2014·新课标高考总复习·数学7-5直线、平面垂直的判定与性质
(新课标)高考数学一轮总复习 第七章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质课件
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 判 如果一个平面过另 定 一个平面的一条 图形语言 符号语言
垂线 ，则这两个 定 _____
理 平面互相垂直.
l ⊥α ______ ⇒α⊥β l ⊂ β _____
性 质 定 理
如果两个平面互相 垂直，那么在一个 平面内垂直于它们 α⊥β l⊂β ⇒l⊥α α∩β＝a l⊥a
5 ． 将 正 方 形 ABCD 沿 AC 折 成 直 二 面 角 后 ， ∠ DAB ＝
________. [ 解析]
如图，取 AC 的中点 O，连接 DO，
BO，BD，则 DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB 为 二面角的平面角，从而∠DOB＝90° .设正方形边 2 长为 1，则 DO＝BO＝ 2 ，所以 DB＝1，故△ ADB 为等边三角形，所以∠DAB＝60° .
(2)线面角 θ
3．平面与平面垂直
(1) 二面角的有关概念：
①二面角的定义．从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做 二面角的面． 如图，记作：二面角 α － l － β 或二面角 α － AB － β 或二面角 P －
AB－Q.
②二面角的平面角．在二面角 α － l － β 的棱 l 上任取一点
性 质 定 理
a ⊥α _____ ⇒a∥b b⊥α _____
2．直线与平面所成的角
(1)定义
射影 所成的_____ 锐角 ，叫做 平面的一条斜线和它在平面上的_____ 这条直线和这个平面所成的角． 如图，
∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角． _______
π 0， . 2 的范围：______.
高考数学一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件 文
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19
解析：如图，∵PO⊂平面PAB，
∴l⊥PO. ∴PO就是P到直线l的距离， ∵α⊥β，∴四边形PAOB为矩形， PO＝ 12＋22＝ 5. 答案： 5
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20
考点
互动探究
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21
考点一 直线与平面垂直的判定与性质 证明直线和平面垂直的常用方法有 (1)利用判定定理． (2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)． (3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)． (4)利用面面垂直的性质．
24
【思路启迪】 第(1)问通过DC⊥平面PAC证明；也可通过 AE⊥平面PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明 直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．
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【证明】 (1)由四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABE.
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破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与 性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是 证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂 直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围 绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的 技巧所在．
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解析：由PA⊥平面ACB，可得PA⊥BC，A正确；由BC⊥ PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，BC⊥PC，即 B、D正确，故选C.
答案：C
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高考数学总复习 第七章第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面
γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
6
【解析】 A显然正确，根据面面垂直的判定，B正确． 对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，
过 P 作直线 a ， b ，使 a⊥m ， b⊥n.∵γ⊥α ， a⊥m ，则 a⊥α ，
第五节
直线、平面垂直的判定及其性质如果直线l与平面α内的__________ 任意一条 直线都垂直，则直线l与平 面α垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条________ 直线都垂直，则 相交 该直线与此平面垂直． (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线________ 平行．
∴ a⊥l ，同理有 b⊥l. 又 a∩b ＝ P ， a⊂γ ， b⊂γ ， ∴ l⊥γ. 故命题 C 正确．
对于命题D，设α∩β＝l，则l⊂α，但l⊂β.故在α内存在直线不垂
直于平面β，即命题D错误． 【答案】 D
7
3．已知命题：“若x⊥y，y∥z，则x⊥z”成立，那么字母x， y，z在空间所表示的几何图形有可能是：①都是直线；②都是
与α的位置关系为(
A．b⊂α C．b⊂α或b∥α
)
B．b∥α D．b与α相交
【解析】 由a⊥b，a⊥α知b⊂α或b∥α，但直线b不与α相交． 【答案】 C
5
2．(2011·浙江高考)下列命题中错误的是(
)
A．如果平面 α⊥平面β，那么平面 α内一定存在直线平行于平
面β
B．如果平面 α不垂直于平面 β，那么平面 α内一定不存在直线 垂直于平面β
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(2)连结FG.
