§12-7 可降阶的高阶微分方程
第三节 可降阶的高阶微分方程
例5
求方程 yy′′ − y′2 0 的通解 。 ＝
dp 解 令 p = y′ ，则 y′′ = p 。 dy dp yp − p2 = 0 。 于是， 于是，原方程化为 dy dy = 0 ，故此时有解 y = C 。 若 p = 0 ，则 dx dp dy = 。 若 p ≠ 0 ，则原方程化为 p y dy p = 0 对应于 C1 = 0 = p = C1 y 。 两边积分，得 两边积分， dx y = C2 eC1x。 运用分离变量法， 运用分离变量法，得此方程的通解为
2 2
（***）
此处取负号是因为物体运动的方向与y轴的正向相反. 在（***）中令 y=R，就得到物体到达地面时的速度为
2 gR(l − R) v=− l
最后求物体落到地面所需的时间. 由（***）式有
1 1 dy = v = −R 2g − , y l dt
分离变量，得
1 l y dt = − dy. R 2g l − y
1 y′′ = 1 + y ′2 a
取原点 O 到点 A 的距离为定值 a ，即 |OA|= a ,则初始条件为：
y x =0 = a, y′ x =0 = 0.
故初值问题为
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
令 y ′ = p,
y′′ = p′ 代入上方程，得
dx = a 1 + p2 dp
1 2 p′ = 1+ p . a
x ln( p + 1 + p ) = + C1 a
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程高阶微分方程在数学中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等学科中。
但是，高阶微分方程一般而言难以解析求解，因此研究可降阶的高阶微分方程具有重要的理论和实际意义。
一、什么是可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程是指高于二阶的微分方程可以通过一定的代数变换转化为至多二阶的微分方程。
这种转化通常使用代数变换法、非线性变换、Laplace变换等方法实现，具体方法依据问题不同而异。
例如，对于形如$f(y'', y', y, x) = 0$的四阶微分方程，通过令$y'= v$，$y'' = v'$，可以将该微分方程转化为关于$v$和$x$的一阶微分方程$f(v', v, x) = 0$，进一步可以使用一阶微分方程的解法进行求解。
二、为什么要研究可降阶的高阶微分方程对于高阶微分方程，直接求解通常是非常困难的，因此找到一些可降阶方法可以降低计算的难度。
这对于实际应用中的问题求解非常有帮助，也可以进一步推动微分方程理论的发展。
此外，由于可降阶的高阶微分方程可以转化为至多二阶微分方程，因此在不同的数学领域中有着广泛的应用。
三、可降阶方法举例（1）代数变换法代数变换法是一种直接的可降阶方法，通过对微分方程中的项进行代数运算，将高阶项消去，转化为无常系数二阶微分方程。
例如，对于形如$y'''' - 3y'' + 2y = 0$的四阶微分方程，通过令$y' = v$，$y'' = v'$，可以得到$v'''' - 3v'' + 2v = 0$。
此时，在微分方程的两侧同时乘以$v'$，然后再次对$v$求导，可以得到$v'''(v''')^2 -3v''(v'')^2 + 2v'(v')^2 = 0$，这是个可以简化的式子。
可降阶的高阶微分方程
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
可降阶高阶微分方程
n阶线性非奇次方程
y ( n ) + P1 ( x ) y ( n 1) + P2 ( x ) y ( n 2 ) + + Pn ( x ) y = 0
n阶线性奇次方程 下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构.
