Eξ＝0×125＋1×125＋2×125＋3×125＝5.19．(本小题满分12分)(成都市2011届高中毕业班第一次诊断性检测)第十一届西博会于2010年10月22日至26日在成都举行，本届西博会以“绿色改变生活，技术引领发展”为主题．如此重要的国际盛会，自然少不了志愿者这支重要力量，“志愿者，西博会最亮丽的风景线”，通过他们的努力和付出，已把志愿者服务精神的种子播撒到人们心中. 某大学对参加了本次西博会的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45、23、23，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率； (2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.解析：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“志愿者甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E ，事件A 、B 、C 相互独立，事件A ·B ·C 与事件E 是对立事件．P (E )＝1－P (A ·B ·C )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－15×13×13＝4445(2)由题意知，ξ的可能取值为32、2、52、3，∴P (ξ＝32＝P (A ·B ·C )＝145，P (ξ＝2)＝P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＝845，P (ξ＝52)＝P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＝2045，P (ξ＝3)＝P (A ·B ·C )＝1645，∴ξ的分布列为∴Eξ＝32×145＋2×845＋2×45＋3×45＝30.20．(本小题满分12分)(河南省卫辉市高级中学2011届第四次月考试题)某单位有三辆汽车参加某种事故保险，年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿(假设每辆车每年最多只赔偿一次)，设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19、110、111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率；(2)获赔金额ξ的分布列与期望．解析：设A k 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，k ＝1,2,3.由题意知A 1、A 2、A 3相互独立，且P (A 1)＝19P (A 2)＝110，P (A 3)＝111.(1)该单位一年内获赔的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝1－89×910×1011＝311.(2)ξ的所有可能值为0,9000,18000,27000.P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝89×910×1011＝811，P (ξ＝9000)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝19×910×1011＋89×110×1011＋89×910×111＝1145， P (ξ＝18000)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (ξ＝27000)＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝19×110×111＝1990.综上知，ξ的分布列为由ξ的分布列得Eξ＝0×811＋9000×1145＋18000×3110＋27000×1990＝2990011≈2718.18(元)．21．(本小题满分12分)(2011·云南省昆明市月考试题)某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)．现用分层抽样方法(按A 类、B 类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人； (2)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1：表2：程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解析：(1)甲、乙被抽到的概率均为110，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为P ＝110×110＝1100.(2)①由题意知A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名．故4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5， 6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15. 频率分布直方图如下：从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小． ②x A ＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123， x B ＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8， x ＝25100×123＋75100×133.8＝131.1. A 类工人生产能力的平均数、B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123、133.8和131.1.22．(本小题满分12分)(2011·山东省霍州一中期中测试)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N (70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名．(1)试问此次参赛的学生总数约为多少人？(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(x 0)＝P (x ＜x 0)因为ξ～N (70,100)，由条件知，P (ξ≥90)＝1－P (ξ＜90)＝1－F (90)＝1－Φ(90－7010)＝1－Φ(2)＝1－0.9772＝0.0228.这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%. 因此，参赛总人数约为120.0228≈526(人)．(2)假定设奖的分数线为x 分，则P (ξ≥x )＝1－P (ξ＜x )＝1－F (x )＝1－Φ(x －7010)＝50526＝0.0951.即Φ(x －7010)＝0.9049，查表得x －7010＝1.31，解得x ＝83.1.故设奖的分数线约为83分．。

湖南省长沙市一中2011届高三第七次月考【文数】

湖南省长沙市一中2011届高三第七次月考(文数)数学(文科)长沙市一中高三文科数学备课组组稿 (考试范围：高考文科内容(不含优选法应用))本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z ＝11＋2i(i 为虚数单位)所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12，m ＝sin20°，则下列关系中正确的是( ) A.m ⊆A B.m ∉A C.{}m ∈A D. {}A m ⊂≠3.设命题p ：∀x ∈R ，|x |≥x ；q ：∃x ∈R ，1x＝0.则下列判断正确的是( )A.p 假q 真B.p 真q 假C.p 真q 真D.p 假q 假4.下列函数中，既是周期为π的周期函数又是偶函数的是( ) A.y ＝10x B.y ＝tan x C.y ＝sin2x D.y ＝|cosx|5.某公司2005～2010年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计A.利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系B.利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系C.利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系D.利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系6.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b>0)的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝3相切，则双曲线的离心率为( )A.62B. 3C.2 3D.6 7.设函数()221log ()x f x a x+=-在区间()0，＋∞内有零点，则实数a 的取值范围是( )A.(0，＋∞)B.(－∞，1]C.[1，＋∞)D.[2，＋∞)8.定义{},,min ,,.b a b a b a a b ≥⎧=⎨<⎩设实数x ，y 满足约束条件2211x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则{}m i n 2,-z x y x y =+的取值范围为( )A.[－2，12]B.[－52，－12]C.[－2,3]D.[－3，32]二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.在极坐标系中，A (1，π6)、B (2，π2)两点的距离为 .10.设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则||3a ＋b 等于 .11.一空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是 cm 3.12.若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和.且S 11＝22π3，则tan a 6的值为 .13.直线l ：x －y ＝0与椭圆x22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积最大值为 .14.直线l ：x －3y ＝0与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ϕ=ϕ+=sin 2cos 2:y a x C (φ为参数，a >0)有两个公共点A ，B ，且||AB ＝2，则实数a 的值为；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 .15.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：设f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点()x 0，f (x 0)为函数y ＝f (x )的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现，求：(1)函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为；(2)若函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则g (12011)＋g (22011)＋g (32011)＋g (42011)＋…＋g (20102011)＝ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos(x －π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0).(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间.如图：在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.D；(1)求证：BC⊥A(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.18.(本小题满分12分)某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-=c x c x x p ,320,61，(c 为常数，且0<c <6).已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.(1)将日盈利额y (万元)表示为日产量(万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)20.(本小题满分13分)已知f (x )＝m x (m 为常数，m >0且m ≠1).设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )…(n ∈N )是首项为m 2，公比为m 的等比数列. (1)求证：数列{a n }是等差数列； (2)若b n ＝a n ·f (a n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；(3)若c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由.已知动圆G 过点F (32，0)，且与直线l ：x ＝－32相切，动圆圆心G 的轨迹为曲线E .曲线E上的两个动点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2).(1)求曲线E 的方程；(2)已知OA ·OB ＝－9(O 为坐标原点)，探究直线AB 是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由.(3)已知线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，其中x 1≠x 2且x 1＋x 2＝4.求△ABC 面积的最大值.数学(文科)教师用卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z ＝11＋2i(i 为虚数单位)所对应的点在(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12，m ＝sin20°，则下列关系中正确的是(D) A.m ⊆A B.m ∉A C.{}m ∈A D. {}A m ⊂≠3.设命题p ：∀x ∈R ，|x |≥x ；q ：∃x ∈R ，1x＝0.则下列判断正确的是(B)A.p 假q 真B.p 真q 假C.p 真q 真D.p 假q 假4.下列函数中，既是周期为π的周期函数又是偶函数的是(D) A.y ＝10x B.y ＝tan x C.y ＝sin2x D.y ＝|cosx|5.某公司2005～2010年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计81 A.利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系 B.利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系 C.利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系 D.利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系6.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b>0)的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝3相切，则双曲线的离心率为(A)A.62B. 3C.2 3D.6 7.设函数()221log ()x f x a x+=-在区间()0，＋∞内有零点，则实数a 的取值范围是(C)[来源:学科网]A.(0，＋∞)B.(－∞，1]C.[1，＋∞)D.[2，＋∞)8.定义{},,min ,,.b a b a b a a b ≥⎧=⎨<⎩设实数x ，y 满足约束条件2211x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则{}m i n 2,-z x y x y =+的取值范围为(D)A.[－2，12]B.[－52，－12]C.[－2,3]D.[－3，32]选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.在极坐标系中，A (1，π6)、B (2，π2).10.设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则||3a ＋b 等于5.11.一空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是4πcm 3.12.若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和.且S 11＝22π3，则tan a 6的值为13.直线l ：x －y ＝0与椭圆x22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面14.直线l ：x －3y ＝0与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ϕ=ϕ+=sin 2cos 2:y a x C (φ为参数，a >0)有两个公共点A ，B ，且||AB ＝2，则实数a 的值为 2 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ρ2－4ρcos θ＋2＝0 .15.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：设f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点()x 0，f (x 0)为函数y ＝f (x )的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现，求：(1)函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为 (1,1) ；(2)若函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则g (12011)＋g (22011)＋g (32011)＋g (42011)＋…＋g (20102011)＝ 2010 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos(x －π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0).(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间.解：(1)∵函数f (x )＝a sin x ＋b cos(x －π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0).∴12102b a +=⎨⎪-=⎪⎩，(4分) 解得：a ＝3，b ＝－1.(5分)(2)由(1)知：f (x )＝3sin x －cos(x －π3)＝32sin x －12cos x ＝sin(x －π6).(9分)由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，解得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3k ∈Z .∵x ∈[0，π]，∴x ∈[0，2π3]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为[0，2π3].(12分)17.(本小题满分12分)如图：在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到A 1点，过点A 1作A 1O ⊥平面BCD ，垂足O 恰好落在CD 上.(1)求证：BC ⊥A 1D ；(2)求直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值.解：(1)因为A 1O ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥A 1O ，因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，∴BC ⊥面A 1CD . 因为A 1D ⊂面A 1CD ，∴BC ⊥A 1D .(6分)(2)连结BO ，则∠A 1BO 是直线A 1B 与平面BCD 所成的角.因为A 1D ⊥BC ，A 1D ⊥A 1B ，A 1B ∩BC ＝B ，∴A 1D ⊥面A 1BC .A 1C ⊂面A 1BC ，∴A 1D ⊥A 1C . 在Rt △DA 1C 中，A 1D ＝3，CD ＝5，∴A 1C ＝4.根据S △A 1CD ＝12A 1D ·A 1C ＝12A 1O ·CD ，得到A 1O ＝125，在Rt △A 1OB 中，sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝1255＝1225.所以直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值为1225.(12分)18.(本小题满分12分)某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，(2分)由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25，(4分)(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4；(6分)频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016.(8分)(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，(10分)其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝0.6.(12分)19.(本小题满分13分)工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-=c x c x x p ,320,61，(c 为常数，且0<c <6).已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.(1)将日盈利额y (万元)表示为日产量(万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)解：(1)当x >c 时，p ＝23，y ＝13·x ·3－23·x ·32＝0；(2分)当0<x ≤c 时，p ＝16－x，∴y ＝(1－16－x )·x ·3－16－x ·x ·32＝32·9x －2x26－x.(4分)∴日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为23(92)02(6)0 x x x c y x x c ⎧-<≤⎪=-⎨⎪>⎩.(5分)(2)由(1)知，当x >c 时，日盈利额为0. 当0<x ≤c 时，∵y ＝3(9x －2x 2)2(6－x )，∴y ′＝32·(9－4x )(6－x )＋(9x －2x 2)(6－x )2＝3(x －3)(x －9)(6－x )2，令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9(舍去).∴①当0<c <3时，∵y ′>0，∴y 在区间(0，c ]上单调递增，∴y 最大值＝f (c )＝3(9c －2c 2)2(6－c )，此时x ＝c ；②当3≤c <6时，在(0,3)上，y ′>0，在(3，c )上y ′<0， ∴y 在(0,3)上单调递增，在(3，c )上单调递减.∴y 最大值＝f (3)＝92.综上，若0<c <3，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大；若3≤c <6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.(13分) 20.(本小题满分13分)已知f (x )＝m x (m 为常数，m >0且m ≠1).设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )…(n ∈N )是首项为m 2，公比为m 的等比数列. (1)求证：数列{a n }是等差数列； (2)若b n ＝a n ·f (a n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；(3)若c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意f (a n )＝m 2·m n ＋1，即ma n ，＝m n ＋1. ∴a n ＝n ＋1，(2分) ∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列.(4分)(2)由题意b n ＝a n f (a n )＝(n ＋1)·m n ＋1，当m ＝2时，b n ＝(n ＋1)·2n ＋1∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n ＋1)·2n ＋1 ①(6分)①式两端同乘以2，得2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2 ② ②－①并整理，得S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－22(1－2n)1－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22＋22(1－2n )＋(n ＋1)·2n ＋2＝2n ＋2·n .(9分)(3)由题意c n ＝f (a n )·lg f (a n )＝m n ＋1·lg m n ＋1＝(n ＋1)·m n ＋1·lg m ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *成立，即(n ＋1)·m n ＋1·lg m <(n ＋2)·m n ＋2·lg m ，对一切n ∈N *成立，①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1<m (n ＋2)对一切n ∈N *恒成立；(11分)②当0<m <1时，lg m <0，所以等价使得n ＋1n ＋2>m 对一切n ∈N *成立，因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2的最小值为23，所以0<m <23.综上，当0<m <23或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项.(13分)21.(本小题满分13分)已知动圆G 过点F (32，0)，且与直线l ：x ＝－32相切，动圆圆心G 的轨迹为曲线E .曲线E上的两个动点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2).(1)求曲线E 的方程；(2)已知OA ·OB ＝－9(O 为坐标原点)，探究直线AB 是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由.(3)已知线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，其中x 1≠x 2且x 1＋x 2＝4.求△ABC 面积的最大值.解：(1)依题意，圆心G 到定点F (32，0)的距离与到直线l ：x ＝－32的距离相等，∴曲线E是以F (32，0)为焦点，直线l ：x ＝－32为准线的抛物线.∴曲线E 的方程为y 2＝6x .(3分)(2)当直线AB 不垂直x 轴时，设直线AB 方程为y ＝kx ＋b (k ≠0).由26y kx b y x=+⎧⎨=⎩消去x 得ky 2－6y ＋6b ＝0，Δ＝36－24kb >0. y 1y 2＝6b k ，x 1x 2＝y 216·y 226＝(y 1y 2)236＝b 2k2.OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝b 2k 2＋6bk＝－9，∴b 2＋6kb ＋9k 2＝0，(b ＋3k )2＝0，b ＝－3k ，满足Δ>0. ∴直线AB 方程为y ＝kx －3k ，即y ＝k (x －3)， ∴直线AB 恒过定点(3,0).(7分)当直线AB 垂直x 轴时，可推得直线AB 方程为x ＝3，也过点(3,0). 综上，直线AB 恒过定点(3,0).(8分) (3)设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝2，y 0＝y 1＋y 22，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2y 216－y 226＝6y 1＋y 2＝3y 0.∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －y 0＝－y 03(x －2).令y ＝0，得x ＝5，故C (5,0)为定点.又直线AB 的方程为y －y 0＝3y 0(x －2)，与y 2＝6x 联立，消去x 得y 2－2y 0y ＋2y 20－12＝0. 由韦达定理得y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝2y 20－12.∴|AB |＝1＋1k 2AB ·|y 1－y 2|＝(1＋y 209)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(1＋y 209)[4y 20－4(2y 20－12)]＝23(9＋y 20)(12－y 20). 又点C 到直线AB 的距离为h ＝|CM |＝9＋y 20，∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝13(9＋y 20)2(12－y 20) 令t ＝9＋y 20(t >9)，则12－y 20＝21－t .设f (t )＝(9＋y 20)2(12－y 20)＝t 2(21－t )＝－t 3＋21t 2，则f ′(t )＝－3t 2＋42t ＝－3t (t －14).当9<t <14时，f ′(t )>0；当t >14时，f ′(t )<0.∴f (t )在(9,14)上单调递增，在(14，＋∞)上单调递减.∴当t ＝14时，[f (t )]max ＝142×7.故△ABC 面积的最大值为1437.(13分) 注：第(3)问也可由AB 直线方程y ＝kx ＋b 及x 1＋x 2＝4，推出b ＝3k－2k ，然后转化为求关于k 的函数的最值问题.。

湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期11月月考英语试题(含答案)

长沙市一中2025届高三月考试卷(三)英语时量：120分钟满分：150分第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题;每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirtA. 19.15.B. 9.18.C. 9.15.答案是C。

