曲线的参数方程及意义

引例
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢？ 时机呢？
小结： 小结：
一般地，在平面直角坐标系中， 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变数 的函数 都是某个变数t的函数 ， 都是某个变数
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x = f (t ), （2） y = g (t ).
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点 并且对于 的每一个允许值，由方程组（ ）所确定的点M(x,y) 的每一个允许值 都在这条曲线上，那么方程（ ）就叫做这条曲线的参数方程 都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 参数方程， 系变数x,y的变数 叫做参变数，简称参数。 的变数t叫做参变数 系变数 的变数 叫做参变数，简称参数。
（1）求常数 ）求常数a;
点M(5,4)在该 曲线上 在该 曲线上.
（2）该曲线类型是什么？ ）该曲线类型是什么？ 1+2t=5 解:
(1)由题意可知 由题意可知: 由题意可知 解得: 解得
a=1 t=2
at2=4 ∴ a=1
x=1+2t y=t2
x −1 由第一个方程得: 由第一个方程得 t = 2 x −1 2 ) , 代入第二个方程得: 代入第二个方程得 y = ( 2
x = 3t , 已知曲线C的参数方程是 例1: 已知曲线 的参数方程是 (t为参数) 2 y = 2t + 1.
与曲线C的位置关系 （1）判断点 1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线 的位置关系； ）判断点M ， 与曲线 的位置关系； 在曲线C上 的值。 （2）已知点 3(6, a)在曲线 上, 求a的值。 ）已知点M 在曲线 的值 （3）该曲线类型是什么？ ）该曲线类型是什么？
表示同一曲线， 都 是 表 示 圆
y M(x,y)
r O
θ
M0 x
此时参数有明确的物理意义（时刻） 此时参数有明确的物理意义（时刻）
x = r cos θ , θ=ωt (θ为参数 ) y = r sin θ .
此时参数有明确的几何意义（角度） 此时参数有明确的几何意义（角度）
参数方程要 要注明 参数
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁 的桥梁, 关于参数几点说明： 参数是联系变数 的桥梁 1. 参数方程中参数可以是有物理意义 几何意义 也可以没有明 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 显意义。 显意义。 2.同一曲线选取参数不同 曲线参数方程形式也不一样 同一曲线选取参数不同, 同一曲线选取参数不同 曲线参数方程形式也不一样. 3.在实际问题中要确定参数的取值范围 在实际问题中要确定参数的取值范围. 在实际问题中要确定参数的取值范围
垂直高度为y，所以有
可以使其准确落在指定位置.
1、参数方程的概念： 、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的 坐标x, 都是某个变数 都是某个变数t的函数 坐标 y都是某个变数 的函数 x = f (t ), y = g (t ). （2） 并且对于t的每一个允许值 由方程组(2) 的每一个允许值, 并且对于 的每一个允许值 由方程组 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上 那么方程 就叫做这条曲线的 都在这条曲线上, 都在这条曲线上 那么方程(2) 参数方程, 联系变数x,y的变数 叫做参变数, 简称参数. 的变数t叫做参变数 参数方程 联系变数 的变数 叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言， 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程 普通方程。 的方程叫做普通方程。
练习1
x =1+t2 ,(t为参数） 与x轴的交点坐标是 B ) 1、曲线 轴的交点坐标是( 、 轴的交点坐标是 y = 4t −3
25 A、（ ，4）； 、 16 , 0); C、(1, −3); 、（1， ）； ( ）；B、 、（ 、 25 , 0); D、 (± 、 16
2、方程 、 （ D ）
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
o
x = 100t , (x,y) 1 2 y = 500 − gt .（g=9.8m/s2 ) 2 令y = 0, 得t ≈ 10.10 s. x 代入x = 100t , 得 x ≈ 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
提示： 提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？ 多远时，开始投放物资？
投放点
？
救援点
引例
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢？ 时机呢？
变式:课本第 页第 变式 课本第26页第 题 课本第 页第1题
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行 在离灾 的速度作水平直线飞行.在离灾 一架救援飞机以 的速度作水平直线飞行 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力 重 时投放救援物资（ 区指定目标 时投放救援物资 不计空气阻力,重 问此时飞机的飞行高度约是多少？ 力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？ 问此时飞机的飞行高度约是多少 精确到1m） （精确到 ）
x = sinθ ,(θ为参数）所表示的曲线上一点的坐标是 y = cosθ
1 1 1 2 A、（ ，7）； 、 , ); C、( , ); D、（ ，0） 、（2， ）； ( ）；B、 、（1， ） 、（ 、 、（ 2 2 3 3
练习2
x = 1 + 2t , (t为参数,a ∈ R ) 2. 已知曲线 的参数方程是 已知曲线C的参数方程是 2 y = at .
(2)由已知及 可得 曲线 的方程为 由已知及(1)可得 曲线C的方程为 由已知及 可得,曲线 的方程为:
(x −1) = 4 y为所求.
2
2、参数方程的意义 、
匀速圆周运动
点M的角速度为ω θ=ωt
x y cos ωt = sin ωt = r r x = r cos ωt , (t为参数 ) y = r sin ωt.