曲线的参数方程及意义
第二讲：曲线的参数方程
1．第二讲：曲线的参数方程参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中的基本概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域中有着重要的应用。
本文将介绍曲线与曲面的参数方程，以及它们在实际问题中的应用。
一、曲线的参数方程曲线是平面或空间中的一条连续的线段，它可以用参数方程来表示。
参数方程是指将曲线上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。
对于二维平面曲线，参数方程通常形式为：x = f(t)y = g(t)其中，t为参数，f(t)和g(t)是与参数t有关的函数。
通过不同的参数t取值，可以得到曲线上的各个点，从而描述整个曲线。
举个例子，考虑单位圆的参数方程。
圆的方程为x² + y² = 1，而参数方程为：x = cos(t)y = sin(t)其中，参数t的取值范围为0到2π。
当t取0时，x = cos(0) = 1，y= sin(0) = 0，即得到圆的右端点；当t取π/2时，x = cos(π/2) = 0，y =sin(π/2) = 1，即得到圆的上端点；依此类推，当t取2π时，又得到圆的右端点，从而完成了整个圆的参数方程描述。
二、曲面的参数方程曲面是空间中的一片连续的平面区域，它可以用参数方程来表示。
参数方程是指将曲面上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。
对于三维空间中的曲面，参数方程通常形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，u和v为参数，f(u, v)、g(u, v)和h(u, v)是与参数u和v有关的函数。
通过不同的参数u和v的取值，可以得到曲面上的各个点，从而描述整个曲面。
举个例子，考虑球面的参数方程。
球面的方程为x² + y² + z² = r²，而参数方程为：x = r sinθ cosφy = r sinθ sinφz = r c osθ其中，r为球的半径，θ为极角，范围是0到π，φ为方位角，范围是0到2π。
参数方程
参数方程最新考纲 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．知 识 梳 理1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数. 2.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致. 3.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 温馨提醒 直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离． [微点提醒]1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.2.参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式cos 2 θ＋sin 2 θ＝1，1＋tan 2 θ＝1cos 2 θ.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量.( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) 解析 (4)当t ＝π3时，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，4sin π3，即M (1，23)，∴OM的斜率k ＝2 3.答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2.(选修4－4P22例1改编)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)，点M (－6，a )在曲线C 上，则a ＝________.解析 由题意得⎩⎨⎧－6＝3t ，a ＝2t 2＋1，∴⎩⎨⎧t ＝－2，a ＝9. 答案 93.(选修4－4P26习题A4改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t为参数)的普通方程为________.解析 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0. 答案 x －y －1＝04.(2014·湖北卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析 将曲线C 1的参数方程化为普通方程为y ＝33x (x ≥0)，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎨⎧y ＝33x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(3，1)． 答案 (3，1)5.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t (t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析 曲线C 1：ρcos θ＋ρsin θ＝－2的直角坐标方程为x ＋y ＝－2， 曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎨⎧x ＋y ＝－2，y 2＝8x 解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4，则C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 答案 (2，－4)6.(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数).(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解 (1)a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 曲线C 的标准方程是x 29＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x29＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.则C 与l 交点坐标是(3，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0. 设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ). 则P 到l 距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17＝|5sin(θ＋φ)－4－a |17，其中tan φ＝34.又点C 到直线l 距离的最大值为17， 所以|5sin(θ＋φ)－4－a |的最大值为17. 若a ≥0，则－5－4－a ＝－17，∴a ＝8. 若a <0，则5－4－a ＝17，∴a ＝－16. 综上，实数a 的值为a ＝－16或a ＝8.考点一 参数方程与普通方程的互化 【例1】 将下列参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数).解 (1)由t 2－1≥0⇒t ≥1或t ≤－1⇒0<x ≤1或－1≤x <0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ①，y ＝1t t 2－1②，①式代入②式得普通方程为x 2＋y 2＝1. 其中⎩⎨⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎨⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)由x ＝2＋sin 2 θ，0≤sin 2 θ≤1⇒2≤2＋sin 2 θ≤3⇒2≤x ≤3， ⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ⇒⎩⎨⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－1＋1－2sin 2θ⇒⎩⎨⎧x －2＝sin 2 θy ＝－2sin 2θ⇒普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3). 规律方法 消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数． (2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数． 【训练1】 (1)设x －13＝cos θ，θ为参数，求椭圆(x －1)23＋(y ＋2)25＝1的参数方程.(2)将下列参数方程化为普通方程.(ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(e t ＋e －t)，y ＝12(e t －e－t)(t 为参数)； (ⅱ)⎩⎨⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数).