1. What is the woman concerned aboutA. Getting punished.B. Causing an accident.C. Walking a long distance.2. What is the boy doingA. Having dinner.B. Playing games.C. Doing his homework.3. What is the probable relationship between the speakersA. Friends.B. Strangers.C. Boss and employee.4. When will the woman visit LeonA. This Tuesday.B. This Thursday.C. This Friday.5. What did the woman speaker plan to doA. Do some fitness training.B. Meet friends.C. Attend a show.第二节(共15小题;每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟;听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

湖南省长沙市一中2011届高三第一次月考(数学理)答案

炎德㊃英才大联考理科数学(一中版)-1 炎德·英才大联考长沙市一中2011届高三月考试卷(一)(一中版)理科数学参考答案一㊁选择题题号12345678答案A C D A D B C B 二㊁填空题9.-8 10.(-1,1) 11.x 2=2.764或x 2=3.236(只要写对其中一个给全分) 12.4 13.(-∞,5]14.102 15.1 三㊁解答题16.解:p :∵f (x )=2|x -a |在区间(4,+∞)上递增,∴u =|x -a |在(4,+∞)上递增,故a ≤4.(3分)………………………………………………………………q :由l o g a 2<1=l o g a a ⇒0<a <1或a >2.(6分)………………………………………………………………如果 ⌝p ”为真命题,则p 为假命题,即a >4.(8分)…………………………………………………………又因为p 或q 为真,则q 为真即0<a <1或a >2.由0<a <1或a >2a >{4可得实数a 的取值范围是a >4.(12分)…………………………………………………17.解:(1)f (x )=x 2-x -3,因为x 0为不动点,所以f (x 0)=x 20-x 0-3=x 0,解得x 0=-1或x 0=3,-1和3是函数的两个不动点.(4分)………………………………………………(2)因为函数f (x )恒有两个相异的不动点,所以方程f (x )=a x 2+(b +1)x +(b -1)=x ,也就是a x 2+b x +(b -1)=0对任何实数b 恒有两个不相等的实数根,即b 2-4a (b -1)>0对任意的b ∈R 恒成立.(8分)……………………………………………………………这个不等式可化为b 2-4a b +4a >0,所以(4a )2-16a <0,解得0<a <1.(12分)……………………………………………………………………18.解:(1)圆锥曲线x =2c o s θy =3s i n {θ化为普通方程是x 24+y 23=1,所以F 1(-1,0),F 2(1,0),(2分)…………………………………………………………………………………则直线A F 2的斜率k =0-31-0=-3,于是经过点F 1垂直于直线A F 2的直线l 的斜率k '=33,直线l 的倾斜角是30°,(5分)…………………………………………………………………………………………………所以直线l 的参数方程是x =-1+t c o s 30°y =0+t {s i n 30°(t 为参数),即x =32t -1y =12ìîíïïïït (t 为参数).(7分)…………………………………………………………………………………炎德㊃英才大联考理科数学(一中版)-2(2)解法一:直线A F 2的斜率k =0-31-0=-3,倾斜角是120°,(8分)………………………………………设P (ρ,θ)是直线A F 2上任意一点,则ρs i n 120°=1s i n (120°-θ),即ρs i n (120°-θ)=s i n 120°,即ρs i n θ+3ρc o s θ=3.(12分)………………………………………………………………………………………………………解法二:直线A F 2的直角坐标方程是y =-3(x -1),(9分)…………………………………………………将x =ρc o s θy =ρs i n {θ代入得直线A F 2的极坐标方程是ρs i n θ=-3ρc o s θ+3,即ρs i n θ+3ρc o s θ=3.(12分)…………………………………………………………………………………19.解:(1)∵四边形A B C D 是梯形,A D ∥B C ,∴△AMD ∽△C M B ,∴S △A M D S △C M B =(A D B C )2=14.∵种满△AMD 地带花费160元,∴S △A M D =1608=20(m 2),(4分)……………………………………………∴S △C M B =80m 2,∴种满△B M C 地带的花费为80×8=640(元).(6分)……………………………………(2)设△AMD ,△B M C 的高分别为h 1,h 2,梯形A B C D 的高为h .∵S △A M D =12×10h 1=20,∴h 1=4(m ).又∵h 1h 2=12,∴h 2=8(m ),h =h 1+h 2=12(m ),(9分)…………………………………………………………∴S 梯形A B C D =12(A D +B C )h =12×30×12=180(m 2),∴S △A M B +S △D M C =180-20-80=80(m 2).又∵160+640+80×10=1600(元),∴应选择种植茉莉花可刚好用完所筹集的资金.(13分)………………………………………………………20.解:(1)∵f (x )的定义域为{x |x >0}不关于原点对称,∴f (x )为非奇非偶函数,(2分)…………………………………………………………………………………而g t (x )的定义域为R ,且g t (-x )=(1+t )(-x )-e t ≠±g t (x ),∴g t (x )也为非奇非偶函数.(4分)………………………………………………………………………………(2)函数y =f (x )-g 2(x )=x l n x -3x +e 2的定义域为(0,+∞),y'=l n x -2.由y '>0得x >e2,由y '<0得0<x <e 2,故y =f (x )-g 2(x )的单调递增区间为(e 2,+∞);单调递减区间为(0,e 2).(8分)…………………………(3)解法一:令h (x )=f (x )-g t (x )=x l n x -(1+t )x +e t ,(10分)……………………………………………则h '(x )=l n x -t .由h '(x )=0,得x =e t ,当x >e t 时,h '(x )>0;当0<x <e t 时,h '(x )<0,∴h (x )在(0,e t )上单调递减,在(e t ,+∞)上单调递增,∴h (x )在(0,+∞)上有唯一极小值h (e t ),也是它的最小值,而h (x )在(0,+∞)上的最小值h (e t )=0,∴h (x )≥0,即f (x )≥g t (x ).(13分)……………………………………………………………………………解法二:对任意x >0,令h (t )=f (x )-g t (x )=x l n x -(1+t )x +e t ,则h '(t )=-x +e t .由h '(t )=0,得t =l n x ,当t >l n x 时,e t >e l n x =x ,e t -x >0,∴h '(t )>0;当t <l n x 时,h '(t )<0,∴l n x 为h (t )的唯一极小值点,h (t )≥h (l n x )=x l n x -x -x l n x +e l n x =0,炎德㊃英才大联考理科数学(一中版)-3 ∴x l n x ≥(1+t )x -e t ,即f (x )≥g t (x ).(13分)………………………………………………………………21.解:(1)∵f (x )=l n x +92(x +1)(x >0),∴f '(x )=1x -92(x +1)2=2x 2-5x +22x (x +1)2,(2分)…………………………………………………………………故当12<x <2时,f '(x )<0,即f (x )单调递减,从而x ∈[1,2)时,f (x )单调递减.当0<x ≤12或x ≥2时,f '(x )≥0,即f (x )单调递增,从而x ∈[2,e ]时,f (x )单调递增.(4分)……………故f m i n (x )=f (2)=l n 2+32.又f (1)=94>f (e )=1+92(e +1),故f m a x (x )=f (1)=94.(6分)……………………………………………………………………………………(2)由g (x 2)-g (x 1)x 2-x 1<-1可知g (x 2)+x 2-[g (x 1)+x 1]x 2-x 1<0,所以可设ω(x )=g (x )+x =|l n x |+x +a x +1(a >0,x ∈(0,2]),(8分)………………………………………故由题设可知ω(x )在x ∈(0,2]上为减函数.∵ω'(x )=1x +1-a (x +1)2,1≤x ≤2-1x +1-a (x +1)2,0<x <ìîíïïïï1,(10分)………………………………………………………………而由1x +1-a (x +1)2<0(1≤x ≤2)可得a >x 2+3x +3+1x (1≤x ≤2),而y =x 2+3x +3+1x 在x ∈[1,2]上是增函数,∴a >272.显然当a >272且0<x <1时,-1x +1-a (x +1)2<0,所以a 的取值范围是(272,+∞).(13分)………………………………………………………………………。

湖南省10-11长沙市第一中学高三数学第五次月考理【会员独享】

炎德·英才大联考某某市一中2011届高三月考试卷(五)数学(理科)命题人：蒋楚辉审题人：胡雪文时量：120分钟满分：150分(考试X 围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是()A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为() A.1B.16C.81D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为()A.15B.20C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋ax ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是()A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为()A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)， A.25B.45C.35D. 5x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值X 围是()A.(0,1)B.(－1,0)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为()A.16B.320C.11120D.215二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是. 10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值X 围是.12.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝.13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值X 围是.14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为；若a ＝3，则△ABC 的面积为. 15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相等，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1)？请说明理由.19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.20.(本小题满分13分)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{a n}满足：a1＝f(1)＋1，f(12a n＋1－12a n)＋f(12a n＋1＋12a n)＝0.设S n＝a21a22＋a22a23＋a23a24＋…＋a2n－1a2n＋a2n a2n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式，并求S n关于n的表达式；(2)设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{b n}满足：b2n＝g(12n)，T n为数列{b n}的前n项和，试比较4S n与T n的大小.21.(本小题满分13分)定义F(x，y)＝(1＋x)y，其中x，y∈(0，＋∞).(1)令函数f(x)＝F(1，log2(x3＋ax2＋bx＋1))，其图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C 在x0(－4<x0<－1)处有斜率为－8的切线，某某数a的取值X围；(2)令函数g(x)＝F(1，log2[(ln x－1)e x＋x])，是否存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x，y∈N，且x<y时，求证：F(x，y)>F(y，x).数学(理科)教师用卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是(A)A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为(C) A.1B.16C.81D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为(D)A.15B.20C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋ax ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是(C)A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为(B)A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)， A.25B.45C.35D. 5解：∵1<log 45<2，∴f (log 45)＝f (log 45＋2)＝f (log 480)＝2log 480＝4 5.x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值X 围是(C) A.(0,1)B.(－1,0)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)解：约束条件对应的平面区域如下图，而直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于点A (1,3)，此时取最大值，故a >1.8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为(D)A.16B.320C.11120D.215解：当十位与千位是4或5时，共有波浪数为A 22A 33＝12个.当千位是5，十位是3时，万位只能是4，此时共有2个波浪数.当千位是3，十位是5时，末位只能是4.此时共有2个波浪数.故所求概率P ＝12＋2＋2A 55＝215.选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACDCBBCD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是f(x)＝x 12.10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是1个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值X 围是(28,57] .解：当输出k ＝2时，应满足 2x+1≤115，解得28<x ≤57. 2(2x+1)+1>11512.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝－1.解：由已知a 1＝2，a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，可知{a n }是周期为3的周期数列，则a 12＝a 3×4＝a 3＝－1. 13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值X 围是 [0,4] .解：|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )及a ≠0得f (x )≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，而|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则f (x )≤2，从而|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为π6；若a ＝3，则△ABC 的面积为934. 解：由a MA ＋b MB ＋33c MC ＝a MA ＋b MB ＋33c (－MA －MB )＝(a －33c )MA ＋(b －33c )MB ＝0. 又MA 与MB 不共线，则a ＝33c ＝b ，由余弦定理可求得cos A ＝32，故A ＝π6. 又S △＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934.15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝5；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为2m －3.解：①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L (A )＝5.②不妨设数列{a n }是递增等差数列可知a 1<a 2<a 3<…<a m ，则a 1＋a 2<a 1＋a 3<…<a 1＋a m <a 2＋a m <…<a m －1＋a m ，故a i ＋a j (1≤i <j ≤m )中至少有2m －3个不同的数.又据等差数列的性质：当i ＋j ≤m 时，a i ＋a j ＝a 1＋a i ＋j －1；当i ＋j >m 时，a i ＋a j ＝a i ＋j －m ＋a m ，因此每个和a i ＋a j (1≤i <j ≤m )等于a 1＋a k (2≤k ≤m )中一个，或者等于a l ＋a m (2≤l ≤m －1)中的一个.故L (A )＝2m －3.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.解：(1)每次取到一只次品的概率P 1＝C 13C 112＝14，则有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率P ＝C 23(14)2·(1－14)＝964.(5分) (2)依题知X 的可能取值为0、1、2、3.(6分) 且P(X ＝0)＝912＝34，P(X ＝1)＝312×911＝944，P(X ＝2)＝312×211×910＝9220，P(X ＝3)＝312×211×110×99＝1220.(8分)则X 的分布列如下表：(10分)EX ＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.(12分)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.解：(1)∵f(x)＝2sin ωx(cos ωx·cos π6－sin ωx·sin π6)＋12(2分)＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋12＝32sin 2ωx －12(1－cos 2ωx)＋12＝sin (2ωx ＋π6).(5分) 又f(x)的最小正周期T ＝2π2ω＝4π，则ω＝14.(6分)(2)由2b cos A ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理可得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin (A ＋C).又A ＋B ＋C ＝π，则2sin B cos A ＝sin B.(8分)而sin B≠0，则cos A ＝12.又A ∈(0，π)，故A ＝π3.(10分)由(1)f(x)＝sin (x 2＋π6)，从而f(A)＝sin (π3×12＋π6)＝sin π3＝32.(12分)18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相等，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1)？请说明理由.解：(1)已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *).① n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n ∈N *).②①－②得2n －1a n ＝8，解得a n ＝24－n ，在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1，所以a n ＝24－n (n ∈N *).(4分)由题意b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2，所以b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2， ∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6， b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *).(8分)(2)b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k 单调递增，且f (4)＝1，所以k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1.又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，所以，不存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1).(12分) 19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x 元(7≤x ≤10)时，一年的产量为(11－x )2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a ≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L (x )与出厂价x 的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.解：(1)依题意，L (x )＝(x －3)(11－x )2－a (11－x )2＝(x －3－a )(11－x )2，x ∈[7,10].(4分)(2)因为L ′(x )＝(11－x )2－2(x －3－a )(11－x )＝(11－x )(11－x －2x ＋6＋2a )＝(11－x )(17＋2a －3x ).由L ′(x )＝0，得x ＝11[7,10]或x ＝17＋2a 3.(6分) 因为1≤a ≤3，所以193≤17＋2a 3≤233. ①当193≤17＋2a 3≤7，即1≤a ≤2时，L ′(x )在[7,10]上恒为负，则L (x )在[7,10]上为减函数，所以[L (x )]max ＝L (7)＝16(4－a ).(9分)②当7<17＋2a 3≤233，即2<a ≤3时，[L (x )]max ＝L (17＋2a 3)＝427(8－a )3.(12分) 即当1≤a ≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a )万元.当2<a ≤3时，则每件产品出厂价为17＋2a 3元时，年利润最大，为427(8－a )3万元.(13分) 20.(本小题满分13分)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x ，y ∈(0，＋∞)都有：f (xy )＝f (x )＋f (y )成立，数列{a n }满足：a 1＝f (1)＋1，f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n)＝0.设S n ＝a 21a 22＋a 22a 23＋a 23a 24＋…＋a 2n －1a 2n ＋a 2n a 2n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式，并求S n 关于n 的表达式；(2)设函数g (x )对任意x 、y 都有：g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，若g (1)＝1，正项数列{b n }满足：b 2n ＝g (12n )，T n 为数列{b n }的前n 项和，试比较4S n 与T n 的大小. 解：(1)当x ，y ∈(0，＋∞)时，有f (xy )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝1得f (1)＝2f (1)，得f (1)＝0，所以a 1＝f (1)＋1＝1.(1分)因为f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n )＝0，所以f (14a 2n ＋1－14a 2n)＝0＝f (1). 又因为y ＝f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以14a 2n ＋1－14a 2n ＝1，即1a 2n ＋1－1a 2n＝4，(3分) 所以数列{1a 2n }是以1为首项，4为公差的等差数列，所以1a 2n＝4n －3，所以a n ＝14n －3. ∵a 2n a 2n ＋1＝1(4n －3)(4n ＋1)＝14[14n －3－14n ＋1]，∴S n ＝14[11－15＋15－19＋…＋14n －3－14n ＋1]＝14[1－14n ＋1].(5分) (2)由于任意x ，y ∈R 都有g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，则g (2x )＝2g (x )＋2x 2，∴g (1)＝2g (12)＋2·(12)2＝2[2g (14)＋2·(14)2]＋12＝22g (14)＋122＋12＝22[2g (123)＋2·(123)2]＋122＋12＝23g (123)＋123＋122＋12＝…＝2n g (12n )＋12n ＋12n －1＋12n －2＋…＋122＋12＝1， ∴g (12n )＝122n ，即b 2n ＝122n . 又b n >0，∴b n ＝12n ，(9分) ∴T n ＝12＋122＋…＋12n ＝1－12n ，又4S n ＝1－14n ＋1. 当n ＝1,2,3,4时，4n ＋1>2n ，∴4S n >T n ；(10分)当n ≥5时，2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n >1＋2n ＋2n (n －1)2＝1＋n 2＋n . 而n 2＋n ＋1－(4n ＋1)＝n 2－3n ＝n (n －3)>0，故4S n <T n .(13分)(用数学归纳法证明参照计分)21.(本小题满分13分)定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，其中x ，y ∈(0，＋∞).(1)令函数f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))，其图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，某某数a 的取值X 围；(2)令函数g (x )＝F (1，log 2[(ln x －1)e x ＋x ])，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x ，y ∈N ，且x <y 时，求证：F (x ，y )>F (y ，x ).解：(1)f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，设曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，又由题设知log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1)>0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，3x 20+2ax 0+b=-8 ①∴存在实数b 使得 -4<x 0<-1 ②有解，(3分)x 30+ax 20+bx 0>0 ③由①得b ＝－8－3x 20－2ax 0，代入③得－2x 20－ax 0－8<0，∴由 2x 20+ax 0+8>0 有解，-4<x 0<-1得2×(－4)2＋a ×(－4)＋8>0或2×(－1)2＋a ×(－1)＋8>0， ∴a <10或a <10，∴a <10.(5分)(2)∵g (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，∴g ′(x )＝(ln x －1)′e x ＋(ln x －1)(e x)′＋1＝e x x ＋(ln x －1)e x ＋1＝(1x ＋ln x －1)e x ＋1.(6分) 设h (x )＝1x ＋ln x －1.则h ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0.h (x )为增函数，因此h (x )在区间[1，e]上的最小值为ln1＝0，即1x＋ln x －1≥0. 当x 0∈[1，e]时，e x 0>0，1x 0＋ln x 0－1≥0， ∴g ′(x 0)＝(1x 0＋ln x 0－1)e x 0＋1≥1>0.(8分) 曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解. 而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解.故不存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直.(9分)(3)证明：令h (x )＝ln(1＋x )x ，x ≥1，由h ′(x )＝x 1＋x －ln(1＋x )x 2，又令p (x )＝x 1＋x－ln(1＋x )，x ≥0， ∴p ′(x )＝1(1＋x )2－11＋x ＝－x (1＋x )2≤0， ∴p (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴当x >0时，有p (x )ln(1＋y )y， ∴y ln(1＋x )>x ln(1＋y )，∴(1＋x )y >(1＋y )x ，∴当x ，y ∈N ，且x <y 时，F (x ，y )>F (y ，x ).(13分)。

