高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第1讲函数的图象与性质课时规范练文
高考总复习二轮数学精品课件 专题1 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质
2.函数的性质
(1)奇偶性
这是函数具有奇偶性的重要前提
①定义:若函数的定义域关于原点对称,则有f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|),
f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x).
②判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函
∴(-1+a)ln
1
3=(1+a)ln3,
∴-1+a=-1-a,∴a=0.
此时
2-1
f(x)=xln2+1,易知函数
f(x)的定义域为
-2-1
2+1
2-1
f(-x)=-xln
=-xln
=xln
=f(x),
2+1
-2+1
2-1
∴a=0 符合题意.
1
-∞,- 2
∪
1
,+∞
2
,
方法二:设
B.是奇函数,且在区间(0,+∞)内单调递减
C.是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增
D.是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减
解析 因为函数
1
3
f(x)=x - 3 的定义域为{x|x≠0},其关于原点对称,而
f(-x)=-f(x),所以
函数 f(x)为奇函数.
又因为函数
y=x3 在区间(0,+∞)内单调递增,在区间(-∞,0)内单调递增,而
ln, > 0,
解析 f(x)= 1
2
-2, ≤ 0,
1
2
ln ≤ 0,
-2 ≤ 0,
高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第1讲函数图象与性质及函数与方程课件文
A.a＜b＜c
B.c＜a＜b
C.a＜c＜b
D.c＜b＜a
(2)(2016·广州4月模拟)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝
f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值
等于________.
解析 (1)由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0， 所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23， ∴log25＞|－log23|＞0， ∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)，故选B. (2)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴为x＝1， ∴a＝1，f(x)＝2|x－1|， ∴f(x)的增区间为[1，＋∞)，∵[m，＋∞)⊆[1，＋∞)， ∴m≥1.∴m的最小值为1.
Байду номын сангаас
(3)周期性：常见结论有：①若 y＝f(x)对 x∈R，f(x＋a)＝f(x－ a)或 f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，则 y＝f(x)是周期为 2a 的周期 函数；②若 y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线 x＝a 对称， 则 f(x)是周期为 2|a|的周期函数；③若 y＝f(x)是奇函数，其图象 又关于直线 x＝a 对称，则 f(x)是周期为 4|a|的周期函数； ④若 f(x＋a)＝－f(x)或 f（x＋a）＝f（1x），则 y＝f(x)是周期 为 2|a|的周期函数.
答案 (1)B (2)D
探究提高 (1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把 握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表 达的函数的性质. (2)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函 数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行 分析、推断，才是正确的做法.
2020版高考数学二轮复习教程第二编专题一函数与导数第1讲函数的图象与性质练习理
第1讲函数的图象与性质「考情研析」 1.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决有关函数性质的问题．2。
求函数零点所在的区间、零点的个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选填的形式出现.核心知识回顾1.函数的单调性单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈［a，b]（x1≠x2)，那么（x1－x2）[f（x1)－f（x2）]＞0⇔错误!错误!＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1－x2)[f(x1)－f(x2）］＜0⇔错误!错误!＜0⇔f（x)在［a,b]上是减函数．2．函数的奇偶性、周期性（1）奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x（定义域关于原点对称），都有错误!f(－x)＝－f(x）成立，则f(x）为奇函数(都有错误!f(－x)＝f（x）成立,则f(x）为偶函数）．（2）周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地,对于函数f（x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝错误!f(x）（T≠0）,则f(x）是周期函数，T是它的一个周期．3．关于函数的周期性、对称性的结论（1)函数的周期性①若函数f(x）满足f(x＋a）＝f(x－a），则f(x）为周期函数，错误! 2a是它的一个周期．②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0）对称，则f(x）是周期函数，错误!2a是它的一个周期．③设f（x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a（a≠0）对称，则f(x）是周期函数，错误!4a是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y＝f(x）满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f（x)＝f（2a－x)，则f（x)的图象关于直线错误!x＝a对称．②若函数y＝f（x）满足f(a＋x)＝－f（a－x），即f（x）＝－f(2a－x),则f（x）的图象关于点错误!（a,0)对称．③若函数y＝f（x)满足f（a＋x）＝f（b－x),则函数f（x）的图象关于直线错误!x＝错误!对称．4．函数与方程（1)零点定义：x0为函数f（x）的零点⇔错误!f(x0)＝0⇔（x0，0)为f(x)的图象与x轴的交点．（2)确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法:解方程f(x）＝0。
高考数学理科二轮复习讲义专题一 第1讲 函数与导数 不等式
第1讲 函数图象与性质及函数与方程高考定位 1.高考仍会以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、函数的最值与值域、函数的奇偶性、函数的单调性，或者综合考查函数的相关性质.2.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理、数形结合思想，这是高考考查函数的零点与方程的根的基本方式．真 题 感 悟1．(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1解析 由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点． 答案 A2．(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝1212log 2-＝122log 2×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.答案 C3．(2015·北京卷)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}解析 如图，由图知：f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．答案 C4．(2015·山东卷)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1) 的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．解析 当a ＞1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，方程组无解；当0＜a ＜1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2.∴a ＋b ＝－32.答案 －32考 点 整 合1．函数的性质(1)单调性：证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性；(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )；②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0；③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x －2a )＝f (x )(a ＞0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数；②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数；③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数；④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数．2．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换． 3．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标． (2)零点存在性定理 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点.热点一 函数性质的应用[微题型1] 单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性【例1－1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________． (2)(2015·济南三模)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3(3)设f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，x ＜1，－ax ＋6，x ≥1(a ∈R )的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析(1)f(x)为偶函数，则ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.(2)∵a x＜a y，0＜a＜1，∴x＞y，∴x3＞y3.(3)由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，得f(0)＝f(2)，即2＝－2a＋6，解得a＝2.故选C. 答案(1)1(2)D(3)C探究提高第(3)小题将对称问题转化为点的对称，从而很容易地解决问题，本题也可借助于图象的斜率解决．[微题型2]综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性【例1－2】(1)(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B. 奇函数，且在(0，1)上是减函数C. 偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)(2015·文登模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．解析(1)易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln 1＋x1－x＝ln⎝⎛⎭⎪⎫－1－2x－1，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函数，故选A.(2)∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)＞0，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3.答案(1)A(2)(－1，3)探究提高函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．【训练1】(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．c＜b＜a解析因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数可知，m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25＞|log0.53|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)，故选C.答案 C热点二函数图象与性质的融合问题[微题型1]函数图象的识别【例2－1】(1)(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax＋b（x＋c）2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0 C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0(2)(2014·江西卷)在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是()解析 (1)函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c ＞0，∴c ＜0；令x ＝0，得f (0)＝bc 2，又由图象知f (0)＞0，∴b ＞0；令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－ba ＞0，∴a ＜0.故选C.(2)当a ＝0时，两个函数的解析式分别为y ＝－x ，y ＝x ，故选项D 中的图象是可能的．当a ≠0时，二次函数y ＝ax 2－x ＋a 2的对称轴方程为x ＝12a ，三次函数y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的导数为y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，令y ′＝0，得其极值点为x 1＝13a ，x 2＝1a .由于13a ＜12a ＜1a (a ＞0)，或者13a ＞12a ＞1a (a ＜0)，即三次函数的极值点在二次函数的对称轴两侧，选项A 、C 中的图象有可能，选项B 中的图象不可能． 答案 (1)C (2)B探究提高 识图时，可从图象与x 轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．在探究两个函数的图象位置关系时，要善于根据函数解析式中字母的变化研究函数性质的变化，从而确定两个函数图象的可能位置关系． [微题型2] 函数图象的应用【例2－2】 (1)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 解析 (1)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b ＞a ＞c .选D.(2)设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)在直线y ＝ax －a 的下方，因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，所以当x <－12时，g ′(x )<0，当x >－12时，g ′(x )>0，所以当x ＝－12时，[g (x )]min ＝－2e －12，当x ＝0时，g (0)＝－1，当x ＝1时，g (1)＝e>0，直线y ＝a (x －1)恒过(1，0)，则满足题意的唯一整数x 0＝0， 故－a >g (0)＝－1，且g (－1)＝－3e －1≥－a －a ，解得32e ≤a <1，故选D.答案 (1)D (2)D探究提高 (1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．【训练2】 (2015·泰安诊断)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|＜g （x ），故h (x )有最小值－1，无最大值． 答案 C热点三 以函数零点为背景的函数问题 [微题型1] 函数零点个数的求解【例3－1】 (2015·广东卷)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)． (1)若f (0)≤1，求a 的取值范围； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x 在区间(0，＋∞)内的零点个数．解 (1)f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因为f (0)≤1，所以|a |＋a ≤1，当a ≤0时，|a |＋a ＝－a ＋a ＝0≤1，显然成立； 当a >0时，则有|a |＋a ＝2a ≤1， 所以a ≤12，所以0<a ≤12， 综上所述，a 的取值范围是a ≤12.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（2a －1）x ，x ≥a ，x 2－（2a ＋1）x ＋2a ，x <a .对于u 1＝x 2－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝2a －12＝a －12<a ，开口向上，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；对于u 2＝x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝2a ＋12＝a ＋12>a ，开口向上，所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，综上，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减．(3)由(2)得f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (a )＝a －a 2. (ⅰ)当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥2，x 2－5x ＋4，x <2，令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4x (x >0)，因为f (x )在(0，2)上单调递减，所以f (x )>f (2)＝－2， 而y ＝－4x 在(0，2)上单调递增，y <f (2)＝－2， 所以y ＝f (x )与y ＝－4x 在(0，2)无交点．