2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课时素养评价 4.2 微积分基本定理
2020-2021学年北师大版数学选修2-2课时作业：第四章 定积分 单元质量评估
第四章单元质量评估时限：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知⎠⎛ab f (x )d x ＝m ，则⎠⎛ab nf (x )d x ＝( C )A ．m ＋nB ．m －nC ．mnD ．m n解析：根据定积分的性质，⎠⎛ab nf (x )d x ＝n ⎠⎛ab f (x )d x ＝mn .解析：∵|x |是偶函数，3．由曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)，x ∈[a ，b ]，直线x ＝a ，x ＝b (a <b )和x 轴所围成的曲边梯形的面积S 等于( B )A.⎠⎛ab f (x )d xB ．－⎠⎛ab f (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )－a ]d xD.⎠⎛ab [f (x )－b ]d x解析：由定积分的几何意义知，选B.解析：∵f (x )为偶函数，∴其图像关于y 轴对称，5．由曲线y 2＝6ax 与直线x ＝2a (a >0)及x 轴所围成的x 轴上方的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为( C )A ．2πa 2B ．4πa 2C ．12πa 3D ．14πa 3解析：6．由抛物线y ＝－x 2与直线y ＝2x －3所围成的图形的面积是( B ) A.53 B.323 C.643D ．9解析：如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝2x －3得到x ＝1或x ＝－3.7．如图所示的阴影部分的面积是( C )A ．e ＋1e B ．e ＋1e －1 C ．e ＋1e －2D ．e －1e解析：S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )|10＝e ＋e －1－(e 0＋e 0)＝e ＋1e －2.8．定积分⎠⎛01[1－(x －1)2－x ]d x ＝( A ) A.π－24 B.π－22 C.π－14D.π－12解析：⎠⎛01[1－(x －1)2－x ]d x＝⎠⎛011－(x －1)2d x －⎠⎛01x d x＝π4－12＝π－24.9．已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( C )A ．gt 20 B.gt 203C.gt 202D.gt 206解析：10．物体A 以速度v ＝(3t 2＋1) m/s 在直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( C )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：因为物体A 在t 秒内运动的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内运动的路程为⎠⎛0t 10t d t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)|t 0＝t 3＋t －5t 2＝5，所以(t －5)(t 2＋1)＝0，所以t ＝5.①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ； ②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1； ③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( C ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：12．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( C )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln5 D ．4＋50ln2 解析：由v (t )＝0得t ＝4(舍负)， 故刹车距离为s ＝⎠⎛4v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )|40＝4＋25ln5. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)解析：14．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝－2.解析：∵⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ，∴⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛01f (x )d x ＝－1－1＝－2.15．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为54.解析：由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1.16．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1.2.解析：建立直角坐标系，如图．过B 作BE ⊥x 轴于点E ，∵∠BAE ＝45°，BE ＝2，∴AE ＝2， 又OE ＝5，∴A (3,0)，B (5,2)． 设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)， 代入点B 的坐标，得p ＝254， 故抛物线的方程为y ＝225x 2.从而曲边三角形OEB 的面积为⎠⎛05225x 2d x ＝2x 375|50＝103. 又S △ABE ＝12×2×2＝2， 故曲边三角形OAB 的面积为43， 从而图中阴影部分的面积为83.又易知等腰梯形ABCD 的面积为6＋102×2＝16， 则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1616－83＝1.2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)计算下列定积分：解：18．(12分)求函数f (a )＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x 的最小值．解：f (a )＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1，则f (a )的最小值为1.19．(12分)求由曲线y ＝x 2＋2与直线y ＝3x ，x ＝0，x ＝2所围成的平面图形的面积．解：在坐标轴中画出y ＝x 2＋2与y ＝3x 的图像(图略)，由图可知S ＝⎠⎛01(x 2＋2－3x )d x ＋⎠⎛12(3x －x 2－2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－32x 2＋2x 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2－2x |21 ＝13－32＋2＋－13×8＋32×4－4－－13＋32－2 ＝56－23＋56＝53－23＝1.20．(12分)求由曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．解：由曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形如图阴影部分所示．设所求旋转体的体积为V ，根据图像可以看出V 等于由曲线y ＝2x ，直线x ＝2与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去由曲线y ＝12x 2，直线x ＝2与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2)．21．(12分)如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，记直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别为S 1，S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．解：整理得12kx 20－13x 30＝83－2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30－12kx 20，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫43，169.22．(12分)一物体按规律x ＝bt 3(b >0，且b 为常数)做直线运动，式子中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，比例系数为k ＝7.试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时阻力所做的功．解：物体的速度v ＝(bt 3)′＝3bt 2.媒质阻力F ＝k v 2＝7(3bt 2)2＝知识改变格局 格局决定命运！11。
北师大版高中数学选修2-2第四章2微积分基本定理.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§2 微积分基本定理课时目标 1.了解微积分基本定理的内容与含义.2.会利用微积分基本定理求函数的定积分．微积分基本定理：如果连续函数f (x )是________________________，则有ʃb a f (x )d x ＝__________.一、选择题1．设f (x )在[a ，b ]上连续，且(F (x )＋C )′＝f (x )(C 为常数)，则lim Δx →F (x ＋Δx )－F (x )Δx等于( )A ．F (x )B ．f (x )C ．0D ．f ′(x )2．由曲线y ＝x 3，直线x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积为( )A ．1 B.12 C.13 D.143．220sin cos 22x x dx π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰的值是( )A.π2B.π2＋1C ．－π2D ．0 4．ʃ0－4|x ＋3|d x 的值为( ) A ．－2B ．0C ．5D.125．若m ＝ʃ10e x d x ，n ＝ʃe 11xd x ，则m 与n 的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．无法确定6．ʃ421xd x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 二、填空题7．ʃ10(2x k＋1)d x ＝2，则k ＝________.8．定积分ʃ10x1＋x 2d x 的值为________．9．定积分20π⎰1－sin 2x d x 的值为__________．