推荐高中数学第一章立体几何初步1.3三视图学案北师大版必修2(1)

2024-2025学年高中数学第1章立体几何初步1简单几何体(教师用书)教案北师大版必修2

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的简单几何体的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
拓展与延伸
1. 提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：
- 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的代表作，其中包含了关于立体几何的详细论述，对于理解立体几何的概念和定理非常有帮助。
举例：可以用坐标系表示几何体的顶点或中心点的位置，用向量表示几何体的尺寸和方向。
（3）几何体的表面积和体积计算：如何计算简单几何体的表面积和体积。
举例：正方体的表面积公式为6a²，其中a为边长；正方体的体积公式为a³。
2.教学难点
（1）理解并应用几何体的特征：学生可能对几何体的特征和性质理解不深，难以运用到实际问题中。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕简单几何体的问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
技能训练：
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验几何体的应用，提高实践能力。
在新课呈现结束后，对简单几何体的知识点进行梳理和总结。
强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
- 学习如何表示和描述简单几何体的尺寸和位置；
- 掌握如何计算简单几何体的表面积和体积。
2.教学目标：
- 学生能准确识别和描述常见简单几何体的特征；
- 学生能运用数学语言和符号表示简单几何体的尺寸和位置；
- 学生能计算简单几何体的表面积和体积，并能解决相关实际问题。
三、教学步骤
1.导入（5分钟）：通过展示一些实际生活中的几何体模型，引导学生思考和讨论这些模型的特征和数学关系。

高中数学第一章立体几何初步 1.3 三视图练习北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题

§3三视图A组1.一个圆柱的三视图中,一定没有的图形是()A.矩形B.圆C.三角形D.正方形解析:一个圆柱,不论怎样放置,三视图均不可能出现三角形.答案:C2.若一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是()A.三棱柱B.圆柱C.三棱锥D.圆锥答案:A3.如图,空心圆柱体的主视图是()答案:C4.导学号62180016若一个几何体的三视图如图所示,则该三视图表示的组合体为()A.圆柱与圆锥B.圆柱与三棱锥C.圆柱与四棱锥D.四棱柱与圆锥答案:C5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是()解析:由俯视图易知,只有选项D符合题意.故选D.答案:D6.如图所示的立体图形,都是由相同的小正方体拼成的.(1)图①的主视图与图②的图相同;(2)图③的主视图与图④的主视图.(填“相同”或“不同”)答案:(1)俯视(2)不同7.如图所示是一个圆锥的三视图,则该圆锥的高为 cm.解析:由三视图知,圆锥的母线长为3 cm,底面圆的直径为3 cm,所以圆锥的轴截面是边长为3 cm 的等边三角形,所以圆锥的高为(cm).答案:8.已知某组合体的主视图与左视图相同(如图1所示,其中AB=AC,四边形BCDE为正方形),则该组合体的俯视图可以是如图2所示的.(把你认为正确的图的序号都填上)图1图2解析:由主视图与左视图可得该几何体可以是由正方体与底面边长相同的四棱锥组合而成的,则其俯视图为图①;可以是由正方体与底面直径与底面正方形边长相同的圆锥组合而成的,则其俯视图为图④;可以是由圆柱与底面相同的圆锥组合而成的,则其俯视图为图③;可以是由圆柱与底面正方形边长等于圆柱底面直径的四棱锥组合而成的,则其俯视图为图②.答案:①②③④9.一个几何体的三视图如图所示,请画出它的实物图.解:由三视图可知,该几何体由正方体和四棱柱组成,如图所示.10.导学号62180017如图所示是一个零件的实物图,画出这个几何体的三视图.解:该零件由一个长方体和一个半圆柱拼接而成,并挖去了一个小圆柱(形成圆孔).主视图反映了长方体的侧面和半圆的底面、小圆柱的底面,左视图反映了长方体的侧面、半圆柱的侧面、小圆柱的侧面,俯视图反映了长方体的底面、半圆柱的侧面和小圆柱的侧面投影后的形状.它的三视图如图所示.B组1.如图①②③分别为三个几何体的三视图,根据三视图可以判断这三个几何体依次分别为()图①图②图③A.三棱台、三棱柱、圆锥B.三棱台、三棱锥、圆锥C.三棱柱、正四棱锥、圆锥D.三棱柱、三棱台、圆锥解析:图①②③对应的原几何体分别是三棱柱、正四棱锥、圆锥,故选C.答案:C2.导学号62180018将正方体(如图1-(1)所示)截去两个三棱锥,得到图1-(2)中的几何体,则该几何体的左视图为(如图2所示)()图1图2解析:左侧被截去的三棱锥的底面三条边中,有两条与正方体的棱重合,另一条应为正方形自左上到右下的对角线,是可见的;右侧被截去的三棱锥的底面的三条边中,有两条与正方体的棱重合,另一条应为正方形自右上到左下(从左面看)的对角线,是不可见的.故选B.答案:B3.如图所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,高为3,则其左视图的面积为()A.6B.3C.3D.6解析:由三视图的画法可知,该几何体的左视图是一个矩形,其宽为2sin 60°=,长为3,故面积S=3.答案:C4.已知一几何体的主视图与左视图如图所示,则下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有()A.①②③⑤B.②③④⑤C.①②④⑤D.①②③④解析:可以结合实物想象,对于①,可认为该几何体的最下部为棱柱,上部为两个圆柱;对于②,可认为该几何体的上部为两个棱柱,下部为圆柱;对于③,可认为该几何体的上部为圆柱,下部为两个棱柱;对于④,可认为该几何体的上部是底面为等腰直角三角形的棱柱,中间为一圆柱,底部为四棱柱;对于⑤,由原几何体最下部的两个视图可知,其俯视图不可能是一个三角形.答案:D5.如图所示,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为.解析:根据三视图还原成实物图,即四棱锥P-ABCD,所以最长的一条棱的长为PB=2.答案:26.已知三棱锥的直观图及其俯视图与左视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,左视图是有一直角边长为2的直角三角形,则该三棱锥的主视图面积为.解析:三棱锥的主视图如图所示,故主视图的面积为×2×2=2.答案:27.下图是一个几何体的三视图,试画出其实物图.解:由几何体的三视图容易想到该几何体可以由正方体切割而得到,如图所示.俯视图8.导学号62180019一个棱长均为6的正三棱锥,其俯视图如图所示,求其主视图的面积和左视图的面积.解:作出正三棱锥的直观图如图所示,E为BD的中点,AO为三棱锥的高,由三棱锥的放置方式知,其主视图为三角形,底面边长为BD=6,其高等于AO,其左视图为三角形,底面边长等于CE(中线)的长,其高等于AO.在Rt△BCE中,BC=6,BE=3,得CE=3,CO=×CE=2.在Rt△ACO中,AC=6,CO=2,则AO==2,故主视图面积为×6×2=6,左视图的面积为×3×2=9.。