当x ≥2时，f (x )＝x 2－3x ＝－4x ，即x 3－3x 2＋4＝0，所以x 3－2x 2－x 2＋4＝0，所以(x －2)2(x ＋1)＝0，因为x ≥2，所以x ＝2，即当a ＝2时，f (x )＋4x 有一个零点x ＝2. (ⅱ)当a >2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2，当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a >4，f (a )＝a －a 2，而y ＝－4x 在x ∈(0，a )上单调递增， 当x ＝a 时，y ＝－4a ，下面比较f (a )＝a －a 2与－4a 的大小，因为a －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ＝－（a 3－a 2－4）a＝－（a －2）（a 2＋a ＋2）a <0，所以f (a )＝a －a 2<－4a .结合图象不难得当a >2时，y ＝f (x )与y ＝－4x 有两个交点，综上，当a ＝2时，f (x )＋4x 有一个零点x ＝2；当a >2时，y ＝f (x )与y ＝－4x 有两个零点． 探究提高 在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运用．如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题的第一反应就是转化已知函数为熟悉的函数，再利用数形结合求解． [微题型2] 由函数零点(或方程根)的情况求参数【例3－2】(2015·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 解析 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝（x －2）2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，同理，y 轴左侧也有相同的情况．所以曲线h (x )向上平移74个单位后，y 轴左右各有2个交点，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单位时，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点．选D.答案 D探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 【训练3】 (2015·德州模拟)已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．解析 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根．∵1x ＋2＝m |x |⇔1m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足0＜1m ＜1，故m ＞1. 答案 (1，＋∞)1．解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x 的定义域时，只考虑x ＞0，忽视ln x ≠0的限制．2．函数定义域不同，两个函数不同；对应关系不同，两个函数不同；定义域和值域相同，也不一定是相同的函数．3．如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.4．奇函数在两个对称的区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性． 5．函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用．6．不能准确把握基本初等函数的形式、定义和性质．如讨论指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的单调性时，不讨论底数的取值；忽视a x ＞0的隐含条件；幂函数的性质记忆不准确等． 7．判断函数零点个数的方法有：(1)直接求零点；(2)零点存在性定理；(3)数形结合法． 8．对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.一、选择题1．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋e x B ．y ＝x ＋1x C ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝1＋x 2解析 令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而B ，C ，D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A. 答案 A2．函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，3)解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数． f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212－112＝－1－2＝－3＜0，f (1)＝log 21－11＝0－1＜0， f (2)＝log 22－12＝1－12＝12＞0，f (3)＝log 23－13＞1－13＝23＞0，即f (1)·f (2)＜0， ∴函数f (x )＝log 2x －1x 的零点在区间(1，2)内． 答案 C3．(2014·山东卷)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析 由f (x )＝g (x )，∴|x －2|＋1＝kx ，即|x －2|＝kx －1，所以原题等价于函数y ＝|x －2|与y ＝kx －1的图象有2个不同交点． 如图：∴y ＝kx －1在直线y ＝x －1与y ＝12x －1之间， ∴12＜k ＜1，故选B. 答案 B4．(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)解析 当a ＝2时，f (a )＝f (2)＝22＝4＞1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝2满足题意，排除A ，B 选项；当a ＝23时，f (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×23－1＝1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝23满足题意，排除D 选项，故答案为C. 答案 C5．(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析 当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ，在Rt △P AB 中，|P A |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|P A |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ； 当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan 2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD的中点重合，即x ＝π2时，△P AO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|P A |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.答案 B 二、填空题6．(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．解析 由题意f (x )的图象如图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.答案 (1，2]7．(2015·青州模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析 当x ＞0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时， 函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ， 因为0＜2x ≤20＝1，所以0＜a ≤1， 所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1. 答案 (0，1]8．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对∀x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，给出下列命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－4，4]上有四个零点； ④f (2 014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．解析 令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，解得f (－2)＝0，因为函数f (x )为偶函数，所以f (2)＝0，①正确；因为f (－4＋x )＝f (－4＋x ＋4)＝f (x )，f (－4－x )＝f (－4－x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，所以f (－4＋x )＝f (－4－x )，即x ＝－4是函数f (x )的一条对称轴，②正确；当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，说明函数f (x )在[0，2]上是单调递减函数，又f (2)＝0，因此函数f (x )在[0，2]上只有一个零点，由偶函数知函数f (x )在[－2，0]上也只有一个零点，由f (x ＋4)＝f (x )，知函数的周期为4，所以函数f (x )在(2，4]与[－4，－2)上也单调，因此，函数在[－4，4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (2 014)＝0，④正确． 答案 ①②④ 三、解答题9．定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时，f (x )＝14x －a2x (a ∈R )． (1)写出f (x )在[0，1]上的解析式； (2)求f (x )在[0，1]上的最大值．解 (1)∵f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数， ∴f (0)＝0，∴a ＝1，∴当x ∈[－1，0]时，f (x )＝14x －12x . 设x ∈[0，1]，则－x ∈[－1，0]， ∴f (－x )＝14－x －12－x ＝4x －2x ， ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2x －4x . ∴f (x )在[0，1]上的解析式为f (x )＝2x －4x . (2)f (x )＝2x －4x ，x ∈[0，1]，令t ＝2x，t ∈[1，2]，g (t )＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，∴g (t )在[1，2]上是减函数，∴g (t )max ＝g (1)＝0，即x ＝0，f (x )max ＝0.10．(2015·太原模拟)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－2m x 在[2，4]上单调，求m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a ＞0时，f (x )在[2，3]上为增函数， 故⎩⎨⎧f （3）＝5，f （2）＝2⇒⎩⎨⎧9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0. ②当a ＜0时，f (x )在[2，3]上为减函数，故⎩⎨⎧f （3）＝2，f （2）＝5⇒⎩⎨⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3. 故⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2， g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2.若g (x )在[2，4]上单调，则2＋2m 2≤2或2m ＋22≥4， ∴2m ≤2或2m ≥6，即m ≤1或m ≥log 26. 故m 的取值范围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞)．11．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0)．(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)∵x ＞0，∴g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有实根．故m ∈[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2. 故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．。
高考数学(理)二轮 二轮课时专题专题四 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质 Word版含答案
第1讲函数的图象与性质【课前热身】第1讲函数的图象与性质(本讲对应学生用书第31~32页)1.(必修1 P28例6改编)画出函数f(x)=x2+1的图象，若0<x1<x2，则f(x1)f(x2). 【答案】<【解析】作出函数图象，不难得出结论.2.(必修1 P25复习题3改编)已知函数f(x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}，则函数f(x)的值域为.【答案】{1，2，5}【解析】分别代入，即可求得.3.(必修1 P40练习2改编)已知函数f(x)=|x+1|，则函数f(x)的单调增区间为. 【答案】[-1，+∞)4.(必修1 P45思考11改编)已知函数y=f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=1，则函数y=f(x)的解析式为.【答案】f(x)=10 00 -10xxx>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，【解析】由于y=f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0.当x<0时，-x>0，所以f(-x)=1=-f(x)，即f(x)=-1，所以f(x)=10 00 -10.xxx>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，5.(必修1 P53拓展15改编)若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则函数f(x)是函数.(填“奇”或“偶”)【答案】奇【解析】令x=y=0，得f(0)=0，再令y=-x，得f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数. 【课堂导学】基本初等函数的图象与性质例1(1)已知y=log a(2-ax)在[0，1]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是.(2)(2016·通州中学)若存在正数x使得2x(x-a)<1成立，则实数a的取值范围是.(3)(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为.【答案】(1)(1，2)(2)(-1，+∞)(3)c<a<b【解析】(1)令u=2-ax，因为a>0，所以u=-ax+2为减函数.又y=log a u在[0，1]上是x的减函数，根据复合函数“同增异减”的法则，可知a>1.又u>0在[0，1]上恒成立，故u(1)=2-a>0⇒a<2，所以1<a<2.(2)因为2x>0，所以由2x(x-a)<1得x-a<12x=2-x，在平面直角坐标系中，作出函数f(x)=x-a，g(x)=2-x的图象如图所示.(例1(2))当x>0时，g(x)=2-x<1，所以如果存在x>0，使2x(x-a)<1，则有-a<1，即a>-1.(3)因为函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数，所以m=0，即f(x)=2|x|-1，所以a=f(log0.53)=f21log3⎛⎫⎪⎝⎭=21log32-1=2log32-1=3-1=2，b=f(log25)=2log52-1=4，c=f(2m)=f(0)=20-1=0，所以c<a<b.变式1(1)(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)已知函数f(x)=log a(x+b)(a>0且a≠1，b∈R)的图象如图(1)所示，则a+b的值是.(2)(2016·常州一中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo12ga)≤2f(1)，则a的取值范围是.(3)(2016·金陵中学)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-4x，那么不等式f(x+2)<5的解集是.(变式1(1))【答案】(1)92(2)122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(3)(-7，3)【解析】(1)由图象可知，函数图象过点(-3，0)，(0，-2)，所以0log(-3) -2logaabb=+⎧⎨=⎩，，解得124 ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，，故a+b=92.(2)根据对数的运算性质和函数的奇偶性可知f(lo12ga)=f(-log2a)=f(log2a)，因此f(log2a)+f(lo12ga)≤2f(1)可化为f(log2a)≤f(1).又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，故|log2a|≤1，解得12≤a≤2.(3)设x<0，则-x>0.当x≥0时，f(x)=x2-4x，所以f(-x)=(-x)2-4(-x).因为f(x)是定义在R上的偶函数，得f(-x)=f(x)，所以f(x)=x2+4x(x<0)，故f(x)=22-4040.x x xx x x⎧≥⎨+<⎩，，，由f(x)=5，得2-45x xx⎧=⎨≥⎩，或245x xx⎧+=⎨<⎩，，解得x=5或x=-5.(变式1(3))观察图象可知由f(x)<5，得-5<x<5.所以由f(x+2)<5，得-5<x+2<5，所以-7<x<3.故不等式f(x+2)<5的解集是{x|-7<x<3}.变式2(2016·海门中学)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(-∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a+1]，总有|f (x 1)-f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围.【解答】(1)因为f (x )=(x-a )2+5-a 2(a>1)， 所以f (x )在[1，a ]上是减函数. 又定义域和值域均为[1，a ]，所以(1)()1f a f a =⎧⎨=⎩，，即221-25-251a a a a +=⎧⎨+=⎩，，解得a=2.(2)因为f (x )在区间(-∞，2]上是减函数，所以a ≥2. 又x=a ∈[1，a+1]，且(a+1)-a ≤a-1， 所以f (x )max =f (1)=6-2a ，f (x )min =f (a )=5-a 2.因为对任意的x 1，x 2∈[1，a+1]，总有|f (x 1)-f (x 2)|≤4， 所以f (x )max -f (x )min ≤4，得-1≤a ≤3.又a ≥2， 所以2≤a ≤3.所以实数a 的取值范围为[2，3].