2019-2020年高考数学二轮复习 难点2.1 利用导数探求参数的范围问题教学案 理

2019-2020年高考数学二轮复习 难点2.1 利用导数探求参数的范围问题教学案理利用导数探求参数的取值范围是高考考查的重点和热点，由于导数是高等数学的基础，对于中学生来说运算量大、思维密度强、解题方法灵活、综合性高等特点，成为每年高考的压轴题，因此也是学生感到头疼和茫然的一类型题，究其原因，其一，基础知识掌握不够到位（导数的几何意义、导数的应用），其二，没有形成具体的解题格式和套路，从而导致学生产生恐惧心理，成为考试一大障碍，本文就高中阶段该类题型和相应的对策加以总结.1. 与函数零点有关的参数范围问题函数()f x 的零点，即()0f x 的根，亦即函数()f x 的图象与x 轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与x 轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数交点问题），进而确定参数的取值范围． 例1【2018安徽阜阳一中二模】已知函数 为常数， .（1）当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. （2）若对任意的 ，总存在，使不等式成立，求实数 的取值范围.思路分析：（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围.点评：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题.在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会.2. 与曲线的切线有关的参数取值范围问题函数()y f x =在点0x x =处的导数'0()f x 就是相应曲线在点00(,())x f x 处切线的斜率，即'0()k f x =，此类试题能与切斜角的范围，切线斜率范围，以及与其他知识综合，往往先求导数，然后转化为关于自变量0x 的函数，通过求值域，从而得到切线斜率k 的取值范围，或者切斜角范围问题． 例2.已知函数()2x f x e ax bx =++.（1）当0 1a b ==-，时，求()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 在点()()() 01P t f t t <<，处的切线为l ，直线l 与y 轴相交于点Q ，若点Q 的纵坐标恒小于1，求实数a 的取值范围.思路分析：（Ⅰ）先明确函数定义域，再求函数导数() '1xf x e =-，根据导函数零点进行分类讨论：当() 0x ∈-∞，时，()'0f x <，因此减区间为() 0-∞，，当()0 x ∈+∞，时，()'0f x >递增区间为，递减区间为()0 +∞，（Ⅱ）根据导数几何意义得切线的斜率()'2t k f t e at b ==++，再根据点斜式写出切线方程()()()22t ty e at bt e at b x t -++=++-，得点Q 的纵坐标()()2101t y t e at t =--<<，即不等式()211tt e at --<恒成立，而不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：：()2(1)1,01t t e a t t --><<的最大值，利用导数研究函数()2(1)1,01t t e y t t --=<<单调性，为单调递减，再利用洛必达法则得2(1)110,22t t t e e x y t ---→=→=-，因此12a -…，也可直接构造差函数，分类讨论最值进行求解即2ea ≤-时，20t e a +<，所以，当()0 1t ∈，时，()'0g t <，即()g t 在()0 1，上单调递减，所以()()00g t g <=，所以2e a ≤-不满足题意.③若21e a -<<-，即122e a -<<-时，()0ln 21a <-<，则t 、()'g t 、()g t 的关系如下表：所以()()()ln 200g a g -<=，所以122e a -<<-不满足题意，结合①②③，可得，当12a ≥-时，()()001g t t ><<时，此时点Q 的纵坐标恒小于1.点评：该题考查导数的几何意义、斜率的定义等基础知识，考察学生基本运算能力、灵活运用导数知识处理问题的能力，需要注意的是解决问题的途径是将存在问题转化为方程有解问题.利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题 3.与不等式恒成立问题有关的参数范围问题含参数的不等式()()f x g x >恒成立的处理方法：①()y f x =的图象永远落在()y g x =图象的上方；②构造函数法，一般构造()()()F x f x g x =-，min ()0F x >；③参变分离法，将不等式等价变形为()a h x >，或()a h x <，进而转化为求函数()h x 的最值. 3.1 参变分离法将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则． 例3．【安徽省淮南市2018届第四次联考】已知函数()()()336x f x e ax x a R =-+∈（e 为自然对数的底数）（Ⅰ）若函数()f x 的图像在1x =处的切线与直线0x y +=垂直，求a 的值； （Ⅱ）对(]0,4x ∈总有()f x ≥0成立，求实数a 的取值范围．思路分析：（I ）求出函数的导数，由函数()f x 的图像在1x =处的切线与直线0x y +=垂直可得()'11f =，从而求出a 的值；（II ）对(]0,4x ∈总有()f x ≥0成立，等价于对(]3360,4?x x a x-∈≥上恒成立，设()336x g x x-=，只需()min a g x ≤即可，利用导数研究函数的单调性可得()0,3x ∈时， ()g x 为增函数， (]3,4x ∈时， ()g x 为减函数，从而()()3g x g ≤，进而可求出a 的范围.综合性较高，需要具备良好的数学素质，第二问中参变分离时，要考虑符号．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解. 3.2 构造函数法参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题，但是有些函数解析式复杂，利用导数知识无法完成，或者是不易参变分离，故可利用构造函数法． 例4．已知函数21()2ln ()2f x x ax x a R =-+∈，(1,)x ∈+∞. （1）若函数()f x 有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围；（2）对于函数()f x ，1()f x ，2()f x ，若对于区间D 上的任意一个x ，都有12()()()f x f x f x <<，则称函数()f x 是函数1()f x ，2()f x 在区间D 上的一个“分界函数”.已知21()(1)ln f x a x =-，22()(1)f x a x =-，问是否存在实数a ，使得函数()f x 是函数1()f x ，2()f x 在区间(1,)+∞上的一个“分界函数”？