最新2--可线性化的非线性回归汇总

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第三节可直线化的非线性回归分析

米氏常数的测定
基本原则：将米氏方程变化成相当于 y=ax+b 的直线方程，再用作图法求出Km。
例：双倒数作图法
1.0
斜率=Km/Vmax
0.8
0.6
1/v
1 Km 1 1 V Vmax [S] Vmax
0.4
-1/Km 0.2
1/Vmax
0.0
-4 -2
0
2
4
6
1/[S](1/mmol.L-1)
2 2
bm
X2Xm
X 2Y
b1
X1 X m b2
X 2 X m bm
X
2 m
X
mY
由于SS1
X12，SS2
X 22，，SSm
X
2；
m
SP12 X1 X 2，，SP1m X1 X m，SP2m X 2 X m，;
SP1y X1Y，SP2 y X 2Y，，SPmy X mY ;
SP2
SP2m
SP1m b1 SP2m b2
SPm bm
若系数矩阵用A表示，未知元矩阵用b表示，常数矩阵用K表示： Ab=K
为求解式中的b，一般应先求出A的逆矩阵A-1，令：
c11 c12
A1
(cij )
c 21
c 22
cm1 cm2
c1m c2m
8 10
酶的Km在实际应用中的意义
鉴定酶：通过测定Km，可鉴别不同来源或相同来源但在不同发育阶段，不同生理状态下催化相同反应的酶是否是属于同一种酶。
判断酶的最适底物（天然底物）。计算一定速度下底物浓度。了解酶的底物在体内具有的浓度水平。判断反应方向或趋势。判断抑制类型。

常见非线性回归模型

常见非线性回归模型1.简非线性模型简介非线性回归模型在经济学研究中有着广泛的应用。

有一些非线性回归模型可以通过直接代换或间接代换转化为线性回归模型,但也有一些非线性回归模型却无法通过代换转化为线性回归模型。

柯布—道格拉斯生产函数模型y AKL其中L和K分别是劳力投入和资金投入, y是产出。

由于误差项是可加的,从而也不能通过代换转化为线性回归模型。

对于联立方程模型,只要其中有一个方程是不能通过代换转化为线性,那么这个联立方程模型就是非线性的。

单方程非线性回归模型的一般形式为y f(x1,x2, ,xk; 1, 2, , p)2.可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y与解释变量x之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。

如下列模型。

（1）y 0 1e x（2）y 0 1x2x2p x p（3）y ae bx(4)y=alnx+b对于（1）式，只需令x e x即可化为y对x是线性的形式y01x，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。

对于（2）式，可以令x1=x,x2=x2,⋯,x p=x p,于是得到y关于x1,x2,⋯, x p 的线性表达式y 0 1x12x2 pxp对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得lnylnabx ,令y lny, 0 lna, 1 b，于是得到y关于x的一元线性回归模型：y 0 1x。

乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为yt本身是异方差的，而lnyt是等方差的。

加性误差项模型认为yt是等方差的。

从统计性质看两者的差异，前者淡化了y t值大的项（近期数据）的作用，强化了y t值小的项（早期数据）的作用，对早起数据拟合得效果较好，而后者则对近期数据拟合得效果较好。

影响模型拟合效果的统计性质主要是异方差、自相关和共线性这三个方面。

非线性模型的线性化方法

（7-19）
6.2072 dLnyt dyt / yt ， 6.2072 dyt / yt
dLnLnxt
1 Lnxt
1 xt
dxt
Lnxt dxt / xt
弹性系数不是常量，是弹性函数 6.2072/ Lnxt。说明人均食品支出对人均收入的弹性系数是随着城镇人均收入的增加而减小。当城镇人均收入为 1000 元水平
LnQt = Ln + LnLt + LnCt + ut
(7-6)
取 yt = LnQt, 0 = Ln, 1= , 2= , xt1 = LnLt, xt2 = LnCt，可写为，
yt= 0 +1 xt 1 + 2 xt 2 + ut
(7-7)
为线性模型。只要 ut 满足第 5 章给出的假定条件，用 OLS 法估计式（7-7），再返回到原模型（7-5）。根据新古典增长理论，若回归参数 1 + 2 = + = 1，则称该模型为规模报酬不变型。若回归参数1 + 2 = + > 1，则称模型为规模报酬递增型。若回归参数1 + 2 = + < 1，则称模型为规模报酬递减型。
log(y) c log(x) 这样写的好处是，模型可以直接预测到 y。
7.1.2 指数函数模型
指数函数定义如下： yt aebxt
b>0 和 b<0 两种情形的函数曲线分别见图 7-3 和 7-4。xt 和 yt 呈指数函数关系，是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得
Lnyt = Lna + bxt
第 7 章可线性化的非线性模型
7.1.2 指数函数模型
由式 Lnyt = Lna + bxt，得