湖南省长沙市第一中学2010-2011学年高三12月考试卷(文)

湖南省长沙市第一中学2010-2011学年高三12月考数学（文）命题人：王辉审题人：陈震(考试范围：集合、逻辑用语、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、不等式、概率统计、立体几何)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知命题p ：“ x ∈R ，x 2＋1>0”；命题q ：“ x ∈R ，sin x ＝2”则下列判断正确的是 ( )A.p 或q 为真，非p 为真B. p 或q 为真，非p 为假C.p 且q 为真，非p 为真D.p 且q 为真，非p 为假 2.要得到一个奇函数，只需将函数f (x )＝sin(x －π3)的图象 ( )A.向右平移π6个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移π6个单位D.向左平移π3个单位3.函数f (x )＝2x －3x的零点所在区间为 ( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列判断正确的是 ( )A. x 甲>x 乙，且乙比甲成绩稳定B. x 甲>x 乙，且甲比乙成绩稳定C.x 甲<x 乙，且乙比甲成绩稳定D.x 甲<x 乙，且甲比乙成绩稳定5.如右图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 ( ) A.36 B.43 C.433 D.836.设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，则以下判断不正确．．．的是 ( ) A.若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βB.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC.若α⊥β，α∩β＝n ，m α，m ⊥n ，则m ⊥βD.若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥β7.下列图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13B.－13C.53D.－538.已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.32 B.53 C.256D.不存在选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.函数y ＝2－x ＋log 3(1＋x)的定义域为 .10.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，则据此估计支出在[50,60)元的同学的概率为.11.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B ＝π3，a ＝3，c ＝2，则△ABC 的面积为______.12.若向量a 、b 满足a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，则向量a 与b 的夹角等于 .13.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，异面直线BD 与B ′C 所成角为；直线A ′C 与平面ABCD 所成角的正弦值为 .x-y ≥014.满足约束条件 x+y ≤2 的点P (x ，y )所在区域的面积等于 .x+2y ≥215.若函数y ＝f (x )(x ∈D )同时满足下列条件：(1)f (x )在D 内为单调函数；(2)f (x )的值域为D 的子集，则称此函数为D 内的“保值函数”.已知函数f (x )＝a x ＋b －3ln a，g (x )＝ax 2＋b .①当a ＝2时，f (x )＝a x ＋b －3ln a 是[0，＋∞)内的“保值函数”，则b 的最小值为；②当－1≤a ≤1，且a ≠0，－1≤b ≤1时，g (x )＝ax 2＋b 是[0,1]内的“保值函数”的概率为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)已知sin(π－α)＝45，α∈(0，π2).(1)求sin2α－cos 2α2的值；(2)求函数f (x )＝56cos αsin2x －12cos2x 的单调递增区间.17. (本小题满分12分)为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”， “街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)(1)求a ，b ，c 的值；(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD. (1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD.19. (本小题满分13分)某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋500(单位：万元).(1)求利润函数p (x )；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)在经济学中，定义函数f (x )的边际函数Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x ).求边际利润函数Mp (x )，并求Mp (x )单调递减时x 的取值范围；试说明Mp (x )单调递减在本题中的实际意义是什么？(参考公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3)20.(本小题满分13分)已知点列B 1(1，b 1)，B 2(2，b 2)，…，B n (n ，b n )，…(n ∈N )顺次为抛物线y ＝14x 2上的点，过点B n (n ，b n )作抛物线y ＝14x 2的切线交x 轴于点A n (a n,0)，点C n (c n,0)在x 轴上，且点A n ，B n ，C n 构成以点B n 为顶点的等腰三角形.(1)求数列{a n }，{c n }的通项公式；(2)是否存在n 使等腰三角形A n B n C n 为直角三角形，若有，请求出n ；若没有，请说明理由.(3)设数列{1a n ·(32＋c n )}的前n 项和为S n ，求证：23≤S n <43.21.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )，点A (s ，f (s ))，B (t ，f (t )).(1)若a ＝0，b ＝3，函数f (x )在(t ，t ＋3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t 的取值范围； (2)当a ＝0时，f (x )x ＋ln x ＋1≥0对任意的x ∈[12，＋∞)恒成立，求b 的取值范围；(3)若0<a 0”；命题q ：“ x ∈R ，sin x ＝2”则下列判断正确的是 (B)A.p 或q 为真，非p 为真B. p 或q 为真，非p 为假C.p 且q 为真，非p 为真D.p 且q 为真，非p 为假 2.要得到一个奇函数，只需将函数f (x )＝sin(x －π3)的图象(D)A.向右平移π6个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移π6个单位D.向左平移π3个单位3.函数f (x )＝2x －3x的零点所在区间为 (B)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列判断正确的是 (C)A. x 甲>x 乙，且乙比甲成绩稳定B. x 甲>x 乙，且甲比乙成绩稳定C.x 甲<x 乙，且乙比甲成绩稳定D.x 甲<x 乙，且甲比乙成绩稳定5.如右图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是(C) A.36B.4 3C.433D.836.设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，则以下判断不正确．．．的是 (D) A.若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β B.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n C.若α⊥β，α∩β＝n ，m α，m ⊥n ，则m ⊥βD.若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥β7.下列图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝(B)A.13B.－13C.53D.－538.已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为(A)A.32B.53C.256D.不存在选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.函数y ＝2－x ＋log 3(1＋x)的定义域为 (－1,2] .10.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，则据此估计支出在[50,60)元的同学的概率为 0.30.11.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B ＝π3，a ＝3，c ＝2，则△ABC 的面积为 32.12.若向量a 、b 满足a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，则向量a 与b 的夹角等于 135° . 13.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，异面直线BD 与B ′C 所成角为 π3 ；直线A ′C 与平面ABCD 所成角的正弦值为33.x-y ≥014.满足约束条件 x+y ≤2 的点P (x ，y )所在区域的面积等于 13.x+2y ≥215.若函数y ＝f (x )(x ∈D )同时满足下列条件：(1)f (x )在D 内为单调函数；(2)f (x )的值域为D 的子集，则称此函数为D 内的“保值函数”.已知函数f (x )＝a x ＋b －3ln a，g (x )＝ax 2＋b .①当a ＝2时，f (x )＝a x ＋b －3ln a是[0，＋∞)内的“保值函数”，则b 的最小值为 2 ；②当－1≤a ≤1，且a ≠0，－1≤b ≤1时，g (x )＝ax 2＋b 是[0,1]内的“保值函数”的概率为 14 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知sin(π－α)＝45，α∈(0，π2).(1)求sin2α－cos 2α2的值；(2)求函数f (x )＝56cos αsin2x －12cos2x 的单调递增区间.解：(1)∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45，又∵α∈(0，π2)，∴cos α＝35， (2分)∴sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425，(6分)(2)f (x )＝56×35sin2x －12cos2x ＝22sin(2x －π4)，(9分)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .(11分)∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π8，k π＋3π8]，k ∈Z .(12分)17. (本小题满分12分)为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”， “街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)(1)求a ，b ，c 的值；(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.解：(1)由表可知抽取比例为16，故a ＝4，b ＝24，c ＝2. (4分)(2)设“动漫”4人分别为：A 1，A 2，A 3，A 4；“话剧”2人分别为：B 1，B 2.则从中任选2人的所有基本事件为：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 3，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)， (B 1，B 2)共15个， (8分)其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)共8个， (10分)所以这2人分别来自这两个社团的概率P ＝815. (12分)18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD.(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD.解：(1)证明：连结AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点故在△CPA 中， EF//PA ， (3分) 且PA 平面PAD ，EF 平面PAD ，∴EF ∥平面PAD. (6分)(2)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，又CD ⊥AD ，所以，CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA ， (9分) 又PA ＝PD ＝22AD ，所以△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π2，即P A ⊥PD ， (11分)又CD ∩PD ＝D ， ∴P A ⊥平面PCD . (12分)19. (本小题满分13分)某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋500(单位：万元).(1)求利润函数p (x )；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)在经济学中，定义函数f (x )的边际函数Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x ).求边际利润函数Mp (x )，并求Mp (x )单调递减时x 的取值范围；试说明Mp (x )单调递减在本题中的实际意义是什么？(参考公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3)解：(1)p (x )＝R (x )－C (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3－460x －500 ＝－10x 3＋45x 2＋3240x －500，(x ∈N ，1≤x ≤20) (3分)(2)p ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x －12)(x ＋9)， (6分)∴当0<x <12时，p ′(x )＞0，当x ＜12时，p ′(x )＜0.∴x ＝12时，p (x )有最大值. 即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大. (8分) (3)∵Mp (x )＝p (x ＋1)－p (x )＝－10(x ＋1)3＋45(x ＋1)2＋3240(x ＋1)－500－(－10x 3＋45x 2＋3240x －500) ＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305，(x ∈N *,1≤x ≤19)所以，当x ≥1时，Mp (x )单调递减，x 的取值范围为[1,19]，且x ∈N . (11分) Mp (x )是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少.(13分)20.(本小题满分13分)已知点列B 1(1，b 1)，B 2(2，b 2)，…，B n (n ，b n )，…(n ∈N )顺次为抛物线y ＝14x 2上的点，过点B n (n ，b n )作抛物线y ＝14x 2的切线交x 轴于点A n (a n,0)，点C n (c n,0)在x 轴上，且点A n ，B n ，C n 构成以点B n 为顶点的等腰三角形.(1)求数列{a n }，{c n }的通项公式；(2)是否存在n 使等腰三角形A n B n C n 为直角三角形，若有，请求出n ；若没有，请说明理由.(3)设数列{1a n ·(32＋c n )}的前n 项和为S n ，求证：23≤S n <43.解：(1)∵y ＝14x 2，∴y ′＝x 2， y ′|x ＝n ＝n 2，则点B n (n ，b n )作抛物线y ＝14x 2的切线方程为：y －n 24＝n 2(x －n )，令y ＝0，则x ＝n 2，即a n ＝n2；(3分)∵点A n ，B n ，C n 构成以点B n 为顶点的等腰三角形，则：a n ＋c n ＝2n ，∴c n ＝2n －a n ＝3n2 (5分)(2)若等腰三角形A n B n C n 为直角三角形，则|A n C n |＝2b n n ＝n 22 n ＝2，∴存在n ＝ 2，使等腰三角形A 2B 2C 2为直角三角形 (9分)(3)∵1a n ·(32＋c n )＝1n 2(32＋3n 2)＝134n (n ＋1)＝43(1n －1n ＋1)(11分) ∴S n ＝43(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝43(1－1n ＋1)<43又1－1n ＋1随n 的增大而增大，∴当n ＝1时S n 的最小值为：43(1－11＋1)＝23，∴23≤S n <43(13分)21.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )，点A (s ，f (s ))，B (t ，f (t )).(1)若a ＝0，b ＝3，函数f (x )在(t ，t ＋3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t 的取值范围；(2)当a ＝0时，f (x )x ＋ln x ＋1≥0对任意的x ∈[12，＋∞)恒成立，求b 的取值范围；(3)若0<a 2，因而t 的取值范围是(－1,0). (4分)(2)当a ＝0时，f (x )x ＋ln x ＋1≥0即x 2－bx ＋ln x ＋1≥0可化为x ＋ln x x ＋1x ≥b ，记g (x )＝x ＋ln x x ＋1x (x ≥12)，则g ′(x )＝1＋1－ln x x 2－1x 2＝x 2－ln xx 2.(6分)记m (x )＝x 2－ln x ，则m ′(x )＝2x －1x ，∴m (x )在(12，22)上递减，在(22，＋∞)上递增.∴m (x )≥m (22)＝12－ln 22>0 从而g ′(x )>0，∴g (x )在[12，＋∞)上递增因此g (x )min ＝g (12)＝52－2ln2≥b ，故b ≤52－2ln2. (9分)(3)假设OA ⊥OB ，即OA ·OB ＝(s ，f (s ))·(t ，f (t ))＝st ＋f (s )f (t )＝0 故(s －a )(s －b )(t －a )(t －b )＝－1，[st －(s ＋t )a ＋a 2][st －(s ＋t )b ＋b 2]＝－1 由s ，t 为f ′(x )＝0的两根可得，s ＋t ＝23(a ＋b )，st ＝ab3，(0<a <b )从而有ab (a －b )2＝9 (11分) (a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ＝9ab＋4ab ≥236＝12即a ＋b ≥23，这与a ＋b <23矛盾.故直线OA 与直线OB 不可能垂直. (13分)。

2011年湖南省长沙市天心一中高三地理月考试卷

2011年湖南省长沙市天心一中高三地理月考试卷一、选择题：（60分）读“地球上极昼边界纬度随时间的移动路径图”，回答1～2题。

1．a是二分二至中的A．春分B．夏至C．秋分D．冬至2．b纬线的纬度是A．0°B．23°26′ C．66°34′ D．90°月球自转和公转的方向都是自西向东，自转周期和公转周期相等，约为27.32日。

下图为月球表面温度昼夜变化图，读图完成3～4题。

3.关于月球上昼夜交替的说法正确的是A.原因是月球不发光，不透明B.昼夜交替周期是24小时C.昼夜交替周期大约是阴历一个月D.昼夜交替周期是23时56分4秒4.与月球上昼夜温差大无关的因素是A.热容量较小B.自转周期长C.月球表面布满了大大小小的环形坑D.没有大气层北京时间2010年10月25日22时42分，印度尼西亚苏门答腊省明打威群岛附近海域发生里氏7.2级地震，并引发海啸。

