八 相关与回归

y2
xy
576 840 625 950 576 960 784 1176 1024 1568 961 1612 1369 1998 1600 2360 1681 2542 1600 2560 2209 3055 2500 3400 2401 3381 2601 3621 2304 3456 3364 4408 26175 37887
某种股票的成交额Y与该股票的成交量X 成交价格P之间的关系可以用Y=PX来表示
一、相关分析的概念与类型
指客观现象间确实存在，但数量 相关关系 上不是严格对应的依存关系，在 这类关系中，对某一变量的某个 数值，另一个变量可能有若干个 数值与之相对应，从而表现出一 定的波动性。
例如：人均GDP高的国家，生育率往往较低，但 二者没有惟一确定的关系，这是因为除了经济因 素外，生育水平还受教育水平、城市化水平以及 不易测量的民族风俗、宗教和其他随机因素的共 同影响。
【例】计算工业总产值与能源消耗量之间的相 关系数。
结论：工业总产值与能源消耗量之间存 解：已知n = 16, ∑ = 916, ∑ = 625, x y
在高度的正相关关系。 , xy = 37887 x 2 = 55086 ,
∑
r=
∑ n∑ - ∑ ∑ xy x y n∑ - (∑ ) n∑ - (∑ ) x x y y
相关与回归分析已经广泛应用到企业 管理、商业决策、金融分析以及自然科学 和社会科学等许多研究领域。
第一节
相关分析
一、相关分析的概念与类型
函数关系 指现象间所具有的严格的确定性 的依存关系，表现为某一现象发 生变化时，另一些现象也随之发 生变化。而且有确定的值与之相 对应。
例如：圆面积S＝πR2，给定R值便有一个确 定的S
工业总产值 （亿元）y 24 25 24 28 32 31 37 40 41 40 47 50 49 51 48 58 625
x2
1225 1444 1600 1764 2401 2704 2916 3481 3844 4096 4225 4624 4761 5041 5184 5776 55086
在具体应用过程中，相关分析和回归分析应结合使用。
第二节
区别：
一元线性回归分析
二、相关分析与回归分析的关系
在相关分析中涉及的变量不存在自变量和 因变量的划分问题，变量之间的关系是对等 的；而在回归分析中，则必须根据研究对象 的性质和研究分析的目的，对变量进行自变 量和因变量的划分。因此，在回归分析中， 变量之间的关系是不对等的。
自变量与因变量
现象之间的相互联系，在许多情况下表现为一 定的因果关系，将这些现象数量化则成为变量： 其中一个或若干个起着影响作用的变量称为自 变量，通常用X表示，它是引起另一现象变化 的原因，是可以控制、给定的值；而受自变量 影响的变量称为因变量，通常用Y表示，它是 自变量变化的结果，是不确定的值。
r
nxy xy nx (x)
2 2
ny (y)
2
2
相关系数r的取值范围：-1≤r≤1
r>0 表示两变量正相关；
r<0 表示两变量负相关；
r=0 表示两变量间不存在线性关系；
|r|=1 表示完全线性相关，即函数关系；
0<|r|<1表示存在不同程度的线性相关：
|r| ＜0.4为低度线性相关；
例如：收入水平与股票的持有额正相关 ，赚 的钱越多，买的股票也越多，而买的股票越 多，赚的钱也就越多
何为因？何为果？
相关分析应注意的问题
警惕虚假相关导致的错误结论 有时两变量之间并不存在相关关系，但却 可能出现较高的相关系数。
例如：对教师薪金的提高和酒价的上涨作相关 分析，计算得到一个较大的相关系数 ，这不能 表明是教师薪金提高导致酒的消费量增加，从 而导致酒价上涨.。 事实是由于经济繁荣导致教师薪金和酒 价的上涨，而教师薪金增长和酒价之间并没有 什么直接关系。
2
10 14304.52 346.2 0.9942
相关系数为0.9942，说明广告投入费与月平均销售额 之间有高度的线性正相关关系
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
能源消耗量 （十万吨）x
35 38 40 42 49 52 54 59 62 64 65 68 69 71 72 76
第二节
一元线性回归分析
“回归”一词是由英国生物学家葛尔 登在研究人体身高的遗传问题时首先提出 的。根据遗传学的观点，一般而言，父辈 身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖 祖辈辈遗传下来，身高必然向两极分化， 而事实上并非如此，显然有一种力量将身 高拉向中心，即子辈的身高有向中心回归 的特点。“回归”一词即源于此。
