陕西省西安市高新一中2019届高三一模考试数学试题文科(解析版)
陕西省西安市高新一中2019届高三一模考试数学(文)试题(精品解析)
陕西省西安市高新一中2019届高三一模考试数学试题文科（解析版）一、选择题（本大题共12小题）1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：解法一：由题意得，故选A.解法二：设，则，由复数相等得，解得，因此，故选A.【考点定位】本题考查复数的四则运算，属于容易题.2.已知全集，，则集合( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合并集的定义求出，再由补集的定义求得，从而可得结果．【详解】，，或故，所以，故，故选D．【点睛】本题考查了集合的运算，熟练掌握集合的运算性质是解题的关键，属于基础题．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.3.在等差数列中，前项和为，，则等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由根据等差数列的前项和公式得到，代入即可求出结果．【详解】设首项为，公差为，，，即，则，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列前项和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握情况，属于基础题．4.设是定义在R上的周期为3的函数，当时，，则( )A. 0B. 1C.D.【答案】D【解析】试题分析：因为是周期为3的周期函数，所以故选D.考点：函数周期性的概念和分段函数的概念.5.命题p：若，，则，命题q：若，，则在命题且或非非q中，真命题是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：命题中，，则指数函数单调递增，。
为假。
命题中，，则幂函数单调递减，则。
为真。
详解：命题中，，则指数函数单调递增，。
为假。
命题中，，则幂函数单调递减，则。
为真。
非为真，②或为真。
点睛：（1）指数函数的单调性，只与有关，，单调递减；单调递增。
幂函数的单调性与有关，，单调递减；，单调递增。
（2）关于复合命题的真假性，利用真值表即可判断。
6.如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时，该程序框图所表示的算法功能为：，故选D.考点：程序框图.7.下列说法正确的是（）A. 存在，使得B. 函数的最小正周期为C. 函数的一个对称中心为D. 角的终边经过点，则角是第三象限角【答案】D【解析】【分析】根据，判断；根据函数的最小正周期为判断；根据函数的对称中心为判断；根据，判断．【详解】在中，，所以，，，不存在，使得，故错误；在中，函数的最小正周期为，故错误；在中，由，，得，，函数的对称中心为，，故错误；在中，，，角的终边经过点，则角是第三象限角，正确．故选D．【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的对称性、周期性、特称命题的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.8.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）A. 13，12B. 13，13C. 12，13D. 13，14【答案】B【解析】试题分析：设公差为d，由=8，且成等比数列，可得64=（8-2d）（8+4d）=64+16d-8d2，即，0=16d-8d2，又公差不为0，解得d=2此数列的各项分别为4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，故样本的中位数是13，平均数是13考点：等差数列与等比数列的综合；众数、中位数、平均数9.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如图所示，该几何体为长宽高为的长方体中的三棱锥，结合三棱锥的几何特征可知，取的中点，则球心位置为的中点，半径为：，此三棱锥的外接球的体积为 .本题选择C选项.点睛：空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．10.若满足，且的最小值为，则的值为（）A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数，从而可得结果.【详解】由得，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小值为，即，则，当时，，即，同时也在直线上，代入可得，解得，故选D．【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11.设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=A. B. 8 C. D. 16【答案】B【解析】设A（-2，t），∴，∴∴812.设，，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出在的值域与在的值域，利用在的值域是在的值域的子集列不等式组，从而可求出的取值范围．【详解】，当时，，当时，，由，．故又因为，且，．故．因为对于任意，总存在，使得成立，所以在的值域是在的值域的子集，所以须满足，，的取值范围是，故选C．【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词的应用，以及函数值域的求解方法，属于中档题．求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，；②换元法：常用代数或三角代换法；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求函数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.二、填空题（本大题共4小题）13.已知向量，，若，则代数式的值是______．【答案】5【解析】依题意得意得.14.若直线和直线垂直，则____．【答案】0或【解析】【分析】由，解得或，验证两条直线是否垂直由，得，解得即可得出．【详解】若，解得或．经过验证只有时，两条直线相互垂直．若，因为直线和直线垂直，则，解得（验证分母不等于）综上可得或0,故答案为0或．【点睛】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、分类讨论方法，属于中档题．对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.15.已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小自然数的值为______．【答案】16【解析】【分析】由已知中数列的通项公式，根据对数的运算性质，可以求出前项和的表达式，解对数不等式可得的值.【详解】 ,,若，则 ,即 ,则使成立的最小自然数的值为16，故答案为16.【点睛】本题考查的知识点是数列求和，对数的运算性质，对数不等式的解法，其中根据对数的运算性质求出的表达式是解答的关键．16.设函数是定义在R上的以5为周期的奇函数，若，，则a的取值范围是______．【答案】.【解析】【分析】根据函数是以5为周期的奇函数，得，结合函数为奇函数，得由此结合建立关于的不等式，解之可得的取值范围．【详解】∵函数以5为周期，∴，又∵函数是奇函数，∴，因此，解得或，故答案为．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知识，熟练运用函数的性质是关键，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题）17.在中，角的对边分别是，已知．Ⅰ求的值；Ⅱ若，，求边的值．【答案】(I)；(II)或【解析】【分析】Ⅰ由利用正弦定理得，从而，由此能求出的值；Ⅱ求出，由利用降幂公式以及两角和的正弦公式可得从而可得，或 ,进而可得角的值，再利用正弦定理可得结果．【详解】Ⅰ由已知及正弦定理得，即，又，所以有，即而，所以．Ⅱ由及，得，因此．由条件得，即，得，得．由，知．于是，或．所以，或．若，则．在中，，解得；若，在中，，解得．因此或．【点睛】本题考查角的正弦定理、降幂公式的应用，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.18.某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了5块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如图所示：Ⅰ请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由；Ⅱ求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地，这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率．【答案】(I)见解析；(II).【解析】【分析】Ⅰ由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量和方差，再求出乙种棉花的平均亩产量和方差，则方差较小的亩产量稳定；Ⅱ利用列举法，从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有10种，而满足条件的选法有3种，由此利用古典概型概率公式求得所求事件的概率.【详解】Ⅰ由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量为：，方差为．乙种棉花的平均亩产量为：，方差为．因为，所以乙种棉花的平均亩产量更稳定Ⅱ从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有，，，，，，，，，共10种，设“亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量”为事件A，包括的基本事件为，，共3种．所以故两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率为．【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，以及茎叶图的应用，属于基础题．利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19.等腰的底边，高，点E是线段BD上异于点B，D的动点点F在BC边上，且现沿EF将折起到的位置，使．Ⅰ证明平面PAE；Ⅱ记，表示四棱锥的体积，求的最值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：(1)利用直线垂直于平面内两条相交直线证得直线垂直于平面即可；(2)利用题意求得体积的函数，对体积函数进行求导，讨论函数的单调性即可求得体积的最大值.试题解析：（Ⅰ）证明：∵，∴，故，而，所以平面． （Ⅱ）解：∵，，∴平面，即为四棱锥的高.由高线及得，∴，由题意知，∴，∴．而，∴（），所以当时，．20.已知圆的方程为，点是圆上任意一动点，过点作轴的垂线，垂足为，且，动点的轨迹为轨迹与轴、轴的正半轴分别交于点和点；直线与直线相交于点，与轨迹相交于两点．Ⅰ求轨迹的方程；Ⅱ求四边形面积的最大值．【答案】(I)；(II) .【解析】【分析】（I）设，利用向量的运算可得，再把代入圆的方程可求得轨迹方程；（II）设，，直线与椭圆方程联立，可求得值，可得的长，利用点到直线的距离公式可得到的距离，四边形面积为，利用基本不等式可求四边形面积的最大值．【详解】（I），设，则在上，所以，即；（II）设，，直线与椭圆方程联立可得解得，可得到的距离分别为，四边形面积为．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，训练了代入法求曲线的轨迹方程，考查基本不等式求最值，是中档题．解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.21.设函数Ⅰ求的单调区间；Ⅱ若存在区间，使在上的值域是，求的取值范围．【答案】(I)的单调递增区间为；(II) .【解析】【分析】Ⅰ求出，对再求导，可得函数增区间与减区间，的最小值为，从而可得的单调递增区间为；Ⅱ根据的单调性求出在的值域，问题转化为在上至少有两个不同的正根，令，两次求导，根据函数的单调性求出的范围即可．【详解】Ⅰ令g(x)= ,，令，解得：，令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，则的最小值为．所以，所以的单调递增区间为 .Ⅱ由Ⅰ得在区间递增，在上的值域是所以．则在上至少有两个不同的正根，，令求导，得，令则．所以在递增，．当时，G(x)，当时，G(x)所以在上递减，在上递增，故．【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，且取相同的长度单位曲线：，和：为参数)．写出的直角坐标方程和的普通方程；已知点，为上的动点，求中点到曲线距离的最小值．【答案】(I)曲线的直角坐标方程，曲线的普通方程为；(II) .【解析】【分析】根据，，可得的直角坐标方程，利用进行代换可得的普通方程；设出点的坐标，根据中点坐标公式求出，利用点到直线的距离，由辅助角公式化简，结合三角函数的有界性可得中点到曲线距离的最小值．【详解】曲线：，根据，，曲线：，曲线：消去参数，即，，曲线：，故得曲线的直角坐标方程，曲线的普通方程为．设曲线上的点，则PQ中点为，M到直线的距离为，当时，d的最小值为．【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题属于基础题. 利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，极坐标问题一般我们可以先把曲线极坐标方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23.已知不等式，其中当时，求不等式的解集；若不等式的解集不是空集，求的取值范围．【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】不等式可化为，对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；等价于,利用，即可求的取值范围．【详解】当时，不等式可化为，时，恒成立；时，不成立；时，2，可得，综上可得解集为 .，等价于,因为不等式的解集不是空集，.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法与性质，属于中档题．绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
陕西省西安市第一中学2019届高三上学期第一次月考数学(文)试题(精编含解析)
市一中2018-2019学年度第一学期第一次模拟考试高三数学试题(文科)一、选择题（共12小题，每题3分,共36分）1.设全集U是实数集R，函数的定义域为集合M，集合，则为（）A. {}B. 2C. {}D.【答案】C【解析】【分析】首先根据对数式要求真数大于零，解不等式求得集合M，根据补集中元素的特征，求得集合，再根据交集中元素的特征，求得，得到结果.【详解】或，所以，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有对数型函数的定义域，集合的补集，集合的交集的求解，属于简单题目.2.已知p：，q：，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据绝对值不等式的解法，求得不等式的解集，之后根据原命题和逆否命题等价，求得是的充分不必要条件，再利用集合的思想，求得参数所满足的条件，得到结果.【详解】由，解得或，因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，从而可得是的真子集，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关充分条件的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，原命题与逆否命题等价，用集合的思想解决充分条件，最后求得参数的范围，得到结果.3.下列说法错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. 若为假命题，则、均为假命题．D. 若命题：“，使得”，则：“，均有”【答案】C【解析】【分析】首先对题中的选项逐个分析，根据逆否命题、充分不必要条件的判断，复合命题的真值表，特称命题的否定，得出各选项的正误，求得结果.【详解】A，命题命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，命题正确；B，当时，成立，当时，有或，所以原命题正确；C，当为假命题时，有与至少一个是假命题，所以原命题为假命题；D，命题：“，使得”，则：“，均有”，命题正确；故选C.【点睛】该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有一个命题的逆否命题，充分不必要条件的判断，复合命题的真值表，特称命题的否定，正确理解知识点是解题的关键.4.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：函数为奇函数，不选A,C；当时为单调增函数，选B.考点：函数图像与性质【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.5.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对选项逐个分析，首先根据A项为奇函数，排除；C项虽为偶函数，但在上是减函数，排除；D项函数在上有增有减，排除；只有B项满足条件，得到结果.【详解】对于A，因为是奇函数，故不成立；对于B，因为，故其为偶函数，且当时，在上是增函数，满足要求；对于C，函数在上是减函数，故不成立；对于D，因为在上有增有减，故不成立；故选B.【点睛】该题考查的是有关判断函数的奇偶性与单调性的问题，涉及到的知识点有判断所给函数的奇偶性以及在给定区间上的单调性，熟练掌握函数的性质是解题的关键.6.已知函数，那么的值为A. 32B. 16C. 8D. 64【答案】C【解析】【分析】根据自变量所属于的范围代入相应的解析式求出值．【详解】∵f（x）=，∴f（5）=f（4）=f（3）=23=8故选：C．【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．7.设是等差数列的前项和，若，则（）A. 9B. 11C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】首先根据等差数列的性质，得到，所以得到，从而求得，之后应用等差数列的求和公式，得到结果.【详解】因为，，所以，所以，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质与等差数列的求和问题，正确应用公式是解题的关键.8.设非零向量，满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件非零向量，满足，从而得到，根据向量的模的平方与向量的平方是相等的，求得，从而得到，得到结果.【详解】因为非零向量，满足，所以，所以，所以，即，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方与向量的平方是相等的，向量数量积等于零等价于向量是垂直的，属于简单题目.9.已知函数在区间[1，2]上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据函数在区间[1，2]上单调递增，得到在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，之后从最值的角度处理，得到结果.【详解】因为函数在区间[1，2]上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以的取值范围是，故选A.【点睛】该题考查的是有关已知函数在某个区间上的单调性，求参数取值范围的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，最值的思想，基本不等式求最值问题，属于中档题目.10.