10月26日晚8时左右，位于爪哇岛上的默拉皮火山开始喷发并且天空下起了“石头雨”。

结合右图回答5～7题。

5．关于此次地震和火山喷发成因的叙述及所处板块边界类型的说法正确的是A．印度洋板块和亚欧板块相互作用产生的，属生长边界B．印度洋板块和亚欧板块相互作用产生的，属消亡边界C．亚欧板块和太平洋板块相互作用产生的，属消亡边界D．印度洋板块和太平洋板块相互作用产生的，属消亡边界6．默拉皮火山喷发时下起了“石头雨”，关于此次“石头雨”主要成因的说法正确的是A．火山喷发，水汽从地球内部逸出，伴随火山灰凝结降雨B．受副热带高压影响，水汽下沉，火山灰作为凝结核，加速了降水的形成C．受赤道低压影响，空气对流旺盛，火山灰作为凝结核，加速了降水的形成D．火山灰使平流层凝结核增加，带来降水7．海啸的形成原理可概括为：“俯冲板块向上覆板块下方俯冲运动，上覆板块缓慢变形，不断积累弹性能量，最终达到极限，上覆板块弹起，形成巨大水柱，向两侧传播，形成海啸。

炎德英才大联考长沙市一中2011届高三月考试卷

炎德英才大联考长沙市一中2011届高三月考试卷（五）语文答案语文教师用卷一、语言文字运用(15分，每小题3分)1.C(A.揶yē—yé；B.椎zhuī—chuí；D.崴wēi—wǎi。

)2.C(A. 健盘－键盘；B. 动则－动辄；D. 一副－一幅。

)3.B(A.同室操戈：自家人动刀枪。

比喻兄弟自相残杀。

也泛指内部斗争。

同室：同住在一个房子里，这里指自家人。

操：拿。

B.一日千里：一天跑一千里。

也比喻进步、发展很快。

用在此处不合语境。

C.泥沙俱下：泥土和沙子一同随水冲了下来。

比喻人或事物好坏混杂在一起。

D.涉笔成趣：指一动笔就趣味盎然。

形容有很高的写作功力。

涉笔：指动笔写作或绘画。

趣：趣味。

)4.B(A.成分残缺，在“志愿时”之后加“(管理)制度”。

C.主宾搭配不当，“网易……是……人”错误。

D.主客颠倒，将“但远在八个时区之外的欧洲赛场对于中国球迷还是不折不扣的旁观者”改成“但对于远在八个时区之外的欧洲赛场，中国球迷还是不折不扣的旁观者”。

)5.C(第一步，确定首句。

比较⑥②两句，其中第⑥句中的“有兴趣”跟“国学热”在内容上紧密相联，故选⑥。

第二步，根据句子间的逻辑关系确定句序。

第⑥句中的“本是”与第③句的“但”构成转折关系；第③句中的“…轻浮‟的文化争论”与第⑤句中的“随便地进行批判”在内容上紧密相联；而第①句是通过打比方的方法对第⑤句的解说；第①句与第④句构成递进关系。

)二、文言文阅读(22分。

其中，选择题12分，每小题3分；翻译题10分)阅读下面的文言文，完成6～10题。

6.D(利：使……锋利/锋锐，形容词的使动用法。

)7. A(A.为，表判断，是；B.代词，它；动词，去，到；C.代词，什么；副词，多么；D.介词，到或在；表被动，为，被。

)8.C(吾因叹，以为金刚首五材，及为工人铸为器，复得首出利物。

以刚质铓利，苟暂不砥砺，尚与铁无以异，况质柔铓钝，而又不能砥砺，当化为粪土耳，又安得与死铁伦齿耶！)9.D(文中只是说，作者担心他们忘记。

长沙市一中2012届高三月考试卷(六)及答案

考试次数排名长沙市一中2012届高三月考试卷(六)数学(文科)分值:150分时量:120分钟考试日期:2012-4-21一、选择题:本大题共9个小题,每小题5分,共45分. 1.已知集合{|(2)0,}A x x x x R =->∈,集合{|B x y ==,则A B = ( )A ．{|2}x x >B ．{|02}x x <<C ．{|0}x x >D ．{|12}x x ≤< 2.已知b 是实数,i 是虚数单位.若复数(1)(2)bi i ++是实数,则b 等于( ) A ．12-B ．12C ．2-D ．23.已知数列{}n a 的通项7(1)212(2)n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩,则5S =( )A ．27-B ．15-C ．20-D ．904.在ABC ∆中,已知,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,且4,30a b A ==∠=,则B 等于( )A ．30B ．30 或150C ．60D ．60 或1205.如图,12,e e 为互相垂直的单位向量,向量a b -可表示为( )A ．213e e -B ． 1224e e --C ．123e e -D ．123e e -6.如图,是甲乙两同学高中以来十次考试成绩在班上排名情况,则甲乙两同学这十次的平均排名和排名的标准差,s s 乙甲的大小关系应为( )A ．,x x s s =<甲乙乙甲B ．,x x s s =>甲乙乙甲C ．,x x s s ><甲乙乙甲D ．,x x s s >>甲乙乙甲7.函数()f x 的部分图象如图右,则()f x 的解析式可能是( )A ．()sin f x x x =+B ．cos ()xf x x=C ．()cos f x x x =D ．3()()()22f x x x x ππ=--8.如图,四棱锥P ABC D -的体积为2的正方形,P O ⊥底面ABC D ,E 为侧棱P C 中点,则PA 与BE 所成的角为( )A ．π B ．π C ．π D ．π(二)必做题(12〜16题)12.若向量,a b 满足||1,||2==a b ,且a 与b 的夹角为3π,则||+=b a .13.已知点(,)x y 满足00,1x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则u y x =-的取值范围是 .14.如图,正方体1111ABCD A B C D -,点P 是上底面1111A B C D 内一动点,则三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为 .15.函数()cos ((,3))2f x x x π=∈π,若()f x m =有三个不同的实数根,且从小到大依次成等比数列,则m 的值为 .16.已知定义在*N 上的函数()()()()2n n f n n f n ⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶为数为数,(1)(2)(3)(2)n n a f f f f =++++ ,则(1)4a 的值是 ; (2)n a = .PDEOBABCA 1B 1C 1D 1PD 主视左视三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数2()22sinf x x x=-.(Ⅰ)若点(1,P在角α的终边上(始边为x轴的正半轴),求()fα的值;(Ⅱ)若A是ABC∆的最小内角,求()f A的取值范围.18.(本小题满分12分)袋中有若干个大小与形状完全相同的小球,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已知从中任意抽取1个小球,取到2号小球的概率为1 2 .(Ⅰ)求n的值;(Ⅱ)从袋中有放回．．．地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.记“2a b+=”为事件A,求事件A的概率.19.(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,下部ABC D A B C D''''-为正方体,点P在D D'的延长线上,且PD D D''=,,M N分别为P A B''∆和P B C''∆的重心.(Ⅰ)已知R为棱PD上任意一点,求证:M N 平面R A C; (Ⅱ)当R为棱D D'的中点时,求二面角R A C D--的平面角的正切值.'20.(本小题满分13分)2012年,国家为应对当前的经济危机,通过拉动内需,刺激经济增长.某品牌汽车集团公司计划投资20亿美元发展该品牌,据专家预测,2012年销售量为2万辆,并从2013年起,该公司汽车的销售量每年比上一年增加1万辆(假设2012年为第一年),销售利润按照每辆每年比上一年减少10%(2012年销售利润为2万美元/辆). (Ⅰ)第n 年的销售利润为多少?(Ⅱ)求到2016年年底,该公司能否实现盈利(即销售利润超过总投资,509059⋅≈⋅).21.(本小题满分13分)已知椭圆C 的焦点在x 轴上,短轴长离心率为2e =.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若M 点坐标为,过M 点作直线,M A M B 交椭圆C 于,A B 两点,且直线,M A M B 斜率分别为12,k k ,123k k +=.求证:直线AB 过定点.22.(本小题满分13分) 已知函数1()ln sin g x x x θ=+在[1,)+∞上为增函数,且1(0,),()ln ,m f x m x x m R xθ-∈π=--∈.(Ⅰ)求θ的值;(Ⅱ)若函数()()y f x g x =-在[1,)+∞上为单调函数,求m 的取值范围. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设2()e h x x=,若在[1,]e 上至少存在一个0x ,使得000()()()f x g x h x ->成立,求m 的取值范围.长沙市一中2012届高三月考(六)参考答案一.选择题6.【解】由图知,243028242226272629242610x +++++++++==甲,242625262427282628262610x +++++++++==甲,故x x =甲乙,排除,C D,又由散点图可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩更分散,故s s >乙甲,即选B. 7.【解】由于函数图象关于原点对称,可知()f x 为奇函数,排除D;又图象过原点,排除B;又()02f π=排除A.故选C.8.【解】如图右,连接O E ,则O E P A,所以BEO ∠为所求的角(或其补角), 在正方形ABC D 中,AB =易知2O B =,3ABC DS=正方形, 又2P A B C D V -=所以2PO =,PA ==所以2O E =,易证O B ⊥平面P A C ,所以R t B O E ∆中,tan 3O B BEO BEO O Eπ∠==∠=,故选C.9.【解】由题知2a ab S a b ba b≥⎧=⊕=⎨<⎩,所以当[2,2]x ∈-时,有3221212x x y x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩,不难求出最大值为6,故选C.二.填空题10. 6 11. 15+ 12. 13. [-1,1] 14. 1 15.1-16.(1) 86 ,(2)42n+10.至多做6次试验.〖二法〗或者按照教材的经验来看,7612021111F F +=-=-=-,所以用分数法安排试验时,最多只需做6次试验就能找到其中的最佳点.15.【解】如图右,作出函数()y f x =与直线y m =的图象,可知0m <,设三个交点,,A B C 的横坐标依次为123x x x <<,由图象对称可知,12232,4x x x x +=π⎧⎨+=π⎩ PDEOCB所以12322,4x x x x =π-=π-,又由于221322(2)(4)x x x x x ==π-π-,得243x π=,也所以有41cos32y m π===-,即求.16.【解】(1)由4(1)(2)(3)(16)a f f f f =++++所以4(13515)(2)(4)(6)(16)a f f f f =+++++++++ 又(16)(8)(4)(2)(1)1f f f f f =====;(14)(7)7,(12)(3)3,(10)(5)5,(6)(3)3f f f f f f f f ========所以4644735386a =+++++=. (2)特殊到一般法,由1(1)(2)1(1)2a f f f =+=+=,2(1)(2)(3)(4)11316a f f f f =+++=+++=,32(5)(6)(7)(8)6(5371)22a a f f f f =++++=++++=,又486a =,所以2132434,16,64a a a a a a -=-=-=,于是猜想114(2)n n n a a n ---=≥; 那么由累加法得11122114(14)42()()()2(2)143n nn n n n n a a a a a a a a n -----+=-+-++-+=+=≥-显然1n =时,12a =也适合,故423nn a +=.三.解答题17.【解】(Ⅰ)因为点(1,P 在角α的终边上,所以1sin cos 22αα==…………………2分所以221()cos 2sin (2(3222f αααα=-=⨯-⨯=-………………6分(Ⅱ)由于()2(1cos 2)2cos 212sin(2)16f x x x x x x π=--=+-=+-………………9分因为A 是ABC ∆的最小内角,所以(0,]3A π∈,…………………………………………………10分所以52(,]666A πππ+∈,即1sin(2)[,1]62A π+∈……………………………………………………11分所以2sin(2)1[0,1]6x π+-∈,故所求的()f A 的取值范围是[0,1]………………………………12分18. 【解】(Ⅰ)由题知,从袋子中任取一个小球的所有基本事件数为2n +个,其中取到2号小球的基本事件数为n 个,所以由古典概型知:122n n =+,得2n =……………………………………………………………………………4分(Ⅱ)有放回的抽取2个小球的基本事件如右表所示,共计有16种,…………………………………………8分其中事件A 发生包含了其中4种,如加方框的.…10分所以5()16P A =……………………………………12分19.【解】(Ⅰ) 连接PM 并延长交A B ''于点E ,连接P N 并延长交B C ''于点F .则易知,,E F 分别为,A B B C ''''的中点, 连接EF .则由23PM PN PEPF==,知M N E F ,………2分而EF A C '' ,所以MN A C '' ………………………3分且在正方体ABC D A B C D ''''-中,AA CC '' ,所以A C AC '' …4分即有M N A C ,且M N ⊄平面,R A C A C ⊂平面R A C ,所以M N 平面R A C ;……………6分(Ⅱ)设正方体的棱长为2(0)a a >,所以R D a =,连接,BD BD AC O = ,正方体ABC D A B C D ''''-中,易知RD ⊥平面ABC D ,………7分所以RD AC ⊥;又D O AC ⊥,且RD DO D = ,所以A C ⊥平面R D O ,………………………………………………………………………9分故AC RO ⊥,RO D ∠为二面角R A C D --的平面角.…………………………………10分又12D O BD ==,所以tan 2RD RO D D O∠==,即二面角R A C D --2…………………………………………12分20.【解】(Ⅰ)依题意,汽车的销售量构成了首项为2万,公差为1的等差数列{}n a ,且1n a n =+………………………………………………………………………………………2分又每辆汽车的销售利润构成了首项为2,公比为110%09-=⋅的等比数列{}n b ,1209n n b -=⨯⋅……………………………………………………………………………………4分若第n 年的销售利润记为n c ,则12(1)09n n n n c a b n -=⨯=+⋅(亿元)…………………………6分 (Ⅱ)设到2016年底该公司的总销售利润为S ,则12342(2309409509609)S =+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅……①…………………………………8分23450.92(20.9309409509609)S =⨯+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅……②①-②式得23450.12(20.90.90.90.960.9)S =++++-⨯A'即4550.9(10.9)0.142120.922320.910.9S -=+-⨯=-⨯-………………………………………11分所以10(22320.59)31.220S ≈-⨯=>所以到2016年该公司能实现盈利.……………………………………………………………13分 21.【解】(Ⅰ)由题设椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>………………………………………………1分则2b =,b =3分又2e =,得222112b e a==-,所以24a =…………………………………………………5分即椭圆22:142xyC +=为所求.………………………………………………………………6分(Ⅱ)证明:如图,设1122(,),(,)A x y B x y ,则123k k +=得,12123y y x x --+=……………………7分①直线:AB y kx t =+(k 存在时),则上可化为,12122(3x x k t x x ++-=………(※)……8分又联立2224y kx t x y =+⎧⎨+=⎩,得222(21)42(2)0k x ktx t +++-=所以2222148(21)(2)0k t k t ∆=-+->,得2224t k <+212122242(2),0(2121kt t x x x x t k k --+==≠≠++,……………………………………………9分代入(※)式得,242(32kt k t t -+-=-,解得3t =-所以直线:(3A B y kx t k x =+=+-过定点(3N -.…………………10分②当A B x ⊥轴时,由12123y y x x --+=结合1212,0x x y y =+=得,123x x ==-,即直线:3A B x =也过定点(3N -.……………………………………………12分综上①②可知,直线AB过定点(3N .………………………………………………13分22.【解】(Ⅰ)2211sin 1()0sin sin x g x x x x θθθ-'=-+=≥对[1,)x ∈+∞恒成立,…………………………2分又因为(0,)θ∈π时,0sin θ<≤1,所以化简得1sin xθ≥,又101x<≤,所以sin 1θ≥比较得sin 1θ=,即2θπ=……………………………………………………………………4分(Ⅱ)由2ln (1)m y m x x x x =--≥ 所以22222(1)mm x x my x x xxx-+'=+-=≥,依题意0y '≥或0y '≤恒成立;…………………5分也即221xm x ≥+或221x m x ≤+对1x ≥恒成立又因为函数2221(111x y x x x x==≤==++时取等号),且0y >………………………7分所以(0,1]y ∈, 也所以m ax 22)11x m x ≥(=+或m in 22)1x m x ≤(+,得0m ≤所以m 的取值范围为1m ≥或0m ≤.…………………………………………………………8分 (Ⅲ)①当0m ≤时,由(Ⅱ)知函数()()y f x g x =-在[1,]x e ∈上单调递减,所以max (1)(1)0y f g =-= 而函数2()e h x x=在[1,]x e ∈上是减函数,所以min ()()2h x h e ==,所以不存在0[1,]x e ∈上满足题意;……………………………………………………………10分 ②当1m ≥时,由(Ⅱ)知函数()()y f x g x =-在[1,]x e ∈上单调递增, 所以()()()y f x g x h x =--也是[1,]x e ∈上增函数,依题意只须()()()0y f x g x h x =-->在[1,]x e ∈上有解,即max 0y >, 所以x e =时,220m m e e --->,解得241e m e >-综上①②可知24(,)1e m e ∈+∞-为所求取值范围.…………………………………………………13分。

