九2班二次函数与一元二次方程的基础训练
人教版九年级上册数学22 2二次函数与一元二次方程 同步练习(含答案)
人教版九年级上册数学22.2二次函数与一元二次方程同步练习一、单选题1．抛物线223y x x =+-与x 轴的交点个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．下列二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点的是（ ） A ．239y x x =+ B ．244y x x =-++C ．2245y x x =++D ．221y x x =-+3．已知二次函数()22221y x b x b =----+的图象不经过第二象限，则实数b 的取值范围是（ ）4．二次函数2y ax bx c =++图象的一部分如图所示，它与x 轴的一交点为()6,0B ，对称轴为直线2x =，则由图象可知，方程20ax bx c ++=的解是（ ）A ．10x =，26x =B ．12x =-，26x =C ．11x =-，26x =D ．12x =-，22x = 5．已知抛物线()243y a x =--的部分图象如图所示，则图象与x 轴另一个交点的坐标是（ ）A ．()5,0B ．()6,0C ．()7,0D ．()8,06．如图是二次函数²y ax bx c =++的部分图像，由图像可知不等式²0ax bx c ++≥的解集是（ ）A ．15x <<B ． 5x ≤C ．15x -≤≤D ． 1x <-或5x >7．二次函数()()2y x a x b =---，()a b <的图像与x 轴交点的横坐标为m 、n ，且m n <，则a ，b ，m ，n 的大小关系是（ ）A ．m a b n <<<B ．a m b n <<<C ．a m n b <<<D ．m a n b <<<8．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，下列结论中：①0ac <；①24b ac <；①20a b -=；①930a b c ++>．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线222y x mx m =-++-（m 为常数，且0m >）与直线y ＝2交于A 、B 两点．若AB ＝2，则m 的值为______．10．抛物线()231y ax a x =+-+的顶点在x 轴上，则a 的值为________．11．已知二次函数24y x x c =++的图象与x 轴的一个交点坐标是()20,，则它与x 轴的另一个交点坐标是______．12．已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的顶点为（1，5），那么关于x 的一元二次方程﹣x 2+bx +c ﹣m ＝0有两个相等的实数根，则m =______________．13．若抛物线y ＝x 2+ax +b 与x 轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x ＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，平移后抛物线的顶点坐标为_____． 14．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()()2,,4,A p B q -两点，则不等式2ax mx c n -+<的解集是___________．15．如图，已知二次函数()20y x m m =-+>的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．若AB OC =，则m 的值是______．16．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图．则有以下5个结论：①a ＜0；①b 2-4ac＜0；①b =-2a ；①当0＜x ＜2时，y ＞0；①a -b +c ＞0；其中正确的结论有：____________．（写出你认为正确的序号即可）三、解答题17．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y x 2mx m 9=-+-．(1)求证：无论m 为何值，该抛物线与x 轴总有两个交点；(2)该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，且3OA OB =，求m 的值． 18．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于()1,0A -、B 两点，交y 轴于()0,3C ，点P 在抛物线上，横坐标设为m ．(1)求抛物线的解析式；求BDC的面积．(1)求抛物线的解析式；(2)若D 是抛物线上一点（不与点C 重合），且ABD ABC S S △△，请求出点D 的坐标．参考答案：。
统编九年级数学上册《一元二次方程》《二次函数》基础练习(5套)
基础知识反馈卡•21.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．若(a－1)x2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则() A．a≠0 B．a≠1C．a＝1 D．a≠－12．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为()A．－1 B．1 C．－2 D．2二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝_______________.4．若关于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一个解为2，则m的值是______．5．把一元二次方程(x－3)2＝5化为一般形式为________________，二次项为________，一次项系数为__________，常数项为________.三、解答题(共7分)6．已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2＋3mx＋5＝0有一根是x＝－1，求m的值．基础知识反馈卡•21.2.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．用配方法解方程x2－23x－1＝0，正确的配方为()A.x－132＝89B.x－232＝59C.x－132＋109＝0D.x－132＝1092．一元二次方程x2＋x＋14＝0的根的情况是()A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程x2－4x－12＝0的解x1＝________，x2＝________.4．x2＋2x－5＝0配方后的方程为____________．5．用公式法解方程4x2－12x＝3，得到x＝________.三、解答题(共7分)6．已知关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.(1)对于任意实数m，判断此方程根的情况，并说明理由；(2)当m＝2时，求方程的根．时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．一元二次方程x2＝3x的根是()A．x＝3 B．x＝0C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝－32．方程4(x－3)2＋x(x－3)＝0的根为() A．x＝3 B．x＝125C．x1＝－3，x2＝125 D．x1＝3，x2＝125二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程x2－16＝0的解是____________．4．如果(m＋n)(m＋n＋5)＝0，则m＋n＝______. 5．方程x(x－1)＝x的解是________．三、解答题(共7分)6．解下列一元二次方程：(1)2x2－8x＝0；(2)x2－3x－4＝0.时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是()A．4 B．3 C．－4 D．－32．如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是()A．－3,2 B．3，－2 C．2，－3 D．2,3二、填空题(每小题4分，共12分)3．已知一元二次方程的两根之和为7，两根之积为12，则这个方程为____________________．4．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，则它的另一个根是______，m的值是______．5．已知x1，x2是方程x2－3x－3＝0的两根，不解方程可求得x21＋x22＝________.三、解答题(共7分)6．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根α，β满足1α＋1β＝1，求m的值．基础知识反馈卡•21.3时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是()A．173(1＋x%)2＝127 B．173(1－2x%)＝127C．173(1－x%)2＝127 D．127(1＋x%)2＝1732．某城市为绿化环境，改善城市容貌，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是() A．19% B．20% C．21% D．22%3．一个面积为120 cm2的矩形花圃，它的长比宽多2 m，则花圃的长是()A．10 m B．12 m C．13 m D．14 m二、填空题(每小题4分，共8分)4．已知一种商品的进价为50元，售价为62元，则卖出8件所获得的利润为__________元．5．有一个两位数等于其数字之和的4倍，其十位数字比个位数字小2，则这个两位数是________．三、解答题(共8分)6．某西瓜经营户以2元/千克的进价购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天赢利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？础知识反馈卡•22.1.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．若y＝mx2＋nx－p(其中m，n，p是常数)为二次函数，则() A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0C．m≠0 D．m≠0，或p≠02．当ab>0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是()二、填空题(每小题4分，共8分)3．若y＝xm－1＋2x是二次函数，则m＝________.4．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图J2211，则k的取值范围为________．图J2211三、解答题(共11分)5．在如图J2212所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y＝2x2和y＝－12x2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)：图J2212(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；(2)抛物线y＝2x2，当x______时，抛物线上的点都在x轴的上方，它的顶点是图象的最______点；(3)函数y＝－12x2，对于一切x的值，总有函数y______0；当x______时，y有最______值是______．基础知识反馈卡•22.1.2时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是()A．y＝x2＋1 B．y＝x2－1C．y＝(x＋1)2 D．y＝(x－1)22．二次函数y＝－x2＋2x的图象可能是()二、填空题(每小题4分，共8分)3．抛物线y＝x2＋14的开口向________，对称轴是________．4．将二次函数y＝2x2＋6x＋3化为y＝a(x－h)2＋k的形式是________．三、解答题(共11分)5．已知二次函数y＝－12x2＋x＋4.(1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？基础知识反馈卡•*22.1.3时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．已知二次函数的图象过(1,0)，(2,0)和(0,2)三点，则该函数的解析式是()A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋22．若二次函数的图象的顶点坐标为(2，－1)，且抛物线过(0,3)，则二次函数的解析式是()A．y＝－(x－2)2－1 B．y＝－12(x－2)2－1C．y＝(x－2)2－1 D．y＝12(x－2)2－1二、填空题(每小题4分，共8分)3．如图J2213，函数y＝－(x－h)2＋k的图象，则其解析式为____________．图J22134．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－14的顶点的横坐标是2，则m的值是________．三、解答题(共11分)5．已知当x＝1时，二次函数有最大值5，且图象过点(0，－3)，求此函数关系式．基础知识反馈卡•22.2时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．下表是二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x的值与函数y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是()x 6.17 6.18 6.19 6.20y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.04A.6<x<6.17 B．6.17<x<6.18 C．6.18<x<6.19 D．6.19<x<6.202．二次函数y＝2x2＋3x－9的图象与x轴交点的横坐标是()A.32和3B.32和－3 C．－32和2 D．－32和－2二、填空题(每小题4分，共8分)3．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的交点为(m,0)，则代数式m2－m ＋2 011的值为__________．4．如图J2221是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．图J2221 图J2222三、解答题(共11分)5．如图J2222，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1,0)，B(3,2)．(1)求m的值和抛物线的关系式；(2)求不等式x2＋bx＋c>x＋m的解集(直接写出答案)．基础知识反馈卡•22.3时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为x cm的圆，剩下一个圆环的面积为y cm2，则y与x的函数关系为()A．y＝πx2－4 B．y＝π(2－x)2C．y＝－(x2＋4) D．y＝－πx2＋16π2．已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－52t2＋20t＋1.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为()A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s二、填空题(每小题4分，共8分)3．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝________元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．4．如图J2231，某省大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面4 m的高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，则校门的高度为(精确到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不计)________．图J2231三、解答题(共11分)5．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一个点)的路线是抛物线y＝－35x2＋3x＋1的一部分，如图J2232.(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．图J2232。
人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》同步测试题及答案
人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》同步测试题及答案一、单选题1．根据表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，可以判断方程20ax bx c ++=的一个解x 的范围是（ ）x0 0.5 1 1.5 2 2y ax bx c =++ -1-0.513.57A ．00.5x <<B ．0.51x <<C ．1 1.5x <<D ．1.52x <<2．如表是一组二次函数y ＝x 2﹣x ﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x 2﹣x ﹣3＝0的一个近似根是（ ）x 1 2 3 4 y ﹣3﹣1 39 A ．1.2B ．2.3C ．3.4D ．4.53．下表给出了二次函数()20y ax bx c a =++≠中x ，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个近似解1x 的范围为（ ）x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y…1.16-0.71-0.24-0.250.76…A ．11.2 1.3x <<B ．11.3 1.4x <<C ．11.4 1.5x <<D ．11.5 1.6x <<4．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②24b ac >；③a (m 2−1)+b (m −1)<0(m ≠1)；④关于x 的方程21ax bx c ++=有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．②③5．根据下列表格中二次函数y ＝ax 2+bx+c 的自变量x 与y 的对应值，判断关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（ ）x ﹣1 0 1 2 3 4 y﹣7﹣5﹣151323A ．1＜x ＜2B ．﹣1＜x ＜1C ．﹣7＜x ＜﹣1D ．﹣1＜x ＜56．已知二次函数224y x x =-+，下列关于其图象的结论中，错误．．的是（ ） A ．开口向上B ．关于直线1x =对称C ．当1x >时，y 随x 的增大而增大D ．与x 轴有交点7．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，顶点坐标(1,)n ，与y 轴的交点在0203（，），（，）之间（包含端点），则下列结论：①30a b +<；②213a -≤≤-；③对于任意实数m2(1)(1)0a m b m -+-≤总成立；④关于x 的方程214ax bx c a ++=-无实数根．其中结论正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．将抛物线2(1)y x =+的图象位于直线9y =以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y x m =+与此图象有四个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．574m << B ．354m << C ．495m << D ．374m << 9．已知函数f （x ）＝x 2+2x ，g （x ）＝2x 2+6x +n 2+3，当x ＝1时，f （1）＝12+2×1＝3，g （1）＝2+6+n 2+3＝n 2+11．则以下结论正确的有（ ）①若函数g （x ）的顶点在x 轴上，则6n = ②无论x 取何值，总有g （x ）＞f （x ）；③若﹣1≤x ≤1时，g （x ）+f （x ）的最小值为7，则n ＝±3； ④当n ＝1时，令()()2()g x h x f x =，则h （1）•h （2）…h （2023）＝2024．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知，抛物线y ＝ax 2＋2ax 在其对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，关于x 的方程ax 2＋2ax ＝m （m＞0）的一个根为﹣4，而关于x 的方程ax 2＋2ax ＝n （0＜n ＜m ）有两个整数根，则这两个根的积是（ ） A ．0B ．﹣3C ．﹣6D ．﹣8二、填空题11．若抛物线2=2++y x mx n -与x 轴交于A ，B 两点，其顶点C 到x 轴距离是8，则线段AB 的长为 ． 12．根据下列表格的对应值，判断20ax bx c ++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的取值范围是x3.23 3.24 3.25 3.26 2ax bx c ++ 0.06-0.02-0.030.0913．如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A （﹣4，8），B （2，2），则关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的解为 ．14．抛物线 2y ax bx c =++ （a ，b ，c 为常数， 0a > ）经过两点 ()()2,0,4,0A B - ，下列四个结论：①20b a += ；②若点 ()()2020,,2021,m n - 在抛物线上，则 m n < ；③0y > 的解集为 2x <- 或 4x > ；④方程 ()21a x bx c x +++=- 的两根为 123,3x x =-= .其中正确的结论是 （填写序号）.15．若抛物线25y x bx =+-的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25x bx +-213x =-的解为 .16．若一元二次方程()200ax bx c ac ++=≠有两个不相等实根，则下列结论：①240b ac ->；②方程20cx bx a ++=一定有两个不相等实根；③设2bm a=-，当0a >时，一定有22am bm ax bx +≤+；④s ，()t s t <是关于x 的方程()()10x p x q +--=的两根，且p q <，则q t s p >>>，一定成立的结论序号是 ．17．抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0)c <经过(11)，，(0)m ，和(0)n ，三点，且3n ≥. 下列四个结论：①0b <；②2414ac b a->；③当3n =时，若点(2)t ，在该抛物线上，则>1t ；④若关于x 的一元二次方程2ax bx c x ++=有两个相等的实数根，则10<3m ≤. 其中正确的是 （填序号即可）.18．抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =，经过点()3,n -，顶点为D ，下列四个结论：21a b +=①；240b ac ->②；③关于x 的一元二次方程2ax bx c n ++=的解是13x =-和25x =；④设抛物线交y 轴于点C ，不论a 为何值，直线CD 始终过定点()15,n -．其中一定正确的是 （填写序号）．三、解答题19．已知抛物线的顶点坐标为()2,0，且经过点()1,3-．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点(m,−27)在该抛物线上，求m 的值．20． 排球场的长度为18m ，球网在场地中央且高度为2.24.m 排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度(y 单位：)m 与水平距离(x 单位：)m 近似满足函数关系()²(0)y a x h k a =-+<．（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/x m 0 2 4 6 11 12 竖直高度/y m2.482.722.82.721.821.52①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系()²(0)y a x h k a =-+<； ②判断该运动员第一次发球能否过网 ▲ (填“能”或“不能”)．（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度(y 单位：)m 与水平距离(x 单位：)m 近似满足函数关系()20.024 2.88y x =--+，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．21．