三、解答题10．计算：(1)ʃ5－5(sin 5x ＋x 13)d x ；(2) 22ππ-⎰(cos 2x ＋8)d x .11.已知f (x )＝a sin x ＋b cos x ，20π⎰f (x )d x ＝4，60π⎰f (x )d x ＝7－332，求f (x )的最大值和最小值．能力提升12．f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ1xf (x )d x ＝176，那么f (x )的解析式是( ) A ．4x ＋3 B ．3x ＋4 C ．－4x ＋2 D ．－3x ＋413．已知ʃ1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝ʃt 0(x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b .1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，即找到被积函数的原函数．2．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．答 案知识梳理函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x ) F (b )－F (a ) 作业设计 1．B2．D [曲边梯形面积A ＝ʃ10x 3d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4|10＝14.] 3．B [20π⎰⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22d x＝20π⎰(1＋sin x )d x ＝x |20π＋(－cos x )20π＝π2＋1.] 4．C [原式＝ʃ－3－4(－x －3)d x ＋ʃ0－3(x ＋3)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－3x |－3－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋3x |0－3＝5.]5．A [∵m ＝ʃ10e x d x ＝e x |10＝e －1，n ＝ʃe 11xd x ＝ln x |e1＝ln e －ln 1＝1， m －n ＝e －1－1＝e －2>0，∴m >n .]6．D [ʃ421x d x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.] 7．1解析 ∵ʃ10(2x k ＋1)d x ＝ʃ102x k d x ＋ʃ10d x＝2ʃ10x k d x ＋x |10＝2x k ＋1k ＋1|10＋1＝2k ＋1＋1＝2，∴2k ＋1＝1， 即k ＝1. 8.12ln 2 解析 ∵⎣⎡⎦⎤12ln (1＋x 2)′＝x 1＋x 2， ∴ʃ10x 1＋x2d x ＝12ln(1＋x 2)|10＝12ln 2. 9．2(2－1) 解析 20π⎰cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x d x＝20π⎰(sin x －cos x )2d x ＝20π⎰|cos x －sin x |d x＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x ) 40π－(cos x ＋sin x ) 24ππ＝2(2－1)．10．解 (1)∵f (x )＝sin 5x ＋x 13，x ∈[－5,5]是奇函数， ∴由定积分的几何意义知ʃ0－5(sin 5x ＋x 13)d x ＝－ʃ50(sin 5x ＋x 13)d x ，∴ʃ5－5(sin 5x ＋x 13)d x＝ʃ0－5(sin 5x ＋x 13)d x ＋ʃ50(sin 5x ＋x 13)d x ＝0.(2)∵f (x )＝cos 2x ＋8，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数， ∴22ππ-⎰(cos 2x ＋8)d x ＝220π⎰(cos 2x ＋8)d x＝20π⎰2cos 2x d x ＋20π⎰16d x＝20π⎰(1＋cos 2x )d x ＋16x20π＝⎝⎛⎭⎫x ＋12sin 2x 20π＋16x20π＝172π. 11．解20π⎰f (x )d x ＝20π⎰(a sin x ＋b cos x )d x＝(b sin x －a cos x ) 20π＝b ＋a ＝4.60π⎰f (x )d x ＝(b sin x －a cos x )60π＝12b －32a ＋a ＝7－332， 解得a ＝3，b ＝1.所以f (x )＝3sin x ＋cos x ＝10sin(x ＋φ)，(其中tan φ＝13)．故f (x )的最大值为10，最小值为－10. 12．A [设f (x )＝ax ＋b ，则ʃ10(ax ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫ax 22＋bx |10＝a 2＋b ， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋bx )d x ＝⎝⎛⎭⎫ax 33＋bx 22|10＝a 3＋b 2， ∴⎩⎨⎧a2＋b ＝5a 3＋b 2＝176，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.]13．解 ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数，∴ʃ1－1(x 3＋ax )d x ＝0，∴ʃ1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x＝ʃ1－1(x 3＋ax )d x ＋ʃ1－1(3a －b )d x ＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3. ①又f (t )＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤x 44＋a 2x 2＋(3a －b )x t0 ＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0. ② 由①②得a ＝－3，b ＝－9.。
2020-2021学年高中北师大版数学选修课件-4.2-微积分基本定理
=
10x2dx+ 1e
1dx=
x
1 3
x 3 |10
ln
x|1e
1 1 4. 33
【新情境·新思维】
函数f(x)=
x 0
cos
tdt的导数是
(
)
A.f′(x)=cos x-1
B.f′(x)=-sin x
C.f′(x)=cos x
D.f′(x)=sin x
【解析】选C.f(x)=
cx os
0
tdt=sin
A.45
B.10
C.12
() D.0
【解析】选A.含两个或两个以上绝对值的函数可利用零点分段法去掉绝对值.
设
4x， 3
y=|2x+3|+|3-2x|=6，
3 2
x
x
3， 2
3， 2
4x，32 x 3，
所以 (33|2x+3|+|3-2x|)dx
= (32-4x)dx+ 3
3
623 dx+ 2
f(x)dx=b-a，则f(x)=
(
)
A.x
B.x2
C. x
D.1
ba
【解析】选D.因为
b
a
f(x)dx=b-a，若f(x)=x，
则
b
a
xdx=
1 x2
2
|ab =
1 (b2-a2)，所以A错；
2
若f(x)=x2，则
b
a
x2dx=
1 3
x3 |ab
= 1 (b3-a3)，所以B错；
3
若f(x)=
x ba
【解题策略】 运用微积分基本定理求定积分时的三个注意点 (1)对被积函数要先化简，再求积分； (2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段 积分再求和； (3)若被积函数具有奇偶性时，可根据奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 简化运算.
高中数学北师大版选修2-2课时作业：4.2 微积分基本定理 Word版含解析
选修2-2 第四章 §2 课时作业21一、选择题1．⎠⎛02π|sin x |d x 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－4解析：∫2π0|sin x |d x ＝⎠⎛0πsin x d x ＋∫2ππ(－sin x )d x＝(－cos x )⎪⎪⎪π0＋cos x ⎪⎪⎪2ππ＝1－(－1)＋1－(－1)＝4.故选C.答案：C2． (1－2sin 2θ2)dθ的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32解析：(1－2sin 2θ2)dθ＝cosθdθ＝sinθ⎪⎪⎪⎪π30＝32，故选D.答案：D3． 下列各式中错误的是( )A ．sinφdφ＝1B ．cosφdφ＝1C ．⎠⎛1e e x d x ＝－1D ．⎠⎛1e 1xd x ＝1解析：sinφdφ＝(－cosφ)⎪⎪⎪⎪π20＝－0－(－1)＝1，cosφdφ＝sinφ⎪⎪⎪⎪π20＝1－0＝1，⎠⎛1e e xd x ＝e x ⎪⎪⎪ e1＝e e －e ， ⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪ e1＝lne －0＝1.故选C. 答案：C4． 已知f (x )是一次函数且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为( )A ．4x ＋3B ．3x ＋4C ．－4x ＋3D ．－3x ＋4解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则xf (x )＝ax 2＋bx ， ⎠⎛01f (x )d x ＝(a 2x 2＋bx )⎪⎪⎪10＝a 2＋b ＝5，①⎠⎛01xf (x )d x ＝(a 3x 3＋b 2x 2)⎪⎪⎪10＝a 3＋b 2＝176， ②联立①②得⎩⎨⎧a2＋b ＝5a 3＋b 2＝176⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3. ∴f (x )＝4x ＋3. 故选A. 答案：A 二、填空题5．[2013·湖南高考]若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T >0，∴T ＝3.答案：36．⎠⎛2－1|x 2－x |d x ＝__________.解析：⎠⎛2－1|x 2－x |d x ＝⎠⎛0－1(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－x )d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 220－1＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22－13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2221＝116.答案：1167．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为__________．