一. 二阶线性奇次方程解的结构 一般形式: y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0, 显然, y = 0 是(2)的解. 讨论非平凡解: 定理1. 如果 y1 ( x), y2 ( x) 是(2)的两个解,则 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) 也是(2)的解,其中 C1 ,C2 为任意常数. 证明: 由于 y1 ( x), y2 ( x)是(2)的两个解, 所以
∴C2 = 1
y = x3 + 3x + 1
三. y′′ = f ( y, y′) 型方程 如果方程不显含 x, dp = f ( y, p) 方程变为: p dy 解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解: 令 y′ = p , 则 y′′ =
dp dp dy dp = =p , dx dy dx dy
二. y′′ = f ( x, y′) 型方程 如果二阶方程不显含 y, 令 y′ = p ,则 y′′ = 方程变为: p′ = f ( x, p ) 解出这个一阶方程的通解: p = ( x, C1 ) 则原方程的通解为: 例:
dp = p′ dx
y = ∫ ( x, C1 ) dx + C2
的特解,则 y1 ( x) + y2 ( x) 是方程
y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) ( 4)
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程引言高阶微分方程是微积分中的一个重要概念，通常包含二阶及以上的导数。
然而，在某些情况下，我们可能希望将高阶微分方程降阶为一阶微分方程，这样可以更方便地求解和分析。
本文将讨论可降阶的高阶微分方程及其相关概念。
一阶可降阶微分方程一阶可降阶微分方程是指可以通过某种变换将其降为一阶微分方程的高阶微分方程。
例如，考虑一个二阶微分方程：d2y dx2+a(x)dydx+b(x)y=f(x)通过引入新的变量P(x)=dydx，我们可以将上述二阶微分方程转化为一个一阶可降阶微分方程：dPdx+a(x)P+b(x)y=f(x)这样，我们就成功地将高阶微分方程降为了一阶微分方程。
降阶方法降阶高阶微分方程的一般方法是引入新的变量，并通过适当选择这些变量的方式将其转化为一阶微分方程。
下面介绍几种常用的降阶方法。
1. 变量代换法变量代换法是一种常见的降阶方法，通过引入新的变量将高阶微分方程转化为一阶微分方程。
例如，对于一个三阶微分方程：d3y dx3+a(x)d2ydx2+b(x)dydx+c(x)y=f(x)我们可以引入新的变量P(x)=d 2ydx2和Q(x)=dydx，从而将该三阶微分方程转化为一个一阶微分方程：dPdx+a(x)P+b(x)Q+c(x)y=f(x)dQdx+b(x)P+c(x)Q=02. 微分幺正变换法微分幺正变换法是一种通过选择适当的变换矩阵将高阶微分方程转化为一阶微分方程的方法。
具体而言，通过选择一个幺正变换矩阵U(x)，我们可以将一个n阶微分方程转化为一个一阶微分方程：d dx [y1y2⋮y n]=U(x)[f1f2⋮f n]其中y i表示原始高阶微分方程的解，f i表示相应的一阶微分方程的解。
3. 特解代换法特解代换法是一种通过引入特解来降低高阶微分方程的阶数的方法。
具体而言，我们假设高阶微分方程的一个特解形式，并代入原方程求解。
将得到的特解代入原方程，我们可以得到一个低阶微分方程。
可降阶的高阶微分方程.
1 1 将x ' |t 0 0代入 ， C 所以 x ' （ 1 cot 2t） 2m 2m 1 1 再积分 x （t sin 2t） C2 2m 2
将x |t 0 0代入， C2 0
1 1 所求运动规律为x （t程
k 其中k 0为比例系数，记a m
2
d x dx 2 m 2 k ( ) dt dt
2
(1)
x '' a 2 ( x ') 2 x |t 0 0 x ' | 200 t 0
p ' a p
2 2
(2)
令 p x'
(2)变为
(3)
1 2 分离变量 2 dp a dt p
例3 求方程(1x2)y2xy 设yp 则方程yf(x y) 的通解 解 设yp 则原方程化为 化为 pf(x p) (1x2)p2xp 设此方程的通解为 dp 2x 或 p 0 2 pj(xC1) dx 1 x 2x dx 则 yj(xC1) 于是 p C1e1 x 2 C1(1 x2) 于是方程yf(x y)的通解为 即 yC1(1x2) 方程的解法
原方程变为
例4 求方程yyy20的通解
解 设yp 则原方程化为 dp 2 yp p 0 dy dp 1 p 0 ( y0 p0) dy y 1 y dy p C1e C1 y
dp p f ( y, p) dy
或 于是
设此方程的通解为 pj(y C1) dy 即 j ( y, c) dx
p '(1 e ) p 0
x
1 3 y x sin x C1 x C2 6
可降阶的高阶微分方程
y
( x3 6
ex
2x)dx
x4 24
ex
x2
C3.
再由y x0 1,得C3 2，所以
y x4 ex x2 2为所求的特解. 24
6.4.2 y(n) f ( x, y(n1) )型的微分方程
令 p y(n1)，则原方程化为
例6.40（略）
例6.41
求方程 y(5) 1 y(4) 0 的通解。 x
解 令y(4) p, 则y(5) p, 原方程可化为
p
1 x
p
0 .
p
C1e
(
1 x
)dx
C1 x .
y(4) .
y
C1xdx .