如图，抛物线()2y ax bx c a 0=++≠经过点()A 03，，()B 23，和()C 10-，，直线()y mx n m 0=+≠经过点B ，C ，部分图象如图所示，则：（1）该抛物线的对称轴为直线 ；（2）关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=的解为 ； （3）关于x 的一元二次方程2ax bx c mx n ++=+的解为 ．22．已知抛物线y=ax 2+x+1（0a ≠）（1）若抛物线的图象与x 轴只有一个交点，求a 的值； （2）若抛物线的顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．23．如图，二次函数y ＝2x ＋bx ＋c 的图象与x 轴只有一个公共点P ，与y 轴交于点Q ，过点Q 的直线y＝2x ＋m 与x 轴交于点A ，与这个二次函数的图象交于另一点B ，若S △BPQ ＝3S △APQ ，求这个二次函数的解析式．24．二次函数解析式为223y ax x a =--．（1）判断该函数图象与x 轴交点的个数；（2）如图，在平面直角坐标系中，若二次函数图象顶点是A ，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于D ，点C 的坐标是()3,0，求直线CD 的解析式；（3）请你作一条平行于x 轴的直线交二次函数的图象于点M ，N ，与直线CD 于点R ，若点M ，N ，R 的横坐标分别为m ，n ，r ，且r m n <≤，求m n r ++的取值范围．25．抛物线L ：212y x bx c =-+与直线L '：22y kx =+交于A 、B 两点，且()2,0A ．（1）求k 和c 的值（用含b 的代数式表示c ）； （2）当0b =时，抛物线L 与x 轴的另一个交点为C ． ①求ABC 的面积；②当15x -≤≤时，则1y 的取值范围是_________．（3）抛物线L ：212y x bx c =-+的顶点(),M b n ，求出n 与b 的函数关系式；当b 为何值时，点M 达到最高．（4）在抛物线L 和直线L '所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当20b =-时，直接写出“美点”的个数_________．参考答案1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】412．【答案】3.24 3.25x << 13．【答案】x 1＝﹣4，x 2＝2 14．【答案】①③ 15．【答案】1224x x ==， 16．【答案】①②③④ 17．【答案】②③④ 18．【答案】④③19．【答案】（1）y =−3(x −2)2（2）5m =或1-20．【答案】（1）解：①由表中数据可得顶点()42.8，设2(4) 2.8(0)y a x a =-+<把()02.48，代入得16 2.8 2.48a += 解得：0.02a =-∴所求函数关系为20.02(4) 2.8y x =--+；②能．（2）解：判断：没有出界．第二次发球：()20.024 2.88y x =--+ 令0y =，则()20.024 2.880x --+= ，解得18(x =-舍) 216x =21618x =<∴该运动员此次发球没有出界．21．【答案】（1）x 1=（2）1x 1=- 2x 3= （3）1x 2= 2x 1=-22．【答案】（1）解：由题意得方程ax 2+x+1=0有两等实数根．∴△＝b 2-4ac ＝1-4a ＝0，∴a ＝14． ∴当a ＝14时函数图象与x 轴恰有一个交点； （2）解：由题意得4104a a-> 当a ＞0时，4a -1＞0，解得a ＞14；当a ＜0时，4a -1＜0，解得a ＜14．∴a ＜0.∴当a ＞14或a ＜0时，抛物线顶点始终在x 轴上方．23．【答案】y ＝x 2﹣4x+424．【答案】（1）函数图象与x 轴交点的个数是2（2）3y x =- （3）12m n r ≤++<25．【答案】（1）1k =- 44c b =-（2）10；1421y -≤≤ （3）244n b b =-+- 2b = （4）90。
二次函数与一元二次方程(A卷基础巩固) -九年级数学下册同步分层练习(北师大版)(原卷版)
2.10—2.11 二次函数与一元二次方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A 卷（基础巩固）一、单选题1．（2021·安徽淮北九年级月考）若二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则方程20ax bx c ++=的解是（ ）．A ．1x =B ．1x =或3-C ．11x =，23x =-D ．11x =-，22x =-第1题图 第2题图2．（2021·福建省福州市九年级月考）函数2y ax bx c =++的图象如图所示，关于x 的一元二次方程240ax bx c ++-=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．（2021·安徽安庆市第四中学九年级期中）下列表格是二次函数2y ax bx c =++中x 与y 的对应值，则方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）的一个近似解是（ ）x6.17 6.18 6.19 6.20 2y ax bx c =++ −0.03 −0.010.02 0.06 A ．6.17 B ．6.18C ．6.19D ．6.20 4．（2021·陕西延安市九年级月考）如图是二次函数2y ax bx c =++() 0a ≠的图象，以下结论：①0abc >；②90a c +<；③20ax bx c ++=的两个根是12x =-，24x =；④:1:4b c =，其中正确的是（ ） A ．①③④ B ．①② C ．②③④ D ．①②③④第4题图 第8题图5．（2021·湖北武汉市九年级月考）抛物线y ＝x 2－（4a ＋1）x ＋3a 2＋3a （a 为常数）与x 轴交于A 、B 两点，若AB ＝2，则a 的值是（ ）A ．32B ．－12C ．－32或32D ．－12或326．（2021·福建省福州市九年级月考）抛物线y ＝﹣x 2＋2x ＋6在直线y ＝﹣9上截得的线段长度为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．97．（2021·江苏南通九年级月考）若二次函效242y kx x =--与x 轴有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A ．2k >-B ．2k >-且0k ≠C ．2k <D ．2k ≥-且0k ≠8．（2021·四川成都锦江区九年级期末）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，下列结论：①abc ＜0；②9a +3b +c ＜0；③a ＞3c ；④若方程ax 2+bx +c ＝0两个根x 1和x 2，则3＜|x 1﹣x 2|＜4，其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题9．（2021·武汉市九年级月考）若函数y ＝（k ﹣3）x 2+2x +1与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为 ___． 10．（2021·内蒙古呼和浩特九年级月考）若函数y ＝（m ﹣1）x 2﹣6x 32+m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为____．11．（2021·山东青岛中学二模）抛物线222(1)y x k x k =-++-（k 为常数）与x 轴交点的个数是______． 12．（2021·陕西延安市九年级月考）下列表格是二次函数2y ax bx c =++()0a ≠中x ，y 的部分对应值，则一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的一个近似解是______．（精确度0.1）第12题图 第14题图13．（2021·北京市人大附中九年级月考）若二次函数22y ax ax c =-+与x 轴的一个交点坐标为()3,0，则关于x 的方程220x ax c α-+=的实数根是______．14．（2021·浙江杭州市九年级月考）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象回答： （1）当y ＞0时，写出自变量x 的取值范围 ___；（2）若方程ax 2+bx +c ﹣k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围___．三、解答题15．（2021·江苏通州九年级月考）已知二次函数()233y x k x k =-++（k 为常数）．（1）求证：无论k 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点；（2）当k 取什么值时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴上方．16．（2021·天津市九年级月考）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象回答下列问题 （1）方程20ax bx c ++=的两个根是______．（2）不等式20ax bx c ++<的解集是______．（3）y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围是______．（4）若方程2ax bx c k ++=无实根，则k 的取值范围是______．x 6.1 6.2 6.3 6.4 y 0.3- 0.1- 0.20.417．（2021·北京五十五中九年级月考）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =-+≠与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标和抛物线的对称轴；（2）过点()0,3B 作y 轴的垂线l ，若抛物线()2440y ax ax a =-+≠与直线l 有两个交点，设其中靠近y 轴的交点的横坐标为m ，且1m <，结合函数的图象，求a 得取值范围．18．（2020·安徽省安庆市九年级月考）已知抛物线y ＝（x ﹣m ）2﹣（x ﹣m ），其中m 是常数．（1）求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x ＝2.5．把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点？。
人教版九年级上册数学 22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习
人教版九年级上册数学22.2 二次函数与一元二次方程同步练习一．选择题1．抛物线y＝﹣x2+3x﹣5与坐标轴的交点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2020的值为（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20213．已知正比例函数y＝kx的函数值随自变量的增大而增大，则二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣1的图象与x轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则函数值y随x值的增大而减小时，x的取值范围是（）A．x＜1 B． x＜2 C． x＞1 D．x＞25．如图，二次函数y＝ax2﹣bx+3图象的对称轴为直线x＝1，与x轴交于A、B两点，且点B坐标为（3，0），则方程ax2＝bx﹣3的根是（）A．x1＝x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝3二．填空题6．对于任意实数m，抛物线y＝x2+4mx+m+n与x轴都有交点，则n的取值范围是．7．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．8．已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是．9．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是．10．若二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象经过点（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x ＝0的根为．11．二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴有个交点．12．若二次函数y＝a（x﹣4）2+4的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的上方，在6＜x＜7这一段位于x轴的下方，则a值为．13．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣与x轴仅有一个交点，则实数k的值为．14．试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：．15．已知二次函数y＝x2﹣x+14m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是．16．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t 为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是．。
九年级数学二次函数与一元二次方程的关系练习题(含答案)
二次函数与一元二次方程的关系一、选择题1、［2021河西区·期末］若关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣6）＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①；②x1＝5，x2＝6；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（5，0）和（6，0）．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3［思路分析］将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项①进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为30﹣m，这只有在m＝0时才能成立，故选项②错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y＝0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．［答案详解］解：一元二次方程（x﹣5）（x﹣6）＝m化为一般形式得：x2﹣11x+30﹣m ＝0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4（30﹣m）＝4m+1＞0，解得：m＞﹣，故选项①正确；∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1+x2＝11，x1x2＝30﹣m，而选项②中x1＝5，x2＝6，只有在m＝0时才能成立，故选项②错误；二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m，＝x2﹣11x+（30﹣m）+m＝x2﹣11x+30＝（x﹣5）（x﹣6），令y＝0，可得（x﹣5）（x﹣6）＝0，解得：x＝5或6．∴抛物线与x轴的交点为（5，0）或（6，0），故选项③正确．综上所述，正确的结论有2个：①③．故选：C．［经验总结］此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题．2、［2021南关区·期末］二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的所有解的积为（）A．﹣4B．4C．﹣5D．5［思路分析］根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标．［答案详解］解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．所以x1＝﹣1，x2＝5，∴x1x2＝﹣1×5＝﹣5，故选：C．［经验总结］考查抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴两个交点的横坐标的和除以2后等于对称轴．3、［2021肥东县·期末］二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是（）A．a＜3B．a＜3且a≠0C．a＞3D．a≥3［思路分析］根据二次函数y＝ax2﹣2x﹣3的图象与x轴有两个公共点可知Δ＞0且a≠0，据此可知a的取值范围．［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，∴Δ＞0且a≠0，即36﹣4a×3＞0，解得a＜3且a≠0．故选：B．［经验总结］本题考查了二次函数的定义和抛物线与x轴的交点，要结合判别式进行解答．4、［2021房县·期末］二次函数y＝﹣x2+2x+1与坐标轴交点情况是（）A．一个交点B．两个交点C．三个交点D．无交点［思路分析］根据题目中的函数解析式可以求得这个二次函数的图象与坐标轴的交点个数．［答案详解］解：当x＝0时，y＝1，当y＝0时，0＝﹣x2+2x+1，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4•（﹣1）•1＝8＞0．∴与x轴有两个交点∴即该函数图象与坐标轴共有三个交点．故选：C．［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、与y轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5、［2021旬邑县·期末］如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，对称轴为x＝﹣1．下列结论正确的是（）A．abc＜0B．3a+c＝0C．4a+2b+c＞0D．2a+b＞0［思路分析］根据二次函数图像和性质依次判断即可．［答案详解］解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0．∵抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0．∴abc＞0．∴A不合题意．∵抛物线过点A（1，0）．∴a+b+c＝0．∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴B符合题意．由图知：当x＝2时，y＜0．∴4a+2b+c＜0．∴C不合题意．∵b＝2a，∴2a﹣b＝0．∴D不合题意．故选：B．［经验总结］本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是求解本题的关键．6、［2021准格尔旗·期末］如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个［思路分析］根据图象开口向下，对称轴为直线x＝1可得抛物线与x轴另一交点坐标在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，从而判断①．由对称轴为直线x＝1可得b与a的关系，将b＝﹣2a代入函数解析式根据图象可判断②由ax2+bx+c＝n有两个相等实数根可得Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，从而判断③．由函数最大值为y＝n可判断④．［答案详解］解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），∴抛物线对称轴为直线x＝1，∵图象与x轴的一个交点在（3，0），（4，0）之间，∴图象与x轴另一交点在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，∴x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，故①正确，符合题意．∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，∴x＝﹣1时，y＝3a+c＞0，故②正确，符合题意．∵抛物线顶点坐标为（1，n），∴ax2+bx+c＝n有两个相等实数根，∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，∴b2＝4a（c﹣n），故③正确，符合题意．∵y＝ax2+bx+c的最大函数值为y＝n，∴ax2+bx+c＝n+1没有实数根，故④正确，符合题意．故选：D．［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．二、填空题7、［2021汕尾·期末］已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（﹣4，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为．［思路分析］根据抛物线与x轴的交点坐标可以直接写出抛物线交点式方程，然后利用二次函数与一元二次方程的关系求得答案．［答案详解］解：根据题意知，该抛物线解析式是y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x+4），∴关于x的方程ax2+bx+c＝0＝a（x+2）（x+4）＝0．∴x+2＝0或x+4＝0，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．故答案是：x1＝﹣2，x2＝﹣4．［经验总结］本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．8、［2021庆阳·期末］若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣6，0）和（4，0），则该抛物线的对称轴是．［思路分析］由抛物线与x轴的两个交点，利用对称性确定出对称轴即可．［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣6，0）和（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，故答案为：直线x＝﹣1．［经验总结］此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握抛物线的对称性是解决问题的关键．9、［2021姜堰区·期末］已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，若二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是．［思路分析］根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标为方程ax2+bx+c＝0的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点．［答案详解］解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（﹣3，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝﹣1，∵二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0），∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为4，∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣6，∴次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点坐标是（﹣6，0），故答案为：（﹣6，0）．［经验总结］此题主要考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．10、［2021密山市·八五七农场学校期末］如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是．［思路分析］利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＞0的解集．［答案详解］解：由图象得：对称轴是直线x＝1，其中一个点的坐标为（3，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＞0的解集即是y＞0的解集，∴﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．［经验总结］此题主要考查了利用二次函数的图象解一元二次方程的根，解决本题的关键是利用数形结合．11、［2021娄星区·期末］已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的坐标为（m，0），则代数式m2﹣m+2021的值为．［思路分析］由题意求出m2﹣m的值，代入代数式m2﹣m+2021进行计算即可得出答案．［答案详解］解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴m2﹣m+2021＝1+2021＝2022．故答案为：2022．［经验总结］本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键．