【金版教程】2017届高考理科数学二轮复习训练：1-6-4 高考中的概率与统计(解答题型)(含解析)

1．[2015·重庆高考]端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望． 解 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的
概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 1
5
C 310
＝14.
(2)X 的所有可能值为0,1,2，且
P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28
C 310＝715，
P (X ＝2)＝C 22C 18C 310
＝1
15.
综上可知，X 的分布列为：
故E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝3
5(个)．
2．[2015·福建高考]某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6
个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．
解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝5
6×45×34＝12.
(2)依题意得，X 所有可能的取值是1,2,3.
又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝2
3. 所以X 的分布列为：
所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝5
2.
3．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
n 均不小于25”的概率；
(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差
均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
(参考公式：b ^＝∑n
i ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1
x 2i －n x 2
，a ^＝y －b ^
x )
解 (1)所有的基本事件为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个．
设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共3个．
所以P (A )＝310.
(2)由数据得，另3天的平均数x ＝12，y ＝27,3x y ＝972， 3x 2＝432，∑3i ＝1x i y i ＝977，∑3
i ＝1x 2i ＝434，
所以b ^＝977－972434－432＝52，a ^＝27－5
2×12＝－3，
所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝5
2x －3.
(3)依题意得，当x ＝10时，y ^＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，y ^
＝17，|17－16|<2，
所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．
4．[2015·陕西高考]设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，
结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
解(1)由统计结果可得T的频率分布为
．
(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．
解法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.
解法二：P(A)＝P(T1＋T2>70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.
故P(A)＝1－P(A)＝0.91.
5．[2015·北京高考]A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
A组：10,11,12,13,14,15,16；
B组：12,13,15,16,17,14，a.
假设所有病人的康复时间相互独立．从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果a＝25, 求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)
解设事件A i为“甲是A组的第i个人”，
事件B i为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2， (7)
由题意可知P(A i)＝P(B i)＝1
7，i＝1,2， (7)
(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是
P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝3 7.
(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，
C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.
因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝
10P(A4)P(B1)＝10 49.
(3)a＝11或a＝18.
6．[2015·河北质监(二)]
市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．
(1)求直方图中x 的值；
(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)
解 (1)由直方图可得：
20x ＋0.025×20＋0.0065×20＋0.003×2×20＝1， 所以x ＝0.0125.
(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为： 0．003×2×20＝0.12， 因为1200×0.12＝ 144，
所以估计1200名新生中有144名学生可以申请住宿． (3)X 的可能取值为0,1,2,3,4.
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为1
4，
P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫344＝81
256，
P (X ＝1)＝C 1
4×
14×⎝ ⎛⎭⎪
⎫343＝27
64，
P (X ＝2)＝C 2
4×⎝
⎛⎭⎪⎫142×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128， P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭
⎪⎫143×34＝364， P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫144＝1256.
所以X 的分布列为：
E (X )＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋4×1
256＝1⎝
⎛
⎭⎪⎫或E (X )＝4×14＝1. 所以X 的数学期望为1.。