函数图象的识别与应用例2 (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x )，若函数y=1x x+与y=f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则1mi ∑=(x i +y i )= .【点拨】注意函数关于点(0，1)对称. 【答案】m【解析】由f (-x )=2-f (x )，得f (x )的图象关于点(0，1)对称.因为y=1x x +=1+1x 的图象也关于点(0，1)对称，所以两函数图象的交点必关于点(0，1)对称，且对于每一组对称点(x i ，y i )和(x'i ，y'i )均满足x i +x'i =0，y i +y'i =2，所以1mi ∑=(x i +y i )=1mi ∑=x i +1mi ∑=y i=0+2·2m=m.变式 (2016·扬州期末)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=12(|x-a|+|x-2a|-3|a|).若集合{x|f (x-1)-f (x )>0，x ∈R }=∅，则实数a 的取值范围为 .(变式)【答案】1-6∞⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【解析】当a ≤0时，由x ≥0得f (x )=12(x-a+x-2a+3a )=x ，因为f (x )是奇函数，所以f (x )=x ，此时f (x-1)=x-1，f (x-1)-f (x )=-1>0无解，满足题意；当a>0时，当x ≥0时，f (x )=-32-2-0x a x a a a x a x x a ≥⎧⎪<<⎨⎪≤≤⎩，，，，，，根据f (x )是奇函数，从而作出f (x )的图象如图所示，要使{x|f (x-1)-f (x )>0，x ∈R }=∅，则至少要将f (x )的图象向右平移6a 个单位，故0<6a ≤1，此时0<a ≤16.综上，实数a 的取值范围是1-6∞⎛⎤ ⎥⎝⎦，.函数的零点问题例3 (2015·海门中学)设函数f (x )在(-∞，+∞)上满足f (2-x )=f (2+x )，f (7-x )=f (7+x )，且在闭区间[0，7]上只有f (1)=f (3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 015，2 015]上的根的个数，并证明你的结论.【解答】(1)因为f(1)=0，且f(x)在[0，7]上只有f(1)=f(3)=0，又因为f(2-x)=f(2+x)，令x=-3，得f(-1)=f(5)≠0，所以f(-1)≠f(1)，且f(-1)≠-f(1).所以f(x)是非奇非偶函数.(2)f(10+x)=f(2+8+x)=f(2-(8+x))=f(-6-x)=f(7-(13+x))=f(7+13+x)=f(20+x)，所以f(x)是以10为周期的周期函数.又由f(x)的图象关于直线x=7对称知，f(x)=0在(0，10]上有两个根，则f(x)=0在(0，2 015]上有202×2=404个根；在[-2 015，0]上有201×2=402个根.因此，方程f(x)=0在闭区间[-2 015，2 015]上共有806个根.变式(2015·天津卷)已知函数f(x)=22-||2(-2)2x xx x≤⎧⎨>⎩，，，，函数g(x)=b-f(2-x)，其中b∈R，若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是.【答案】72 4⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由f(x)=22-||2(-2)2x xx x≤⎧⎨>⎩，，，，得f(2-x)=22-|2-|0x xx x≥⎧⎨<⎩，，，，所以y=f(x)+f(2-x)=222-||04-||-|2-|022-|2-|(-2)2x x xx x xx x x⎧+<⎪≤≤⎨⎪+>⎩，，，，，，即y=f(x)+f(2-x)=2220 202-58 2. x x xxx x x⎧++<⎪≤≤⎨⎪+>⎩，，，，，y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b，所以y=f(x)-g(x)恰有4个零点等价于方程f(x)+f(2-x)-b=0有4个不同的解，即函数y=b与函数y=f(x)+f(2-x)的图象有4个公共点，作出函数图象如图所示，由图象可知74<b<2.(变式)【课堂评价】1.(2016·苏州期末)函数f (x )=220-10x x x x ⎧≤⎨+>⎩，，，的值域为.【答案】(-∞，1]【解析】如图，分段画出f (x )的图象即可看出函数的值域为(-∞，1].(第1题)2.(2016·四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f (x )=4x ，则f 5-2⎛⎫⎪⎝⎭+f (1)= . 【答案】-2【解析】因为f(x)是周期为2的函数，所以f(x)=f(x+2).因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)，所以f(1)=f(-1)，f(1)=-f(-1)，即f(1)=0.又f5 -2⎛⎫ ⎪⎝⎭=f1-2⎛⎫⎪⎝⎭=-f12⎛⎫⎪⎝⎭，f12⎛⎫⎪⎝⎭=124=2，所以f5-2⎛⎫⎪⎝⎭=-2，从而f5-2⎛⎫⎪⎝⎭+f(1)=-2.3.(2016·北京卷)设函数f(x)=3-3-2.x x x ax x a⎧≤⎨>⎩，，，①若a=0，则f(x)的最大值为；②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是.【答案】①2②(-∞，-1)【解析】由(x3-3x)'=3x2-3=0，得x=±1，作出函数y=x3-3x和y=-2x的图象如图所示.①当a=0时，由图象可得f(x)的最大值为f(-1)=2.②由图象可知当a≥-1时，函数f(x)有最大值；当a<-1时，y=-2x在x>a时无最大值，且-2a>a3-3a，所以a<-1.(第3题)4.(2016·苏锡常镇调研(二))已知函数f(x)=x3+2x，若f(1)+f(lo1ga3)>0(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是.【答案】(0，1)∪(3，+∞)【解析】由函数f(x)的解析式易知该函数为奇函数且在定义域R上是单调增函数，故f(1)+f(lo1ga3)>0，即f(lo1ga3)>-f(1)=f(-1)，即lo1ga3>-1=lo1ga a，所以113aa⎧>⎪⎨⎪>⎩，或1013aa⎧<<⎪⎨⎪<⎩，，解得0<a<1或a>3.5.(2015·苏锡常镇二模)已知函数f(x)=|x3-4x|+ax-2恰有两个零点，那么实数a的取值范围为.(第5题)【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞)【解析】令f(x)=0，即|x3-4x|=2-ax.作出函数y=|x3-4x|与y=2-ax的图象如图所示.由题意知两个函数图象有且仅有两个公共点，数形结合，当直线y=2-ax过点(-2，0)时，a=-1，直线为y=2+x，与y=x3-4x联立，解得x=-2，1±2，说明两图象有三个交点，不合题意，所以-a>1，即a<-1.根据图象左右对称的性质知a>1也满足题意，所以a的取值范围为(-∞，-1)∪(1，+∞).温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第15~16页.【检测与评估】专题四 函数与导数第1讲 函数的图象与性质一、 填空题1.(2016·南京一中)若函数f (x )=(m 2-m-1)2-2-1mm x是幂函数，且在x ∈(0，+∞)上是减函数，则实数m= .2.(2015·苏州调研)已知函数y=log 2-1a x x +为奇函数，则实数a 的值为 .3.(2015·南师附中)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+4)=f (x )，且在[0，2]上，f (x )=(1-)01sin π12x x x x x ≤≤⎧⎨<≤⎩，，，，那么f 294⎛⎫ ⎪⎝⎭+f 416⎛⎫⎪⎝⎭= .4.(2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R ，当x<0时，f (x )=x 3-1；当-1≤x ≤1时，f (-x )=-f (x )；当x>12时，f 12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=f 1-2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则f (6)= .5.(2016·天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a-1|)>f (，则a 的取值范围是 .6.(2016·苏北四市期末)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )=log 2(2+x )+(a-1)x+b (a ，b 为常数).若f (2)=-1，则f (-6)的值为 .7.(2016·江苏信息卷)设偶函数f (x )满足f (x )=3x -9(x ≥0)，若f (x-1)<0，则x 的取值范围是 .8.(2015·苏州期末)已知函数f (x )=244-3.x m x x x m ≥⎧⎨+<⎩，，，若函数g (x )=f (x )-2x 恰有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .二、 解答题9.(2016·海安中学)已知函数y=f (x )在定义域[-1，1]上既是奇函数又是减函数. (1)求证：对任意x 1，x 2∈[-1，1]，有[f (x 1)+f (x 2)]·(x 1+x 2)≤0； (2)若f (1-a )+f (1-a 2)<0，求实数a 的取值范围.10.(2016·苏州中学)已知函数f (x )=ax 2+bx (a ，b 为常数，且a ≠0)满足条件f (1-x )=f (1+x )，且函数g (x )=f (x )-x 只有一个零点. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求实数m ，n (m<n )，使得f (x )的定义域为[m ，n ]时，f (x )的取值范围是[3m ，3n ].11.(2016·启东检测)已知函数f (x )=x 2-1，g (x )=a|x-1|.(1)若当x ∈R 时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求函数h (x )=|f (x )|+g (x )在区间[-2，2]上的最大值.【检测与评估答案】专题四函数与导数第1讲函数的图象与性质一、填空题1. 2【解析】由题设条件及幂函数的定义知22--11-2-10m mm m⎧=⎨<⎩， ①， ②由①解得m=2或m=-1，代入②验证知m=-1不合题意，故m=2.2. 1【解析】方法一：由f(0)=0，得log2a=0，所以a=1，经检验符合题意.方法二：由f(x)是奇函数，得f(x)=-f(-x)，log2-1a xx+=-log21-a xx+，所以-1a xx+=1-xa x+，所以a2=1.因为a≠-1，所以a=1.3.516【解析】由f(x+4)=f(x)，可得函数的周期是4，所以f294⎛⎫⎪⎝⎭=f38-4⎛⎫⎪⎝⎭=f3-4⎛⎫⎪⎝⎭.因为f(x)是奇函数，所以f3-4⎛⎫⎪⎝⎭=-f34⎛⎫⎪⎝⎭=-34×14=-316，f416⎛⎫⎪⎝⎭=f78-6⎛⎫⎪⎝⎭=f7-6⎛⎫⎪⎝⎭=-f76⎛⎫⎪⎝⎭=-sin7π6=sinπ6=12，所以f294⎛⎫⎪⎝⎭+f416⎛⎫⎪⎝⎭=12-316=516.4. 2【解析】因为当x>12时，f12x⎛⎫+⎪⎝⎭=f1-2x⎛⎫⎪⎝⎭，所以f(x)的周期为1，则f(6)=f(1).因为当-1≤x≤1时，f(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-1).又当x<0时，f(x)=x3-1，所以f(-1)=(-1)3-1=-2，所以f(6)=-f(-1)=2.5.13 22⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由f(x)是偶函数，且f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，得f(x)在区间(0，+∞)上单调递减.又f(2|a-1|)>f(-2)，f(-2)=f(2)，所以2|a-1|<2，即|a-1|<12，所以12<a<32.6. 4【解析】由题意得f(0)=0，所以log22+b=0，所以b=-1，f(x)=log2(2+x)+(a-1)x-1，又因为f(2)=-1，所以log2(2+2)+2(a-1)-1=-1，解得a=0，f(x)=log2(2+x)-x-1，f(-6)=-f(6)=-[log2(2+6)-6-1]=4.7. (-1，3)【解析】方法一：偶函数f(x)在[0，+∞)上是单调增函数，且f(2)=0，所以由f(x-1)<0，得f(|x-1|)<f(2)，即|x-1|<2，解得x∈(-1，3).方法二：根据题意，当x≥0时，f(x)=3x-9，令f(x)=3x-9<0，解得0≤x<2.又因为f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，所以不等式f(x)<0在x∈R的解集为(-2，2)，因此不等式f(x-1)<0等价为x-1∈(-2，2)，解得x∈(-1，3).8. (1，2]【解析】方法一：问题转化为g(x)=0，即方程f(x)=2x有3个不同的解，即24-32x mx x x<⎧⎨+=⎩，或42x mx≥⎧⎨=⎩，，解得1x mx<⎧⎨=⎩，或-3x mx<⎧⎨=⎩，或 2.x mx≥⎧⎨=⎩，因为方程f(x)=2x有3个不同的解，所以21-3mmm≥⎧⎪<⎨⎪<⎩，，，解得1<m≤2.(第8题)方法二：由题意知函数g(x)=24-22-3x x mx x x m≥⎧⎨+<⎩，，，，画出函数y=4-2x和y=x2+2x-3的图象如图所示，可知函数g(x)的三个零点为-3，1，2，因此可判断m在1与2之间.当m=1时，图象不含点(1，0)，不合题意；当m=2时，图象包含点(2，0)，符合题意，所以1<m≤2.二、解答题9. (1) 若x1+x2=0，显然不等式成立.若x1+x2<0，则-1≤x1<-x2≤1，因为f(x)在[-1，1]上是减函数且为奇函数，所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2)，所以f(x1)+f(x2)>0，所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.若x1+x2>0，则1≥x1>-x2≥-1，同理可证f(x1)+f(x2)<0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.综上，对任意x1，x2∈[-1，1]，有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0恒成立.(2) 因为f(1-a)+f(1-a2)<0，所以f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1)，由f(x)在定义域[-1，1]上是减函数，得22-11-1-1-111--1aaa a⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪>⎩，，，即220202-20aaa a⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪+<⎩，，，解得0≤a<1.故所求实数a的取值范围是[0，1).10. (1) 因为二次函数f(x)=ax2+bx满足条件f(1-x)=f(1+x)，所以函数f(x)图象的对称轴是直线x=1，所以-2ba=1，即b=-2a.因为函数g(x)=f(x)-x只有一个零点，即ax2-(2a+1)x=0有相等的实数根，所以Δ=(2a+1)2=0，即a=-12，b=1.所以f(x)=-12x2+x.(2) ①当m<n<1时，f(x)在[m，n]上单调递增，f(m)=3m，f(n)=3n，所以m，n是-12x2+x=3x的两个根，解得m=-4，n=0.②当m≤1≤n时，3m=12，m=16，3n=-12n2+n，解得n=0或-14，不符合题意.③当1<m<n时，f(x)在[m，n]上单调递减，所以f(m)=3n，f(n)=3m，即-12m2+m=3n，-12n2+n=3m.相减得-12(m2-n2)+(m-n)=3(n-m).因为m≠n，所以-12(m+n)+1=-3，所以m+n=8.将n=8-m代入-12m2+m=3n，得-12m2+m=3(8-m)，但此方程无解.综上，满足条件的m=-4，n=0.11. (1) 不等式f(x)≥g(x)对x∈R恒成立，即x2-1≥a|x-1|(*)对x∈R恒成立.①当x=1时，(*)式显然成立，此时a∈R.②当x ≠1时，(*)式可变形为a ≤2-1|-1|x x ， 令φ(x )=2-1|-1|x x =11-(1)1x x x x +>⎧⎨+<⎩，，，，因为当x>1时，φ(x )>2，当x<1时，φ(x )>-2， 所以φ(x )>-2，故此时a ≤-2.综合①②知所求实数a 的取值范围是{a|a ≤-2}.(2) 因为h (x )=|f (x )|+g (x )=|x 2-1|+a|x-1|=222--11--1-11--1-1.x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+≥⎪++≤<⎨⎪+<⎩，，，，，①当2a>1，即a>2时，结合图形可知h (x )在[-2，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，且h (-2)=3a+3，h (2)=a+3，经比较，此时h (x )在[-2，2]上的最大值为3a+3.②当0≤2a ≤1，即0≤a ≤2时，结合图形可知h (x )在[-2，-1]，-12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在-1-2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(1，2]上单调递增，且h (-2)=3a+3，h (2)=a+3，h -2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a +a+1， 经比较，知此时h (x )在[-2，2]上的最大值为3a+3.③当-1≤2a <0，即-2≤a<0时，结合图形可知h (x )在[-2，-1]，-12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在-1-2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(1，2]上单调递增，且h (-2)=3a+3，h (2)=a+3，h -2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a +a+1， 经比较，知此时h (x )在[-2，2]上的最大值为a+3.④当-32≤2a <-1，即-3≤a<-2时，结合图形可知h (x )在-22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，1-2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-22a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增，且h (-2)=3a+3<0，h (1)=0，h (2)=a+3≥0， 经比较，知此时h (x )在[-2，2]上的最大值为a+3.⑤当2a <-32，即a<-3时，结合图形可知h (x )在-22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，1-2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-22a ⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增，h (-2)=3a+3<0，h (2)=a+3<0，h (1)=0，故此时h (x )在[-2，2]上的最大值为h (1)=0.综上所述，当a ≥0时，h (x )在[-2，2]上的最大值为3a+3； 当-3≤a<0时，h (x )在[-2，2]上的最大值为a+3； 当a<-3时，h (x )在[-2，2]上的最大值为0.。