15章能力测试2

第十五章复数综合能力测试(Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共100分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．(2011·南阳模拟)复数(2＋i )(1－i )21－2i 的值是( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i解析：原式＝(2＋i )(－2i )1－2i ＝－4i ＋21－2i ＝2(1－2i )1－2i ＝2.答案：A2．(2011·广东六校联考)若复数(1＋a i)(2＋i)＝3－i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±2D ．－2解析：(1＋a i)(2＋i)＝(2－a )＋(1＋2a )i ，由(2－a )＋(1＋2a )i ＝3－i 得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝31＋2a ＝－1，因此a ＝－1.答案：B3．(焦作一中2011届高三12月考试)若复数a ＋3i1＋2i a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6解析：∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(a ＋6)＋(3－2a )i5，∴a ＝－6.故选C. 答案：C4．(河南省卫辉市高级中学2011届第四次月考试题)设复数z 1＝1－i ，z 2＝1－x i(x ∈R )，若z 1＋z 2为实数，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．－2D ．2解析：z 1＋z 2＝(1－i)＋(1－x i)＝2－(x ＋1)i ∈R ，∴x ＋1＝0，即x ＝－1，故选B. 答案：B5．(河北省唐山市2011届高三年级第一次模拟考试)已知复数z 的实部为2，虚部为－1，则5iz＝( ) A ．2－i B ．2＋i C ．1＋2iD ．－1＋2i解析：z ＝2－i ，5i z ＝5i2－i ＝5i (2＋i )(2－i )(2＋i )＝－1＋2i ，故选D.答案：D6．(河南省开封市2011届高三一模考试)已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋2i1－i，则复数Z 在复平面对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由z ＝1＋2i 1－i ＝(1＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，故选B. 答案：B7．(河北省衡水市2011届高三上学期教学质量检测)复数(1＋1i 4的值是( )A ．4iB ．－4iC ．4D ．－4 解析：依题意得(1＋1i )4＝(1－i)4＝(－2i)2＝－4，选D.答案：D8．(湖北省孝感市2011届高三第一次统考)设复数z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z2z 1的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为( )A ．6B ．－6C ．2D ．－2解析：依题意得z 2z 1＝a ＋2i 1－i ＝(a －2)＋(2＋a )i2，∴2＋a 2＝2×a －22，由此解得a ＝6，选A.答案：A9．(四川省成都市2011届高三四校第一次联考)若a 是复数z 1＝1＋i2－i的实部，b 是复数z 2＝(1－i)3的虚部，则ab 等于( )A.25B ．－25C.23D ．－23解析：∵z 1＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋35i ，∴a ＝15.∵z 2＝(1－i)3＝1－3i ＋3i 2－i 3＝－2－2i ，∴b ＝－2.∴ab ＝－25.故选B.答案：B10．(广西百所重点中学2011届高三阶段性检测)在复平面内，复数i(1＋2i )2对应的点位于( )A ．第三象限B ．第四象限C ．第一象限D ．第二象限解析：由i (1＋2i )2＝i－3＋4i ＝i (－3－4i )(－3＋4i )(－3－4i )＝4－3i 25，知其对应的点位于第四象限．答案：B11．(宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题)等比数列{a n }首项与公比分别是复数i ＋2(i 是虚数单位)的实部与虚部，则数列{a n }的前10项的和为( )A ．20B ．210－1 C ．－20D ．－2i解析：根据复数实部和虚部的概念求出这个等比数列的首项和公比，按照等比数列的求和公式进行计算．该等比数列的首项是2，公比是1，故其前10项之和是20.答案：A点评：数列、复数．本题把等比数列和复数交汇，注意等比数列的求和公式是分公比等于1和不等于1两种情况，在解题中如果公比是一个不确定的字母要注意分情况解决．12．(湖北省黄冈市高三年级2011年3月份质量检测(理))已知复数a ＋b i ＝2＋4i1＋i(a ，b ∈R )，函数f (x )＝2tan(ax ＋π6)＋b 图象的一个对称中心可以是( )A ．(－π6，0)B ．(－π6，1)C ．(－π18，0) D ．(－π18，1) 解析：依题意得a ＋b i ＝(2＋4i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3＋i ，所以a ＝3，b ＝1，f (x )＝2tan(3x ＋π6)＋1.注意到函数y ＝2tan(3x ＋π6)的对称中心是点(kπ6－π18，0)(注：函数y ＝tan x 的对称中心是点(kπ，0)，其中k ∈Z )，取k ＝0得，其一个对称中心是点(－π18，0)，因此f (x )＝2tan(3x ＋π6)＋1的一个对称中心是点(－π181)，故选D. 答案：D13．(成都市2011届高中毕业班第一次诊断性检测)已知i 是虚数单位，则复数2i1－i 等于( )A ．－1＋iB ．1－iC ．－2＋2iD ．1＋i解析：2i1－i ＝2i (1＋i )(1＋i )(1－i )＝i ＋i 2＝－1＋i ，故选A.答案：A14．(河北省保定市2011届高三年级第一次调研考试)i 是虚数单位，则(1＋i )(2－i )i 的虚部为( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3解析：因为(1＋i )(2－i )i ＝3＋ii ＝1－3i ，所以选C.答案：C15．(武汉市武昌区2011届高三年级元月调研测试)已知i 是虚数单位，若(a ＋b i)(1＋i)＝1＋2i ，a ，b ∈R ，则a ＋b 的值是( )A ．－12B ．－2C ．2D.12解析：(a ＋b i)(1＋i)＝(a －b )＋(a ＋b )i ＝1＋2i ，所以a ＋b ＝2，故选C. 答案：C16．(2011·四川绵阳一模试题)设复数z ＝1＋i ，则复数1＋z 2在复平面上对应的点在第____________象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四解析：∵z 2＝(1＋i)2＝2i ，∴1＋z 2＝1＋2i ，位于第一象限，选A. 答案：A17．(2011·四川宜宾一模试题)设0<θ<π，若cos θ＋isin θ＝－1＋3i2i，则θ值为( ) A.2π3B.π2C.π3D.π6解析：∵－1＋3i 2i ＝32＋i ，∴cos θ＝32且sin θ＝120<θ<π，∴θ＝π6，故选D. 答案：D18．(2011·四川省资阳市一模试题)设i 为复数单位，则i 3(1＋i )1－i ＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i解析：i 3(1＋i )1－i ＝i 3(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝i 3×2i2＝1，故选B.答案：B19．(2011·四川省广元市一模试题)1＋i 1－i －i 2的值是( )A ．0B ．1C ．1－iD ．1＋i解析：1＋i 1－i －i 2＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＋1＝2i2＋1＝1＋i ，故选D.答案：D20．(2011年山西省四校第一次联考)复数2i－1＋3i 的虚部是( )A.12 B ．－12C.12i D ．－12i解析：2i－1＋3i ＝2i (－1－3i )(－1＋3i )(－1－3i )＝2i (－1－3i )4＝32－12i ，虚部为－12，故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在题中的横线上．) 21．(2011·广西南宁一中月考试题)已知z 是复数，i 是虚数单位，若(1－i)z ＝2i ，则z ＝________.解析：∵(1－i)z ＝2i ，z ＝2i1－i＝－1＋i.答案：－1＋i22．(长沙市一中2011届高三月考试卷(六))已知a 是实数，(a －i )(1－i )i 是纯虚数，则a的值是____________．解析：∵(a －i )(1－i )i ＝(a －1)(－a －1)ii＝－a －1＋(1－a )i ∴－a －1＝0，∴a ＝－1. 答案：－123．(2011年北京市西城区高三第一学期期末考试)i 为虚数单位，则2(1＋i )2＝____________.解析：2(1＋i )2＝21＋i 2＋2i ＝1i ＝－i ，故填－i. 答案：－i24．(2011·四川省乐山市高三一模试题)若2cos θ－1＋i(2sin θ－3)是纯虚数(其中i 是虚数单位)且θ∈[－π2，π2]，则θ＝____________.解析：⎩⎨⎧2cos θ－1＝02sin θ－3≠0，∴⎩⎨⎧cos θ＝12sin θ≠32，∴θ＝－π3，答案：－π325．(2011年上海市普通高等学校春季招生考试)为求解方程x 5－1＝0的虚根，可以把原方程变形为(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝0，再变形为(x －1)(x 2＋ax ＋1)(x 2＋bx ＋1)＝0，由此可得原方程的一个虚根为____________．解析：由题可知，(x －1)(x 2＋ax ＋1)(x 2＋bx ＋1)＝(x －1)[x 4＋(a ＋b )x 3＋(2＋ab )x 2＋(a ＋b )x ＋1]，比较二次项、三次项系数知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1ab ＋2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1＋52b ＝1－52，或⎩⎨⎧a ＝1－52b ＝1＋52，由此得原方程的一个虚根为－1－5±10－25i4，－1－5±10＋25i4中的一个．答案：－1－5±10－25i 4，－1＋5±10＋25i4中的一个虚根三、解答题(本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．) 26．(本小题满分10分)(2011·上海浦东中学月考试题)计算下列问题： (1)(1＋i )71－i ＋(1－i )71＋i －(3－4i )(2＋2i )34＋3i ；(2)(－32－12i )12＋(2＋2i 1－3i)8. 分析：对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式是知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅速简捷、少出错的效果．比如(1±i )2＝±2i ，1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，a ＋bi i ＝b －ai ，(－12±32i )3＝1，(12±32i )3＝－1等等．解析：(1)原式＝[(1＋i )2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i )2]3·1－i 1＋i －8(3－4i )(1＋i )2(1－i )(3－4i )i＝(2i )3·i ＋(－2i )3·(－i )－8·2i (1＋i )i＝8＋8－16－16i ＝－16i . (2)(－32－12i )12＋(2＋2i 1－3i)8 ＝i 12·(－12＋32i )12＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋i 12＋32i 8＝[(－12＋32i )3]4＋[(1＋i )2]4(12－32i )[(12－32i )3]3＝1－(2i )4(12－32i )＝1－8＋83i ＝－7＋83i .27．(本小题满分10分)(2011·广东六校联考试题)求同时满足下列两个条件的所有复数z .(1)1＜z ＋10z≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数．解析：设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则z ＋10z ＝x (x 2＋y 2＋10)x 2＋y 2＋y (x 2＋y 2－10)x 2＋y 2i .∵1＜z ＋10z ≤6，∴⎩⎪⎨⎪⎧y (x 2＋y 2－10)＝0， ①1＜x (x 2＋y 2＋10)x 2＋y 2≤6. ② 由①得y ＝0或x 2＋y 2＝10，将y ＝0代入②得1＜10x ＋x ≤6，与10x＋x ≥210＞6(x ＞0)矛盾，∴y ≠0.将x 2＋y 2＝10代入②得12＜x ≤3.又x ，y 为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝±3.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝±1.故z ＝1±3i 或z ＝3±i .28．(本小题满分10分)(2011·上海高三联考试题)设等比数列z 1，z 2，z 3，…，z n ，…，其中z 1＝1，z 2＝a ＋b i ，z 3＝b ＋a i(a ，b ∈R ，且a >0)．(1)求a ，b 的值；(2)试求使z 1＋z 2＋…＋z n ＝0的最小自然数n ； (3)对于(2)中的n ，求z 1z 2…z n 的值．分析：这是一道复数与数列的综合题，求解时需要综合运用等比中项、复数的运算法则等知识．解析：(1)因为z 1，z 2，z 3成等比数列，所以z 22＝z 1z 3；即(a ＋b i)2＝b ＋a i ，a 2－b 2＋2ab i＝b ＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝b 2ab ＝a ，(a >0)，解得a ＝32，b ＝12.(2)因为z 1＝1，z 2＝32＋12i ，所以公比q ＝32＋12i ，于是z n ＝(32＋12i)n －1. z 1＋z 2＋…＋z n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1＝1－q n1－q＝0，所以q n ＝(32＋12i)n ＝(－i)n (－12＋32i)n ＝1，即n 既是3的倍数又是4的倍数．故n 的最小值为12. (3)z 1z 2…z 12＝1·(32＋12i)·(32＋12i)2·…·(32＋12i)11＝(32＋12i)1＋2＋…＋11 ＝[(－i)(－12＋32i)]66＝(－i)66·(－12＋32i)66＝－1.。

长沙市一中高三第六次月考试卷答案

长沙市一中高三第六次月考试卷答案
一、选择题
二综合题
26、⑴、①受单一的西南干暖气流影响；山脉对寒潮有阻挡作用；②西南风的背风坡，焚风效应形成干热河谷；③纬度低，气温高。

⑵、自然原因：降水季节变化大，冬春季节处于旱季；地形起伏大，地表保水能力差；喀斯特地貌，地表水下渗作用强。

（任答2点得4分）
措施：兴修水利工程；适当开采地下水；
27、⑴、①年均气温较低，原因是纬度较高；②降水季节分配不均匀，原因是全年受来自海洋的西风和暖流的影响；
⑵、①英国市场对牛肉需求量大，但英国国内以乳牛为主，无法满足国民对牛肉的需求；
②阿根廷牧场规模大，牛肉商品率高；③两国间海运便利；④冷藏、保鲜技术的发展，使得牛肉以海运成为可能。

28、、⑴、①干旱、半干旱（缺水）；②沙漠广布；③植被稀疏，以草原、荒漠为主；④河流发育程度低。

（任答二点得4分）
⑵、①该系统为冷锋，锋面附近气温、气压差异明显，风力强劲；（2分）地面尘土在风力吹拂下虽锋面移动，其影响范围不断扩大。

⑶、春季。

①华北地区春季多大风天气；②春季气温回升快，降水少，地面干燥；③春耕季节，地面裸露，多尘土。

29、⑴、甲：①河流侵蚀地貌（v型谷）；②位于河流上游，落差大，流速快，流水侵蚀作用强烈。

乙：河流堆积地貌（冲积平原）；位于河流下游，地势平坦，流速缓慢，以堆积作用为主。

⑵、水文特征的变化：径流量小，水位降低，汛期缩短。

水质下降，水生生物受到破坏。

⑶、必要性：该地区经济发展快，对能源需求增长快；水能开发利用程度高，为开发利用的水能少；该地区水电比例大，而水电的季节变化大；核电适应性强。

长沙市一中2011届高三年级月考(一)

长沙市一中2011届高三年级月考（一）地理试题时量：90分钟满分：100分（考试范围：地理基础与世界地理）第Ⅰ卷选择题（共44分）一、单项选择题（本大题共22小题，每小题2分，共44分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1~2题。

1．若北京到迪拜、迪拜到拉各斯分别飞行了8小时50分和8小时，北京、迪拜和拉各斯都采用所在国的统一标准时间，则拉各斯和迪拜所在国采用的标准时间分别为（）A．中时区和东三区区时B．中时区和东四区区时C．东一区和东五区区时D．东一区和东四区区时2．拉各斯、迪拜、北京所属的气候类型依次是（）A．热带草原气候热带草原气候温带季风气候B．热带雨林气候热带沙漠气候温带大陆性气候C．热带雨林气候热带沙漠气候温带季风气候D．热带草原气候热带沙漠气候温带季风气候3．读我国不同海拔（a）、相对高度（下滑坡和泥石流灾害的频率分布，I为分布频率、II为发生频率、III为频率比数，读图可知（）A．从a图可知我国滑坡和泥石流灾害主要分布在阶梯界线海拔较高的位置B．从a图可知南方丘陵地区为我国主要滑坡和泥石流灾害区C．从b图可知南方丘陵地区为我国主要滑坡和泥石流灾害区D．从b图可知我国滑坡和泥石流灾害主要发生在阶梯界线海拔较低的位置读某地一月等温线和不同月份台风移动路径图，回答4~6题。

4．关于图示半岛一月气温分布特点的叙述，正确的是（）A．沿海气温低，内陆气温高B．沿海气温高，内陆气温低C．北部温差大，南部温差小D．北部等温线向南凸，南部与纬线平行5．关于“梅雨”问题的叙述，正确的是（）A．梅雨也是一种灾害性天气B．东亚临海各国都受到梅雨影响C．我国东部广大地区深受梅雨影响D．长时间的低温阴雨天气即为梅雨天气6．下列对东亚台风的叙述，正确的是（）A．东亚各国受台风影响的时间相同B．台风中心盛行下沉气流，属于反气旋C．4到7月台风移动路径变化方向与7到10月相同D．台风移动路径变化方向与气压带、风带有关7．下图为美国某种新能源开发潜力的分布差异，图中颜色越深表示潜力越大，则该种新能源最可能是（）A．太阳能B．生物质能C．风能D．核能Jakobshavn冰川位于格陵兰岛西部，下图为据2001 年的冰川前端卫星影像资料，综合历史测量所绘冰舌位置图。

湖南省长沙市第一中学2011届高三上学期...