因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，
高考数学第一轮知识点总复习 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
(2)证明:当a=4时,取BC边的中点M,AD边的中点N,连接AM、DM、 MN……..5′ ∵四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形,…………………………………..6′ ∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,…………………………………..7′ 即DM⊥AM.又∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥DM,∴DM⊥面PAM，得PM⊥DM,………………………………………..9′ 故(3当)设aM=4是时B,CBC边边上的符中合点题M设使的P点MM⊥, DM. ∵PA⊥底面ABCD,∴DM⊥AM………………………………………………11′ 因此,M点应是以AD为直径的圆和BC边的交点,则AD≥2AB,即a≥4为所 求…………….12′
ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t，则t的
取值范围是
.
解析: 如图2，过K作KM⊥AF于M点，连接DM，
由平面ABD⊥平面ABC易得DM⊥AF，与折前的图
1对比，可知在折前的图形中D、M、K三点共线且
DK⊥AF，于是△DAK∽△FDA,
AK DA
AD ， t DF 1
分析 （1）本题第(1)问是寻求BD⊥平面PAC的条件,即BD垂直于平面 PAC内两相交直线,易知BD⊥PA,问题归结为a为何值时,BD⊥AC,从而知 ABCD为正方形. （2）若PM⊥DM,易知DM⊥面PAM，得DM⊥AM,由AB=2，a=4知， M为BC的中点时得两个全等的正方形，满足DM⊥AM.
数学直线、平面垂直的判定及性质讲义
数学课程讲义 学科：数学专题：直线平面垂直的判定及性质考点梳理1.直线与平面垂直的定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α.直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）2.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.（线线垂直→线面垂直）3.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.⎭⎬⎫⊥⊥ααb a ⇒ a ∥b （线面垂直→线线平行）4.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.lα m npαα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l m l m 内任一直线是平面ααα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.金题精讲题一题面：用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .其中真命题的序号是( )．A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④题二题面：设a 、b 、c 表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )．A. ⎭⎪⎬⎪⎫c ⊥αα∥β⇒c ⊥β B.⎭⎪⎬⎪⎫b ⊂β，a ⊥b c 是a 在β内的射影⇒b ⊥c C. ⎭⎪⎬⎪⎫b ∥c b ⊂αc ⊄α⇒c ∥αD. ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥αPA O aα题三题面：如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．题四题面：如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.题五题面：如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,（1）求证：BD1⊥平面B1AC;（2）求B到平面B1AC的距离.题六题面：如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O 为AC的中点，PO⊥平面ABCD.证明：AD⊥平面P AC.课后练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列正确命题的序号是.①若m∥α，n∥α，则m∥n，②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若m∥α，m∥β，则α∥β，④若m⊥α，n⊥α，则m∥n题二题面：如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=2a，则它的5个面中，互相垂直的面有对.题三题面：a、b表示直线，α、β、γ表示平面.①若α∩β=a,b⊂α,a⊥b，则α⊥β;②若a⊂α,a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩γ=a, β∩γ=b,则a⊥b;④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是.题四2AC，∠BDC=90°. 题面：四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，且EF=2求证：BD⊥平面ACD.题五题面：如图所示，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分别是AB、PC的中点.求证：MN⊥平面PCD.讲义参考答案金题精讲题一答案：C题二答案：D题三答案：4题四答案：略题五答案：（1）略（2）3a3题六答案：略课后练习题一答案：④详解：①如图：，直线m与n可以异面；②我们可以考虑墙角，两个平面都与第三个平面垂直，但这两个平面却相交；③如图：α，β是相交的；④是线面垂直的性质定理，正确。
高考数学总复习 专题07 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 文
图1 图2 A. AH⊥△EFH所在平面 C. HF⊥△AEF所在平面
B. AG⊥△EFH所在平面 D. HG⊥△EFH所在平面
答案：
1. D 解析：由直线与平面垂直的定义，可知D正确．
2. D 3. A 4. B
5. A 解析：在图2中，AH⊥EH，AH⊥FH，且EH∩FH=H，
所以AH⊥平面EFH.
