2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 指数与指数函数

1 答案： □ xn＝a 反数 6 □a 7 □a
2 3 4 5 □ 正数 □ 负数 □ 两个 □ 相 8 □－a 9 □a 10 □ n a
m
1 11 □m an
12 □
1 n am
13 14 15 □0 □无意义 □ar
＋s
16 17 18 □ars □arbr □(0,1)
19 20 21 22 23 □ y＞1 □ 0＜y＜1 □ 0＜y＜1 □ y＞1 □ 增函数 24 □减函数
∴f(x)是偶函数．
(3)当a＞1时，对x＞0，由指数函数的性质知ax＞1， 1 1 ∴a －1＞0， x ＋ ＞0. a －1 2
x
又x＞0时，x3＞0， 1 1 ∴x ax－1＋2＞0，即当x＞0时，f(x)＞0.
3

又由(2)知f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)， 则当x＜0时，－x＞0，有f(－x)＝f(x)，则y＝ t ，t＝2x＋1，x∈(－
x
∞，＋∞)，t＝2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋ ∞)． 1 因此y＝ 在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)． t
答案：A
1 log23.4 log43.6 log30.3，则( 4．已知a＝5 ，b＝5 ，c＝
●三个关键点 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像，应抓住三个关
1 键点：(1，a)，(0,1)，－1，a.
基础自测 aπ 1.(2011· 山东)若点(a,9)在函数y＝3 的图像上，则tan 的 6
x
值为( A．0
) 3 B. 3 C．1 D. 3
aπ π 解析：由题意有3 ＝9，则a＝2，∴tan 6 ＝tan3＝ 3.
m n
＞1)； ②负分数指数幂：a
－
m n
11 12 ＝ □ ________＝ □ ________(a
＞0，m、n∈N*，且n＞1)．
13 ③0的正分数指数幂等于 □ ________，0的负分数指数 14 幂□________.
(2)有理数指数幂的性质． 15 ①aras＝□____________________(a＞0，r，s∈Q)； 16 ②(ar)s＝□____________________(a＞0，r，s∈Q)； 17 ③(ab)r＝ □ ____________________(a＞0，b＞0，r∈ Q)．
则f(x)＝f1(x)对所有
实数x成立，则实数a的取值范围是__________．
审题：f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的等价条件是 f1(x)≤f2(x)对所有实数x成立． 求解：f(x)＝f1(x)⇔f1(x)≤f2(x)⇔3|x－1|≤2·|x－a|⇔3|x－1|－|x－ 3
方法点睛
①判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式
子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f(－ fx x)± f(x)， 来判断．②将不等式恒成立问题转化为求函数 f－x 值域问题，是解决恒成立问题的常用方法．
变式训练2
e x a 设f(x)＝ a ＋ －x是定义在R上的函数． e
－
(1)f(x)可能是奇函数吗？ (2)若f(x)是偶函数，试研究其在(0，＋∞)的单调性．
名师微博 ●一个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式 可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
●两个防范 (1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解 题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论． (2)换元时注意换元后“新元”的范围．
答案：3
反思：此题较好地体现了化归思想．
二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法 [示例2]
－a|
(2013· 学军中学月考)若f1(x)＝3|x－1|，f2(x)＝2·|x 3
f x，f x≤f x， 1 1 2 f2x，f1x＞f2x，
，x∈R，且f(x)＝
5