解 (1)把x －13＝cos θ代入椭圆方程，得到cos 2θ＋(y ＋2)25＝1，于是(y ＋2)2＝5(1－cos 2 θ)＝5sin 2 θ，即y ＋2＝±5sin θ， 由参数θ的任意性，可取y ＝－2＋5sin θ， 因此椭圆(x －1)23＋(y ＋2)25＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数). (2)(ⅰ)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ， 所以(x ＋y )(x －y )＝1，得普通方程为x 2－y 2＝1. (ⅱ)因为曲线的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝2tan 2θ ①，y ＝2tan θ ②，由y ＝2tan θ， 得tan θ＝y2，代入①得普通方程为y 2＝2x .考点二 参数方程的应用【例2－1】 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t (t 为参数).(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与到直线l 的距离相等，求点P 的坐标.解 (1)椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)，则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离 d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2 θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，335. 【例2－2】 (2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率. 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1. (2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程， 整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.① 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.【例2－3】 (2019·濮阳三模)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝3t ＋1(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ1－cos 2 θ.(1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知与直线l 平行的直线l ′过点M (2，0)，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求|AB |.解(1)直线l 的参数方程可化为⎩⎨⎧x －1＝t ，y －13＝t (t 为参数)，消去t 可得直线的普通方程为y ＝3(x －1)＋1， 又∵⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ－3＋1＝0， 由ρ＝2cos θ1－cos 2θ可得ρ2(1－cos 2 θ)＝2ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x . (2)直线l 的倾斜角为π3， ∴直线l ′的倾斜角也为π3， 又直线l ′过点M (2，0)，∴直线l ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ′，y ＝32t ′(t ′为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程可得3t ′2－4t ′－16＝0， 设点A ，B 对应的参数分别为t ′1，t ′2， 由一元二次方程的根与系数的关系知t ′1t ′2＝－163，t ′1＋t ′2＝43，∴|AB |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝4133. 规律方法 已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．1．若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→||M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2. 2．若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22.3．若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.易错警示 在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值，否则参数不具备该几何意义．【训练2】 (2019·岳阳二模)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，且取相同的单位长度建立平面直角坐标系，则直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t (t 为参数).(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)设点P (m ，0)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求非负实数m 的值.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2， 曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，即ρ2＝2ρcos θ，得x 2＋y 2＝2x ，即曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t (t 为参数)，可得其普通方程为x －3y －m ＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t (t 为参数)代入圆(x －1)2＋y 2＝1，可得t 2＋3(m －1)t ＋m 2－2m ＝0，由Δ＝3(m －1)2－4(m 2－2m )>0，可得－1<m <3， 由m 为非负数，可得0≤m <3.设t 1，t 2是方程的两根，则t 1t 2＝m 2－2m ， 由|PA |·|PB |＝1，可得|m 2－2m |＝1， 解得m ＝1或1±2，因为0≤m ＜3，所以m ＝1或1＋ 2. 考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用【例3－1】 (2018·福州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值. 解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)， 其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α). 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.【例3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sinθ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径. 解 (1)由l 1：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)消去t ，化为l 1的普通方程y ＝k (x －2)，① 同理得直线l 2的普通方程为x ＋2＝ky ，② 联立①，②消去k ，得x 2－y 2＝4(y ≠0). 所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0). (2)将直线l 3化为普通方程为x ＋y ＝2，联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x 2－y 2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝322，y ＝－22，∴ρ2＝x 2＋y 2＝184＋24＝5，∴l 3与C 的交点M 的极径为 5. 规律方法 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．【训练3】 (2019·荆州一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin α＋cos α，y ＝sin α－cos α(α为参数). (1)求曲线C 的普通方程；(2)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＋12＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |. 解 (1)由⎩⎨⎧x ＝sin α＋cos α，y ＝sin α－cos α(α为参数)得sin α＝x ＋y 2，cos α＝x －y 2，将两式平方相加得1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22， 化简得x 2＋y 2＝2.故曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2. (2)由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＋12＝0，知ρ(cos θ－sin θ)＋12＝0，化为直角坐标方程为x －y ＋12＝0，圆心到直线l 的距离d ＝24，由垂径定理得|AB |＝302.[思维升华]1.利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．