高中数学第一章立体几何初步 1234 空间图形的基本关系与公理导学案(无答案)北师大版必修2 学

4空间图形的基本关系与公理【教学目标】1.理解空间中点、线、面的位置关系；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念；3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题；4.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．【重点难点】掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题【教法教具】以讲学稿为依托的探究式教学方法,多媒体教学【教学课时】 2课时【教学流程】自主学习（课前完成，含独学和质疑）1．空间点与直线的位置关系(1)如果点P在直线a，记作P∈a.(2)如果点P在直线a，记作P∉a.2．空间点与平面的位置关系(1)如果点P在平面α，记作P∈α.(2)如果点P在平面α，记作P∉α.3．空间两条直线的位置关系(1)平行直线：如果直线a和b在同一个平面内，但没有，这样的两条直线叫作平行直线，记作a∥b.(2)相交直线：如果直线a和b有且只有公共点P，这样的两条直线叫作相交直线，记作a∩b＝P.(3)异面直线：如果直线a和b不同在平面内，这样的两条直线叫作异面直线．4．空间直线与平面的位置关系(1)直线在平面内：如果直线a与平面α有个公共点，我们称直线a在平面α内，记作aα.(2)直线与平面相交：如果直线a与平面α有且只有公共点P，我们称直线a与平面α相交于点P，记作a∩α＝P.(3)直线与平面平行：如果直线a与平面α没有，我们称直线a与平面α平行，记作a∥α.5．空间平面与平面的位置关系(1)平行平面：如果平面α与平面β没有，我们称平面α与平面β是平行平面，记作α∥β.(2)相交平面：如果平面α和平面β不重合，但有，我们称平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β＝l.6．公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．7．公理2经过的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．8．公理3如果两个的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．9．公理2的推论推论1：经过一条直线和这条，有且只有一个平面；推论2：经过两条直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条直线，有且只有一个平面．合作探究：（对学、群学）探究点一空间点、线、面的位置关系导引观察下面三个长方体回答下列问题．思考 1 观察长方体，你能发现长方体有多少个顶点？多少条棱？多少个面？棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？例1 将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示：α∩β＝l，A∈l，ABα，ACβ.跟踪训练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)lα，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α；Q∈l，Q∈α.探究点二空间图形的公理思考1 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？思考2 如何用符号语言表示公理1？公理1有怎样的用途？思考3 生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质？思考4 如何用符号语言表示公理2？公理2有怎样的用途？思考5 如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗？为什么？思考6 如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？思考7 如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？思考8 我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段，由此你能总结出怎样的结论？思考9 如何用符号语言表示公理3？公理3有怎样的用途？例2 已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．跟踪训练2 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．探究点三共线问题例3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．【达标拓展】（检测、拓展）1．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则( )A．C∈αB．C αC．ABαD．AB∩α＝C2．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4 C．5 D．63．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．【学后反思】【练案】一、基础过关1．下列图形中，不一定是平面图形的是( )A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形2．空间中，可以确定一个平面的条件是( )A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形 D．三个点3．如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，nα，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，nα，A m，A nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( ) A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条 D．1条或2条或3条5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．6．已知α∩β＝m，aα，bβ，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．7.如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．二、能力提升8．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( )A．0B．1C．1或4D．无法确定9．空间中A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一平面内，B，D，C，E在同一平面内，那么这五点( )A．共面B．不一定共面C．不共面D．以上都不对10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是________．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβ；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O1是A1C1与B1D1的交点，长方体体对角线A1C交截面AB1D1于点P.求证：O1，P，A三点在同一条直线上．12.已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面．三、探究与拓展13.在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．。

北师大版高中必修2第一章立体几何初步课程设计

北师大版高中必修2第一章立体几何初步课程设计课程目标本课程的目标是让学生了解和掌握立体几何基础知识，包括立体图形的基本概念、图形投影方法和空间中几何关系的理解和运用。

同时，本课程也将培养学生的立体思维能力和空间观察能力，为后续的数学学习和应用打下基础。

课程内容本课程主要围绕以下内容展开：1. 空间中的直线和平面•空间中的向量及其表示方法•直线的基本性质及垂线的性质•平面的基本性质及其分类2. 空间中的立体图形•立体图形的基本概念及其表示方法•立体图形的投影方法•立体图形的表面积和体积计算3. 空间中的几何关系•空间中两条直线的位置关系和角度关系•空间中直线和平面的位置关系•空间中平面的夹角和距离课程设计课前准备在上课前，老师应将本次课程所需的概念、性质、公式等基础知识进行梳理和归纳，制作课件方便学生学习和记忆。