12、［2021雄县·期末］如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为公共对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为．［思路分析］根据题意可推出OB＝2，OA＝1，AD＝OC＝2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行计算即可．［答案详解］解：过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，如右图所示：则四边形OCDA是矩形，∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B （0，2），∴OB＝2，OA＝1，将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，由图可知，阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA•AD＝1×2＝2．故答案为：2．［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是由平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积．13、［2021临海市·期末］如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①c＝3；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，正确的有（填序号）．［思路分析］根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可．［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），∴c＝3，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确；由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故③错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在﹣1，0之间，∴与x轴的另一个一个交点在2，3之间，∴方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，故④正确，故答案为：①②④．［经验总结］本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．三、解答题14、［2021密山市·八五七农场学校期末］如图，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若抛物线上有一点B，且S△OAB＝1，求点B的坐标．［思路分析］（1）利用交点式求抛物线解析式；解析式配成顶点式即可得到抛物线顶点坐标；（2）设B（t，t2﹣2t），根据三角形面积公式得到×2×|t2﹣2t|＝1，则t2﹣2t＝1或t2﹣2t＝﹣1，然后分别解两个方程求出t，从而可得到B点坐标．［答案详解］解：（1）抛物线解析式为y＝x（x﹣2），即y＝x2﹣2x．因为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；（2）设B（t，t2﹣2t），因为S△OAB＝1，所以×2×|t2﹣2t|＝1，所以t2﹣2t＝1或t2﹣2t＝﹣1，解方程t2﹣2t＝1得t1＝1+，t2＝1﹣，则B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；解方程t2﹣2t＝﹣1得t1＝t2＝1，则B点坐标为（1，﹣1），所以B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1，﹣1）．［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点，运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，三角形的面积公式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．15、［2022金川区·期末］已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：（1）点A、B、C的坐标；（2）△ABC的面积．［思路分析］（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标；（2）根据A，B，C的坐标求出AB，CO长，即可求出S△ABC的值．［答案详解］解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴AB＝4，OC＝3，∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．［经验总结］此题主要考查了抛物线与x轴的交点，得出图象与坐标轴交点是解题关键．16、［2021定远县·育才学校期末］在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，连接AC，P A，PC，若S△P AC＝，求点P的坐标．［思路分析］（1）由二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，可得二次函数的解析式为y＝（x+2）（x﹣4），由此即可解决问题．（2）根据S△P AC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，构建方程即可解决问题．［答案详解］解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴该二次函数的解析式为y＝（x+2）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣4．（2）如图，连接OP，设P（m，m2﹣m﹣4），由题意可知：A（﹣2，0）、C（0，﹣4）；∵S△P AC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，∴×2×4+×4×m﹣×2×（﹣m2+m+4）＝；整理得：m2+2m﹣15＝0，解得m＝3或m＝﹣5（舍弃），∴P（3，﹣）．［经验总结］本题考查了三角形的面积，二次函数的解析式的求法，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．17、若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的点雅抛物线．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣2x+p的点雅抛物线，求p的值；（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（﹣1，2）的一次函数y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的点雅抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．［思路分析］（1）利用二次函数的性质得到抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），再根据新定义，把（0，﹣4）代入y＝﹣2x+p值可得到p的值；（2）利用配方法得到抛物线y＝﹣x2+4x+7的顶点坐标为（2，11），再利用待定系数法确定一次函数解析式为y＝3x+5，接着利用解析式求出一次函数图形与坐标轴的交点坐标，然后计算直线y＝kx+t与两坐标轴围成的三角形的面积；（3）先解方程x2+2x+n＝0得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，则﹣1+﹣（﹣1﹣）＝4，解方程得到n＝﹣3，再利用配方法得到抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），然后把（1，﹣4）代入y＝mx﹣3中可求出m的值．［答案详解］解：（1）抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），把（0，﹣4）代入y＝﹣2x+p得﹣2×0+p＝﹣4，解得p＝﹣4；（2）∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，∴抛物线的顶点坐标为（2，11），把（2，11），（﹣1，2）分别代入y＝kx+t得，解得，∴一次函数解析式为y＝3x+5，当x＝0时，y＝5，直线y＝3x+5与y轴的交点坐标为（0，5），当y＝0时，3x+5＝0，解得x＝﹣，直线y＝3x+5与x轴的交点坐标为（﹣，0），∴直线y＝3x+5与两坐标轴围成的三角形的面积＝×5×＝；（3）当y＝0时，x2+2x+n＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，∵﹣1+﹣（﹣1﹣）＝4，∴n＝﹣3，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3，∵y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），把（1，﹣4）代入y＝mx﹣3得m﹣3＝﹣4，解得m＝﹣1，∴m、n的值分别为﹣1，﹣3．［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．18、已知抛物线y＝x2+2ax+3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝1，求k的值．［思路分析］（1）把C点坐标代入y＝x2+2ax+3a中求出a得到抛物线解析式；（2）利用配方法得到y＝（x﹣1）2﹣4，则对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y有最小值﹣4，由于当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，所以n＝﹣4，则m＝5，计算y＝5所对应的自变量的值，从而得到k的值．［答案详解］解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝x2+2ax+3a得3a＝﹣3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1，如图，当x＝1时，y有最小值﹣4，∵当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，∴n＝﹣4，而m+n＝1，∴m＝5，当y＝5时，（x﹣1）2﹣4＝5，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴k＝4．［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．19、如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BOC的面积．［思路分析］（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；（2）根据（1）中抛物线的解析式，可以写出点C的坐标，然后再根据点B的坐标，即可得到OC和OB的长，再根据三角形面积公式，即可求得△BOC的面积．［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3，∴点C的坐标为（0，3），∴OC＝3，∵点B的坐标为（﹣3，0），∴OB＝3，∵∠BOC＝90°，∴△BOC的面积是＝＝．［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．20、已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）二次函数图象的开口方向，顶点坐标是，与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；（2）画函数图象；（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是．［思路分析］（1）先把一般式配成顶点式，则根据二次函数的性质可判断抛物线的开口方向，顶点坐标；然后解方程x2﹣4x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标，计算自变量为0所对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；（2）利用描点法画出二次函数的图象；（3）结合函数图象和二次函数的性质求解．［答案详解］解：（1）∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；故答案为：向上；（2，﹣1）；（1，0），（3，0）；（0，3）；（2）如图，（3）当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝3，所以当1＜x＜4时，y的取值范围为﹣1≤y＜3．故答案为：﹣1≤y＜3．［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质与图象．。
人教版九年级上册数学22.3二次函数与一元二次方程---投球问题专题训练(word、含简单答案)
人教版九年级上册数学22.3二次函数与一元二次方程---投球问题专题训练一、单选题1．一个小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：()2516h t =--+，则小球距离地面的最大高度是（ ）.A ．1米B ．5米C ．6米D ．-5米 2．为了响应“足球进校国”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h （m ）可以用公式h ＝﹣5t 2+v 0t 表示，其中t （s ）表示足球被踢出后经过的时间，v 0（m /s ）是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m ，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ） A ．5m /s B ．10m /s C ．20m /s D ．40m /s 3．一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度()y m 与水平距离之间的关系是21251233y x x =-++，那么铅球推出后落地时距出手地的距离是（ ） A ．5 3米 B ． 4米 C ． 8米 D ．1?0米 4．一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣6（t ﹣2）2+7，则小球距离地面的最大高度是（ ）A ．2米B ．5米C ．6米D ．7米 5．把一个小球以30米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （米）与时间t （秒）的函数关系为2305h t t =-，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（ ） A ．2秒 B ．3秒 C ．6秒 D ．45秒 6．从地面竖直上抛一小球，小球的高度h 米与时间t 秒的关系式是：()230506h t t t =-≤≤，当2t =秒时，h 的值是（ ）A ．40米B ．30米C ．60米D ．100米 7．竖直向上发射的小球的高度()h m 关于运动时间()t s 的函数表达式为2h at bt =+，其图象如图所示．若小球在发射后第2s 与第6s 时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第（ ）A ．3sB ．3.5sC ．4sD ．6.5s8．林书豪身高1.91m ，在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离约为（ ）A ．3.2mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m二、填空题9．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．10．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线． 若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系h ＝20t －5t 2，则小球飞出______s 时，达到最大高度．11．铅球运行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的函数关系满足2143123y x x =-++，此运动员能把铅球推出__________m ． 12．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度()m y 与水平距离()m x 之间的关系为()215312y x =--+，由此可知铅球推出的距离是______m ．13．从地面上竖直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球的运动时间t （秒）之间的关系式是2305h t t =-(06)t ≤≤，则小球从抛出___________秒后离地面25米． 14．烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h（m ）与飞行时间t （s ）的关系式是252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为________.15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球的运动时间t （秒）之间的关系式是()230506h t t t =-≤≤，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球.则第二个小球抛出______秒时，两个小球在空中的高度相同.16．铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y ＝﹣112x 2+23x+53，铅球推出后最大高度是_____m ，铅球落地时的水平距离是______m.三、解答题17．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-．(1)小球从抛出到落地经过了多少秒？(2)当小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？18．如图，以60米/秒的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：米）与飞行时间t （单位：秒）之间有下列函数关系：h ＝30t ﹣5t 2.依据所给信息，解决下列问题： （1）小球的飞行高度是否能达到25米？如果能，需要飞行的时间是多少？（2）小球的飞行高度是否能达到45米？如果能，需要飞行的时间是多少？请直接写出答案： ．（3）小球从飞出到落地要用多少时间（设地面是水平的）？19．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x 轴方向，1m 为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y 轴上的A 点出手，运动路径可看作抛物线，在B 点处达到最高位置，落在x 轴上的点C 处．小明某次试投时的数据如图所示．（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C 与出手点A 的水平距离OC 的长度）不小于10m ，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．20．一身高1.8m 的篮球运动员在距篮板4m 处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m 处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用20.2 3.5y x =-+来描述，那么：（1）球能达到的最大高度是多少？（2）球出手时，运动员跳离地面的高度是多少？参考答案：1．C2．C3．D4．D5．B6．A7．C8．B9．410．211．1812．1113．1或514．4s15．2.516． 3 1017．(1)6秒(2)3s ；45m18．（1）小球的飞行高度能达到25米，飞行的时间为1s 或5s ；（2）3s ；（3）6s 19．（1）见解析；（2）()214316y x =--+；（3）达到优秀 20．（1）3.5m ；（2）0.2m ．。
21.4 二次函数与一元二次方程同步基础练习题(含答案)
22.4 二次函数与一元二次方程同步基础练习题一、选择题(本大题共15小题)1.抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有交点，则m的取值范围是（）A.m≤2B.m＜-2C.m＞2D.0＜m≤22.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个同号不等实数根D.有两个异号实数根3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为（）A.x=1B.x=-1C.x1=1，x2=-3D.x1=1，x2=-44.已知二次函数y=kx2-5x-5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.＞B.且k≠0C.D.＞且k≠05.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与x轴交点的个数（）A.3B.2C.1D.06.不论m为何实数，抛物线y=x2-mx+m-2（）A.在x轴上方B.与x轴只有一个交点C.与x轴有两个交点D.在x轴下方7.若抛物线y=-x2+px+q与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，且a＜1＜b，则有（）A.p+q＜1B.p+q=1C.p+q＞1D.pq＞08.若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：①b2-4ac＞0；②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解；③x1＜x0＜x2④a（x0-x1）（x0-x2）＜0；⑤x0＜x1或x0＞x2，其中正确的有（）A.①②B.①②④C.①②⑤D.①②④⑤9.将抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（）A.4B.6C.8D.1010.若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A.b＜1且b≠0B.b＞1C.0＜b＜1D.b＜111.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为（-2，0），对称轴为直线x=1，则y＜0时x的范围是（）A.x＞4或x＜-2B.-2＜x＜4C.-2＜x＜3D.0＜x＜312.已知抛物线y=x2-x-2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-m+2016的值为（）A.2017B.2018C.2019D.202013.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（-2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A.x＜-2B.x＞4C.-2＜x＜4D.x＞014.函数y=-x2+2（m-1）x+m+1的图象如图，它与x轴交于A，B两点，线段OA与OB的比为1：3，则m的值为（）A.或2B.C.1D.215.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是经过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在抛物线上，则4a-2b+c 的值为（）A.-2B.0C.2D.4二、填空题(本大题共11小题)16.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为______ ．17.已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积是______ ．18.若二次函数y=x2+6x+k的图象与x轴有且只有一个交点，则k的值为______ ．19.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B两点，点B的坐标为（7，0），与y轴相交于点C（0，3），点D （5，3）在该抛物线上，则点A的坐标是______ ．20.如图，二次函数y=a（x-2）2+k的图象与x轴交于A，B两点，且点A的横坐标为-1，则点B的横坐标为______ ．21.若二次函数y=（k-2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______ ．22.抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是______ ．23.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是______ ．24.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a ______ 0，b ______ 0，c ______ 0，△ ______ 0．