)
A．a＞b＞c C．a＞c＞b
B．b＞a＞c D．c＞a＞b
10 1 log30.3 -log30.3 log3 3 解析：c＝ 5 ＝5 ＝5
，log23.4＞log22＝
10 10 1，log43.6＜log44＝1，log3 3 ＞log33＝1，又log23.4＞log2 3 10 ＞log3 3 ， 10 ∴log23.4＞log3 3 ＞log43.6. 又∵y＝5x是增函数，∴a＞c＞b.
解析：
方法点睛
化简结果要求：①若题目以根式形式给出，
则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则 结果用分数指数幂表示；③结果不能同时含有根号和分数指 数幂，也不能既有分母又有负指数幂．
解析：
考点二
指数函数的性质
1 1 3 已知函数f(x)＝ax－1＋2· (a＞0且a≠1)． x
符号表示
备注 负数没
n ± a(a＞0)
有偶次 方根
(2)两个重要公式． □ n为奇数 6 n n 7 ① a ＝ a≥0 □ |a|＝ □ a＜0 8 n
n
n为偶数
9 ________(注意a必须使 n a)有意义． ②( a) ＝□
2．有理数的指数幂 (1)幂的有关概念． 10 ①正分数指数幂：a ＝ □ ____(a＞0，m、n∈N*，且n
[例2]
(1)求函数f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的奇偶性； (3)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．
解析：(1)由于ax－1≠0，即ax≠1，所以x≠0. ∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
1 1 (2)对于定义域内任意x，有f(－x)＝a－x－1＋2(－x)3 ax 1 1 1 3 ＝1－ax＋2(－x) ＝－1－ax－1＋2(－x)3 1 1 3 ＝ax－1＋2x ＝f(x)，
－
同理，当a＝－1时，f(x)在(0，＋∞)上为减函数.
考点三
指数函数图像的应用
[例3]
ex＋e－x 函数y＝ x －x的图像大致为( e －e
)
A.
B.
C.
D.
e2x＋1 2 解析：y＝ 2x ＝1＋ 2x ，当x＞0时，e2x－1＞0且随 e －1 e －1 2 着x的增大而增大，故y＝1＋ 2x ＞1且随着x的增大而减 e －1 小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y是 奇函数，故选A.
§2.6
指数与指数函数
[高考调研 明确考向] 考纲解读 •了解指数函数模型的实际背景． •理解有理数指数幂的含义，了解实数指数 幂的意义，掌握幂的运算． •理解指数幂的概念，理解指数函数的单调 性，掌握指数函数图像通过的特殊点． •知道指数函数是一类重要的函数模型.
考情分析 •指数函数的概念、图像与性质是近几年高考的热点． •通过具体问题考查指数函数的图像与性质，或利用指 数函数的图像与性质解决一些实际问题是重点，也是 难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想． •题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以 解答题的形式出现.
解析：(1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为R，
e a ex a ∴f(－x)＝－f(x)，即 ＋ x＝－ a ＋ －x， a e e
－x
1 x －x 整理得a＋a(e ＋e )＝0，
1 即a＋ ＝0，即a2＋1＝0显然无解． a ∴f(x)不可能是奇函数．
知识梳理 1.根式 (1)根式的概念. 根式的概念 1 如果□________，那 么x叫做a的n次方根 符号表示 备注 n＞1且n ∈N*
根式的概念 当n是奇数时，正数的n次方 2 根是一个□______，负数的 3 n次方根是一个□________
符号表示
备注 零的n次
n
a
方根是 零
根式的概念 当n是偶函数时，正数的n次 4 方程有 □ ______，这两个数 5 互为□________
答案：C
5．已知a ＋a ＝__________.
1 2
－
1 2
＝3，则a＋a 1＝__________；a2＋a
－
－2
解析：由已知条件(a ＋a
1 2
－
1 2
)2＝9，整理得：a＋a－1＝7.
又(a＋a－1)2＝49，因此a2＋a－2＝47.
答案：7 47
考点一
指数幂的化简与求值
[例1]
化简下列各式：(其中各字母均为正数)
答案：A
方法点睛
利用指数函数的图像和性质可研究复合函数
ax－1 ex－e－x 的图像和性质，例如：函数y＝ x ，y＝ ，y＝lg(10x 2 a ＋1 －1)等．
变式训练3 已知方程10x＝10－x，lgx＋x＝10的实数解 分别为α和β，则α＋β的值是__________．
解析：作函数y＝f(x)＝10x，y＝g(x)＝lgx，y＝h(x)＝10 －x的图像如图所示，由于y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，∴ 它们的图像是关于直线y＝x对称的．又直线y＝h(x)与y＝x垂 直，∴y＝f(x)与y＝h(x)的交点A和y＝g(x)与y＝h(x)的交点B是 关于y＝x对称的．而y＝x与y＝h(x)的交点为(5,5)．又方程10x ＝10－x的解α为A点横坐标，同理，β为B点横坐标．
3．指数函数的图像与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1
图像
定义域 值域
R (0，＋∞)
18 (1)过定点□__________ 19 21 性 (2)当x＞0时， □ ____； (2)当x＞0时，□____； 20 质 x＜0时，□______ 22 x＜0时，□______
23 24 (3)在R上是□________ (3)在R上是□________