课堂教学自主学习•在课前，要求学生先预习本节课的相关基础知识并自己做练习，便于课堂上更好地学习。

•在课堂上，老师可以先让学生通过讨论的方式自主学习，老师辅导学生思考问题，不断引导学生思考。

•通过举例练习，让学生更好地理解和掌握班上的知识和技巧。

教师授课•将重点难点的知识点进行详细讲解。

•通过课件，让学生观察立体图形的投影方法，学会如何预测和分析几何图形的形状和特征。

•通过练习让学生进一步巩固和掌握本节课的知识和技巧。

课后作业•在课后布置一些练习，巩固学生的学习效果。

•学生自学本节课未掌握的知识点，预习下节课程的内容。

教学方法为了提高学生的学习效果，本课程采用了多种教学方法：探究性教学通过学生探究的方式，让学生自主学习相关基础概念和解题技巧。

老师辅助学生思考问题，不断引导学生思考，同时也培养了学生的科学探究精神和基本思考方法。

示范性教学通过对典型题型和易错知识点的详细讲解，让学生更好地理解和掌握数学学科的核心知识和基本技能，也让学生获得更好的运用能力。

交互式教学通过实例和案例的分析，让学生掌握数学学科核心知识和技能的逻辑和实现，培养学生创新思维和实际应用能力。

高中数学第1章立体几何初步 1-3 三视图学案北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案

§3三视图1．由基本几何体形成的组合体有两种基本的组成形式：(1)将基本几何体拼接成组合体；(2)从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体．2．绘制三视图时的注意点(1)主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应．(2)在三视图中，需要画出所有的轮廓线，其中，视线所见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线．(3)同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．(4)清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何几何体的三视图都与其摆放的位置有关．( )(2)任何几何体的三视图都与其摆放的位置无关．( )(3)有的几何体的三视图与其摆放的位置无关．( )(4)正方体的三视图一定是三个全等的正方形．( )[答案] (1)×(2)×(3)√(4)×题型一简单几何体的三视图【典例1】画出如图所示几何体的三视图．[思路导引] 图①为正六棱柱，可按棱柱的画法画出，图②为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状．[解]按正六棱柱、圆锥、圆台的三视图画法如图所示．(1)画三视图时，首先确定主视、左视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．一般主视方向确定了，则左视与俯视的方向也就确定了，在有的问题里，直接给出主视图，也是确定主视方向的一个方法．(2)一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，左视图放在主视图的右面．[针对训练1] 如下图所示，图(1)是底面边长和侧棱长都是2 cm的四棱锥，图(2)是上、下底面半径分别为1 cm,2 cm，高为2 cm的圆台，分别画出它们的三视图．[解] (1)四棱锥的三视图如下图所示：(2)圆台的三视图如下图所示：题型二简单组合体的三视图【典例2】画出如图所示的几何体的三视图．[思路导引] 画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，图为两个圆柱的组合体．[解] 如图所示．画简单组合体的三视图时要注意的问题(1)分清简单组合体是由哪些简单几何体组成的，是组合型还是切挖型．(2)先画主体部分，后画次要部分．(3)几个视图要配合着画．一般是先画主视图再确定左视图和俯视图．(4)组合体的各部分之间要画出分界线．[针对训练2] 画出如图所示几何体的三视图．[解] 如图所示(1)(2)题型三由三视图还原成实物图【典例3】如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体( )[思路导引] (1)通过主视图和左视图确定是柱体、锥体还是台体．若主视图和左视图为矩形，则原几何体为柱体；若主视图和左视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若主视图和左视图为等腰梯形，则原几何体为台体．(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体，若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．[解析] 由俯视图可知该几何体为旋转体，由主视图、左视图、俯视图可知该几何体是由圆锥、圆柱组合而成．[答案] D由三视图还原成实物图时，一般先由俯视图确定底面，由主视图与左视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状．[针对训练3] 根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图．[解] 由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；再由主视图和左视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直，所以该几何体如图所示．1．如图，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，与甲、乙、丙相对应的标号是( )①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．A．③①② B．①②③ C．③②④ D．④②③[答案] D2．已知三棱柱ABC—A1B1C1如右图所示，以BCC1B1的前面为正前方，画出的三视图正确的是( )[解析] 主视图是矩形，左视图是三角形，俯视图是矩形，中间有一条线．[答案] A3．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能等于( )A．1 B. 2 C.2－12D.2＋12[解析] 当正方体的主视图为边长为1的正方形时，面积取得最小值1，当正方体的主视图为宽为1，长为2的矩形时，面积取得最大值2，故主视图的面积S满足1≤S≤2，观察选项知，2－12不在此区间内．故本题正确答案为C.[答案] C4．将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为( )[解析] 还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．[答案] B课后作业(四)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )①长方体②圆锥③三棱台④正四棱锥A．①②B．①③C．①④D．②④[解析] ②圆锥和④正四棱锥的主视图和左视图相同．[答案] D2．某几何体的主视图和左视图均如下图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )[解析] A是两个圆柱的组合体，B是一个圆柱和一个四棱柱的组合体，C选项的主视图和左视图不相同，D可以是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱与一个四棱柱的组合体．[答案] C3．如图所示的三视图表示的几何体可能是 ( )A．圆台 B．四棱台 C．四棱锥 D．三棱台[解析] 由三视图可知，该几何体是四棱台．[答案] B4．某空间几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是 ( )A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱[解析] 圆柱的主视图不可能是三角形．[答案] A5．若一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体是 ( )A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱[解析] 由俯视图可知底面为四边形，由主视图和左视图知侧面为三角形，故几何体为四棱锥．[答案] B6．水平放置的下列几何体，主视图是长方形的是________(填序号).[解析] ①③④的主视图为长方形，②的主视图为等腰三角形．[答案] ①③④7．一物体及其主视图如图：则它的左视图与俯视图分别是图形中的________．[解析] 左视图是矩形中间有条实线，应选③；俯视图为矩形中间有两条实线，且为上下方向，应选②.[答案] ③②8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的主视图与左视图的面积的比值为________．[解析] 三棱锥P－ABC的主视图与左视图为等底等高的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.[答案] 19．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图．[解] 所给四棱锥的三视图如下图．10．如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图．[解] 三视图如图所示．应试能力等级练(时间25分钟)11．如果用□表示1个立方体，用表示2个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么图中由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是( )[解析] 从正前方观察，有两层，下边一层有3个立方体，且中间为3个立方体叠加；第二层中间有一个立方体，且有2个立方体叠加，故选B.[答案] B12．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的几何体是( )[解析] 对于A，该几何体的三视图恰好与已知图形相符，故A符合题意；对于B，该几何体的主视图的矩形中，对角线应该是虚线，故不符合题意；对于C，该几何体的主视图的矩形中，对角线应该是从左上到右下的方向，故不符合题意；对于D，该几何体的左视图的矩形中，对角线应该是虚线，故不符合题意．故选A.[答案] A13．已知某组合体的主视图与左视图相同(其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形)，则该组合体的俯视图可以是图中的________．(把你认为所有正确图象的序号都填上)[解析] 由主视图和左视图可知几何体为锥体和柱体的组合体．(1)若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为③；(2)若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为④；(3)若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为①；(4)若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为②.[答案] ①②③④14．如图是一个棱柱的三视图，根据三视图的作图原则，则x＝________，y＝________.[解析] 棱柱的底面是一个直角三角形，根据“长对正、高对平、宽相等”的原则可知两直角边分别为x ＋y －2(或8)和x －y ＋5(或3y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝8，x －y ＋5＝3y即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，x －4y ＝－5 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.[答案] 7 315．如图，该几何体是由一个长方体木块锯成的．(1)判断该几何体是否为棱柱； (2)画出它的三视图．[解] (1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图．。

2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1_4_2_2空间图形的公理(第2课时)学案北师大版必修2