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）25.若关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个不同的实数根m，n（m＜n），方程x2+ax+b=2有两个不同的实数根p，q（p＜q），则m，n，p，q的大小关系用“＜”连接为______ ．2三、解答题(本大题共6小题)27.已知二次函数y=x2-2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求A、B、C点的坐标；（2）判断△ABC的形状，并求其面积．28.已知函数y=x2-（m-2）x+m的图象过点（-1，15），设其图象与x轴交于点A、B（A在B的左侧），点C在图象上，且S△ABC=1，求：（1）求m；（2）求点A、点B的坐标；（3）求点C的坐标．29.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．30.二次函数的图象经过A（4，0），B（0，-4），C（2，-4）三点：（1）求这个函数的解析式；（2）求函数图顶点的坐标；（3）求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积．31.已知二次函数y=x2+2x-3．（1）把函数配成y=a（x-h）2x轴交点坐标；（3）用五点法画函数图象y……（4）当y＞0时，则x的取值范围为______ ．（5）当-3＜x＜0时，则y的取值范围为______ ．32.二次函数y=x2+（2m+1）x+m2-1与x轴交于A，B两个不同的点．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时A，B两点的坐标．【答案】1.A2.C3.C4.B5.B6.C7.C8.B9.B 10.A 11.B 12.B 13.C 14.D 15.B16.217.618.919.（-2，0）20.521.k≤3且k≠222.223.方程ax2+bx+c-3=0有两个相等的实数根24.＞；＜；＞；=25.p＜m＜n＜q26.x1=-4，x2=027.解：（1）令y=0，则x2-2=0，解得：x1=-2，x2=2，∴A（-2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（-2，0）；令x=0，y=-2，∴C点的坐标为（0，-2）．（2）∵A（-2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（-2，0），且C（0，-2），∴AC=2，BC=2，AB=4，∴AB2=AC2+BC2．∵AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形．S△ABC=AC•BC=×2×2=4．28.解：（1）∵函数y=x2-（m-2）x+m的图象过点（-1，15），∴15=1+m-2+m，解得：m=8．（2）将m=8代入y=x2-（m-2）x+m中得：y=x2-6x+8，令y=0，则x2-6x+8=0，解得：x1=2，x2=4，∵A在B的左侧，∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0）．（3）设点C的坐标为（n，n2-6n+8），∵A（2，0），B（4，0），∴AB=2，S△ABC=AB•|n2-6n+8|=1=|n2-6n+8|，解得：n1=1，n2=6，n3=3，∴点C的坐标为（1，1）、（6，1）或（3，-1）．29.解：把A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y=x2-4x+3，y=x2-4x+3=（x-2）2-1，顶点坐标为（2，-1）．30.解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k∵B、C的纵坐标都是-4，∴B、C关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为：x=1，即h=1，∴y=a（x-1）2+k，将A（4，0）和B（0，-4）代入上式，解得：∴抛物线的解析式为：y=（x-1）2-（2）由（1）可知：顶点坐标为（1，-）（3）令y=0代入y=（x-1）2-，∴抛物线与x轴的交点坐标为：（4，0）或（-2，0）∵抛物线与y轴的交点坐标为：（0，-4）∴抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积为：×6×4=1231.x＜-3或x＞1；-4≤y＜032.解：（1）∵二次函数y=x2+（2m+1）x+m2-1与x轴交于A，B两个不同的点，∴一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m+1）2-4（m2-1）=4m+5＞0，解得：m＞-．（2）当m=1时，原二次函数解析式为y=x2+3x，令y=x2+3x=0，解得：x1=-3，x2=0，∴当m=1时，A、B两点的坐标为（-3，0）、（0，0）．。
2021-2022学年九年级数学人教版上册《二次函数与一元二次方程》同步基础达标训练(附答案)
2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》同步基础达标训练（附答案）一．选择题（共8小题）1．已知A＝x2+a，B＝2x，若对于所有的实数，A的值始终比B的值大，则a的值可能是（）A．﹣1B．0C．1D．22．直线y＝x+2m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝x2+2x+1﹣m与x轴的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个3．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的一个交点是（﹣1，0），那么抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．（0，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣3）4．将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线、直线y ＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A．5B．6C．7D．85．若二次函数y＝x2+2x+kb+1图象与x轴有两个交点，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（）A．B．C．D．6．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：①b2﹣4ac＞0；②x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解；③x1＜x0＜x2④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；⑤x0＜x1或x0＞x2，其中正确的有（）A．①②B．①②④C．①②⑤D．①②④⑤7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2B．x＞4C．﹣2＜x＜4D．x＜﹣2或x＞4 8．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣3B．x＞0C．﹣3＜x＜1D．x＞1二．填空题（共8小题）9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，则△ABC的面积为．10．下列关于二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的结论：①该函数图象是开口向上的抛物线；②该函数图象一定经过点（1，0）；③该函数图象与x轴有两个公共点；④该函数图象的顶点在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上．其中所有正确结论的序号是．11．已知二次函数y＝2x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则m＝．12．对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是．13．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为．14．抛物线y＝a（x﹣）2+k经过A（﹣3，0），B（m，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣）2+k＝0的解是．15．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与x轴的交点A的坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝．16．已知函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a﹣3的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为．三．解答题（共6小题）17．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．18．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于B，C两点（点C在点B的右侧），与y轴交于点D．连接BD、CD，求△BCD的面积．19．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0）、B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标．20．如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）．（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；（2）求直线AM的解析式．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BOC的面积．22．如图，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+9交x轴于A，B两点，点A在点B左侧，点C的坐标为（6，0），AC＜BC，过点C作CD⊥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥CD交抛物线于点E．（1）若点A的坐标为（4，0），求DE的长．（2）当DE＝AB时，求m的值．参考答案一．选择题（共8小题）1．解：由题可得：∵A的值始终比B的值大，∴有x2+a＞2x，即x2﹣2x+a＞0，即y＝x2﹣2x+a的函数图象与x轴无交点，∴△＝4﹣4a＜0，∴a＞1．故选：D．2．解：∵直线y＝x+2m经过第一、三、四象限，∴2m＜0，又由抛物线y＝x2+2x+1﹣m的解析式可知，△＝22﹣4（1﹣m）＝4m＜0，∴抛物线与x轴无交点．故选：A．3．解：由抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）知，抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）和（﹣1，0），故选：B．4．解：B，C分别是顶点，A、D是抛物线与x轴的两个交点，连接CD，AB，如图，阴影部分的面积就是平行四边形ABCD的面积，S＝2×3＝6；故选：B．5．解：∵二次函数y＝x2+2x+kb+1图象与x轴有两个交点，∴△＝22﹣4×1（kb+1）＞0，解得：kb＜0．当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．故选：A．6．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＞0，①正确；②∵图象上有一点M（x0，y0），∴a+bx0+c＝y0，∴x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解，②正确；③当a＞0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x1＜x0＜x2；当a＜0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x0＜x1或x0＞x2，③错误；④∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），∴y＝ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2），∵图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，∴y0＝a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，④正确；⑤根据③即可得出⑤错误．综上可知正确的结论有①②④．故选：B．7．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，函数开口向下，∴函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或x＞4，故选：D．8．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∴当﹣3＜x＜1时，y＜0．故选：C．二．填空题（共8小题）9．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣x+，∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，），∴AB＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，OC＝，∴△ABC的面积为：＝3，故答案为：3．10．解：①抛物线系数a＝1，∴开口向上正确；②当x＝1时代入抛物线解析式y＝12﹣（m+1）×1+m＝0，∴该函数图象一定经过点（1，0）正确；③令x2﹣（m+1）x+m＝0，△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2，当m＝1时该函数图象与x轴只有一个公共点，故该函数图象与x轴有两个公共点不正确；④∵y＝x2﹣（m+1）x+m＝（x﹣）2+，∴二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的顶点坐标为（，），又∵＝﹣＝﹣（﹣1）2，∴函数图象的顶点在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上正确，故答案为①②④．11．解：∵二次函数y＝2x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴0＝2×12﹣3×1+m，解得，m＝1，故答案为：1．12．解：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，∴△≥0，则（2a）2﹣4（a+b）≥0，整理得b≤a2﹣a，∵a2﹣a＝（a﹣）2﹣，∴a2﹣a的最小值为﹣，∴b≤﹣，故答案为b≤﹣．13．解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，∵BE+DE＝EA+DE＝AD，∴此时BE+DE的值最小，设直线AD的解析式为y＝kx+b，把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1，当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×4×1+×4×1＝4．故答案为4．14．解：∵抛物线y＝a（x﹣）2+k的对称轴为直线x＝，而抛物线与轴的交点为A（﹣3，0），B（m，0），∴m﹣＝﹣（﹣3），解得m＝4，即B（4，0），∴关于x的一元二次方程a（x﹣）2+k＝0的解是x1＝﹣2，x2＝5．故答案为x1＝﹣2，x2＝5．15．解：∵m+n＝0，∴m＝﹣n，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣n，∵A点坐标为（n，0），∴B点坐标为（﹣3n，0），∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣n）（x+3n），即y＝ax2+2anx﹣3an2，∴﹣3an2＝﹣4，∴an2＝，当x＝﹣n时，t＝an2﹣2an2﹣3an2＝﹣4an2＝﹣4×＝﹣．故答案为﹣．16．解：当a﹣1＝0时，即a＝1，函数为y＝﹣2x﹣2，此一次函数与坐标轴共有两个交点；当a﹣1≠0，此函数为二次函数，若a﹣3＝0，抛物线解析式为y＝2x2﹣6x，抛物线经过原点且抛物线与x轴有两个交点；若△＝0，抛物线的顶点在x轴上，即△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣1）（a﹣3）＝0，解得a＝，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x﹣＝﹣（x+3）2，抛物线的顶点为（﹣3，0），则抛物线与两坐标轴共有两个交点．综上所述，a的值为1或3或．故答案为1或3或．三．解答题（共6小题）17．解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即1+4m＞0，∴m＞﹣；（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），∴另一个交点为（﹣2，0），∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．18．解：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得，x1＝﹣1，x2＝3，∴C（﹣1，0），B（3，0），∴BC＝3﹣（﹣1）＝4；当x＝0时，代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴D（0，﹣3），∴OD＝3，∴．19．解：（1）将A（2，0）、B（0，﹣1）和C（4，5）三点代入二次函数y＝ax2+bx+c得：，解得：，∴二次函数的解析式为y＝；（2）当y＝0时，＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣1，0）．20．解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0），∴2×22+2m＝0，∴m＝﹣4，∴y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，∴顶点M的坐标为（1，﹣2），（2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵图象过A（2，0），M（1，﹣2），∴，解得，∴直线AM的解析式为y＝2x﹣4．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3，∴点C的坐标为（0，3），∴OC＝3，∵点B的坐标为（﹣3，0），∴OB＝3，∵∠BOC＝90°，∴△BOC的面积是＝＝．22．解：（1）把A（4，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+9得﹣（4﹣m）2+9＝0，解得m＝1或m ＝7，∵点A在点B左侧，∴m＝7，即抛物线的对称轴为直线x＝7，∵CD⊥x轴，DE⊥CD，∴点E与点D关于直线x＝7对称，而D点的横坐标为6，∴DE＝2×（7﹣6）＝2；（2）当y＝0时，﹣（x﹣m）2+9＝0，解得x1＝m﹣3，x2＝m+3，∴A（m﹣3，0），B（m+3，0），∴AB＝m+3﹣（m﹣3）＝6，∴DE＝AB＝3，∵D点的横坐标为6，∴2（m﹣6）＝3，∴m＝．。
2023-2024学年九年级上学期数学：二次函数与一元二次方程(附答案解析)
D．一元二次方程 的两个根是 和3
7．已知抛物线 ， ， 是常数， 经过点 和 ，其对称轴在 轴左侧．有下列结论：①抛物线经过 ；② 有两个不相等的实数根；③ ，其中正确结论的个数是
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
8．已知抛物线顶点坐标为 ，与 轴两交点间的距离为4，抛物线的解析式是．
其中正确的结论是
A．①②B．②③C．③④D．②③④
8．（2020•毕节市）已知 的图象如图所示，对称轴为直线 ．若 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ， ，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022•大庆）已知函数 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 的值为．
10．（2021•成都）在平面直角坐标系 中，若抛物线 与 轴只有一个交点，则 ．
（1）求 的值；
（2）判断二次函数 的图象与 轴交点的个数，并说明理由．
14．（2021•乐山）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
（2）二次函数 的部分图象如图所示，求一元二次方程 的解．
基础训练
1．【答案】D
【解析】解： △ ，
抛物线 与 轴交点的个数是0，
A． ， B． C． ， D．
6．（2020•娄底）二次函数 与 轴的两个交点的横坐标分别为 和 ，且 ，下列结论正确的是
A． B． C． D．
7．（2021•黄石）二次函数 、 、 是常数，且 的自变量 与函数值 的部分对应值如下表：
0
1
2
2
2
且当 时，对应的函数值 ．有以下结论：
① ；② ；③关于 的方程 的负实数根在 和0之间；④ 和 在该二次函数的图象上，则当实数 时， ．
人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程 试卷(含答案)