2.直线与平面所成的角:
平面的一条斜线和它在此平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线 和平面所成的角. 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面 平行,或在平面内,我们就说它们所成的角是0°角.
3.空间平面与平面垂直:
(1)判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直;
题型二 线面垂直 【例2】 如图，已知四棱柱PABCD中，底面ABCD是直角梯形， AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积．
题型三 面面垂直 【例3】 (2011· 聊城模拟)如图，菱形ABCD所在平面与矩形 ACEF所在平面互相垂直，已知BD=2AF，且点M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)求证：平面DEF⊥平面BEF.
6.(2011· 徐州模拟)如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平 面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
证明：∵BC⊥平面ABE，AE⊂ 平面ABE， ∴BC⊥AE，同理AE⊥BF， ∵BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE， 又∵BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.
(2)性质定理:①垂直于同一平面的两条直线平行; ②两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂 直.
直线、平面垂直的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质【知识要点】一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直的判定（1）定义：如果一条直线与一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
（2）判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
符号表示：αα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊥⊥l A n m n m n l m l 、，（3）判定定理2：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
符号表示：αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a b b a2、直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
【例题1—1】下列说法中不正确的是（ ）A 、空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B 、同一平面的两条垂线一定共面C 、过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D 、过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 二、两个平面垂直的判定与性质 1、两个平面垂直的判定（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直。
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
符号表示：βααα⊥⇒⊂⊥a a ，2、两个平面垂直的性质定理（1）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。
符号表示：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥a l a a l ，，，（2）如果两个平面垂直，那么经过一个平面内的一点且垂直于另一个平面的直线必在另一个平面内。
符号表示：αβαβα⊂⇒⊥∈∈⊥a a a P P ，，，【例题2—1】如图，已知PA 垂直于圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上任意一点，过A 作PC AE ⊥与E ，PB AF ⊥于F ，求证： （1）⊥AE 平面PBC ； （2）平面⊥PAC 平面PBC ； （3）EF PB ⊥。
直线平面垂直的判定与性质 高考数学知识点总结 高考数学真题复习
§8.5直线、平面垂直的断定与性质2014高考会这样考 1.考察垂直关系的命题的断定；2.考察线线、线面、面面垂直关系的断定和性质；3.考察平行和垂直的综合问题；4.考察空间想象实力，逻辑思维实力和转化思想．复习备考要这样做 1.熟记、理解线面垂直关系的断定与性质定理；2.解题中标准运用数学语言，严格证题过程；3.重视转化思想的应用，解题中要以找寻线线垂直作为打破．1．直线与平面垂直(1)断定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用断定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：假如在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内随意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的断定方法①定义法．②利用断定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．[难点正本疑点清源]1．两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即假如两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面间隔的根据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.2．两平面垂直的断定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．1．一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是__________．答案垂直解析由线面平行的性质定理知，该面必有始终线与已知直线平行，再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面”得出结论．2. △ABC中，∠ABC＝90°，P A⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是________．答案 43．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________________________．答案可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个4．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是() A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α答案 C解析对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中肯定有a∥b. 5．(2011·辽宁)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正．．确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案 D解析易证AC⊥平面SBD，因此AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，B 正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因此所成的角一样.题型一直线与平面垂直的断定与性质例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.