4.2 空间图形的公理(第2课时)1．空间图形的公理公理4 平行于同一条直线的两条直线平行．定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2．异面直线 (1)异面直线的定义不共面(不同在任何一个平面内)的两条直线叫作异面直线． (2)空间两条直线的位置关系有且只有三种共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点.平行直线：在同一平面内，没有公共点.异面直线：不共面的两条直线，没有公共点．(3)异面直线所成的角过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a ，b 所成的角．如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作：a ⊥b .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线．( ) (2)两条直线垂直，则一定相交．( )(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．( )(4)两条直线若不是异面直线，则必相交或平行．( )(5)两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )(6)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )(7)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×(7)×题型一空间两直线位置关系的判定【典例1】已知a、b、c是空间三条直线，下面给出四个命题：①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c也是异面直线；③如果a、b是相交直线，b、c是相交直线，那么a、c也是相交直线；④如果a、b共面，b、c共面，那么a、c也共面．在上述命题中，正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[思路导引] 两条直线的位置关系拓展到空间中有且仅有三种：相交、平行、异面．根据具体情况，具体分析．[解析] ①a与c可能相交，也可能异面；②a与c可能相交，也可能平行；③a与c可能异面，也可能平行；④a与c可能不在一个平面内．故①②③④均不正确．[答案] A(1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．(2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．[针对训练1] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．[解析] 根据题目条件知道直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A 1、B 、B 1在一个平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C “异面”．同理，直线AB 与直线B 1C “异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D 1D 与直线D 1C 相交于D 1点，所以③应该填“相交”．[答案] ①平行 ②异面 ③相交 ④异面题型二公理4及等角定理的应用【典例2】如图，已知在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.[思路导引] (1)由中位线定理可证MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1.从而应用公理4，可证MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，于是命题可证．(2)利用等角定理可证．[证明] (1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1.∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.(1)空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． (2)求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．[针对训练2] 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.[证明] (1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，∵A1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠A1ED1.题型三异面直线所成的角【典例3】如图所示，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.[思路导引] (1)由于CG∥BF，即∠EBF(或其补角)为异面直线CG与BE所成的角．(2)由于BD∥FH，故∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．[解] (1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点．所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求．提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.[针对训练3] 如图，P 是平面ABC 外一点，PA ＝4，BC ＝25，D 、E 分别为PC 和AB 的中点，且DE ＝3.求异面直线PA 和BC 所成角的大小．[解] 如图，取AC 中点F ，连接DF 、EF ，在△PAC 中，∵D 是PC 中点，F 是AC 中点，∴DF ∥PA ，同理可得EF ∥BC ， ∴∠DFE 为异面直线PA 与BC 所成的角(或其补角)．在△DEF 中，DE ＝3，又DF ＝12PA ＝2，EF ＝12BC ＝5，∴DE 2＝DF 2＋EF 2.∴∠DFE ＝90°，即异面直线PA 与BC 所成的角为90°.1．过一点与已知直线垂直的直线有( )A．一条B．两条C．无数条D．无法确定[解析] 过一点与已知直线垂直的直线有无数条，包括相交垂直和异面垂直．[答案] C2．异面直线是指( )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[解析] 不相交的直线有可能是平行也有可能是异面，故A不正确；如图①中，aα，bβ，但是，a∩b＝A，故B不正确；如图②，aα，bα，但是a∩b＝A，故C不正确；D是异面直线的定义．[答案] D3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则( )A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面[解析] a、b、c的位置关系有下面三种情况，如图所示，由图形分析可得答案为D.[答案] D4．过直线l外两点可以作l的平行线条数为( )A．1 B．2C．3 D．0或1[解析] 以如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1为例．令A 1B 1所在直线为直线l ，过l 外的两点A ，B 可以作一条直线与l 平行，过l 外的两点B ，C 不能作直线与l 平行，故选D.[答案] D探究空间中四边形的形状问题根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法．公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．【示例】如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．[思路分析] 欲证EFGH 为平行四边形，只需证EH ∥FG ，只需证BD ∥FG 且BD ∥EH . [证明] 连接BD ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD .因此EH ∥FG .又EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形．[引申探究] (1)本例中若加上条件“AC ⊥BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ (2)本例中，若加上条件“AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？(3)本例中，若加上条件“AC ⊥BD ，且AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ [解] (1)由例题可知EH ∥BD ，同理EF ∥AC ，又BD ⊥AC ，因此EH ⊥EF ，所以四边形EFGH 为矩形．(2)由例题知EH ∥BD ，且EH ＝12BD ，同理EF ∥AC ，且EF ＝12AC .又AC ＝BD ，所以EH ＝EF .又EFGH 为平行四边形，所以EFGH 为菱形． (3)由(1)(2)可知，EFGH 为正方形．[针对训练] 如图所示，设E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG CD＝μ(λ，μ∈(0,1))，试判断四边形EFGH 的形状．[解] 连接BD ，在△ABD 中，AE AB ＝AHAD＝λ， ∴EH ∥BD ，且EH ＝λBD . 在△CBD 中，CF CB ＝CGCD＝μ，∴FG ∥BD ，且FG ＝μBD ，∴EH ∥FG ，∴顶点E 、F ，G 、H 在由EH 和FG 确定的平面内． (1)当λ＝μ时．EH ＝FG ，故四边形EFGH 为平行四边形； (2)当λ≠μ时．EH ≠FG ，故四边形EFGH 是梯形．课后作业(六) (时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面D ．相交或异面[解析] 可能相交也可能异面，选D.[答案] D2．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )[解析] 易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．[答案] C3．异面直线a，b，有aα，bβ，且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交[解析] 若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．[答案] D4．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．C 1C 与AE 共面 C ．AE 与B 1C 1是异面直线D ．AE 与B 1C 1所成的角为60°[解析] 由于CC 1与B 1E 都在平面C 1B 1BC 内，故C 1C 与B 1E 是共面的，所以A 错误；由于C 1C 在平面C 1B 1BC 内，而AE 与平面C 1B 1BC 相交于E 点，点E 不在C 1C 上，故C 1C 与AE 是异面直线，B 错误；同理AE 与B 1C 1是异面直线，C 正确；而AE 与B 1C 1所成的角就是AE 与BC 所成的角，E 为BC 中点，△ABC 为正三角形，所以AE ⊥BC ，D 错误．[答案] C5．已知空间四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列判断正确的是( ) A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )[解析] 取BC 的中点E ，连接ME ，EN ，又M 、N 分别为AB 、CD 的中点， ∴ME 綊12AC ，EN 綊12BD ，又在△EMN 中，ME ＋EN >MN ，∴12(AC ＋BD )>MN . [答案] D6．在四棱锥P －ABCD 中，各棱所在的直线互相异面的有________对.[解析] 以底边所在直线为准进行考查，因为四边形ABCD 是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．[答案] 87．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．[解析] 连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC ＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.[答案] 60°8．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．[解析] 依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC 与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.[答案] 60°9．如图所示，空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．[解] 取AC 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥CD ，EG ∥AB ，所以∠FEG 即为EF 与AB 所成的角(或其补角)，且FG ＝12CD ，EG ＝12AB ，所以FG ＝EG .又由AB ⊥CD 得FG ⊥EG ，所以∠FEG ＝45°.故EF 和AB 所成的角为45°.10．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：∠NMP ＝∠BA 1D.[证明] 如图，连接CB 1、CD 1，∵CD 綊A 1B 1∴四边形A1B1CD是平行四边形∴A1D∥B1C.∵M、N分别是CC1、B1C1的中点∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.∵BC綊A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形∴A1B∥CD1.∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1∴MP∥A1B∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反∴∠NMP＝∠BA1D.应试能力等级练(时间25分钟)11．若直线a、b分别与直线l相交且所成的角相等，则a、b的位置关系是( ) A．异面B．平行C．相交D．三种关系都有可能[解析] 以正方体ABCD－A1B1C1D1为例．A1B1、AB所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1∥AB；A1B1、BC所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1与BC是异面直线；AB、BC所在直线与AC所在直线相交且所成的角相等，AB与BC相交，故选D.[答案] D12．如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于( )A ．5B ．6C ．8D ．10[解析] 如图，取AD 的中点P ，连接PM 、PN ，则BD ∥PM ，AC ∥PN ，∴∠MPN 即异面直线AC 与BD 所成的角，∴∠MPN ＝90°，PN ＝12AC ＝4，PM ＝12BD ＝3，∴MN ＝5.[答案] A13.如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AD 1异面且与AD 1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．[解析] 与AD 1异面的面对角线分别为：A 1C 1、B 1C 、BD 、BA 1、C 1D ，其中只有B 1C 和AD 1所成的角为90°.[答案] 114．已知空间四边形ABCD 中，AB ≠AC ，BD ＝BC ，AE 是△ABC 的边BC 上的高，DF 是△BCD 的边BC 上的中线，则直线AE 与DF 的位置关系是________．[解析] 由已知，得E 、F 不重合．设△BCD 所在平面为α则DF α，A ∉α，E ∈α，E ∉DF ∴AE 与DF 异面． [答案] 异面15．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 分别为BC 和AD 的中点，将平面DCEF 沿EF 翻折起来，使CD 到C ′D ′的位置，G 、H 分别为AD ′和BC ′的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．[证明] ∵梯形ABCD 中，AB ∥CDE 、F 分别为BC 、AD 的中点∴EF ∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD )又C ′D ′∥EF ，EF ∥AB ，∴C ′D ′∥AB . ∵G 、H 分别为AD ′、BC ′的中点∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)＝12(AB ＋CD )∴GH 綊EF ，∴四边形EFGH 为平行四边形．。

高中数学第一章立体几何初步1简单几何体学案北师大版必修2(2021年整理)

（赣豫陕）2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步1 简单几何体学案北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（赣豫陕）2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步1 简单几何体学案北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（赣豫陕）2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步1 简单几何体学案北师大版必修2的全部内容。