C1 2
x2
C2,
y
y ln x d x x ln x x C1，
y ( x ln x x C1)d x
x ln xdx (x C1)d x
x2
ln xd( 2 ) (x C1)d x
x2
x2 1
x2
ln x 2
2
dx x
例6.42 设函数y( x)在区间[0， ）上具有连续偏导数，
并且满足关系式y( x) 1 x 2 x ( x t) y(t) y(t)dt,求y(t). 0
解
x
x
y( x) 1 x 2x y(t)y(t)dt 2 ty(t)y(t)dt,
0
0
[
2 x2
e
3 x
dx
dx
C1]
可降阶的高阶微分方程
d x dt
3 3
dx dt
y
y,
dy dx ,
2
2
dy dt
dy dx dx dt
d( y dy
d( y
dy dx
)
dx d x dt
)
y(
dy dx
) y
2
2
d y dx
2
2
,
dt
dx
7
F ( x , x , , x
( n)
) 0,
dx dt
y,
dy dx y,
把（3.1.6）代入（3.1.8），并记
得:
X 0 - x at y y
2
把 x 作为自变量，上式两边关于x 求导得:
-1 a dt dx yy - y y
2
,
19
dt dx
dy dt dt dx
yy ay
2
（3.1.9）
dx dt ) (
dp ,
解
设 y p, 则 y p
代入方程, 得
dy 2 p 1 dp 2 C 1 C1 0 , y p -1 2 y dy
dy dx 2 y
2 3
3
3
y
2
3
2x C2 C2
3 2 2
2 1 2 , 3 2 3
c1 ,
x c2e
c1t
(c2 0), 显然x0也是原方程的解.
1
故原方程的解为 x c2e c t .
13
微分方程
y
x0
常微分方程3.1 可降阶的高阶微分方程
参数法的基本思想 参数法的应用范围 参数法的求解步骤 参数法的优缺点
描述物理现象：可降阶的高阶微分方程可以用来描述复杂的物理现象，如振荡、波动、控制 等。
建立数学模型：通过可降阶的高阶微分方程，可以建立物理系统的数学模型，从而更好地理 解和分析物理现象。
数值模拟：可降阶的高阶微分方程可以用于数值模拟，通过计算机程序模拟物理系统的行为， 从而更好地预测和控制系统的行为。
定义和分类：介绍了可降阶的高阶微分方程的定义和分类，包括具有代表性的几种类型。
求解方法：总结了可降阶的高阶微分方程的求解方法，包括常用的数值方法和解析方法。
应用领域：列举了可降阶的高阶微分方程在各个领域的应用，如物理、化学、生物、工程等。
未来研究方向：展望了可降阶的高阶微分方程未来的研究方向，包括新的求解方法、应用领 域的拓展等。
分解法：将高阶微分方程分解为多个一阶微分方程，逐个求解，最后得到原方程的解。
降阶法：通过适当的变换，将高阶微分方程降为低阶微分方程，然后求解。 近似法：对于某些难以直接求解的高阶微分方程，可以采用近似法求解，如Runge-Kutta方法等。
数值解法：对于一些实际问题，可以采用数值解法求解高阶微分方程，如有限差分法、有限元法等。
优化设计：可降阶的高阶微分方程可以用于优化设计，通过调整系统的参数，使系统的性能 达到最优。
机械工程：可降 阶的高阶微分方 程可以用于描述 机械系统的动态 行为，例如弹簧阻尼系统、振荡 器等。
航空航天工程： 可降阶的高阶微 分方程可以用于 描述飞行器的动 态特性，例如空 气动力学、飞行 控制等。
电子工程：可降 阶的高阶微分方 程可以用于描述 电路系统的动态 行为，例如RC电 路、RLC电路等。
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可降阶的高阶微分方程
2
p 1 y p tan(x C1 )
dx
arctan p x C1
y tan(x C1 ) dx C 2
ln | cos(x C1 ) | C2
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小结
高阶微分方程的基本解法 ——通过代换降低阶数。 1、 y(n) = f (x) 型： 2、 y" = f (x,y') 型： 3、 y" = f (y,y') 型： 连续积分n次； 因变量换元；
1 2 dp dy ln( p 2 1) y C1 , 2 p 1
p
（难!!!）
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2 . 例4 求 y y 1 0 的通解
另解 不显含因变量。 取 p y 为因变量， dp 2 p 1 0 原方程降阶为 （可分离变量） dx
dp 原方程降阶为 p f ( y, p) dy dy ( y; C1 ), 则 若得其解为 p ( y; C1 ), dx
原方程通解为
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dy x C2 . ( y; C1 )
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2 . 例3 求 yy y 0 的通解
解 不显含自变量。取 p y 为因变量，y 为自变量，
C1e x C2 x 2 .