思维启迪：第(1)问通过DC⊥平面P AC证明；也可通过AE⊥平面PCD 得到结论；第(2)问利用线面垂直的断定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.探究进步破解此类问题的关键在于娴熟把握空间垂直关系的断定与性质，留意平面图形中的一些线线垂直关系的敏捷利用，这是证明空间垂直关系的根底．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以互相转化，因此整个证明过程围围着线面垂直这个核心而绽开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．(2012·陕西)(1)如图所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并推断其真假(不需证明)．(1)证明如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的随意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.因为PO⊥π，a⊂π，所以直线PO⊥a.又a⊥b，b⊂平面P AO，PO∩b＝P，所以a⊥平面P AO.又c⊂平面P AO，所以a⊥c.(2)解逆命题为a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．题型二平面与平面垂直的断定与性质例2(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.思维启迪：(1)证明两个平面垂直，关键是在一个平面内找到另一个平面的一条直线；(2)两个平面垂直的性质是证明的打破点．证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.探究进步面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有断定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法．(2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.证明(1)如图，在△P AD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面P AD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面P AD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面P AD.题型三线面、面面垂直的综合应用例3如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．思维启迪：(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内肯定有一条直线垂直于平面P AD，考虑证明BD⊥平面P AD.(2)四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的间隔．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD .又BD ⊂面BDM ，∴面MBD ⊥面P AD .(2)解 过P 作PO ⊥AD ，∵面P AD ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△P AD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝2 3. 在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形． 在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855， 此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3. 探究进步 当两个平面垂直时，常作的协助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直．如图所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD为正方形，E 为线段AD 1的中点，F 为线段BD 1的中点，(1)求证：EF ∥平面ABCD ；(2)设M 为线段C 1C 的中点，当D 1D AD的比值为多少时，DF ⊥平面D 1MB ？并说明理由． (1)证明 ∵E 为线段AD 1的中点，F 为线段BD 1的中点，∴EF ∥AB .∵EF ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD .(2)解 当D 1D AD＝2时，DF ⊥平面D 1MB . ∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .∵D 1D ⊥平面ABC ，∴D 1D ⊥AC .∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥DF .∵F ，M 分别是BD 1，CC 1的中点，∴FM ∥AC .∴DF ⊥FM . ∵D 1D ＝2AD ，∴D 1D ＝BD .∴矩形D 1DBB 1为正方形． ∵F 为BD 1的中点，∴DF ⊥BD 1.∵FM ∩BD 1＝F ，∴DF ⊥平面D 1MB .解答过程要标准典例：(14分)如图所示，M ，N ，K 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB ，CD ，C 1D 1的中点．求证：(1)AN ∥平面A 1MK ；(2)平面A 1B 1C ⊥平面A 1MK .审题视角(1)要证线面平行，需证线线平行．(2)要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直．标准解答证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形．[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.[4分]∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[7分](2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K.∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.[9分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴A 1B 1⊥BC 1.∵MK ∥BC 1，∴A 1B 1⊥MK .∵四边形BB 1C 1C 为正方形，∴BC 1⊥B 1C .[12分]∴MK ⊥B 1C .∵A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，B 1C ⊂平面A 1B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴MK ⊥平面A 1B 1C .又∵MK ⊂平面A 1MK ，∴平面A 1MK ⊥平面A 1B 1C .[14分]温馨提示 (1)步骤标准是答题得满分的最终保证，包括运用定理的严谨性，书写过程的流畅性．(2)本题证明常犯错误：①定理应用不严谨．如：要证AN ∥平面A 1MK ，必需强调AN ⊄平面A 1MK .②解题过程不完好，缺少关键步骤，如第(1)问中，应先证四边形ANKA 1为平行四边形．第(2)问中，缺少必要的条件，使思维不严谨，过程不流畅．方法与技巧1． 证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α；(2)断定定理1： ⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)断定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.2．证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.3．证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)断定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.4．