高考数学二轮复习 专题一 函数与导数、不等式 第1讲 函数图象与性质及函数与方程训练 文(2021
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专题一函数与导数、不等式第1讲函数图象与性质及函数与方程训练文一、选择题1。
(2016·沈阳模拟）下列函数中，既是奇函数，又在区间（－1，1)上单调递减的函数是（) A。
f(x）＝sin x B.f(x)＝2cos x＋1C.f（x)＝2x－1D.f(x)＝ln 错误!解析由函数f（x)为奇函数排除B、C，又f（x)＝sin x在(－1，1)上单调递增，排除A，故选D。
答案D2。
（2015·全国Ⅱ卷）设函数f(x)＝错误!则f（－2)＋f(log212)＝( )A.3 B。
6 C.9 D。
12解析因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f（－2）＝1＋log2［2－（－2）]＝1＋log24＝3，f（log212）＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×错误!＝6，故f（－2）＋f（log212)＝3＋6＝9，故选C。
答案C3。
（2016·浙江卷）函数y＝sin x2的图象是( )解析∵y＝sin x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、C。
高考数学文科二轮复习专题一函数与导数不等式第1讲函数的图象与性质课时规范练
第 1 讲函数的图象与性质一、选择题1－3x的定义域为 () 1． (2017 清·远一中模拟 )函数 f(x) ＝x－1A．(－∞，0] B ． [0， 1] ∪[1，＋∞) C．[1，＋∞ ) D ．(1，＋∞)分析：由题意知1－ 3x≥ 0，解得 x≤0且 x≠1，即 x≤0. x≠ 1，答案： A2． (2017 湖·南衡阳联考 )已知函数 g(x) 的定义域为 {x|x ≠ 0} ，且 g(x) ≠0，设 p：函数 f(x)＝g(x) ·1x－1是偶函数； q：函数 g(x) 是奇函数，则 p 是 q 的 ()( 导学号 55410092)1－22A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件1 1分析：令 h(x) ＝1－2x－2(x ≠ 0)，易知 h(x) ＋ h(－x) ＝0所以 h(x) 为奇函数， g(x) 为奇函数，则 f(x) 为偶函数．反过来，结论也建立．所以 p 是 q 的充要条件．答案： C13． (2015 浙·江卷 )函数 f(x) ＝x－ x sin x 的大概图象为 ()11分析：函数 y1＝x－x 与 y2＝ sin x 为奇函数，可得函数f(x) ＝x－ x sin x 为偶函数，因此清除 C， D.ππ又当 x＝2时， y1＜ 0， y2＞ 0， f2＜0，所以 B 正确．答案： B4． (2017 北·京卷 )已知函数 f(x) ＝3x－1x)，则 f(x)(3A ．是奇函数，且在R 上是增函数B．是偶函数，且在R 上是增函数C．是奇函数，且在R 上是减函数D．是偶函数，且在R 上是减函数分析： f(x) 的定义域为R， f(－ x)＝ 3－x－ 3x＝－ f(x) ，则 f(x) 为奇函数．y＝3x为增函数， y＝1xf(x) ＝x－1x为减函数，则33为增函数．3答案： A|x －m|为实数 )为偶函数，记a＝ f(log 0.53)， b＝5．已知定义在 R 上的函数 f(x) ＝ 2－ 1(mf(log 25)， c＝ f(2m) ，则 a， b， c 的大小关系为 ()A ． a＜ b＜ cB ． a＜ c＜ bC．c＜ a＜ b D ．c＜ b＜ a分析：由 f(x) ＝2|x－m|－ 1 是偶函数可知m＝ 0，所以 f(x) ＝ 2|x|－ 1.所以 a＝f(log 0.53)＝ 2|log0.53|－ 1＝2log 23－1＝ 2，b＝ f(log 25)＝ 2|log25|－ 1＝ 2log 2 5－ 1＝ 4，c＝ f(0) ＝ 2|0|－ 1＝ 0，所以 c＜ a＜b.答案： C二、填空题6． (2017 全·国卷Ⅱ改编 )函数 f(x) ＝ln(x2－ 2x－ 8)的单一增区间是 ________．分析：要使函数存心义，则x2－ 2x－8＞ 0，解得 x＜－ 2 或 x＞4，联合二次函数的单一性、对数函数的单一性和复合函数同增异减的原则可得函数的单一增区间为(4，＋∞)．答案： (4，＋∞)7．(2016 ·川卷四 )已知函数f(x) 是定义在R 上的周期为 2 的奇函数，当 0＜ x＜ 1 时，f(x)＝4x，则 f －52＋ f(1) ＝ ________． (导学号 55410093)分析：因为 f(x) 是周期为 2 的奇函数，所以 f(1) ＝ f( － 1)＝－ f(1) ，即 f(1)＝ 0，又 f －5＝ f －1＝－ f1＝－412222＝－ 2，进而 f －5＋ f(1) ＝－ 2. 2答案：－ 28．(2017 郴·州二模 )已知函数 f(x) 是奇函数，当 x＞ 0 时，f(x) ＝a x(a＞ 0 且 a≠ 1)，且 f(log 12 4)＝－ 3，则 a 的值为 _______ _．分析：因为奇函数 f(x) 知足 f(log4)＝－ 3， log 4＝－ 2＜ 0，所以 f(2) ＝ 3，1122又因为当 x＞ 0 时， f(x )＝ a x(a＞ 0 且 a≠1)， 2＞ 0，2答案：3三、解答题9．已知函数f(x) ＝ a x＋ b(a＞ 0， a≠1) ．图①图②(1)若 f(x) 的图象如图①所示，求a、 b 的值；(2)若 f(x) 的图象如图②所示，求a、 b 的取值范围；(3)在 (1) 中，若 |f(x)| ＝ m 有且仅有一个实数解，务实数m 的取值范围．解： (1)f(x) 的图象过点 (2， 0)， (0，－ 2)，a2＋ b＝ 0，解得 a＝ 3， b＝－ 3.所以a0＋ b＝－ 2，(2)因为 f(x) 单一递减，所以 0＜ a＜ 1，又 f(0) ＜ 0，即 a0＋ b＜ 0，所以 b＜－ 1.即 a 的取值范围是 (0， 1)， b 的取值范围是(－∞，－ 1)．(3)画出 y＝ |f(x)| 的草图 (图略 )，知当 m＝ 0 或 m≥3时， |f(x)| ＝ m 有且仅有一个实数解．所以实数 m 的取值范围是{0} ∪ [3，＋∞)2 10． (2017 深·圳中学调研 )已知函数f(x) ＝ a－2x＋1.(1)求 f(0) ；(2)研究 f(x) 的单一性，并证明你的结论；(3)若 f(x) 为奇函数，求知足f(ax) ＜ f(2) 的 x 的范围．2解： (1)f(0) ＝a－20＋1＝ a－1.(2)因为 f(x) 的定义域为 R，所以任取 x1， x2∈ R 且 x1＜ x2，则 f(x 1)－f(x 2)＝ a－2－ a＋2＝2x1＋ 12x2＋ 12·（ 2x1－ 2x2）（ 1＋ 2x1）（ 1＋ 2x2）.因为 y＝ 2x在 R 上单一递加且x1＜x2，所以 0＜ 2x1＜ 2x2，所以 2x1－2x2＜ 0， 2x1＋1＞ 0， 2x2＋ 1＞ 0.所以 f(x 1)－ f(x 2)＜ 0，即 f(x 1)＜f(x 2)，所以 f(x) 在 R 上单一递加．(3)因为 f(x) 是奇函数，所以 f( － x)＝－ f(x) ，即 a－2＝－ a＋x2，－x＋ 122＋ 1解得 a＝1(或用 f(0) ＝0 去解 )．所以 f(ax) ＜ f(2 )即为 f(x) ＜f(2) ，又因为 f(x) 在 R 上单一递增，所以 x＜ 2.所以不等式的解集为(－∞， 2)．3，x≥ 1，11．已知函数 f(x) ＝aln x＋ x＋x a∈ R.x3＋ ax2＋ 2x－ 2， x＜ 1(1)若 a＝－ 2，求函数 f(x) 的单一区间；(2)若函数 f(x) 在区间 (0，2)上单调递加，务实数 a 的取值范围．3 － 23 x 2－ 2x － 3解： (1)当 x ≥1时， f(x) ＝－ 2ln x ＋x ＋ x ， f ′ (x) ＝ x ＋ 1－ x 2 ＝x 2，由 f ′ (x)＞0，得 x ＞ 3；由 f ′(x)＜ 0 得 1＜ x ＜ 3，x ＜ 1 时， f(x) ＝x 3－2x 2＋ 2x － 2， f ′ (x)＝ 3x 2－ 4x ＋ 2＝ 3 x －2 23＋2＞ 0，3综上所述，函数 f(x) 的单增区间为 (－ ∞， 1)， (3，＋ ∞)，单减区间为 (1， 3)．3 a3 x 2＋ ax － 3(2)当 1＜ x ＜ 2 时， f(x) ＝ aln x ＋ x ＋x ， f ′ (x) ＝x ＋ 1－ x 2＝x 2≥ 0 恒建立，则－ a ≤x－ 3在区间 (1，2)上恒成 立，而函数 y ＝ x － 3在区间 (1，2)上单一递加， 所以－ a ≤xx－ 2，即 a ≥2；当 0＜x ＜ 1 时， f(x) ＝ x 3＋ ax 2＋ 2x － 2，f ′ (x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋ 2≥0恒建立，226则－ 2a ≤3x ＋ x 在区间 (0，1)上恒建立， 而 x ∈(0，1)时 3x ＋ x ≥ 2 6，等号当且仅当 x ＝ 3 时建立，所以－ 2a ≤26，即 a ≥－ 6，a ≥2，因为 f(x) 在区间 (0，2)上单一递加，故a ≥－ 6，1＋ a ＋ 2－ 2≤1＋ 3，解得 2≤a ≤3，所以所务实数 a 的取值范围是 [2， 3]．。
18届高考数学二轮复习第一部分专题二函数、不等式、导数1.2.1函数的图象与性质限时规范训练理
18届高考数学二轮复习第一部分专题二函数、不等式、导数1.2.1函数的图象与性质限时规范训练理D义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.2．设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意，x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2 017)＝( )A．0 B．1C．2 016 D．2 018解析：选D.令x＝y＝0，则f(1)＝f(0)f(0)－f(0)＋2＝1×1－1＋2＝2，令y＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2 017)＝2 018.故选D.3．若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，则f(x)的解析式可以是( )A．f(x)＝(x－1)2B．f(x)＝e xC．f(x)＝1 xD．f(x)＝ln(x＋1)解析：选C.根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．对于A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A；对于B，f(x)＝e x在(0，＋∞)上单调递增，排除B；对于C，f(x)＝1x在(0，＋∞)上单调递减，C正确；对于D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.4．已知函数f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，则( ) A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)解析：选B.因为f(x)＝2x＋1，所以f(x－1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是( )A ．[－1,2 017]B ．[－1,1)∪(1,2 017]C ．[0,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B.要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]，所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎨⎧－1≤x ≤2 017x －1≠0，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 6．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝x 3＋3x 2B ．y ＝e x＋e－x2C ．y ＝x sin xD ．y ＝log 23－x3＋x解析：选D.依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3＋3x 2不是奇函数．对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e －x2不是奇函数．对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π2，因此函数y ＝x sin x 不是奇函数．对于选项D ，由3－x3＋x＞0得－3＜x ＜3，即函数y ＝log 23－x3＋x的定义域是(－3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log 23－－x 3＋－x＋log 23－x 3＋x ＝log 21＝0，即log 23－－x 3＋－x＝－log 23－x 3＋x，因此函数y ＝log 23－x3＋x 是奇函数．综上所述，选D.7．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( )A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数 解析：选B.因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x 2减小，ln(1－x 2)减小，即f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.8．若关于x 的不等式4ax －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝⎛⎦⎥⎤0，12C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选B.不等式4a x －1＜3x －4等价于a x －1＜34x －1. 令f (x )＝ax －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.9．已知函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图所示，那么函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )解析：选C.由三角函数的图象可得a ＞1，且最小正周期T ＝2πb＜π，所以b ＞2，则y ＝log b (x－a )是增函数，排除A 和B ；当x ＝2时，y ＝log b (2－a)＜0，排除D，故选C.10．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若a＝f(20.3)，b＝f(log124)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b解析：选B.函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，∴f(x)在[0，＋∞)为增函数，∵b＝f(log124)＝f(－2)＝f(2)，1＜20.3＜2＜log25，∴c＞b＞a，故选B.11．已知函数f(x)＝x－4＋9x＋1，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b |的图象为()解析：选A.∵x ∈(0,4)，∴x ＋1＞1， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29x ＋1·x ＋1－5＝1，当且仅当x ＝2时取等号，此时函数f (x )有最小值1.∴a ＝2，b ＝1，∴g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ＜－1，此函数可以看成由函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0的图象向左平移1个单位得到，结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.12．若函数f(x)＝1＋2x＋12x＋1＋sin x在区间[－k，k](k＞0)上的值域为[m，n]，则m＋n的值是( )A．0 B．1C．2 D．4解析：选D.∵f(x)＝1＋2·2x2x＋1＋sin x＝1＋2·2x＋1－12x＋1＋sin x＝2＋1－22x＋1＋sin x＝2＋2x－12x＋1＋sin x.记g(x)＝2x－12x＋1＋sin x，则f(x)＝g(x)＋2，易知g(x)为奇函数，g(x)在[－k，k]上的最大值a与最小值b互为相反数，∴a ＋b ＝0，故m ＋n ＝4.(a ＋2)＋(b ＋2)＝a ＋b ＋4＝4.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－22＝________.解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 222－1＝32.答案：3214．若函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ， x ＞2，－x 2＋2x －2， x ≤2(a ＞0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1，f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1， 又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x ＞2时， log a x ≤－1，故0＜a ＜1，且log a 2≤－1，∴12≤a ＜1，故答案为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，115．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )图象的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1＜x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，则f (2 015)、f (2 016)、f (2017)从大到小的顺序为______________．解析：由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )的周期是4，所以f (2 015)＝f (3)，f (2 016)＝f (0)，f (2 017)＝f (1)．因为直线x ＝1是函数f (x )图象的一条对称轴，所以f (0)＝f (2)．由1≤x 1＜x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，可知当1≤x ≤3时，函数f (x )单调递减，所以f (1)＞f (2)＞f (3)，即f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)．答案：f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015) 16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x ＋1|，x ＜1，log 2x －m ，x ＞1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．解析：作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1＜x 2＜x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1＜x 1＋x 2＋x 3＜8，所以2＜x 3＜9.结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.答案：1。
高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 第1讲 函数的图象
第1讲函数的图象与性质函数的定义域、值域及解析式1.(2013江西卷)函数y=错误!未找到引用源。
ln(1-x)的定义域为( B )(A)(0,1) (B)[0,1) (C)(0,1] (D)[0,1]解析:由题意知错误!未找到引用源。
