【名师伴你行】2016高考数学二轮专题复习 提能增分篇 突破一 数学思想方法的贯通应用 专项突破训练3 文

专项突破训练(三) 分类与整合思想(时间：45分钟 分数：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1. (2015²江西上饶市一模)函数f (x )＝2|log 2 x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x 的图象为( )答案：D解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当0＜x ＜1时，f (x )＝1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x ；当x ≥1时，f (x )＝x －⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝1x.故选D.2．(2015²山东聊城模拟)点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2答案：D解析：将y ＝ax 2化为x 2＝1a y ，当a ＞0时，准线y ＝14a ，由已知得3＋14a ＝6，∴1a ＝12，∴a ＝112.当a ＜0时，准线y ＝－14a ，由已知得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，∴a ＝－136或a ＝112(舍)．∴抛物线方程为y ＝x 212或y ＝－136x 2.故选D.3．(2015²长沙模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案：C解析：①当a >0时，－a <0，由f (a )>f (－a )得log 2a >log 12 a ，∴2log 2a >0，∴a >1.②当a <0时，－a >0，由f (a )>f (－a )得， log 12(－a )>log 2(－a )， ∴2log 2(－a )<0，∴0<－a <1，即－1<a <0. 由①②可知－1<a <0或a >1.4．(2015²山西大学附中月考)若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率是( )A.32B. 5C.32或52D.32或 5 答案：D解析：∵m 是2,8的等比中项，∴m 2＝2³8＝16，∴m ＝±4.若m ＝4，∴椭圆x 2＋y 2m ＝1的方程为x 2＋y 2m＝1，∴其离心率e ＝1－14＝32； 若m ＝－4，则双曲线方程为x 2－y 24＝1，离心率e ＝1＋4＝ 5.故选D.5．(2015²福建厦门市质检)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x －2)＝f (x ＋2)，当0＜x ＜2时，f (x )＝1－log 2(x ＋1)，则当0<x <4时，不等式(x －2)f (x )＞0的解集是( )A ．(0,1)∪ (2,3)B ．(0,1)∪(3,4)C ．(1,2)∪(3,4)D ．(1,2)∪(2,3)答案：D解析：当0＜x ＜2时，x －2＜0，不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，f x ＜0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，1－log 2 x ＋1 ＜0， 解得1＜x ＜2，当2＜x ＜4时，x －2＞0，不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，f x ＞0，由函数f (x )是奇函数，得f (－x )＝－f (x )，又f (x －2)＝f (x ＋2)，则f (x )＝f (x －2＋2)＝f (x －2－2)＝－f (4－x )．因为0＜4－x ＜2，不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，－1＋log 2 5－x ＞0，解得2＜x ＜3，所以原不等式的解集为(1,2)∪(2,3)．故选D.6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，则|OA |2＋|OB |2(O 为坐标原点)的最小值为( )A ．4B ．8C ．10D ．12 答案：C解析：设直线l 的斜率为k (k 存在时)，与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线l方程为y ＝kx －k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx －k ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，于是|OA |2＋|OB |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝x 21＋4x 1＋x 22＋4x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22＋8k 2＋16k 2－2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋12－6>10， 当斜率不存在时，此时直线l 垂直x 轴，得A (1,2)，B (1，－2)，所以|OA |2＋|OB |2＝12＋22＋12＋22＝10.综合可知|OA |2＋|OB |2的最小值为10.二、填空题(每小题5分，共20分)7．若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是________． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1＋52解析：设三边为a ，qa ，q 2a ，其中q ＞0，则由三角形三边不等关系得①当q ≥1时，a ＋qa ＞q 2a ，即q 2－q －1＜0， 解得1－52＜q ＜1＋52，此时1≤q ＜1＋52.②当q ＜1时，a 为最大边，qa ＋q 2a ＞a ，即q 2＋q －1＞0，解得q ＞5－12或q ＜－1＋52.又q ＞0，此时q ＞5－12. 综合①②，得q ∈ ⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1＋52.8．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是________． 答案：32或34解析：由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos B ， ∴12＝(3)2＋BC 2－2³3³BC ³32. 整理，得BC 2－3BC ＋2＝0.∴BC ＝1或2. 当BC ＝1时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B＝12³3³1³12＝34. 当BC ＝2时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B＝12³3³2³12＝32. 综上，△ABC 的面积为32或34. 9．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．答案：72或2解析：若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， ∴|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.10．(2015²江西南昌)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1，x ≤0，lg x ，x ＞0，若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为________．