可直线化的非线性回归分析

决定系数r 2也就是y 依x 的回归系数与 x 依y 的回归系数的乘积。
决定系数反映了两个互为因果关系的相关变量间直线相关的程度。
区别资料要求不同
I型回归
回归
x可以精确测量、 y服从正态分布。严格控制
yˆ a y / x b y / x x
相关 x服从正态分布。 y服从正态分布。
yˆ a y / x b y / x x
y = 0.1457e-0.0304x R2 = 0.7333
15
30
45
60
r2 0.7352 0.5402 0.01( 9 )
烘烤时间对叶绿素含量的影响
Logistic生长曲线
y
yˆ
1
K aebx
0
x
开始增长缓慢，而在以后的某一范围内
迅速增长，达到某限度后，增长又缓慢下来，
曲线略呈拉长的“S” 。
0 0
叶绿素含量y 乘幂 (叶绿素含量y) 对数 (叶绿素含量y) 线性 (叶绿素含量y) 指数 (叶绿素含量y)
y = 1.401x-0.9631 R2 = 0.8868
y = -0.0743Ln(x) + 0.3146 R2 = 0.7603
y = -0.0023x + 0.1372 R2 = 0.5857
确定了曲线类型之后，回归的任务就变成确定曲线公式中的参数，称为曲线拟合。
数据转换
根据散点图进行直观的比较，选出一种曲线类型，并将原数据进行转换，将曲线方程直线化，用转换后的数据绘制散点图，若该图形为直线趋势，即表明选取的曲线是恰当的，否则将重新进行选择。
实际上，只有少数几种简单非线性方程可用这种方法线性化，而绝大多数都是不行的。

非线性回归

Y=C(1)*L^C(2)*K^C(3)

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C(1) 0.529234 0.271242 1.951155 0.0677 C(2) 0.181060 0.141299 1.281400 0.2173 C(3) 0.882769 0.070815 12.46589 0.0000
t
其中Y表示产量；L表示劳动力投入量；K表示资本投入量；1 是常数；这种生产函数是美国经济学家柯布和道格拉斯根据1899-1922年美国关于生产方面的数据研究得出的。
参数的取值范围为： 1 0 2 , 3 (0,1)
这是一个非线性模型，无法用OLS法直接估计.
(一)转化为线性模型进行估计

R-squared
0.994213 Mean dependent var
218506.3
Adjusted R-squared
0.993532 S.D. dependent var
82602.34
S.E. of regression 6643.194 Akaike info criterion
（注意序列C中总保留着刚建立模型的参数估计值，若不重新设定，则系统自动将这些值作为参数的默认初始值）。
但迭代估计是一种近似估计，并且参数初始值和误差精度的设定不当还会直接影响模型的估计结果。因此，对于可线性化的非线性模型，最好还是将其转化成线性模型进行估计。
两边取对数得
ln Y ln 1 2 ln L 3 ln K u
键入一下命令： GENR LNY=log（Y） GENR LNL=log（L） GENR LNK=log（K） LNY C LNL LNK

回归分析_非线性回归

x x ...... x
P( noevent )
1 1 e
0 1 x1 2 x2 ...... p x p
程序
工具
例子
Logistic Regression
The LOGISTIC procedure fits logistic models, in which the response can be either dichotomous or polychotomous. Stepwise model selection is available. You can request regression diagnostics, and predicted and residual values.
例2—程序1
proc logistic data=sasuser.hg06 descend; model y=x1 x2 x3 x4 x5; run;
例2—结果1
全回归
例2—程序2
proc logistic data=sasuser.hg06 descend; model y=x1 x2 x3 x4 x5 /selection=stepwise; run;
LOGISTIC程序
LOGISTIC工具
用Analyst 计算 Statistics → Regression → Logistic
Logistic_例1 抽查40名患者，治疗后一定时间内观察其康复状态。
例1—程序
proc logistic data=sasuser.hg05; model y=x1 x2; run;
时间序列数据管理。
回归分析功能
REG 一般线性回归分析
RSREG