解析：⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝13a ＋c ＝ax 20＋c ⇒x 0＝33⎝⎛⎭⎫由0≤x 0≤1，则x 0＝－33舍去. 答案：33三、解答题8．计算下列定积分． (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ； (2)⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(3)(sin x －sin2x )d x .解：(1)∵⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x ′＝2x 2－1x ， ∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x 21 ＝⎝⎛⎭⎫23×23－ln2－⎝⎛⎭⎫23×13－ln1 ＝143－ln2. (2)∵⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝x ＋1x ＋2，且⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ＋2x ′＝x ＋1x＋2， ∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ＋2x 32 ＝⎝⎛⎭⎫322＋ln 3＋6－⎝⎛⎭⎫222＋ln 2＋4 ＝92＋ln 32. (3)∵(－cos x ＋12cos2x )′＝sin x －sin2x ，∴(sin x －sin2x )d x ＝(－cos x ＋⎪⎪12cos2x )π30＝⎝⎛⎭⎫－cos π3＋12cos 2π3－⎝⎛⎭⎫－cos0＋12cos0 ＝－12－14＋1－12＝－14.9．设f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0<t <1)把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由已知f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意知：⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛0－t (x 2＋2x ＋1)d x ，所以 ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x －t －1＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x 0－t .－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t ，所以2t 3－6t 2＋6t －1＝0， 即2(t －1)3＋1＝0.于是t ＝1－132.。
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第四章 定积分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－a af (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a a f (x )dx ＝2∫a 0f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则∫ba f (x )d x ＞0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且∫ba f (x )d x ＞0，则f (x )在[a ，b ]上恒正解析： 根据定积分的性质与几何意义可知，A 、B 、C 均正确，D 不正确． 答案： D2. ⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2D ．4解析： ⎠⎜⎛-π2π2(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ⎪⎪⎪π2-π2＝2.答案： C3．已知自由下落物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所经过的路程为( ) A.13gt 20B ．gt 20C.12gt 20D.14gt 20解析： ⎠⎛0t0gt d t ＝12gt 2| t 00＝12gt 20. 答案： C4．如图所示，阴影部分面积为( )A.⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d xB.⎠⎛a c[g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b[f (x )－g (x )]d x C.⎠⎛a c[f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛c b[g (x )－f (x )]d x D.⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x解析： S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛a c[g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b[f (x )－g (x )]d x . 答案： B5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在解析： ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝⎪⎪⎪⎪13x 310＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝13＋12＝56.答案： C6．m ＝⎠⎛01e xd x 与n ＝⎠⎛1e1x d x 的大小关系是( ) A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m ＝nD ．无法确定解析： m ＝⎠⎛01e x d x ＝e x | 10＝e －1，n ＝⎠⎛1e1x d x ＝ln x | e 1＝1，则m ＞n . 答案： A7．若⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 若⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)|k 0＝k 2－k 3＝0，解得k ＝0或k ＝1，因为积分上限大于下限，所以k ＝1.答案： A8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(－1≤x ＜0)cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32B ．1C ．2 D.12解析： 如图，S ＝12×1×1＋⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝12＋sin π2 ＝32. 答案： A9．曲线y 2＝6ax ，x ＝2a 绕x 轴旋转所得的旋转体体积是( ) A ．2πa 2 B ．4πa 2 C ．12πa 3D ．14πa 3解析： 不妨设a >0，由旋转体积公式可得：V ＝π⎠⎛02a y 2d x ＝π⎠⎛02a 6ax d x ＝6πa⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2 2a 0＝12πa 3. 答案： C10．若y ＝⎠⎛0x(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是( ) A ．1B ．2C.72D ．0解析： y ＝⎠⎛0x(sin t ＋cos t sin t )d t ＝⎠⎛0x(sin t ＋12sin 2t )d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－cos t －14cos 2t x 0 ＝－cos x －14cos 2x ＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12[(cos x ＋1)2－1]＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2，故y max ＝2. 答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 11．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________________. 解析： ∵⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ， ∴1＋⎠⎛12f (x )d x ＝－1.∴⎠⎛12f (x )d x ＝－2. 答案： －212．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝_____________.解析： ⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )| 10＝1＋k ，即1＋k ＝2，k ＝1. 答案： 113．如图所示的阴影部分的面积用定积分可表示为__________．(不用计算)解析： ∵在⎝⎛⎭⎫0，π2内cos x ＞0，在⎝⎛⎭⎫π2，3π2内cos x ＜0，故两部分面积分别为⎠⎜⎛0π2cos x d x和－⎠⎜⎛π23π2cos x d x .答案： ⎠⎜⎛0π2cos x d x －⎠⎜⎛π23π2cos x d x .14．若如图算法框图输出的结果为a ，则⎠⎛1a⎝⎛⎭⎫log 2e x d x ＝________.解析： 由于算法框图，a ＝－1，12，2，周期性的出现，当i ＝2 011时，输出a ＝2， 则⎠⎛1a⎝⎛⎭⎫log 2e x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x ln2d x＝log 2x |21＝1. 答案： 1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， (x ≤0)，cos x －1， (x ＞0)，求⎠⎛－11f (x )d x ；(2)求⎠⎛－a ax 2d x (a ＞0)．解析： (1) ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x ＝13x 3| 0－1＋(sin x －x )| 10 ＝sin 1－23.(2)由x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)，－x (x ＜0)，得⎠⎛－a a x 2d x ＝⎠⎛0a x d x ＋⎠⎛－a 0(－x )d x＝⎪⎪⎪⎪12x 2a 0－12x 20－a ＝a 2. 16．(本小题满分12分)若⎠⎛0k ＋2a(x 2＋2ax )d x ＝18a 3(a 为常数)，求常数k 的值．