答案：(－1,0)∪(0，＋∞)解析：当a >0时，若x >1，f (x )>0，∴f (f (x ))＝f (lg x )＝lg(lg x )＝0⇒lg x ＝1，∴x ＝10成立． 若x ≤1，f (x )<0，f (f (x ))＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a x －1＝aa x －1－1＝0无解．∴a >0时f (f (x ))＝0有且只有一个实数解． 当a <0时， 若x >1, f (x )>0，f (f (x ))＝f (lg x )＝lg(lg x )＝0，∴x ＝10成立．若0<x ≤1，f (x )<0，f (f (x ))＝f (lg x )＝alg x －1＝0无解．若x ≤0，f (x )＝a x －1>0，∴f (f (x ))＝lg a x －1＝0⇒ax －1＝1. ∴a ＝x －1.∵x －1≤－1，∴a ≤－1时有解． ∴－1<a <0时无解．综上实数a 的取值范围a >0或－1<a <0. 三、解答题(每题10分，共30分)11．(2015²东北三校一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，点A (2，2)在椭圆上，且AF 2与x 轴垂直． (1)求椭圆的方程；(2)过A 作直线与椭圆交于另外一点Β，求△AOB 面积的最大值．解：(1)由已知得c ＝2，b 2a＝2，所以a ＝22，b 2＝4， 故椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)当AB 斜率不存在时，S ΔAOB ＝12³22³2＝2 2.当AB 斜率存在时，设其方程为y －2＝k ()x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠22. 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋ 2－2k ，x 2＋2y 2＝8，得()2k 2＋1x 2＋4()2－2k kx ＋2()2－2k 2－8＝0.则Δ＝16()2－2k 2k 2－8()2k 2＋1[]()2－2k 2－4＝8()2k ＋22>0，所以k ≠－22，||AB ＝1＋k 2²22²||2k ＋22k 2＋1.O 到直线AB 的距离：d ＝||2－2k 1＋k2， 所以S △ABC ＝12||AB d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－42k 2＋1. 因为k ≠±22，所以2k 2＋1≠2， 所以2k 2＋1∈ [ 1， )2∪()2，＋∞， 所以2－42k 2＋1∈ [ －2， )0 ∪()0，2，此时S △AOB ∈(0,2 2 ]．综上，△AOB 面积的最大值为2 2.12.(2015²河南六市一调)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x(a 为实数)． (1) 当a ＝5时，求函数y ＝g (x )在x ＝1的切线方程； (2) 求f (x )在区间[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(3) 若存在两不等实根．．．．．．．x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使方程g (x )＝2e xf (x )成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)²e x， 则g (1)＝e.g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)²e x， 故切线的斜率为g ′(1)＝4e.所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4e x －3e. (2)因为f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，则x ＝1e.①当t ≥e 时，在区间(t ，t ＋2)上f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t .②当0＜t ＜1e 时，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1e 上f (x )为减函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t ＋2上f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . (3) 由g (x )＝2e xf (x )，可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3， 即a ＝x ＋2ln x ＋3x，令h (x )＝x ＋2ln x ＋3x，则h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝ x ＋3 x －1x2.由h ⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝e ＋3e －2，h (1)＝4，h (e)＝e ＋e ＋2.则h (e)－h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－2e ＋2e ＜0.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤4，e ＋2＋3e .13．(2015²山东师大附中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (1,0)，且点⎝⎛⎭⎪⎫－1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0和过F 的动直线l ，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求QA →²QB →.解：(1)2a ＝－1－1 2＋⎝⎛⎭⎪⎫22－02＋ －1＋1 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－02＝22， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)①若直线斜率不存在，则l ：x ＝1， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－22，∴QA →²QB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－54，22²⎝ ⎛⎭⎪⎫1－54，－22＝116－12＝－716②当直线斜率存在时，设l ：y ＝k (x －1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k x －1消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0Δ＝(－4k 2)2－4³(2k 2＋1)³2(k 2－1)＝8(k 2＋1)>0 令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1²x 2＝2 k 2－12k 2＋1 ∴QA →²QB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－54，y 1²⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋54(x 1＋x 2)＋k 2＋2516＝(k 2＋1)2 k 2－1 2k 2＋1－⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋544k 22k 2＋1＋k 2＋2516 ＝－2＋2516＝－716.综上述可知，QA →²QB →＝－716.。