转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中找寻平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作协助线来解决．失误与防范1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要留意直线与平面垂直定义、断定定理和性质定理的结合交替运用，即留意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作协助线的一个重要根据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．A组专项根底训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是() A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B解析若l⊥m，m⊂α，则l与α可能平行、相交或l⊂α；若l⊥α，l∥m，则m⊥α；若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行或异面；若l∥α，m∥α，则l与m可能平行、相交或异面，故只有B选项正确．2．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则() A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不肯定存在直线与m平行，不肯定存在直线与m垂直C．β内不肯定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不肯定存在直线与m垂直答案 C解析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不肯定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．3．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α答案 C解析设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α. 4．正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于() A．A′C′B．BD C．A′D′D．AA′答案 B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.二、填空题(每小题5分，共15分)5. 如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中：与PC垂直的直线有______________；与AP垂直的直线有________．答案AB，BC，AC AB解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，∴AB⊥平面P AC，∴AB⊥PC.与AP垂直的直线是AB.6. 如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．7．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满意条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)答案②④解析若m⊥α，α∥β，则m⊥β.三、解答题(共22分)8．(10分)如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，A1B1＝A1C1，侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.证明(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∴AD ⊥CC 1.(2)如图，延长B 1A 1与BM 的延长线交于点N ，连接C 1N .∵AM ＝MA 1，∴MA 1綊12BB 1， ∴NA 1＝A 1B 1.∵A 1B 1＝A 1C 1，∴A 1C 1＝A 1N ＝A 1B 1，∴NC 1⊥C 1B 1.∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ，∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ，即截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .9． (12分)如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是CD 、A 1D 1的中点．(1)求证：AB 1⊥BF ；(2)求证：AE ⊥BF ；(3)棱CC 1上是否存在点P ，使BF ⊥平面AEP ？若存在，确定点P 的位置，若不存在，说明理由．(1)证明 连接A 1B ，则AB 1⊥A 1B ，又∵AB 1⊥A 1F ，且A 1B ∩A 1F ＝A 1，∴AB1⊥平面A1BF.又BF⊂平面A1BF，∴AB1⊥BF.(2)证明取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG＝∠DAE.∴AE⊥BG.又∵BG∩FG＝G，∴AE⊥平面BFG.又BF⊂平面BFG，∴AE⊥BF.(3)解存在．取CC1中点P，即为所求．连接EP，AP，C1D，∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1.由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP.又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，∴BF⊥平面AEP.B组专项实力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．已知l，m是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l∥βB．若l∥α，α⊥β，则l∥βC．若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l⊥αD．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m答案 D解析∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β.又∵m⊂β，∴l⊥m.2．(2012·浙江)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进展翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对随意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直答案 B解析找出图形在翻折过程中改变的量与不变的量．对于选项A，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB，BC不相等可知点E，F不重合．在图(2)中，连接CE，若直线AC与直线BD垂直，又∵AC∩AE＝A，∴BD⊥面ACE，∴BD⊥CE，与点E，F不重合相冲突，故A错误．对于选项B，若AB⊥CD，又∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥面ADC，∴AB⊥AC，由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故B正确．对于选项C，若AD⊥BC，又∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥面ADC，∴BC⊥AC.已知BC＝2，AB＝1，BC>AB，∴不存在这样的直角三角形．∴C错误．由上可知D错误，故选B.3. 如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的投影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案 A解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的投影H在直线AB上．二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知P为△ABC所在平面外一点，且P A、PB、PC两两垂直，则下列命题：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．