§1简单几何体学习目标1。

理解旋转体与多面体的概念。

2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质．知识点一旋转体与多面体旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体多面体把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体知识点二常见的旋转体及概念思考1 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥吗？答案不是．以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥的一半，不是整个圆锥．思考2 能否由圆锥得到圆台？答案用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到．梳理名称图形及表示定义相关概念球记作：球O 球面：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球体:球面所围成的几何体叫作球体,简称球球心：半圆的圆心．球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段．球的直径：连接球面上两点并且过球心的线段圆柱记作：圆柱OO′以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱高：在旋转轴上这条边的长度．底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面．侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面．母线:不垂直于旋转轴的边，无论转到什么位置都叫作侧面的母线圆锥记作：圆锥OO′以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥圆台记作：圆台OO′以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆台特别提醒:（1）经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面．（2)圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点．知识点三常见的多面体及相关概念思考观察下列多面体，试指明其类别．答案(1）五棱柱；（2）四棱锥；(3）三棱台．梳理（1)棱柱①定义要点：(ⅰ）两个面互相平行；(ⅱ)其余各面都是四边形;(ⅲ）每相邻两个四边形的公共边都互相平行．②相关概念：底面：两个互相平行的面．侧面：除底面外的其余各面．侧棱：相邻两个侧面的公共边．顶点：底面多边形与侧面的公共顶点．③记法：如三棱柱ABC－A1B1C1.④分类及特殊棱柱：(ⅰ）按底面多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱、……。

(完整word)高中数学北师大版目录.doc

高中数学北师大版目录北师大版《数学 (必修 1)》§ 5 平行关系全书目录：§ 6 垂直关系第一章集合§ 7 简单几何体的面积和体积§ 1 集合的含义与表示§ 8 面积公式和体积公式的简单应用§ 2 集合的基本关系阅读材料蜜蜂是对的§ 3 集合的基本运算课题学习正方体截面的形状阅读材料康托与集合论第二章解析几何初步第二章函数§ 1 直线与直线的方程§ 1 生活中的变量关系§ 2 圆与圆的方程§ 2 对函数的进一步认识§ 3 空间直角坐标系§ 3 函数的单调性阅读材料笛卡儿与解析几何§ 4 二次函数性质的再研究探究活动 1 打包问题§ 5 简单的幂函数探究活动 2 追及问题阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算必修 3全书目录第三章指数函数和对数函数第一章统计§ 1 正整数指数函数§ 1 统计活动：随机选取数字§ 2 指数概念的扩充§ 2 从普查到抽样§ 3 指数函数§ 3 抽样方法§ 4 对数§ 4 统计图表§ 5 对数函数§ 5 数据的数字特征§ 6 指数函数、幂函数、对数函数增长§ 6 用样本估计总体的比较§ 7 统计活动：结婚年龄的变化阅读材料历史上数学计算方面的三大§ 8 相关性发明§ 9 最小二乘法阅读材料统计小史第四章函数应用课题学习调查通俗歌曲的流行趋势§ 1 函数与方程§ 2 实际问题的函数建模第二章算法初步阅读材料函数与中学数学§ 1 算法的基本思想探究活动同种商品不同型号的价格问§ 2 算法的基本结构及设计题§ 3 排序问题§ 4 几种基本语句必修 2 课题学习确定线段 n 等分点的算法全书目录：第一章立体几何初步第三章概率§ 1 简单几何体§ 1 随机事件的概率§ 2 三视图§ 2 古典概型§ 3 直观图§ 3 模拟方法――概率的应用§ 4 空间图形的基本关系与公理探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值 1.2 数列的函数特性§ 2 等差数列必修 4 全书目录： 2.1 等差数列2.2 等差数列的前ｎ项和第一章三角函数§ 3 等比数列§ 1 周期现象与周期函数 3.1 等比数列§ 2 角的概念的推广 3.2 等比数列的前ｎ项和§ 3 弧度制§ 4 书雷在日常经济生活中的应§ 4 正弦函数用§ 5 余弦函数本章小节建议§ 6 正切函数复习题一§ 7 函数的图像课题学习教育储蓄§ 8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐第二章解三角形课题学习利用现代信息技术探究的图§ 1 正弦定理与余弦定理像 1.1 正弦定理1.2 余弦定理第二章平面向量§ 2 三角形中的几何计算§ 1 从位移、速度、力到向量§ 3 解三角形的实际应用举例§ 2 从位移的合成到向量的加法本章小结建议§ 3 从速度的倍数到数乘向量复习题二§ 4 平面向量的坐标§ 5 从力做的功到向量的数量积第三章不等式§ 6 平面向量数量积的坐标表示§ 1 不等关系§ 7 向量应用举例 1.1 不等关系阅读材料向量与中学数学 1.2 比较大小§ 2 一元二次不等式第三章三角恒等变形 2.1 一元二次不等式的解法§ 1 两角和与差的三角函数 2.2 一元二次不等式的应用§ 2 二倍角的正弦、余弦和正切§ 3 基本不等式§ 3 半角的三角函数 3.1 基本不等式§ 4 三角函数的和差化积与积化和差 3.2 基本不等式与最大（小）§ 5 三角函数的简单应用值课题学习摩天轮中的数学问题§ 4 简单线性规划探究活动升旗中的数学问题 4.1 二元一次不等式（组）与平面区域4.2 简单线性规划必修 5 4.3 简单线性规划的应用全书共三章：数列、解三角形、不等式。

高中数学第1章立体几何初步3三视图同步教学案北师大版必修2

高中数学第1章立体几何初步3三视图同步教学案北师大版必修2【课时目标】1．初步认识简单几何体的三视图．2．会画出空间几何体的三视图并会由空间几何体的三视图画出空间几何体．1．空间几何体的三视图是指__________、__________、__________．2．三视图的排列规则是__________放在主视图的下方，长度与主视图一样，__________放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．3．三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从________、__________、________观察同一个几何体，画出空间几何体的图形．一、选择题1．下列说法正确的是( )A．任何几何体的三视图都与其摆放的位置有关B．任何几何体的三视图都与其摆放的位置无关C．有的几何体的三视图与其摆放的位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图( )3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A．①② B．①③ C．①④ D．②④4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )5．实物图如图所示．无论怎样摆放物体，如图所示中不可能为其主视图的是( )6．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是( )二、填空题7．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．8．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．9．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．三、解答题10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．能力提升12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．13．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？在绘制三视图时，要注意以下三点：1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．§3三视图答案知识梳理1．主视图左视图俯视图2．俯视图左视图3．正前方正上方左侧作业设计1．C[球的三视图与其摆放位置无关．]2．C3．D[在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．]4．C[由三视图中的正、左视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C．] 5．D[A图可看做该物体槽向前时的主视图，B图可看做槽向下时的主视图，C图可看做槽向后时的主视图．]6．A7．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B8．2 4解析三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4．9．710．解图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．11．解该图形的三视图如图所示．12．解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．13．解由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．。