2．将参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，化生为熟，体现了化归与转化思想． [易错防范]1.将参数方程化为普通方程，在消参数的过程中，要注意x ，y 的取值范围，保持等价转化．2．确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.基础巩固题组 (建议用时：60分钟)1.将下列参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k1＋k 2，y ＝6k 21＋k2；(2)⎩⎨⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.解 (1)两式相除，得k ＝y2x，将其代入得x ＝3·y 2x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2，化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6).(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x ＝1－sin 2θ∈[0，2]， 得y 2＝2－x .即所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0，2].2.平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6. (1)求圆C 和直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值. 解 (1)由曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1. 得参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数).直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t (t 为参数).(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ， 由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1，m ＝1＋2或m ＝1－ 2. 又由Δ>0，即(3m －3)2－4(m 2－2m )>0， 得－1<m <3，故m ＝1或m ＝1±2满足条件. ∴m 的值为1，1＋2或1－ 2.3.(2019·兰州诊断考试)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝a sin θ(a ≠0). (1)求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； (2)设直线l 截圆C 的弦长是半径长的3倍，求a 的值.解 (1)圆C 的直角坐标方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －a 22＝a 24；直线l 的普通方程为4x ＋3y －8＝0.(2)圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a 22＝14a 2，直线l ：4x ＋3y －8＝0，因为直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3a 2－85＝12×|a |2，解得a ＝32或a ＝3211.4.已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)的距离的最小值. 解 (1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1， 曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. (2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)， 故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ，曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 其中cos φ＝45，sin φ＝35，从而当cos(θ＋φ)＝1，cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855. 5.(2019·湖南雅礼中学、河南省实验中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α为常数)的直线l 过点M (－2，－4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ＝2cos θ， (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值. 解 (1)∵倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4)， ∴直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 是参数).∵曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ＝2cos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x . (2)把直线l 的参数方程代入y 2＝2x ， 得t 2sin 2 α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， ∴t 1t 2＝20sin 2 α，根据直线参数方程中参数的几何意义， 得|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2 α＝40，又α∈[0，π)，故α＝π4或α＝3π4，又∵Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2 α>0，∴α＝π4. 6.(2019·茂名二模)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ1－cos 2 θ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π).(1)若α＝3π4，求l 的普通方程，直接写出C 的直角坐标方程； (2)若l 与C 有两个不同的交点A ，B ，且P (2，1)为AB 的中点，求|AB |. 解 (1)由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)及α＝3π4可得其直角坐标方程为x ＋y －3＝0， 由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ1－cos 2 θ，得其直角坐标方程为y 2＝2x .(2)把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，代入抛物线方程y 2＝2x 得t 2sin 2 α＋2t (sin α－cos α)－3＝0(*)， 设A ，B 所对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2(sin α－cos α)sin 2 α.∵P (2，1)为AB 的中点， ∴P 点所对应的参数为t 1＋t 22＝－sin α－cos αsin 2 α＝0，∴sin α－cos α＝0，即α＝π4. 则(*)变为12t 2－3＝0，此时t 2＝6，t ＝±6，∴|AB |＝2 6.能力提升题组 (建议用时：20分钟)7.(2019·衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ＝244cos θ＋3sin θ，在以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数).(1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝22x ，y ′＝2y 后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN |的最小值.解 (1)∵C 1的极坐标方程是ρ＝244cos θ＋3sin θ，∴4ρcos θ＋3ρsin θ＝24， ∴4x ＋3y －24＝0，故C 1的直角坐标方程为4x ＋3y －24＝0.∵曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，∴x 2＋y 2＝1，故C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝22x ，y ′＝2y 后得到曲线C 3，则曲线C 3的参数方程为⎩⎨⎧x ′＝22cos α，y ′＝2sin α(α为参数). 设N (22cos α，2sin α)，则点N 到曲线C 1的距离d ＝|4×22cos α＋3×2sin α－24|5＝|241sin(α＋φ)－24|5＝24－241sin(α＋φ)5⎝ ⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ＝423.当sin(α＋φ)＝1时，d 有最小值24－2415， 所以|MN |的最小值为24－2415. 8.(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点. (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 解 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. 综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4<α<3π4).设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α. 又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α (α为参数，π4<α<3π4).。