解得0≤x<1.故选B.2.设函数f(x)=错误!未找到引用源。
则满足f(x)≤2的x的取值范围是( D )(A)[-1,2] (B)[0,2](C)[1,+∞) (D)[0,+∞)解析:当x≤1时,由21-x≤2,知x≥0,即0≤x≤1.当x>1时,由1-log2x≤2,知x≥错误!未找到引用源。
,即x>1,所以满足f(x)≤2的x的取值范围是[0,+∞).3.(2015吉安一模)若幂函数f(x)的图象经过点(3,错误!未找到引用源。
),则函数g(x)=错误!未找到引用源。
+f(x)在[错误!未找到引用源。
,3]上的值域为( A )(A) [2,错误!未找到引用源。
] (B) [2,错误!未找到引用源。
](C) (0,错误!未找到引用源。
] (D)[0,+∞)解析:设f(x)=xα,因为f(x)的图象过点(3,错误!未找到引用源。
),所以3α=错误!未找到引用源。
,解得α=-错误!未找到引用源。
.所以f(x)=错误!未找到引用源。
.所以函数g(x)=错误!未找到引用源。
+f(x)=错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
,当x∈[错误!未找到引用源。
,3]时,在x=1时,g(x)取得最小值g(1)=2,在x=3时,g(x)取得最大值g(3)=错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,所以函数g(x)在x∈[错误!未找到引用源。
,3]上的值域是[2,错误!未找到引用源。
].故选A.函数的图象及其应用4.(2015安徽“江淮十校”十一月联考)函数y=f(x)=错误!未找到引用源。
高考数学二轮复习 专题2 函数、不等式、导数 第1讲 函数的图象与性质课后强化训练
专题二 第一讲 函数的图象与性质A 组1．(2017·山东莱芜模拟)已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝fxlog 12－x的定义域为 ( B )A ．[32，＋∞)B ．[32，2)C ．(32，＋∞)D ．[12，2)[解析] 要使函数y ＝fxlog 12－x 有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12－x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1⇒32≤x <2． 故选B ．2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是 ( C )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数[解析] 由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|·g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误．故选C ．3．(2017·山西四校联考)函数y ＝2xπ2＋6x 4x－1的图象大致为 ( D )[解析] y ＝2xπ2＋6x 4x －1＝2x cos 6x 22x －1＝cos 6x2x －2－x ，由此容易判断函数为奇函数，可以排除A ；又函数有无数个零点，可排除C ；当x 取一个较小的正数时，y >0，由此可排除B ，故选D ．4．(2017·湖北黄冈一模)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )．若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别为 ( A )A ．12，2 B ．12，4 C ．22， 2 D ．14，4 [解析] (数形结合求解)f (x )＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1，根据f (m )＝f (n )(m <n )及f (x )的单调性，知mn ＝1且0<m <1，n >1． 又f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，由图象知：f (m 2)>f (m )＝f (n )， ∴f (x )max ＝f (m 2)，x ∈[m 2，n ]． 故f (m 2)＝2，易得n ＝2，m ＝12．5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x 2＋t ，x <0，t ＋x ，x ≥0，且f (1)＝6，则f (f (－2))的值为 ( B ) A ．18 B ．12 C ．112D ．118[解析] 因为1>0，所以f (1)＝2(t ＋1)＝6，即t ＋1＝3，解得t ＝2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x 2＋，x <0，2×3x ，x ≥0，所以f (－2)＝log 3[(－2)2＋2]＝log 36>0，f (f (－2))＝f (log 36)＝2×3log 36＝2×6＝12．6．函数f (x )＝ax ＋bx ＋c 2的图象如图所示，则下列结论成立的是 ( C )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0[解析] 由题中图象可知－c >0， 所以c <0，当x ＝0时，f (0)＝bc2>0⇒b >0， 当y ＝0时，ax ＋b ＝0⇒x ＝－b a>0⇒a <0．7．(2017·淄博模拟)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a 的取值范围是__a ≥1__.[解析] 函数y ＝log 2(ax －1)由y ＝log 2u ，u ＝ax －1复合而成，由于y ＝log 2u 是单调递增函数，因此u ＝ax －1是增函数，所以a >0，由于u ＝ax －1>0恒成立，当x ＝1时，有最小值，ax －1>a －1≥0，所以a ≥1．8．(2017·云南昆明模拟)已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n ＝__－1__.[解析] a ＝log 23>1,0<b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x和y ＝－x ＋b 的图象，如图所示，由图可知，两函数的图象在区间(－1,0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1,0)内有零点，所以n ＝－1．9．(2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝a －22x ＋1．(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的范围． [解析] (1)f (0)＝a －220＋1＝a －1．(2)因为f (x )的定义域为R ，所以任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝x 1－2x 2＋2x 1＋2x 2，因为y ＝2x在R 上单调递增且x 1<x 2， 所以0<2x 1<2x 2，所以2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在R 上单调递增． (3)因为f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 即a －22－x＋1＝－a ＋22x ＋1， 解得a ＝1.(或用f (0)＝0去解) 所以f (ax )<f (2)即为f (x )<f (2)． 又因为f (x )在R 上单调递增， 所以x <2．B 组1．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝ ( C )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 令x ＝－1，得f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1． ∵f (x )，g (x )分别是偶函数和奇函数， ∴f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)， 即f (1)＋g (1)＝1． 故选C ．2．(2017·辽宁实验中学月考)函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是 ( B )A ．f (1)<f (52)<f (72)B ．f (72)<f (1)<f (52)C ．f (72)<f (52)<f (1)D ．f (52)<f (1)<f (72)[解析] ∵f (x ＋2)是偶函数， ∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (x )＝f (4－x )，∴f (52)＝f (32)，f (72)＝f (12)．又0<12<1<32<2，f (x )在[0,2]上单调递增，∴f (12)<f (1)<f (32)，即f (72)<f (1)<f (52)．3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1、x 2，不等式x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)<x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，则不等式f (1－x )<0的解集为 ( C )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)[解析] 由条件式得(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0， ∴x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)，x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )为减函数，又f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴不等式f (1－x )<0化为f (1－x )<f (0)， ∴1－x >0，∴x <1，故选C ．4．如图，过单位圆O 上一点P 作圆O 的切线MN ，点Q 为圆O 上一动点，当点Q 由点P 逆时针方向运动时，设∠POQ ＝x ，弓形PRQ 的面积为S ，则S ＝f (x )在x ∈[0,2π]上的大致图象是 ( B )[解析] S ＝f (x )＝S 扇型PRQ ＋S △POQ ＝12(2π－x )·12＋12sin x ＝π－12x ＋12sin x ，则f ′(x )＝12(cos x －1)≤0，所以函数S ＝f (x )在[0,2π]上为减函数，当x ＝0和x ＝2π时，分别取得最大值与最小值．又当x 从0逐渐增大到π时，cos x 逐渐减小，切线斜率逐渐减小，曲线越来越陡；当x 从π逐渐增大到2π时，cos x 逐渐增大，切线斜率逐渐增大，曲线越来越平缓，结合选项可知，B 正确．5．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则x 的取值范围是 ( C )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)[解析] 因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， 所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )， 即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0＋x ，x >0函数f (x )的图象如下：可判断f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，＋x ，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增．因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1． 故选C ．6．对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x )称为M 函数． (1)对任意的x ∈[0,1]，恒有f (x )≥0；(2)当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立． 则下列3个函数中不是M 函数的个数是 ( B ) ①f (x )＝x 2②f (x )＝x 2＋1 ③f (x )＝2x－1A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 在[0,1]上，3个函数都满足f (x )≥0.当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时：对于①，f (x 1＋x 2)－f [f (x 1)＋f (x 2)]＝(x 1＋x 2)2－(x 21＋x 22)＝2x 1x 2≥0，满足；对于②，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝[(x 1＋x 2)2＋1]－[(x 21＋1)＋(x 22＋1)]＝2x 1x 2－1<0，不满足；对于③，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝(2x 1＋x 2－1)－(2x 1－1＋2x 2－1)＝2x 12x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2－1)≥0，满足．故选B ．7．(2017·西安模拟)已知函数y ＝f (log 2x )的定义域为(1,4)，则函数y ＝f (2sin x －1)的定义域是__{x |2k π＋π6<x <2k π＋5π6}，k ∈Z __.[解析] 因为y ＝f (log 2x )的定义域为(1,4)， 所以1<x <4，则0<log 2x <2， 即y ＝f (x )的定义域为(0,2)． 由0<2sin x －1<2，得12<sin x <32，即12<sin x ≤1， 解得2k π＋π6<x <2k π＋5π6，k ∈Z ，即函数y ＝f (2sin x －1)的定义域是{x |2k π＋π6<x <2k π＋5π6}，k ∈Z ．8．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0． 其中所有正确命题的序号是__①②__.[解析] 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确，由于f (x )是偶函数，所以f (x －1)＝f (1－x )， 结合f (x ＋1)＝f (x －1)得f (1＋x )＝f (1－x )， 故f (x )的图象关于x ＝1对称．当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x ＝2x －1，单调递增，所以f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上是增函数，故②正确．由②知，f (x )在一个周期区间[0,2]上的最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝f (2)＝12，所以函数f (x )的最大值为1，最小值为12，故③不正确．9．(2017·泰安模拟)已知奇函数f (x )的定义域为[－1,1]，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－(12)x . (1)求函数f (x )在[0,1]上的值域；(2)若x ∈(0,1]，y ＝14f 2(x )－λ2f (x )＋1的最小值为－2，求实数λ的值．[解析] (1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)， 所以f (－x )＝－(12)－x ＝－2x．又因为f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以当x ∈(0,1]时，f (x )＝－f (－x )＝2x， 所以f (x )∈(1,2]． 又f (0)＝0，所以当x ∈[0,1]时函数f (x )的值域为(1,2]∪{0}． (2)由(1)知当x ∈(0,1]时，f (x )∈(1,2]， 所以12f (x )∈(12，1]，令t ＝12f (x )，则12<t ≤1，g (t )＝14f 2(x )－λ2f (x )＋1＝t 2－λt ＋1＝(t －λ2)2＋1－λ24．①当λ2≤12，即λ≤1时，g (t )>g (12)无最小值．②当12<λ2≤1，即1<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ2)＝1－λ24＝－2．解得λ＝±23舍去．③当λ2>1，即λ>2时，g (t )min ＝g (1)＝－2，解得λ＝4． 综上所述：λ＝4．。
高考数学大二轮复习 层级二 专题一 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质教学案
第1讲 函数的图象与性质[考情考向·高考导航]1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题．3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．[真题体验]1．(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：B [y ＝ln x 过点(1,0)，(1,0)关于x ＝1的对称点是(1,0)，而只有B 选项过此点，故选B.]2．(2019·全国Ⅱ卷)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x－1，则当x <0时，f (x )＝( )A ．e －x－1 B ．e －x＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x＋1解析：D [当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝e －x－1， 又∵f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝e －x－1， 即f (x )＝－e －x＋1.]3．(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x－e －xx2的图象大致为( ) 解析：B [∵f (－x )＝e －x －e x －x 2＝－e x －e －xx 2＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，排除选项A ；又∵f (1)＝e －1e>1，排除选项C 、D ，故选B.]4．(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)解析：D [画出函数f (x )的图象如图，①当2x ＜0，x ＋1≥0时f (x ＋1)＜f (2x )成立，∴－1≤x ＜0.②当2x ≤0，x ＋1≤0时，要使f (x ＋1)＜f (2x )成立，只需x ＋1＞2x ，∴x ≤－1.由①②知满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是(－∞，0)．][主干整合]1．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．函数的性质 (1)单调性对于函数y ＝f (x )定义域内某一区间D 上的任意x 1，x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0(＜0)⇔y ＝f (x )在D 上是增(减)函数；对于函数y ＝f (x )定义域内某一区间D 上的任意x 1，x 2，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0(＜0)⇔y＝f (x )在D 上是增(减)函数．