北师大版必修2高中数学第1章《立体几何初步》简单几何体的侧面积导学案

高中数学第1章《立体几何初步》简单几何体的侧面积（无答案）导学案北师大版必修2【学习目标】1.了解柱、锥、台的侧面积的计算公式，并会利用公式解决一些实际问题.2.会把立体几何问题转化为平面几何问题，体会化归转化的数学思想. 【学习重点】柱、锥、台的侧面积的计算公式的应用. 【学习难点】柱、锥、台的侧面积的计算公式的应用. 【使用说明】复习回顾平面几何（长方形、扇形、三角形、梯形等）的面积的计算，阅读课本 P 43—P 45完成自主学习理解柱、锥、台的侧面积的计算公式的推导，通过小组合作探究掌握计算公式的应用. 【自主学习】一.知识回顾①.长为a 宽为b 的长方形的面积计算公式是：S= ②.底边是a,高是h 的三角形的面积计算公式是：S=③. 上下底边分别为a 、b,高为h 的梯形的面积计算公式是：S= ④. 半经为r,圆心角为n 度的扇形的面积计算公式是：S= 二.知识迁移1.将直棱柱、正棱锥、正棱台分别沿着一条母线展开会得到怎样的图形？原图形与展开图形有什么关系？s =正棱柱侧 s =正棱锥侧 s =正棱台侧（其中，用h 表示侧面的高，用c 表示底面的周长，用'c 表示上底面周长）观察得规律1：s=正棱柱侧s=正棱台侧s=正棱锥侧【合作探究】1.如图，一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,在其中有一个高为x cm的内接圆柱.(1)试用x表示圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？2.圆台的上下底面半径分别是5cm和10cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180 ，那么圆台的侧面积是多少？3.一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和6cm，高是32cm,求三棱台的侧面积.【课堂检测】1. 若正六棱柱的高为h，底面边长为a，则表面积为2.正四棱台的上、下两底面边长分别是3,6，其侧面积等于两底面积之和，则其高和斜高分别是多少？3.圆锥母线长为8，底面半径为2,A为底面圆周上一点，从A出发将绳子绕圆锥侧面一周后，再回到A，则绳长最短为多少？【课堂小结】。

2020高中数学第一章立体几何初步1.3三视图学案北师大版必修2

§3三视图学习目标 1.理解三视图的概念；能画出简单空间图形的三视图(重点)；2.了解简单组合体的组成方式，会画简单几何体的三视图(重点)；3.能识别三视图所表示的立体模型(重、难点).知识点一组合体(1)定义：由基本几何体生成的几何体叫作组合体.(2)基本形式：有两种，一种是将基本几何体拼接成组合体；另一种是从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体.【预习评价】描述下列几何体的结构特征.提示图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.知识点二三视图(1)空间几何体的三视图是指主视图、左视图、俯视图.(2)三视图的排列规则是俯视图放在主视图的下方，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样.(3)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从正前方、正上方、正左侧观察同一个几何体，所画出的空间几何体的平面图形.【预习评价】(1)画三视图时一定要求光线与投影面垂直吗？提示是.由画三视图的规则要求可知光线与投影面垂直.(2)三视图中的三个图形一般怎样排列？对于一般的几何体，几何体的主视图、左视图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系？提示三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样.为了便于记忆，通常说：“长对正，高平齐，宽相等”或说“主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽”.题型一画空间几何体的三视图【例1】如图是按不同方式放置的同一个圆柱，阴影面为正面，画出其三视图.解三视图分别如图所示.规律方法画三视图应遵循的原则和注意事项：(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”.(2)三视图的排列方法是主视图与左视图在同一水平位置，且主视图在左，左视图在右，俯视图在主视图的正下方.(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法.(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性.【训练1】画出图中棱柱的三视图(不考虑尺寸).解此棱柱的上、下底面是全等的两个等腰梯形，各侧面均是矩形.从正前方看它的轮廓是一个矩形，有两条不可见侧棱，从正左侧看它的轮廓是一个矩形，从上向下看它的轮廓是一个梯形.可见轮廓线用实线，不可见侧棱用虚线画出，它的三视图如图所示.题型二简单组合体的三视图【例2】如图是球放在圆筒上形成的组合体，画出它的三视图.解它的三视图如图所示：规律方法在绘制简单组合体的三视图时，首先要分析组合体是由哪几部分组成，各部分是怎样的简单几何体以及它们的相对位置；其次要注意实线、虚线的处理.【训练2】如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图.解三视图如下：【探究1】根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图.解此几何体上面可以为圆柱，下面可以为圆台，所以实物草图可以如图.【探究2】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析如图，几何体为三棱柱.答案 B【探究3】一个几何体由几个相同的小正方体组合而成，它的主视图、左视图、俯视图如图，则这个组合体包含的小正方体的个数是( )A.7B.6C.5D.4解析由三视图可知，该几何体共两层，下层有四个小正方体，上层有一个小正体，共五个，其实物图如图所示.故选C.答案 C【探究4】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A.1B. 2C. 3D.2解析由题中三视图知，此四棱锥为正方体的一部分，如图中的四棱锥S－ABCD，其中正方体的棱长为1，所以四棱锥最长棱的棱长为SC＝ 3.答案 C规律方法由三视图还原空间几何体的步骤：课堂达标1.如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A.①②B.①③C.①④D.②④解析在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同.答案 D2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )解析从左往右看，主体的轮廓是一个长方形，长方体的对角线可以看见，且该对角线是从左下角往右上角倾斜的.答案 D3.如图所示，桌面上放着一个半球，则它的三视图中，与其他两个视图不同的是________(填“主视图”“左视图”或“俯视图”).解析该半球的主视图与左视图均为半圆，而俯视图是一个圆，所以俯视图与其他两个视图不同.答案俯视图4.一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是________.解析该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此填②.答案②5.画出下面的三视图表示的物体形状.解几何体为三棱台，结构特征如图：课堂小结1.三视图的主视图、左视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是主视图、左视图长对正，主视图、左视图高平齐，俯视图、左视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征.2.几何体的三视图的画法为：先画出的两条互相垂直的辅助坐标轴，在第二象限画出主视图；根据“主、俯两图长对正”的原则，在第三象限画出俯视图；根据“主、左两图高平齐”的原则，在第一象限画出左视图.3.看得见部分的轮廓线画实线，看不见部分的轮廓线画虚线.基础过关1.下列说法正确的是( )A.任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B.任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形解析对于A，球的三视图与物体摆放位置无关，故A错；对于B，D，正方体的三视图与摆放位置有关，故B，D错；故选C.答案 C2.在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为( )解析由几何体的主视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其左视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形.答案 D3.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )解析由三视图中的主视图、左视图得到几何体如图所示，所以该几何体的俯视图为C.答案 C4.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________.解析三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底面边长为4. 答案 2 45.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的主视图与左视图的面积的比值为________.解析依题意得三棱锥P－ABC的主视图与左视图分别是一个三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都等于正方体的棱长，因此三棱锥P－ABC的主视图与左视图的面积的比值为1.答案 16.已知如下三视图，试分析该几何体结构特征并画出物体的实物草图.解由三视图可知该几何体为四棱锥P－ABCD，对应空间几何体如图：PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD.7.用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？解由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块.而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块.能力提升8.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的主视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的左视图的面积为( )A.8 3B.4 3C.2 3D.16解析由主视图可知三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为23，所以左视图的面积为4×23＝8 3.故选A.答案 A9.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能等于( )A.1B. 2C.2－12D.2＋12解析由题意知正方体的底面水平放置.当主视图为正方形时，其面积最小为1；当主视图为对角面时，其面积最大为 2.则正方体的主视图的面积的范围为[1，2].而2－12<1，故C不可能.答案 C10.一个锥体的主视图和左视图如图所示，下列选项中不可能是该锥体的俯视图的是( )解析在三视图中，俯视图的宽度应与左视图的宽度相等，而在选项C中，其宽度为32，与题中所给的左视图的宽度为1不相等，故选C.答案 C11.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于____________.解析由图可得该几何体为三棱柱，因为主视图、左视图、俯视图的内切圆最小的是主视图(直角三角形)所对应的内切圆，所以最大球的半径为主视图中直角三角形的内切圆的半径r.由题意，得8－r＋6－r＝82＋62.解得r＝2.答案 212.一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：(1)该物体有多少层？(2)该物体的最高部分位于哪里？(3)该物体一共由几个小正方体构成？解 (1)该物体一共有两层，从主视图和左视图都可以看出来.(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排.(3)从左视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个.该物体一共由7个小正方体构成.13.(选做题)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为a 的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为6和b 的线段，求a 2＋b 2的值.解如图所示，设长方体的长、宽、高分别为m ，n ，k ，体对角线长为7，体对角线在三个相邻面上的投影长分别为a ，6，b .则由题意，得m 2＋n 2＋k 2＝7， n 2＋k 2＝6，解得m ＝1或m ＝－1(舍去)，则⎩⎨⎧k 2＋1＝a ，n 2＋1＝b ，所以(a 2－1)＋(b 2－1)＝6，即a 2＋b 2＝8.。

