2016届原创§74 解不等式总述及一元n次、分式不等式的解法

-3
-1 2
由标根法得 x 3 或 1 x 2
2 3 (3).解不等式 （x+2)(x+1) ( x 1) ( x 3) 0 例四：
2 3 解：因方程 =0 的根为 （x+2)(x+1) ( x 1) ( x 3) 0
-2； -1；3
-2
-1
1
3
一正二方三穿线 奇穿偶切右上方 上大下小中为等 函数简图是本质 由标根法得
/ 3
f ( x) 2c
2
恒成立，求c的
f (1) b c 3 c a 9 故 f / (1) a 3b 0 解得 b 3 解② :由① 得 f / ( x) 36 x3 ln x
当x>0时, 解 f / ( x) 0 得 f(x)在(1,＋∞)上↗ 当x>0时, 解 f ( x) 0 得 f(x)在(0, k ，使 ai＝k bi 时等号成立
ii：向量式
a b | a | | b |
2.应用： i：作用：换序变结构 ①a1 , a2 ,, an ii：用途：解证求最值 注：最常见的是将 b1 , b2 , , bn 配凑为
1 1 1 ② , ,, a1 a2 an
a b a b 0； a b ab 0.
a b a b 0；
2.运算性质
⑪对一个不等式的运算(变形)
⑫对多个不等式的运算(变形)
2.运算性质
⑪对一个不等式的运算(变形)
④加(减): 如果a>b，那么a+c>b+c a>b ⇒ a+c>b+c ⑤乘(除)：如果a>b,且c>0,那么ac>bc a>b,c>0 ⇒ ac>bc 如果a>b,且c<0,那么ac<bc a>b,c<0 ⇒ ac<bc
17 伯努利不等式
参《选修4-5》P：51 ～ 52
如果x是实数,且x＞-1, x≠0 ,且n为大于1的自然数, 则
(1 x) 1 nx
n
注：伯努利不等式常见的推论： ⅰ: 若x＞-1,且α≤0 或α≥1，则 ⅱ:若x＞-1,且0≤α ≤1 ，则 ⅲ:若xi＞-1 , 则
(1 x1 x2 xn ) (1 x1 )(1 x2 )(1 xn )
③常数列
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排序不等式
已知 a1 ≤ a 2 ≤ a3 ≤…≤ an , b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤…≤ bn
若 c1 , c2 , c3 , „, cn 是 b1 , b2 , b3 , „, bn 的任意一个排列,
则称 S a1c1 a 2 c2 a n cn 为乱序和
称 S1 a1 bn a 2 bn 1 a n b1 为反序和
/
2 f ( x ) 2 c ③若对任意x>0，不等式 恒成立，求c的
取值范围 解③ ：由②得 f ( x)min f (1) 3 c
故原命题等价于 3 c 2c 2
3 解得 c 或c 1 2
三、解分式不等式
1.“左右”去分母法 2.“上下”去分母法 x 1 0. (5).解不等式： 3x 2 法1. “左右”去分母法 x 1 0, x 1 0, 或 2 依题意得 1 3x 2 0. 3x 2 0; 2 解得 x 或 x 1 3 2 故原不等式的解集为 (, 1) ( , ). 3 法2.“上下”去分母法 因原不等式等价于 x 13x 2 0 2 故原不等式的解集为 (, 1) ( 3 , ).
①按课本上的分类方式：„„
②按资料上的分类方式：单向式；双向式„„
③按自己的分类方式：„„
1.基本性质
①大小的定义
如果a-b是正数，那么a＞b； 如果a-b是等于零，那么a =b； 如果a-b是负数，那么a＜b； ②对称性 如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b ③传递性 如果a＞b, b＞c,那么a＞c a＞b b＜a a>b，b>c ⇒ a>c
3 3 3 3 a b c a b c 3 3 1 1 1 abc 3 3 a b c 2 1 1 a b
(调和平均值)