(2)奇偶性对于定义域(关于原点对称)内的任意x ，f (x )＋f (－x )＝0⇔y ＝f (x )是奇函数； 对于定义域(关于原点对称)内的任意x ，f (x )－f (－x )＝0⇔y ＝f (x )是偶函数． (3)周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)；②若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)； ③若满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)； ④若函数满足f (x ＋a )＝－1f x，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)．(4)对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a .②若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．③若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．热点一 函数及其表示[题组突破]1．(2020·苏州模拟)函数f (x )的定义域是[0,3]，则函数y ＝f 2x －1lg 2－x的定义域是____________________．解析：因为函数f (x )的定义域是[0,3]，所以由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x －1≤3，2－x ＞0，lg 2－x ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ≤2，x ＜2，x ≠1.即12≤x ＜2且x ≠1， 即函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ＜2且x ≠1. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ＜2且x ≠12．(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，函数的周期为4，所以y ＝sin(2x ＋4)，f (15)＝f (－1)，f (－1)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，∴f (f (15))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 答案：223．(2017·课标全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x的取值范围是________．解析：由题意：g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋32，x ≤02x＋x ＋12，0＜x ≤122＋12x －1，x ＞12，函数g (x )在区间(－∞，0]，⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞三段区间内均单调递增，且：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝1,20＋0＋12＞1，(2＋1)×20－1＞1，据此x 的取值范围是：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞4．(多选题)在下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1B ．f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1C ．f (x )＝1，g (x )＝(x ＋1)0D ．f (x )＝x2x，g (x )＝x x2解析：BD [本题考查判断两个函数是否相同．对于A ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为R ，f (x )与g (x )的定义域相同，f (x )＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1，对应关系相同，则f (x )与g (x )是同一函数；对于C ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于D ，函数f (x )＝x2x＝1(x >0)，g (x )＝x x2＝1(x >0)的定义域与对应法则均相同，是同一函数．故选BD.]函数及其表示问题的注意点1．求函数的定义域时，要全面地列出不等式组，不可遗漏，并且要注意所列不等式中是否包含等号．2．对于分段函数解方程或不等式的问题，要注意在所应用函数解析式对应的自变量的范围这个大前提，要在这个前提条件下解决问题．热点二 函数的图象及其应用[例1] (1)(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( ) [解析] D [∵f (－x )＝sin －x －xcos －x ＋－x 2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A.当x ＝π时，f (π)＝π－1＋π2＞0，排除B ，C.故选D.](2)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x |－1＜x ≤0} B ．{x |－1≤x ≤1} C ．{x |－1＜x ≤1} D ．{x |－1＜x ≤2} [解析]C [令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．]识图、用图的方法技巧(1)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围，变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．如例1(1)(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．如例1(2)(1)(2019·南昌三模)函数f (x )＝x e －x －e x4x 2－1的部分图象大致是( ) 解析：B [因为函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，f (－x )＝－xe x－e－x4x 2－1＝x e －x －e x 4x 2－1＝f (x )，所以f (x )为偶函数， 所以f (x )的图象关于y 轴对称，故排除A ，令f (x )＝0，即x e －x －e x4x 2－1＝0，解得x ＝0， 所以函数f (x )只有一个零点，故排除D ， 当x ＝1时，f (1)＝1e－e 3＜0，故排除C ，综上所述，只有B 符合．](2)(2019·德州三模)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图中实线所示．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.故当x ＝4时，f (x )取最大值，又f (4)＝6，所以f (x )的最大值为6.答案：6热点三 函数的性质及其应用数学 抽象 素养数学抽象——抽象函数与函数的“三性”函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性.确定函数的单调性、奇偶性、对称性等[例2] (1)(2019·唐山调研)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称[解析] C [由题意知，f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误；又f ′(x )＝1x －12－x ＝21－xx 2－x (0＜x ＜2)，在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A 、B 错误．故选C.](2)(2019·大同三模)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ [解析] A [f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇒|x |＞|2x －1|⇒13＜x ＜1.]函数性质的综合应用[例3] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50[解析] C [f (x )是奇函数，图象关于原点对称，又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )关于x ＝1对称，故知f (x )是周期函数，周期T ＝4. 又∵f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (－2)＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0＋(－2)＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.](2)(2019·武汉三模)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1，则( ) A ．f (－3)＜f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－3)＜f (2) C ．f (2)＜f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 D ．f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－3) [解析] D [因为f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x )＝f (x ＋2)，即函数的周期是2， 当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x－1e －x ＋1＝－x ·1－e x1＋e x＝x ·e x－1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，当0≤x ＜1时，函数y ＝x 为增函数，y ＝1－2e x ＋1也为增函数，则函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1在0≤x ＜1为增函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)，则f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (1)，即f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－3)．]函数三个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性． (3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．(1)(2019·贵阳调研)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6. 答案：6(2)(2019·青岛三模)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0；②f (x )在[1,2]上是减函数；③函数y ＝f (x )没有最小值；④函数f (x )在x ＝0处取得最大值；⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称．其中正确的序号是________．解析：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )关于点(1,0)对称，且周期为4，画出满足条件的图象，结合图象可知①②④正确．答案：①②④限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2020·湖北部分重点中学起点考试)已知函数f (x )＝(e x ＋e －x)ln 1－x 1＋x －1，若f (a )＝1，则f (－a )＝( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：D [解法一 由题意，f (a )＋f (－a )＝(e a ＋e －a )ln 1－a 1＋a －1＋(e a ＋e －a)ln 1＋a 1－a －1＝(e a ＋e －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1－a 1＋a ＋ln 1＋a 1－a －2＝－2，所以f (－a )＝－2－f (a )＝－3，故选D.解法二 令g (x )＝f (x )＋1＝(e x ＋e －x )ln 1－x 1＋x ，则g (－x )＝(e －x ＋e x )ln 1＋x 1－x＝－(e x＋e－x)ln 1－x1＋x＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以f (－a )＝g (－a )－1＝－g (a )－1＝－f (a )－2＝－3，故选D.]2．(2020·唐山摸底)设函数f (x )＝x (e x ＋e －x)，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：A [通解 由已知可知，f (－x )＝(－x )(e －x＋e x )＝－x (e x ＋e －x)＝－f (x )，故f (x )为奇函数．f ′(x )＝e x ＋e －x ＋x (e x －e －x )，当x ＞0时，e x ＞e －x ，所以x (e x －e －x )＞0，又e x＋e －x＞0，所以f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故选A.优解 根据题意知f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．又f (1)＜f (2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故选A.]3．(2019·合肥调研)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥0，g x ，x ＜0，则g (f (－7))＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：D [函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥0，g x ，x ＜0，设x ＜0，则－x ＞0，则f (－x )＝log 2(－x ＋1)， 因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ＋1)， 所以g (x )＝－log 2(－x ＋1)(x ＜0)， 所以f (－7)＝g (－7)＝－log 2(7＋1)＝－3， 所以g (－3)＝－log 2(3＋1)＝－2.]4．(2020·大连模拟)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )． 以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：B [由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的减函数． 对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.]5．(2020·辽宁五校协作体联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时，f (x )＝(－x ＋a ＋1)log 2(x ＋2)＋x ＋m ，其中a ，m 是常数，且a ＞0.若f (0)＋f (a )＝1，则f (m －3)＝( )A ．1B ．－1C ．6D ．－6解析：C [由题意知f (0)＝a ＋1＋m ＝0，所以a ＋m ＝－1，又f (a )＝log 2(a ＋2)＋a ＋m ，f (0)＋f (a )＝1，所以log 2(a ＋2)＝2，解得a ＝2，所以m ＝－3.于是，当x ≥0时，f (x )＝(3－x)log2(x＋2)＋x－3.故f(m－3)＝f(－6)＝－f(6)＝－(－3log28＋3)＝6.故选C.] 6．(组合型选择题)函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象分别如图(1)(2)所示：给出下列四个命题：①方程f(g(x))＝0有且仅有6个根；②方程g(f(x))＝0有且仅有3个根；③方程f(f(x))＝0有且仅有5个根；④方程g(f(g))＝0有且仅有4个根；其中正确命题的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1解析：B [由图象可得－2≤g(x)≤2，－2≤f(x)≤2.对于①，观察f(x)的图象，可知满足方程f(g(x))＝0的g(x)有三个不同的值，一个值在－2或－1之间，一个值为0，一个值在1与2之间．再观察g(x)的图象，由图象知，g(x)的值在－2与－1之间时对应了2个x值，g(x)＝0时对应了2个x值，g(x)的值在1与2之间时对应了2个x值，故方程f(g(x))＝0有且仅有6个根，故①正确．对于②，观察g(x)的图象，可知满足g(f(x))＝0的f(x)有两个不同的值，一个值处于－2与－1之间，另一个值处于0与1之间．观察f(x)的图象，知f(x)的值在－2与－1之间时对应了1个x值，f(x)的值在0与1之间时对应了3个x值，所以方程g(f(x))＝0有且仅有4个根，故②不正确．对于③，观察f(x)的图象，可知满足方程f(f(x))＝0的f(x)有3个不同的值，一个值在－2与－1之间，一个值为0，一个值在1与2之间．再观察f(x)的图象，由图象知f(x)的值在－2与－1之间时对应了1个x值，f(x)＝0时对应了3个x值，f(x)的值在1与2之间时对应了1个x值，故方程f(f(x))＝0有且仅有5个根，故③正确．对于④，观察g(x)的图象，可知满足方程g(g(x))＝0的g(x)有2个不同的值，一个值在－2与－1之间，一个值在0与1之间．再观察g(x)的图象，由图象可知g(x)的值在－2与－1之间时对应了2个x值，g(x)的值在0与1之间时对应了2个x值，故方程g(g(x))＝0有且仅有4个根，故④正确．综上所述，正确命题的个数是3.故选B.]7．(2019·广州二模)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2 022)的值为( ) A．2 018 B．－2 018C．0 D．4解析：C [依题意得，函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0对称，因此函数y ＝f (x )是偶函数，且f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，即f (2)＝f (2)＋f (2)，所以f (2)＝0，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以4为周期的函数，f (2 022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝0.]8．(2019·苏州调研)函数y ＝sin 2x1－cos x 的部分图象大致为( )解析：C [令f (x )＝sin 2x1－cos x，∵f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，∴排除选项A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin 2x1－cos x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项B.故选C.] 9．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)．当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x ＋b |的图象为( )解析：B [因为x ∈(0,4)，所以x ＋1＞1，所以f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2 x ＋1×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＝2时取等号，且f (x )的最小值为1，所以a ＝2，b＝1，所以g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|，其图象关于直线x ＝－1对称，又g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，所以B.]10．