北师大版必修2高中数学第1章《立体几何初步》平行关系与垂直关系习题课导学案

高中数学第1章《立体几何初步》平行关系与垂直关系习题课导学案北师大版必修2【要点回顾】.1.平行关系的转化判定判定线线平行线面平行面面平行性质性质⑴直线与平面平行的判定定理：⑵平面与平面平行的判定定理：⑶直线与平面平行的性质定理：⑷平面与平面平行的性质定理：2.垂直关系的转化判定判定线线垂直线面垂直面面垂直性质性质⑴直线与平面垂直的判定定理：⑵平面与平面垂直的判定定理：⑶直线与平面垂直的性质定理：⑷平面与平面垂直的性质定理：【基础自测】1. 在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则αβ⊥；②如果直线a与平面β内的一条直线平行，则α//β；③如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则aβ⊥；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α//β.其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D.42. 下列命题中，,m n表示两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列四个命题：①若,m nα⊥//α，则m n⊥；②若,αγβγ⊥⊥，则α//β；③若m//α,n//β，则m//n；④若α//β,β//γ,m⊥α，则mγ⊥；其中正确的命题的序号是_____________3. 已知α//β，A,C,α∈B,Dβ∈,直线AB,CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34.①当S在,αβ之间时，CS=_____；②当S不在,αβ之间时，CS=_____3.正方体1111ABCD A BC D-中，E,F,G,H分别为111111,,,AA CC C D D A的中点，试判断四边形EFGH的形状，并说明理由.【合作探究】1.已知直角梯形ABCD中，AB//CD,AB⊥BC,过A作AE⊥CD,垂足为E,G,F分别为AD,CE的中点，现将∆ADE沿AE折叠，使DE⊥EC.①求证：BC⊥平面CDE; ②求证：FG//平面BCD你的疑惑策略与反思纠错与归纳课题：平行关系与垂直关系习题课12高一数学天才在于积累聪明在于勤奋2、如图，B 为∆ACD 所在的平面外一点，M,N,G 分别为∆ABC ，∆ABD ，∆BCD 的重心. ① 求证：平面MNG//平面ACD; ② 求证：:MNG DC s s ∆∆A【课堂检测】1. 设ABCD 和ABEF 均为平行四边形，它们不在同一平面，M, N 分别为对角线AC, BF 上的点，且AM ：FN=AC ：BF. 求证：MN // 平面BEC2. 已知∆ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，且EC ，DB 在平面ABC 的同侧，M 为EA 的中点，CE=CA=2BD. 求证： ①DE=DA ；② 平面BDM ⊥平面ECA ； ③ 平面DEA ⊥平面ECA.（提示：取AC 中点N ，连接MN ，BN ）【课后训练】1. 已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：① O C 1//平面11D AB ② ⊥C A 1 面 11D AB2四面体ABCD 中，BD=2a ，AB=AD=CB=CD=AC=a ，求证：平面ABD ⊥平面BCD （提示：取BD 的中点E ）策略与反思纠错与归纳策略与反思纠错与归纳。

北师大版高中必修2第一章立体几何初步教学设计

北师大版高中必修2第一章立体几何初步教学设计一、教学目标1.了解立体图形的概念和分类2.掌握正方体、长方体、正四面体、正六面体、圆锥、圆柱的定义、性质及计算方法3.能够分析物体的表面积和体积，并解决实际问题4.培养学生观察能力、空间想象力和动手能力二、教学重难点1.立体图形的分类和定义2.正方体、长方体、正四面体、正六面体的特征和计算方法3.圆锥、圆柱特征的分析和计算方法4.能够解决实际问题所需的计算方法5.培养学生观察能力、空间想象力和动手能力三、教学内容和方法第一节：立体图形的概念和分类教学内容：1.立体图形的概念2.立体图形的分类教学方法：通过展示大量立体图形模型，引导学生了解立体图形的概念和分类方式，鼓励学生自己制作简单的模型，并在课堂上展示第二节：正方体、长方体、正四面体、正六面体的定义和特征教学内容：1.正方体、长方体、正四面体、正六面体的定义及特征2.正方体、长方体、正四面体、正六面体的表面积和体积的计算方法和公式教学方法：通过图形展示和制作模型的方式，直观的展示正方体、长方体、正四面体、正六面体的特征和计算方法，并通过问题引导学生思考和解决实际问题第三节：圆锥、圆柱的特征和计算方法教学内容：1.圆锥、圆柱的定义和特征2.圆锥、圆柱的表面积和体积的计算方法和公式教学方法：通过制作模型和问题引导的方式，实现圆锥、圆柱的定义和计算方法的展示和实际运用，让学生更好地理解和记忆相关知识四、教学评价和反思教学评价：在教学过程中，通过多种展示和问题引导的方式，学生对立体图形的概念和分类方式、各种图形的特征以及表面积和体积的计算方法，有了较深入的了解和掌握，学生在制作和计算过程中，培养了观察能力、空间想象力和动手能力。