湖南省长沙市第一中学2011届高三上学期第四次月考（数学文）.doc湖南省长沙市第一中学2011届高三上学期第四次月考数学文-数学-txt预览-第1页湖南省长沙市第一中学 2011 届高三上学期第四次月考（数学文）0≤ 1 - x x = R ，集合 A =时量：120 分钟满分：150 分（考试范围：集合、逻辑用语、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、不等式）一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集 U2{}( U= A ，则)1< x <1 -A． x{}1≥1或x -≤B． x x{}= 1 2．复数 z >1或x -<C． x x{B．第二象限1 ) C．第三象限≤ x ≤1 -D． x{}-=D．第四象限 ) D． kzT+3 ，在复平面内，z 对应的点位于 ( 1A．第一象限=3．已知向量 a、b 不共线，e1 =ka－b，e2 =2a+b，若 e1// e2，则实数 k 的值为 ( A． k1 22-=B． k...湖南省长沙市第一中学2011届高三上学期第四次月考数学文-数学-txt预览-第2页2=C． k1 2b 是 C．2 D．1>2 ) B．3 ) B． a ± 1 成等比数列，则数列 {an } 的．．公差为 ( A．+ 12 ，且 a2 , a3 , a4 = a3 + a2 +4．一个递增的等差数列 {an } ，前三项的和 a1b 是>5．下列命题为真命题的是 ( ． A． a的充分条件 a b<1 12 2的必要条件 a b<1 1b 的充要条件> b 是 a >C． ab 的充分条件> 0 是 a > b >D． ay 2)- 2sin(2 x = 0) 的部分图象，则下列可以作为其解析式的是 ( A． y >ω 0, > ) ( A ϕ+ x ω A sin(=6．右图是函数 yπ3Oπ) 3- 2sin(2 x = C． y π3 2)+ 2sin(2 x =B． yπ312π7x)－2) 2 3+ 2sin( x = D． y π1)⎩1 ≥y ⎪ y 的最大值为 ( + 2 x = 1 ，则 z + x ≤ y ⎨ 7．已知⎪ 4 ≤ y +x ⎧A．－7 C．－1 B．...湖南省长沙市第一中学2011届高三上学期第四次月考数学文-数学-txt预览-第3页11 2D．－88．把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表，第 n 行有 n 个数，设第 n 行左侧第一个数为 an ，如15 ，则该数列 {an } 的前 n 项和 Tn （n 为偶数）为（=a5=A． Tn） 121) 10+ 1)(2n +n(n=B． Tn6 4 3++n n n732 6 8 53 4 9 10 12 19 20 11 2115 14 13 16 17 18 …… …第 8 题图=C Tn6 4 6-+n3 n 2 n=D． Tn4 3 6++ 2) n2 n + 1)(n +n(n+ x = 1 ，则函数 f ( x) > 11．若 x = b) ，则 c + (a ⊥1) ，若单位向量c 满足 c -3, - (=2,1) ， b - (=二、填空题：本大题共 7 个小题，每小题5 分，共 35 分，把答案填写在题中的横线上. 9．三进制数 121(3)化为十进制数为． 10．已知向量 aρρρ...湖南省长沙市第一中学2011届高三上学期第四次月考数学文-数学-txt预览-第4页ρρρρ． y1-1 的最小值为 x．－1( x)' f =y12．右图为定义在zT· ．=( x ) 的大致图象，则函数 f ( x ) 的单调递增区间为， f ( x ) 的极大值点为 x 'i+T 上的函数 f ( x ) 的导函数 f3 4 O 1 2x第12题=13． S2011+ 5 2009 + 3 3+ 1=+Λ++1 1 1．R ）的最小值为－4，则 a 的值为∈ a cos x （ x + cos 2 x =14．若函数f ( x)2．{x |= 0} ， B < a + 1) x + (a - {x | x =值为 . 三、解答题：本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分 12 分）设集合 A = b ，则 T < 0 在实数集上恒成立，且 a ≥ c + bx +15．已知关于 x 的一元二次不等式 ax2a-c 的最小 b+b+a2- 0} ． x>1 +2xR B ，求 a 的取值范围． ⊆ B ；（2）若 A I（1）当 a=3 时，求 A- x cos - cos x =) x (17．（本小题满分 12 分）设函数 f⎝⎛...湖南省长沙市第一中学2011届高三上学期第四次月考数学文-数学-txt预览-第12页3n⋅ n -1 - 3n⋅ 1+Λ+ 32 ⋅ 1+ 31 ⋅ 1+ 30 ⋅2 S n = 1-'=． 4+ 1 )n 3 1 n - 3 2 2 ( 2 -， 1= 3n ⋅n - 3n = ⋅n - 1 - 2n)3n - 1 (1 - 3n 3n -1……………10 分得= Sn '……………12 分19．（本小题满分 13 分）某市近郊有一块大约500m× 500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为 3000 平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为 2 米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场= y ，则y= 6 + 3000 ， 2a =地形状相同），塑胶运动场地占地面积为 S 平方米．（1）分别写出用 x 表示 y 和 S 的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使 S 取得最大值，最大值为多少？【解析】（1）由已知 xy500 ）， x≤ x ≤3000 （ 6……2 分 x米 a米 y米……6 分 a米10)a- (2 x = 6)a - ( x + 4)a - ( x =Sx- 6x - 3030 = 500 ）. ≤ x ≤ 6) 2 15000 （ 6 - 5)( y - ( x =⋅ 10) - (2 x =6 -y- 6 x - 3030 =（2） Sx x⋅ 2 6 x - 3030 ≤15000 150002430= 300 ⨯ 2 - 3030 =………………10 分=当且仅当 6x2430 ．……12 分 x= 60 ， Smax = 50 ， y = 50 时，“=”成立，此时x =15000 ，即 x……………13 分= 60 米时，运动场地面积最大，最大值为 2430 平方米． 20．（本小题满分13 分）已知函数 f ( x) = 50 米， y =即设计 x1 ） 2-< 1) ln x （ a + (a - ax +12 ． xg ( x) 恒成立，求 b 的取值> 2b) ，在（1）的条件下，若 f ( x) - ln(b + 2 x - 4ln x = 2 处的切线与 x 轴平行，求 a 的值，并求出函数的极值；（2）已知函数 g ( x) =（1）若函数 f ( x ) 在 x2) ，∞+范围．【解析】（1） f ( x ) 的定义域为 (0,- a + x =( x) 'f...湖南省长沙市第一中学2011届高三上学期第四次月考数学文-数学-txt预览-第13页x x= 1) ，+ (a - ax + 1 x 2 +a………………1 分………………3 分=( x ) '3 ，此时 f -= 0 ，得 a =(2) ' 2 处的切线与 x 轴平行，则 f =因 f ( x ) 在 x2ln 2 ．……6 分 2+4 -= 2 时， f ( x ) 有极小值 f (2) =，当 x -= 1 时， f ( x ) 有极大值 f (1) =) 上单调递 x 5 增，则当 x ∞+ 2) ，则f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, 2) 上单调递减，在 (2, - 1)( x-( x) ，∞+ g ( x) ，则 F ( x ) 的定义域为 (0, - f ( x) =（2）令 F ( x) =F ( x)0 ）， 2> 2b) （ x - ln(b - 2ln x - x - 2b) 2 1 2 2 = x - ln(b2 -2 x +4ln x - 2ln x + 3x -1 2 x- 1 - x =( x) '则 Fx x x== 1) ．+ 2)( x - 2 ( x - x -2 x 2………………8 分2b) ，- ln(b -2ln 2 -= 2b) - ln(b - 2 ln 2 - 2 - 2 = 2 时， F ( x) min =) 上单调递增．当 x ∞+ 0 ，所以 F ( x ) 在 (2, >( x) ' 2 时， F > 0 ，所以 F ( x ) 在 (0, 2) 上单调递减；当 x <( x) ' 2 时， F < x <当 02 20 ，> 2b) - ln(b -2ln 2 -=只需要 F ( x) min2ln=2ln 2 -< 2b) -得 ln(b21 4………………11 分2 2⎩ 4 ⎩< 2b -b ⎪⎪<b< 2 2b -b 2 ⎧ 0 < 2或b >b ⎧=21．（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x)………………13 分0 ）. 3 2> cx （ a + bx +1 3 1 2 ax9 ，求函数 f (x ) 的单调区间；-=3 ， x1 x2 -= x3 + x 2 +（1）若函数 f (x ) 有三个零点分别为 x1 , x2 , x3 ，且 x12b ，证明：函数 f (x) 在区间(0，2)内一定有极值点； 2 b （3）在（2）的条件下，若函数 f (x ) 的两个极值点之间的距离不小于 3 ，求的取值范围. a> 2c >1 a ， 3a-=(1) '（2）若 fc . …………… 8 分 2- a = c + 2c) + (3a - 4a = c + 2b + 4a =(2) 'c ， f =(0) ' 0 ， f <-=(1) '0 . …………… 7 分 a 于是 f < 0, b >0 ，即 a < 0, 2b > 2b ，所以 3a > 2c > 0 ， 3a > 0 . 2 2 又 a = 2c +2b + a ，即 3a -= c + b + a ，所以 a -=(1) ' c ， f + bx + ax =( x) ') ．……………5 分 1 1 2 （2）因为 f ∞+3), (1, -, ∞-3 故 f ( x )的单调递减区间是（－3，1），单调递增区间是 (-= 1, x = 0 解得： x = 3) . / 令 f ( x) + 1)( x - a( x = 3) - 2 x + a( x = ) a a 2 + x +a( x = c + bx + ax =( x) '3 ， 2a a a a b c 2 2 所以 f -= 2 ，=9 ，得-=3 ，-=……………3 分- 0 的两根， 3 2 3b 3c b c 则= c + bx+9 ……………1 分 1 2 1 因为 x1，x2 是方程 ax -=3, x1 x2 -= x2 +0 ， x1 =9 ，则 3 2 x3 -=3 ， x1 x2 -= x3 + x2 + c) ，又 x1 +1 2 1 bx+ x( ax =【解析】（1）因为 f ( x)...湖南省长沙市第一中学2011届高三上学期第四次月考数学文-数学-txt预览-第14页( x )' (0, m) ， f ∈( x ) 在区间 (0,1) 内 2 至少有一个零点，设为x=m，则在 x '( x ) 在区间 (0,1) 内连续，则 f ' 0 ，而 f <a >( x )' (m,1) ， f ∈0， f ( x ) 单调递增，在x < ) . ……………13 分 a 4-1, - . a 4 b 3 综上分析，的取值范围是 [-<<3 - 0 ，所以> a . 4 b 3因为 a - 2b -3a -> 2b ，所以 3a > 2c > 2b ， 3a -3a -=3 . …………… 12 分 a a a a 3 又 2c -≤1 或-≥1 ，即-≤ 2 + 1或≥ 2 + 1 . a a a b b b b 所以≥ 2) + 3 ，即 ( ≥ 2 + 2) + 3 ，则 ( ≥ 2 + 2) + 2 . a 2 a a b b b 2 2 2 由已知， ( + 2) + ( = ) --4(- ) - (= 4mn - n) + (m = n |- . a a 2 a b 2 3 b b 2 2 所以 | m --==， mn -= n + 0 ，则 m = 2c + 2b + c 的两个零点，由（2） b c 3 b得 3a + bx + ax =( x) '( x ) 在区间（1，2）内至少有一零点. 2 同理，函数 f ( x ) 在区间(1，2)内有极小值点. 综上得函数 f (x ) 在区间(0，2)内一定有极值点．…………… 10 分 2 （3）设 m，n 是函数 f (x ) 的两个极值点，则 m，n 也是导函数 f ' 0 ，则 f > c - a =(2) ' 0, f <-=(1) ' 0 时，因为 f ≤0， f ( x ) 单调递减，故函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有极大值点 x=m；……………9 分 a ②当 c-=(1) ' 0, f > c =(0) ' 0 时，因为 f >①当 c...。

湖南省长沙市一中2011届高三第三次月考理科数学试题

f (x) | x | 1 ．则方程 f (x) log4 | x | 在区间[10,10] 内的解个数是（ C ）
A．20
B．12
y
C．11
D．10
4
【解析】（数形结合）在同一直角坐标内作
出函数 f (x) 和 y log4 | x | 的图象如右图，由图易知， y f (x) 与 y log4 | x | 的图象在[10, 0] 有两个交点，在 (0,10] 内有 9 个交点，故方程 f (x) log4 x 在区间[10,10] 内共有 11 个解．
[a, b] 上的图像如图所示，且 a x0 b ，那么
（B）
A． F '(x0 ) 0, x x0 是 F (x) 的极大值点
B． F '(x0 ) = 0, x x0 是 F (x) 的极小值点
C． F '(x0 ) 0, x x0 不是 F (x) 极值点
（2）若 BC 边上的中线 AM 的长为 7 ，求△ABC 的面积．
18．（本小题满分 12 分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处，
已知 AB=AC=6km，现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个变电站．记 P 到三个
村庄的距离之和为 y.
A
（1）设 PBO ，求 y 关于的函数关系式；
．
13．设有算法如右图：如果输入 A=144, B=39,则输出的结
果是
.
14．设函数 f (x) x2 ax a 3 , g(x) ax 2a ．若
x0 R ，使得 f (x0 ) 0 与 g(x0 ) 0 同时成立，则实数 a 的取值范围是

湖南省长沙市一中2011届高三第六次月考(英语)

长沙市一中2011届高三月考试卷(六)英语长沙市一中高三英语备课组组稿命题人：刘文文审题人：黄笑肖安(考试范围：全部内容)本试卷分为四个部分，包括听力、语言知识运用、阅读和书面表达。