答案 3解析 如图所示．∵P A ⊥PC 、P A ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ，∴P A ⊥平面PBC .又∵BC ⊂平面PBC ，∴P A ⊥BC .同理PB ⊥AC 、PC ⊥AB .但AB 不肯定垂直于BC .5． 在正四棱锥P —ABCD 中，P A ＝32AB ，M 是BC 的中点，G 是△P AD 的重心，则在平面P AD 中经过G 点且与直线PM 垂直的直线有________条．答案 多数解析 设正四棱锥的底面边长为a ，(如图)则侧棱长为32a . 由PM ⊥BC ，∴PM ＝⎝⎛⎭⎫32a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝22a . 连接PG 并延长与AD 相交于N 点，则PN ＝22a ，MN ＝AB ＝a ， ∴PM 2＋PN 2＝MN 2，∴PM ⊥PN ，又PM ⊥AD ，PN ∩AD ＝N ，∴PM ⊥面P AD ，∴在平面P AD 中经过G 点的随意一条直线都与PM 垂直．6． 已知a 、b 、l 表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥γ；②若a 、b 相交，且都在α、β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α；④若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，l ⊄α，则l ⊥α.其中正确命题的序号是________．答案②③解析①在正方体A1B1C1D1—ABCD中，可令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不行得出l⊥α，④错误．三、解答题7．(13分)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)假如D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.证明(1)因为∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝1，所以△A1AC为等边三角形．所以A1C＝1.因为BC＝1，A1B＝2，所以A1C2＋BC2＝A1B2.所以∠A1CB＝90°，即A1C⊥BC.因为BC⊥A1A，BC⊥A1C，AA1∩A1C＝A1，所以BC⊥平面ACC1A1.因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.(2)连接AC1交A1C于点O，连接OD.因为ACC1A1为平行四边形，所以O为AC1的中点．因为D为AB的中点，所以OD∥BC1.因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.。
2014届高考数学一轮复习学案直线、平面垂直的判定与性质
直线、平面垂直的判定与性质{INCLUDEPICTURE"基础知识要打牢.tif"|[知识能否忆起]一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论3．直线与平面垂直的性质定理二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理2．平面与平面垂直的性质定理[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知平面α，β，直线l ，若α⊥β，α∩β＝l ，则( ) A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C ．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D ．垂直于直线l 的平面一定与平面α、β都垂直 解析：选D A 中平面可与α平行或相交，不正确． B 中直线可与α垂直或斜交，不正确． C 中平面可与直线l 平行或相交，不正确．2.(2012·厦门模拟)如图，O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是( )A ．A 1DB ．AA 1C ．A 1D 1D ．A 1C 1解析：选D 易知A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 又B 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴A 1C 1⊥B 1O .3．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( ) A ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n B ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α C ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n D ．若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β解析：选C 对于选项A ，若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n ，或m ，n 是异面直线，所以A 错误；对于选项B ，n 可能在平面α内，所以B 错误；对于选项D ，m 与β的位置关系还可以是m⊂β，m∥β，或m与β斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确．4.如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：由线面垂直知，图中直角三角形为4个．答案：45．(教材习题改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB.则下列命题正确的有________．①P A⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④直线PD与平面ABC所成角为30°.解析：由P A⊥平面ABC，∴P A⊥AD，故①正确；②中两平面不垂直，③中AD与平面P AE相交，BC∥AD，故不正确；④中PD与平面ABC所成角为45°.答案：①1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．3．几个常用的结论：(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．典题导入[例1](2012·襄州模拟)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n ⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________．[自主解答]①显然错误，因为平面α∥平面β，平面α内的所有直线都平行β，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图1所示，若α∩β＝l，且n∥l，当m⊥α时，m⊥n，但n∥β，所以③错误；如图2显然当m′⊥n′时，m不垂直于n，所以④错误．[答案] ①③④由题悟法解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例．③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．以题试法1．(2012·长春模拟)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α；②若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β；③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α；④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 对于①，由b 不在平面α内知，直线b 或者平行于平面α，或者与平面α相交，若直线b 与平面α相交，则直线b 与直线a 不可能垂直，这与已知“a ⊥b ”相矛盾，因此①正确．对于②，由a ∥α知，在平面α内必存在直线a 1∥a ，又a ⊥β，所以有a 1⊥β，所以α⊥β，②正确．