数学参数方程知识点总结
数学参数方程知识点总结1.参数的定义：在参数方程中，通常使用一个或多个参数来表示变量。
参数的取值范围可以是实数集，也可以是一个有限的区间。
2.参数方程表示的几何对象：参数方程可以描述各种几何对象，包括曲线、曲面、体积等。
常见的参数方程表示几何对象的经典例子有圆的参数方程、直线的参数方程以及曲面的参数方程等。
3.曲线的参数方程：曲线的参数方程通常写为x=f(t)，y=g(t)，其中x和y是曲线上的点的坐标，而t是参数。
通过改变参数t的取值，我们可以得到曲线上的不同点。
参数方程可以用来描述各种曲线，例如直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
4.曲面的参数方程：曲面的参数方程通常写为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中x、y和z是曲面上的点的坐标，而u和v是参数。
通过改变参数u和v的取值，我们可以得到曲面上的不同点。
参数方程可以用来描述各种曲面，例如球面、柱面、锥面等。
5.参数方程的优点：相比于直角坐标方程，参数方程具有一些独特的优势。
它可以更好地描述曲线和曲面的特征，如曲率、切线以及曲面上的法向量等。
此外，参数方程可以更好地描述复杂的几何变换，例如旋转、平移和缩放等。
6.参数方程的应用：参数方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在数学中，它可以用来研究曲线和曲面的性质，解析几何和微积分等。
在物理中，参数方程可以用来描述粒子的运动轨迹、电磁场的分布等。
在工程中，参数方程可以用来设计曲线和曲面，生成图形模型等。
7.曲线的特征：通过参数方程，我们可以轻松地计算曲线的长度、曲率、切线方程等。
对于二次曲线，可以通过参数方程推导出焦点、直径、抛物线的方程等。
这些特征可以帮助我们更好地理解曲线的性质和几何意义。
8.曲面的特征：通过参数方程，我们可以计算曲面的方程、法向量、切平面等特征。
这些特征可以帮助我们更好地理解曲面的性质，如曲面的形状、曲率等。
9.曲线和曲面的相交：通过参数方程，我们可以确定曲线和曲面的交点。
一、曲线的参数方程
参数方程与解析几何的关系
参数方程是解析几何的基本工具 之一
在解析几何中，参数方程被广泛应用于描述几何图形， 它提供了比直角坐标方程更加灵活和方便的描述方式。
参数方程与极坐标方程的转换
在某些情况下，可以将参数方程转换为极坐标方程，以 便利用极坐标的性质来研究曲线的性质。
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参数方程导数的计算方法
通过对方程中的参数求导，并利用链式法则和乘积法则进行计算。
参数方程的积分
参数方程的积分定义
参数方程的积分是表示曲线与坐标轴围成的面积的数学工具。
参数方程积分的几何意义
参数方程的积分表示曲线与坐标轴围成的面积，即曲线在某一区间 上的长度。
参数方程积分的计算方法
通过对方程中的参数进行不定积分，并利用微积分基本定理进行求 解。
通过参数t将曲线上的点与实数轴上的点一一对应起来。
参数方程的表示形式
显式参数方程
x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)的形式，其中 x、y、z是参数t的函数。
隐式参数方程
通过方程F(x,y,z)=0表示，其中F是参 数t的函数。
参数方程与直角坐标方程的转换
直角坐标方程
01
通过x、y、z来表示曲线上点的坐标。
一、曲线的参数方程
目 录
• 参数方程的基本概念 • 参数方程在曲线表示中的应用 • 参数方程的物理意义 • 参数方程的微积分性质 • 参数方程的几何意义
01 参数方程的基本概念
参数方程的定义
参数方程
由参数t表示的方程组，其中x、y是参数t的函数。
参数方程的一般形式
x=x(t)，y=y(t)。
参数方程的特点
详细描述
曲线的参数方程及其几何应用
曲线的参数方程及其几何应用曲线是数学中非常重要的概念，它在各个领域有着广泛的应用。
在几何学中，曲线可以用参数方程的形式表示，这种表示方法非常灵活，能够描述一些复杂的曲线形状。
本文将介绍曲线的参数方程以及其在几何中的应用。
一、曲线的参数方程曲线的参数方程是一种描述曲线的方法，它使用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
常见的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)其中，t为参数，(x, y)为曲线上任意一点的坐标。
通过不同的参数取值，可以得到曲线上的不同点的坐标。
例如，考虑一个简单的曲线——单位圆，其参数方程可以表示为：x = cos(t)y = sin(t)当参数t取0到2π的范围时，就可以得到单位圆上的所有点。
二、参数方程的几何应用1. 曲线的绘制与描述通过参数方程，我们可以很方便地绘制各种曲线。
例如，通过调整参数方程中的函数形式、参数范围等，可以绘制出直线、抛物线、椭圆、双曲线等各种曲线形状。
这为几何学的研究和应用提供了重要的工具。
2. 运动轨迹的描述参数方程还可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，在物理学中，我们可以使用参数方程来描述质点的运动路径。
通过参数t的取值，可以确定不同时刻质点的位置。
这种描述方法在运动学、动力学等方面有着广泛的应用。
3. 曲线长度的计算通过参数方程，可以计算曲线的长度。
设曲线上两点的参数分别为t1和t2，曲线上这两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则曲线的长度可以通过如下公式计算：L = ∫[t1, t2] √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt这里，dx/dt和dy/dt分别表示曲线在x轴和y轴方向上的导数。
4. 曲线的曲率与切线通过参数方程，可以计算曲线上任意一点的曲率和切线。
曲率表示曲线在某一点的弯曲程度，而切线则表示曲线在该点的方向。
这种参数方程的描述方式，使得曲率和切线的计算变得相对简单，为曲线的研究提供了便利。
曲线的参数方程和与普通方程的互化
当点P在圆上运动时,求线段PA中点M的轨迹方程，
并说明点M的轨迹图形是什么？
解：取xOP,则圆的参数方程为：
xy22csoins.,(为参数）
设点M的坐标为x（ , y),则点P的坐标
为（2cos,2sin）,由中点公式可得：
x 2 c o 6 s c o 3 s ,y 2 s i n s in
解： 椭圆的参数方程为：
xy 42csoins.,(为参数）
设点M的坐标为x（ , y),则点P的坐标
为（4cos,2sin）,由中点公式可得：
x 4 co 6 s 2 co 3 ,y s 2 si n 2 si 1 n
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
xy2scinos1.3（ , 为参数）
求 M到 直 线 x+2y-10=0的 最 小 距 离 。
双曲线的参数方程
a x2 2-y b2 2=1(a>0,b>0)的 参 数 方 程 为 ：
xyabstaenc(为参数)
说明：
双se曲c2线的参1 数t方an程2可相以比由较方而程得到，ax 22所 以by 22双曲1 线与的三参角数恒方等程式
（2） xy53csionstt(t为参数）
(3)x1 3cos (为参数） y2 5sin
椭圆的参数方程：
x轴：x2 a2
y2 b2
1,
x a cos y bsin
y轴：x2 b2
y2 a2
1,
x b cos y a sin
中心在 C(x0, y0)的椭圆的
参数方程是 yx
x0 y0
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
x t
且以
参数方程
(1)|AB|＝|t1－t2|； (2)|MA|·|MB|＝|t1·t2|.
参数方程
1．曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的
x＝ft，
函数
并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点 M(x，y)都在这条
y＝gt
曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做参变
数，简称参数．
49
y＝2－2t
(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；
(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小
值．
[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根
据直线与圆的位置关系来解决问题．
x＝x0＋at， 2．对于形如
通方程中 x 及 y 的取值范围的影响，要保持同解变形．
x＝t，
[变式训练 1] 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：
(t 为参数)过椭圆 C：
y＝t－a
x＝3cos φ， (φ为参数)的右顶点，求常数 a 的值.
y＝2sin φ
参数方程的应用
已知曲线 C：x2＋y2＝1，直线 l： x＝2＋t， (t 为参数).