(2020·河北衡水中学模拟)已知函数f (x )＝22 019x＋1＋sin x ，其中f ′(x )为函数f (x )的导数，则f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)等于( )A ．2B ．2 019C ．2 018D ．0解析：A [由题意得f (x )＋f (－x )＝2， ∴f (2 018)＋f (－2 018)＝2，由f (x )＋f (－x )＝2可得f (x )－1＋f (－x )－1＝0， ∴y ＝f (x )－1为奇函数， ∴y ＝f (x )－1的导函数为偶函数，即y ＝f ′(x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝0，∴f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.故选A.]11．(2019·定州二模)已知a ＞0，设函数f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 017B ．2 019C ．4 040D ．4 036解析：D [由题意得f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x ＋1＝2 019－22 019x＋1. 因为y ＝2 019x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的， 所以f (x )＝2 019－22 019x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以M ＝f (a )，N ＝f (－a )， 所以M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 038－22 019a ＋1－22 019－a＋1＝4 036.] 12．(2019·贵阳监测)已知函数f (x )＝2xx －1，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于点(1,2)中心对称 B ．函数f (x )在(－∞，1)上是增函数C ．函数f (x )的图象上存在不同的两点A 、B ，使得直线AB ∥x 轴D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称 解析：A [因为f (x )＝2x x －1＝2x －1＋2x －1＝2x －1＋2，所以该函数图象可以由y ＝2x的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f (x )的图象关于点(1,2)中心对称，A 正确，D 错误；易知函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，故B 错误；易知函数f (x )的图象是由y ＝2x的图象平移得到的，所以不存在不同的两点A 、B ，使得直线AB ∥x 轴，C 错误．故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2020·安徽江淮十校联考)函数f (x )＝log 13(x 2＋2)＋13|x |＋1，若f (2x ＋1)≥f (x )，则实数x 的取值范围是____________．解析：易知f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴|2x ＋1|≤|x |，解得－1≤x ≤－13，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－1314．(2019·北京卷)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝____________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是____________．解析：若函数f (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，e －x ＋a e x ＝－(e x ＋a e －x)恒成立，即(a ＋1)(e x ＋e －x )＝0恒成立，欲(a ＋1)(e x ＋e －x)＝0对任意的x 恒成立．需a ＋1＝0，即a ＝－1时，所以a ＝－1.若函数f (x )＝e x ＋a e －x 是R 上的增函数，则f ′(x )＝e x －a e －x ≥0恒成立，a ≤e 2x，a ≤0. 即实数a 的取值范围是(－∞，0]． 答案：－1 (－∞，0]15．(2020·湖北省八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x 2＋a ln x ＋b ，x ＞0，e x ＋12，x ≤0，若f (e 2)＝f (1)，f (e)＝43f (0)，则函数f (x )的值域为________________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋b ＝b ，1＋a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，∴当x ＞0时，f (x )＝(ln x )2－2ln x ＋3＝(ln x －1)2＋2≥2；当x ≤0时，12＜e x ＋12≤e 0＋12＝32，则函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32∪[2，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32∪[2，＋∞)16．(2020·辽宁五校联考)如果定义在R 上的函数f (x )满足：对任意的x 1≠x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称f (x )为“H 函数”，给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sin x －cos x )③y ＝1－e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x x ≥1，0x ＜1；⑤y ＝xx 2＋1.其中是“H 函数”的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)解析：因为x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以f (x 1)(x 1－x 2)－f (x 2)(x 1－x 2)≥0，即[f (x 1)－f (x 2)](x 1－x 2)≥0，分析可得，若函数f (x )为“H 函数”，则函数f (x )为增函数或常函数．对于①，y ＝－x 3＋x ＋1，则y ′＝－3x 2＋1，所以y ＝－x 3＋x ＋1既不是R 上的增函数也不是常函数，故其不是“H 函数”；对于②，y ＝3x －2(sin x －cos x )，则y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＞0，所以y ＝3x －2(sin x －cos x )是R 上的增函数，故其是“H 函数”；对于③，y ＝1－e x是R 上的减函数，故其不是“H 函数”；对于④，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x x ≥1，0x ＜1，当x ＜1时，是常函数，当x ≥1时，是增函数，且当x ＝1时，ln x＝0，故其是“H函数”；对于⑤，y＝xx2＋1，当x≠0时，y＝1x＋1x，不是R上的增函数也不是常函数，故其不是“H函数”．所以满足条件的函数的序号是②④.答案：②④。
高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质专题突破讲义 文-人教版高三全册数学试
第1讲函数的图象与性质1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题．3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．热点一函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规X步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．3．周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|.常见结论：(1)f(x＋a)＝－f(x)⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0.(2)f (x ＋a )＝1f (x )⇒函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (3)f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于x ＝a ＋b2对称．例1 (1)(2017·某某)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________. 答案 6解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.(2)(2017届某某省池州市东至县联考)已知函数f (x )＝2 016x ＋log 2 016(x 2＋1＋x )－2 016－x，则关于x 的不等式f (3x ＋1)＋f (x )>0的解集为( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞答案 D解析 f (－x )＝2 016－x－2 016x ＋log 2 016((－x )2＋1－x )，其中log 2 016(x 2＋1－x )＝log 2 016⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝－log 2 016(x 2＋1＋x )，则f (－x )＝－f (x )，所以函数是奇函数，并且函数是单调递增函数．那么原不等式等价于f (3x ＋1)>－f (x )⇔f (3x ＋1)>f (－x )， 即3x ＋1>－x ⇒x >－14，故选D.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的X 围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练1 (1)(2017届某某某某雅礼中学月考)若偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，a ＝f (log 23)，b ＝f (log 45)，32(2)c f =，则a ，b ，c 满足( ) A ．a <b <c B ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a 答案 B解析 因为偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减， 所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增． 又324420log 5log 9log 322<<=<<， 所以3242(log 5)(log 3)(2)f f f <<， 即b <a <c ，故选B.(2)(2017届某某省池州市东至县联考)设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (2 018)＝________. 答案 －8解析 由条件可得f (x ＋6)＝f (x )，函数的周期为6，f (2 018)＝f (6×336＋2)＝f (2)＝f (－2)＝－8.热点二 函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．例2 (1)(2017届某某第一中学质量检测)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x1＋2x cos x 的图象大致为( )答案 C解析 ∵f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2－x1＋2－x cos(－x )＝2x－12x ＋1cos x ＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数，排除选项A ，B.又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )<0，图象在x 轴下方，故选C.(2)(2017届某某期末)若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 首先注意到(0，a )没有对称点．当x >0时，f (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋a ，则－f (－x )＝－x 3－6x 2－9x －a ，即－x 3－6x 2－9x －a ＝2(x <0)有两个实数根，即a ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)有两个实数根．画出y ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)的图象如图所示，由图可知当a ＝2时有两个解．思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅰ)函数y ＝sin 2x 1－cos x的部分图象大致为( )答案 C解析 令f (x )＝sin 2x1－cos x，∵f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，∴排除选项A ，D.由1－cos x ≠0，得x ≠2k π(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x1－cos x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，故选C. (2)已知函数f (x )＝ax 33＋ax －x 2＋32，g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )．在同一直角坐标系中，函数f ′(x )与g (x )的图象不可能是( )答案 B解析 因为f (x )＝ax 33＋ax －x 2＋32，所以f ′(x )＝ax 2－x ＋a2，若a ＝0，则选项D 是正确的，故排除D.若a <0，选项B 中的二次函数的判别式Δ＝1－4a ·a 2＝1－2a 2<0，所以a 2>12，又a <0，所以a <－22. 二次函数f ′(x )的图象的对称轴为x ＝12a .三次函数g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，所以g ′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1＝3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a ， 令g ′(x )>0，得x <1a 或x >13a ，令g ′(x )<0，得1a <x <13a，所以函数g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 的极大值点为x ＝1a ，极小值点为x ＝13a .由选项B 中的图象知13a <12a ，但a <－22，所以13a >12a，所以选项B 的图象错误，故选B. 热点三 基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)(2017·某某调研)设a ＝0.23，b ＝log 0.30.2，c ＝log 30.2，则a ，b ，c 大小关系正确的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >a D ．c >b >a 答案 B解析 根据指数函数和对数函数的增减性知，因为0<a ＝0.23<0.20＝1，b ＝log 0.30.2>log 0.30.3＝1，c ＝log 30.2<log 31＝0，所以b >a >c ，故选B.(2)(2017届某某某某外国语学校期中)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1，x ≤1，log a x ，x >1在R 上单调递增，则实数a 的取值X 围为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(2,3] D ．(2，＋∞) 答案 C解析 ∵f (x )在R 上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，(a －2)×1－1≤log a 1，∴2<a ≤3，故选C.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力． (2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 答案 D解析 令t ＝2x＝3y＝5z， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .故选D.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤1，log a x ，x >1 (a >0且a ≠1)．若f (x )在R 上是增函数，则a 的取值X围是________． 答案 [2，＋∞)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤1，log a x ，x >1(a >0，且a ≠1)．若f (x )在R 上是增函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a ≤0，∴a ≥2.真题体验1．(2017·全国Ⅲ改编)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为________．(填序号)答案 ④解析 当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除②；当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin xx 2＞0，故排除①③.故填④.2．(2017·某某改编)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为____________．答案 c <b <a解析 ∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 215＝f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8，∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，∴a ＞b ＞c .3．(2017·某某改编)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝________. 答案 6解析 若0＜a ＜1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得a ＝2(a ＋1－1)， ∴a ＝14，∴f⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6. 4．(2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.答案 12解析 方法一 令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12. 方法二 f (2)＝－f (－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 押题预测1．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )押题依据 指数、对数函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置． 