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练 习 题
一、求下列各微分方程的通解: 1、 y xe x ； 2、 y 1 y 2 ； 2 3 y 2 0 . 3、 y ( y ) y ； 4、 y 1 y 二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 3 y 1、 y 1 0 , y x 1 1 , y x 1 0 ； 2 y a y 0 , y x 0 0 , y x 0 1 ； 2、 3、 y 3 y , y x 0 1 , y x 0 2 . 三、试 求 y x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 x y 1 相切的积分曲线 . 2
可降阶的高阶微分方程和二阶常系数微分方程
可降阶的高阶微分方程和二阶常系数微分方程可降阶的高阶微分方程和二阶常系数微分方程一、可降阶的高阶微分方程在数学中，可降阶的高阶微分方程指的是一个高阶微分方程可以通过一系列变量代换和降阶操作化简为低阶的微分方程。
这种化简的方法在求解高阶微分方程时非常有用，可以简化计算过程并得到解析解。
具体而言，可降阶的高阶微分方程通常可以通过一系列变量代换将高阶导数转化为低阶导数，从而降低微分方程的阶数。
常见的变量代换包括令新变量等于原函数的高阶导数，或者令新变量等于原函数与其高阶导数之间的某种组合。
通过这些变量代换，高阶微分方程可以转化为一系列关于新变量的低阶微分方程。
例如，考虑一个三阶微分方程：\[y'''(x) + p(x)y''(x) + q(x)y'(x) + r(x)y(x) = 0\]可以通过令新变量\(v = y'(x)\)和\(u = v'\)来进行变量代换。
通过求导可以得到：\[v' = u\]将上述代换带入原方程，可以得到一个关于\(u\)和\(v\)的二阶微分方程：\[u' + p(x)u + q(x)v + r(x)y = 0\]通过继续进行变量代换，可以将该二阶微分方程进一步降阶为一阶微分方程。
这种可降阶的方法可以在高阶微分方程的求解中起到重要的作用。
二、二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程是一种形式为\(ay''(x) + by'(x) + cy(x) = 0\)的微分方程，其中\(a\)、\(b\)和\(c\)是常数。
这类微分方程在物理、工程和数学等领域中广泛应用，可以描述许多自然现象和物理过程。
对于二阶常系数微分方程，其特征方程为\(ar^2 + br + c = 0\)，其中\(r\)为待定的解。
通过解特征方程可以得到该微分方程的通解。
特别地，当特征方程有两个不相等的实根时，通解可以表示为：\[y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}\]其中\(C_1\)和\(C_2\)为任意常数，\(r_1\)和\(r_2\)为特征方程的两个实根。
§12-7可降阶的高阶微分方程-九江学院省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:
1、 y 3 y 1 0 , y x1 1 , yx1 0；
2、 y
ay 2
0
,
y
x0
0
,
y
x
0
1；
3、 y 3 y , y x0 1 , yx0 2.
三、试 求 y x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 y x 1相切的积分曲线 . 2 上页 下页 返回
第七节 可降阶旳高阶微分方程
▪ 一、y(n) f ( x, y(k ) ,, y(n1) )型 ▪ 二、 y(n) f ( y, y(k) ,, y(n1) ) 型 ▪ 三、恰当导数方程 ▪ 四、齐次方程 ▪ 五、小结 思索题
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一、y(n) f ( x, y(k ) ,, y(n1) ) 型
三、 y 1 x3 1 x 1. 62
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x2
C4 x
C5
,
原方程通解为 y d1 x5 d2 x 3 d3 x 2 d4 x d5
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二、 y(n) f ( y, y(k) ,, y(n1) ) 型
特点： 右端不显含自变量 x.
解法： 设 y p( y) 则 y dp dy p dP ,
dy dx dy
y P 2 d 2 P P(dP )2 , ,
特点： 不显含未知函数 y及 y,, y(k1) .
