2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分)
1. 已知集合，则集合的子集的个数 _________。

【答案】4
【解析】集合A={1，2}的子集分别是：φ，{1}，{2}，{1，2}，
共有4个，
故答案为4
2. 在平面直角坐标系中，角终边上一点的坐标为，则实数的值为_________。

【答案】
【解析】角终边上一点的坐标为,tan60°=
故答案为
3. 已知幂函数的图象过点，则_________。

【答案】
【解析】∵幂函数y=f（x）=xα的图象过点∴
故答案为
4. 若扇形的弧长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为_________ 。

【答案】9
【解析】因为扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，所以圆的半径为3，
所以扇形的面积为：，故答案为9.
5. 函数的定义域为_________。

【答案】
【解析】要使函数有意义,则需满足
故答案为
6. 已知，则_________。

【答案】7
【解析】令,则,
故答案为7
7. 若函数在区间上存在零点，则的值等于_________。

【答案】2
【解析】函数在上递增函数零点所在
的区间为,
故答案为2
8. 函数的单调递增区间是_________。

【答案】
【解析】设，或
为增函数，在为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数的单调递增区间是.
9. 设，，，则由小到大
．．．．的顺序是(用表示)_________。

【答案】
【解析】且，，
故答案为
10. 已知定义在上的函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是_________。

【答案】
【解析】考点：函数单调性的性质。

分析：由题意可得，
m＞0
20+1≥m×0+m-1
从而可求得m的取值范围。

解答：
∵
在（-∞，+∞）上单调递增，
∴m＞0
20+1≥m×0+m-1
解得0＜m≤3。

故答案为：（0，3]。

点评：本题考查函数单调性的性质，得到20+1≥m×0+m-1是关键，考查理解与运算的能力，属于基础题。

11. 已知函数的图象为，作图象关于直线的对称图象，将图象向左平移3
个单位后再向下平移两个单位得到图象，若图象所对应的函数为，则_________。

【答案】-1
【解析】函数的图象为，作图象关于直线的对称图象，则对应的函数为，将图象向左平移3个单位后再向下平移两个单位得到图象，则对应的函数为
，则图象所对应的函数为=，则
故答案为-1
12. 已知，且对于任意的实数有，又，则
_________。

【答案】2018
【解析】对于任意的实数有，又，令又，
故答案为2018
点睛：本题考查抽象函数值求解，对于抽象函数关键是对字母准确、灵活赋值，构造出更具
体的题目需求的关系式，本题中利用，易得，从而可得每项比值都为2,即相加得解.
13. 已知函数，若，则实数的取值范围为_________。

【答案】
点睛：本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型，利用奇偶性和单调性将不等式转化为一元二次不等式是解题的关键，先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，再研究函数的奇偶性，由此性质转化求解不等式，解出a的范围即可．
14. 函数在区间上取得最小值，则实数的取值范围是_________。

【答案】
【解析】∵函数f（x）=（2-x）|x-6|
其函数图象如下图所示：
由函数图象可得：
函数f（x）=（2-x）|x-6|在（-∞，a]上取得最小值-4时，
实数a须满足
4≤a≤
故答案为
点睛：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，由零点分段法，我们可将函数
的解析式化为分段函数的形式，然后根据分段函数分段处理的原则，画出函数的图象，进而结合图象数形结合，可得实数a的集合．画出函数的图象是解答本题的关键．
二、解答题(本大题共6小题，共计90分。

解答时，要写出必要的解题过程及步骤)
15. 已知集合。

(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围。

【答案】(1) （2）
【解析】试题分析：（1）写出m=2时集合B和∁R B，再计算A∩∁R B；（2）根据A∪B=B时A⊆B，得出关于m的不等式组，求出解集即可.
试题解析：
(1)当时，
所以
因为
所以
（2）因为，所以
因为
所以，
解得，
即的取值范围是
16. (1)计算的值；
(2)已知实数满足，且，求的值。