2．参数方程与普通方程的互化
通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，
x＝ft，
例如 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，那么
就
y＝gt
曲线的参数方程知识讲解
曲线的参数方程编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】1. 了解参数方程，了解参数的意义。
2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。
3. 掌握参数方程与普通方程的互化。
4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程【要点梳理】要点一、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数，即()...........()x f ty g t=⎧⎨=⎩①，并且对于t的每一个允许值，方程组①所确定的点(,)M x y都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系yx,间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0F x y=，叫做曲线的普通方程。
要点诠释：（1）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．（2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定．（3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。
要点二、求曲线的参数方程求曲线参数方程的主要步骤：第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来；例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．二是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．要点诠释：普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．（2）参数的选取不同，得到的参数方程是不同的． 要点三、参数方程与普通方程的互化 1、参数方程化为普通方程（1）把参数方程化为普通方程的基本思想是消去参数，消去参数的常用方法有： ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式（用直角坐标变量表示），再代入另一个方程． ②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如：对于参数方程1cos 1sin x a t t y a t t θθ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ+cos 2θ=1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m+n)2－(m －n)2=4mn 消参．③其他方法：加减消参法、乘除消参法、平方和（差）消参法、混合消参法等. 要点诠释：注意：一般来说，消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．2、普通方程化为参数方程（1）把曲线C 的普通方程(,)0F x y =化为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系式()x f t =，再代入普通方程求得另一个关系式()y g t =。
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线和曲面是数学领域中的基本概念，它们的研究对于许多学科都有着重要的意义。
在数学中，我们经常会使用参数方程来描述曲线和曲面的性质和特征。
本文将探讨曲线与曲面的参数方程的概念、性质以及应用。
一、曲线的参数方程曲线可以用参数方程来描述，参数方程是将曲线上的点与参数之间的关系表示出来。
假设曲线上的每个点都由参数 t 决定，那么曲线的参数方程可以写作：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z 分别表示曲线上的点的坐标，f(t)、g(t)、h(t) 是参数t 的函数。
通过改变参数t 的取值范围，我们可以得到曲线上的所有点。
例如，我们考虑一个简单的曲线，圆的参数方程可以写作：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，r 表示圆的半径，t 的取值范围为 0 到2π。
通过改变 t 的值，我们可以获取圆上的任意一点的坐标。
二、曲面的参数方程类似于曲线，曲面也可以用参数方程来描述。
曲面的参数方程是将曲面上的点与两个参数之间的关系表示出来。
假设曲面上的每个点都由参数 u 和 v 决定，那么曲面的参数方程可以写作：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z 表示曲面上的点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v) 是参数 u 和 v 的函数。
例如，我们考虑一个简单的曲面，球面的参数方程可以写作：x = R*sin(u)*cos(v)y = R*sin(u)*sin(v)z = R*cos(u)其中，R 表示球的半径，参数 u 的取值范围为 0 到π，参数 v 的取值范围为 0 到2π。
通过改变 u 和 v 的值，我们可以获取球面上的任意一点的坐标。
三、曲线与曲面参数方程的应用曲线与曲面的参数方程在数学和物理等学科中都有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，参数方程可以用于生成曲线和曲面的图像。
通过控制参数的取值范围和函数的形式，我们可以绘制出各种各样的曲线和曲面。
双曲线参数方程中参数的几何意义
双曲线是一种在几何学和数学中经常出现的曲线。
在双曲线的参数方程中，参数起着非常重要的作用，它决定了曲线的形状和特性。
在本文中，我将深入探讨双曲线参数方程中参数的几何意义。
1. 双曲线的参数方程简介双曲线可以用参数方程来表示。
一般来说，双曲线的参数方程可以写成：x = a*sec(t)y = b*tan(t)其中，a和b是正实数，t是参数。
这样的参数方程能够描述双曲线上的每一个点，而参数t的取值范围会影响到整条曲线的形状。
2. 参数a和b的几何意义参数a和b分别控制着双曲线的横轴和纵轴的长度。
当参数a和b发生变化时，双曲线的形状也会随之改变。
当a和b相等时，双曲线的两支呈现出对称的形态，而当它们不相等时，双曲线会呈现出拉长或者压缩的形状。
3. 参数t的几何意义参数t决定了曲线上每一个点的位置。
当t取不同的值时，曲线上的点会按照参数方程给出的规律出现在不同的位置。
当t在一个区间内均匀变化时，可以得到曲线上的一段连续的轨迹。
4. 我的个人观点和理解在我的理解中，双曲线参数方程中的参数不仅仅是数学上的符号，更可以通过对其几何意义的理解来帮助我直观地感受曲线的形状和特性。
参数a和b的变化影响了双曲线的整体形状，而参数t的变化则描绘了曲线上每一个点的位置。
总结：通过对双曲线参数方程中参数的几何意义的深入探讨，我对双曲线这一数学概念有了更深入的理解。
参数a和b的调节使我能直观地感受到双曲线的形状变化，而参数t则让我看到了曲线上的点是如何随着参数的变化而移动的。
这种直观的感受使我更深刻地理解了双曲线这一数学概念。
希望这篇文章能够帮助你更好地理解双曲线参数方程中参数的几何意义，也能激发你对数学的兴趣。
双曲线是一种非常重要的数学曲线，在几何学和数学分析中有着广泛的应用。
在本文中，我们已经详细讨论了双曲线的参数方程以及参数a、b和t的几何意义。
接下来，我将进一步扩展讨论双曲线在实际生活和工程领域中的应用，并且探讨一些与双曲线相关的数学概念和定理。
高中数学第二讲参数方程一参数的曲线方程第1课时参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化
所以 y＝1±sin θ.