可线性化的非线性回归模型

y t xt 1
例 3-1 （数据见 EViews、STATA 文件：li 3-1）台湾 19581972 年农业生产总值（yt），劳动力投入（xt1），资本投入（xt2）数据见表 3-1。应用柯布−道格拉斯生产函数模型评价台湾农业生产效率。用样本得估计模型如下，
Lnyt = -3.4 + 1.50 LnxБайду номын сангаас1 + 0.49 Lnxt2
yt a0 a1 xt 1 ut yt a0 e1xt ut
本章不做讨论，但介绍 EViews 估计命令。也就是说，利用软件，同样可以完成对这类模型的估计与检验。
这一节介绍 7 种可线性化的非线性函数。其中包括幂函数、指数函数、对数函数、双曲线函数、多项式函数、生长曲线函数（Logistic）、龚伯斯（Gompertz）曲线函数。在讨论如何把这些非线性函数转化为线性函数的同时，举例介绍应用。
3.1 可线性化的 7 种非线性函数 3.1.1 幂函数模型
(b > 1)
(b = -1)
(b < -1)
(0<b <1)
(0 > b > -1)
yt axt b e ut
b取不同值的图形分别见上图。对上式等号两侧同取对数，得
Lnyt = Lna + b Lnxt + ut
令yt* = Lnyt, a* = Lna, xt* = Lnxt, 则上式表示为
100 120 140 160 180 200 220
5.6 5.4
LOG(OUTPUT) LOG(OUTPUT)
5.6 5.4 5.2 5.0 4.8 4.6 4.4 4.4
5.2 5.0 4.8 4.6 4.4 4.5

数据预测—非线性回归

数据预测—非线性回归非线性回归是一种在数据预测中常用的方法，它适用于无法通过线性关系来准确预测的场景。

通过寻找非线性模型中的最佳拟合曲线，非线性回归可以帮助我们预测未来的数据趋势。

什么是非线性回归回归分析是一种统计方法，用于确定自变量与因变量之间的关系。

线性回归假设自变量与因变量之间存在线性关系，但在某些情况下，真实的关系可能是非线性的。

这时，我们就需要使用非线性回归来更准确地建立模型。

非线性回归用曲线来描述自变量与因变量的关系，常见的非线性模型包括指数模型、多项式模型、对数模型等。

通过调整非线性模型的参数，我们可以找到最佳的拟合曲线，从而预测未来的数据。

如何进行非线性回归进行非线性回归的一般步骤如下：1. 收集数据：首先，我们需要收集自变量与因变量之间的样本数据。

2. 选择合适的模型：根据数据的特点，选择适合的非线性模型来描述自变量与因变量之间的关系。

3. 参数估计：使用统计方法，估计非线性模型中的参数值，找到最佳的拟合曲线。

4. 模型评估：通过评估模型的拟合程度，确定模型的可靠性和预测能力。

5. 预测未来数据：使用已建立的非线性模型，预测未来的数据趋势。

非线性回归的优势和应用非线性回归相比线性回归具有以下优势：- 更准确的预测能力：非线性回归可以更好地拟合真实的数据模式，提供更准确的预测结果。

- 更强的灵活性：非线性回归可以适应各种复杂的数据模式和关系，允许我们探索更多的可能性。

非线性回归在各个领域都有广泛的应用，例如金融、医学、经济学等。

在金融领域，非线性回归可以用于股票价格预测和风险评估；在医学领域，非线性回归可以用于疾病发展趋势预测和药物效果评估。

总结非线性回归是一种在数据预测中常用的方法，适用于无法通过线性关系进行准确预测的场景。

通过寻找非线性模型中的最佳拟合曲线，非线性回归可以帮助我们更准确地预测未来的数据趋势。

非线性回归具有更准确的预测能力和更强的灵活性，在各个领域都有广泛的应用。

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（四）多项式函数模型
多项式函数模型的一般形式为：
Y X X X u i 0 1 i 2 i k i i

2

k
令
2 k Z X , Z X , Z X 1 i i 2 i i ki i
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Y Z Z Z u i 0 1 1 i 2 2 i k ki i
两边取对数，得
ln Y ln A ln X ln X u i 2 2 i k ki i
令
Y ln Y , ln A , X ln X , X ln X i i 1 2 i 2 i ki ki

即可将原模型化为标准的线性回归模型
Y X X u i 1 22 i k ki i
2 ( 4 ) Y X X u i 1 2i 3i i
( 5 ) Y ( 1 / X ) u i 1 2 i i
（一）双对数模型
ln Y ln A ln X ln X u i 2 2 i k ki i
令
Y ln Y , ln A , X ln X , X ln X i i 1 2 i 2 i ki ki
ln X ln X ( X X ) / X X 的相对 2 i 2 i 1 2 i 2 i 1 2 i 1 2
E (ln Y ） E (ln Y ) ( EY EY ) / EY Y 的均值的相对 i i 1 i i 1 i 1
Y的均值的相对变化 2 X的相对变化
非线性回归模型的线性化
一、双对数模型二、半对数模型三、幂函数模型四、多项式函数模型五、倒数函数模型