解析： 由于⎠⎛0k ＋2a(x 2＋2ax )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋ax 2⎪⎪⎪k ＋2a＝13(k ＋2a )3＋a (k ＋2a )2 ＝13(k 3＋9ak 2＋24a 2k ＋20a 3)＝18a 3， 所以k 3＋9ak 2＋24a 2k －34a 3＝0， 即(k －a )(k 2＋10ak ＋34a 2)＝0， 故k ＝a .17．(本小题满分12分)已知曲线y ＝x 2(x ≥0)上某点A 处的切线与曲线以及x 轴所围图形的面积为112，则过切点A 的切线方程是．解析： 如图，设切点A (x 0，x 20)．由y ′＝2x ，得过A 点的切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝⎛⎭⎫x 02，0. 于是所围图形的面积S ＝S 曲边AOB －S △ABC ＝⎠⎛0x 0x 2d x －12|BC |·|AB | ＝13x 3| x 00－12·⎝⎛⎭⎫x 0－x 02·x 20 ＝112x 30＝112. 所以x 0＝1，从而切线方程为y ＝2x －1.18．(本小题满分14分)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积．(3)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意所求面积S ＝⎠⎛－10(x 2＋2x ＋1)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪0－1＝13.(3)依题意，有⎠⎛－1－t(x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛－t 0(x 2＋2x ＋1)d x ，∴⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪－t －1＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪0－t∴－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t ，即2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1，解得t ＝1－132.。
数学北师大版高中选修2-2微积分基本定理
word 格式整理参考资料 学习帮手一、学习目标1.了解连续函数，原函数的概念．2．理解微积分基本定理的推导过程．3．能够利用微积分基本定理求简单的定积分．二、自学导引1、如果函数y ＝f (x )的图像是不间断的，称函数y ＝f (x )是( ).A.导函数B.原函数C.连续函数D.分段函数 2、如果)()(x f x F ='，函数)(x F y =称为f (x ) 的( ) A.导函数 B.原函数 C.连续函数 D.幂函数 3、下列函数不是连续函数的为( )A.2x y =B.xy 2= C.x y sin = D.]0,1(,0]1,0(,10122-∈=∈⎪⎩⎪⎨⎧--=x x x x x y 4、写出下列函数的一个原函数：①c y =（c 为常数）的一个原函数为：________________. ②)1(-≠=ααx y 的一个原函数为：________________. ③xy 1=的一个原函数为：________________. ④xe y =的一个原函数为：________________.⑤xa y =（10≠>a a 且）的一个原函数为：____________.⑥x y sin =的一个原函数为：________________. ⑦x y cos =的一个原函数为：________________.⑧xy 2cos 1=的一个原函数为：________________. 5、如果)(x F y =是y ＝f (x )的原函数，下列函数中不是f (x )的原函数的是( )A. 2)(+=x F yB. 2)(-=x F yC. )(2x F y =D. c x F y +=)( 6、若物体走过的路程S 是时间t 的函数)(t S S =，走此路程的速度V 是时间t 的函数)(t V V =。
①)(t V 与)(t S 的关系_________. ② 与⎰badt t V )(表示的意义不符合的选项是（ ） A. 1S 的面积 B. 2S 的面积C.])()()([lim 1100t t V t t V t t V n t ∆++∆+∆-→∆D.)]()([)]()([)]()([1121--++-+-n t S b S t S t S a S t S ③)()(__________)(a S b S dt dt t V b a baba-===⎰⎰7、速度的积分等于____________，线密度的积分是__________. 8、微积分基本定理，如果)()(x f x F ='，则⎰=badx x f )(( )A.)()(a f b f -B.)()(b F a F -C.)()(a F b F -D.)()(a F b F '-'三、双基训练1、计算下列定积分： ①=⎰dx x 212（ ）A ．1 B.2 C.3 D. 4②=⎰-dx x 112（ ）A ．0 B.31 C. 331x D. 32 ③=⎰-dx x 22cos ππ（ ）A ．1 B.2 C.π D.0 ④=⎰dx ex1_______________2、若==⎰⎰dx x f A dx x f ab ba)()(，则_________四、典例剖析例1 求定积分： （1）dx x ⎰13（2）dx xe⎰11跟踪训练：求定积分： （1）dx x⎰11 =_________（2）dx xae⎰1=__________ 例2 （1）求定积分dx x ⎰πcos ，并解释其意义。
2020-2021学年北师大版数学选修2-2课后作业：第四章 2 微积分基本定理 Word版含解析
[A 组 基础巩固]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30等于( )A ．15B ．20C ．25D ．30解析：S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|30＝12.又{a n }为等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20. ∴S 30＝3(S 20－S 10)＝3×(17－12)＝15. 答案：A2．f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，那么f (x )的解析式是( )A ．4x ＋3B ．3x ＋4C ．－4x ＋2D ．－3x ＋4解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝(12ax 2＋bx )|10 ＝12a ＋b ＝5，①⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝(13ax 3＋12bx 2)|10＝13a ＋12b ＝176.②联立①②，解得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3. 答案：A3．m ＝⎠⎛01e x d x 与n ＝⎠⎛1e 1x d x 的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．无法确定解析：m ＝e x |10＝e －1，n ＝ln x |e1＝1，∴m >n .答案：A4.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( ) A.213B.223C.233D.253解析：⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫4x －13x 3| 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x | 32＝233，故选C. 答案：C5．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．即无最大值也无最小值 解析：F (x )＝⎠⎛x (t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2| x0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0，得x ＝0或4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－323.又F (－1)＝－73， F (5)＝－253，所以最大值为0，最小值为－323. 答案：B6.⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝10，则k ＝________. 解析：⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝(x 3＋kx )|20＝10，则k ＝1.答案：1 7．若a a -⎰x 2d x ＝18(a >0)，则a ＝________. 解析：a a-⎰x 2d x ＝x 33|a －a ＝a 33－(－a )33＝18⇒a ＝3.答案：38．求下列定积分． (1)20π⎰sin 2x2d x ； (2) 3ππ⎰cos(x －π6)d x .解析：(1)2π⎰sin 2x 2d x ＝20π⎰1－cos x 2d x ＝122π⎰d x －1220π⎰cos x d x ，因为x ′＝1，(sin x )′＝cos x ，所以原式＝12x |20π－12sin x 20π＝π－24. (2)法一：因为cos(x －π6)＝cos x cos π6＋sin x sin π6＝32cos x ＋12sin x ， 又因为(sin x )′＝cos x ，(－cos x )′＝sin x ， 所以3ππ⎰cos(x －π6)d x＝3ππ⎰(32cos x ＋12sin x )d x ＝(32sin x －12cos x )3ππ＝0.法二：∵[sin(x －π6)]′＝cos(x －π6)， ∴3ππ⎰cos(x －π6)d x ＝sin(x －π6)3ππ＝sin 56π－sin π6＝0.9．已知函数f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值．解析：f (x )＝⎠⎛0x (at 2＋bt ＋1)d t＝(a 3t 3＋b 2t 2＋t )|x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x . ∵f (x )为奇函数， ∴b2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13.∴a ＝－52.[B 组 能力提升]1．设f (x )＝⎩⎨⎧ x 2，x ≥0，2x ，x <0，则11-⎰f (x )d x 的值是( )A.11-⎰x 2d xB.11-⎰2x d xC.1-⎰x 2d x ＋⎠⎛012x d xD.01-⎰2x d x ＋⎠⎛01x 2d x解析：11-⎰f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛0－12x d x .答案：D2．