反思：在教学过程中，可以利用电子媒介和互动交流的方式，更好地展示和指导学生的学习和实践，增加教学的趣味性和实用性。

同时要着力培养学生的创新意识，鼓励学生运用所学知识去解决实际问题，提升学生综合运用能力。

2019-2020高中数学第一章立体几何初步 1.3 三视图学案北师大版必修2

§3三视图学习目标 1.理解三视图的概念；能画出简单空间图形的三视图(重点)；2.了解简单组合体的组成方式，会画简单几何体的三视图(重点)；3.能识别三视图所表示的立体模型(重、难点).知识点一组合体(1)定义：由基本几何体生成的几何体叫作组合体.(2)基本形式：有两种，一种是将基本几何体拼接成组合体；另一种是从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体.【预习评价】描述下列几何体的结构特征.提示图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.知识点二三视图(1)空间几何体的三视图是指主视图、左视图、俯视图.(2)三视图的排列规则是俯视图放在主视图的下方，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样.(3)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从正前方、正上方、正左侧观察同一个几何体，所画出的空间几何体的平面图形.【预习评价】(1)画三视图时一定要求光线与投影面垂直吗？提示是.由画三视图的规则要求可知光线与投影面垂直.(2)三视图中的三个图形一般怎样排列？对于一般的几何体，几何体的主视图、左视图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系？提示三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样.为了便于记忆，通常说：“长对正，高平齐，宽相等”或说“主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽”.题型一画空间几何体的三视图【例1】如图是按不同方式放置的同一个圆柱，阴影面为正面，画出其三视图.解三视图分别如图所示.规律方法画三视图应遵循的原则和注意事项：(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”.(2)三视图的排列方法是主视图与左视图在同一水平位置，且主视图在左，左视图在右，俯视图在主视图的正下方.(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法.(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性.【训练1】画出图中棱柱的三视图(不考虑尺寸).解此棱柱的上、下底面是全等的两个等腰梯形，各侧面均是矩形.从正前方看它的轮廓是一个矩形，有两条不可见侧棱，从正左侧看它的轮廓是一个矩形，从上向下看它的轮廓是一个梯形.可见轮廓线用实线，不可见侧棱用虚线画出，它的三视图如图所示.题型二简单组合体的三视图【例2】如图是球放在圆筒上形成的组合体，画出它的三视图.解它的三视图如图所示：规律方法在绘制简单组合体的三视图时，首先要分析组合体是由哪几部分组成，各部分是怎样的简单几何体以及它们的相对位置；其次要注意实线、虚线的处理.【训练2】如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图.解三视图如下：【探究1】根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图.解此几何体上面可以为圆柱，下面可以为圆台，所以实物草图可以如图.【探究2】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析如图，几何体为三棱柱.答案 B【探究3】一个几何体由几个相同的小正方体组合而成，它的主视图、左视图、俯视图如图，则这个组合体包含的小正方体的个数是( )A.7B.6C.5D.4解析由三视图可知，该几何体共两层，下层有四个小正方体，上层有一个小正体，共五个，其实物图如图所示.故选C.答案 C【探究4】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A.1B. 2C. 3D.2解析由题中三视图知，此四棱锥为正方体的一部分，如图中的四棱锥S－ABCD，其中正方体的棱长为1，所以四棱锥最长棱的棱长为SC＝ 3.答案 C规律方法由三视图还原空间几何体的步骤：课堂达标1.如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A.①②B.①③C.①④D.②④解析在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同.答案 D2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )解析从左往右看，主体的轮廓是一个长方形，长方体的对角线可以看见，且该对角线是从左下角往右上角倾斜的.答案 D3.如图所示，桌面上放着一个半球，则它的三视图中，与其他两个视图不同的是________(填“主视图”“左视图”或“俯视图”).解析该半球的主视图与左视图均为半圆，而俯视图是一个圆，所以俯视图与其他两个视图不同.答案俯视图4.一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是________.解析该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此填②.答案②5.画出下面的三视图表示的物体形状.解几何体为三棱台，结构特征如图：课堂小结1.三视图的主视图、左视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是主视图、左视图长对正，主视图、左视图高平齐，俯视图、左视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征.2.几何体的三视图的画法为：先画出的两条互相垂直的辅助坐标轴，在第二象限画出主视图；根据“主、俯两图长对正”的原则，在第三象限画出俯视图；根据“主、左两图高平齐”的原则，在第一象限画出左视图.3.看得见部分的轮廓线画实线，看不见部分的轮廓线画虚线.基础过关1.下列说法正确的是( )A.任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B.任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形解析对于A，球的三视图与物体摆放位置无关，故A错；对于B，D，正方体的三视图与摆放位置有关，故B，D错；故选C.答案 C2.在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为( )解析由几何体的主视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其左视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形.答案 D3.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )解析由三视图中的主视图、左视图得到几何体如图所示，所以该几何体的俯视图为C.答案 C4.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________.解析三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底面边长为4. 答案 2 45.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的主视图与左视图的面积的比值为________.解析依题意得三棱锥P－ABC的主视图与左视图分别是一个三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都等于正方体的棱长，因此三棱锥P－ABC的主视图与左视图的面积的比值为1.答案 16.已知如下三视图，试分析该几何体结构特征并画出物体的实物草图.解由三视图可知该几何体为四棱锥P－ABCD，对应空间几何体如图：PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD.7.用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？解由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块.而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块.能力提升8.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的主视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的左视图的面积为( )A.8 3B.4 3C.2 3D.16解析由主视图可知三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为23，所以左视图的面积为4×23＝8 3.故选A.答案 A9.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能等于( )A.1B. 2C.2－12D.2＋12解析由题意知正方体的底面水平放置.当主视图为正方形时，其面积最小为1；当主视图为对角面时，其面积最大为 2.则正方体的主视图的面积的范围为[1，2].而2－12<1，故C不可能.答案 C10.一个锥体的主视图和左视图如图所示，下列选项中不可能是该锥体的俯视图的是( )解析在三视图中，俯视图的宽度应与左视图的宽度相等，而在选项C中，其宽度为32，与题中所给的左视图的宽度为1不相等，故选C.答案 C11.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于____________.解析由图可得该几何体为三棱柱，因为主视图、左视图、俯视图的内切圆最小的是主视图(直角三角形)所对应的内切圆，所以最大球的半径为主视图中直角三角形的内切圆的半径r.由题意，得8－r＋6－r＝82＋62.解得r＝2.答案 212.一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：(1)该物体有多少层？(2)该物体的最高部分位于哪里？(3)该物体一共由几个小正方体构成？解 (1)该物体一共有两层，从主视图和左视图都可以看出来.(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排.(3)从左视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个.该物体一共由7个小正方体构成.13.(选做题)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为a 的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为6和b 的线段，求a 2＋b 2的值.解如图所示，设长方体的长、宽、高分别为m ，n ，k ，体对角线长为7，体对角线在三个相邻面上的投影长分别为a ，6，b .则由题意，得m 2＋n 2＋k 2＝7， n 2＋k 2＝6，解得m ＝1或m ＝－1(舍去)，则⎩⎨⎧k 2＋1＝a ，n 2＋1＝b ，所以(a 2－1)＋(b 2－1)＝6，即a 2＋b 2＝8.。

高中数学第一章立体几何初步 12 三视图教案2 北师大版必修2 教案

1.2三视图一、教材依据本节课是北师大版普通高中课程标准试验教科书数学（必修2）第一章第三节空间几何体的三视图（第一课时）二、设计思路（一）本课题的指导思想1.新课标明确指出：“数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须的一种基本素质。

”也就是说，我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值。

因此，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、情感和能力的全面发展。

本节课将充分体现以“学生为本体，教师为主导”的教学理念、教学方式和学生学习方式的转化。

2..三视图是空间几何体的一种表示形式，是立体几何的基础之一。

学好三视图为学习直观图奠定基础，同时有利于培养学生空间想象能力，几何直观能力，有利于培养学生学习立体几何的兴趣。

（二）设计理念1.“学生学习”是课堂教学的终极目的，“教学”可拆分为“教”和“学”两个方面，前者是为后者服务的，如果没有了“学”，“教”也就失去了意义。

教师再漂亮的表演，再卖力的讲解，再迫切的情感，如果不能唤起学生有效的回应，如果不能落实到学生的学习行为和学习效果，就没有任何价值。

因此，本人的观点是在为我们教师努力设计教学设计的同时，应该思考学生的学习设计。

而且在一定程度上设计学生的学习设计，要比给我们设计教学设计重要的多，同样难度也大的多。

所以本篇设计包括两部分：第一部分学习设计（侧重学生如何学）第二部分教学设计（侧重老师如何组织）。

2.学习的基本原理就是发现。

教学过程中必须使学生有所“发现”，触动学生思维的敏感和活跃，激发学生的需求与新鲜感，从而产生“再学习”的动力，这是非常关键的。

因此本节课是通过恰时恰点的问题来引导思维，注重学生创新思维的培养，因此问题的设计具有一定的思维梯度和实践操作性。

3.学生的“学习”可以拆分为“学”和“习”，其本质是认知和习练，关键是“做”，是学习过程中的“行动”，没有学生亲身体验和经历学习的全过程，学习常常是无意义的；教学过程中，学生的“参与”和“行动”构成过程要素，学生的学习要在“行动”中进行。