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，说明理由. 思路分析：（Ⅰ）先求函数导数：，再根据函数()f x 有且只有一个极值点，得在区间上有且只有一个零点，最后结合二次函数实根分布得，解得实数的取值范围是；（Ⅱ）由题意得当时，恒成立，且恒成立，即问题为恒成立问题，解决方法为转化为对应函数最值问题：记，利用导数研究其单调变化规律，确定其最大值：当时，单调递减，最大值为，由，解得；当时，最大值为正无穷大，即在区间上不恒成立，同理记，利用导数研究其单调变化规律，确定其最小值：由于，所以在区间上单调递增，其最小值为，得.点评：本题主要考查导数的几何意义，函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，综合考查导数的应用．属难题.解题时要熟练应用利用导数研究函数的性质的一般方法，包括构造新函数，分离变量，以及求极值、最值等.4.与函数单调区间有关的参数范围问题若函数()f x 在某一个区间D 可导，'()0f x >⇒函数()f x 在区间D 单调递增；'()0f x <⇒函数()f x 在区间D 单调递减.若函数()f x 在某一个区间D 可导，且函数()f x 在区间D 单调递增⇒'()0f x ≥恒成立；函数()f x 在区间D 单调递减⇒'()0f x ≤恒成立. 4.1 参数在函数解析式中转化为'()0f x ≥恒成立和'()0f x ≤恒成立问题后，利用恒成立问题的解题方法处理例5. 【2018辽宁庄河两校联考】已知函数（且）．（Ⅰ）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围； （Ⅱ）令，设函数，且，求证：．思路分析：(Ⅰ)利用导函数研究函数的单调性，将原问题转化为恒成立的问题，讨论可得实数的取值范围是；(Ⅱ)由题意结合函数的单调性讨论函数g(x)的性质，结合函数的零点性质即可证得题中的结论.点评：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则y ＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y ＝f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. 4.2 参数在定义域中函数解析式确定，故可先确定其单调区间，然后让所给定义域区间包含在单调区间中. 例6.已知函数ln ()a x f x x +=，曲线ln ()a x f x x+=在点(,())e f e 处的切线与直线20e x y e -+=垂直.注：e 为自然对数的底数.（1）若函数()f x 在区间(,1)m m +上存在极值，求实数m 的取值范围；（2）求证：当1x >时，1()21(1)(1)x x f x e e x xe ->+++. 思路分析：(1)求函数ln ()a x f x x +=的导数()f x '，由曲线ln ()a xf x x+=在点(,())e f e 处的切线与直线20e x y e -+=垂直可得21()f e e '=-，可求出a 的值，这时2ln '()(0)xf x x x=->，讨论导数的符号知函数()f x 仅当1x =时，取得极值，由1(,1)m m ∈+即可求实数m 的取值范围；（2）当1x >时，1()21(1)(1)x xf x e e x xe ->⇔+++11(1)(ln 1)211x x x x e e x xe -++>++令(1)(ln 1)()x x g x x++=，令12()1x x e h x xe -=+，由maxmin()()1g x h x e ⎛⎫>⎪+⎝⎭证之即可. 所以当1x >时，2()1h x e <+，所以()()1g x h x e >+，即1()21(1)(1)x xf x e e x xe ->+++. 点评：本题考查了利用导数判断函数单调性等基础知识，理解单调性的概念是解题关键. 5.与逻辑有关的参数范围问题新课程增加了全称量词和特称量词应用这一知识点，并且在考试卷中屡屡出现，使得恒成立问题花样推陈出新，别有一番风味，解决的关键是弄懂量词的特定含义.例7.已知函数()()22 01 0x x ax e x f x x x b⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，，在2x =处的切线斜率为272e .（1）求实数a 的值；（2）若0x >时，()y f x m =-有两个零点，求实数m 的取值范围. （3）设()()ln x g x b f x =+-，若对于130 2x ⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦，，总有()21 2.71828x e e e ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，…，使得()()12f x g x ≥，求实数b 的取值范围.思路分析：（1）根据导数几何意义得()27'22e f =，所以求导数()()2 '222xf x e x a x a ⎡⎤=+--⎣⎦列出等量关系，求解得34a =（2）利用导数研究函数()()22xf x x ax e =-单调变化趋势：在()0 1，单调递减，在()1 +∞，单调递增，再考虑端点值：()300,()2f f f ⎛⎫==+∞→+∞ ⎪⎝⎭，所以要有两个零点，需 02e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，（3）不等式恒成立问题，一般方法为转化为对应函数最值：()()min f x g x ≥，由前面讨论可知()()min 12ef x f ==-，所以()()ln ln 12x x e g x b b f x x ⎛⎫=+=-≤- ⎪-⎝⎭在1 x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有解，即1ln 21e b x x ≤-⋅-的最大值，先求ln 1x y x =-，1 x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，最大值，而=利用导数易得1x e =时ln 1x y x =-取最大值1e +，即()21e b e ≤-+综合上述五种类型，利用导数求解含参问题时，首先具备必要的基础知识（导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等），其次要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等，涉及极值和最值问题时，一般情况下先求导函数，然后观察能否分解因式，若能则比较根的大小，并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号，划分单调区间，判断函数大致图像；若不能分解因式，则考虑二次求导，研究函数是否具有单调性.利用导数处理参数范围问题并不可怕，关键在于通过解题不断摸索解题思路，形成一种解题格式和套路.。