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ln Yt 12ttut
若回归结果如下所示
ln ES ˆX t 7.78 90.007 tt 43
Se = (0.0023) (0.00017)
t = (3387.619) (44.2826)
R2=0.9894
结果表示对外劳务输出每年以0.743%的速度增长。
如果设定的非线性模型为
j表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj
每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化。
非线性的情况：
(1 )ln Y i12ln X i u i (2 )ln Y i12X i u i (3 )Y i12ln X i u i (4 )Y i12X i3X i2 u i
回归结果如下：
GDPˆGi 0.0130.062RGDPi 0.061RGDPi2
Se = (0.004) (0.027)
(0.033)
这个回归结果表明，在一定范围内发展中国家 GDPG随着RGDP的提高而递增，但增加的速度递减。
（五）倒数函数模型
如果设定的非线性模型为
Y i12(1X i)u i
非线性回归模型的线性化
一、双对数模型二、半对数模型三、幂函数模型四、多项式函数模型五、倒数函数模型
一元线性回归模型
Yi ห้องสมุดไป่ตู้12Xiui
i=1,2…,n
1表X 示每变化一Y的个均单 E（ Y 值位）时的，变
多元线性回归模型
Y i 1 2 X 2 i 3 X 3 i k X k i u i i=1,2…,n
2
E(lnYi)E(lnYi1) Xi Xi1
Y的X的均绝值对的变相化对变化
斜率系数 2 衡量的是当变量X的绝对量每发生单位变动时，引起被解释变量Y平均值的相对变动比率。

可以化为线性的多元非线性回归模型

i=1,2,…,n 如果参数估计值已经得到，则应使得残差平方和
最小。即 S ( ) ( yi f ( xi , )) 2 (1) 最小。也即是：
i 1
n dS )( df ( xi , ) ) 0 2 ( y i f ( x i , d d i 1
y
。
x
但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面的处理。
一、模型的类型与变换
1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线 s = a + b r + c r2 c<0 s：税收； r：税率设X1 = r，X2 = r2，则原方程变换为 s = a + b X1 + c X2 c<0
i 1
n
(5)
最小。比较(3)与(5)后发现，满足使（5)达到最小的估计值 (1) 同时也是使 (3)达到最小的。换句话说，线性模型(4)的普通最小二乘估计值就是模型(1)的一个近似估计值。因为它是在给定参数估计值的初值 ( 0) 的情况下得到的，将它记作为参数估计值的第一次迭代值
(***) (****)
考虑到零阶齐次性时
ln( Q ) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln( P1 / P0 )
(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得 1 2 3 0
因此，对（****）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件。
X：人均消费 X1：人均食品消费 GP：居民消费价格指数 FP：居民食品消费价格指数 XC：人均消费（90年价） Q：人均食品消费（90年价） P0：居民消费价格缩减指数（1990=100） P：居民食品消费价格缩减指数（1990=100

常见非线性回归模型

常见非线性回归模型1.简非线性模型简介非线性回归模型在经济学研究中有着广泛的应用。

有一些非线性回归模型可以通过直接代换或间接代换转化为线性回归模型, 但也有一些非线性回归模型却无法通过代换转化为线性回归模型。

柯布—道格拉斯生产函数模型εβα+=L AK y其中 L 和 K 分别是劳力投入和资金投入, y 是产出。

由于误差项是可加的, 从而也不能通过代换转化为线性回归模型。

对于联立方程模型, 只要其中有一个方程是不能通过代换转化为线性, 那么这个联立方程模型就是非线性的。

单方程非线性回归模型的一般形式为εβββ+=),,,;,,,(2121p k x x x f y2.可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x 之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。

如下列模型。

（1）εββ++=x e y 10（2）εββββ+++++=p p x x x y 2210（3）ε+=bx ae y(4)y=alnx+b对于（1）式，只需令x e x ='即可化为y 对x '是线性的形式εββ+'+=x y 10，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。

对于（2）式，可以令1x =x ,2x =2x ,…, p x =p x ,于是得到y 关于1x ,2x ,…, p x 的线性表达式εββββ+++++=p p x x x y 22110对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得ε++=bx a y ln ln ,令 y y ln =',a ln 0=β,b =1β，于是得到y '关于x 的一元线性回归模型： εββ++='x y 10。

乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为t y 本身是异方差的，而t y ln 是等方差的。

第四章非线性回归模型的线性化

L
1 0 ln A, 1 m , 2 m(1 ), 3 m (1 ) 2
• 得到一个简单的线性回归模型
Z 0 1 X1 2 X 2 3 X 3
1、CES函数的参数估计
• 其中：
ˆ ˆ Ae 0
ˆ
ˆ ˆ 1 2
(1)多项式函数模型
• 多项式函数模型的一般形式：
Yi 0 1 X i 2 X i 2 ... k X k k
令：
Z1i X i ,...Zki X ik
则原模型化为标准的线性回归模型：
Yi 0 1Z1i 2 Z2i ... k Zki
第四章非线性回归模型的线性化
第一节变量间的非线性关系第二节线性化方法第三节案例分析
第一节变量间的非线性关系
1、第一种类型（非标准线性回归模型） 2、第二种类型（可线性化的非线性回归模型） 3、第三种类型（不可线性化的非线性回归模型）
第一节变量间的非线性关系
在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线（Pillips cuves）表现为双曲线形式等。但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面的处理。
1、第一种类型（非标准线性回归模型）
• 非标准线性回归模型一般可以表示成如下形式：
Z1 f1 ( X 1 , X 2 ,... X K ) Z 2 f 2 ( X 1 , X 2 ,... X K ) ...... Z f ( X , X ,... X ) P 1 2 K p Y 0 f1 ( X 1 , X 2 ,... X K

可线性化的一元非线性回归2

列表计算
y
序号
x
y
y'
X2
y'2
xy'
1
2
0.3
2.131
4
4.541 4.262
2
4
0.86
0.827
16
0.684 3.309
3
6
1.73 -0.456
36
0.208 -2.733
4
8
2.2
-1.255
64
1.576 -10.042
5
10
2.47 -1.934
100
3.741 -19.342
6
12
多重线性回归模型
随机变量 y 与 x1,x2, ,xk之间的线性关系 y 0 1 x 1 2 x 2 k x k (1)
其中 ~N0,2
0 ,1 ,2 ,,k, 未知
则（1）式称为多重线性回归模型。
多重线性回归模型
若对变量 y 与 x1,x2, ,xk分别作n次观测，则可得
一个容量为n的子样
x i 1 ,x i 2 ,,x i k ,y i, i 1 ,2 ,,n
则有 y i 0 1 x i 1 2 x i 2 k x i k i(2)
其中 i~ N 0 ,2, (i 1 ,2 , ,n )
,,,, 为待定参数，称为回归系数。
012
k
（2）式含有k+1个参数，故观测次数应满足n>k+1。
ayx2.993762
Aea19.96063 所以所求曲线方程为 y119.926.80267e0.51997x
上机操作输入原始数据
上机操作
计算 y* ln 2.827 y y

最新常见非线性回归模型

常见3E线性回归模型1•简非线性模型简介非线性回归模型在经济学研究中有看广泛的应用。

有一些非线性回归模型可以通过直接代换或间接代换转化为线性回归模型，但也有一些非线性回归模型却无法通过代换转化为线性回归模型。

柯布一道格拉斯生产函数模型y = AK a lf + £其中厶和K分别是劳力投入和资金投入，y是产出。

由于误差项是可加的, 从而也不能通过代换转化为线性回归模型。

对于联立方程模型，只要其中有一个方程是不能通过代换转化为线性，那么这个联立方程模型就是非线性的。

单方程非线性回归模型的一般形式为y = fg,毛，…，x]、0], 0：,…，0丿+ £其中旺宀，…入是模型的斤个解释变量，久角，…4 是模型的P个未知参数，/是一个非线性函数，£是模型的误差项。

关于误差项的假设，也是满足独立、等方差、不相关和零均值，也可以进一步假设误差项服从正态分布。

2.可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y与解释变量x之间的关系都不是线性的具中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。

如下列模型。

（1）厂几+阳+^（2 ）），= 0（）+处 + 02^+—+0応"+£（3 ）y = ae',x + s（4） y=alnx+b对于（1）式，只需令X’ =式即可化为y对十是线性的形式y =几+ 0K + £ , 需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。

对于（2）式，可以令x l = x,x2 = x2,..., x p = x p是得到y 关于x ll x2l...l X p 的线性表达式y =卩,、+ 0內+ P2x2 +…+ P p x p + s对与（3 ）式，对等式两边同时去自然数对数,得lny = ln“ +加+ Q令y' = In y,p. =^a,p}=b ,于是得到y'关于X的一元线性回归模型:# = 0。