不 妨 取 y ＝ 1 ＋ sin θ ， 则 所 求 的 参 数 方 程 为
x＝cos θ， y＝1＋sin θ(θ
为参数)．
归纳升华
1．消去参数的方法主要有三种． ①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代
入消元法或加减消元法消去参数．
②利用三角恒等式借助 sin2θ＋cos2θ＝1 等消去参数．
③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方
法
)例如借助1＋2tt22＋11－ ＋tt222＝1，t＋1t 2－t－1t 2＝4
等 )从整体上消去参数．
2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 的取值范围扩大或缩小，必须根据参数的取值范围， 确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围．
消去参数 t，得 a＝1. (2)由上述可得，曲线 C 的参数方程是xy＝＝t12＋. 2t， 把点 P 的坐标(1，0)代入方程组，解得 t＝0， 因此 P 在曲线 C 上． 把点 Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到3－＝11＝＋t22，t， 这个方程组无解，因此点 Q 不在曲线 C 上．
归纳升华 1．满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与 曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上．
一是曲线上有一点的坐标(x，y)与参数的关系比较明显， 容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定；第 三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义 等，建立点的坐标与参数的函数关系式，并化成最简形式； 第四步，证明以化简后的参数方程的解为坐标的点都是曲 线上的点．(求解过程中第四步通常省略，但要通过检验， 并准确标注参数及其取值范围．)
所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程 xy＝＝gf（（tt）），就叫作这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言， 直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．
曲线的参数方程与曲率计算
曲线的参数方程与曲率计算曲线是我们生活中常见的一种形态，它们可以是自然界中的山脉、河流，也可以是人工构建的建筑物、道路等。
曲线的形状和特征对于我们理解和描述事物的运动和变化具有重要意义。
在数学中，我们可以通过参数方程来描述曲线的运动轨迹，而曲率则是衡量曲线弯曲程度的重要指标。
一、曲线的参数方程曲线的参数方程是一种描述曲线运动轨迹的方式。
它由一组参数方程组成，每个参数对应曲线上的一个点。
以二维平面上的曲线为例，我们可以将曲线上的每个点表示为(x, y)，其中x和y分别是该点在x轴和y轴上的坐标。
而参数方程则是通过引入一个参数t，将x和y表示为t的函数，即x=f(t)，y=g(t)。
通过不同的参数取值，我们可以得到曲线上的不同点。
例如，我们可以通过参数方程x=cos(t)，y=sin(t)来描述单位圆的运动轨迹。
当t取0时，对应的点坐标为(1, 0)，即单位圆上的起点。
随着t的增大，曲线逐渐绕着原点旋转，最终回到起点。
通过参数方程，我们可以清晰地描述出单位圆的运动轨迹。
二、曲线的曲率计算曲率是衡量曲线弯曲程度的指标。
在曲线上的每一点，曲率可以通过计算曲线在该点处的切线与曲线的弯曲程度来得到。
具体地，我们可以通过曲线的参数方程来计算曲率。
曲线的曲率计算可以分为两步：首先计算曲线的切向量，然后通过切向量来计算曲率。
对于曲线的参数方程x=f(t)，y=g(t)，我们可以分别求出x和y对t的导数，即dx/dt和dy/dt。
这两个导数分别表示曲线在该点处x和y坐标的变化率，也就是切向量的两个分量。
然后，我们可以通过切向量的两个分量来计算曲线的切向量的模长。
切向量的模长表示曲线在该点处的切线的斜率，也就是曲线的斜率。
最后，通过对切向量的模长求导，我们可以得到曲线的曲率。
曲率的计算公式为k=|dy/dt * d^2x/dt^2 - dx/dt * d^2y/dt^2| / (dx/dt^2 +dy/dt^2)^(3/2)，其中d^2x/dt^2和d^2y/dt^2分别表示x和y对t的二阶导数。
(整理)4-4~曲线参数方程_之意义和圆的参数方程ppt
4.4.2 参数方程和普通方程的互化
学习目标： 1）掌握参数方程化为普通方程几种基本方法； 2）选取适当的参数化普通方程为参数方程； 学习重点、难点： 参数方程与普通方程的等价性；
创设情境
x cos 3, 由参数方程 ( 为参数)直接判断点M 的轨迹的 y sin 曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程，则比较简单。
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重 力加速 g=10m/s）,问此时飞机的飞行高度约是多少？ （精确到1m） x=100t=1000, t=10,
y=gt2/2=10×102/2=500m.
x 3t , (t为参数) 例1: 已知曲线C的参数方程是 2 y 2t 1.
参数方程和普通方程的互化：
（2）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x - y+2= 0，可以化为参数方程
x t, （t为参数） y 2t 2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x t an , y cot .
Smax 5 2 10, Smin 5 2 10
5、若x2 y 2 4, 则x y的最大值是 _________
x 2cos 解：x y 4的参数方程为{ (为 y 2sin
2 2
参数)
x y 2 cos 2sin 2 2 cos( ) 4 最大值为2 2
x a r cos , 如：①参数方程 消去参数 y b r sin .
可得圆的普通方程(x - a)2+(y - b)2=r2. x t , ②参数方程 （t为参数） y 2 t 4. 通过代入消元法消去参数t , 可得普通方程：y=2x - 4
常见曲线的参数方程总结
B
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
生活中见过这条曲线吗？
A
B
A
B
A
B
滑板的轨道就是这条曲线
.
y
4. 心形线(圆外旋轮线)
一圆沿另一圆外缘无滑
动地滚动，动圆圆周上
任一点所画出的曲线。
o
a a
x
y
.
o
a
a
x
来看动点的慢动作
y
o
a
a
x 2a
.
来看动点的慢动作
参数方程 r = a (1+cosθ)
y OC OM cos t a(1 cos t )
这就是旋轮线的参数方程。
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
.
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。
在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
3. 旋轮线是最速降线
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
0
x
曲线关于 y= x 对称
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
8.双纽线
FF 2a , 到F与F 距离之积为a2的点的轨迹 ( a 2 )
2 r 2 a 2 2ra cos 2 r 2 a 2 2ra cos
( ) 2 (r 2 a 2 ) 2 4r 2 a 2 cos2 a 4
当 t 由 ,
动点由 (0,0) (0,0) 依逆时针方向画出叶形 线.