若函数f (x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 等于( )A.56 B.12 C.23D.16解析：f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，n ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)|21＝56. 答案：A3．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝________.解析：因为⎠⎛01f (x )d x 是常数， 所以f ′(x )＝2x ，所以可设f (x )＝x 2＋c (c 为常数)， 所以x 2＋c ＝x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋cx |10，解得c ＝－23， ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋c )d x ＝13x 3－23x | 10＝(13－23)－0＝－13.答案：－134．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图像如图所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ，C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点．(1)若φ＝π6，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，332，则ω＝________. (2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．解析：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)， 所以f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)．当φ＝π6时，f ′(x )＝ωcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.又该函数过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，332，故332＝ωcos π6. 所以ω＝3.(2)设A (x 0,0)，不妨取ωx 0＋φ＝π2，所以x 0＝π2ω－φω.又y ＝ωcos(ωx ＋φ)的周期为2πω， 所以|AC |＝πω，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω－φω＋πω，0.依题意曲线段与x 轴围成的面积为S ＝22cos()d x x πϕπωωωπϕωωωωϕ-+--⎰＋＝2.因为|AC |＝πω，|y B |＝ω，所以S △ABC ＝π2. 所以满足条件的概率为π4. 答案：(1)3 (2)π45．物体在力F (x )＝2 016x ＋1(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向从x ＝1处运动到x ＝2处(单位：m)，求力F 所做的功．解析：W ＝⎠⎛12(2 016x ＋1)d x ＝(1 008x 2＋x )|21＝3 025(J)．即力F 所做的功是3 025J.6．计算⎠⎛04|x －a |d x ，a ∈R.解析：当a <0时， ⎠⎛04|x －a |d x ＝⎠⎛04(x －a )d x ＝(12x 2－ax )|40＝8－4a ； 当0≤a <4时，⎠⎛04|x －a |d x ＝⎠⎛0a |x －a |d x ＋⎠⎛a4|x －a |d x＝⎠⎛0a (a －x )d x ＋⎠⎛a 4(x －a )d x ＝(ax －12x 2)|a 0＋(12x 2－ax )|4a＝a 2－12a 2＋8－4a －12a 2＋a 2＝a 2－4a ＋8； 当a ≥4时， ⎠⎛04|x －a |d x ＝⎠⎛04(a －x )d x ＝(ax －12x 2)|4＝4a －8. 综上所得：当a <0时，⎠⎛04|x －a |d x ＝8－4a ；当0≤a <4时，⎠⎛04|x －a |d x ＝a 2－4a ＋8；当a ≥4时，⎠⎛04|x －a |d x ＝4a －8.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课时素养评价 4.1.1 定积分的背景面积和路程问题
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课时素养评价十七定积分的背景——面积和路程问题(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.把区间[2，6]n等分，所得n个小区间的长度均为( )A. B. C. D.【解析】选D.区间[2，6]的长度为4，n等分后每个小区间的长度均为.2.当n的值很大时，函数f(x)=x2在区间上的值可以用下列函数值近似代替的是( )A.fB.fC.fD.f(0)【解析】选C.区间上的任意一个函数值都可近似代替这个区间对应的函数值.3.对于汽车以v=v(t)在[0，t]内做直线运动经过的路程s，下列叙述正确的是( )A.将[0，t]n等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的值是s的不足估计值B.将[0，t]n等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的值是s的不足估计值C.将[0，t]n等分，n越大，求出的值近似替代s的精确度越高D.将[0，t]n等分，当n越大时，求出的值就是s的准确值【解析】选C.每个小区间左端点的速度不一定是该区间上速度的最小值，右端点的速度也不一定是该区间上速度的最大值，n越大，所得估计值近似替代准确值的精确度越高.4.已知自由落体运动的速度v=gt，则估计在时间区间[0，6]内，将时间区间10等分时，物体下落的距离的估计值可以为( )A.14gB.15gC.16gD.17g【解析】选D.由其过剩估计值与不足估计值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在[16.2g，19.8g]内.二、填空题(每小题5分，共10分)5.由曲线y=与直线x=1，x=2及x轴所围成的曲边梯形的面积的过剩估计值为_________(把区间[1，2]5等分).【解析】把区间[1，2]5等分，以每个小区间的左端点的函数值为小矩形的高，则过剩估计值为0.2×=×=.答案：6.已知弹簧拉长0.02 m，需要98 N的力，则估计把弹簧拉长到0.1 m 时所做的功的不足估计值为_________，估计误差不超过_________.(将弹簧拉长长度10等分)【解析】设拉弹簧所需的力F与弹簧拉长长度x之间的关系式为F=kx，因为98=k×0.02，所以k=4 900(N/m)，所以F=4 900x(N)，把弹簧拉长长度的范围[0，0.1]10等分，以每一小范围的左、右端点的力为小矩形的高，得到功的不足估计值s1和过剩估计值S1如下：s1=4900×(0+0.01+0.02+0.03+0.04+0.05+0.06+0.07+0.08+0.09)×0.01=22.05(J)，S1=4900×(0.01+0.02+0.03+0.04+0.05+0.06+0.07+0.08+0.09+0.1)×0.01=26.95(J)，估计误差不会超过S1-s1=4.9(J).答案：22.05 J 4.9 J三、解答题(每小题10分，共20分)7.物体在力F的作用下从静止开始运动，力F的大小与位移s(m)的关系是：F(s)=3s+1，试估计物体运动5 m的过程中力F所做的功，并写出估计值的误差.(将区间5等分)【解析】将[0，5]5等分，即插入4个分点，则将整个功分成5个小位移段内的功，若用F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)分别近似替代F引起的物体在0～1 m，1～2 m，2～3 m，3～4 m，4～5 m段内运动时所受的力的平均大小.则得出功的过剩估计值为W1=[(3×1+1)+(3×2+1)+(3×3+1)+(3×4+1)+(3×5+1)]×1=50(J).若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)分别近似替代F引起的物体在0～1 m，1～2 m，2～3 m，3～4 m，4～5 m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的不足估计值为W2=[(3×0+1)+(3×1+1)+(3×2+1)+(3×3+1)+(3×4+1)]×1=35(J).无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过15 J.8.有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？【解析】在时间区间[0，2]上等间隔地插入n-1个分点，将它分成n 个小区间，记第i个小区间为(i=1，2，…，n)，其长度为Δt=-=.每个时间段上行驶的路程记为Δs i(i=1，2，…，n)，则显然有s=Δs i，取ξi=(i=1，2，…，n).于是Δs i≈v·Δt=·，s n=Δs i=·+4=8+4.从而得到s的近似值：s≈s n.s=s n==8+4=12.所以这段时间内行驶的路程为12 km.(15分钟·30分)1.(5分)在求由直线x=a，x=b(a<b)及曲线y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入(n-1)个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形的过程中，下列说法正确的是( )A.n个小曲边梯形的面积和等于SB.n个小曲边梯形的面积和小于SC.n个小曲边梯形的面积和大于SD.n个小曲边梯形的面积与S之间的大小关系无法确定【解析】选A.由题意可知A正确.2.(5分)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A.在t1时刻，甲车在乙车前面B.t1时刻后，甲车在乙车后面C.在t0时刻，两车的位置相同D.t0时刻后，乙车在甲车前面【解析】选A.由图可知，曲线v甲，直线t=t0和t轴所围成图形的面积大于曲线v乙，直线t=t0和t轴所围成图形的面积，则在t0时刻，甲车在乙车前面，故C，D错误；同理，在t1时刻，甲车在乙车前面，故A正确；t1时刻后，甲车会领先乙车一小段时间，但从两曲线的趋势可知某时刻乙车会超过甲车，故B错误.3.(5分)汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度-2米/秒2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值为_________.【解析】由题意知v(t)=v0+at=10-2t，令v(t)=0得t=5，即t=5时，汽车将停车.将区间[0，5]5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似代替每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩估计值为S=[10+(10-2×1)+(10-2×2)+(10-2×3)+(10-2×4)]×1=30(米).