人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程基础闯关全练1．（2019北京通州期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x²-4x的图象与x轴的交点坐标是( )A.(0，0)B.(4，0)C.(4,0)、(0,0)D.(2,0)、(-2,0)2．（2018山东烟台期末）已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数是( )A.0B.1C.2D.33．（2019四川达州渠县月考）二次函数y=x²-6x -7的图象与x轴的交点坐标是_________，与y 轴的交点坐标是____．4．（2019广西梧州蒙山二中月考）已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A（-1，0），B(5，0)，则一元二次方程ax²+bx+c=O(a≠0)的根是____．5．（2019湖南长沙雨花月考）图22-2-1是二次函数y= ax²+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax²+bx+c>0的解集是__________.图22-2-16．（2019湖北武汉汉阳期中）二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图22-2-2所示，根据图象解答下列问题：(1)直接写出方程ax²+bx+c=2的根：(2)直接写出不等式ax²+bx+c<0的解集．图22-2-2那么方程x²+3x-5=0的一个近似根是( )A．1B．1.1C．1.2D．1.38．（2018辽宁抚顺新宾期中）根据表格中的对应值，判断ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是____________.能力提升全练1．（2019北京西城期中）二次函数y= ax²+bx+c的图象如图22-2-3所示，则下列说法中错误的是( )图22-2-3A．图象的对称轴是直线x=-1B．当x>-1时，y随x的增大而减小C．当-3<x<1时，y<0D．一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根是-3，12．（2018陕西中考）对于抛物线y= ax²+（2a -1）x+a-3，当x=1时，y>0，则这条抛物线的顶点一定在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2015浙江宁波中考）二次函数y=a（x-4）²-4(n≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方，在6<x<7这一段位于x轴的上方，则a的值为( )A.1B.-1C.2D.-24．已知二次函数y=（x-1）²-t²(t≠0)，方程（x-1）²-t²-1=0的两根分别为m，n(m＜n)，方程（x-1）²-t²-2=0的两根分别为p，q(p<g)，则m，n，p，q的大小关系是_________（用“＜”连接）．5．若抛物线），=X²-2 018x+2 019与石轴的两个交点为(m,0)与(n,0)，则(m²-2 019m+2 019)(n²-2 019n+2 019)=______．三年模拟全练一、选择题1．（2019山东临沂兰陵二中月考，13，★☆☆）二次函数y= ax²+bx+c的图象如图22-2-4所示，则方程ax²+bx+c=0的根是( )图22-2-4A.x₁=1,x₂=-1B.x₁=0,x₂=2C.x₁=-1,x₂=2D.x₁=1,x₂=02．（2019天津河西期中，9，★☆☆）抛物线y=x²+x+1与两坐标轴的交点个数为( )A．0B．1C．2D．33．（2018吉林长春榆树期末，13，★☆☆）二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图22-2-5所示，请直接写出不等式ax²+bx+c>0的解集：____________.图22-2-5五年中考全练一、选择题1．（2018天津中考，12，★★☆）已知抛物线y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)经过点（-1，0），(0，3)，其对称轴在y，轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点(1，0)；②方程ax²+bx+c=2有两个不相等的实数根；③-3<a+6<3．其中，正确结论的个数为( )A．0B．1C．2D．3二、填空题2．（2018四川自贡中考．15．★女☆）若函数y= X²+ 2x -m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为_________．3．（2018湖北孝感中考．13．★★女）如图22-2-6，抛物线y= ax²与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2，4)，B(1，1)，则方程ax²= bx+c的解是___________.图22-2-6 三、解答题4．（2018云南中考，20，★★☆）已知二次函数的图象经过A( 0,3) ,两点．(1)求b,c 的值．(2)二次函数的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况． 核心素养全练1．坐标平面上，若移动二次函数y= -（x -2 019）(x -2 020) +2的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则移动方式可为( ) A ．向上平移2个单位 B ．向下平移2个单位 C ．向上平移1个单位 D ．向下平移1个单位2．（2018浙江杭州中考）四位同学在研究函数y=x ²+bx+c （b ，c 是常数），甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现-1是方程x ²+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁3．（2015四川资阳中考）已知抛物线p:y=ax ²+bx+c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x 轴的对称点为C’，我们称以A 为顶点且过点C ‘，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC ’为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x ²+2x+1和y= 2x+2．则这条抛物线的解析式为____． 答案基础闯关全练 1．C解析：∵二次函数y=x ²-4x=x （x -4），∴当y=0时，x=0或x=4，∴二次函数y=x ²- 4x 的图象与x 轴的交点坐标是(0，0)、(4，0)，故选C ． 2．Bcbx x ++-=2163y ⎪⎭⎫ ⎝⎛--294B ，c bx y ++-=2x 163解析：∵关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根．∴抛物线y= ax²+bx+c与x轴的交点个数是1．故选B．3．答案(7，0)，（-1，0）；（0，-7）解析当y=0时，0=x²-6x-7，解得x₁=7，x₂=-1，∴二次函数y=x²-6x-7的图象与省轴的交点坐标是(7，0)，（-1，0）．当x=0时．y= -7,∴二次函数y=x²-6x-7的图象与y轴的交点坐标是（0，-7）．4．答案x₁=-1，x₂=5解析∵抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A（-1，0），B(5，0)，∴方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根为x₁=-1，x₂=5．5．答案-1<x<3解析∵抛物线的对称轴为直线x=1．而抛物线与x轴的一个交点坐标为(3，0),∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），∴当-1<x<3时，不等式ax²+bx+c>0．6．解析(1)方程ax²+bx+c=2的根为x₁=x₂=2．(2)当x<1或x>3时，y<0，即ax²+bx+c<0，所以不等式ax²+bx+c<0的解集为x<1或x>3．7．C解析：由题中表格的数据可以看出最接近于0的数是0. 04．它对应的x的值是1.2，故方程x²+3x-5=0的一个近似根是1.2．故选C．8．答案3.24<x<3.25解析∵当x= 3.24时，y= -0.02<0;当z=3.25时，y=0.03>0，∴方程ax²+bx+c=0的一个解x的取值范围是3.24<x<3.25.能力提升全练1.B解析：因为抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0），(1，0)，所以抛物线的对称轴为直线，所以A选项的说法正确：因为对称轴为x=-1，且抛物线开口向上，所以当x>-1时．y随x的增大而增大，所以B选项的说法错误；由题图知当-3<x<1时，y<0，所以C选项的说法正确：由题图知方程ax²+bx+c=0的两个根是-3，1，所以D选项的说法正确．故选B．2.C解析：由题意可得，当x=1时，有a+2a-1+a-3>0，解得a>1,所以，所以这条抛物线的顶点一定在第三象限．故选C．3.A解析：抛物线y=a（x-4）²-4(a≠0)的对称轴为直线x=4,∵抛物线在6<x<7这一段位于x轴的上方．∴抛物线在1<x<2这一段位于x轴的上方，又∵抛物线在2<x<3这一段位于x轴的下方．∴抛物线过点(2，0)，把(2，0)代入y=a（x-4）²-4(n≠0)得4a-4=0，解得a=1．故选A．4．答案p<m<n<q解析二次函数y=（x-1）²-t²(t≠0)的图象如图：根据图象易知．p<m<n<q．5．答案2 019解析∵抛物线y=x²-2 018x+2 019与x轴的两个交点为(m,0)与( n,0),∴m²-2 018m+2 019= 0,n²-2 018n+2 019=0,mn=2 019,∴(m²-2 019m+2 019)(n²-2 019n+2 019)=-m．（-n）=mn=2 019.三年模拟全练一、选择题1．C解析：由题图得抛物线与石轴的交点坐标为（-1，0），(2，0)，所以方程ax²+bx+e=0的根为x₁=-1，x₂=2．故选C．3．B解析：当y=0时，X²+x+1=0．∵△=1²-4x1x1=-3<0,∴一元二次方程x²+x+1=0没有实数根，即抛物线y=x²+x+1与x轴没有交点；当x=0时，y=1，即抛物线y=x²+x+1与y轴有一个交点,∴抛物线y=x²+x+1与两坐标轴的交点个数为1．故选B．二、填空题3．答案1<x<3解析由题图可看出，当1<x<3时，二次函数y=ax²+bx+c(Ⅱ≠0)的图象位于x轴上方，即y>0，所以不等式ax²+bx+c>0的解集为1<x<3．五年中考全练一、选择题1．C解析：如图，作x轴的平行线y=2．对于抛物线y=ax²+bx+c（o，6，c为常数，a≠0），它与x轴的一个交点为（-1，0）．∵对称轴在y轴右侧，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(1，0)的右侧，故①不正确：观察图象可知，当y=2时，x有两个值，即方程ax²+bx+c=2有两个不相等的实数根，故②正确；将(0，3)代入y= ax²+bx+c中，得c=3，∴y=ax²+bx+3．∴当x=1时，y=a+b+3．观察图象可知，当x=1时，y>0，即a+b+3>0，∴a+b>-3；∵当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，∴b=a+c，∴a+b= 2a +c.∵抛物线开口向下，∴a<0．∴a+b<c=3，∴-3<a+b<3，结论③正确，故选C．二、填空题2．答案-1解析∵函数y=x²+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=2²-4x1×（-m）=0，解得m= -1. 3．答案x₁= -2，x₂=1解析 ∵抛物线y=ax ²与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A （-2，4），B(1，1)．∴方程组的解为所以方程ax ²= bx+c 的解是x₁= -2，x₂=1.三、解答题4．解析 (1)把A(0，3)，分别代入y= +bx+c 中，得，解得(2)有公共点．理由如下： 由(1)可得，该抛物线的解析式为．,∴二次函数的图象与x 轴有公共点．∵的解为x₁= -2,x₂=8，∴公共点的坐标是（-2，0）和(8，0).核心素养全练 1．B解析：将二次函数y=-（x -2 019）（x -2 020）+2的图象向下平移2个单位，得y=-（x -2 019）（x -2 020）的图象，此时函数的图象与x 轴的两交点为(2 019，0)，(2 020，0)，此两点的距离为1．故选B ． 2．B解析：假设甲和丙发现的结论正确，则解得∴该函数的解析式为y=x ²-2x+4． 当x=-1时，y=x ²-2x+4=7≠0， ∴乙发现的结论不正确． 当x=2时，y=x ²-2x+4=4， ∴丁发现的结论正确．∵四位同学中只有乙发现的结论是错误的， ∴假设成立，故选B ． 3．答案y=x ²-2x -3解析抛物线y=x ²+2x+1=（x+1）²，其顶点坐标为A(-1，0)，当x ²+2x+1= 2x+2时，解得x₁=-1，x₂=1，把x₂=1代入y= 2x+2，得y=4．∴C’(1，4)，又点C 与点C’关于x 轴对称，∴C(1，-4)，即原抛物线y=ax ²+bx+c 的顶点坐标为（1，-4），设该抛物线的解析式为y=a （x -1）²-4，把A （-1，0）代入，得0= 4a -4，解得a=1,∴y=（x -1）²-4，即y=x ²-2x -3．2x 163。
北师大版数学九年级下册第二章二次函数第5节二次函数与一元二次方程专项练习(B)
第二章二次函数第5节二次函数与一元二次方程专项练习（B）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．如图，二次函数2(0)y ax bx c a=++≠的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点(0,3)C，且二次函数图象的顶点坐标为(1,4)-，点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．（1）求A，B两点的坐标．（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．2．如图，二次函数243y x x=-+图象与x轴的交点为A，与直线y kx b=+交于点B （4，3）（1）求此二次函数的顶点坐标和点A的坐标；（2）根据函数的图象，直接写出当函数值243x x-+＞kx b+时，自变量x的取值范围．3．已知二次函数()()1y x m x=+-的图象经过点()2,3-．（1）求这个二次函数的表达式．（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：①直接写出方程()()13x m x+-=-的解．①当x满足什么条件时，0y>．4．如图，抛物线21y x x c=--+成直线212y x b=+交于,(1,0)A B两点．（1）分别求出,c b的值；（2）求12y y-的最大值；5．已知抛物线2y x mx n =-++经过点(1,0)A ，(0,6)B -．（1）求抛物线的解析式；（2）求此抛物线与坐标轴的三个交点所构成的三角形的面积．6．抛物线243y x x =-+与x 轴的交点为点A 、B ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）观察图象，直接写出0y <时，x 的取值范围．7．如图，抛物线()29y x m =--+交x 轴于A ，B 两点，点A 在点B 左侧，点C 的坐标为()6,0，AC BC <，过点C 作CD x ⊥轴交抛物线于点D ，过点D 作DE CD ⊥交抛物线于点E ．（1）若点A 的坐标为()4,0，求DE 的长．（2）当12DE AB =时，求m 的值．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数223y ax x =--图象的顶点是A ，与x 轴交于B C 、两点，与y 轴交于D ，点B 的坐标是()1,0-．（1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线CD 的函数关系式．（2）作一条平行于x 轴的直线交二次函数的图象于点,M N ，与直线CD 于点R ．若点,,M N R 的横坐标分别为,,m n r ，且r m n <≤，求m n r ++的取值范围．9．已知二次函数2y ax bx c =++，自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x⋯2- 1- 0 1 2 3 4⋯y⋯ 5 0 3- 4- 3-0 m⋯()1二次函数图象的开口方向____，顶点坐标是____，m 的值为____；()2点()13,P y -、()22,Q y 在函数图象上，1y ____2(y 填<、>、)=；()3当0y <时，x 的取值范围是____；()4关于x 的一元二次方程25ax bx c ++=的解为____．10．在平面直角坐标系中，二次函数y=12x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A （-2，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，点P 是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，连接AC ，PA ，PC ，若S △PAC =152，求点P 的坐标；11．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为；（2）求此抛物线的解析式；（3）当x为值时，y＜0；（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．12．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴分别交于点A，B（3，0）（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，且经过点（﹣2，5）．（1）求b，c的值．（2）将点B向下平移m个单位至点D，过点D作DF①y轴于点F，交抛物线于点E，G．若DE＝GF，求m的值．13．已知，抛物线()2424y x k x k =-++-，（1）求证：不论k 取何值时，抛物线与x 轴总有两个交点；（2）若已知抛物线与x 轴有一个交点A （-1，0），另一交点B ，求k 的值及线段AB 的长．14．已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)、B (－1，0)（1）求抛物线的解析式．（2）若抛物线交y 轴于点C ，求①ABC 的面积．15．已知关于x 的二次函数2-(-2)y x k x k =++．（1）试判断该函数的图象与x 轴的交点的个数；（2）当3k =时，求该函数图象与x 轴的两个交点之间的距离．16．已知抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0）．（1）求抛物线的解析式； （2）过点D （0，74）作x 轴的平行线交抛物线于E ，F 两点，求EF 的长； （3）当y ≤74时，直接写出x 的取值范围是 ．参考答案：1．（1）点A 的坐标为(3,0)-，点B 的坐标为(1,0)；（2）2x <-或1x >【解析】【分析】（1）根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后令y =0，解一元二次方程即可求得A 、B 的坐标；（2）求得D 点的坐标，然后根据图象即可求得．【详解】解：（1）设二次函数的表达式为2(1)4y a x =++，把点(0,3)C 代入，得34a =+，解得1a =-，①二次函数的表达式为223y x x =--+，当0y =时，解得1x =或3x =-，①点A 的坐标为(3,0)-，点B 的坐标为(1,0)．（2）①点C ，D 是抛物线上的一对对称点，C （0，3），对称轴为直线x =-1，①D （-2，3），由图象可知，使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围x ＜-2或x ＞1． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，也考查了二次函数与不等式的关系．2．（1）顶点坐标为(2，-1)，点A 的坐标为(1，0)；（2）1x <或4x >【解析】【分析】（1）利用配方法把二次函数配成顶点式即可求解；（2）观察图象，利用数形结合即可求解．【详解】解：（1）()22243444321y x x x x x =-+=-+-+=--，①顶点坐标为(2，-1)，令0y =，则()2210x --=，解得：1213x x ，==，①点A 的坐标为(1，0)；（2）观察图象，知：当1x <或4x >，二次函数243y x x =-+图象在直线y kx b =+的上方，①当函数值243x x -+＞kx b +时，自变量x 的取值范围为1x <或4x >．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，以及二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．3．（1）()()51y x x =--；（2）①12x =，24x =；①1x <或5x >【解析】【分析】（1）把点()2,3-代入二次函数解析式进行求解即可；（2）①由（1）及图像可直接进行求解即可；①当0y >时可由图像直接进行求解．【详解】解：（1）①二次函数()()1y x m x =+-的图象经过点()2,3-， ①()()2213m +-=-，解得5m =-，①()()51y x x =--；（2）由五点法可得如图所示：①由图像可得：方程23x bx c ++=-的解是12x =，24x =； ①由图象可得，当0y >时，1x <或5x >．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．4．（1）12b =-，2c =；（2）4916；（3）512x -<< 【解析】【分析】（1）根据抛物线21y x x c =--+与直线212y x b =+交于A ，(1,0)B 两点，可以求得b 、c 的值；（2）根据（1）中b 、c 的值，可以写出1y 和2y 的解析式，然后作差，根据二次函数的性质，即可得到12y y -的最大值；（3）将1y 和2y 的解析式联立方程组，求出x 、y 的值，即可得到点A 的坐标，然后根据图象，可以写出当x 取何值时，y y >．【详解】解：（1）抛物线21y x x c =--+与直线212y x b =+交于A ，(1,0)B 两点， 011c ∴=--+，1012b =⨯+， 解得，12b =-，2c =； （2）12b =-，2c =，∴抛物线212y x x =--+，直线21122y x =-，12y y ∴- 211(2)()22x x x =--+-- 23522x x =--+ 2349()416x =-++， 即当34x =-时，12y y -取得最大值4916， 即12y y -的最大值是4916； （3）221122y x x y x ⎧=--+⎪⎨=-⎪⎩， 解得，5274x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或10x y =⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为5(2-，7)4-， 由图象可得，当512x -<<时，12y y >． 【点睛】本题考查二次函数与不等式组、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（1）y =-x 2+7x -6；（2）15【解析】【分析】（1）把A ，B 的坐标利用待定系数法代入y =-x 2+mx +n 中，求出m ，n 的值，从而求出抛物线的解析式．（2）求出抛物线与x 轴的交点，再利用三角形的面积公式就可以求出抛物线与坐标轴的三个交点连接而成的三角形的面积．【详解】解：（1）①抛物线y =-x 2+mx +n 经过点A （1，0），B （0，-6），①106m n n -++=⎧⎨=-⎩， 解得：76m n =⎧⎨=-⎩， ①抛物线的解析式为：y =-x 2+7x -6．（2）在y =-x 2+7x -6中令y =0，解得x =6或1，则抛物线与x 轴的另一个交点C 是（6，0），因而AC =5，又B （0，-6），①抛物线与y 轴交点为（0，-6），即OB =6，抛物线与坐标轴的三个交点连接而成的三角形的面积S =12×5×6=15．【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，注意数与形的结合是解决本题的关键． 6．（1）点A 、B 的坐标为()1,0和()3,0；（2）13x <<【解析】【分析】（1））把0y =代入243y x x =-+，解关于x 的一元二次方程即可求解； （2）如图，当0y <时，图像对应的抛物线在x 轴下方，据此确定x 的取值范围即可．【详解】解：（1）把0y =代入243y xx =-+，得2430x x -+=解得：11x =，23x =①点A 、B 的坐标为()1,0和()3,0；（2）由图像可知当0y <时，13x <<．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，抛物线和x 交点与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确理解抛物线与x 交点的横坐标是一元二次方程的两个根是解题的关键. 7．（1）2DE =；（2）152 【解析】【分析】（1）先把A 点坐标代入y =-(x -m )2+9中求得m =1或m =7，则根据点A 在点B 左侧可确定抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性求DE 的长；（2）通过解方程-(x -m )2+9=0得A （m -3，0），B （m +3，0），则AB =6，所以DE =3，利用抛物线的对称性得到2(m -6)=3，然后解方程即可．【详解】解：（1）把A （4，0）代入y =-(x -m )2+9得-(4-m )2+9=0，解得m =1或m =7，①点A 在点B 左侧，①m =7，即抛物线的对称轴为直线x =7，①CD ①x 轴，DE ①CD ，①点E 与点D 关于直线x =7对称，而D 点的横坐标为6，①DE =2×(7-6)=2；（2）当y =0时，-(x -m )2+9=0，解得x 1=m -3，x 2=m +3，①A （m -3，0），B （m +3，0），①AB =m +3-(m -3)=6，①DE =12AB =3， ①D 点的横坐标为6，①2(m -6)=3，①m =152． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 8．（1）点A 的坐标为()1,4A -，直线CD 的函数关系式为3y x =-；（2）12r m n ≤++<【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）因为r ＜m ≤n ，则直线在点D 的下方、点A 的上方（不能过点D ，可以过点A ），进而求解．【详解】解：（1）将点B 的坐标代入抛物线表达式得：a +2-3=0，解得a =1，故抛物线的表达式为y =x 2-2x -3=(x -1)2-4，故顶点坐标为（1，-4）；对于y =x 2-2x -3，令x 2-2x -3=0，解得x =-1或3，令x =0，则y =-3，故点C 、D 的坐标分别为（3，0）、（0，-3），设直线CD 的表达式为y =kx +b ，则 303b k b =-⎧⎨=+⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， 故直线CD 的表达式为y =x -3；（2）①r ＜m ≤n ，①直线在点D 的下方、点A 的上方（不能过点D ，可以过点A ），当y =-4时，即-x -3=-4，解得x =-1，故-1≤r ＜0，由抛物线的对称性知，点M 、N 关于抛物线的对称轴对称，故12(m +n )=1，所以m+n=2， ①1≤m +n +r ＜2．本题考查了抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 9．()1向上，()1,4-，5；()2>；()313x -<<；()142x =-，24x =．【解析】【分析】()1由表格可见，函数的对称轴为x ＝1对称轴右侧，y 随x 的增大而增大,故可求出开口方向与顶点坐标，再根据对称性求出m ；()2根据点Q 离函数的对称轴近，即可判断y 的大小；()3根据表格的特点及二次函数的性质即可判断；()4根据表格可得x=-2或4时，y=5，即可求解．【详解】（1）由表格可见，函数的对称轴为x ＝1，对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，故抛物线开口向上， 顶点坐标为（1，−4），根据函数的对称性m ＝5；故答案为：向上；（1，−4）；5；（2）从P 、Q 的横坐标看，点Q 离函数的对称轴近，故y 1＞y 2；故答案为：＞；（3）从表格看，当y ＜0时，x 的取值范围是：−1＜x ＜3，故答案为：−1＜x ＜3；（4）从表格看，关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝5的解为：x ＝−2或4，故答案为：12x =-，24x =．