已知等比数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由得.故选C.考点：等比数列的性质.11.已知不等式sin cos＋cos2－－m≤0对任意的≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是（）A. [，＋∞)B. (－∞，]C. [－，＋∞)D. (－∞，－]【答案】A【解析】【分析】首先将函数解析式进行化简，之后将恒成立问题转化为最值问题来处理，结合正弦函数的性质，求得其在给定区间上的最值，从而求得参数的取值范围.【详解】令，当时，，所以，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关恒成立问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦函数的倍角公式，余弦函数的倍角公式，辅助角公式，正弦函数在给定区间上的最值，正确应用公式是解题的关键.12.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，为导函数，当时，且，则不等式的解集是A. (－3,0)∪(3,＋∞)B. (－3,0)∪(0,3)C. (－∞,－3)∪(3,＋∞)D. (－∞,－3)∪(0,3)【答案】D【解析】【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．【详解】设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（ x）=f （ x）g （ x）= f（x）•g （x）= F（x）．故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（ ∞， 3）∪（0，3）．故选：D．【点睛】本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．二、填空题：（共4小题，每题4分共16分）13.已知向量若，则实数__________．【答案】【解析】分析：首先根据向量的运算法则，求得向量的坐标，之后应用向量平行时坐标所满足的条件，得到相应的等量关系式，求得结果.详解：点睛：该题考查的是有关利用向量平行求参数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有数乘向量，向量加法运算法则，向量共线时坐标所满足的条件，正确应用公式是解题的关键.14.数列满足，，则＝__________.【答案】【解析】∵，∴，又∴，，故数列的周期为3，∴故答案为：15.已知函数，则零点的个数是________．【答案】3【解析】【分析】首先令每段上的函数值为零，得到相应的方程，求解，得到根的个数，即函数零点的个数.【详解】令，解得，令，解得，所以函数零点的个数为3，故答案是3.【点睛】该题考查的是有关分段函数的零点个数的问题，涉及到的知识点有函数零点的定义，分段函数的零点个数的求解，注意要分段考虑，注意其范围.16.关于函数，有下列命题:①为偶函数;②要得到函数的图像,只需将的图像向右平移个单位长度;③的图像关于直线对称;④在内的增区间为和.其中正确命题的序号为____.【答案】②③【解析】【分析】对每个命题进行分析，逐个对照，结合正弦型函数的性质，得到结果.【详解】①因为函数，所以不是偶函数；②将的图像向右平移个单位长度，得到的图象，正确；③当时，，所以的图像关于直线对称，正确；④在内的增区间有三个，所以不正确；故答案为②③.【点睛】该题考查的是有关正弦型函数的性质问题，涉及到的知识点有函数图象平移前后的解析式的求解，函数奇偶性的判断，函数单调性的判断，函数对称性的判断，认真理解基础知识是解题的关键.三、解答题（共4大题，共48分）17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.（1）求A；（2）若，求△ABC的面积.【答案】(1)（2）.【解析】【分析】（1）首先根据向量平行坐标所满足的条件，得到，由正弦定理得到结合，求得，结合三角形内角的取值范围，求得；（2）根据余弦定理，求得，之后应用三角形的面积公式求得结果.【详解】(1)因为与平行，所以，由正弦定理得，又，从而，由于，所以（2）由余弦定理得，故面积为.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有向量平行坐标所满足的条件，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，正确应用公式是解题的关键.18.已知函数．（1）求的值．（2）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）最小正周期为，单调递增区间为．【解析】（1）由题可得．（2）由题可得，所以的最小正周期是．令，解得，所以的单调递增区间是．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简以及函数的性质，这是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式，即，然后利用三角函数的性质求解．19.已知等差数列的前n项和为，各项为正的等比数列的前n项和为，，，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于与的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可；（2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果.【详解】(1)设的公差为d，的公比为q，由得d+q=3，由得2d+q2=6, 解得d=1,q=2.所以的通项公式为；（2）由得q2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4，当q=4时，d=-1，则S3=-6。
2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷(文科)
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注：资料封面，下载即可删除2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{1A =，2，3，6，9}，{3|}B x x A =∈，{|3}C x N x A =∈∈，则(BC =)A ．{1，2，3}B ．{1，6，9}C ．{1，6}D ．{3}2．（5分）右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为,x x 乙甲，标准差分别为σ甲，σ乙，则( )A ．,x x σσ><乙乙甲甲B ．,x x σσ>>乙乙甲甲C ．,x x σσ乙乙甲甲D ．,x x σσ<<乙乙甲甲3．（5分）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式cos sin ix e x i x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，2i e 表示的复数所对应的点在复平面中位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（5分）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =+ 5．（5分）《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？( ) A ．18B ．20C ．21D ．256．（5分）设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r ，y 关于x 的回归直线方程为ˆykx b =+，则( ) A ．k 与r 的符号相同 B ．b 与r 的符号相同C ．k 与r 的符号相反D ．b 与r 的符号相反7．（5分）如果对定义在R 上的奇函数()y f x =，对任意两个不相邻的实数1x ，2x ，所有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()y f x =为“H 函数”，下列函数为H 函数的是( ) A ．()sin f x x =B ．()x f x e =C ．3()3f x x x =-D ．()||f x x x =8．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A 出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点1A ，则该蚂蚁走过的最短路径为( )A 193B ．25C ．2193D ．319．（5分）将函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π个单位，在向上平移一个单位，得到()g x 的图象．若12()()4g x g x =，且1x ，2[2x π∈-，2]π，则122x x -的最大值为( ) A ．92πB ．72π C ．52π D ．32π 10．（5分）已知圆22:2430C x y x y +--+=，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则||PC 的最大值为( ) ABC．D．11．（5分）抛物线212x y =在第一象限内图象上一点(i a ，22)i a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i N ∈，若232a =，则246a a a ++等于( ) A ．64B ．42C ．32D ．2112．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为( ) AB ．2CD ．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．（5分）已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，点(,)P x y 在抛物线C 上，且1x =，则||PF = ．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件42047020x y x y x y ++⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，则5z x y =-+的最大值为 ．15．（5分）设函数21,1()(1),1x x f x f x x ⎧-<=⎨-⎩，则函数2(log 10)f = ．16．（5分）如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -O ，底面ABCD 在半球O 底面所在平面上，1A ，1B ，1C ，1D 四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,,23a b c a =，且(23)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-．（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E ，F 分别为PC ，PA 的中点，底面是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，2AB AD PD ===，4CD =． （1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ； （2）求三棱锥P EFB -的体积．19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均值x 及方差2s ；（3）当质量指标值位于(80,122.5)时，认为该产品为合格品，求该产品为合格品的概率．20．（12分）已知椭圆C 过点(26,2)A ，两个焦点(26,0),(26,0)-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为3，求AOB ∆面积的最大值．21．（12分）已知函数()()x f x e ax a R =-∈有两个零点． （1）求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，求证：122x x +>．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程] 22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=，直线l 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数，0)απ<．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； （Ⅱ）若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长． [选修4-：5：不等式选讲]23．已知函数()|1||3|f x x x m =++--R ． （Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{1A =，2，3，6，9}，{3|}B x x A =∈，{|3}C x N x A =∈∈，则(BC =)A ．{1，2，3}B ．{1，6，9}C ．{1，6}D ．{3}【解答】解：集合{1A =，2，3，6，9}， {3|}{3B x x A =∈=，6，9，18，27}， {|3}{1C x N x A =∈∈=，2，3}， {3}BC ∴=．故选：D ．2．（5分）右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为,x x 乙甲，标准差分别为σ甲，σ乙，则( )A ．,x x σσ><乙乙甲甲B ．,x x σσ>>乙乙甲甲C ．,x x σσ乙乙甲甲D ．,x x σσ<<乙乙甲甲【解答】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中， 甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定， 设甲乙两位同学成绩的平均值分别为,x x 乙甲， 标准差分别为σ甲，σ乙， 则x x >乙甲，σσ<乙甲． 故选：A ．3．（5分）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式cos sin ix e x i x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，2i e 表示的复数所对应的点在复平面中位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由题意可得，2cos2sin 2i e i =+，22ππ<<，cos20∴<，sin 20>，则2i e 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限． 故选：B ．4．（5分）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则( ) A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =+ 【解答】解：3BC CD =；∴3()AC AB AD AC -=-； ∴1433AD AB AC =-+． 故选：A ．5．（5分）《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？( ) A ．18B ．20C ．21D ．25【解答】解：设公差为d ，由题意可得：前30项和3030293903052S d ⨯==⨯+，解得1629d =． ∴最后一天织的布的尺数等于165295292129d +=+⨯=． 故选：C ．6．（5分）设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r ，y 关于x 的回归直线方程为ˆykx b =+，则( ) A ．k 与r 的符号相同 B ．b 与r 的符号相同C ．k 与r 的符号相反D ．b 与r 的符号相反【解答】解：相关系数r 为正，表示正相关，回归直线方程上升， r 为负，表示负相关，回归直线方程下降，k ∴与r 的符号相同．故选：A ．7．（5分）如果对定义在R 上的奇函数()y f x =，对任意两个不相邻的实数1x ，2x ，所有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()y f x =为“H 函数”，下列函数为H 函数的是( ) A ．()sin f x x =B ．()x f x e =C ．3()3f x x x =-D ．()||f x x x =【解答】解：根据题意，对于所有的不相等实数1x ，2x ，则11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，则有1212()[()()]0x x f x f x -->恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数， 则“H 函数”为奇函数且在R 上为增函数， 据此依次分析选项：对于A ，()sin f x x =，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意； 对于B ，()x f x e =，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C ，3()3f x x x =-，为奇函数，但在R 上不是增函数，不符合题意； 对于D ，22,0()||,0x x f x x x x x ⎧==⎨-<⎩，为奇函数且在R 上为增函数，符合题意；故选：D ．8．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A 出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点1A ，则该蚂蚁走过的最短路径为( )A ．193B ．25C ．2193D ．31【解答】解：将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．2343=，所以矩形的长等于4624⨯=，宽等于7， 由勾股定理求得2224725d +=． 故选：B ．9．（5分）将函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π个单位，在向上平移一个单位，得到()g x 的图象．若12()()4g x g x =，且1x ，2[2x π∈-，2]π，则122x x -的最大值为( ) A ．92πB ．72π C ．52π D ．32π 【解答】解：将函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π个单位，再向上平移一个单位，得到2()sin(2)1cos2136g x x x ππ=-++=-+ 的图象， 故()g x 的最大值为2，最小值为0，若12()()4g x g x =，则12()()2g x g x ==，或12()()2g x g x ==-（舍去）． 故有12()()2g x g x ==，即12cos2cos21x x ==-，又1x ，2[2x π∈-，2]π，则12x π=，22x π=- 则122x x -取得最大值为322πππ+=． 故选：D ．10．（5分）已知圆22:2430C x y x y +--+=，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则||PC 的最大值为( )AB C ．D ．【解答】解：由圆22:2430C x y x y +--+=，得：22(1)(2)2x y -+-=，∴圆心坐标(1,2)C ，半径r =等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，圆中最长弦即为直径，||AB ∴的最大值为直径又PAB ∆为等边三角形，||PC ∴的最大值也为故选：C ．11．（5分）抛物线212x y =在第一象限内图象上一点(i a ，22)i a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i N ∈，若232a =，则246a a a ++等于( ) A ．64 B ．42C ．32D ．21【解答】解：22(0)y x x =>，4y x ∴'=， 212x y ∴=在第一象限内图象上一点(i a ，22)i a 处的切线方程是：224()i i i y a a x a -=-， 整理，得2420i i a x y a --=， 切线与x 轴交点的横坐标为1i a +， 112i i a a +∴=，2{}k a ∴是首项为232a =，公比14q =的等比数列， 246328242a a a ∴++=++=．故选：B ．12．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为( )A B ．2CD ．5【解答】解：2(,0)F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为2||F P b ==，即有||OP a ==，OP 为△12MF F 的中位线，可得1||2||2MF OP a ==， 2||2MF b =，可得21||||2MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得c e a ===故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，点(,)P x y 在抛物线C 上，且1x =，则||PF = 178． 【解答】解：由22y x =，得212x y =，则14p =；由1x =得2y =，由抛物线的性质可得117||22288p PF =+=+=， 故答案为：178． 14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件42047020x y x y x y ++⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，则5z x y =-+的最大值为 10 ．【解答】解：作出实数x ，y 满足约束条件42047020x y x y x y ++⎧⎪+-⎨⎪-+⎩的可行域如图所示：作直线0:50l x y -+=，再作一组平行于0l 的直线:5l x y z -+=， 当直线l 经过点A 时，5z x y =-+取得最大值， 由42020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得点A 的坐标为(2,0)-，所以5(2)010max z =-⨯-+=． 5z x y =-+的最大值为：10．故答案为：10．15．（5分）设函数21,1()(1),1x x f x f x x ⎧-<=⎨-⎩，则函数2(log 10)f = 14 ．【解答】解：函数21,1()(1),1x x f x f x x ⎧-<=⎨-⎩，∴函数210322223101(log 10)(log 101)(log 102)(log 103)21124log f f f f -=-=-=-=-=-=． 故答案为：14． 16．（5分）如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -和半径为3的半球O ，底面ABCD 在半球O 底面所在平面上，1A ，1B ，1C ，1D 四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为 4 ．【解答】解：设正四棱柱1111ABCD A B C D -的高为h ，底面棱长为a ，则正四棱柱的底面外接圆直径为22r a ，所以，2r =． 由勾股定理得222(3)h r +=，即2232a h +=，得2262a h =-，其中03h <<，所以，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为223(62)26V a h h h h h ==-=-+，其中03h <<，构造函数3()26f h h h =-+，其中0h <2()66f h h '=-+，令()0f h '=，得1h =．当01h <<时，()0f h '>；当1h <<()0f h '<．所以，函数()V f h =在1h =处取得极大值，亦即最大值，则max V f =（1）4=． 因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c a =，且)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-．（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积的最大值．【解答】解：（1）在ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c a =，且)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-．整理得：()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-， 利用正弦定理得：222a b c bc -=-，即：2221cos 22b c a A bc +-==，由于：0A π<<， 解得：3A π=．（2）由于3a A π==，所以：2222cos a b c bc A =+-，整理得：22122b c bc bc bc bc =+--=， 所以：113sin 1233222ABC S bc A ∆==．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E ，F 分别为PC ，PA 的中点，底面是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，2AB AD PD ===，4CD =． （1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ； （2）求三棱锥P EFB -的体积．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，过点B 作BH CD ⊥于H ， 在BCH ∆中，有2BH CH ==，45BCH ∴∠=︒． 又在DAB ∆中，有2AD AB ==，45ADB ∴∠=︒． 45BDC ∴∠=︒，90DBC ∴∠=︒．BC BD ∴⊥．PD CD ⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⋂平面ABCD CD =，PD ⊂平面PCD ，PD ∴⊥平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BDPD D =，BD ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，BC ∴⊥平面PBD ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ；（2）解：//AB CD ，且AB ⊂平面PAB ，CD ⊂/平面PAB ，则//CD 平面PAB ，在Rt PDA ∆中，由2AD PD ==，可得D 到PA 的距离为2，即D 到平面PAB 的距离为2． 又E 为PC 的中点，可得E 到平面PAB 的距离为22． 在Rt PAB ∆中，由2AB =，22PA =，且F 为PA 的中点， 可得122PBF PAB S S ∆∆==．1212323P EFB E PBF V V --∴==⨯⨯=．19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均值x及方差2s；（3）当质量指标值位于(80,122.5)时，认为该产品为合格品，求该产品为合格品的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：-+++⨯=，[95，105)内的频率为：1(0.0060.0260.0220.008)100.38由此能补全频率分布直方图如下：（2）质量指标值的样本平均数为：800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．质量指标值的样本方差为22222(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104S =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）当质量指标值位于(80,122.5)时，认为该产品为合格品， 质量指标值位于(80,122.5)的频率为：0.006310(0.0260.0380.022)100.008100.9524⨯+++⨯+⨯⨯=． ∴该产品为合格品的概率为0.95．20．（12分）已知椭圆C 过点A ，两个焦点(-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为3，求AOB ∆面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距c ．则c =2221b+=，222a b c =+．联立解得：c =，6a =，212b =．∴椭圆C 的标准方程为：2213612x y +=．（2）直线l 与x 轴平行时，把3y =±代入椭圆方程可得：2913612x +=，解得3x =±，可得AOB∆面积16392S =⨯⨯=．直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x ty m =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 原点到直线AB 的距离3d ==，化为：229(1)m t =+．联立22336x ty m x y =+⎧⎨+=⎩，化为：222(3)2360t y tmy m +++-=， △222244(3)(36)0t m t m =-+->，12223tmy y t +=-+，2122363m y y t -=+．则22(1)(||6(3)t t AB t +===+，令233t n+=，则AOB∆面积2222 11(1)(9)||3622(3)t tS d ABt++==⨯⨯+44933=⨯=当且仅当6n=，t=AOB∆面积取得最大值．21．（12分）已知函数()()xf x e ax a R=-∈有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数()f x的两个零点分别为1x，2x，求证：122x x+>．【解答】解：（1）由()xf x e ax=-，得()xf x e a'=-，当0a<时，()f x在R上为增函数，函数()f x最多有一个零点，不符合题意，所以0a>．当0a>时，()x x lnaf x e a e e'=-=-()0f x x lna'<⇔<；()0f x x lna'>⇔>；所以()f x在(,)lna-∞上为减函数，在(,)lna+∞上为增函数；所以()()minf x f lna a alna==-；若函数()f x有两个零点，则()0f lna a e<⇒>；当a e>时，(0)10f=>，f（1）0e a=-<；32(3)()30af a e a=->；由零点存在定理，函数()f x在(0,1)和(1,3)a上各有一个零点．结合函数()f x的单调性，当a e>时，函数()f x有且仅有两个零点，所以，a的取值范围为(,)e+∞．（2）证明：由（1）得a e>，120x x<<；由11ex ax=，22ex ax=得11x lna lnx=+，22x lna lnx=+；所以221211xx x lnx lnx lnx-=-=；设21xtx=(1)t>，则2121x txx x lnt=⎧⎨-=⎩，解得11lnt x t =-，21tlnt x t =-； 所以12(1)1t lnt x x t ++=-， 当1t >时，12(1)221t lnt x x t ++>⇔>- 2(1)01t lnt t -⇔->+； 设2(1)()1t h t lnt t -=-+，则22(1)()(1)t h t t t -'=+，当1t >时，()0h t '>； 于是()h t 在(1,)+∞上为增函数；所以，当1t >时，()h t h >（1）0=，即2(1)01t lnt t -->+； 所以122x x +>．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=，直线l 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数，0)απ<．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状；（Ⅱ）若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程24cos sin θρθ=化为22sin 4cos ρθρθ=， 得到曲线C 的直角坐标方程为24y x =，故曲线C 是顶点为(0,0)O ，焦点为(1,0)F 的抛物线；（2）直线l 的参数方程为cos (1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩ t 为参数，0)απ<． 故l 经过点(0,1)；若直线l 经过点(1,0)，则34πα=， ∴直线l的参数方程为3cos 4(31sin 142x t t y t ππ⎧==⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩为参数）．代入24y x =，得220t ++=设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=-，122t t =．12||||8AB t t =-=．[选修4-：5：不等式选讲]23．已知函数()f x =R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值． 【解答】解：（1）函数定义域为R ，|1||3|0x x m ∴++--恒成立， 设函数()|1||3|g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值，又|1||3||(1)(3)|4x x x x ++-+--=，即()g x 的最小值为4，4m ∴．（2）由（1）知4n =，12112(3)2(2)12974(622)()(5)(52)432423434a b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b b a b +++∴+=++++=+++⨯=+++++，当且仅当23a b a b +=+，即3210b a ==时取等号． 74a b ∴+的最小值为94．。
陕西省2019届高三第一次大检测数学试题(文)
陕西省2019届高三第一次大检测数学试题（文）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x≥1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3）2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±13．若tanα=1，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．1 B．C．D．4．设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2的位置关系是（）A．相切B．相离C．相交D．与k的取值有关6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，87．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A．4B．4 C．6D．68．等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项都是1，公差公比都是2，则b b b =（）A．64 B．32 C．256 D．40969．函数f （x ）=lnx +e x 的零点所在的区间是（ ） A ．（） B ．（）C ．（1，e ）D ．（e ，∞）10．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．双曲线的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2=2px （p＞0）的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．212．定义在[0，+∞）的函数f （x ）的导函数为f ′（x ），对于任意的x ≥0，恒有f ′（x ）＞f （x ），a=，b=，则a ，b 的大小关系是（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a=bD ．无法确定第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2019届陕西省西安市高新一中高三一模考试数学(文)试题(解析版)
3 4i ，故选 A.
解
法
二
：
设
z a bi a, b R
，
则
3 4i z 3 4i a bi 3a 4b 4a 3b i 25 ，
3a 4b 由复数相等得 {
25
a
，解得 {
3
，因此 z
3 4i ，故选 A.
4a 3b 0
b4
【考点定位】本题考查复数的四则运算，属于容易题
.
2．在等差数列 中，前 项和为 ，
【解析】 试题分析： 设公差为 d，由 =8，且
成等比数列， 可得 64=（ 8-2d）（8+4d）
=64+16d-8d 2，即， 0=16d-8d2，又公差不为 0，解得 d=2 此数列的各项分别为 4， 6，8， 10， 12， 14，16， 18， 20，22，
故样本的中位数是 13，平均数是 13
题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力 突破较难的命题．
7．一个样本容量为 10 的样本数据， 它们组成一个公差不为 0 的等差数列 ，若
，
且 ， ， 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（
）
A． 13， 12 【答案】 B
B． 13，13
C． 12， 13 D． 13， 14
过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值． 10．设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为 l,P 为抛物线上一点 ,PA⊥ l,A 为垂足．如 果直线 AF 的斜率为 ,那么 |PF|=
A．
B． 8 C．
【答案】 B
D． 16
【解析】 设 A（ -2，t ），
陕西省2019届高三第一次模拟联考 文科数学试题(解析版)
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 从装有质地均匀大小相同的 3 个白球、2 个红球的袋中随机取出 2 个小球，则取出
的小球是同色球的概率是
______．
14. 如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互
相垂直，则异面直线 AP 与 BD 所成的角为______．
（Ⅰ）求 f（x）的最大值 t；
（Ⅱ）若正实数 m，n 满足 n+m= mn，求证：
15. “南昌之星”摩天轮于 2006 年竣工，总高度 160m，直径 153m，匀速旋转一周需时 间 30min，以摩天轮的中心为原点，建立坐标系，如图示意图，以你登上摩天轮的 时刻开始计时，求出经过 t 分钟后你与地面的距离为______．
16. 定义在实数集 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）+f（x）=0 且当 x∈（0，1]时 f（x） =x，则下列四个命题正确的序号是______． ①f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=0； ②方程 f（x）=log5|x|有 5 个根；
，则 f（log336）+f（1）=（ ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 1
9. 如图，在▱OACB 中，E，F 分别为 AC 和 BC 的中点，若
=m +n ，其中 m，n∈R，则 m+n 的值为（ ）
A. 1
B.
C.
D. 2
10. 已知函数 f（x）=x3+3x，则不等式
＞x3+3x 的解集为（ ）
21. 已知函数 f（x）=（x-1）ex-ax2（其中 e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）判断函数 f（x）极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若对任意的 x＞0，f（x）+ex≥x3+x，求 a 的取值范围．
陕西省2019届高三数学第一次模拟联考试卷文(含答案解析)
陕西省2019届高三（联考）第一次模拟文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，直接运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.复数i（1+2i）的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解．【详解】由题意,根据复数的运算可得，所以复数的模为，故选D.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简单的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图画出几何体的直观图，判断几何体的形状以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中判断几何体的形状与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
陕西省西安市第一中学2019届高三上学期第一次月考数学(文)试题(解析版)
市一中2018-2019学年度第一学期第一次模拟考试高三数学试题(文科)一、选择题（共12小题，每题3分,共36分）1.设全集U是实数集R，函数的定义域为集合M，集合，则为（）A. {}B. 2C. {}D.【答案】C【解析】【分析】首先根据对数式要求真数大于零，解不等式求得集合M，根据补集中元素的特征，求得集合，再根据交集中元素的特征，求得，得到结果.【详解】或，所以，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有对数型函数的定义域，集合的补集，集合的交集的求解，属于简单题目.2.已知p：，q：，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据绝对值不等式的解法，求得不等式的解集，之后根据原命题和逆否命题等价，求得是的充分不必要条件，再利用集合的思想，求得参数所满足的条件，得到结果.【详解】由，解得或，因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，从而可得是的真子集，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关充分条件的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，原命题与逆否命题等价，用集合的思想解决充分条件，最后求得参数的范围，得到结果.3.下列说法错误．．的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. 若为假命题，则、均为假命题．D. 若命题：“，使得”，则：“，均有”【答案】C【解析】【分析】首先对题中的选项逐个分析，根据逆否命题、充分不必要条件的判断，复合命题的真值表，特称命题的否定，得出各选项的正误，求得结果.【详解】A，命题命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，命题正确；B，当时，成立，当时，有或，所以原命题正确；C，当为假命题时，有与至少一个是假命题，所以原命题为假命题；D，命题：“，使得”，则：“，均有”，命题正确；故选C.【点睛】该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有一个命题的逆否命题，充分不必要条件的判断，复合命题的真值表，特称命题的否定，正确理解知识点是解题的关键.4.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：函数为奇函数，不选A,C；当时为单调增函数，选B.考点：函数图像与性质【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.5.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对选项逐个分析，首先根据A项为奇函数，排除；C项虽为偶函数，但在上是减函数，排除；D项函数在上有增有减，排除；只有B项满足条件，得到结果.【详解】对于A，因为是奇函数，故不成立；对于B，因为，故其为偶函数，且当时，在上是增函数，满足要求；对于C，函数在上是减函数，故不成立；对于D，因为在上有增有减，故不成立；故选B.【点睛】该题考查的是有关判断函数的奇偶性与单调性的问题，涉及到的知识点有判断所给函数的奇偶性以及在给定区间上的单调性，熟练掌握函数的性质是解题的关键.6.已知函数，那么的值为A. 32B. 16C. 8D. 64【答案】C【解析】【分析】根据自变量所属于的范围代入相应的解析式求出值．【详解】∵f（x）=，∴f（5）=f（4）=f（3）=23=8故选：C．【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．7.设是等差数列的前项和，若，则（）A. 9B. 11C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】首先根据等差数列的性质，得到，所以得到，从而求得，之后应用等差数列的求和公式，得到结果.【详解】因为，，所以，所以，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质与等差数列的求和问题，正确应用公式是解题的关键.8.设非零向量，满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件非零向量，满足，从而得到，根据向量的模的平方与向量的平方是相等的，求得，从而得到，得到结果.【详解】因为非零向量，满足，所以，所以，所以，即，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方与向量的平方是相等的，向量数量积等于零等价于向量是垂直的，属于简单题目.9.已知函数在区间[1，2]上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据函数在区间[1，2]上单调递增，得到在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，之后从最值的角度处理，得到结果.【详解】因为函数在区间[1，2]上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以的取值范围是，故选A.【点睛】该题考查的是有关已知函数在某个区间上的单调性，求参数取值范围的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，最值的思想，基本不等式求最值问题，属于中档题目.10.已知等比数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由得.故选C.考点：等比数列的性质.11.已知不等式sin cos＋cos2－－m≤0对任意的≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是（）A. [，＋∞)B. (－∞，]C. [－，＋∞)D. (－∞，－]【答案】A【解析】【分析】首先将函数解析式进行化简，之后将恒成立问题转化为最值问题来处理，结合正弦函数的性质，求得其在给定区间上的最值，从而求得参数的取值范围.【详解】令，当时，，所以，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关恒成立问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦函数的倍角公式，余弦函数的倍角公式，辅助角公式，正弦函数在给定区间上的最值，正确应用公式是解题的关键.12.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，为导函数，当时，且，则不等式的解集是A. (－3,0)∪(3,＋∞)B. (－3,0)∪(0,3)C. (－∞,－3)∪(3,＋∞)D. (－∞,－3)∪(0,3)【答案】D【解析】【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．【详解】设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）•g （x）=﹣F（x）．故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选：D．【点睛】本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．二、填空题：（共4小题，每题4分共16分）13.已知向量若，则实数__________．【答案】【解析】分析：首先根据向量的运算法则，求得向量的坐标，之后应用向量平行时坐标所满足的条件，得到相应的等量关系式，求得结果.详解：点睛：该题考查的是有关利用向量平行求参数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有数乘向量，向量加法运算法则，向量共线时坐标所满足的条件，正确应用公式是解题的关键.14.数列满足，，则＝__________.【答案】【解析】∵，∴，又∴，，故数列的周期为3，∴故答案为：15.已知函数，则零点的个数是________．【答案】3【解析】【分析】首先令每段上的函数值为零，得到相应的方程，求解，得到根的个数，即函数零点的个数.【详解】令，解得，令，解得，所以函数零点的个数为3，故答案是3.【点睛】该题考查的是有关分段函数的零点个数的问题，涉及到的知识点有函数零点的定义，分段函数的零点个数的求解，注意要分段考虑，注意其范围.16.关于函数，有下列命题:①为偶函数;②要得到函数的图像,只需将的图像向右平移个单位长度;③的图像关于直线对称;④在内的增区间为和.其中正确命题的序号为____.【答案】②③【解析】【分析】对每个命题进行分析，逐个对照，结合正弦型函数的性质，得到结果.【详解】①因为函数，所以不是偶函数；②将的图像向右平移个单位长度，得到的图象，正确；③当时，，所以的图像关于直线对称，正确；④在内的增区间有三个，所以不正确；故答案为②③.【点睛】该题考查的是有关正弦型函数的性质问题，涉及到的知识点有函数图象平移前后的解析式的求解，函数奇偶性的判断，函数单调性的判断，函数对称性的判断，认真理解基础知识是解题的关键.三、解答题（共4大题，共48分）17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.（1）求A；（2）若，求△ABC的面积.【答案】(1)（2）.【解析】【分析】（1）首先根据向量平行坐标所满足的条件，得到，由正弦定理得到结合，求得，结合三角形内角的取值范围，求得；（2）根据余弦定理，求得，之后应用三角形的面积公式求得结果.【详解】(1)因为与平行，所以，由正弦定理得，又，从而，由于，所以（2）由余弦定理得，故面积为.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有向量平行坐标所满足的条件，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，正确应用公式是解题的关键.18.已知函数．（1）求的值．（2）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）最小正周期为，单调递增区间为．【解析】（1）由题可得．（2）由题可得，所以的最小正周期是．令，解得，所以的单调递增区间是．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简以及函数的性质，这是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式，即，然后利用三角函数的性质求解．19.已知等差数列的前n项和为，各项为正的等比数列的前n项和为，，，. （1）若，求的通项公式；（2）若，求【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于与的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可；（2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果.【详解】(1)设的公差为d，的公比为q，由得d+q=3，由得2d+q2=6, 解得d=1,q=2.所以的通项公式为；（2）由得q2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4，当q=4时，d=-1，则S3=-6。
陕西省西安市高新一中、交大附中、师大附中2019-2020学年高三上学期1月联考数学(文)试题(带答案解析)
○…………外……○…………内……陕西省西安市高新一中、交大附中、师大附中 2019-2020学年高三上学期1月联考数学(文)试题 第I 卷（选择题) 一、单选题 1．已知集合1|1,A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭1{|2B x x =<或}2x >，则()R A B =I ð（ ） A ．(0,2) B ．[0,2] C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2．如果复数3()2bi b R i -∈+的实部与虚部相等，那么b =（ ） A ．1 B ．6- C ．9- D ．3 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，391,18a S ==，则1a =（ ） A ．0 B ．1- C ．2- D ．3- 4．设,a b r r 为两个非零向量，则||||b a a b ⋅=⋅r r r r 的一个充分条件为（ ） A ．||||a b =r r B ．//a b r r C ．a b =-r r D ．3a b =r r 5．设,a b 是两条不重合的直线，,αβ是两个不同的平面，下列推理正确的是（ ） A ．,////a b a b αβαβ⊂⊂⎫⇒⎬⎭ B ．,a b a b αβαβ⊂⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭ C ．////b a a b αα⊂⎫⇒⎬⎭ D ．//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭ 6．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度（单位：mm ），将样本数据制作成如下的频率分布直方图：下列关于这批棉花质量状况的分析不正确的是（ ） A ．纤维长度在[250,300)的棉花的数量为9根 B ．从这60根棉花中随机选取1根，其纤维长度在[0,200)的概率为0.335 C ．有超过一半的棉花纤维长度能达到250mm 以上 D ．这批棉花的纤维长度的中位数的估计值为258.5mm . 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1n n S a =-，则10a =（ ） A ．12048 B ．20472048 C ．11024 D ．102310248．已知正三棱锥的高是1，底面边长是 ）A 1B 1C 1D 19．若函数()(cos )x f x e x a =+存在极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(B ．[C ．(1,1)-D ．[1,1]-10．已知()f x 是定义在R 的函数，若(1)y f x =+为偶函数，且(2)(2)f x f x +=--，则()f x 是（ ）A ．周期为2的奇函数B ．周期为4的奇函数C ．周期为2的偶函数D ．周期为4的偶函数11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右两个焦点分别为12F F 、，A B 、为其左右顶点,以线段12F F 、为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且30MAB ∠=o ,则双曲线的离心率为( ）A ．2B ．3C D12．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为23,34.只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（ ）A ．12 B ．23 C ．56 D ．112第II 卷（非选择题)二、填空题 13．已知函数2,1()1log ,12a x x f x x x -<⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_______. 14．若函数1()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，则下列结论中正确的序号是_______. ①由3sin 2y x=的图象上的点纵坐标不变，先将其上的点的横坐标伸长为原来的4倍，再向左平移6π个单位长度可以得到图象C ； ②图象C 关于点5,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 ③函数()f x 的最小正周期为4π； ④函数()f x 在区间(,2)ππ上单调递减． 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1221212221,2,21,1n n n n a a a a a a +-+===+=+，则20S =_______． 16．设点O 是抛物线的顶点，F 是焦点，PQ 是过焦点的弦，已知||1,||5OF PQ ==，则OPQ △的面积是________． 三、解答题 17．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的，tan 3tan A B =． （1）证明：()2222c a b =-； （2）若tan 2,C a ==ABC ∆的面积． 18．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.线…………○……线…………○……（Ⅰ）证明：CD⊥平面1A OC；（Ⅱ）当平面1A BE⊥平面BCDE时，四棱锥1A BCDE-的体积为a的值.19．2019年9月1日，《西安市生活垃圾分类管理办法》正式实施．根据规定，生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、厨余垃圾和其他垃圾，个人和单位如果不按规定进行垃圾分类将面临罚款，并纳入征信系统．为调查市民对垃圾分类的了解程度，某调查小组随机抽取了某小区的100位市民，请他们指出生活中若干项常见垃圾的种类，把能准确分类不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”．调查结果如下：（1）完成如下22⨯列联表并判断是否有99%的把握认为了解垃圾分类与性别有关？（2）从对垃圾分类比较了解的市民中用分层抽样的方式抽取8位，现从这8位市民中随机选取两位，求至多有一位男市民的概率．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++20．已知函数()ln f x x x =-． （1）求()f x 的最大值； （2）求证：不存在过点4,05⎛⎫ ⎪⎝⎭与曲线()y f x =相切的直线． 21．离心率为2的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(2,1)M ，O 是坐标原点． （1）求椭圆E 的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥u u u r u u u r ？若存在，求出该圆的方程，并求||AB 的取值范围；若不存在，请说明理由． 22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为53x t y t ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 是参数）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （1）求圆C 的普通方程和的直线l 直角坐标方程； （2）设直线l 与,x y 轴交点分别是,A B ，点P 是圆C 上的动点，求PAB △的面积的最小值． 23．设函数()|2||3|f x x x x =-+--，若1,4()x R m f x m ∀∈+-≥恒成立． （1）求实数m 的取值范围； （2）求证：(1)(2)log (2)log (3)m m m m +++>+．参考答案1．B【解析】【分析】先化简集合A ，再求出A B I ，从而可得()R A B ⋂ð.【详解】 因为11x<，所以10x x -<，即1x >或0x <， 又1{|2B x x =<或}2x >，所以{2A B x x ⋂=>或0}x <， 所以()[0,2]R A B =I ð.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，把集合化简到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2．C【解析】【分析】先把复数化简，结合实部与虚部相等可求结果.【详解】()()()()3236(23)2225bi i bi b b i i i i -----+==++-， 由题意得6(23)55b b --+=，解得9b =-. 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的运算及相关概念，分母实数化是处理复数除法的良方，侧重考查数学运算的核心素养.3．A【解析】【分析】先由918S =求出5a ，结合35,a a 的关系可得.【详解】 因为199599182a a S a +=⨯==，所以52a =； 因为135,,a a a 也成等差数列，所以13520a a a =-=.故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的运算，利用等差数列的性质能简化解题过程，侧重考查数学运算的核心素养.4．D【解析】【分析】先分析向量,a b r r 间的关系，结合选项可得.【详解】因为,a b r r 为两个非零向量，所以0,0a b >>r r ，因为||||b a a b ⋅=⋅r r r r ，所以//a b r r ，且同向；所以||||b a a b ⋅=⋅r r r r 的一个充分条件可以是3a b =r r .故选：D.【点睛】本题主要考查充分条件的识别，综合了平面向量的知识，把已知条件进行化简是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.5．D【解析】【分析】根据选项，结合相关定理及反例进行逐项验证即可得出答案.【详解】选项A 中，两个平面还可能相交，故不正确；选项B 中，两个平面垂直，这两个平面内的直线可以平行，相交，垂直，异面，故不正确；选项C 中，直线a 可能在平面α内，故不正确；选项D 中，垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确.故选：D.【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，借助相关定理及实物模型能快速求解，侧重考查直观想象的核心素养.6．D【解析】【分析】根据频率分布直方图可以得出每个区间内的频率，频数等，结合选项可得.【详解】由图可知纤维长度在[250,300)内的频数为：0.00350609⨯⨯=，所以A 正确；纤维长度在[0,200)内的频率为：()0.00130.00270.00170.0010500.335+++⨯=，所以B 正确；棉花纤维长度能达到250mm 以上的频率为：()0.00300.00530.0033500.58++⨯=，所以C 正确； 这批棉花的纤维长度的中位数的估计值为：0.0825050276.70.15+⨯=，所以D 不正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的识别，准确从频率分布直方图提取信息是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.7．C【解析】【分析】根据1n n S a =-及1n n n a S S -=-可求n a ，然后可得10a .【详解】当1n =时，1111a S a ==-，所以112a =；当2n ≥时，()1111n n n n n a S S a a --=-=---，112n n a a -=，所以1()2n n a =； 所以101011()21024a ==. 故选：C.【点睛】本题主要考查数列通项的求解，由n S 求n a 时，通常利用公式1n n n a S S -=-，侧重考查数学运算的核心素养.8．D【解析】【分析】利用等体积法，以内切球的球心为顶点，把正三棱锥分割成四个小棱锥，利用棱锥的体积和等于正三棱锥的体积可求内切球的半径.【详解】如图，过点P 作PD ⊥平面ABC 于点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，连接PE ，因为ABC ∆是正三角形，所以AE 是BC 边上的高和中线，D 为ABC ∆的中心.因为AB =1,ABC S DE PE ∆==所以正三棱锥的表面积为：132S =⨯⨯=因为1PD =，所以三棱锥的体积113V =⨯=. 设球的半径为r ，以球心O 为顶点，三棱锥的四个面为底面把三棱锥分割为四个小棱锥，则1r ==. 故选：D.【点睛】本题主要考查三棱锥的内切球，三棱锥的内切球一般是利用等体积法进行求解，侧重考查直观想象的核心素养. 9．A 【解析】 【分析】函数()(cos )xf x e x a =+存在极值点，转化为导数存在存在变号零点，分离参数可求. 【详解】()e (cos sin )x f x x a x '=+-，因为函数()(cos )x f x e x a =+存在极值点，所以()f x '存在变号零点，即sin cos )4a x x x π=-=-，)[4x π-∈，所以(a ∈. 故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数求解函数的极值问题，函数的极值问题转化为导数的零点问题，侧重考查数学抽象的核心素养. 10．B 【解析】 【分析】利用(1)y f x =+为偶函数，可得(+2)=()f x f x -，结合(2)(2)f x f x +=--可得周期，然后利用周期及(2)(2)f x f x +=--可得奇偶性. 【详解】因为(1)y f x =+为偶函数，所以(+1)=(+1)f x f x -，(+2)=()f x f x -，因为(2)(2)f x f x +=--，所以(4)()f x f x +=--， 所以(4)(2)f x f x +=-+，即周期为4；由(2)(2)f x f x +=--，(24)(2)f x f x +-=+得(2)(2)f x f x -=--，即有()=()f x f x --，所以为奇函数.故选：B. 【点睛】本题主要考查函数性质，综合了周期性和奇偶性，转化为周期的常见形式是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养. 11．B 【解析】分析：求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M ，再由两点的斜率公式，得到,a b 的关系，再由离心率公式即可得到所求值．详解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，以12F F 为by x a，=代入圆的方程，可得，x a ==（负的舍去），y b = ，即有M a b （，）， 又0A a -（，） ，由于30MAB ∠=o ，则直线AM 的斜率为k = 又2bk a=，则2222343b a c a ==-（） ， 即有2237c a = ，则离心率c e a = ．故选：B ．点睛：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，直线的斜率公式，考查离心率的求法，属于基础题．12．C 【解析】 【分析】把能进入第三关的事件，分为四种情况：前两关都是一次通过，前两关仅有一关是两次通过，前两关都是两次通过，然后分别求解概率即可. 【详解】设=i A “第i 次通过第一关”，i B =“第i 次通过第二关”，其中1,2i =； 由题意选手能进入第三关的事件为：111211121212A B A A B A B B A A B B +++, 所以概率为()111211121212P A B A A B A B B A A B B +++23123213121353433434433446=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查独立事件的概率，一般是把复杂事件拆分为独立事件的积，或互斥事件的和，侧重考查数学建模的核心素养. 13．1[,1)2【解析】 【分析】先求1x <时的值域，结合值域为R ，可以得出01a <<，且1log 12a ≥，从而可求答案. 【详解】当1x <时，()21f x x =->；当1x ≥，1122x -≥，若1a >，则11log log 22a a x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，此时不符合题意； 若01a <<，则11log log 22a a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，由题意可得1log 12a ≥，解得12a ≥； 所以实数a 的取值范围是1[,1)2.故答案为：1[,1)2.【点睛】本题主要考查分段函数的值域问题，分段函数的值域一般是分段求解，注意分类讨论思想的应用，侧重考查数学抽象的核心素养. 14．②③④ 【解析】 【分析】逐项验证可得正确答案，①通过变换知所得解析式为13sin()212y x π=+，②可以得到5()03f π=，③通过周期公式可求周期，④通过验证可知成立. 【详解】对于①，由3sin 2y x =的图象上的点纵坐标不变，先将其上的点的横坐标伸长为原来的4倍，可以得到13sin2y x =的图象，再向左平移6π个单位长度可以得到113sin ()3sin()26212y x x ππ=+=+的图象，所以①不正确；对于②，当53x π=时，515()3sin 03236f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，所以②正确； 对于③，()f x 的最小正周期为2412ππ=，所以③正确；对于④，当(,2)x ππ∈时，127(,)2636x πππ+∈，由于27(,)[,]3622πππ3π⊆，所以④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及性质，性质求解时一般是利用整体代换意识，进行处理，侧重考查数学抽象的核心素养. 15．2101 【解析】 【分析】根据2221n n a a +-=可得偶数项成等差数列，根据212121n n a a +-=+可知奇数项加上1之后成等比数列，然后根据分组求和的方法可得. 【详解】因为212121n n a a +-=+，所以()2121121n n a a +-+=+，即2121121n n a a +-+=+；又2221n n a a +=+，所以2221n n a a +-=；()()()()2012201319242011110S a a a a a a a a a =+++=++++++++++-L L L2102222311102101=+++++++-=L L .故答案为：2101. 【点睛】本题主要考查数列的分组求和，根据条件明确数列中项的特点是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 16【解析】 【分析】设出抛物线和直线的方程，联立方程结合韦达定理及弦长可得直线的斜率，然后利用面积公式可得OPQ △的面积. 【详解】由题意不妨设抛物线的方程为24y x =，因为直线PQ 斜率比存在，所以设:(1)PQ y k x =-，()()1122,,,P x y Q x y .联立24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得204k y y k --=，12124,4y y y y k +==-，()22212121221628y y y y y y k +=+-=+，， 因为21221211254y y P x x Q +=+++=+=，所以24k =，所以12y y -=== 所以OPQ △的面积为1212S y y =-=.本题主要考查直线和抛物线的位置关系，联立方程，结合韦达定理是这类题目的常规解题方向，侧重考查数学运算的核心素养. 17．（1）证明见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）利用条件tan 3tan A B =化正切为弦函数，结合正弦定理和余弦定理把角化为边可证； （2）先根据tan C 求出cos ,sin C C ,结合余弦定理可求b ，然后利用面积公式可得. 【详解】（1）证明：因为tan 3tan A B =，所以sin cos 3cos sin A B A B =， 所以sin cos cos sin 4cos sin A B A B A B +=，即sin 4cos sin C A B =,由正弦定理及余弦定理可得22242cb c c b b a +-=⋅，即有()2222c a b =-.（2）因为tan 2C =，所以cos 5C =，sin C =由余弦定理及（1）可得222223cos 22a a b c C b a b ab +--===，又因为a =，所以20--=，解得b =所以ABC ∆的面积为11sin 622S ab C ==⨯=. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，边角之间的相互转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．（Ⅰ） 证明见解析，详见解析；（Ⅱ）6a =. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）依据直线与平面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用等积法建立方程求解.（1）在图1中，易得//,BE AOC OE CD CD AO CD OC ⊥∴⊥⊥Q 所以，在图2中，1,CD OC CD AO CD ⊥⊥∴⊥平面1A OC （2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE , 1CD A O ⊥ 所以1A O ⊥平面BCDE21116332BCDEAO S a a a ∴⋅=⋅== 考点：空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用．19．（1）列联表见解析，没有99%的把握认为了解垃圾分类与性别有关； （2）2528. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表完成列联表，计算卡方，比较临界值可得结论； （2）先求出抽取的8人中男女市民的人数，结合古典概型求解. 【详解】（1）由题意可得列联表如下：计算()22210024152140() 4.040()()()()64364555n ad bc K a b c d a c b d ⨯-⨯-==≈++++⨯⨯⨯;由于4.040 6.635<，所以没有99%的把握认为了解垃圾分类与性别有关.（2）由（1）知比较了解的市民共有64人，用分层抽样的方式抽取8位市民中，男性市民3人，女性市民5人；从这8位市民中随机选取两位，至多有一位男市民的概率为：21155322881015252828C C C P C C +=+==.【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概型，独立性检验根据提供的公式准确求解观测值是求解的关键，古典概型问题要分清事件包含的基本事件数，侧重考查数据分析和数学建模的核心素养.20．（1）最大值为1e；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求解导数，再判断单调性，然后可得最大值； （2）先假设存在，设出切线，证明点4,05⎛⎫⎪⎝⎭不在切线上. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()(ln 1)f x x '=-+，令()0f x '=可得1x e=； 当1(0,)x e∈时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当1(,)x e∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数； 所以()f x 有最大值1111()lne e e ef =-=. （2）证明：假设存在过点4,05⎛⎫⎪⎝⎭与曲线()y f x =相切的直线，设切点为()00,x y ， 00()(ln 1)f x x '=-+，则切线方程为()()000ln 1y y x x x -=-+-，所以()0004ln 15y x x ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭，由000ln y x x =-整理可得001ln 54x x +=， 设1ln ()xg x x +=，则2ln ()x g x x'=-， 当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '>为增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '<为减函数；所以()(1)g x g ≤，而5(1)14g =<，所以001ln 54x x +=不成立，即不存在过点4,05⎛⎫ ⎪⎝⎭与曲线()y f x =相切的直线． 【点睛】本题主要考查利用导数求解函数的最值问题和切线问题，最值问题一般是先求解极值，结合单调性可得，侧重考查数学抽象的核心素养.21．（1）22163x y +=；（2）存在，理由见解析；圆的方程为222x y +=；AB ∈.【解析】 【分析】（1）利用离心率和椭圆所过点联立方程组可求椭圆的方程；（2）先假设存在符合要求的圆，利用OA OB ⊥u u u r u u u r求出圆的切线，结合弦长公式表示出||AB ，利用基本不等式求解范围. 【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(2,1)M ，所以22411a b +=；又离心率为2，所以2c a =，结合222a b c =+可得2226,3,3a b c ===，所以椭圆E 的方程为22163x y +=.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥u u u r u u u r，设圆的切线方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y .联立22163x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124260k x kmx m +++-=， ()()()22222216412268630k m k m k m ∆=-+-=-+>即22630k m -+>.12221224122612km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()()()()222222222121212122222646121212k m k mm k y y kx m k m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++因为OA OB ⊥u u u r u u u r ，所以12120x x y y +=，即2222226601212m m k k k--+=++， 所以22220m k --=，即2222m k =+；因为圆的切线方程为y kx m =+，所以圆的半径为r =，2222222,211m k r r k k=++===+222x y +=. 由22630k m -+>及22022m k =-≥可得22m ≥，即m ≥m ≤当圆的切线斜率不存在时，切线方程为x =,或者((,，均满足OA OB ⊥u u u r u u u r.综上可知，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥u u u r u u u r .因为()()()()222222121212222286342644121212k m km m x x x x x x k k k-+-⎛⎫-=+-=--⨯= ⎪++⎝⎭+ 所以||AB =====当0k ≠时，由于2422211(0,]4418414k k k k k=∈++++，所以AB ∈，当且仅当212k =时，取到最大值3； 当0k =时，AB =；当斜率不存在时，直线AB与椭圆交于,或者((,此时AB =综上可知，AB ∈.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，综合了圆的切线问题及弦长的范围问题，综合性强，难度稍大，存在性问题一般是先假设存在，由题设看能否得出矛盾，弦长范围问题一般是先表示出目标式，结合目标式的特点，使用恰当的方法求解最值，常用工具有：二次函数和基本不等式等，侧重考查数学运算的核心素养.22．（1）22(5)(3)2x y ++-=，20x y -+=；（2）4. 【解析】【分析】（1）移项平方可以消去参数，得到普通方程，极坐标方程利用转化公式cos ,sin x y ρθρθ==可得直角坐标方程；（2）先求圆心到直线的距离，利用圆的对称性可得圆上一点到直线的距离最小值，从而可得面积的最小值.【详解】（1）由53x t y t ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得53x t y t⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，消去参数t ，得22(5)(3)2x y ++-=，所以圆C 的普通方程为.由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 22ρθρθ-=， 即cos sin 2ρθρθ-=-，化成直角坐标为20x y -+=，所以直线l 直角坐标方程为20x y -+=.（2）由（1）知(2,0),(0,2)A B -，||AB =，圆心()5,3-到直线l的距离为d == 所以点P 到直线l的距离的最小值为=所以PAB △的面积的最小值为142S =⨯=. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程及求解三角形面积的最小值，明确消参的方法和极坐标与直角坐标的转化公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.23．（1）0m >;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论求解()|2||3|4g x x x x =-+--+的最大值，然后解不等式可得；（2）利用换底公式转化为证明2lg(1)lg(3)lg (2)m m m +⋅+<+，结合基本不等式可证. 【详解】（1）因为1,4()x R m f x m ∀∈+-≥恒成立， 所以1|2||3|4m x x x m+-+--+…恒成立， 令33,2()2341,235,3x x g x x x x x x x x +<-⎧⎪=-+--+=--≤≤⎨⎪-+>⎩所以函数()g x 在(),3-∞为增函数，在()3,+∞为减函数，所以max ()(3)2g x g ==，所以max 1()2m g x m+=…， 即22121(1)200m m m m m m m-+-+-≥⇒=…，所以0m >.（2）证明：由0m >，知3211m m m +>+>+>，所以要证(1)(2)log (2)log (3)m m m m +++>+ 只需证lg(2)lg(3)lg(1)lg(2)m m m m ++>++ 即证2lg(1)lg(3)lg (2)m m m +⋅+<+， 而22lg(1)lg(3)[lg(1)(3)]lg(1)lg(3)24m m m m m m +++++⎡⎤+⋅+<=⎢⎥⎣⎦()222lg 44lg (2)4m m m ⎡⎤++⎣⎦<=+. 所以(1)(2)log (2)log (3)m m m m +++>+.【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及不等式的证明，含有绝对值的不等式一般是利用零点分段讨论的方法去掉绝对值，不等式的证明，等价转化是证明的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.。
陕西省西安市第一中学2019届高三上学期第一次月考数学(文)试题 含解析
市一中2018-2019学年度第一学期第一次模拟考试高三数学试题(文科)一、选择题（共12小题，每题3分,共36分）1.设全集U是实数集R，函数的定义域为集合M，集合，则为（）A. {}B. 2C. {}D.【答案】C【解析】【分析】首先根据对数式要求真数大于零，解不等式求得集合M，根据补集中元素的特征，求得集合，再根据交集中元素的特征，求得，得到结果.【详解】或，所以，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有对数型函数的定义域，集合的补集，集合的交集的求解，属于简单题目.2.已知p：，q：，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据绝对值不等式的解法，求得不等式的解集，之后根据原命题和逆否命题等价，求得是的充分不必要条件，再利用集合的思想，求得参数所满足的条件，得到结果.【详解】由，解得或，因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，从而可得是的真子集，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关充分条件的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，原命题与逆否命题等价，用集合的思想解决充分条件，最后求得参数的范围，得到结果.3.下列说法错误．．的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. 若为假命题，则、均为假命题．D. 若命题：“，使得”，则：“，均有”【答案】C【解析】【分析】首先对题中的选项逐个分析，根据逆否命题、充分不必要条件的判断，复合命题的真值表，特称命题的否定，得出各选项的正误，求得结果.【详解】A，命题命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，命题正确；B，当时，成立，当时，有或，所以原命题正确；C，当为假命题时，有与至少一个是假命题，所以原命题为假命题；D，命题：“，使得”，则：“，均有”，命题正确；故选C.【点睛】该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有一个命题的逆否命题，充分不必要条件的判断，复合命题的真值表，特称命题的否定，正确理解知识点是解题的关键.4.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：函数为奇函数，不选A,C；当时为单调增函数，选B.考点：函数图像与性质【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.5.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对选项逐个分析，首先根据A项为奇函数，排除；C项虽为偶函数，但在上是减函数，排除；D项函数在上有增有减，排除；只有B项满足条件，得到结果.【详解】对于A，因为是奇函数，故不成立；对于B，因为，故其为偶函数，且当时，在上是增函数，满足要求；对于C，函数在上是减函数，故不成立；对于D，因为在上有增有减，故不成立；故选B.【点睛】该题考查的是有关判断函数的奇偶性与单调性的问题，涉及到的知识点有判断所给函数的奇偶性以及在给定区间上的单调性，熟练掌握函数的性质是解题的关键.6.已知函数，那么的值为A. 32B. 16C. 8D. 64【答案】C【解析】【分析】根据自变量所属于的范围代入相应的解析式求出值．【详解】∵f（x）=，∴f（5）=f（4）=f（3）=23=8故选：C．【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．7.设是等差数列的前项和，若，则（）A. 9B. 11C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】首先根据等差数列的性质，得到，所以得到，从而求得，之后应用等差数列的求和公式，得到结果.【详解】因为，，所以，所以，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质与等差数列的求和问题，正确应用公式是解题的关键.8.设非零向量，满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件非零向量，满足，从而得到，根据向量的模的平方与向量的平方是相等的，求得，从而得到，得到结果.【详解】因为非零向量，满足，所以，所以，所以，即，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方与向量的平方是相等的，向量数量积等于零等价于向量是垂直的，属于简单题目.9.已知函数在区间[1，2]上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据函数在区间[1，2]上单调递增，得到在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，之后从最值的角度处理，得到结果.【详解】因为函数在区间[1，2]上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以的取值范围是，故选A.【点睛】该题考查的是有关已知函数在某个区间上的单调性，求参数取值范围的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，最值的思想，基本不等式求最值问题，属于中档题目.10.已知等比数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由得.故选C.考点：等比数列的性质.11.已知不等式sin cos＋cos2－－m≤0对任意的≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是（）A. [，＋∞)B. (－∞，]C. [－，＋∞)D. (－∞，－]【答案】A【解析】【分析】首先将函数解析式进行化简，之后将恒成立问题转化为最值问题来处理，结合正弦函数的性质，求得其在给定区间上的最值，从而求得参数的取值范围.【详解】令，当时，，所以，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关恒成立问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦函数的倍角公式，余弦函数的倍角公式，辅助角公式，正弦函数在给定区间上的最值，正确应用公式是解题的关键. 12.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，为导函数，当时，且，则不等式的解集是A. (－3,0)∪(3,＋∞)B. (－3,0)∪(0,3)C. (－∞,－3)∪(3,＋∞)D. (－∞,－3)∪(0,3)【答案】D【解析】【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x ＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．【详解】设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）•g （x）=﹣F（x）．故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选：D．【点睛】本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．二、填空题：（共4小题，每题4分共16分）13.已知向量若，则实数__________．【答案】【解析】分析：首先根据向量的运算法则，求得向量的坐标，之后应用向量平行时坐标所满足的条件，得到相应的等量关系式，求得结果.详解：点睛：该题考查的是有关利用向量平行求参数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有数乘向量，向量加法运算法则，向量共线时坐标所满足的条件，正确应用公式是解题的关键.14.数列满足，，则＝__________.【答案】【解析】∵，∴，又∴，，故数列的周期为3，∴故答案为：15.已知函数，则零点的个数是________．【答案】3【解析】【分析】首先令每段上的函数值为零，得到相应的方程，求解，得到根的个数，即函数零点的个数.【详解】令，解得，令，解得，所以函数零点的个数为3，故答案是3.【点睛】该题考查的是有关分段函数的零点个数的问题，涉及到的知识点有函数零点的定义，分段函数的零点个数的求解，注意要分段考虑，注意其范围.16.关于函数，有下列命题:①为偶函数;②要得到函数的图像,只需将的图像向右平移个单位长度;③的图像关于直线对称;④在内的增区间为和.其中正确命题的序号为____.【答案】②③【解析】【分析】对每个命题进行分析，逐个对照，结合正弦型函数的性质，得到结果.【详解】①因为函数，所以不是偶函数；②将的图像向右平移个单位长度，得到的图象，正确；③当时，，所以的图像关于直线对称，正确；④在内的增区间有三个，所以不正确；故答案为②③.【点睛】该题考查的是有关正弦型函数的性质问题，涉及到的知识点有函数图象平移前后的解析式的求解，函数奇偶性的判断，函数单调性的判断，函数对称性的判断，认真理解基础知识是解题的关键.三、解答题（共4大题，共48分）17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.（1）求A；（2）若，求△ABC的面积.【答案】(1)（2）.【解析】【分析】（1）首先根据向量平行坐标所满足的条件，得到，由正弦定理得到结合，求得，结合三角形内角的取值范围，求得；（2）根据余弦定理，求得，之后应用三角形的面积公式求得结果.【详解】(1)因为与平行，所以，由正弦定理得，又，从而，由于，所以（2）由余弦定理得，故面积为.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有向量平行坐标所满足的条件，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，正确应用公式是解题的关键.18.已知函数．（1）求的值．（2）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）最小正周期为，单调递增区间为．【解析】（1）由题可得．（2）由题可得，所以的最小正周期是．令，解得，所以的单调递增区间是．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简以及函数的性质，这是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式，即，然后利用三角函数的性质求解．19.已知等差数列的前n项和为，各项为正的等比数列的前n项和为，，，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于与的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可；（2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果.【详解】(1)设的公差为d，的公比为q，由得d+q=3，由得2d+q2=6, 解得d=1,q=2.所以的通项公式为；（2）由得q2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4，当q=4时，d=-1，则S3=-6。
陕西省西安市第一中学2019届高三上学期第一次月考数学(文)试题(精编含解析)
市一中2018-2019学年度第一学期第一次模拟考试高三数学试题(文科)一、选择题（共12小题，每题3分,共36分）1.设全集U是实数集R，函数的定义域为集合M，集合，则为（）A. {}B. 2C. {}D.【答案】C【解析】【分析】首先根据对数式要求真数大于零，解不等式求得集合M，根据补集中元素的特征，求得集合，再根据交集中元素的特征，求得，得到结果.【详解】或，所以，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有对数型函数的定义域，集合的补集，集合的交集的求解，属于简单题目.2.已知p：，q：，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据绝对值不等式的解法，求得不等式的解集，之后根据原命题和逆否命题等价，求得是的充分不必要条件，再利用集合的思想，求得参数所满足的条件，得到结果.【详解】由，解得或，因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，从而可得是的真子集，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关充分条件的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，原命题与逆否命题等价，用集合的思想解决充分条件，最后求得参数的范围，得到结果.3.下列说法错误．．的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. 若为假命题，则、均为假命题．D. 若命题：“，使得”，则：“，均有”【答案】C【解析】【分析】首先对题中的选项逐个分析，根据逆否命题、充分不必要条件的判断，复合命题的真值表，特称命题的否定，得出各选项的正误，求得结果.【详解】A，命题命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，命题正确；B，当时，成立，当时，有或，所以原命题正确；C，当为假命题时，有与至少一个是假命题，所以原命题为假命题；D，命题：“，使得”，则：“，均有”，命题正确；故选C.【点睛】该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有一个命题的逆否命题，充分不必要条件的判断，复合命题的真值表，特称命题的否定，正确理解知识点是解题的关键.4.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：函数为奇函数，不选A,C；当时为单调增函数，选B.考点：函数图像与性质【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.5.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对选项逐个分析，首先根据A项为奇函数，排除；C项虽为偶函数，但在上是减函数，排除；D项函数在上有增有减，排除；只有B项满足条件，得到结果.【详解】对于A，因为是奇函数，故不成立；对于B，因为，故其为偶函数，且当时，在上是增函数，满足要求；对于C，函数在上是减函数，故不成立；对于D，因为在上有增有减，故不成立；故选B.【点睛】该题考查的是有关判断函数的奇偶性与单调性的问题，涉及到的知识点有判断所给函数的奇偶性以及在给定区间上的单调性，熟练掌握函数的性质是解题的关键.6.已知函数，那么的值为A. 32B. 16C. 8D. 64【答案】C【解析】【分析】根据自变量所属于的范围代入相应的解析式求出值．【详解】∵f（x）=，∴f（5）=f（4）=f（3）=23=8故选：C．【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．7.设是等差数列的前项和，若，则（）A. 9B. 11C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】首先根据等差数列的性质，得到，所以得到，从而求得，之后应用等差数列的求和公式，得到结果.【详解】因为，，所以，所以，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质与等差数列的求和问题，正确应用公式是解题的关键.8.设非零向量，满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件非零向量，满足，从而得到，根据向量的模的平方与向量的平方是相等的，求得，从而得到，得到结果.【详解】因为非零向量，满足，所以，所以，所以，即，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方与向量的平方是相等的，向量数量积等于零等价于向量是垂直的，属于简单题目.9.已知函数在区间[1，2]上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据函数在区间[1，2]上单调递增，得到在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，之后从最值的角度处理，得到结果.【详解】因为函数在区间[1，2]上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以的取值范围是，故选A.【点睛】该题考查的是有关已知函数在某个区间上的单调性，求参数取值范围的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，最值的思想，基本不等式求最值问题，属于中档题目.10.已知等比数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由得.故选C.考点：等比数列的性质.11.已知不等式sin cos＋cos2－－m≤0对任意的≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是（）A. [，＋∞)B. (－∞，]C. [－，＋∞)D. (－∞，－]【答案】A【解析】【分析】首先将函数解析式进行化简，之后将恒成立问题转化为最值问题来处理，结合正弦函数的性质，求得其在给定区间上的最值，从而求得参数的取值范围.【详解】令，当时，，所以，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关恒成立问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦函数的倍角公式，余弦函数的倍角公式，辅助角公式，正弦函数在给定区间上的最值，正确应用公式是解题的关键.12.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，为导函数，当时，且，则不等式的解集是A. (－3,0)∪(3,＋∞)B. (－3,0)∪(0,3)C. (－∞,－3)∪(3,＋∞)D. (－∞,－3)∪(0,3)【答案】D【解析】【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．【详解】设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）•g （x）=﹣F（x）．故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选：D．【点睛】本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．二、填空题：（共4小题，每题4分共16分）13.已知向量若，则实数__________．【答案】【解析】分析：首先根据向量的运算法则，求得向量的坐标，之后应用向量平行时坐标所满足的条件，得到相应的等量关系式，求得结果.详解：点睛：该题考查的是有关利用向量平行求参数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有数乘向量，向量加法运算法则，向量共线时坐标所满足的条件，正确应用公式是解题的关键.14.数列满足，，则＝__________.【答案】【解析】∵，∴，又∴，，故数列的周期为3，∴故答案为：15.已知函数，则零点的个数是________．【答案】3【解析】【分析】首先令每段上的函数值为零，得到相应的方程，求解，得到根的个数，即函数零点的个数.【详解】令，解得，令，解得，所以函数零点的个数为3，故答案是3.【点睛】该题考查的是有关分段函数的零点个数的问题，涉及到的知识点有函数零点的定义，分段函数的零点个数的求解，注意要分段考虑，注意其范围.16.关于函数，有下列命题:①为偶函数;②要得到函数的图像,只需将的图像向右平移个单位长度;③的图像关于直线对称;④在内的增区间为和.其中正确命题的序号为____.【答案】②③【解析】【分析】对每个命题进行分析，逐个对照，结合正弦型函数的性质，得到结果.【详解】①因为函数，所以不是偶函数；②将的图像向右平移个单位长度，得到的图象，正确；③当时，，所以的图像关于直线对称，正确；④在内的增区间有三个，所以不正确；故答案为②③.【点睛】该题考查的是有关正弦型函数的性质问题，涉及到的知识点有函数图象平移前后的解析式的求解，函数奇偶性的判断，函数单调性的判断，函数对称性的判断，认真理解基础知识是解题的关键.三、解答题（共4大题，共48分）17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.（1）求A；（2）若，求△ABC的面积.【答案】(1)（2）.【解析】【分析】（1）首先根据向量平行坐标所满足的条件，得到，由正弦定理得到结合，求得，结合三角形内角的取值范围，求得；（2）根据余弦定理，求得，之后应用三角形的面积公式求得结果.【详解】(1)因为与平行，所以，由正弦定理得，又，从而，由于，所以（2）由余弦定理得，故面积为.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有向量平行坐标所满足的条件，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，正确应用公式是解题的关键.18.已知函数．（1）求的值．（2）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）最小正周期为，单调递增区间为．【解析】（1）由题可得．（2）由题可得，所以的最小正周期是．令，解得，所以的单调递增区间是．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简以及函数的性质，这是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式，即，然后利用三角函数的性质求解．19.已知等差数列的前n项和为，各项为正的等比数列的前n项和为，，，. （1）若，求的通项公式；（2）若，求【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于与的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可；（2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果.【详解】(1)设的公差为d，的公比为q，由得d+q=3，由得2d+q2=6, 解得d=1,q=2.所以的通项公式为；（2）由得q2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4，当q=4时，d=-1，则S3=-6。
陕西省西安市第一中学2019届高三上学期第一次月考数学(文)试题(含答案)
市一中2018-2019学年度第一学期第一次模拟考试高三数学试题(文科)一、选择题（共12小题，每题3分,共36分）1．设全集U 是实数集R ，函数)4ln(2-=x y 的定义域为集合M ，集合{}42≤≤=x x N ，则N M C u )(为（ ）A.{)2|-=x x }B. 2C.{)2|=x x }D.{}2=x 2．已知p ：，q ：，且是的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A.B.C.D.3．下列说法错误．．的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠” B ．“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件 C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题．D ．若命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”A B C D5．下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ） A ．3y x =B ．ln y x =C ．21y x=D ．cos y x = 6．已知函数⎩⎨⎧≥-<=)4()1(),4(2)(x x f x x f x ，那么(5)f 的值为（ ）A ．32B ．16C ．8D ．647．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （ ）A.9B.11C.5D.78．设非零向量,-=+，则（ ）A.= B. ⊥ C.//>9．已知函数5331)(23-+-=x ax x x f 在区间[1，2]上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．]3,(-∞B ．)2,(-∞C ．]47,(-∞ D ．]32,(-∞10．已知等比数列{}n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （ ） A.2 B.1 C.21 D.81 11．已知不等式sin x 4cos x 4＋3cos 2x 4－23－m≤0对任意的34π－≤x ≤0恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A.[23，＋∞) B.(－∞，23] C.[－23，＋∞) D.(－∞，－23] 12．设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，)('),('x g x f 为其导函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''⋅+⋅>且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是A ．(－3,0)∪(3,＋∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,－3)∪(3,＋∞) D.(－∞,－3)∪(0,3)二、填空题：（共4小题，每题4分共16分）13．已知向量),1()2,2(),2,1(λ=-==，若)2//(+，则=λ________.14．数列{}na 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 15．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=)0(,13)0( ,12)(2x x x x x f x ，则)(x f 零点的个数是________． 16．关于函数))(32sin(4)(R x x x f ∈-=π，有下列命题:①)65(π+=x f y 为偶函数; ②要得到函数x x g 2sin 4)(-=的图像,只需将)(x f 的图像向右平移3π个单位长度; ③)(x f y =的图像关于直线12π-=x 对称;④)(x f y =在[]π20，内的增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡1250π，和⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ21211，.其中正确命题的序号为 .三、解答题（共4大题，共48分） 17．（本小题共12分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量)3,(b a m =与)sin ,(cos B A n =平行.（1）求A ； （2）若2,7==b a ，求△ABC 的面积.18．（本小题共12分）已知函数).(cos sin 32cos sin )(22R x x x x x x f ∈--= （1）求)32(πf 的值； （2）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间. 19．（本小题共12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，.2,1,12211=+=-=b a b a（1）若533=+b a ，求{}n b 的通项公式； （2）若21T 3=，求.3S 20．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x ax bx =++（其中,a b 为常数）在1x =处取得极值．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0<a 时，若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值．市一中2018-2019学年度第一学期第一次模拟考试高三数学试题答案 （文科）一、 选择题（共12题，每题3分，共36分）二、填空题（共4题，每题4分，共16分）13. 1/2 14.1/2 15. 3 16. ②③ 三、解答题（共5大题，共48分）17. 解：(1)因为)3,(b a =与)sin ,(cos B A =平行，所以0cos 3sin =-A b B a ，由正弦定理得0cos sin 3sin sinA =-A B B ，又0sinB ≠，从而3tanA =， 由于π<<A 0，所以.3π=A（2）由余弦定理得3=c ，故面积为233. （2）由正弦定理得721sin =B ，再得14213)sin(sin =+=B A C ，故面积为233. 18. 解：(1)由已知求得)32(πf =2; （2）由已知)62sin(22sin 32cos )(π+-=--=x x x x f ，所以T=π.由πππππk x k 2236222+≤+≤+得单调增区间为).(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 19. 解: (1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由.222=+b a 得d+q=3，由533=+b a 得2d+q 2=6, 解得d=1,q=2. 所以{}n b 的通项公式为12-=n n b ；（2）由21,131==T b 得q 2+q-20=0, 解得q=-5或q=4， 当q=-5时，d=8，则S 3=21. 当q=4时，d=-1，则S 3=-6。
西安市2019届高三年级第一次质量检测文科数学(解析版)
西安市2019届高三年级第一次质量检测文科数学注意事项：1. 本卷共150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则集合（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则集合.本题选择A选项.2.在复平面内，为虚数单位，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,选D.3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）（A）直线AA1 （B）直线A1B1（C）直线A1D1（D）直线B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中直线与都是异面直线，故选D．考点：异面直线4.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】甲、乙两人各射击一次,目标没被命中的概率为,甲、乙两人各射击一次,目标被命中的概率为.所以A选项是正确的.5.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为有两个零点，所以排除B；当时，，排除C；当时，，排除D,故选A．6.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】作出约束条件的可行域如图所示：由可得，则为直线在轴上的截距，截距越大，越小结合图象可知，当直线平移到时，最大由得，故选C点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：①准确无误地作出可行域；②画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；③一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.若直线：与圆：无交点，则点与圆的位置关系是（）A. 点在圆上B. 点在圆外C. 点在圆内D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】由题意知圆心到直线的距离大于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，再利用两点间的距离公式判断，可得出结论．【详解】直线：与圆：无交点，则，即，∴点在圆内部.故应选C.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，属于基础题.8.若，，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性对选项逐一判断即可．【详解】∵，，对A选项，变形为log a x3＜log a y2，而函数y=是单调递减函数，x3＜y2，∴log a x3>log a y2，故A不正确；对B选项，,函数y=cosx是单调递减函数，∴，故B不正确；对C选项，y=是单调递减函数，∴, 故C不正确；而D选项，幂函数y=是单调递增函数，∴，故应选D.【点睛】本题考查了基本初等函数的性质的应用，熟练掌握函数的单调性是解本题的关键．9.中，，，，则外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件利用余弦定理可求c，再利用正弦定理求得外接圆半径，即可求得面积．【详解】中，，，且，由余弦定理可知，∴；又，∴由正弦定理可知外接圆半径为.所以外接圆面积为.故应选C.【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，及三角形外接圆面积的计算，属于基础题．10.已知，，在球的球面上，，，，直线与截面所成的角为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，分析得到BC即为A，B，C所在平面截球得到的圆的直径，根据直线AO与平面ABC成30°角，求出球半径后，代入球的表面积公式，即可得到答案．【详解】在中，由余弦定理得到求得，由勾股定理得为直角，∴中点即所在小圆的圆心，∴平面，且小圆半径为1，又直线与截面所成的角为，∴在直角三角形中，球的半径为,∴球的表面积为.故应选D.【点睛】本题考查了球的截面问题，考查了球的表面积公式，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键，属于中档题．11.设为双曲线：的右焦点，，若直线的斜率与的一条渐近线的斜率的乘积为3，则的离心率为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】设出焦点坐标，根据已知列出关于a、b、c的方程，然后求解离心率．【详解】设为，，若直线与的一条渐近线的斜率乘积为3，可得：，可得，即，可得，，解得.故应选B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及斜率公式，考查计算能力，属于基础题．12.设函数，若实数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：对函数求导得，函数单调递增，，由知，同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知，所以.考点：利用导数求函数的单调性.【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数求导得，函数单调递增，，进一步求得函数的零点；同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知的零点，所以.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量与的夹角为，，，则_______．【答案】1【解析】【分析】根据题意，设||＝t，（t＞0），由数量积的计算公式可得•，进而由||，平方可得9+3t+t2＝13，解得t的值，即可得答案．【详解】根据题意，设||＝t，（t＞0），向量与的夹角为60°，||＝3，则•，又由||，则（）22+2•2＝9+3t+t2＝13，变形可得：t2+3t﹣4＝0，解可得t＝﹣4或1，又由t＞0，则t＝1；故答案为1．【点睛】本题考查向量数量积的计算公式，考查了向量的模的转化，属于基础题．14.用系统抽样法（按等距离的规则）从160部智能手机中抽取容量为20的样本，现将这160部智能手机随机地从001~160编号，按编号顺序平分成20组：001~008号，009~016号，017~024号，…，153~160号，若第9组与第10组抽出的号码之和为140，则第1组中用抽签的方法确定的号码是__________．【答案】002【解析】由系统抽样法知抽取的20的样本的编号可视为公差为8的等差数列，设首项为，又∴，∴∴第1组中用抽签的方法确定的号码是002故答案为：00215.设，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为______．【答案】2【解析】【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同求得a、b即可．【详解】∵对于任意实数都有，则函数的周期相同，若，此时，此时，若，则方程等价为，则，则，综上满足条件的有序实数组为，，共有2组.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．16.已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为______．【答案】【解析】试题分析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m++n+= m+n+=3，故m+n=，，故线段AB的中点到y轴的距离为考点：本题考查了抛物线的性质点评：抛物线的定义是解决抛物线的距离问题的常见方法三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列的前项和满足：（为常数，且，）.（1）证明：成等比数列；（2）设，若数列为等比数列，求的通项公式.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）代入n＝1得a1＝t．当n≥2时，由（1﹣t）S n＝﹣ta n+t，得，（1﹣t）S n﹣1＝﹣ta n﹣1+t．作差得a n＝ta n﹣1，由此能证明{a n}是等比数列．（2）由，分别求得，利用数列{b n}为等比数列，则有，能求出t的值．【详解】（1）由，当时，，得，当时，，即，，∴，故成等比数列.（2）由（1）知是等比数列且公比是，∴，故，即，若数列是等比数列，则有，而，，.故，解得，再将代入得：.【点睛】本题考查了由递推关系证明等比数列，考查了等比数列的应用，考查了运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．18.某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入销售收益表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.附公式：，.【答案】（1）2;（2）;（3）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；（Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论．【详解】（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是，其中点分别为，对应的频率分别为，故可估计平均值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填5．由题意可知，，，，，根据公式，可求得，，即回归直线的方程为．【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题．19.如图，多面体中，底面是菱形，，四边形是正方形且平面.（1）求证：平面；（2）若，求多面体的体积.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由面面平行的判定定理先证明平面平面，进而可得平面；（2）将多面体拆成两个四棱锥，由四棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】（1）证明：是菱形，.又平面，平面，平面.又是正方形，.平面，平面，平面.平面，平面平面平面，平面.（2）解：连接，记.是菱形，，且.由平面，平面，.平面，平面，，平面于，即为四棱锥的高.由是菱形，，则为等边三角形，由，则，，，，【点睛】本题主要考查线面垂直的判定以及几何体的体积，证明线面垂直，有时需要先证面面垂直，熟记判定定理以及体积公式即可，属于常考题型.20.已知椭圆：的短轴长为，离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点，.线段的垂直平分线交轴于点.（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可知：2b＝2，，则a＝2c，代入a2＝b2+c2，求得a，即可求得椭圆C的标准方程；（2）分类讨论，设直线MN的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x＝0，得，利用基本不等式，即可求的取值范围，再考虑斜率不存在的情况，取并集得到的取值范围．【详解】（1）由题意可得：，，又，联立解得，，.∴椭圆的方程为.（2）当斜率存在时，设直线的方程为，，，中点，把代入椭圆方程，得到方程，则，，，，所以的中垂线的方程为，令，得，当时，，则；当时，，则，当斜率不存在时，显然，当时，的中垂线为轴.综上，的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，确定线段MN的垂直平分线方程是关键，属于中档题．21.已知函数，.（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1 ；（2） .【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数判断函数的单调区间，进而求出函数的最小值；（2）要证，只需证明e x≥ln（x+m）+1成立即可，分情况讨论，采用分离参数法，构造新函数，利用导数求得符合条件的m的取值范围，进而问题得解.【详解】（1）当时，，则．令，得．当时，；当时，．∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．∴当时，函数取得最小值，其值为．（2）由（1）得：恒成立．①当恒成立时，即恒成立时，条件必然满足．设，则，在区间上，，是减函数，在区间上，，是增函数，即最小值为．于是当时，条件满足．②当时，，，即，条件不满足．综上所述，m的取值范围为．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查了导数的应用以及分类讨论思想，考查了用导数求解不等式成立时，参数的取值范围；用导数解决满足函数不等式条件的参数范围问题，一般采用参数分离法，构造新函数，然后对构造函数求导解答.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的笫一题计分.22.[选修4-4：坐标系及参数方程]已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；（2）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【试题分析】(I)将方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得的长度并求得其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得的值.【试题解析】（Ⅰ）由得，即曲线的直角坐标方程为根据题意得，因此曲线上的动点到原点的距离的最大值为（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线与轴交点的坐标为，曲线的参数方程为:，曲线的直角坐标方程为联立得……8分又，所以23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设函数.当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用绝对值的定义，去掉绝对值号，转化为一般不等式，即可求解不等式的解集；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式，即可求解最小值，得，即可求解实数的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）当时，.由，解得.所以，不等式的解集为.（Ⅱ）（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）.综上，当时，有最小值.故由题意得，解得，或.所以，实数的取值范围为.。
陕西西安高新一中等五校2019高三第一次联考-数学文
陕西西安高新一中等五校2019高三第一次联考-数学文数学〔文〕试题第一卷〔选择题共50分〕【一】选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、集合M={x|一3<x<3，x ∈Z 〕，N={x|x<1}，那么MN=A 、{|3x x -<<1}B 、{|02}x x <<C 、{-3，-2，-1，0,1〕D 、{-2，一1，0〕2、直线a 和平面α，那么a//α的一个充分条件是A 、存在一条直线b ，a//b 且b ⊂αB 、存在一条直线b ，a ⊥b 且b ⊥αC 、存在一个平面β，a ⊂β∥且α//βD 、存在一个平面β，α//β且α//β3、假如数列321121,,,,,n n a a a a aa a -…是首项为1，公比为的等比数列，那么a 5等于 A 、32 B 、64 C 、—32D 、—64 4、设实数x ，y 满足11,11x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩那么点〔x,y 〕在圆面2212x y +≤内部的概率为 A 、8π B 、4π C 、 34π D 、2πA 、三5、过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，假设122,||4x x PQ +==，那么抛物线方程是A 、24y x =B 、28y x =C 、22y x =D 、26y x=6、假设某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积是A 、2+B 、2(1++ C、23D 、22++7、给出15个数：1，2，4，7，1l ，…，要计算这15个数的和，现给出解决该问题的程序框图〔如右图所示〕，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入A 、16?;1i p p i ≤=+-B 、14?;1i p p i ≤=++C 、15?;1i p p i ≤=++D 、15?;i p p i ≤=+8、函数()sin(2)f x A x ϕ=+的部分图象如下图，那么f 〔0〕=A 、12- B 、—1 C 、D 9、台风中，C,A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区。
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陕西省西安市高新一中2019届高三一模考试数学试题文科（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：复数z满足，则，故选：A．根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2.已知全集，，则集合A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，故A，故C，故选：D．根据集合的运算性质判断即可．本题考查了集合的运算，熟练掌握集合的运算性质是解题的关键，本题是一道基础题．3.在等差数列中，前n项和为，，则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设首项为，公差为d，，，即，则，故选：A．根据等差数列的前n项和公式得到，即可求出答案．本题考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．4.设是定义在R上的周期为3的函数，当时，，则A. 0B. 1C.D.【答案】D【解析】解：是定义在R上的周期为3的函数，故选：D．既然3是周期，那么也是周期，所以，代入函数解析式即可．本题考查函数的周期性以及分段函数的表示，属于基础题．5.命题p：若，，则，命题q：若，，则在命题且或非非q中，真命题是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，而，则故命题p是假命题；若，，则．故命题q是真命题，故且q是假命题，或q是真命题；非p是真命题，非q是假命题，故选：C．分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．本题考查了复合命题的判断，考查指数函数的性质，是一道中档题．6.如果执行如图所示的框图，输入，则输出的S等于A.B.C.D.【答案】D【解析】解：时，，，第一次运行：，，第二次运行：，，，第三次运行：，，，第四次运行：，，，第五次运行：，，，结束运行，输出．故选：D．由已知中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出的值．本题考查程序框图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7.下列说法正确的是A. 存在，使得B. 函数的最小正周期为C. 函数的一个对称中心为D. 角的终边经过点，则角是第三象限角【答案】D【解析】解：在A中，，，，不存在，使得，故A错误；在B中，函数的最小正周期为，故B错误；在C中，由，，得，，函数的对称中心为，，故C错误；在D中，，，角的终边经过点，则角是第三象限角，故D正确．故选：D．在A中，，；在B中，函数的最小正周期为；在C中，函数的对称中心为，；在D中，由，，得到角的终边经过点，则角是第三象限角．本题考查命题真假的判断，考查三角函数、对数函数、二倍角公式、立方差公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．8.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是A. 13，12B. 13，13C. 12，13D. 13，14【答案】B【解析】解：设公差为d，由，且，，成等比数列，可得，即，，又公差不为0，解得此数列的各项分别为4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，故样本的中位数是13，平均数是13故选：B．由题设条件，一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列，设出公差为d，用公差与表示出，再由等比数列的性质建立方程求出公差，即可得到样本数据，再由公式求出样本的平均数和中位数本题考查等差数列与等比数列的综合，解题的关键是根据题设中数列的性质建立方程求出数列的各项，即求出样本数据，再由平均数与中位数的求法求出即可．9.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为1，三棱锥的底面为等腰直角三角形，将其扩充为长方体，对角线长为，三棱锥的外接球的半径为，体积为，故选：C．由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为1，三棱锥的底面为等腰直角三角形，将其扩充为长方体，对角线长为，三棱锥的外接球的半径为，可得体积．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体，考查三棱锥与外接球之间的关系，属于中档题．10.若x、y满足，且的最小值为，则k的值为A. 3B.C.D.【答案】D【解析】解：由得，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最小，此时最小值为，即，则，当时，，即，同时A也在直线上，代入解得，故选：D．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法本题主要考查的难点在于对应的区域为线段．11.设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么A. B. 8 C. D. 16【答案】B【解析】解：抛物线的焦点，准线方程为，直线AF的方程为，所以点、，从而故选：B．先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为求出直线AF的方程，然后联立准线和直线AF 的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．12.设，，若对于任意，总存在，使得成立，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，当时，，当时，，由，．故又因为，且，．故．所以须满足，，故选：C．先对函数分和分别求函数值，综合可得其值域，同样求出函数的值域，把两个函数的函数值相比较即可求出a的取值范围．本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，是对知识点的综合考查．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则代数式的值是______．【答案】5【解析】解：，，解得．代数式．故答案为：5．利用向量共线定理可得，解得再利用弦化切可得代数式即可．本题考查了向量共线定理和三角函数的基本关系式，属于基础题．14.若直线和直线垂直，则______．【答案】0或【解析】解：由，解得或．经过验证只有时，两条直线相互垂直．由，由，解得验证分母不等于．综上可得：或0．故答案为：0或．由，解得或验证两条直线是否垂直由，由，解得a即可得出．本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、分类讨论方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知数列的通项公式，设其前n项和为，则使成立的最小自然数n的值为______．【答案】16【解析】解：若，则即则使成立的最小自然数n的值为16故答案为：16由已知中数列的通项公式，根据对数的运算性质，我们可以求出前n项和为的表达式，解对数不等式可得n的值本题考查的知识点是数列求和，对数的运算性质，对数不等式的解法，其中根据对数的运算性质求出的表达式是解答的关键．16.设函数是定义在R上的以5为周期的奇函数，若，，则a的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数以5为周期，，又，函数是奇函数，因此，，解之得或故答案为：．根据函数是以5为周期的奇函数，得，结合函数为奇函数，得由此结合建立关于a的不等式，解之可得a的取值范围．本题在已知函数为奇函数且是周期函数的情况下，解关于a的不等式，考查了函数的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知识，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．Ⅰ求的值；Ⅱ若，，求边c的值．【答案】本题满分12分解：Ⅰ由已知及正弦定理得即又，所以有，即而，所以．Ⅱ由及，得，因此．由条件得，即，得，得．由，知．于是，或．所以，或．若，则．在直角中，，解得；若，在直角中，，解得．因此或．【解析】Ⅰ由正弦定理得，从而，由此能求出的值．Ⅱ求出，从而进而，或由此能求出结果．本题考查角的余弦值、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．18.某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了5块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如图所示：Ⅰ请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由；Ⅱ求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地，这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率．【答案】解：Ⅰ由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量为：，．方差为甲乙种棉花的平均亩产量为：，．方差为乙因为甲乙，所以乙种棉花的平均亩产量更稳定分Ⅱ从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有，，，，，，，，，共10种，设“亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量”为事件A，包括的基本事件为，，共3种．所以分故两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率为．【解析】Ⅰ由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量和方差，再求出乙种棉花的平均亩产量和方差，则方差较小的亩产量稳定．Ⅱ从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有10种，而满足条件的选法有3种，由此求得所求事件的概率本题主要考查古典概型及其概率计算公式，以及茎叶图的应用，属于基础题．19.等腰的底边，高，点E是线段BD上异于点B，D的动点点F在BC边上，且现沿EF将折起到的位置，使．Ⅰ证明平面PAE；Ⅱ记，表示四棱锥的体积，求的最值．【答案】Ⅰ证明：，，故EF，而，所以平面PAE．Ⅱ解：，，平面ABC，即PE为四棱锥的高．由高线CD及得，，由题意知．而，，当时．【解析】Ⅰ证明，而，，即可证明平面PAE；Ⅱ记，表示四棱锥的体积，求出底面面积，可得体积，即可求的最值．本题考查三视图，考查线面垂直的证明，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.已知圆C的方程为，点P是圆C上任意一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，且，动点Q的轨迹为轨迹E与x轴、y轴的正半轴分别交于点A和点B；直线与直线AB相交于点D，与轨迹E相交于M、N两点．Ⅰ求轨迹E的方程；Ⅱ求四边形AMBN面积的最大值．【答案】解：Ⅰ，设，则在上，即：Ⅱ，令，，．【解析】Ⅰ由题意，设，则，再代入圆的方程求得轨迹E的方程；Ⅱ，令，即可求四边形AMBN面积的最大值．本题考查轨迹方程的求法，训练了代入法求曲线的轨迹方程，考查了三角换元求函数的最值，是中档题．21.设函数Ⅰ求的单调区间；Ⅱ若存在区间，使在上的值域是，求k的取值范围．【答案】解：Ⅰ令0)'/>，，令，解得：，令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，则的最小值为．所以，所以的单调递增区间为Ⅱ由Ⅰ得在区间递增，在上的值域是所以．则在上至少有两个不同的正根，，令求导，得，令则．所以在递增，．当时，，当时，0'/>所以在上递减，在上递增，故．【解析】Ⅰ求出的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；Ⅱ根据的单调性求出在的值域，令，根据函数的单调性求出k的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，且取相同的长度单位曲线：，和：为参数．写出的直角坐标方程和的普通方程；已知点，Q为上的动点，求PQ中点M到曲线距离的最小值．【答案】解曲线：，根据，，曲线：，曲线：为参数消去参数，即，，曲线：，故得曲线的直角坐标方程，曲线的普通方程为．设曲线上的点，则PQ中点为，M到直线的距离为，当时，d的最小值为．【解析】根据，，，进行代换即得．设出点的坐标，根据中点坐标公式求出M，利用点到直线的距离结合三角函数的有界限可得最小值．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题属于基础题23.已知不等式，其中当时，求不等式的解集；若不等式的解集不是空集，求a的取值范围．【答案】解：当时，不等式可化为，由几何含义知，解集为；，不等式的解集不是空集，【解析】不等式可化为，由几何含义求不等式的解集；，不等式的解集不是空集，即可求a的取值范围．本题考查绝对值不等式的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．。