答案：30米4.(5分)已知某物体运动的速度为v=t，t∈[0，10]，若把区间10等分，则物体运动路程的过剩估计值为_________.【解析】取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，因为把区间[0，10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n=1，2，…，10)，每个小区间的长度为1.所以物体运动路程的过剩估计值为S=1×(1+2+…+10)=55.答案：555.(10分)求由曲线f(x)=2x，直线x=1，直线x=0及x轴所围成的平面图形的面积S时，将区间5等分，求过剩估计值.【解析】(1)分割：将区间[0，1]5等分，即插入4个分点，在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形.(2)近似替代：用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这5个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积f(0.2)·0.2，f(0.4)·0.2，f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2，f(1)·0.2.(3)求和：由上述方法得曲边梯形面积的过剩估计值为S1=(20.2+20.4+20.6+20.8+21)×0.2≈1.55.1.一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5 s后停下，在这一过程中，汽车的速度v(单位：m/s)是时间t的函数：v(t)=t2-10t+25(0≤t≤5).将滑行时间5 s平均分成5份，汽车在刹车过程中滑行距离的过剩估计值为_________，不足估计值为_________.【解析】分别用v(0)，v(1)，v(2)，v(3)，v(4)近似替代汽车在0～1 s，1～2 s，2～3 s，3～4 s，4～5 s内的平均速度，求出滑行距离s1：s1=[v(0)+v(1)+v(2)+v(3)+v(4)]×1=55(m)，由于v是下降的，所以显然s1大于s，我们称它为汽车在5 s内滑行距离的过剩估计值.如果用v(1)，v(2)，v(3)，v(4)，v(5)分别近似替代汽车在0～1 s，1～2 s，2～3 s，3～4 s，4～5 s内的平均速度，求出汽车在5 s内滑行距离的不足估计值s′1：s′×1=30(m).1=[v(1)+v(2)+v(3)+v(4)+v(5)]答案：55 m 30 m2.一辆汽车的速度-时间图像如图所示，求此汽车在这1 min内行驶的路程.【解题指南】根据变速运动物体路程的估计方法，本题所求的路程应为图像与x轴围成的图形的面积.【解析】由速度—时间图像易知v(t)=当t∈[0，10]时，s1=S△OAE=×10×30=150(m)，当t∈(10，40]时，s2=S长方形ABDE=(40-10)×30=900(m)，当t∈(40，60]时，s3=S△BDC=×20×30=300(m)，故S=s1+s2+s3=1 350(m).此汽车在这1 min内行驶的路程是1 350 m.关闭Word文档返回原板块。
2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课时素养评价 2.4.2 导数的乘法与除法法则
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课时素养评价十一导数的乘法与除法法则(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.设y=-2e x sin x，则y′等于( )A.-2e x cos xB.-2e x sin xC.2e x sin xD.-2e x(sin x+cos x)【解析】选D.y′=-2(e x sin x+e x cos x)=-2e x(sin x+cos x).2.当函数y=(a>0)在x=x0处的导数为0时，那么x0等于( )A.aB.±aC.-aD.a2【解析】选B.y′=′==，由-a2=0得x0=±a.3.曲线y=xe x+2x-1在点处的切线方程为 ( )A.y=3x-1B.y=-3x-1C.y=3x+1D.y=-3x+1【解析】选A.由y=xe x+2x-1，得y′=e x+xe x+2.所以当x=0时，y′=e0+2=3，所以切线斜率为3.所以在点处的切线方程为y+1=3x，即y=3x-1.4.(2020·毕节高二检测)函数f(x)=xln x在点x=1处的切线斜率为( )A.-1B.0C.1D.2【解析】选C.函数f(x)=xln x，求导得f′(x)=ln x+1.所以f′(1)=1，即函数f(x)=xln x在点x=1处的切线斜率为1.二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知f(x)=cos x，则f(π)+f′=_________.【解析】因为f(x)=cos x，所以f′(x)=-cos x-sin x，所以f′=-，又f(π)=-，所以f(π)+f′=-.答案：-6.曲线y=-在点M处的切线的斜率为_________.【解析】y′==，故曲线在M处的切线斜率k=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7.求下列函数的导函数：(1)f(x)=(x2+7x-5)sin x.(2)f(x)=.(3)f(x)=.【解析】(1)f′(x)=(x2+7x-5)′sin x+(x2+7x-5)·(sin x)′=(2x+7)sin x+(x2+7x-5)cos x.(2)f′(x)==.(3)f′(x)=(x+2sin x-2x)′+(x+2sin x-2x)·′=(1+2cos x-2x ln 2)-(x+2sin x-2x).8.在曲线y=上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程.【解析】设切点的坐标为P(x0，y0)，由题意可知当x=x0时，y′=0.又y′=，所以当x=x0时，y′==0.解得x0=0，此时y0=1.即该点的坐标为(0，1)，切线方程为y-1=0.(15分钟·30分)1.(5分)函数f(x)=xsin x的图像在点处的切线的倾斜角为( )A. B. C. D.【解析】选C.f′(x)=sin x+xcos x，f′=sin +cos=-1，由导数的几何意义可知，切线的斜率k=-1，设切线的倾斜角为α，即tan α=-1，所以α=.2.(5分)曲线y=在点(1，1)处的切线方程为( )A.x-y-2=0B.x-4y-5=0C.x+4y-5=0D.x+y-2=0【解析】选D.因为y=，所以y′=-，则曲线在点(1，1)处的切线的斜率k=-1，所以切线方程为x+y-2=0.3.(5分)(2018·天津高考)已知函数f(x)=e x ln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为_________.【解题指南】利用乘法的求导法则以及y=e x与y=ln x的导函数直接求解即可.【解析】因为f(x)=e x ln x，所以f′(x)=(e x ln x)′=(e x)′ln x+e x(ln x)′=e x·ln x+e x·，f′(1)=e1·ln 1+e1·=e.答案：e4.(5分)函数y=在x=处的导数为_________.【解析】因为y′=′=′=，所以当x=时，y′==2.答案：25.(10分)已知函数f(x)=x-，g(x)=a(2-ln x).(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线的斜率相同，求a的值.(2)若存在曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在同一点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=1+，g′(x)=-，所以曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为f′(1)=3，曲线y=g(x)在x=1处的切线的斜率为g′(1)=-a，由已知，得f′(1)=g′(1)，得a=-3.(2)由题意，得1+=-(x>0)，则a=-x-≤-2，当且仅当x=时，等号成立，故实数a的取值范围为.1.已知函数f是定义在R上的可导函数，直线y=kx+2与函数f的图像相切，如图所示，则函数g=xf的图像在点处的切线方程为_________.【解析】因为直线l：y=kx+2是曲线y=f在x=3处的切线，由图像可知f=1，又点在直线l上，所以3k+2=1，从而k=-，所以f′=k=-，因为g=xf，所以g=3f=3，g′=f+xf′，则g′=f+3f′=1+3×=0，即函数g=xf的图像在点处的切线斜率为零，所以函数g=xf的图像在点处的切线方程为y=3.答案：y=32.已知曲线C1：y=x2与曲线C2：y=-(x-2)2，直线l与C1和C2都相切，求直线l的方程.【解析】设l与C1相切于点P(x1，)，与C2相切于点Q(x2，-(x2-2)2). 对于C1：y′=2x，则与C1相切于点P的切线方程为y-=2x1(x-x1)，即y=2x1x-.①对于C2：y=-x2+4x-4，y′=-2(x-2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2)，即y=-2(x2-2)x+-4.②因为两切线重合，所以由①②，得解得或所以直线l的方程为y=0或y=4x-4.关闭Word文档返回原板块。
2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2单元素养评价 第四章 复数