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 10．（1）2142y x x =--； （2）53,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】（1）根据题意，将点A、B坐标分别代入二次函数解析式中，即可解题；（2））连结OP，设21(4)2P m m m--，，先求得点C的坐标，再根据PAC AOC OPC AOPS S S S=+-，结合三角形面积公式解题即可．【详解】二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，()221220214402b cb c⎧⨯--+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩，解得：14b=-⎧⎨-⎩2142y x x∴=--；（2）连结OP，设21(4)2P m m m--，，由题意得，(20)(0-4)A C-，，，PAC AOC OPC AOPS S S S=+-2151111=24+42(4)22222m m m∴⨯⨯⨯⋅-⨯⨯-++整理得：22150(5)(3)0m m m m+-=∴+-=，3m∴=或5m（舍去）53,2P⎛⎫∴-⎪⎝⎭【点睛】本题考查二次函数综合，其中涉及二次函数解析式的求法、二次函数图象与坐标轴的交点、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．（1）﹣1或3；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）x＞3或x＜﹣1；（4）y＞4【分析】（1）直接观察图象，抛物线与x轴交于﹣1，3两点，所以方程的解为x1＝﹣1，x2＝3．（2）设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（3，0），即可求得抛物线的解析式．（3）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，找到对应的自变量取值范围即可．（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞函数的最大值即可．【详解】解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x＝﹣1和x＝3两点，①方程的解为x1＝﹣1，x2＝3，故答案为：﹣1或3；（2）设抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+k，①抛物线与x轴交于点（3，0），①（3﹣1）2+k＝0，解得：k＝4，①抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即：抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x＞3或x＜﹣1；（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞4函数的最大值，即y＞4．【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式，准确计算是解题的关键．12．(1)b=-2，c=-3；(2)74m ．【解析】【分析】(1)由二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过B （3，0）且经过点（﹣2，5），故只需要将这两个点的坐标代入解析式中求解b ，c 的值即可；(2)根据平移性质得到D 点坐标为（3，-m ），再根据DF ①y 轴于点F ，交抛物线于点E ，G 可以用m 表示F ， E ，G 三点的坐标，再根据DE ＝GF 进行求解即可．【详解】解：(1) 由二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过B （3，0）且经过点（﹣2，5）①将两个点的坐标代入函数解析式中得：093542b c b c =++⎧⎨=-+⎩即23b c =-⎧⎨=-⎩ ①2b =-，3c =-．(2)如图所示，将点B 向下平移m 个单位至点D ，B 的坐标为（3，0），①D 点坐标为（3，-m ）,直线GD 的解析式为：y =-m①DF ①y 轴于点F①F 的坐标为（0，-m ）由第一问知二次函数解析式为：223y x x =--①223=0x x m -+-设G （1x ，m -），E （2x ，m -）①1x ，2x 是一元二次方程223=0x x m -+-的两根①12=2b x x a +=-，12=3c x x m a=- 由二次函数性质可知10x <，20x >①110GF x x =-=-，23DE x =-又①GF DE =①123x x -=-即213x x -=则211232x x x x -=⎧⎨+=⎩解得215212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①1251322x x m ⎛⎫=-=⨯- ⎪⎝⎭①74m =． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及根与系数的关系，熟练的掌握根与系数之间的关系是解题的关键．13．（1）见解析；（2）91,4k AB =-=【解析】【分析】（1）列出判别式，根据判别式的值的情况进行证明即可；（2）通过A 点代入求解得k ，进而求出完整解析式，求出B 的坐标即可计算AB 的长度．【详解】（1）由题意：()()22164k k ∆=+--=21268k k -+=()26320k -+>，∴不论k 取何值时，抛物线与x 轴总有两个交点； （2）将A(-1，0)代入解析式得：()4240k k +++-=，解得：1k =-，此时抛物线得解析式为：245y x x =--，令0y =，解得154x =，21x =-，故5,04B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()59144AB ∴=--=． 【点睛】本题考查二次函数与x 轴交点的问题，熟练掌握求解判别式及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键．14．（1）y ＝－x 2＋2x ＋3；（2）6【解析】【分析】（1）将点A 和点B 的坐标代入解析式中，求出b ，c 的值，从而得到抛物线解析式； （2）令x=0，得到y ，从而可得点C 坐标，再根据点A 和点B 坐标，利用三角形面积公式求出结果．【详解】解：（1）将A (3，0)、B (－1，0)代入，则09301b c b c =-++⎧⎨=--+⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， ①该抛物线的解析式为：y ＝－x 2＋2x ＋3；（2）令x=0，则y=3，①点C 的坐标为（0，3），①①ABC 的面积=()13132⨯+⨯=6． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．（1）2个;（2）13【解析】【分析】(1)运用根的判别式进行判断即可；（2）将k=3代入解析式得到一元二次方程，然后解方程得到两根，再用大根减小根即可.【详解】（1）22(2)44k k k ∆=-+=+，①20k ，①240k +>，①二次函数2(2)y x k x k =-+-+的图象与x 轴有两个交点；（2）当时，二次函数为23y x x =-++，令y=0，则230x x -++=，解得11132x +=，11132x -=， ①与轴交点为113,02⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，113,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，①两交点间的距离为：1131131322+--=. 【点睛】 本题考查了二次函数图像与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程根的判别式和数形结合思想是解答本题的关键. 16．（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）EF 长为2；（312x ≤或32x ≥． 【解析】【分析】 （1）把A （-1，0），B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，即可求解；（2）把点D 的y 坐标74代入y=-x 2+2x+3，即可求解； （3）直线EF 下侧的图象符合要求．【详解】（1）把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx +3，解得：a ＝﹣1，b ＝2，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）把点D 的y 坐标y ＝74，代入y ＝﹣x 2+2x +3， 解得：x ＝12或32，则EF 长312 22⎛⎫=--=⎪⎝⎭；（3）由题意得：当y≤74时，直接写出x的取值范围是：12x≤或32x≥，故答案为12x≤或32x≥．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，利用图像解不等式及数形结合的数学思想，是一道基本题，难度不大．。
人教版九年级上册数学二次函数和一元二次方程的关系练习题(含答案)
二次函数与一元二次方程的关系知识点回顾一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y =0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数，它们的关系如下表：要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由ac b 42-=∆的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，042>-=∆ac b ，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时042=-=∆ac b 方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，042<-=∆ac b ，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c )．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点诠释：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 课后作业 ●基础训练1.已知二次函数y=ax 2-5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题: (1)a=_______,c=______.(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________. (3)该函数有最______值,当x=______时,y 最值=________.(4)当x_____时,y 随x 的增大而减小.当x_____时,y 随x 的增大而增大.(5)抛物线与x 轴交点坐标A_______,B________;与y 轴交点C 的坐标为_______;ABC S ∆=_________,ABP S ∆=________.(6)当y>0时,x 的取值范围是_________;当y<0时,x 的取值范围是_________. (7)方程ax 2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax 2-5x+c=0的两根分别为_____,____. (8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0. 2.已知下表:(1)求a 、b 、c 的值，并在表内空格处填入正确的数； (2)请你根据上面的结果判断:①是否存在实数x,使二次三项式ax 2+bx+c 的值为0?若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图,由图象确定,当x取什么实数时,ax2+ bx+c>0?3.请画出适当的函数图象,求方程x2=12x+3的解.4.若二次函数y=-12x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0).(1)求这个二次函数的关系式;(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移?向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.(1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.●能力提升6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C 在直线y=x-2上.(1)求矩形各顶点坐标;(2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式;(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由.7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=5 3 .(1)求这条抛物线的关系式.CBA x ODyE(2)证明:这条抛物线与x 轴的两个交点中,必存在点C,使得对x 轴上任意点D 都有AC+BC≤AD+BD.8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m 处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m 处出手.问:球出手时,他跳离地面多高?9.某工厂生产A 产品x 吨所需费用为P 元,而卖出x 吨这种产品的售价为每吨Q 元, 已知P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. 3.05m4m2.5mxOy(1)该厂生产并售出x 吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式;(2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格又是多少元?10.已知抛物线y=2x 2-kx -1与x 轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k 的取值范围.11.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x 轴,以斜边AB 上的高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,若OA 2+OB 2= 17, 且线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2(m -3)=0的两个根. (1)求C 点的坐标;(2)以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E,求过A 、B 、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.(3)在抛物线上是否存在点P ,使△ABP 与△ABC 全等?若存在,求出符合条件的P 点的坐标;若不存在,说明理由.C BAxOy●综合探究12.已知抛物线L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的顶点P的坐标是24,24b ac ba a⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:伴随抛物线的关系式_________________伴随直线的关系式___________________(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.答案：1.(1)a=1;c=4 (2)直线x=52,59,24⎛⎫-⎪⎝⎭(3)小;52;94-(4)55;22≤≥(5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; 278; (6)x<1或x>4;1<x<4 (7)正号;x1=1;x2=4 (8)>;>2.(1)由表知,当x=0时,ax 2+bx+c=3;当x=1时,ax 2=1;当x=2时,ax 2+bx+c=3.∴31423c a a b c =⎧⎪=⎨⎪++=⎩,∴123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩, ∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2. (2)①在x 2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0, ∴不存在实数x 能使ax 2+bx+c=0.②函数y=x 2-2x+3的图象示意图如答图所示, 观察图象得出,无论x 取什么实数总有ax 2+bx+c>0.3.:在同一坐标系中如答图所示, 画出函数y=x 2的图象,画出函数y=12x+3 的图象, 这两个图象的交点为A,B,交点A,B 的横坐标32-和2就是方程x 2=12x+3的解. 4.:(1)∵y=12-x 2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得∴()221(5)5021(1)(1)02b c b c ⎧⎛⎫-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎝⎭⎩,352a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,∴y=215322x x ---.632BAxyO(2)∵y=215322x x ---=21(3)22x -++ ∴顶点坐标为(-3,2),∴欲使函数的图象与x 轴只有一个交点,应向下平移2个单位. 5.:(1)函数的图象如答图所示.(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数关系式为:s=av 2+bv+c,把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av 2+bv+c,得222484822.5646436969672a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得35123160a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.∴23351216s v v =+ (4)当v=80时,223333808052.55121651216v v +=⨯+⨯= ∵s=52.5, ∴23351216s v v =+ 当v=112时,22333311211294.55121651216v v +=⨯+⨯= ∵s=94.5,∴23351216s v v =+ 经检验,所得结论是正确的. 6.:(1)如答图所示.∵y=x -2,AD=BC=2,设C 点坐标为(m,2), 把C(m,2)代入y=x -2,2=m -2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1, ∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).(2)∵y=x -2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax 2+bx+c,∴201640c a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得12522a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴y=215222x x -+-. (3)抛物线顶点在矩形ABCD 内部.∵y=215222x x -+-, ∴顶点为59,28⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵5142<<, ∴顶点59,28⎛⎫⎪⎝⎭在矩形ABCD 内部. 7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c, ∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=53. ∴31646523c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=⎩, 解得981543a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴y=2915384x x -+. (2)证明:令y=0,得2915384x x -+=0, ∴ 124,23x x ==∵A(0,3),取A点关于x轴的对称点E,∴E(0,-3).设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,∴k=94,∴y=94x-3 .由94x-3=0,得x=43.故C为4,03⎛⎫⎪⎝⎭,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合,在x轴上任取一点D,在△BED中,BE< BD+DE.又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC<AD+BD.若D与C重合,则AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD. 8:(1)图中各点字母表示如答图所示.∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5.∴点D坐标为(1.5,3.05).∵抛物线顶点坐标(0,3.5),∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3.5,把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,∴a=-0.2,∴y=-0.2x2+3.5(2)∵OA=2.5,∴设C点坐标为(2.5,m),∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,得m=- 0.2×2.52+3.5=2.25.∴该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).3.05m4m2.5m xOyBDA9:(1)∵P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. ∴W=Qx -P=(-30x+45)-(110x 2+5x+1000)= 224010015x x -+-.(2)∵W=224010015x x -+-=-215(x -150)2+2000. ∵-215<0,∴W 有最大值. 当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元. 当x=150吨,Q=-30x+45=40(元). 10:∵y=2x 2-kx -1,∴△=(-k)2-4×2×(-1)=k 2+8>0,∴无论k 为何实数, 抛物线y=2x 2-kx -1与x 轴恒有两个交点. 设y=2x 2-kx -1与x 轴两交点的横坐标分别为x 1,x 2,且规定x 1<2,x 2> 2, ∴x 1-2<0,x 2-2>0.∴(x 1-2)(x 2-2)<0,∴x 1x 2-2(x 1+x 2)+4<0.∵x 1,x 2亦是方程2x 2-kx -1=0的两个根,∴x 1+x 2=2k ,x 1·x 2=-12,∴124022k --⨯+<,∴k>72. ∴k 的取值范围为k>72. 法二:∵抛物线y=2x 2-kx -1与x 轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,∴此函数的图象大致位置如答图所示. 由图象知:当x=2时,y<0. 即y=2×22-2k -1<0,∴k>72.∴k 的取值范围为k>72.11:(1)线段OA,OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2(m -3)=0 的两个根,∴(1)2(3)(2)OA OB m OA OB m +=⎧⎨=-⎩L g L又∵OA 2+OB 2=17,∴(OA+OB)2-2·OA ·OB=17.③把①,②代入③,得m 2-4(m -3) =17,∴m 2-4m -5=0.解之,得m=-1或m=5. 又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.∴当m=5时,得方程:x 2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4. ∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CO ⊥AB, ∴OC 2=OA ·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2) (2)∵OA=1,OB=4,C,E 两点关于x 轴对称, ∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).设经过A,B,E 三点的抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c,则016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩ ,解之,得12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴所求抛物线关系式为y=213222x x --. (3)存在.∵点E 是抛物线与圆的交点. ∴Rt △ACB ≌Rt △AEB,∴E(0,-2)符合条件. ∵圆心的坐标(32,0 )在抛物线的对称轴上. ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.∴点E 关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意. ∴可求得E′(3,-2).∴抛物线上存在点P 符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2) 12.(1)y=-2x 2+1,y=-2x+1. (2)y=x 2-2x -3(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为y=m(x -0)2+c(m≠0).∴设抛物线过P 24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, ∴22442ac b b m c a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭g 解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax 2+c. 设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).∵P 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在此直线上,∴2442ac b b k c a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭g , ∴k=2b . ∴伴随直线关系式为y=2bx+c (4)∵抛物线L 与x 轴有两交点,∴△1=b 2-4ac>0,∴b 2<4ac.∵x 2>x 1>0,∴x 1+ x 2= -b a >0,x 1x 2=ca>0,∴ab<0,ac>0.对于伴随抛物线y=-ax 2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax 2+c=0,得x=∴,C D ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭,∴又AB=x2-x1=.由AB=CD,得整理得b2=8ac,综合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,得a,b,c满足的条件为b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).。