数学参数方程知识点总结
数学参数方程知识点总结参数方程是描述曲线的一种方式，它使用参数来表示曲线上的点的位置。
在数学中，参数方程被广泛应用于描述曲线、曲面以及其他几何图形。
本文将对数学参数方程的相关知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、参数方程的基本概念。
参数方程是由参数 t 的函数组成的向量函数，通常用 (x(t), y(t)) 表示。
其中 x(t) 和 y(t) 分别是关于参数 t 的函数，描述了曲线上点的位置随参数 t 变化的轨迹。
参数方程可以描述直线、圆、椭圆、双曲线等各种曲线。
二、参数方程与直角坐标系的关系。
参数方程描述的曲线通常是在平面直角坐标系中的曲线，通过参数 t 的取值，我们可以得到曲线上的点的坐标 (x, y)。
参数方程和直角坐标系的转换可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。
三、参数方程的应用。
1. 参数方程在物理学中的应用。
在物理学中，参数方程被广泛应用于描述物体的运动轨迹。
例如，抛体运动、圆周运动等都可以通过参数方程进行描述，这对于研究物体的运动规律具有重要意义。
2. 参数方程在工程学中的应用。
在工程学中，参数方程也有着重要的应用价值。
例如，在计算机图形学中，参数方程可以描述曲线和曲面的形状，用于建模和渲染。
在机械设计中，参数方程也可以描述各种复杂的曲线轨迹，用于设计和制造。
四、参数方程的性质和特点。
1. 参数方程可以描述一些直角坐标系下无法简单表示的曲线，如椭圆、双曲线等。
2. 参数方程可以描述一些复杂的曲线轨迹，如螺旋线、阿基米德螺线等。
3. 参数方程可以方便地描述曲线上的点的运动规律，对于研究曲线的性质和特点有着重要的意义。
五、参数方程的求解和应用技巧。
1. 求解参数方程通常需要用到代数、几何、微积分等知识，需要灵活运用各种数学方法进行分析和计算。
2. 在应用参数方程进行实际问题求解时，需要根据具体情况选择合适的参数化方法，灵活运用参数方程的性质和特点进行分析和推导。
参数方程的几何意义
参数方程的几何意义参数方程是描述曲线、曲面或空间中的点的一种方式，通过使用参数（通常为t或$\\theta$）表示坐标的函数关系，从而用一组参数方程来表示一个几何图形。
参数方程在几何学、物理学和工程学等领域中广泛应用，并且具有很多有趣的几何意义。
一维曲线的参数方程首先，让我们从一维曲线的参数方程开始讨论。
对于一维曲线（也称为曲线），参数方程将曲线上的点表示为参数的函数。
例如，我们可以使用以下参数方程表示一个圆：$$x = r \\cos(t)$$$$y = r \\sin(t)$$这里，t是参数，t是半径。
通过改变参数t的值，我们可以得到圆上的不同点。
参数方程的优势之一是可以通过改变参数范围来控制曲线的绘制部分。
二维曲面的参数方程在二维曲面的情况下，参数方程使用两个参数t和t（或者用$\\theta$和$\\phi$表示）来表示曲面上的点。
例如，我们可以使用以下参数方程表示一个球体：$$x = r \\sin(\\theta) \\cos(\\phi)$$$$y = r \\sin(\\theta) \\sin(\\phi)$$$$z = r \\cos(\\theta)$$这里，$\\theta$表示极角，范围从0到$\\pi$，而$\\phi$表示方位角，范围从0到$2\\pi$。
通过改变参数$\\theta$和$\\phi$的值，我们可以得到球体表面的不同点。
参数方程的一个有趣应用是用于绘制立体图形，例如圆柱体、锥体和椭球体。
通过使用适当的参数方程，我们可以控制图形的形状和大小，从而实现三维图形的绘制。
参数方程的几何意义参数方程的一个重要的几何意义是它可以描述曲线或曲面的运动。
通过改变参数的值，我们可以观察到曲线或曲面的变化。
例如，在球体的参数方程中，通过改变参数$\\theta$和$\\phi$的值，我们可以将球体绕着t轴旋转，或者改变球体的半径，从而实现球体的缩放和旋转。
此外，参数方程还可以用来描述复杂的几何图形，如心形线、螺旋线等。
曲线的参数方程
曲线的参数方程曲线的参数方程是数学中一种描述曲线形状的方法，通过给定参数的取值范围，我们可以得到曲线上的每一个点。
本文将详细介绍曲线的参数方程及其应用。
一、什么是曲线的参数方程曲线的参数方程是将曲线上的每个点的坐标表示为参数的函数形式。
以二维曲线为例，通常用参数 t 表示，曲线上的点的坐标可以表示为(x(t), y(t))。
其中，x(t) 和 y(t) 分别是参数 t 的函数。
通过给定参数 t 的取值范围，我们可以得到曲线上的所有点。
参数方程有许多种形式，常见的有直角坐标形式、极坐标形式和常数值形式等。
根据具体应用需求和曲线形状特点选择合适的参数方程形式。
二、直角坐标形式的参数方程直角坐标形式的参数方程将曲线上的点的坐标表示为直角坐标系中的 x 和 y 坐标分量的函数。
举个例子，我们考虑平面直线的参数方程。
假设直线通过点(x1, y1) 和 (x2, y2)，则直线上坐标为 (x, y) 的点可以表示为：x(t) = x1 + (x2 - x1) * ty(t) = y1 + (y2 - y1) * t其中 t 的取值范围为 [0, 1]，表示直线上的比例位置。
三、极坐标形式的参数方程极坐标形式的参数方程将曲线上的点的坐标表示为极坐标系中的极径和极角的函数。
以一个圆为例，其极坐标形式的参数方程为：r(t) = Rθ(t) = t * 2π其中 R 是圆的半径，t 的取值范围为 [0, 1]。
四、常见曲线的参数方程1. 直线：直线的参数方程可以使用直角坐标形式，通过给定两个端点的坐标实现参数化表达。
2. 圆：圆的参数方程可以使用极坐标形式，通过给定圆心和半径实现参数化表达。
3. 抛物线：抛物线的参数方程可以使用直角坐标形式，通过给定焦点、准线和离心率实现参数化表达。
4. 椭圆：椭圆的参数方程可以使用极坐标形式或直角坐标形式，通过给定焦点、离心率和长短轴实现参数化表达。
5. 双曲线：双曲线的参数方程可以使用极坐标形式或直角坐标形式，通过给定焦点、离心率和长短轴实现参数化表达。
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y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
o
x = 100t , (x,y) 1 2 y = 500 − gt .（g=9.8m/s2 ) 2 令y = 0, 得t ≈ 10.10 s. x 代入x = 100t , 得 x ≈ 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
x = sinθ ,(θ为参数）所表示的曲线上一点的坐标是 y = cosθ
1 1 1 2 A、（ ，7）； 、 , ); C、( , ); D、（ ，0） 、（2， ）； ( ）；B、 、（1， ） 、（ 、 、（ 2 2 3 3
练习2
x = 1 + 2t , (t为参数,a ∈ R ) 2. 已知曲线 的参数方程是 已知曲线C的参数方程是 2 y = at .