对于③，若直线a 与平面α相交于点A ，过点A 作平面α、β的交线的垂线m ，则m ⊥β，又α⊥β，则有a ∥m ，这与“直线a 、m 有公共点A ”相矛盾，因此③正确．对于④，过空间一点O 分别向平面α、β引垂线a 1、b 1，则有a ∥a 1，b ∥b 1，又a ⊥b ，所以a 1⊥b 1，所以α⊥β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数为4.典题导入[例2] (2012·广东高考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12|AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2|，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .[自主解答] (1)证明：因为AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ， 所以PH ⊥AB .因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .因为PH ⊄平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD .(2)如图，连接BH ，取BH 的中点G ，连接EG . 因为E 是PB 的中点，所以EG ∥PH ， 且EG ＝12|PH ＝12|.因为PH ⊥平面ABCD ， 所以EG ⊥平面ABCD .因为AB ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥AD .所以底面ABCD 为直角梯形．所以V E －BCF ＝13|S △BCF ·EG ＝13|·12|·FC ·AD ·EG ＝212|.(3)证明：取P A 中点M ，连接MD ，ME . 因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12|AB .又因为DF 綊12|AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD .因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A . 因为AB ⊥平面P AD ，所以MD ⊥AB .因为P A ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面P AB ，所以EF ⊥平面P AB .由题悟法证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推论(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)． (3)利用面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)． (4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．以题试法2．(2012·启东模拟)如图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 证明：(1)连接AC ，AN ，BN ， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AC ，在Rt △P AC 中，N 为PC 中点，∴AN ＝12|PC .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ， P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .∴BC ⊥PB .从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN ＝12|PC .∴AN ＝BN .∴△ABN 为等腰三角形，又M 为AB 的中点，∴MN ⊥AB ， 又∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD .(2)连接PM ，MC ，∵∠PDA ＝45°，P A ⊥AD ，∴AP ＝AD .∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴AP ＝BC . 又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM . 而∠P AM ＝∠CBM ＝90°， ∴△P AM ≌△CBM . ∴PM ＝CM .又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC .由(1)知，MN ⊥CD ，PC ∩CD ＝C ，∴MN ⊥平面PCD .典题导入[例3] (2012·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .[自主解答] (1)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1， CC 1∩DE ＝E ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1.因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F .又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD . 又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， 所以A 1F ∥平面ADE .由题悟法1．判定面面垂直的方法： (1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直． 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．以题试法3．(2012·泸州一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)若点M 在线段PC 上，且PM ＝tPC (t >0)，试确定实数t 的值，使得P A ∥平面MQB .解：(1)因为P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以PQ ⊥AD .连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°， 所以AB ＝BD . 所以BQ ⊥AD .因为BQ ⊂平面PQB ，PQ ⊂平面PQB ， BQ ∩PQ ＝Q ， 所以AD ⊥平面PQB .因为AD ⊂平面P AD ，所以平面PQB ⊥平面P AD . (2)当t ＝13|时，P A ∥平面MQB .证明如下：连接AC ，设AC ∩BQ ＝O ，连接OM .在△AOQ 与△COB 中， 因为AD ∥BC ，所以∠OQA ＝∠OBC ，∠OAQ ＝∠OCB .所以△AOQ ∽△COB .所以AO OC |＝AQ CB |＝12|.所以AO AC |＝13|，即OC AC |＝23|.由PM ＝13|PC ，知CM CP |＝23|，所以CM CP |＝OCAC |，所以AP ∥OM .因为OM ⊂平面MQB ，P A ⊄平面MQB ，所以P A ∥平面MQB .1．(2012·杭州模拟)设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )A ．a ⊥c ，b ⊥cB ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂βC ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α解析：选C 对于选项C ，在平面α内存在c ∥b ，因为a ⊥α，所以a ⊥c ，故a ⊥b ；A ，B 选项中，直线a ，b 可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D 选项中一定有a ∥b .2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l 上两点到α的距离相等，则l ∥α；③若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；④若α∥β，l ⊄β，且l ∥α，则l ∥β.其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．