九年级数学上册 21.3 二次函数与一元二次方程 作业练习题(含答案)
21.3二次函数与一元二次方程一、选择题（本题包括8小题.每小题只有1个选项符合题意）1﹒下列抛物线，与x轴有两个交点的是（）A.y＝3x2－5x+3B.y＝4x2－12x+9C.y＝x2－2x+3D.y＝2x2+3x－42﹒函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.k＜3B.k＜3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠03﹒已知抛物线y＝ax2－2x+1与x轴没有交点，，那么该抛物线的顶点所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4﹒已知二次函数y＝x2－3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2－3x+m＝0的两实数根是（）A.x1＝1，x2＝－1B.x1＝1，x2＝2C.x1＝1，x2＝0D.x1＝1，x2＝35﹒下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（）A.没有交点B.只有一个交点，且它位于y轴右侧C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧6﹒如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（1，0），对称轴为直线x＝－1，则方程ax2+bx+c＝0的解是（）A.x1＝－3，x2＝1B.x1＝3，x2＝1C.x＝－3D.x＝－27﹒如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（－2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A.x＜－2B.－2＜x＜4C.x＞0D.x＞48.如图，已知顶点为（－3，6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（－1，－4），则下列结论中错误的是（）A.b2＞4acB.ax2+bx+c≥－6C.若点（－2，m），（－5，n）在抛物线上，则m＞nD.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝－4的两根为－5和－1二、填空题（本题包括8小题）9.一元二次方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c与直线_________的交点的_______坐标.10.抛物线y＝－3(x－2)(x+5)与x轴的交点坐标为______________.11.已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是___________.12.若关于x的函数y＝kx2+2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为_________.13.已知关于x的函数y＝(m+6)x2+2(m－1)x+m+1的图象与x轴有交点，则m的取值范围为_______________.14.二次函数y＝ax2－2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（－1，0），则一元二次方程ax2－2ax+3＝0的解为__________________________.15.抛物线y＝x2－2x－3在x轴上截得的线段长度是__________.16.关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不包括－1和0），则a的取值范围是______________________.三、解答题（本题包括6小题）17.已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数.（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝52.①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点.18.已知二次函数y＝－x2+2x+m .（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标.19.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（3，0）.请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长.20.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，－1）和C（4，5）三点.（1）求二次函数的表达式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.21.已知函数y＝mx2－6x+1（m是常数）.（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.22.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），抛物线的对称轴是直线x＝－12.（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标.21.3二次函数与一元二次方程参考答案一、选择题（本题包括10小题.每小题只有1个选项符合题意）1.D 分析：A.y＝3x2－5x+3，△＝(－5)2－4×3×3＝－9＜0，抛物线与x轴没有交点，故A错误；B.y＝4x2－12x+9，△＝(－12)2－4×4×9＝0，抛物线与x轴有一个交点，故B错误；C.y＝x2－2x+3，△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，抛物线与x轴没有交点，故C错误；D.y＝2x2+3x－4，△＝32－4×2×(－4)＝41＞0，抛物线与x轴有两个交点，故D正确. 故选D.2.C 分析：∵函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，∴当k≠0时，△＝(－6)2－4k×3≥0，解得：k≤3，当k＝0时，函数y＝kx2－6x+3为一次函数，则它的图象与x轴有交点，综合上述，k的取值范围是k≤3.故选C.3.D 分析：∵抛物线y＝ax2－2x+1与x轴没有交点，∴△＝(－2)2－4a×1＜0，且a≠0，解得a＞1，∴－22a-＝1a＞0，241(2)4aa⨯--＝1－1a＜0，∴抛物线顶点在第四象限.故选D.4.B 分析：抛物线y＝x2－3x+m的对称轴是x＝32，且与x轴的一个交点为（1，0），∵a＝1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），∴一元二次方程x2－3x+m＝0的两实数根是x1＝1，x2＝2.故选B.5.D 分析：当y＝0时，ax2－2ax+1＝0，∵a＞1，∴△＝4a2－4a＝4a(a－1)＞0，∴方程ax2－2ax+1＝0有两个实数根，则抛物线与x轴有两个交点.∵x＞0，∴抛物线与x轴的两个交点均在y轴的右侧.故选D.6.A 分析：由图象可知：抛物线与x轴的另一个交点坐标为（－3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝－3，x2＝1.故选A.7.B 分析：∵当函数值y＞0时，二次函数图象在x轴的上方，∴当－2＜x＜4时，y＞0，即自变量x的取值范围是－2＜x＜4 .故选B.8.C 分析：由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2－4ac＞0，则b2＞4ac，故A正确；∵抛物线开口向上，且顶点坐标为（－3，－6），∴函数y的最小值是－6，则ax2+bx+c≥－6，故B正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝－3，∴点（－2，m）离对称轴的距离比点（－5，n）离对称轴距离近，∴m＜n，故C错误；根据抛物线的对称性可知：（－1，－4）关于对称轴对称的对称称点为（－5，－4），∴一元二次方程ax2+bx+c＝－4的两根为－5和－1，故D正确.故选C.二、填空题（本题包括8小题）9. 0，横 分析：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根就是抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线x ＝0的交点的横坐标.10. （2，0），（－5，0）分析：令y ＝0，则－3(x －2)(x +5)＝0，解这个方程得：x 1＝2，x 2＝－5，∴此抛物线与x 的交点坐标为（2，0），（－5，0）.11. m ≥－2 分析：∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上，又∵当x ＞2时，y 的值随x 的增大而增大，∴－221m⨯≤2，解得m ≥－2. 12. k ＝0或k ＝－1 分析：①当k ＝0时，此函数为一次函数，则直线y ＝2x －1与x 轴只有一个公共点；②当k ≠0时，△＝22－4k ×(－1)＝0，解得k ＝－1，此时抛物线与x 轴只有一个公共点， 综合上述，实数k 的值为k ＝0或k ＝－1. 13. m ≤－59分析：当m +6＝0，即m ＝－6时，此函数为一次函数，这时图象必与x 轴有交点； 当m +6≠0，即m ≠－6时，△＝4(m －1)2－4(m +6)(m +1)＝－20－36m ≥0， 解得m ≤－59.综合上述，m 的取值范围是m ≤－59. 14. x 1＝－1，x 2＝3 分析:抛物线y ＝ax 2－2ax +3的对称轴为直线x ＝－22aa-＝1，∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（－1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0），∴一元二次方程ax 2－2ax +3＝0的解为x 1＝－1，x 2＝3.15.4 分析：设抛物线与x 轴的交点分别为（x 1，0），（x 2，0），则x 1+x 2＝2，x 1x 2＝－3，∴12x x -＝4，即此抛物线在x 轴上截得的线段长度为4.16. －94＜a ＜－2 分析：∵关于x 的一元二次方程ax 2－3x －1＝0的两个不相等的实数根，∴△＝(－3)2－4a ×（－4）＞0，解得：a ＞－94，设y ＝ax 2－3x －1，则可画出图象如图.∵实数根都在－1和0之间，∴－1＜－32a -＜0，解得a ＜－32.由图象可知：当x ＝－1时，y ＜0，当x ＝0时，y ＜0，即a ×(－1)2－3×(－1)－1＜0，－1＜0，解得a ＜－2.∴－94＜a ＜－2， 三、解答题（本题包括6小题）17.（1）证明：y ＝(x －m )2﹣(x ﹣m )＝x 2－(2m +1)x +m 2+m ， ∵△＝(2m +1)2﹣4(m 2+m )＝1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）解：①∵x＝－(21)2m-+＝52，∴m＝2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，∴△＝52－4(6+k)＝0，∴k＝14，即把该抛物线沿y轴向上平移14个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．18.解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝22+4m＞0∴m＞﹣1，即m的取值范围是m＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0＝﹣9+6+m∴m＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴303k bb+=⎧⎨=⎩，解得：13kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，的对称轴为：x＝1，∴把x＝1代入y＝﹣x+3得y＝2，∴P（1，2）．19.解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴10930b cb c-+=⎧⎨++=⎩，解得：23bc=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，∴E（2，﹣3）， ∴BE ＝22(32)(03)-++＝10，∵点F 是AE 中点，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，即H 为AB 的中点， ∴FH 是三角形ABE 的中位线， ∴FH ＝12BE ＝12×10＝102．20.解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过A （2，0），B （0，－1）和C （4，5）三点，∴42011645a b c c a b c ++=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得12121a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴二次函数的表达式为y ＝12x 2－12x －1； （2）当y ＝0时，则12x 2－12x －1＝0，解得：x 1＝2，x 2＝－1， ∴点D 的坐标为（－1，0）；（3）图象如图所示，当－1＜x ＜4时，一次函数的值大于二次函数的值.21.解：（1）令x ＝0，则y ＝1，故不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的定点（0，1）； （2）①当m ＝0时，函数y ＝mx 2－6x +1为y ＝－6x +1， ∵函数y ＝－6x +1图象为一条直线， ∴此时函数图象与x 轴只有一个交点；②当m ≠0时，∵函数y ＝mx 2－6x +1与x 轴只有一个交点， ∴方程mx 2－6x +1＝0有两个相等的实数根，∴△＝(－6)2－4m＝0，解得：m＝9，综合上述，该函数的图象与x轴只有一个交点时，m的值为0或9.22.解：（1）设抛物线的解析式为y＝a(x+12)2+k，把（2，0），（0，3）代入上式得：250 4134a ka k⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：a＝－12，k＝258，∴y＝－12(x+12)2+258，即y＝－12x2－12x+3，（2）令y＝0，则－12x2－12x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝－3，∴B（－3，0），①当CM＝BM时，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰直角三角形，∴当M点在坐标原点O处时，△MBC是等腰三角形，∴M（0，0）；②当BC＝BM时，在Rt△BOC中, BO＝CO＝3，由勾股定理得：BC，∴BM＝，∴M（－3，0），综合上述，点M的坐标为（0，0）或（－3，0）.。
人教版九年级上数学《22.2二次函数与一元二次方程》练习题(含答案)
22.2 二次函数与一元二次方程01 基础题知识点1 二次函数与一元二次方程1．(柳州中考)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(D) A．无解B．x＝1C．x＝－4 D．x＝－1或x＝42．(青岛中考)若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是m＞9．3．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的取值范围为m≤3．4．(1)已知一元二次方程x2＋x－2＝0有两个不相等的实数根，即x1＝1，x2＝－2.求二次函数y＝x2＋x－2与x轴的交点坐标；(2)若二次函数y＝－x2＋x＋a与x轴有一个交点，求a的值．解：(1)∵一元二次方程x2＋x－2＝0有两个不相等的实数根，即x1＝1，x2＝－2，∴二次函数y＝x2＋x－2与x轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)．(2)∵二次函数y＝－x2＋x＋a与x轴有一个交点，令y ＝0，则－x 2＋x ＋a ＝0有两个相等的实数根，∴1＋4a ＝0，解得a ＝－.14知识点2 利用二次函数求一元二次方程的近似解5．(兰州中考)下表是一组二次函数y ＝x 2＋3x －5的自变量x 与函数值y 的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y－1－0.490.040.591.16那么方程x 2＋3x －5＝0的一个近似根是(C)A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.3知识点3 二次函数与不等式6．二次函数y ＝x 2－x －2的图象如图所示，则函数值y ＜0时x 的取值范围是(C)A ．x ＜－1B ．x ＞2C ．－1＜x ＜2D ．x ＜－1或x ＞27．画出二次函数y ＝x 2－2x 的图象．利用图象回答：(1)方程x 2－2x ＝0的解是什么？(2)x 取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.解：列表：x…－2－101234…y…830－1038…描点并连线：(1)方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2.(2)当x<0或x>2时，函数值大于0.(3)当0<x<2时，函数值小于0.易错点1 漏掉函数是一次函数的情况8．(吕梁市文水县期中)若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为－1或2或1.易错点2 忽视坐标轴包含x轴和y轴9．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是(C)A．0 B．1C．2 D．310．已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为y＝x2－6x＋9或y ＝x 2＋6x ＋9或y ＝x 2＋9．02 中档题11．(牡丹江中考)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＜0)如图所示，则关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(C)A ．x ＜2B ．x ＞－3C ．－3＜x ＜1D ．x ＜－3或x ＞112．(大同市期中)二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象如图所示，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B(4，3)，则满足kx ＋b ≥(x －2)2＋m 的x 的取值范围是(A)A ．1≤x ≤4B ．x ≤1C ．x ≥4D ．x ≤1或x ≥413．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y ＞2时，自变量x 的取值范围是(B)A ．0＜x ＜12B ．0＜x ＜1C.＜x ＜112D ．－1＜x ＜214．(济南中考)二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为直线x ＝1.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是(C)A ．t ≥－1B ．－1≤t ＜3C ．－1≤t ＜8D ．3＜t ＜815．(阳泉市平定县月考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：x －1013y－3131下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．(杭州中考)把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t(秒)时该足球距离地面的高度h(米)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度；(2)当足球距离地面的高度为10米时，求t ；(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m(米)，求m 的取值范围．解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝20×3－5×9＝15，∴此时足球距离地面的高度为15米．(2)当h ＝10时，20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋或t ＝2－.22答：经过2＋或2－秒时，足球距离地面的高度为10米．22(3)由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m(m ≥0)的两个不相等的实数根，则Δ＝202－20m>0.解得m<20.∴m 的取值范围是0≤m<20.03 综合题17．有这样一个问题：探究函数y ＝x 2＋的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y ＝x 2＋的121x 121x 图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)下表是y 与x 的几组对应值．x…－3－2－1－12－131312123…y …25632－12－158－531855181783252m… 函数y ＝x 2＋的自变量x 的取值范围是x ≠0，m 的值为；121x 296(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象；(3)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有1个交点，所以对应方程x 2＋＝0有1个实数根；121x②方程x 2＋＝2有3个实数根；121x ③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．解：(2)函数图象如图所示．(3)③答案不唯一，如：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象不经过第四象限．。
人教版九年级上册数学二次函数与一元二次方程---喷水问题专题训练