时量120分钟。

满分150分。

得分：PART ONE LISTENING COMPREHENSION(30 marks)SECTION A(22.5 marks)Directions：In this section，you’ll hear six conversations between two speakers. For each conversation，there are several questions and each question is followed by three choices marked A，B and C.Listen carefully and then choose the best answer for each question.You will hear each conversation TWICE.Conversation 11. What does the man have to do today？A.Visit his lawyer.B.Go to a doctor.C.Make an appointment.2. What does the woman offer to do for the man？A.Answer his phones.B.Call his lawyer.C.Take notes at the meeting.Conversation 23. What are the speakers talking about？A.Flight timetable.B.The way to Union Street.C.Hiring a taxi.4. How much does each person need to pay？A.60 dollars.B.20 dollars.C.30 dollars.Conversation 35. Who may Alistair be？A.Bob’s girlfriend.B.Bill’s friend.C.Alistair’s sister.6. When would Bill go to Alistair’s house？A.In half an hour.B.In an hour.C.After he got some sugar from Marilyn.Conversation 47. Which kind of computer programming course does the man choose？A.Part-time course.B.Day course.C.Evening course.8. On which days can’t the man attend the data processing course？A.Mondays.B.Thursdays.C.Wednesdays.9. When does the data processing course end if it starts in October？A.November.B.December.C.January.Conversation 510. Why does old Jake look terribly depressed？A.Because he has just retired and lives alone.B.Because his wife divorced him.B.Because nobody likes him.11. What does the man say about Jake’s daughter？A.She is selfish.B.She is easy going.C.She is warm-hearted.12. Who is Jake’s doctor？A.The man.B.Johnson.C.Dorris.Conversation 613. What does the woman do？A.She is a housewife.B.She is a hostess.C.She is an actress.14. Why did James Dean move back to Indiana when he was young？A.Because his mother died.B.Because his father died.C.Because they run out of money.15. How many movies did James Dean have according to the man？A.One.B.Two.C.Three.SECTION B(7.5 marks)Directions：In this section，you will hear a short passage. Listen carefully and then fill in the numbered blanks with the information you have heard. Fill in each blank with NO MORE THAN THREE WORDS.You’ll hear the short passage TWICE.,Rosa,BradAge,16.,22Sports,17.,Long-distance runningRecords,5 world records,18.records for 5,000 and 10,000 metersTraining,Swims between15 and20 kilometers a day,Runs40 to50 kilometers everydayOccupation,19.,Used to be20.，but recently stopped to spend more time training.PART TWO LANGUAGE KNOWLEDGE (45 marks)SECTION A (15 marks)Directions：Beneath each of the following sentences there are four choices marked A，B，C and D. Choose the one answer that best completes the sentence.21. Shawn returned to Iowa after the 2008 Games，，as is known to us，she had been brought up and trained to be a gold medalist of gymnastics.A.whenB.thatC.thereD.where22. —Have you heard from Nelly recently？—Yes. I his letters and cards many times while I was in Italy.A.have receivedB.receivedC.had receivedD.would receive23. Now the Internet is a popular channel the public voice their opinions and show their strength.A.by thatB.by whichC.through thatD.through which24. after a whole day’s work that he could hardly stand it.A.So was tired and hungry heB.Was so tired and hungry heC.So tired and hungry was heD.So tired and hungry he was25. Though to go to bed many times，the little boy just turned a deaf ear and fixed on his computer games.A.urgingB.being urgedC.urgedD.having urged26. When and where to go for the on-salary holiday yet.A.hasn’t been decidedB.is not being decidedC.are not decidedD.haven’t been decided27. Despite its center nowhere near the islands，Morakot(the typhoon) is being blamed for 25 deaths in the Philippines.A.wasB.beingC.isD.has been28. It’s unimaginable that such a top student as Jane cheat in the exam.A.mightB.canC.mayD.should29. The editor-in-chief asked me to write another article for them，about how to prevent bird flu.A.thatB.oneC.the oneD.those30. Some women a good salary in a job instead of staying home，but they decided not to work for the sake of the family.A.must makeB.should have madeC.would makeD.could have made31. I’m glad to say that she’s already finished50% of the book in these days.A.no less thanB.no more thanC.not more thanD.much less than32. —Did you go to Hainan Island for your vacation last month？—I to go，but I got sick at the last minute.A.planB.am planningC.have plannedD.had planned33. These surveys indicate that many crimes go by the police，mainly because not all victims report them.A.to be unrecordedB.to have been unrecordedC.unrecordedD.unrecording34. I’m really hungry. Let’s eat at restaurant has a free table.A.whicheverB.whateverB.which D.what35. so much salt in the Dead Sea that people won’t get sunk.A.It existsB.There has existedC.There existsD.It has existedSECTION B (18 marks)Directions：For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A，B，C and D.Fill in each blank with a word or phrase that best fits the context.“We’ve been good friends for so many years. And I don’t think you meant to do that ...”I said to myself，looking at Jack，my friend who was running across the36field.How I wish I could join them！But it was impossible because of the pain in my left foot，caused by Jack.I first met Jack in a football match in the elementary school. When my team looked as if we were37，Jack，who was watching，volunteered to join us. He was so confident and skilled that we won. From then on，Jack and I often played together and became best friends.But something happened before an important football match between Class Six and my class. My class had so many good players that we had to38the best ones. Jack and I were in the same team. The match was close in the first half. I saw my chance and was ready to score a goal. Suddenly，Jack39me. He slid to stop the ball，but collided with my left foot. I knew I had lost the chance to score and was40the field. But what really hurt me was that Jackdidn’t say sorry. And when some of my teammates said he did it on purpose to41me from scoring，I felt even42.Now I stand here，with tears in my eyes. I don’t want to43those words but I don’t know how to persuade myself they are44. Then everything changes when Jack scores and wins！How excited I am！While I am still45in excitement，someone pats my shoulder. It is Jack，with a smile on his face. “I’m sorry that you can not join in because of my46. But you see，Jason，we beat them！No matter whether you joined in or not，you’ve made a contribution. Come on，let’s celebrate！”Suddenly，I am47by the players. The sunshine is so bright that I close my eyes. Riding high above my teammates，I feel so happy. And I know the friendship between Jack and me will last forever.36. A.basketball B.volleyball C.badminton D.football37. A.lost B.winning C.leading D.beaten38. A.replace B.award C.decide on D.call in39. A.ran into B.ran to C.ran across D.ran away40. A.sent away B.carried off C.stuck to D.hold on41. A.break B.interrupt C.make D.keep42. A.amused fortable C.depressed D.scared43. A.believe B.say C.deny D.hear44. A.right B.false C.true D.bad45. A.lost B.fallen C.caught D.drawn46. A.score B.pride C.reason D.carelessness47. A.raised up B.pulled away C.picked up D.pushed offSECTION C (12 marks)Directions：Complete the following passage by filling in each blank with one word that best fits the context.Healthy eating begins with learning how to“eat smart”. It’s not just what you eat，48. how you eat. Pay attention to what you eat and choosing foods that are both nourishing49. enjoyable helps support an overall healthy diet.Take time to chew your food：Chew your food slowly，savoring every bite. We tend to rush through our meals，forgetting to actually taste the flavors and feel the textures(质地) of50. is in our mouths. Reconnect with 51.joy of eating.Avoid stress while eating：Avoid eating while working，driving，arguing，or watching TV. Try taking some deep breaths before beginning your meal，or light candles and play soothing music to create a relaxing atmosphere.Listen to your body：Ask 52.if you are really hungry. You may really be thirsty，so try drinking a glass of water first. During a meal，stop eating before you feel full. It actually takes a few minutes 53.your brain to tell your body that it has had 54.food，so eat slowly.Eat early：Starting your day55.a healthy breakfast can jumpstart your metabolism(新陈代谢)，and eating early in the day gives your body time to work those calories off.PART THREE READING COMPREHENSION (30 marks)Directions：Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A，B，C and D.Choosethe one that fits best according to the information given in the passage.AThe temperature is rising again in the Arctic. The sea ice area has dropped to one of the lowest levels on record，climate scientists reported last week.“The new Arctic Report Card tells a story of widespread and continued effects of a warming Arctic，”said Jackie Richter-Menge of the US’s Cold Regions Research and Engineering Laboratory.“This isn’t just a climatological (气候学的) effect. It impacts the people that live there，”she added.Scientists concerned about global warming focus on the Arctic because that is a region where the effects are expected to be felt first，and that has been the case in recent years.There was a slowdown in Arctic warming in 2009，but in the first half of 2010 warming was near a record pace. The monthly readings were over 4 degrees Celsius above normal in northern Canada，according to the report card. The report card was prepared by 69 researchers in eight countries.Researchers said last winter’s big snow storms that struck some Northern countries were tied to higher Arctic temperatures.“Normally the cold air is bottled up in the Arctic，” said Jim Overland of the US National Oceanic and Atmospheric Administration. “But last December and February，winds that normally blow west to east across the Arctic were instead bringing the colder air south，” he said.“As we lose more sea ice... warming in the atmosphere can create more of these winter storms，” Overland said.There is a powerful connection between ice cover and air temperatures，Richter-Menge explained. When temperatures warm，ice melts. When ice melts it shows darker surfaces underneath ，which absorb more heat. “That，in turn，causes more melting and on the cycle goes，” she said.In September the Arctic sea ice extent was the third smallest in the last 30 years，added Don Perovich of the US Army Laboratory. He said the three smallest ice covers have occurred in the last four years.56. Scientists care so much about the warming in the Arctic region because .A.the climate in the Arctic doesn’t change muchB.global warming effects are most serious in the Arctic regionC.there has been a major decrease of Arctic warming in recent yearsD.by studying the region they can make predictions about the future impact of global warming57. Which of the following shows that the Arctic is getting warmer？A.The surface of the sea ice in Arctic is getting darker and darker.B.The Arctic sea ice extent has disappeared over the last 30 years.C.The sea ice extent has increased to one of the highest levels on record.D.Winds that normally blow south across the Arctic didn’t come until last December and February.58. What does the underlined word “cycle” refer to？A.Ice giving off heat when it melts.B.Higher temperatures bringing more storms.C.The cause and the result of the melting.D.The life of the people living in the Arctic getting worse.59. According to researchers what led to big snow storms attacking some Northern countries last winter？A.Higher Arctic temperatures.B.The melting ice.C.The cold wind blowing west to east.D.Cold air bottled up in the Arctic.60. What is the main point of the article？st winter’s big snow-storms.B.Winds in the Arctic region.C.Arctic warming and its possible effects.D.Changes to the life of people living in the Arctic.BPeople with bigger brains ftend to score higher on standardized tests of intelligence，according to new study findings.However，the study author Dr Michael A.McDaniel of the Virginia Commonwealth University in Richmond emphasized that these findings represent a general trend，and people with small heads should not automatically believe they are less intelligent. For instance，Albert Einstein’s brain was “not particularly large”，McDaniel noted. “There’s some relationship between brain size and intelligence on the average，but there’s plenty of room for exceptions，” he said.Interest in the relationship between brain size and intelligence grew in the1830s，when German anatomist(解剖学家) Frederich Tiedmann wrote that he believed there was “an unquestionable connection between the size of the brain and the mental energy displayed by the individual man”. Since that statement，scientists have conducted numerous studies to determine if Tiedmann’s assertion was，in fact，correct. Most studies have looked into the link between head size and intelligence. More recently，however，researchers have published additional studies on brain size and intelligence，measured using MRI scan(核磁共振成像扫描).For his study，McDaniel analyzed more than 20 studies that looked into the relationship between brain size and intelligence in a total of 1,530 people. The studies showed that on the average，people with larger brain volume tended to be more intelligent. The relationship between brain volume and intelligence was stronger in women than men，and in adults than in children. McDaniel notes in the journal Intelligence.McDaniel is not sure why the relationship was stronger for adults and women. “Other research has shown that women，on the average，tend to have smaller brains than men，but score just as well—if not higher—in tests of intelligence，”he said.McDaniel insisted that the relationship between brain size and intelligence is not a“perfect”one. “One can certainly find lots of examples of smaller-sized people who are highly intelligent，”he said，“But，on the average，the relationship holds.”61. What does the text mainly talk about？A.MRI scans are applied to intelligence.B.On the average，a bigger brain means higher IQ.C.Dr McDaniel did well in his intelligence study.D.Scientists are interested in Tiedmann’s idea.62. By mentioning Albert Einstein，the writer wants to show.A.Albert Einstein was intelligentB.the result of intelligence test was falseC.being hard working is more important than intelligenceD.brain size doesn’t necessarily decide the level of intelligence63. The underlined word“assertion”in Para. 3 probably means“”.A.experimentB.statementC.proofD.demand64. After Frederich Tiedmann wrote his article，.A.many scientists agreed with himB.numerous studies have failed to prove his ideaC.MRI scan became popularly usedD.lots of researchers were interested in the connections between head size and intelligence65. According to the text，Dr McDaniel’s study.A.proves Tiedmann’s idea was completely trueB.shows women are smarter than menC.involves many studies and a lot of peopleD.explains why people with smaller brains are cleverCLEEDS，England ─ A Leeds University psychology professor is teaching a course to help dozens of Britons forgive their enemies.“The hatred we hold within us is a cancer，” Professor Ken Hart said，adding that holding in anger can lead to problems such as high blood pressure and heart disease.More than 70 people have become members in Hart’s first 20-week workshop in London─a course he says is the first of its kind in the world.These are people who are sick and tired of living with a memory.They realize their bitterness is a poison they think they can pour out，but they end up drinking it themselves，said Canadian-born Hart.The students meet in groups of eight to ten for a two-hour workshop with an adviser every fortnight.The course，ending in July，is expected to get rid of the cancer of hatred in these people.“People have lots of negative attitudes towards forgiveness，” he said，“People confuse forgiveness with forgetting.Forgiveness means changing from a negative attitude to a positive one.”Hart and his team have created instructions to provide the training needed.“The main idea is to give you guidelines on how to look at various kinds of angers and how they affect you，and how to change your attitudes towards the person you are angry with，” said Norman Claringbull，a senior expert on the forgiveness project.Hart said he believes forgiveness is a skill that can be taught，as these people “want to get free of the past”.66. From this passage we know that .A.high blood pressure and heart disease are caused by hatredB.high blood pressure can only be cured by psychology professorsC.without hatred，people will have less trouble connected with blood pressure and heart diseaseD.people who suffer from high blood pressure and heart disease must have many enemies67. People going to Hart’s first 20-week workshop .A.enjoy the professor’s speechB.learn how to quarrel with othersC.are aware that their hatred is a poison that could finally end up harming themselvesD.meet in groups of eight to ten for a two-hour workshop every night and learn how to relax68. According to Professor Ken Hart，.A.most people are living with hatredB.people should attend his courses to forget the pastC.forgiveness means forgetting the bitternessD.people with a bitter memory can learn to have a positive attitude towards the past69. Which of the following is TRUE according to the passage？A.Hatred means living a positive life.B.People will be taught how to look at various kinds of angers in the workshop.C.Hart and his team enjoys high popularity among Londoners these days.D.People who are sick of living with a bitter memory have to pay a lot to Hart’s course.70. Which could be the best title for the passage？A.Britons learn to forgiveB.Hart and his teamC.Forgive and forgetD.Hatred，a poison to youPART FOUR WRITING (45 marks)SECTION A (10 marks)Directions：Read the following passage. Complete the diagram by using the information for the passage. Write NO MORE THAN THREE WORDS for each answer.At a primary school Manning，Carolina，second-grade teacher David Chadwell believed that segregating(隔离) elementary-age boys and girls produces immediate academic improvement—in both genders. “Although this is a tendency，we can teach boys and girls based on what we now know.”“They see differently. Literally，”he begins. Male and female eyes are not organized in the same way，he explains. The composition of the male eye makes it attuned(协调) to motion and direction. “Boys interpret the world as objects moving through space，”he says. “The teacher should move around the room constantly and be that object.”The male eye is also drawn to cooler colors like silver，blue，black，grey，and brown. It’s no accident boys tend to create pictures of moving objects like spaceships，cars，and trucks in dark colors instead of drawing the happy colorful family，like girls in their class.The female eye，on the other hand，is drawn to textures and colors. It’s also oriented toward warmer colors—reds，yellows，oranges—and visuals with more details，like faces. To engage girls，Chadwell says，the teacher doesn’t need to move as much，if at all. Girls work well in circles，facing each other. Using descriptive phrases and lots of color in overhead presentations or on the chalkboard gets their attention.Boys and girls also hear differently. “When someone speaks in a loud tone，girls interpret it as yelling，”Chadwell says. “They think you’re mad and can shut down.”Girls have a more finely tuned aural structure；they can hear higher frequencies than boys and are more sensitive to sounds. He advises girls’teachers to watch the tone of their voices. Boys’teachers should sound matter of fact，even excited.A boy’s autonomic nervous system causes them to be more alert when they’re standing，moving，and the room temperature is around69 degrees. Stress in boys，he says，tends to increase blood flow to their brains，a process that helps them stay focused. This won’t work for girls，who are more focused seated in a warmer room around 75 degrees. Girls also respond to stress differently. When they are exposed to threat and confrontation，blood goes to their guts(内脏)，leaving them feeling nervous or anxious.“Boys will rise to a risk and tend to overestimate their abilities，”he says. “Teachers can help them by getting them to be more realistic about results. Girls at this age shy away from risk，which is exactly why lots of girls’programs began in the private sector. Teachers can help them learn to take risks in an atmosphere where they feel confident about doing so.”Title：Primary students learn 71.David’s belief,Once we segregate elementary-age students，they will have the tendency to learn 72.. Differences between boys and girls,Sight,Boys’eyes are sensitive to 73. and are drawn to cooler colors.It is textures and74.of objects that attract girls.Hearing,Comparatively speaking，girls can hear 75.and are more sensitive to sounds. They would interpret a loud tone as 76..Nervous system,Stress in boys tends to increase blood flow to their77.，which helps them keep78.. Boys often overestimate their abilities and are brave in face of the risk.When girls are exposed to 79.，blood goes to their guts，leaving them feeling 80.. Girls at this age in many cases will shyly avoid dealing with risk.SECTION B (10 marks)Directions：Read the following passage. Answer the questions according to the information given in the passage and required words limit. Write your answers on your answer sheet.Tsai Chin-chung is one of Taiwan’s most famous cartoonists，and his cartoons are enjoyed by people in many different countries in Asia. His books of cartoons have now become best sellers in Singapore，Malaysia，and even Japan.As soon as he could hold a pencil or a brush，Tsai Chin-chung lived only for drawing. Every day he practised drawing people and things around him as well as characters and scenes from his favorite stories.When he was only 15 years old，he left home to work for a publisher in Taibei. At first he was only 15 years old and he worked hard to draw pictures for books. So two years later he decided to leave his job as an artist who draws pictures for books and to work on drawing cartoon series. He made up his mind to succeed as a cartoonist even if it meant“living on instant noodles” in order to make himself famous.Now nearly 50 years old，Tsai Chin-chung has achieved something unusual for a modern cartoonist. He has become extraordinarily successful at changing Chinese literature and philosophy into humorous comic stories. In this way，he had made the Chinese classics known to thousands of people.In recognition of his great achievement，several years ago Tsai Chin-chung was given a prize as one of the 10 Outstanding Young People of Taiwan. Since then，he has won many prizes and his cartoons have become popular in countries and areas throughout Asia，America and Europe. So far，he has published more than 20 comic books. Ten of these are about ancient Chinese philosophers，and the remainder are based on Chinese historical and literary classics.Many of Tsai Chin-chung’s books of cartoons and comics have now been published in English in countries and areas like Singapore. His books have also been translated into several other languages，including Japanese，Korean and Thai. Even publishers in countries like France and Indonesia have recently signed agreements for permission to publish his cartoon series.81. What job did Tsai Chin-chung do when he was fifteen years old？(No more than 5 words) (2 marks)82. What does “living on instant noodles” mean in this passage？(No more than 4 words) (3 marks)83. How does he make the Chinese classics known to thousands of people？(No more than 10 words) (2 marks)84. Why was Tsai Chin-chung nominated one of the ten outstanding young people of Taiwan？(No more than 5 words) (3 marks)SECTION C (25 marks)Directions：Write an English composition according to the instructions given below in Chinese.The passage below“Let’s Live a Low-carbon Life(让我们低碳生活)”is about what is low-carbon living，why we should live a low-carbon life and how we can live a low-carbon life. Part of the article is written. Please finish the rest of it in over 120 words.Let’s Live a Low-carbon LifeLow-carbon everyday living means that men and women really should try their best to cut down resource consumption (资源消耗) to decrease discharge (排放) of carbon dioxide in order to lessen pollution to atmosphere and relieve deterioration (恶化) of eco-environment.长沙市一中2011届高三月考试卷(六)英语参考答案16. 1717. Swimming18. His country’s/National19. A school student20.a clerkPART TWO LANGUAGE KNOWLEDGESECTION C48. but49.and50. what51. the52. yourself/you53. for54. enough55. withPART FOUR WRITINGSECTION A71.differently72.better73.motion and direction74.warmer colors75.higher frequencies 76.yelling/shouting77.brains78.focused/attentive79.threat and confrontation80.nervous or anxiousSECTION B81.He drew pictures for books.82.It means working hard./It means hard work.83.By changing Chinese literature and philosophy into humorous comic stories.84.Because of his great achievement.SECTION COne possible version：Let’s Live a Low-carbon LifeLow-carbon everyday living means that men and women really should try their best to cut down resource consumption (资源消耗) to decrease discharge (排放) of carbon dioxide in order to lessen pollution to atmosphere and relieve deterioration (恶化) of eco-environment.How long our planet can support us is a hot issue nowadays. As a result，in order that we can make the earth a better place to live for the generations to come，the idea of low-carbon living is more and more popular in the world.How can we live a low-carbon life？First of all，when we go to school or some other places，let’s go by bike or on foot as much as possible instead of going by car. Furthermore，let’s economize on water，paper and electricity. Lastly，using environmentally friendly shopping bags instead of plastic bags will greatly cut down the amount of white garbage globally.Protecting the environment needs the efforts of every one of us and every small effort of us will make a big difference for making the earth a better place.。