ab
ab 2

a b 2
2
2
(几何平均值)
(算数平均值)
(幂平均值)
当且仅当a=b=c时，“=”成立
二元的均值不等式
若□,○∈R+,则 2 □○ 1 1 □ □+○ ≤ 2
注：真分数的分子分母加同一正数后放大
a a am 1 特例2：若 1 ,a,b,m＞0,则 b b bm
16 凸凹性与琴生(Jensen)不等式 琴生(Jensen)不等式:
<1>设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的n个实数
x1 , x2 ,, xn
当且仅当
x1 x2 xn f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) ) ,有 f ( n n
①中间“＋”时,右侧取“=”的条件是“□○≥0”
左侧取“=”的条件是“□○≤0且|□|≥|○|” ②中间“－”时,右侧取“=”的条件是“□○≤0”
左侧取“=”的条件是“□○≥0且|□|≥|○|”
13 柯西不等式 1.表述方式众多：
i：一般式
方和积 ≥ 积方和
2 2 2 2 2 2 2 (a1＋a2＋„＋an)(b1＋b2＋„＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋„＋anbn)
x1 x2 xn 时取等号
x1 x2 xn f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) f( ) n n
<2>设f(x)是(a,b)内的凹函数,则对于(a,b)内任意的n个实数
x1 , x2 ,, xn ,有
当且仅当
x1 x2 xn 时取等号
形法： ①比较法 ②分析法 ③综合法 ④反证法 数法： ⑤数归法 ⑥放缩法 ⑦函数法 ⑧……法
不等式的应用
1.解不等式： 2.证明不等式常用的方法： 3.求最值常用的方法：
函数图象 形法： 线性规划 最值定理（均值不等式）
数法： 函数法（导数法）
§74 解不等式总述及一元n次、分式不等式的解法
一、解不等式概述
a> b >0，c>d>0 ⇒ ac>bd
注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘) 注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性 ⑨同号可倒： 1 1 若a>b,ab>0,则 . a b
3.重要的(经典)不等式
⑩
11
□2+○2≥±2□○
(当且仅当○=□时等号成立)
均值不等式： 若a, b, c R , 则
/
(4)(2007年重庆)已知函数 f ( x) ax 4 ln x bx 4 c (x>0) 在x = 1处取得极值3-c，其中a,b,c为常数
② 当x>0时, 解 f / ( x) 0 得 f(x)在(1,＋∞)上↗
当x>0时, 解 f ( x) 0 得 f(x)在(0, 1)上↘
证不等式
高中数学研究的主要内容
关系

确定关系 随机关系
数数关系： 代数 数形关系： 解析几何 形形关系： 立体几何 规律与统计

函数 方程 不等式 解析式
不等式的性质
(一) 作用：变形化简不等式
(二) 性质：多多益善十四条 文字背诵是关键 1.基本性质 2.运算性质 3.重要的不等式 说明：不等式的性质分类：
二元不等式 线性规划 含参不等式 四成立…… 抽象不等式
一、解不等式概述
1.题型：
2.解法： 函数图像 线性规划 “纯”不等式法 函数(单调性)法 3.一般的，不等式解集的端点值是方程的根
形法
数法
(1).《精炼案》P：69
Ex1
二、标根法解一元n次不等式
一正二方三穿线 奇穿偶切右上方 上大下小中为等 函数简图是本质 (2).解不等式(3+x)(2-x)(x+1)＞0 解：因原不等式等价于(3+x)(x-2)(x+1)<0 又因方程(3+x)(x-2)(x+1)=0的根为-3，-1，2
+
○ 当且仅当□=○时等号成立
□2+○2 2
注1：使用前提是正数 放缩消元变结构
当且仅当等相连 应用特例求最值
k 注2：与对号函数 y x 的关联 x 1 1 1 注3： x 2 或 x 2 即 x 2 x x x
12 三角形(绝对值)不等式 |□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○| |□1±□2±□3„„□n|≤|□1|+|□2|+ |□3|+„„+|□n| 注1.放缩换序增减号 注2.拍扁三角取等号 “=”成立的条件： 特例消元求最值 同号异号是关键
1.题型: 2.解法: 3.一般的，不等式解集的端点值是方程的根
二、标根法解一元n次不等式
一正二方三穿线 奇穿偶切右上方 上大下小中为等 函数简图是本质
三、解分式不等式
1.左右去分母法 2.上下去分母法
一、解不等式概述
1.题型：
整式不等式 分式不等式 不等式组 绝对值不等式 一元不等式 根式不等式 连不等式 指数不等式 对数不等式 三角不等式
称 S 2 a1b1 a 2 b2 a n bn 为顺序和
反序和≤乱序和≤顺序和
当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时, 取 " "