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单元素养评价(四)(第五章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.由题意可得复数z=-2+i，故在复平面内对应的点为(-2，1)，在第二象限.2.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i，m∈R，z2=3-2i，则“m=1”是“z1=z2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选A.因为z1=z2，所以解得m=1或m=-2，所以m=1是z1=z2的充分不必要条件.3.设z1=3-4i，z2=2+3i，则z1-2z2在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为z1-2z2=3-4i-2(2+3i)=-1-10i，在复平面内对应的点(-1，-10)位于第三象限.4.已知a是实数，是纯虚数，则a等于( )A.1B.-1C.D.-【解析】选A.==是纯虚数，则a-1=0，a+1≠0，解得a=1.5.若i(x+yi)=3+4i(x，y∈R)，则复数x+yi的模是( )A.2B.3C.4D.5【解析】选D.由i(x+yi)=3+4i，得-y+xi=3+4i，解得x=4，y=-3，所以复数x+yi的模为=5.6.在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，那么对应的复数为( )A.4+7iB.1+3iC.4-4iD.-1+6i【解析】选C.因为，，对应的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，=-=-(+)，所以对应的复数为3+2i-[(-2+i)+(1+5i)]=4-4i.7.在复平面内，复数z=所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.在复平面内，复数z===--i，所对应的点位于第三象限.8.若复数z=a+的实部与虚部相等，其中a是实数，则a=( )A.1B.0C.-1D.2【解析】选A.因为z=a+=a+=a+i的实部与虚部相等，所以a=1.9.设复数z=1-i(i是虚数单位)，则的虚部为( )A.iB.-C.D.-i【解析】选C.因为z=1-i，所以====-+i.所以的虚部为.10.当z=-时，z100+z50+1的值是( )A.1B.-1C.iD.-i【解析】选D.原式=++1=++1=(-i)50+(-i)25+1=-i.11.已知复数的实部与虚部互为相反数，那么实数b等于( )A. B.C.2 D.-【解析】选D.复数==，由于复数的实部与虚部互为相反数，那么(2-2b)+(-4-b)=0⇒b=-.12.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0，则复数z在复平面内对应点的轨迹是( )A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆【解析】选A.由题意知(|z|-3)(|z|+1)=0，即|z|=3或|z|=-1，因为|z|≥0，所以|z|=3，所以复数z在复平面内对应点的轨迹是1个圆.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上)13.复数(i是虚数单位)的虚部是_________.【解析】因为==1-i，所以复数的虚部是：-1.答案：-114.-3的平方根是_________.【解析】由(±i)2=-3得解.答案：±i15.设z∈C，|z|=1，则|z-(1+i)|的最大值是_________ .【解析】由题意可知，复数z的轨迹为单位圆，如图，|z-(1+i)|的几何意义为单位圆上的动点到定点P的距离，由图可知，|z-(1+i)|的最大值为|AP|=1+.答案：1+16.下列说法中正确的序号是_________ .①若(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x∈R，y∈C R，则必有②2+i>1+i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z=，则z3+1对应的点在复平面内的第一象限.【解析】由y∈C R，知y是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3+1=+1=i+1，对应点在第一象限，故⑤正确.答案：⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(10分)计算：(1)(1+i).(2).(3).【解析】(1)(1+i)=(1+i)=(1+i)=+i=-+i.(2)====+i.(3)======1-i.18.(12分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.【解题指南】解题的关键就在于“z1·z2是实数”这一条件，可得z1·z2的虚部为零，进而求出结果.【解析】可以结合复数z2的虚部为2，设z2=a+2i，由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i，得z1=2-i，又已知z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i 是实数，则虚部4-a=0，即a=4，即复数z2=4+2i.19.(12分)已知z是复数，z+2i，均为实数(i为虚数单位)，对于复数w=(z+ai)2，当a为何值时，w为：(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.【解题指南】求复数z→化简w→求待定系数a的值.【解析】设z=x+yi(x，y∈R)，z+2i=x+(y+2)i，由题意得y=-2，==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4，所以z=4-2i.因为w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i，(1)当w为实数时，令a-2=0，所以a=2.(2)w为虚数，只要a-2≠0，所以a≠2.(3)w为纯虚数，只要12+4a-a2=0且a-2≠0，所以a=-2或a=6.20.(12分)设复数z=2m+(4-m2)i，其中i为虚数单位，当实数m取何值时，复数z对应的点：(1)位于虚轴上.(2)位于一、三象限.(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上.【解析】(1)复数z对应的点位于虚轴上，则⇒m=0.所以m=0时，复数z对应的点位于虚轴上. (2)复数z对应的点位于一、三象限，则2m(4-m2)>0⇒m(m-2)(m+2)<0⇒m<-2或0<m<2.所以当m∈(-∞，-2)∪(0，2)时，复数z对应的点位于一、三象限.(3)复数z对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上，则|z|==4⇒m=0或m=±2.所以m=0或m=±2时，复数z对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上.21.(12分)已知复数z满足|z|=，z2的虚部是2.(1)求复数z.(2)设z，z2，z-z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积.【解析】(1)设z=a+bi(a，b∈R)，则z2=a2-b2+2abi，由题意得a2+b2=2且2ab=2，解得a=b=1或a=b=-1，所以z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时，z2=2i，z-z2=1-i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，-1)，所以S△ABC=1.当z=-1-i时，z2=2i，z-z2=-1-3i，所以A(-1，-1)，B(0，2)，C(-1，-3)，所以S△ABC=1.22.(12分)已知复平面内的平行四边形ABCD中，点A对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.设O为坐标原点，又因为=+，所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.因为=，所以向量对应的复数为3-i，即=(3，-1).设D(x，y)，则=(x-2，y-1)=(3，-1)，所以解得所以点D对应的复数为5.(2)因为·=||||cos B，所以cos B====. 因为0<B<π，所以S▱ABCD=||||sin B=××=7，所以平行四边形ABCD的面积为7.关闭Word文档返回原板块。
北师大版数学高二选修2-2课时作业 4.2 微积分基本定理
选修2-2 第四章 §2 课时作业21一、选择题 1．⎠⎛02π|sin x |d x 等于( ) A ．0B ．2C ．4D ．－4解析：∫2π0|sin x |d x ＝⎠⎛0πsin x d x ＋∫2ππ(－sin x )d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪ π0＋cos x ⎪⎪⎪ 2ππ＝1－(－1)＋1－(－1)＝4.故选C. 答案：C2． (1－2sin 2θ2)dθ的值为( ) A ．－32 B ．－12C ．12D ．32 解析： (1－2sin 2θ2)dθ ＝cosθdθ＝sinθ⎪⎪⎪⎪π30＝32，故选D. 答案：D3． 下列各式中错误的是( )A ．sinφdφ＝1B ．cosφdφ＝1C ．⎠⎛1e e x d x ＝－1D ．⎠⎛1e 1x d x ＝1 解析：sinφdφ＝(－cosφ)⎪⎪⎪⎪π20＝－0－(－1)＝1，cosφdφ＝sinφ⎪⎪⎪⎪ π20＝1－0＝1，⎠⎛1e e x d x ＝e x ⎪⎪⎪ e1＝e e －e ， ⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝lne －0＝1. 故选C.答案：C4． 已知f (x )是一次函数且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为() A ．4x ＋3 B ．3x ＋4C ．－4x ＋3D ．－3x ＋4解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则xf (x )＝ax 2＋bx ，⎠⎛01f (x )d x ＝(a 2x 2＋bx )⎪⎪⎪ 10＝a 2＋b ＝5， ①⎠⎛01xf (x )d x ＝(a 3x 3＋b 2x 2)⎪⎪⎪ 10＝a 3＋b 2＝176， ②联立①②得⎩⎨⎧ a 2＋b ＝5a 3＋b 2＝176⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.故选A.答案：A二、填空题5．[2013·湖南高考]若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T >0，∴T＝3.答案：36．⎠⎛2－1|x 2－x |d x ＝__________.解析：⎠⎛2－1|x 2－x |d x ＝⎠⎛0－1(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－x )d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 220－1＋ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22－13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2221＝116. 答案：1167．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为__________． 解析：⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝13a ＋c ＝ax 20＋c ⇒x 0＝33⎝⎛⎭⎫由0≤x 0≤1，则x 0＝－33舍去. 答案：33 三、解答题8．计算下列定积分．(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ； (2)⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ； (3)(sin x －sin2x )d x . 