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炎德·英才大联考长沙市一中2011届高三月考试卷(六)数学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿命题人：胡雪文审题人：李湘斌(考试范围：集合与逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、推理与证明、不等式、计数原理、二项式定理、概率与统计、直线、平面、简单几何体、空间向量)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若M ＝{x ||x －1|<2}，N ＝{x |x (x －3)<0}，则M ∩N ＝ A.{x |0<x <3} B.{x |－1<x <2} C.{x |－1<x <3} D.{x |－1<x <0}2.已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是A.π6B.π3C.π4D.π23.已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，又知α∩β＝m ，且n ⊄α，n ⊄β，则“n ∥m ”是“n ∥α且n ∥β”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.6名同学安排到3个宿舍，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙均不能到三号宿舍，则不同的安排方法种数为A.6B.9C.12D.185.若f (x )＝f 1(x )＝x1＋x，f n (x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝A.nB.9n ＋1C.nn ＋1D.16.已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 被m 除得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod4).若22010≡r (mod7)，则r 可以为A.2008B.2009C.2010D.20117.在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A ＋PB ＋PC ＝AB ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是A.13B.12C.23D.348.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝错误!，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]内零点的个数为A.12B.14C.13D.8选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.已知a 是实数，(a －i)(1－i)i是纯虚数，则a 的值是 .10.若x 1，x 2，x 3，…，x 2009，x 2010的方差是2，则3(x 1－1),3(x 2－1)，…，3(x 2009－1),3(x 2010－1)的方差是 .11.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 (填你认为正确的图序号)12.已知函数f (x )＝－x 2＋ax －2b .若a ，b 都是区间[0,4]内的数，则使f (1)>0成立的概率是 .13.某机构对小学生作业负担的情况进行调查，设每个学生平均每天作业的时间为x (单位：分钟)，且x ～N (60,100)，已知P (x ≤50)＝0.159.现有1000名小学生接受了此项调查，下图是此次调查中某一项的流程图，则输出的结果大约是 .14.已知关于x 的方程9x －(4＋a )·3x ＋4＝0有两个实数解x 1，x 2，则x 21＋x 22x 1x 2的最小值是 .15.对有10个元素的总体{1,2,3，…，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A ＝{1,2,3,4}和B ＝{5,6,7,8,9,10}，再从A 和B 中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用P ij 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则P 15＝，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x4)，f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足a cos C ＋12c ＝b ，求函数f (B )的取值范围.在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会.如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品.已知某参与者答对每道题答对的概率都是23，且每道题答对与否互不影响.(1)求该参与者获得纪念品的概率；(2)记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望.如图，在体积为1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1＝1，P 为线段AB 上的动点.(1)求证：CA 1⊥C 1P ；(2)当AP 为何值时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6？已知函数f (x )＝－x 2＋ax －ln x (a ∈R ).(1)求函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件；(2)当函数f (x )在[12，2]上单调时，求a 的取值范围.某旅游景区的观景台P 位于高(山顶到山脚水平面M 的垂直高度PO )为2km 的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB ，山坡面可近似地看作平面P AB ，且△P AB 为等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M 所成的二面角为α(0°＜α＜90°)，且sin α＝25.现从山脚的水平公路AB 某处C 0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n －1段依次为C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n (如图所示)，且C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n 与AB 所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sin β＝14.试问：(1)每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q 处修建上山缆车索道站，索道PQ 依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？(2)若修建x km 盘山公路，其造价为x 2＋100 a 万元.修建索道的造价为22a 万元/km.问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少.已知正项数列{a n}的首项a1＝12，函数f(x)＝x1＋x，g(x)＝2x＋1x＋2.(1)若正项数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)(n∈N*)，证明：{1a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若正项数列{a n}满足a n＋1≤f(a n)(n∈N*)，数列{b n}满足b n＝a nn＋1，证明：b1＋b2＋…＋b n<1；(3)若正项数列{a n}满足a n＋1＝g(a n)，求证：|a n＋1－a n|≤3 10·(37)n－1.炎德·英才大联考长沙市一中2011届高三月考试卷(六)数学(理科)参考答案一、选择题1.A2.D3.C4.B5.A6.C7.C 解：由P A ＋PB ＋PC ＝AB 得P A ＋PB ＋BA ＋PC ＝0，即PC ＝2AP ，所以点P 是CA 边上的三等分点，故S △PBC ∶S △ABC ＝2∶3.8.B 解：如图，当x ∈[0,5]时，结合图象知f (x )与g (x )共有5个交点，故在区间[－5,0]上共有5个交点；当x ∈(0,10]时，结合图象知共有9个交点，故函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]上共有14个零点.二、填空题9.－1 10.18 11.①② 12.964 13.15914.2 解：原方程可化为(3x )2－(4＋a )·3x ＋4＝0，∴3x 1·3x 2＝4，∴x 1＋x 2＝2log 32，∴x 1x 2≤(log 32)2.∴x 21＋x 22x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝4(log 32)2x 1x 2－2≥2. 15.1410 解：(1)由题意有：P 15＝C 13·C 25C 24·C 36＝14.(2)当1≤i <j ≤4时，P ij ＝1C 24＝16，这样的P ij 共有C 24个，故所有P ij (1≤i <j ≤4)的和为16·6＝1；当5≤i <j ≤10时，P ij ＝C 14·C 22C 36＝15.这样的P ij 共有C 26＝15个，故所有P ij(5≤i <j ≤10)的和为15·15＝3；当1≤i ≤4,5≤j ≤10时，P ij ＝14，这样的P ij 共有4·6＝24，所有P ij (1≤i ≤4,5≤j ≤10)的和为24·14＝6，综上所述，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于1＋3＋6＝10. 三、解答题16.解：(1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12，而f (x )＝1，∴sin(x 2＋π6)＝12.(4分)又∵2π3－x ＝π－2(x 2＋π6)，∴cos(2π3－x )＝－cos2(x 2＋π6)＝－1＋2sin 2(x 2＋π6)＝－12.(6分)(2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(10分)又∵0<B <2π3，∴π6<B 2＋π6<π2，∴f (B )∈(1，32).(12分)17.解：(1)设“参与者获得纪念品”为事件A ，则P (A )＝1－P (A )＝1－[(13)5＋C 15(13)4(23)]＝232243.(4分) 故该参与者获得纪念品的概率为232243.(5分)(2)ξ的可能取值为2,3,4,5，P (ξ＝2)＝(23)2＝49；P (ξ＝3)＝C 1223·13·23＝827； P (ξ＝4)＝C 1323(13)223＝427；P (ξ＝5)＝C 14(23)(13)3＋C 04(13)4＝19.(8分) 故ξ(10分)Eξ＝2×49＋3×827＋4×427＋5×19＝7927.(12分)18.解：(1)证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 又∵AB ⊥AC ，∴以A 为原点，AC ，AB ，AA 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系.又∵VABC －A 1B 1C 1＝12AB ×AC ×AA 1＝1，∴AB ＝2.(2分)设AP ＝m ，则P (0，m,0)，而C 1(1,0,1)，C (1,0,0)，A 1(0,0,1)， ∴CA 1＝(－1,0,1)，C 1P ＝(－1，m ，－1)， ∴CA 1·C 1P ＝(－1)×(－1)＋0×m ＋1×(－1)＝0，∴CA 1⊥C 1P .(6分)(2)设平面C 1PB 1的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则错误!，即错误!. 令y ＝1，则n ＝(2,1，m －2)，(9分) 而平面A 1B 1P 的一个法向量AC ＝(1,0,0)，依题意可知cos π6＝|n ·AC ||n ||AC |＝2(m －2)2＋5＝32，∴m ＝2＋33(舍去)或m ＝2－33. ∴当AP ＝2－33时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6.(12分)19.解：(1)∵f ′(x )＝－2x ＋a －1x ＝－2x 2＋ax －1x(x >0)，∴f (x )既有极大值又有极小值⇔方程2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根x 1，x 2. (3分)∴错误!，∴a >2错误!，∴函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件是a >2 2.(6分)(2)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，令g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2，g (x )在[12，22)上递减，在(22，2]上递增.(8分)又g (12)＝3，g (2)＝92，g (22)＝22，∴g (x )max ＝92，g (x )min ＝2 2.(10分)若f (x )在[12，2]单调递增，则f ′(x )≥0即a ≥g (x )，∴a ≥92.若f (x )在[12，2]单调递减，则f ′(x )≤0，即a ≤g (x )，∴a ≤2 2.所以f (x )在[12，2]上单调时，则a ≤22或a ≥92.(13分)20.解：(1)在盘山公路C 0C 1上任选一点D ，作DE ⊥平面M 交平面M 于E ，过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连结DF ，易知DF ⊥C 0F .sin∠DFE ＝25，sin ∠DC 0F ＝14.∵DF ＝14C 0D ，DE ＝25DF ，∴DE ＝110C 0D ，所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的52倍，所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米.从山脚至半山腰，盘山公路为10km.从半山腰至山顶，索道长2.5km.(6分)(2)设盘山公路修至山高x (0＜x ＜2)km ，则盘山公路长为10x km ，索道长52(2－x )km.设总造价为y 万元，则y ＝(10x )2＋100a ＋52(2－x )·22a ＝(10x 2＋1－52x )a ＋102a .令y ′＝10axx 2＋1－52a ＝0，则x ＝1.当x ∈(0,1)时，y ′＜0，函数y 单调递减；当x ∈(1,2)时，y ′>0，函数y 单调递增，∴x ＝1，y 有最小值，即修建盘山公路至山高1km 时，总造价最小，最小值为152a 万元.(13分)21.证明：(1)∵a n ＋1＝f (a n )＝a n 1＋a n ，∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n ＋1，即1a n ＋1－1a n＝1，∴{1a n }是以2为首项，1为公差的等差数列. ∴1a n ＝2＋(n －1)，即a n ＝1n ＋1.(3分) (2)证明：∵a n ＋1≤a n 1＋a n ，a n >0，∴1a n ＋1≥1＋a n a n ，即1a n ＋1－1a n≥1.当n ≥2时，1a n －1a 1＝(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)≥n －1，∴1a n ≥n ＋1，∴a n ≤1n ＋1. 当n ＝1时，上式也成立，∴a n ≤1n ＋1(n ∈N *)，∴b n ＝a n n ＋1≤1(n ＋1)2<1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴b 1＋b 2＋…＋b n <(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1<1.(8分)(3)∵a 1＝12，a 2＝g (a 1)＝45，a 2－a 1＝45－12＝310>0.又∵a n ＋1－a n ＝2a n ＋12＋a n －2a n －1＋12＋a n －1＝3(a n －a n －1)(a n ＋2)(a n －1＋2)，由迭代关系可知，a n ＋1－a n >0，∴a n ≥a 1＝12.又∵(2＋a n )(2＋a n －1)＝(2＋2a n －1＋12＋a n －1)(2＋a n －1)＝5＋4a n －1≥7， ∴3(2＋a n )(2＋a n －1)≤37， ∴|a n ＋1－a n |＝3(2＋a n )(2＋a n －1)|a n －a n －1|≤37|a n －a n －1|， ∴|a n ＋1－a n |≤37|a n －a n －1|≤(37)2|a n －1－a n －2|≤…≤(37)n －1|a 2－a 1|＝310(37)n －1.(13分)。

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