解法： 令 y(k) P( x)
则 y(k1) P,
y P . (n)
(nk )
代入原方程, 得
P(x)旳(n-k)阶方程
P (nk ) f ( x, P( x),, P (nk1) ( x)). 求得 P( x),
可降阶的高阶微分方程
从本节开始我们 将讨论二阶及二阶以上的 微分方程，即所谓的高阶微分方程。
对于高阶的，我们希望通过代换来使得原 来的方程降阶，若降为一阶，就有可能用前面 的方法来求解，下面来具体介绍三种情况。
y(n) f ( x )
此类型的微分方程右端仅含有自变量 因此可用逐次积分法求解
下面我们看一道例题
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令
1．求下列方程的通解：
(1) e x y x
(2) xy '' y ' 0
(3) y ( y)3 y
(4) ( x 1) y y ln(x 1) 2．求下列微分方程满足初始条件的特解：
(1) y x sin x, y(0) 1, y(0) 1
例9.15 求 方 程xy y x 2e x的 通 解。
解 令y p，代入原方程可得x dp p x 2e x dx
即 dp 1 p xe x dx x
这是一阶非齐次线性方程，通解为
p(
x)
e
1 x
dx
[
xe x e
1 dx
x dx
C1 ]
x[
e x C1 ] xe x C1 x
(2) 4 y y 4xy y(0) 1, y(0) 1
(3) y 3 y, y(0) 1, y'(0) 2
(4) y 3x2 y
1 x3
y(0) 1, y(0) 4
3．试求经过点 (0,1) 且在此点与直线 x y 1
相切，满足方程 yy ( y)2 1 的曲线方程．
应用微积分
例9.14
求微分方程 y 1 x3
的通解。
解 将所给方程连续积分三次，得
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特点： 不显含未知函数y及 y,, y(k1).
解法： 令 y(k) P( x)
则 y(k1) P,
y P . (n)
(nk )
代入原方程, 得
P(x)的(n-k)阶方程
P (nk) f ( x, P( x),, P (nk1) ( x)). 求得 P( x),
解法：可通过变换 y e zdx
k次齐次函数
将其降阶, 得新未知函数 z( x).
y
ze
zdx
,
y (z z2 )e zdx , ,
y(n) (z, z,, z(n1) )e zdx , 代入原方程并消去 ek zdx ,
得新函数z( x)的(n 1)阶方程
dy dx dy
y P 2 d 2 P P(dP )2 , ,
dy 2
dy
代入原方程得到新函数 P( y)的(n 1)阶方程，
求得其解为 dy dx
P( y) ( y,
C1 ,
,
Cn1 ),
原方程通解为
( y,
dy C1, ,
Cn1 )
x Cn,
例 2 求方程 yy y2 0的通解.
解 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1 y,
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2ec1x .
三、恰当导数方程
特点 左端恰为某一函数( x, y, y,, y(n1) ) 对x的导数, 即 d ( x, y, y,, y(n1) ) 0. dx
解法：类似于全微分方程可降低一阶 ( x, y, y,, y(n1) ) C, 再设法求解这个方程.
五、小结
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
例 5 求方程 yy y2 0的通解.
解
两
端同
乘不
为零
因子
1 y2
,
yy y2 d ( y) 0,
y2
dx y
故 y C1 y,
从而通解为 y C2eC1x .
另解 原方程变为 y y , y y
将 y(k) P( x) 连续积分k次, 可得通解.
例 1 求方程 xy(5) y(4) 0 的通解.
解 设 y(4) P( x), y(5) P( x)
代入原方程 xP P 0, （P 0）
解线性方程, 得 P C1 x 即 y(4) C1 x,
两端积分,得
y
1 2
C1
x
2
C2
,
,
y
C1 120
x5
C2 6
x3
C3 2
x2
C4 x
C5Leabharlann ,原方程通解为 y d1 x5 d2 x3 d3 x2 d4 x d5
二、 y(n) f ( x, y(k) ,, y(n1) )型
特点： 右端不显含自变量 x.
解法： 设 y p( y) 则 y dp dy p dP ,
f ( x, z, z,, z(n1) ) 0.
例 4 求方程 x2 yy ( y xy)2 的通解.
解
设
y
e zdx ,
代入原方程,得
z
2z x
1 x2
,
解其通解为
z
1 x
C1 x2
,
原方程通解为
y
e
(
1 x
C1 x2
)dx
C1
C2 xe x
.
例 3 求方程 yy y2 0的通解. 解 将方程写成 d ( yy) 0,
dx
故有 yy C1, 即 ydy C1dx, 积分后得通解 y2 C1x C2.
注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.
四、齐次方程
特点： F ( x, ty, ty,, ty(n) ) t k F ( x, y, y,, y(n) )
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y， 原方程通解为 y C2eC1x .
补充题: 求方程 xyy xy2 yy 的通解. 解 设 y e zdx , 代入原方程,得 zx z，
解其通解为 z C x,
原方程通解为 y e Cxdx C2eC1x2 .