相关分析应注意的问题 不要在相关关系据以成立的数据范围以 外，推论这种相关关系仍然保持
例如：雨下的多，农作物长的好，在缺水地区， 干旱季节雨是一种福音，但雨量太大，却可能损 坏庄稼。 广告投入多，销售额上涨，利润增加，但 盲目加大广告投入，却未必使销售额再增长，利 润还可能减少。
正相关达到某个极限，就可能变成负相关
第二节
一元线性回归分析
一、回归分析的概念与内容
通过一个变量或一些变量的变化 回归分析 解释另一变量的变化 根据变量之间相关关系的具体形态，建立一个 数学方程（回归方程）来描述变量之间关系。 也即以给定的自变量x，揭示因变量y在数量 上的平均变化并求得因变量的预测值的统计分 析方法。
例如：葛尔登的朋友Pearson收集数据，分析儿子 的身高y和父亲身高x大致关系：
某软件公司的年广告投入费和月平均销售额
(万元)
月均销售额
80 60 40 20 0 0 20 40 60 80
年广告费投入 (万元)
相关表和相关图可反映两个变量之间的相 互关系及其相关方向，但无法确切地表明 两个变量之间相关的程度。著名统计学家 卡尔· 皮尔逊设计了统计指标 ––– 相关系数 在直线相关的条件下，用以反映两变 量间线性相关方向和程度的统计指标， 用r表示
400～450 350～400 300～350
2 2 2
1 2
5
f
X
2
3
5
4
3
1
相关图
又称散点图，用直角坐标系的x轴代表自变量，y轴代 表因变量，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的 形式描绘出来，用以表明相关点分布状况的图形。
y
y
y
y
x 负 相 关 x 曲线相关 x 不 相 关 x 正相关
相关图
工业总产值 （亿元）y
24 25 24 28 32 31 37 40 41 40 47 50 49 51 48 58
合计
916
625
60
50
40
工业总产值
30
20 30
40
50
60
70
80
能源消耗量
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 合计
能源消耗量 （十万吨）x 35 38 40 42 49 52 54 59 62 64 65 68 69 71 72 76 916
第八章
相关与回归
第八章
相关与回归
§8.1 相关分析 §8.2 一元线性回归分析
第八章 相关与回归
相关和回归分析现代统计学中非常重 要的内容，是处理变量数据之间的相互关 系、测定它们联系的紧密程度、揭示其变 化的具体形式和规律性的统计方法，是构 造各种经济模型、进行结构分析、政策评 价、预测和控制的重要工具。
y2
449.44 571.21 1082.41 1162.81 1806.25 1866.24 2401.00 2787.84 3528.36 4032.25
xy
265.00 365.67 763.28 900.24 1423.75 1486.08 1930.60 2386.56 3290.76 3867.15
0.4≤ |r| ＜0.7为显著性相关；
0.7≤ |r| ＜1.相关 完全正相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
相关系数
序号 广告投入费x 月均销售额y
x2
156.25 234.09 538.24 696.96 1122.25 1183.36 1552.36 2043.04 3069.16 3708.81
2 2 2
y 2 = 26175 ∑
2
=
16×37887- 916×625 16×55086- 916
2
16×26175- 625
2
= 0.9757
相关分析应注意的问题 相关分析不能解释两变量间的因果关系 相关系数只是表明两个变量间互相影 响的程度和方向，它并不能说明两变量间 是否有因果关系，以及何为因，何为果， 即使是在相关系数非常大时，也并不意味 着两变量间具有显著的因果关系。
例如：资金投入与产值之间，前者为自变量， 后者为因变量。
y y






x


x
函数关系
相关关系
研究函数关系用数学分析的方法
研究相关关系用相关与回归分析的方法
相关关系与函数关系的联系
相关关系和函数关系既有区别，又有 联系。有些函数关系往往因为有观察或 测量误差以及各种随机因素的干扰等原 因，在实际中常常通过相关关系表现出 来；而在研究相关关系时，其数量间的 规律性了解得越深刻的时候，则相关关 系越有可能转化为函数关系或借助函数 关系来表现。
y=33.73+0.516x
（以英寸为单位）