全品培优-华师九上-第22章

第22章二次根式22．1二次根式专题一与二次根式有关的规律探究题1．将1、2、3、6按下图方式排列．若规定(m，n)表示第m排从左到右第n个数，则(4,2)与(21,2)表示的两数之积是() A．1 B．2 C．2 3 D．62．观察下列各算式：①2×4×6×8＋16＝(2×8)2＋16＝16＋4＝20；②4×6×8×10＋16＝(4×10)2＋16＝40＋4＝44；③6×8×10×12＋16＝(6×12)2＋16＝72＋4＝76；④8×10×12×14＋16＝(8×14)2＋16＝112＋4＝116；…(1)根据以上规律计算：2006×2008×2010×2012＋16；(注意计算技巧哦！)(2)请你猜想2n 2n＋2)(2n＋4)(2n＋6)＋16的结果．(用含n的式子表示)3．(2011·珠海)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a ＋b 2＝(m ＋n 2)2(其中a 、b 、m 、n 均为正整数)，则有a ＋b 2＝m 2＋2n 2＋2mn 2，∴a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn .这样小明就找到了一种把部分a ＋b 2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a ＋b 3＝(m ＋n 3)2，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a ＝________，b ＝________；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空：________＋________3＝(________＋________3)2；(3)若a ＋43＝(m ＋n 3)2，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值．专题二 利用二次根式的性质将代数式化简 4．把()a －b －1a －b化成最简二次根式正确的结果是( ) A.b －a B.a －b C ．－a －b D ．－b －a5．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简a 2－b 2－(a －b )2＝________.答案1．D [解析]从图示中知道，(4,2)所表示的数是 6.∵前20排共有1＋2＋3＋4＋…＋20＝210个数，∴(21,2)表示的是第210＋2＝212个数．∵这些数字按照1、2、3、6的顺序循环出现，212÷4＝53，∴(21,2)表示的数是 6.∴(4,2)与(21,2)表示的两数之积是6×6＝6. 2．解：(1)原式＝(2006×2012)2＋16＝2006×2012＋4＝4036076. (2)原式＝[]2n ×(2n ＋6)2＋16＝2n ×(2n ＋6)＋4＝4n 2＋12n ＋4.3．解：(1)∵a ＋b 3＝(m ＋n 3)2， ∴a ＋b 3＝m 2＋3n 2＋2mn 3， ∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn . 故答案为m 2＋3n 2,2mn .(2)答案不唯一，如设m ＝1，n ＝1， ∴a ＝m 2＋3n 2＝4，b ＝2mn ＝2. 故答案为4、2、1、1. (3)由题意，得：a ＝m 2＋3n 2,4＝2mn ， ∵m 、n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或者m ＝1，n ＝2，∴a ＝22＋3×12＝7，或a ＝12＋3×22＝13. 4．D [解析]因为a －b <0, 所以()a －b －1a －b＝－－1a －b()a －b 2＝－b －a . 5．－2b [解析]由图可知a <0，b >0，|a |＞|b |, 所以a 2－b 2－(a －b )2＝－a －b ＋a －b ＝－2b .22．2 二次根式的乘除法专题 二次根式分母有理化的应用1．若x ＝45－1，y ＝5＋1，则( )A ．x 、y 互为倒数B ．x 、y 互为相反数C ．x 、y 相等D ．x 、y 互为负倒数 2．按要求解决下列问题： (1)化简下列各式： 21＝________，82＝________，183＝________，505＝________，… (2)通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明．3．计算：(1)30×32223÷2212；(2)2b ab 5÷6a b 2b a ×⎝⎛⎭⎫－32a 3b (a ，b >0)．答案1．C [解析]先将x 分母有理化，得x ＝4()5＋1()5－1()5＋1＝5＋1，这样就一目了然了．故选C.2．[解析]将二次根式进行分母有理化，通过(1)观察得出规律． 