解：(1)∵⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x ′＝2x 2－1x ， ∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x 21 ＝⎝⎛⎭⎫23×23－ln2－⎝⎛⎭⎫23×13－ln1 ＝143－ln2. (2)∵⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝x ＋1x ＋2， 且⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ＋2x ′＝x ＋1x＋2， ∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ＋2x 32 ＝⎝⎛⎭⎫322＋ln 3＋6－⎝⎛⎭⎫222＋ln 2＋4 ＝92＋ln 32. (3)∵(－cos x ＋12cos2x )′＝sin x －sin2x ，∴ (sin x －sin2x )d x ＝(－cos x ＋⎪⎪12cos2x )π30 ＝⎝⎛⎭⎫－cos π3＋12cos 2π3－⎝⎛⎭⎫－cos0＋12cos0 ＝－12－14＋1－12＝－14. 9．设f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0<t <1)把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，由已知f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等的实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意知：⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛0－t (x 2＋2x ＋1)d x ， 所以 ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x －t －1＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x 0－t .－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t ，所以2t 3－6t 2＋6t －1＝0， 即2(t －1)3＋1＝0.于是t ＝1－132.。
高中数学 第四章 定积分 4.2 微积分基本定理自我小测 北师大版选修2-2(2021年最新整理)
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—21。
10⎰x 2dx ＝( ）． A ．0B ．13C ．213xD ．2x2．下列值等于1的积分是（ ）． A ．1⎰xdxB ．10⎰ (x ＋1）dxC ．1⎰1dxD ． 10⎰12dx3．下列式子正确的是（ )． A ．b a ⎰f (x )dx ＝f (b )－f (a ） B ．b a ⎰f ′（x ）dx ＝f （b )－f (a ）C ．b a ⎰f （x )dx ＝f (x ）D ．()d ba f x x '⎡⎤⎰⎣⎦＝f (x )4. ππ-⎰ (sin x ＋cos x )dx ＝( ）． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．25．设f （x )＝2,[0,1),2,[1,2],x x x x ⎧∈⎨-∈⎩则20⎰f (x )dx ＝（ )．A ．34B ．45C ．56D ．656．若0k⎰（2x －3x 2)dx ＝0,则k 的值为( ）．A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对7．（2012江西高考，理11)计算定积分11-⎰ （x 2＋sin x ）dx ＝__________。
8．m ＝10⎰e xdx 与n ＝1e ⎰错误!dx 的大小关系是m ______n （填“＞"“＜”或“＝”）．9．计算下列定积分：(1)50⎰4dx ； （2）21⎰(x －1)dx ；(3）2112x x⎛⎫⎰- ⎪⎝⎭dx ； (4)0π-⎰－πsin xdx 。
2020-2021学年数学高中北师大版选修2-2课后习题：4.2 微积分基本定理 Word版含解析
§2 微积分基本定理课后训练案巩固提升A 组1。
∫ π2-π2（1+cos x ）d x 等于( )A .πB .2C .π-2D .π+2解析：∫ π2-π2(1+cos x )d x=(x+sin x ）|-π2π2=(π2+sin π2)−[-π2+sin (-π2)]=π+2。
答案：D2。
若∫ a1(2x +1x )d x=3+ln 2(a 〉1），则a 的值为( ）A .2B .3C .4D .6解析:∵∫ a 1(2x +1x )d x=(x 2+ln x ）|1a =a 2+ln a —1，∴a 2+ln a-1=3+ln 2，则a=2.答案：A3。
若S 1= ∫ 21x 2d x ，S 2=∫ 211xd x ,S 3=∫ 21e xd x ,则S 1,S 2，S 3的大小关系是( ）A 。
S 1<S 2<S 3B 。
S 2〈S 1〈S 3C .S 2〈S 3<S 1D 。
S 3<S 2〈S 1解析：S 1=∫ 21x 2d x=13x 3|12=73，S 2=∫ 211x d x=ln 2,S 3=∫ 21e x d x=e 2—e,∵e 2-e =e(e -1)〉e 〉73>ln 2,∴S 2〈S 1<S 3.答案：B4.设f （x ）={x 2,x ∈[0,1),2-x ,x ∈[1,2],则∫ 20f (x )d x=（ )A.34B.45 C 。
56 D.65解析：∫ 20f （x ）d x=∫ 10x 2d x+∫ 21(2—x ）d x=13x 3|01+(2x -12x 2)|12=56.答案:C5。
设函数f （x ）=x m +ax 的导函数为f'（x )=2x+1,则∫ 21f (-x )d x 的值等于（ )A 。
56 B.12 C.23 D.16解析：∵f'(x ）=2x+1,∴f (x )=x 2+x ，于是∫ 21f （-x )d x=∫ 21(x 2—x ）d x=(13x 3-12x 2)|12=56.答案：A6.已知一物体自由下落的速度为v=gt ，则当t 从2 s 至3 s 时，物体下落的距离为 。
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课时素养评价
十九微积分基本定理
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.dx等于( )
A. B.C.1 D.0
【解析】选A.dx==12-=.
2.若(2x+λ)dx=2，则λ等于( )
A.0
B.1
C.2
D.-1
【解析】选B.因为(2x+λ)dx=(x2+λx)=1+λ，由题意得1+λ=2，所以λ=1.
3.已知自由落体的物体的运动速度v=gt，则当t从1到2时，物体下落的距离为( )
A.g
B.g
C.g
D.2g
【解析】选C.物体下落的距离s=gtdt，则有s=gt2=g(22-12)=g. 【加练·固】
一物体在力F(x)=4x-1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=1处
运动到x=3处(单位：m)，则力F所做的功为( )
A.10 J
B.14 J
C.7 J
D.28 J
【解析】选B.由题意得，W=(4x-1)dx=(2x2-x)=14(J).
4.若a=x2dx，b=x3dx，c=sin xdx，则a，b，c从小到大的顺序为( )
A.a<b<c
B.b<a<c
C.c<b<a
D.c<a<b
【解析】选D.因为=，=4，
=1-cos 2<2，故c<a<b.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.计算：(x2+sin x)dx=_________.
【解析】(x2+sin x)dx==.
答案：
6.|x2-x|dx=_________.
【解析】因为|x2-x|=
所以|x2-x|dx=(x2-x)dx+(x-x2)dx+(x2-x)dx
=++=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.计算定积分.
(1)(4-2x)(4-x2)dx.
(2)dx.
【解析】
(1)(4-2x)(4-x2)dx=(2x3-4x2-8x+16)dx=
=.
(2)dx=dx=(x2-2x-3ln x)=1-3ln 2.
【加练·固】
求下列定积分.
(1)dx. (2)(cos x+e x)dx.
【解析】(1)dx=xdx-x2dx+dx=-+ln x
=-+ln 2=ln 2-.
(2)(cos x+e x)dx=cos xdx+e x dx=sin x+e x=1-. 8.已知f(x)=ax2+bx+c，且f(1)=2，f′(0)=0，f(x)dx=-4，求a，b，c的值.
【解析】由f(1)=2，得a+b+c=2. ①
f′(x)=2ax+b，又f′(0)=0，
所以b=0. ②
又f(x)dx=(ax2+bx+c)dx==-4，
即a+2c=-4. ③
联立①②③，得a=6，b=0，c=-4.
(15分钟·30分)
1.(5分)设函数f(x)=x m+ax的导函数f′(x)=2x+1，则f(-x)dx的值
等于( )
A.B.C.D.
【解析】选A.因为f′(x)=2x+1，所以m=2，a=1，
即f(x)=x2+x.所以f(-x)dx=(x2-x)dx=x2dx-xdx
=x3-x2=(8-1)-(4-1)=-=.
2.(5分)若f(x)=x2+2f(x)dx，则f(x)dx=( )
A.-1
B.-
C.
D.1
【解题指南】因为f(x)dx是一个常数，所以可根据微积分基本定理构造以f(x)dx为未知数的方程，解之可得.
【解析】选B.设f(x)dx=c，则
c=(x2+2c)dx==+2c，
解得c=-.
3.(5分)函数f(x)=在区间[0，3]上的定积分为
_________.
【解析】由积分性质知f(x)dx
=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx
=x3dx+dx+2x dx
=x3dx+dx+2x dx
=++=+-+-=-++.
答案：-++
【加练·固】
计算：
f(x)=求f(x)dx.
【解析】f(x)dx=sin xdx+1dx+2(x-1)dx
=(-cos x)+x+=1++(4-0)=7-.
4.(5分)已知f(a)=(2ax2-a2x)dx，则f(a)的最大值为_________. 【解析】(2ax2-a2x)dx==a-a2.
即f(a)=a-a2=-+=-+，
所以当a=时，f(a)有最大值.
答案：
5.(10分)求定积分dx的值.
【解析】dx
=dx-9dx+3x ln 3dx
=log3x-9×+3x
=log33-log31+9+33-3=19.
1.已知函数f(x)=max{x，x2}，则f(x)dx=_______.
【解析】如图，可得f(x)=max{x，x2}=
所以f(x)dx=x2dx+xdx+x2dx=.
答案：
2.已知函数f(x)=求函数f(x)在区间[-2，2π]上的定积分.
【解析】由定积分的几何意义知x3dx=0，2xdx==π2-4，
cos xdx=0，所以f(x)dx=x3dx+2xdx+cos xdx=π2-4.
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