人教版九年级上册数学22.3二次函数与一元二次方程---喷水问题专题训练一、单选题1．在某圆形喷水池的池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若喷出的抛物线形水柱解析式为()23-134y x =-+（0≤x ≤3），则水管长为( )A ．1mB ．2mC ．94mD ．3m 2．某景点的“喷水巨龙”口中C 处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系如图所示，D 为该水流的最高点，DA ⊥OB ，垂足为A ．已知OC ＝OB ＝8m ，OA ＝2m ，则该水流距水平面的最大高度AD 的长度为（ ）．A ．9mB ．10mC ．11mD ．12m 3．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管的长为（ ）A ．9m 4B ．19m 8C ．39m 16D ．45m 164．如图，水从山坡下的水管的小孔喷出，喷洒在山坡上，已知山坡AB :OB =1:2，若把小孔处设为原点，喷出的水柱的路线近似地用函数y =−12x 2+4x 来刻画，下列结论错误的是（ ）A ．山坡可以用正比例函数12y x =来刻画 B ．若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米 C ．水柱落到斜面时距O 点的距离为7米D ．水柱距O 点水平距离超过4米呈下降趋势5．烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是22823h t t =-++．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s6．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子,OA O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过OA 的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系式是 2y x 2x 3=-++，则下列结论错误的是（ ）A ．柱子OA 的高度为3mB ．喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度C ．喷出的水流距水平面的最大高度是3mD ．水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外7．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为（ ）A ．0.5米BC ．米D ．0.85米 8．如图，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为20cm ，如果在离水面竖直距离为h （单位：cm ）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s （单位：cm ）与h 的关系式为s =高水桶，使射出水的最大射程增加10cm ，则小孔离水面的距离是（ ）A ．14cmB ．15cmC ．16cmD ．18cm二、填空题 9．某景点的“喷水巨龙”口中C 处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度()m y 与水平距离()m x 之间的有关系如图所示，D 为该水流的最高点，DA OB ⊥，垂足为A ．已知8m OC OB ==，2m OA =，则该水流距水平面的最大高度AD 的为______m ．10．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A 在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y16＝（x﹣5）2＋6（1）雕塑高OA的值是____m；（2）落水点C，D之间的距离是____m．11．如图，从某建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)．如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面403m，则水流落地点B离墙的距离OB是______．12．如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处M（1，2.25），如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要______m，才能使喷出的水流不至落到池外．13．崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是________千米．14．学校有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h （单位：m ）与水流运动时间t （单位：s ）之间的关系式为h =10t ﹣t 2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是_______________ s ．15．某广场有一个半径8米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA 的顶端A 处汇合，水柱离中心O 点3米处达最高5米，如图所示建立平面直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8的他站立时必须在离水池中心O 点______米以内．16．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一根水管AB ，水管的顶端安有一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线的表达式为()()2313034y x x =--+≤≤，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为______，其中自变量的取值范围是______，水管AB 的长为______m ．三、解答题17．如图，从152m高的某建筑物窗口A用水管向外给公园草坪喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），已知喷出的水（抛物线）的最高点M离墙1m 时最大高度为8m，求水流落地点B离墙的距离OB．18．某喷泉中间的喷水管0.5mOA ，喷水点A向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为x轴，喷水管所在直线为y轴，喷水管与地面的接触点O为原点建立直角坐标系，如图所示，已知喷出的水柱距原点3m处达到最高，高度为2m．（1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式．（2）身高为1.7m的小明站在距离喷水管4m的地方，他会被水喷到吗？（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7m，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高，则喷水管OA要升高多少？19．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求运动员落水点与点C的距离．20．如图，一个圆形水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA ，顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．建立如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y (m )与水平距离x (m )之间的关系式可以用2y x bx c=-++表示，且抛物线经过点B 15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 72,4⎛⎫ ⎪⎝⎭； （1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA 的高度；（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？参考答案：1．C2．A3．A4．C5．D6．C7．A8．B9．910．116##156 22 11．3m12．2.513．414．10．15．716． y ＝−34（x ＋2）2＋3 −3≤x≤0 2.25 17．水流落地点B 离墙距离OB 为5米 18．（1）()21326y x =--+(03x <<+；（2）不会被水喷到；（3）2m 3 19．（1）y ＝﹣（x ﹣3）2＋4；（2）5米20．（1）2724y x x =-++，74米；（2）114米；（3）至少要1⎛+ ⎝⎭米．。
人教版九年级上册数学二次函数与一元二次方程---拱桥问题专题训练
人教版九年级上册数学22.3二次函数与一元二次方程---拱桥问题专题训练一、单选题1．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行( )A ．2.76米B ．7米C ．6米D ．6.76米 2．如图 1 是某生活小区的音乐喷泉， 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一个喷水管喷水的最大高度为 3 m ，此时距喷水管的水平距离为 1 m ，在如图 2 所示的坐标系中，该喷水管水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是（ ）A ．()213y x =--+B ．()2213y x =-+ C ．()2313y x =-++ D ．()2313y x =--+ 3．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y =﹣16x 2+bx +c 表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是( )A．2m B ．4m C ． D ．4．拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为213y x =-，当水面离桥顶的高度为253m 时，水面的宽度为（ ）米.A ．8B ．9C ．10D ．11 5．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，则水面下降1m 时，水面宽度增加（ ）A ．1mB ．2mC ．m )462(-D ．m )26(- 6．有一拱桥呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度是16 m ，跨度为40 m ，现把它的示意图(如图所示)放在坐标系中，则抛物线对应的函数表达式为( )A ．y ＝215258x x + B ．y ＝251825x x -- C ．y ＝-215258x x + D ．y ＝-215258x x +＋16 7．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m ，顶点距水面6m ，小孔顶点距水面4.5m ．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为（ ）m ．A ．8mB ．9mC ．10 mD ．12 m 8．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB 位置时，拱顶（即抛物线的顶点）离水面2m ，水面宽为4m ，水面下降1m 后，水面宽为（ ）A ．5mB ．6mC mD ．m二、填空题9．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为2116y x =-，当水面的宽度AB 为16米时，水面离桥拱顶的高度OC 为________m ．10．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是2y x =-，当水位线在AB 位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h 是________米．11．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m ，那么木船的高不得超过 ______m.12．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB 为20m ，顶点M 距水面6m （即6m MO =），小孔顶点N 距水面4m （即4m NC =）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度EF 是_________m ．13．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A B 、两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为4,12,,m AB m D E =为拱桥底部的两点，且//,DE AB 若DE 的长为18,m 则点E 到直线AB 的距离为____.m14．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为2y ax bx =+，小强骑自行车从拱梁一端O 匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶到10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需__________秒．15．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管3OP m =，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m ，P 距抛物线对称轴1m ，则为使水不落到池外，水池半径最小为________．16．如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m 时，拱顶离水面4m ，当水面下降3m 时，水面的宽为_____m ．三、解答题17．如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：(1)如图2，求该抛物线的函数解析式．(2)当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）(3)当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（保留根号）18．跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底B、C相距20cm，头顶A离地175cm，相距60cm的双手D、E离地均为80cm．点A、B、C、D、E在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底B、C两点，且甩绳形状始终保持不变．(1)求经过脚底B、C时绳子所在抛物线的解析式．(2)判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．19．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．(1)求这条抛物线的解析式．(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？20．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．(1)求这条抛物线的解析式；(2)若要搭建一个由AD﹣DC﹣CB组成的矩形“支撑架”，已知支架的高度为4米，则这个“支撑架”总长是多少米？参考答案：1．D2．D3．D4．C5．C6．C7．C8．D9．410．3611．1.21213．514．3615．3米16．17．(1)212y x =-(2)()4 (3)42218．(1)2190.10y x =- (2)不成功19．(1)21493y x x =-+ (2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过20．(1)y = 16-x 2+2x ； (2)这个“支撑架”总长是（8+。
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九（2）班二次函数与一元二次方程的基础检测姓名： 一、选择题（1---6每题2分，7---12每题3分，共30分） 1．一元二次方程x 2=2x 的解是（ ）A ． 0B ．0或2C ．2D ．此方程无实数解2．一元二次方程4x 2＝3的二次项系数、一次项系数及常数项分别是( )．A ．4，0，3B ．4，0，－3C ．4，1，3D ．4，1，－33．两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值 4．下列方程中，一定是关于x 的一元二次方程的有( )．①2x 2＋7＝0 ②ax 2＋bx ＝0 ③(x －2)(x ＋3)＝x 2－1 ④3x 2－x4＋1＝0 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．抛物线y=4x 2+3x 与坐标轴交点个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．下列方程中，没有实数根的方程是( )．A ．013＋22＝x －x B ．03＋2＝x x C ．02＋＋2＝x xD ．5321＝x－ 7．某厂3月的产值为50万元，5月上升到72万元，设这两个月平均每月增长的百分率为x ，列出的方程是( )．A ．72150)＝＋(x B ．721501502＝)＋()＋＋(x x C ．722150＝×)＋(x D ．721502＝)＋(x 8．如图5，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ， 点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ）A ．（2，3）B ．（3，2）C ．（3，3）D ．（4，3） 9．二次函数221y x x =--+图像的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．如果抛物线26y x x c =++的顶点在x 轴上，那么c 的值为（ ）A ．0B ．6C ．3D ．911．已知二次函数2y ax bx c =++，如果a ＞0,b ＜0,c ＜0，那么这个函数图像的顶点必在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限OxyA图5x = 2B12．如图所示，满足a ＞0,b ＜0的函数2y ax bx =+的图像是（ ）二、填空：每题3分，共30分）13．把方程024＋)＝)((x －x 化为一般形式_________________后，二次项为 ，一次项为_________，常数项为__________．14．方程01＋32＝＋)(ax x a －a是关于x 的一元二次方程，则a ＝ ．15．某住宅郊区准备开辟一块面积为600 m 2的矩形绿地，要求长比宽多10m ，设绿地宽为x m ， 则可列方程为 。
16．若一元二次方程k x 2＋2x －1＝0没有实数根，则k 的取值范围是_________________．17．流感的传染速度较快，现有一患者，若一轮一人传染x 人，经过两轮传染共有 人患病． 18．若a ，b 是方程x 2＋2 014x ＋1＝0的两个根，则(a 2＋2014a )＋(b 2＋2014b )= 。
19．化243y x x =++为2()y a x h k =-+的形式是 ，图像的开口向＿＿，顶点是 ，对称轴是 。
20．抛物线241y x x =+-的顶点是 ，对称轴是 。
21、把二次函数y=-31(x+2)2的图像向 平移 个单位得到抛物线y=-31x 2.22. y=-31(x+2)2顶点 对称轴 ,与x 轴交点 ；与y 轴交点 。
三、解答题（40分）23、解方程：（8分） （1）（x+2）2=2x+4 （2）x 2-12x+5=024、（8分）已知抛物线212y x x c =++与x 轴有交点．(1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx +l 经过的象限，并说明理由． 25、（10分）金鹰超市新进商品每件价格是120元，在试销期间发现，当每件商品的价格是130元时，每天可售70件，当每件商品的售价高于130元时，每涨1元，日销售量就减少1件，按此规律，请回答： （1）当每件商品的售价定为170元时，每天可售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少时，商场的日盈利可达到1600元？26、（14分）如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（-1,0），点B的坐标为（4,0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的顶点坐标及最大值．（3）求S△ABC。
（4）抛物线上是否存在一点D，使S△ABC=S△ABD；若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。
yCOA B x九（2）班二次函数与一元二次方程的基础训练姓名：一、选择题（每题3分）1、若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ） Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c2、 下列二次函数中有一个函数的图像与x 轴有两个不同的交点，这个函数是（ ） Ａ．2y x =Ｂ．24y x =+ Ｃ．2325y x x =-+Ｄ．2351y x x =+-3、 二次函数256y x x =-+与x 轴的交点坐标是（ ）Ａ．（2，0）（3，0） Ｂ．（2-，0）（3-，0） Ｃ．（0，2）（0，3） Ｄ．（0，2-）（0，3-） 4、抛物线2321y x x =-+-的图象与坐标轴交点的个数是（ ）Ａ．没有交点Ｂ．只有一个交点 Ｃ．有且只有两个交点Ｄ．有且只有三个交点5、下列方程中，关于x 的一元二次方程是( ) (A)(B) (C) (D)6、.若方程()a x =-24有解，则a 的取值范围是（ ） A ．0≤a B ．0≥a C ．0>a D ．无法确定 7、.若方程013)1(1||=++++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．1±=mB ．m=1C ．m= —1D ．1±≠m8、已知代数式x -3与x x 32+-的值互为相反数，则x 的值是（ ） A ．－1或3 B ．1或－3 C ．1或3 D ．－1和－3 9、已知m 是方程x 2-x-1=0的一个根，则代数式m 2-m 的值等于（ ） A 、 -1 B 、0 C 、1 D 、210．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程060162=+-x x 的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A ．24B ．24或58C ．48D ．58二、填空题（每道4分；共32分）1.已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程 x 2-14x+48=0的一个 根，则这个三角形的周长为 。
2、若一元二次方程kx2＋2x －1＝0没有实数根，则的取值范围是_________________． 3．如图J22-2-1是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则由图象可知，则ax 2＋bx ＋c =0的解是_____________ ． 4、已知方程x 2+kx+3=0的一个根是-1，则k=______， 另一根为______5、使分式的值等于0的x 的值是6、 y=-31(x+2)2顶点 对称轴 ,与x 轴交点 与y 轴交点 7、已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程x 2-8x+7的两根，则此三角形的斜 边长为 8、已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程 x2-14x+48=0的一个 根，则这个三角形的周长为 。
三解答题（58分）1．解下列方程：(20分) (1) (2)(3) (4）x 2+4x=22．（6分）已知a 、b 、c 均为实数，且0)12(|1|12=++++-c b a ，求方程02=++c bx ax 的根。
3、(6分)竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式h=v 0t-gt 2，其中重力加速度g 以10米/秒2计算.爆竹点燃后以初速度v 0=20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米？4、（8分） 已知函数22y x mx m =-+-．（1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点； （2）若函数y 有最小值54-，求函数表达式．5、（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存．．．．．．，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？6、（10分）下图是二次函数2y ax bx c =++的图像，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于A 点． （1）根据图像确定a ，b ，c 的符号，并说明理由；（2）如果A 点的坐标为(03)-，，45ABC ∠= ，60ACB ∠=，求这个二次函数的函数表达式．ＡＣＯ Ｂ xy。