解：(1)2 42 63 10 5(2)由(1)中各式化简情况可得2n 2n ＝2n n .证明如下：2n 2n ＝2n 2n n ·n ＝2n 2nn＝2n n .3．[解析]二次根式乘除的混合运算与有理数的乘除混合运算一样，按从左到右的顺序进行． 解：(1)原式＝30×6÷10 ＝18＝32. (2)原式＝2b ab ÷6b2ab ×⎝⎛⎭⎫－3a 2ab ＝b 33×⎝⎛⎭⎫－3a2ab ＝－ab 32ab .22．3 二次根式的加减法专题一 用简便方法解决二次根式运算1．(5－3＋2)(5－3－2)．2．计算：11＋2＋12＋3＋13＋4＋14＋5＋15＋6.3.⎝⎛⎭⎫a 2n m －ab m mn ＋n m m n ÷a 2b 2nm(m >0)． 4.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －ab a ＋b ÷a ab ＋b ＋bab －a －a ＋b ab(a ≠b )．专题二 整体思想在二次根式的化简求值中的应用5．已知x ＝3＋23－2，y ＝3－23＋2，求x 3－xy 2x 4y ＋2x 3y 2＋x 2y 3的值．6．当x ＝1－2时，求x x 2＋a 2－x x 2＋a 2＋2x －x 2＋a 2x 2－x x 2＋a 2＋1x 2＋a 2的值．答案1．[解析]将5－3看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式． 解：原式＝(5－3)2－(2)2 ＝5－215＋3－2 ＝6－215.2．[解析]对每个根式都进行分母有理化解：原式＝2－1＋3－2＋4－3＋5－4＋6－5 ＝6－1.3．[解析]先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 解：原式＝⎝⎛⎭⎫a 2n m －ab m mn ＋n m m n ·1a 2b2m n＝1b 2n m ·m n －1mab mn ·m n ＋n ma 2b2m n ·m n＝1b 2－1ab ＋1a 2b 2 ＝a 2－ab ＋1a 2b 2.4. [解析]本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 解：原式＝a ＋ab ＋b －ab a ＋b ÷a a (a －b )－b b (a ＋b )－(a ＋b )(a －b )ab (a ＋b )(a －b )＝a ＋b a ＋b ÷a 2－a ab －b ab －b 2－a 2＋b 2ab (a ＋b )(a －b )＝a ＋b a ＋b ·ab (a －b )(a ＋b )－ab (a ＋b) ＝－a ＋b .5．[解析]先将已知条件化简，再将所求分式化简，最后将已知条件代入求值． 解：∵x ＝3＋23－2＝(3＋2)2＝5＋2 6. y ＝3－23＋2＝(3－2)2＝5－26， ∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1，∴x 3－xy 2x 4y ＋2x 3y 2＋x 2y 3 ＝x (x ＋y)(x －y)x 2y (x ＋y)2＝x －y xy (x ＋y) ＝461×10＝256. [点评]本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”的值．从而使求值的过程更简捷．6．[解析]注意：x 2＋a 2＝(x 2＋a 2)2，∴x 2＋a 2－x x 2＋a 2＝x 2＋a 2(x 2＋a 2－x )，x 2－x x 2＋a 2＝－x (x 2＋a 2－x )． 解：原式＝x x 2＋a 2(x 2＋a 2－x )－2x －x 2＋a 2x (x 2＋a 2－x)＋1x 2＋a 2＝x 2－x 2＋a 2(2x －x 2＋a 2)＋x (x 2＋a 2－x )x x 2＋a 2(x 2＋a 2－x )＝x 2－2x x 2＋a 2＋(x 2＋a 2)2＋x x 2＋a 2－x 2x x 2＋a 2(x 2＋a 2－x )＝(x 2＋a 2)2－x x 2＋a 2x x 2＋a 2(x 2＋a 2－x )＝x 2＋a 2(x 2＋a 2－x )x x 2＋a 2(x 2＋a 2－x ) ＝1x. 当x ＝1－2时，原式＝11－2＝－1－ 2. [点评]本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝x x 2＋a 2(x 2＋a 2－x )－2x －x 2＋a 2x (x 2＋a 2－x )＋1x 2＋a 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋a 2－x －1x 2＋a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋a 2－x －1x ＋1x 2＋a 2＝1x.。