【答案】(1)11 (2)
【解析】试题分析：(1)利用对数的运算性质，根式与分数指数幂的转化即可得出结果.(2) 因为，平方得，即，所以因为，所以，化简，代入各值即可.
试题解析：
(1)原式
(2)因为，所以，即，因此，
因为，所以，
所以
17. 已知函数，其中为常数，
(1)若函数为奇函数，求的值；
(2)若函数在上有意义，求实数的取值范围。

【答案】(1) (2)
..................
试题解析：
(1)因为为奇函数，所以对定义域内的任意恒成立，即对定义域内的任意恒成立，
故，即对定义域内的任意恒成立，
故，即
当时，为奇函数，满足条件；
当时，无意义，故不成立。

综上，
(2)若在内恒有意义，则当时，有恒成立，
因为，所以，从而在上恒成立，
令，则
当时，不合题意
当时，，解得，
所以，实数的取值范围是
18. 已知函数。

(1)求证是上的单调增函数；
(2)求函数的值域；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围。

【答案】(1) 见解析 (2) (3)
【解析】试题分析：(1) 设，则，判号得出
即得证（2）因为，又，所以所以，故
即得值域（3）若对任意的，不等式恒成立，则需要先判断为奇函数，从而不等式等价，又结
合第一问为增函数，即对一切有即得解
试题解析;
(1)因为，
设，则
因为，所以，，
所以，故是上的增函数；
(2)因为，
又，所以
所以，故，
所以的值域为
(3)因为，所以为奇函数，
所以，从而不等式等价于
因为增函数，由上式推得，即对一切有
从而判别式，解得，
故实数的取值范围是
19. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元。

某月甲、乙两户共交水费元，已知甲、乙两户该月用水量分别为
吨。

(1)求关于的函数。

(2)若甲、乙两户该月共交水费元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费。

【答案】（1）（2）甲户该月的用水量为吨、水费为元，乙户该月
的用水量为吨、水费为元
【解析】试题分析：（1）由题意知：x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x=，将x取值范围分三段，求对应函数解析式可得答案．（2）在分段函数各定义域上根据单调性讨论函数的值域，可以发现只有当时，令，解得，则甲、乙两户该月的用水量和水费即得解.
试题解析：
（1）当甲的用水量不超过吨时，即，时，乙的用水量也不超过吨，
；
当甲的用水量超过吨，乙的用水量不超过吨，即时，
；
当乙的用水量超过吨，即，时，
.
所以
（2）由于在各段区间上均单调增，
当时，；
当时，；
当时，令，解得.
所以甲户用水量为（吨），付费(元)；
乙户用水量为（吨），付费(元)．
答：甲户该月的用水量为吨、水费为元，乙户该月的用水量为吨、水费为元
点睛：本题是分段函数的简单应用题，关键是审清题意，列出函数解析式，找对自变量的分段区间，第二问中主要涉及分段函数的值域问题，还是分段处理的原则.
20. 设函数，，且函数的图象关于直线对称。

(1)求函数在区间上最大值；
(2)设，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)设有唯一零点，求实数的值。

【答案】(1) 10(2) (3)
【解析】试题分析：因为关于直线对称，所以，分析函数在上单调递减，在上单调递增，所以很容易求最值（2）可化为，
化为，令，则,求最小值即得解(3) 由题意得：，
所以
故，即为的对称轴，因为有唯一的零点，所以的零点只能为，因为有唯一的零点，所以的零点只能为，即，解得，对进行检验，函数是上的增函数，
而，所以，函数只有唯一的零点，满足条件.
试题解析：
(1)因为关于直线对称，所以
故
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，所以当时，。

所以在区间上的最大值为10
(2)可化为，
化为，令，则,
因故，记，因为，故，
所以的取值范围是
(3)由题意得：，
所以
故，即为的对称轴，
因为有唯一的零点，所以的零点只能为，
即，解得。

当时，，
令，则，
从而
，
即函数是上的增函数，
而，所以，函数只有唯一的零点，满足条件。

故实数的值为。

点睛：本题考查了二次函数的对称性，二次函数在闭区间的最值，不等式恒成立问题，函数的零点与函数对称的关联，抓住题干中给出的对称轴，可以联系也有对称性，若有唯一零点只能在轴处取值为0，再检验即可.。