表示同一曲线， 都 是 表 x
此时参数有明确的物理意义（时刻） 此时参数有明确的物理意义（时刻）
x = r cos θ , θ=ωt (θ为参数 ) y = r sin θ .
此时参数有明确的几何意义（角度） 此时参数有明确的几何意义（角度）
参数方程要 要注明 参数
提示： 提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？ 多远时，开始投放物资？
投放点
？
救援点
引例
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢？ 时机呢？
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁 的桥梁, 关于参数几点说明： 参数是联系变数 的桥梁 1. 参数方程中参数可以是有物理意义 几何意义 也可以没有明 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 显意义。 显意义。 2.同一曲线选取参数不同 曲线参数方程形式也不一样 同一曲线选取参数不同, 同一曲线选取参数不同 曲线参数方程形式也不一样. 3.在实际问题中要确定参数的取值范围 在实际问题中要确定参数的取值范围. 在实际问题中要确定参数的取值范围
x = 3t , 已知曲线C的参数方程是 例1: 已知曲线 的参数方程是 (t为参数) 2 y = 2t + 1.
与曲线C的位置关系 （1）判断点 1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线 的位置关系； ）判断点M ， 与曲线 的位置关系； 在曲线C上 的值。 （2）已知点 3(6, a)在曲线 上, 求a的值。 ）已知点M 在曲线 的值 （3）该曲线类型是什么？ ）该曲线类型是什么？
(2)由已知及 可得 曲线 的方程为 由已知及(1)可得 曲线C的方程为 由已知及 可得,曲线 的方程为:
(x −1) = 4 y为所求.
2
2、参数方程的意义 、
匀速圆周运动
点M的角速度为ω θ=ωt
x y cos ωt = sin ωt = r r x = r cos ωt , (t为参数 ) y = r sin ωt.
垂直高度为y，所以有
可以使其准确落在指定位置.
1、参数方程的概念： 、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的 坐标x, 都是某个变数 都是某个变数t的函数 坐标 y都是某个变数 的函数 x = f (t ), y = g (t ). （2） 并且对于t的每一个允许值 由方程组(2) 的每一个允许值, 并且对于 的每一个允许值 由方程组 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上 那么方程 就叫做这条曲线的 都在这条曲线上, 都在这条曲线上 那么方程(2) 参数方程, 联系变数x,y的变数 叫做参变数, 简称参数. 的变数t叫做参变数 参数方程 联系变数 的变数 叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言， 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程 普通方程。 的方程叫做普通方程。
变式:课本第 页第 变式 课本第26页第 题 课本第 页第1题
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行 在离灾 的速度作水平直线飞行.在离灾 一架救援飞机以 的速度作水平直线飞行 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力 重 时投放救援物资（ 区指定目标 时投放救援物资 不计空气阻力,重 问此时飞机的飞行高度约是多少？ 力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？ 问此时飞机的飞行高度约是多少 精确到1m） （精确到 ）
练习1
x =1+t2 ,(t为参数） 与x轴的交点坐标是 B ) 1、曲线 轴的交点坐标是( 、 轴的交点坐标是 y = 4t −3
25 A、（ ，4）； 、 16 , 0); C、(1, −3); 、（1， ）； ( ）；B、 、（ 、 25 , 0); D、 (± 、 16
2、方程 、 （ D ）
小结： 小结：
一般地，在平面直角坐标系中， 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变数 的函数 都是某个变数t的函数 ， 都是某个变数
x = f (t ), （2） y = g (t ).
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点 并且对于 的每一个允许值，由方程组（ ）所确定的点M(x,y) 的每一个允许值 都在这条曲线上，那么方程（ ）就叫做这条曲线的参数方程 都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 参数方程， 系变数x,y的变数 叫做参变数，简称参数。 的变数t叫做参变数 系变数 的变数 叫做参变数，简称参数。
（1）求常数 ）求常数a;
点M(5,4)在该 曲线上 在该 曲线上.
（2）该曲线类型是什么？ ）该曲线类型是什么？ 1+2t=5 解:
(1)由题意可知 由题意可知: 由题意可知 解得: 解得
a=1 t=2
at2=4 ∴ a=1
x=1+2t y=t2
x −1 由第一个方程得: 由第一个方程得 t = 2 x −1 2 ) , 代入第二个方程得: 代入第二个方程得 y = ( 2
引例
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢？ 时机呢？