并查集(吴)

三、并查集支持的操作 并查集的数据结构记录了一组分离的动态集合S， S={S1,S2,…,Sk}，每个集合通过一个“代表”加 以识别，代表即该集合中的某个元素（成员），哪
一个成员被选做代表是无所谓的，重要的是：如果
求某一动态集合的代表两次，且在两次请求间不修
改此集合，则两次得到的答案应该是相同的。
请写一个程序，对于我们的关于亲戚关系的提 问，以最快的速度给出答案。
输入: 由两部分组成： 第一部分以N，M开始。N为问题涉及的人的个数(1 N 20000)。这些人的编号为1,2,3,…, N。下面有M行 (1 M 1 000 000)，每行有两个数ai, bi，表示已知 ai和bi是亲戚。 第二部分以Q开始。以下Q行有Q个询问(1 Q 1 000 000)，每行为ci, di，表示询问ci和di是否为亲戚。 输出：对于每个询问ci, di，输出一行：若ci和di为亲戚， 则输出“Yes”，否则输出“No”。
UNION(x,y)： 假设UNION(x,y)的参数是有序的，即把y属于的 集合合并到x的集合 有两种实现方法：
（1）简单实现
不考虑任何因素，出现FIND-SET（x）≠ FIND-SET（y）时，
直接将y的表头接到x的表尾，同时将y中所在集合元素的head值设 为FIND-SET(x)。同时x的表尾也应该设为原y表的表尾。
being c[i]:=j ; { 保存生成树第i条边 , 因为j 是GE数组的下 标} i:=i+1 ; s[m1]:=s[m1]+s[m2] ; s[m2]:=[ ] ; end; (3) j:=j+1 ; end ; 运行该程序后，C数组的值为：
1
1
2
2
3
3
5
4
7
5
问题2、 亲戚(relation) 问题描述：或许你并不知道，你的某个朋友是你的亲 戚。他可能是你的曾祖父的外公的女婿的外甥女的表 姐的孙子！ 如果能得到完整的家谱，判断两个人是否亲戚应该 是可行的，但如果两个人的最近公共祖先与他们相隔 好几代，使得家谱十分庞大，那么检验亲戚关系实非 人力所能及。在这种情况下，最好的帮手就是计算机。 为了将问题简化，你将得到一些亲戚关系的信息，如 Marry和Tom是亲戚，Tom和Ben是亲戚，等等。从这些 信息中，你可以推出Marry和Ben是亲戚。
并查集
一、什么叫并查集 并查集是一种用于分离集合操作的抽象数据类型。 它所处理的是“集合”之间的关系，即动态地维护和 处理集合元素之间复杂的关系，当给出两个元素的一 个无序对(a,b)时，需要快速“合并”a和b分别所在 的集合，这其间需要反复“查找”某元素所在的集合。
“并”、“查”和“集”三字由此而来。在这种数据
类型中，n个不同的元素被分为若干组。每组是一个 集合，这种集合叫做分离集合。并查集支持查找一个
元素所属的集合以及两个元素各自所属的集合的合并。
二、并查集的基本思想
初始时n个元素分属不同的n个集合，通过不断的 给出元素间的联系，要求实时的统计元素间的关系 （直接或间接的联系），可用并查集加以判断。 (1)元素间是否有联系：判断两个元素是否属于同 一个集合；（查) (2)建立元素间的联系：只需合并两个元素各自所 属的集合。(并） 并查集本身不具有结构，必须借助一定的数据结 构以得到支持和实现。一般用的比较多的是数组、链 表和树来实现。
2009年夏令营 高级数据结构讲座之二
并查集及其应用
2009年 高级数据结构
2009年5月30日
1、研究Kruskal最小生成树算法
假设G=(V,E)是一个具有n个顶点的连通图， T=(U,TE)是G的最小生成树，u的初始值等于v，
即包含有G中的全部顶点，TE的初值为空，此算法
的基本思想是：将图G中的边按权值从小到大的顺序 依次选取数，若选取的边使生成树T不形成回路，则 把它并入TE中，保留作为T的一条边，若选取的边 使生成树T形成回路，则将其舍去，如此进行下去，
算法的实现：
（1）用边集数组存放图的结构：GE，记录数组
（2）实现边的排序：按边的权值进行
（3）用集合数组S存放连通的顶点集合
（4）用C数组存放生成的第i条边属于GE边集数组的第X 条边下标序号。
算法： Procedure kruskal ( GE,C ) ; begin for i:=1 to n do s[i]:= [i ] ; { 初始化顶点集合 } i:=1 ; j:=1 { i 表示边数，j 表示数组GE的下标 } while i<= n-1 do [ (1) for k:=1 to n do begin if GE[J].fr in s[k] then m1:=k ; if GE[J].ed in s[k] then m2:=k ; end ; { 记录第j条边的两个端点的集合序号} (2) if m1<> m2 then { 生成树的一条边 }
Hale Waihona Puke Baidu
MAKE-SET(x)：S[x].head = x;S[x].next = 0;
FIND-SET（x）：return S[x].head 两个过程的时间复杂度都为O(1)。 采用链表时，当有两个元素(x,y),若FIND-SET（x） ≠ FIND-SET（y），则两者对应不同的集合，需要将两 个链表合并，做法是将一个表的表头直接接到另一个表 的表尾，这一步操作看似很简单，但势必造成修改后需 要把接上去的那个表的所有head值修改，这需要线性的 赋值操作，其复杂度与选择接在尾部的链表长度成正比。
直到TE中包含有n-1条边为止，此时的T即为最小
生成树。
此经典算法的思想是将树上的边按照
权排序，然后从小到大分析每一条边，如
果选到一条边e=(v1,v2),且v1和v2不
在一个连通块中，就将e作为最小生成树
的一条边，否则忽略e。 Kruskal 算法
的关键在于如何判断是否构成回路。
判断最小生成树在构成过程中，是否构成回路的方法： 方法：将各个顶点划分所属集合的方法解决。每个集合的 顶点表示一个无回路的连通分量。 (1) 初始化：{V1}, {V2}, {V3}, {V4}, {V5}, {V6} （2）当从边集数组中按次序选择一条边时，若它的两个 端点分别属于两个不同的集合，则表明该边连接了两个不 同的连通分量，无回路，该边作为树的一条边，将端点所 在的两个集合合并为一个集合，此时它们成为一个连通分 量。 （3）若选择的边的两个端点在一个集合中，则放弃该边， 否则造成回路。 {V1,V5}, {V2,V3,V4}, {V6} {V1,V5}, {V2,V3,V4,V6} {V1,V5,V2,V3,V4,V6}
输入关系 初始状态 (2,4) (5,7)
分离集合 {1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8}{9}{10} {1}{2,4}{3}{5}{6}{7}{8}{9}{10} {1}{2,4}{3}{5,7}{6}{8}{9}{10}
(1,3)
(8,9) (1,2) (5,6) (2,3)
{1,3}{2,4}{5,7}{6}{8}{9}{10}
得到了一个N个顶点M条边的图论模型，注意到传递关 系，在此无向图中的一个连通块中的任意点之间都是 亲戚。对于最后的Q个提问，即判断所提问的两个顶点 是否在同一个连通块中。
对于输入的N个点M条边，建立一个无向图找出所有 的连通块（遍历算法），然后根据提问逐个进行判断。 但是本题的数据范围很大，1 N 20000 , 1 M 1 000 000，不管是从空间还是时间上看，都很难 接受。 考虑能否用集合的思路来解决该问题。 对于每个人建立一个集合，开始的时候集合元素是 这个人本身，表示开始时不知道任何人是他的亲戚。以 后每次给出一个亲戚关系时，就将两个集合合并。这样 实时地得到了在当前状态下的集合关系。如果有提问， 即在当前得到的结果中看两元素是否属于同一集合。 对于样例数据的解释如下图：
实现简单，实际使用较多。但是合并的代价太大，在最
坏情况下，所有集合合并成一个集合的总代价达到O(n2)。
并查集的数组实现
UNION（x,y）过程演示：
输入样例： 10 7 2 4 5 7 1 3 8 9 1 2 5 6 2 3 3 3 4 7 10 8 9
S
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9 10
输入样例（relation.in）： 10 7 输 出 样 2 4 （relation.out）： Yes 5 7 No 1 3 Yes 8 9 1 2 5 6 2 3 3 3 4 7 10 8 9
例
问题分析： 将每个人抽象成为一个点，数据给出M个边的关系
，两个人是亲戚的时候两点间有一条边。很自然的就
注意：last指针其实只要在表头结点中记录即可，因为每一
次查到FIND-SET（x）都可以得到表头元素。而链表中其他元素重 新记录last是无意义的。 我们总是把y接到x里去，那么如果y所在的集合非常大，每次 赋值的代价就会非常高，考虑输入数据的特殊性，比如出现输入 为： （2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1） ， … ，(n,1) 最坏情况下时间复杂度为O(n^2)。
四、并查集的实现及优化 1、 并查集的数组实现 用数组s[i]记录元素i所属集合的编号。 MAKE-SET（x）：初始化只要s[i]：=i
FIND-SET（x）：查找元素所属的集合时，只需读出
s[i]，时间复杂度为O(1)。 UNION（x,y）：合并两元素各自所属的集合时，需要 将数组中属于其中一个集合的元素所对应的数组元素值全 部改为另一个集合的编号值，时间复杂度为O(n)。
动态集合中的每一元素是由一个对象来表示 的，设x表示一个对象，并查集的实现需要支 持如下操作：
① MAKE-SET（x）——建立分离集合 建立一个新的集合，其仅有的成员（同时就是代 表）是x。由于各集合是分离的，要求x没有在其它集 合中出现过。 ② UNION（x,y）——集合的并集操作 将包含x和y的动态集合（例如Sx和Sy）合并为一 个新的集合，假定在此操作前这两个集合是分离的。 结果的集合代表是Sx∪Sy的某个成员。一般来说，在 不同的实现中通常都以Sx或者Sy的代表作为新集合的 代表。此后，由新的集合S代替了原来的Sx和Sy。 ③ FIND-SET（x）——集合元素的查找 返回一个包含x的集合的代表。
{1,3}{2,4}{5,7}{6}{8,9}{10} {1,2,3,4}{5,7}{6}{8,9}{10} {1,2,3,4}{5,6,7}{8,9}{10} {1,2,3,4}{5,6,7}{8,9}{10}
并查集及其应用
由上图可以看出，操作是在集合的基础上 进行的，操作过程中我们没有保存任何一条 边，而且每一步得到的划分方式是动态的。 这就是所要介绍的数据结构知识 :
可以证明这种方法的效率。当有n个元素时，在 UNION上的花费（即重新赋值的次数）的上界是 O(nlog2n)。考虑一个固定的对象x，当x的代表指针 （head）被更新时，x必是属于一个较小的集合，因 此，x的代表指针第一次更新后，结果集合必然至少 有2个元素，类似的，下一次更新后，x所在的集合至 少有4个元素。继续下去，可以发现，x的代表指针最 多被更新log2n次，因为当x所在集合元素已经等于n以 后，不可能再发生UNION操作。所以，总共有n个元素 时，操作的总次数不超过nlog2n次。这就保证了整个 算法的复杂度是理想的。
（2）快速实现 上述简单实现非常不理想，针对y可能比较大的这个 问题，可以很快产生一个聪明的想法：不妨比较x和y所 在集合的大小，从而作出选择，把较短的链表接在较长 的尾部，这样效果是一样的，但耗费肯定不比原来差。 这就是快速实现的思路。可以在node里多设一个域 number，用来记录此条链表中成员的个数。显然number 记录在表头元素中即可，将两表合并的时候，只要将表 的number相加，因此维护起来是非常方便的。 这种快速实现的方法可以称为加权启发式合并，这 里的权就是指所记录的number。
9 10
S
1
1
1
2
1
3
1
4
5
5
5
6
5
7
8
8
8 10
9 10
2、 并查集的链表实现
每个集合对应一个链表，它有一个表头，每一个元 素有一个指针指向表头，表明了它所属的类，另有一个 指针指向它的下一个元素,同时为了方便实现，再设一 个指针last表示链表中的最后一个元素（表尾）。 当然，由于处理的对象一般都是连续整数，所以，可 以选择静态数组（通过下标）来模拟实现，如： type node = record head,next,last:integer; end; var S : array[1..maxn] of node;