答案 D解析 (1)方法一 分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a递增较慢，故选D. 方法二 幂函数f (x )＝x a的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 正确；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．2．(2017届某某肃南裕固族自治县一中月考)设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )等于( ) A ．|x ＋4| B ．|2－x | C ．2＋|x ＋1| D ．3－|x ＋1|押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性． 答案 D解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，可得f (x ＋2)＝f (x )，则当x ∈[－2，－1]时，x ＋4∈[2,3]，f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4＝x ＋1＋3；当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，2－x ∈[2,3]，f (x )＝f (－x )＝f (2－x )＝2－x ＝3－x －1，故选D.3．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值X 围为________．押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的X 围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质．答案 (－2,0)∪(0,2)解析 因为当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)，所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所某某数t 的取值X 围为(－2,0)∪(0,2)．A 组 专题通关1．(2017届某某黄陵中学月考)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13答案 A解析 B ，D 是奇函数，C 在(0，＋∞)上单调递增，故选A.2．(2017·)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数 答案 B解析 ∵函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，∴函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数．又∵y ＝3x在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．故选B.3．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值X 围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4] D ．[1,3] 答案 D解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3，故选D.4．(2017届某某某某外国语学校期中)设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13答案 C解析 ∵f (2－x )＝f (x )，∴函数的对称轴为x ＝1.∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ，∴函数以x ＝1为对称轴且左减右增，故当x ＝1时函数有最小值，离x ＝1越远，函数值越大，故选C.5．(2017届某某师大附中月考)函数y ＝2xln|x |的图象大致为( )答案 B解析 采用排除法，函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，排除A ；当x >1时，ln|x |>0，y ＝2xln|x |>0，排除D ； 当x <－1时，ln|x |>0，y ＝2xln|x |<0，排除C ，故选B.6．(2017届某某百校论坛联考)已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立，则实数a 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12∪(1，＋∞) 答案 B解析 由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，故x 2≤2log a x 对∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立，即当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22时，函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方，由图(图略)知0<a <1且2log a 22≥12，解得14≤a <1.故选B. 7．(2017届某某省池州市东至县联考)如图可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x－x 2－1 B ．y ＝2xsin x 4x ＋1C ．y ＝xln xD ．y ＝(x 2－2x )e x答案 D解析 函数过原点，所以C 排除；当x >0时，函数只有一个零点，而y ＝2xsin x4x ＋1是以x 轴为中心的波浪线，所以B 排除；当x →－∞时，y ＝2x －x 2－1→－∞，所以A 排除；函数y ＝(x 2－2x )e x的图象在x →－∞时，y →0，在0<x <2时，y <0，在x →＋∞时，y →＋∞，故选D. 8．(2017·)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093答案 D解析 由题意知，lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 所以与MN最接近的是1093. 故选D.9．(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x ＞－14.10．(2017届某某某某一中段考)若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.答案 14解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－sin 7π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝14. 11．(2017届某某省师X 大学附属中学月考)已知函数f (x )＝e x ＋x 3，若f (x 2)<f (3x －2)，则实数x 的取值X 围是________． 答案 (1,2)解析 因为f ′(x )＝e x＋3x 2>0，所以函数f (x )为增函数，所以不等式f (x 2)<f (3x －2)等价于x 2<3x －2，即x 2－3x ＋2<0⇔1<x <2，故x ∈(1,2)．12．(2017届某某武邑中学调研)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x －a ，x >0， 若f (0)是f (x )的最小值，则实数a 的取值X 围为__________． 答案 [0,1]解析 若f (0)为f (x )的最小值，则当x ≤0时，函数f (x )＝(x －a )2为减函数，则a ≥0；当x >0时，函数f (x )＝x ＋1x－a 的最小值2－a ≥f (0)，即2－a ≥a 2，解得－2≤a ≤1.综上所述，实数a 的取值X 围是[0,1]．B 组 能力提高13．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)上单调递增 B ．f (x )在(0,2)上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称答案 C解析 f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． ∴选项A ，B 错误；∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确；∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误． 故选C.14．(2017届某某武邑中学调研)已知函数f (x )＝xx －1＋sin πx 在[0,1)上的最大值为m ，在(1,2]上的最小值为n ，则m ＋n 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 D 解析 f (x )＝xx －1＋sin πx ＝1＋1x －1＋sin πx ， 记g (x )＝1x －1＋sin πx ，则当x ∈[0,1)时，g (2－x )＝12－x －1＋sin π(2－x )＝11－x－sin πx ，即在区间[0,1)∪(1,2]上，函数f (x )关于点(1,1)成中心对称，∴m ＋n ＝2，故选D. 15．(2017届某某省部分重点中学联考)已知函数f (x )＝2x－12x ＋1＋x ＋sin x ，若正实数a ，b 满足f (4a )＋f (b －9)＝0，则1a ＋1b的最小值为________．答案 1解析 因为f (－x )＝－f (x )，故由题设可得当4a ＋b ＝9，即4a 9＋b 9＝1时，则1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 9＋b 9⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝19⎝⎛⎭⎪⎫4＋1＋4ab＋ba≥19(5＋4)＝1，当且仅当b＝2a时取等号．16．(2017届某某连城县二中期中)对于函数：①f(x)＝lg(|x－2|＋1)；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x＋2)．判断如下三个命题的真假：命题甲：f(x＋2)是偶函数；命题乙：f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；命题丙：f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是________．答案②解析①若f(x)＝lg(|x－2|＋1)，则f(x＋2)是偶函数，此时命题甲为真；f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，此时命题乙为真；但f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋∞)上不是单调增函数，此时命题丙为假．②f(x)＝(x－2)2，则f(x＋2)是偶函数，此时命题甲为真；f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，此时命题乙为真；f(x＋2)－f(x)＝4x－4在(－∞，＋∞)上是增函数，此时命题丙为真．③若f(x)＝cos(x＋2)，则f(x＋2)不是偶函数，此时命题甲为假；f(x)在(－∞，2)上不是减函数，在(2，＋∞)上不是增函数，此时命题乙为假；f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋∞)上不是单调增函数，此时命题丙为假，故答案为②.。
高考数学二轮总复习层级二专题一函数与导数第一讲函数的图象与性质学案理含解
学习资料专题一函数与导数第一讲函数的图象与性质错误! 1．(2019·全国卷Ⅰ）函数f（x）＝错误!在[－π，π]的图象大致为（）A B C D解析:选D∵f（－x)＝sin(－x)－xcos(－x)＋(－x)2＝－f(x），∴f（x）为奇函数，排除A;当x＝π时,f(π)＝错误!〉0,排除B、C．故选D．2．(2019·全国卷Ⅲ)设f(x）是定义域为R的偶函数,且在（0,＋∞）单调递减，则() A．f错误!〉f（2－错误!）>f(2－错误!）B．f错误!〉f（2－错误!)>f(2－错误!）C．f（2－错误!）〉f（2－错误!）>f错误!D．f（2－错误!)〉f（2－错误!)〉f错误!解析：选C因为f（x）是定义域为R的偶函数，所以f错误!＝f(－log34）＝f（log34)．又因为log34〉1〉2－错误!>2－错误!>0,且函数f（x）在(0，＋∞)单调递减，所以f(log34）<f（2－错误!）<f(2－错误!)，即f错误!〈f错误!<f错误!.故选C．3．(2018·全国卷Ⅱ）函数f（x)＝错误!的图象大致为（）解析:选B∵y＝e x－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，∴f(x)＝错误!是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项；当x＝1时，f（1)＝错误!＝e－错误!〉0，排除D选项；又e>2,∴错误!〈错误!，∴e－错误!〉1，排除C选项．故选B．4．（2018·全国卷Ⅱ)已知f(x）是定义域为(－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x)＝f(1＋x）．若f(1)＝2，则f(1)＋f（2）＋f(3）＋…＋f(50)＝（）A．－50 B．0C．2 D．50解析:选C∵f（x)是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴f(1－x)＝－f（x－1）．由f(1－x）＝f(1＋x),∴－f(x－1）＝f(x＋1）,∴f（x＋2)＝－f(x），∴f(x＋4)＝－f（x＋2）＝－[－f（x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f（x)为R上的奇函数,得f（0）＝0.又∵f（1－x)＝f（1＋x），∴f（x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f（－2)＝0.又f(1）＝2，∴f（－1)＝－2，∴f(1)＋f（2）＋f(3)＋f（4）＝f(1)＋f（2）＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f（2)＋f(3）＋f（4）＋…＋f（49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50）＝f(1）＋f(2）＝2＋0＝2。
高考数学二轮复习 第一篇 专题二 函数与导数 第1讲 函数图象与性质、函数与方程课件 文
且x→-∞时,h(x)→0; x→+∞时,h(x)→0,
且h(1)=2,h(-1)=-2,
如图,直线y=a与h(x)图象只有(zhǐyǒu)一个交点,且x0>0, 观察图象可得a<-2.故选C.
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考情分析(fēnxī)
1.考查(kǎochá)角度
全面考查函数的概念、表示方法,函数的单调性、奇偶性、周期性的应用,函数图象的识别判断 和应用,考查函数与方程. 2.题型及难易度 选择题、填空题,易、中、难三种题型均有.
或
x 1 2x
0, 0,
所以 x<0,
即不等式 f(x+1)<f(2x)的解集为(-∞,0). 故选 D.
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第九页，共六十五页。
5.(2018·全国Ⅱ卷,文12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足(mǎnzú)f(1-x)
=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)等于(
因此不等式的解集为(-∞,-1].
2021/12/13
第七页，共六十五页。
②当
x 1 2x
0
0,
时,不等式组无解.
③当
x 1 2x
0
0,
即-1<x≤0
时,f(x+1)<f(2x),
即 1<2-2x,解得 x<0.
因此不等式的解集为(- 0,
即
x>0
时,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意.
2 取得最小值 1,两个函数图象仅有一个交点,故选 C.
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第1讲 函数的图象与性质
一、选择题
1．(2017·清远一中模拟)函数f(x)＝
1－3x
x －1
的定义域为( )
A ．(－∞，0]
B ．[0，1]∪[1，＋∞)
C ．[1，＋∞)
D ．(1，＋∞)
解析：由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧1－3x≥0，x≠1，解得x≤0且x ≠1，即x≤0.
答案：A
2．(2017·湖南衡阳联考)已知函数g(x)的定义域为{x|x ≠0}，且g(x)≠0，设p ：函数f(x)＝g(x)·⎝
⎛⎭
⎪
⎫11－2x －12是偶函数；q ：函数g(x)是奇函数，则p 是q 的( )(导学号
55410092)
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：令h(x)＝11－2x －1
2
(x≠0)，
易知h(x)＋h(－x)＝0
所以h(x)为奇函数，g(x)为奇函数，
则f(x)为偶函数．
反过来，结论也成立． 因此p 是q 的充要条件．
答案：C
3．(2015·浙江卷)函数f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －x sin x 的大致图象为( )
解析：函数y 1＝1x －x 与y 2＝sin x 为奇函数，可得函数f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －x sin x 为偶函数，因此排除C ，D.
又当x ＝π2时，y 1＜0，y 2＞0，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＜0，因此B 正确．
答案：B
4．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13x
，则f(x)( )
A ．是奇函数，且在R 上是增函数
B ．是偶函数，且在R 上是增函数
C ．是奇函数，且在R 上是减函数
D ．是偶函数，且在R 上是减函数
解析：f(x)的定义域为R ，f(－x)＝3－x
－3x
＝－f(x)，则f(x)为奇函数．
y ＝3x
为增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为减函数，则f(x)＝3x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
为增函数． 答案：A
5．已知定义在R 上的函数f(x)＝2
|x －m|
－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f(log 0.53)，b ＝
f(log 25)，c ＝f(2m)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．c ＜a ＜b
D ．c ＜b ＜a
解析：由f(x)＝2|x －m|
－1是偶函数可知m ＝0，
所以f(x)＝2|x|
－1.
所以a ＝f(log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，
b ＝f(log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，
c ＝f(0)＝2|0|
－1＝0，所以c ＜a ＜b.
答案：C
二、填空题
6．(2017·全国卷Ⅱ改编)函数f(x)＝ln(x 2
－2x －8)的单调增区间是________．
解析：要使函数有意义，则x 2
－2x －8＞0，解得x ＜－2或x ＞4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为(4，＋∞)．。