②④D ．③④解析：选D 对于①：若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ，前者不是后者的充分条件，比如当α∥γ时，也有α⊥β，β⊥γ.对于②：显然错误，当l ⊥α，l ∩α＝A 时，l 上到A 距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．3．给出命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α；(3)已知α，β表示两个不同平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的充要条件；(4)a ，b 是两条异面直线，P 为空间一点，过P 总可以作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一个平行．其中正确命题个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B (1)错，也可能相交；(2)正确；(3)“α⊥β”是“m ⊥β”的必要条件，命题错误；(4)当异面直线a ，b 垂直时才可以作出满足要求的平面，命题错误．4.(2013·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－AB1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．5.(2012·曲阜师大附中质检)如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③解析：选B对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM ∥P A.∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确．6.(2012·济南名校模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：选D在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．(2012·忻州一中月考)正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是BC 的中点，动点P 在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的长为________．解析：如图，设AC ∩BD ＝O ，连接SO ，取CD 的中点F ，SC 的中点G ，连接EF ，EG ，FG ，设EF 交AC 于点H ，连接GH ，易知AC ⊥EF ，GH ∥SO ， ∴GH ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥GH ，∴AC ⊥平面EFG ，故动点P 的轨迹是△EFG ，由已知易得EF ＝2|， GE ＝GF ＝62|，∴△EFG 的周长为2|＋6|，故动点P 的轨迹长为2|＋6|. 答案：2|＋6|9.(2013·蚌埠模拟)点P 在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列四个命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的命题序号是________．解析：连接BD 交AC 于O ，连接DC 1交D 1C 于O 1，连接OO 1，则OO 1∥BC 1. ∴BC1∥平面AD 1C ，动点P 到平面AD 1C 的距离不变， ∴三棱锥P －AD 1C 的体积不变． 又VP －AD 1C ＝VA －D 1PC ，∴①正确． ∵平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ，A 1P ⊂平面A 1C 1B ， ∴A 1P ∥平面ACD 1，②正确． 由于DB 不垂直于BC 1显然③不正确； 由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1， ∴DB 1⊥平面AD 1C .DB 1⊂平面PDB 1， ∴平面PDB 1⊥平面ACD 1，④正确． 答案：①②④10. 如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ； (2)求证：平面ABC ⊥平面APC .证明：(1)由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP .又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故MD ∥平面APC .(2)因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD ⊥PB .所以AP ⊥PB .又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC .又BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，所以BC ⊥平面APC .因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC .11.(2012·北京海淀二模)如图所示，P A ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°，P A ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB |上，且OM ∥AC .(1)求证：平面MOE ∥平面P AC ；(2)求证：平面P AC ⊥平面PCB .证明：(1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以OE ∥P A .因为P A ⊂平面P AC ，OE ⊄平面P AC ，所以OE ∥平面P AC .因为OM ∥AC ，且AC ⊂平面P AC ，OM ⊄平面P AC ，所以OM ∥平面P AC .因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，OE ∩OM ＝O ，所以平面MOE ∥平面P AC .(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .因为BC ⊂平面PCB ，所以平面P AC ⊥平面PCB .12．(2012·珠海摸底)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD是梯形，AB ∥CD ，四边形ACFE 是矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，AD ＝DC ＝CB ＝AE ＝a ，∠ACB ＝π2|. (1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)若M 是棱EF 上一点，AM ∥平面BDF ，求EM 的长．解：(1)证明：因为∠ACB ＝π2|，所以BC ⊥AC .又因为BC ⊂平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，平面ACFE ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .(2)记AC ∩BD ＝O ，在梯形ABCD 中，因为AD ＝DC ＝CB ＝a ，AB ∥CD ，所以∠ACD ＝∠CAB ＝∠DAC .所以π＝∠ABC ＋∠BCD ＝∠DAB ＋∠ACD ＋∠ACB ＝3∠DAC ＋π2|，所以∠DAC ＝π6|，即∠CBO ＝π6|. 又因为∠ACB ＝π2|，CB ＝a ，所以CO ＝33|a .连接FO ，由AM ∥平面BDF 得AM ∥FO ，因为四边形ACFE 是矩形，所以EM ＝CO ＝33|a .1.如图，在三棱锥D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：选C 要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .2．如图所示，b ，c 在平面α内，a ∩c ＝B ，b ∩c ＝A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b ，则△ACD 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B ∵a ⊥b ，b ⊥c ，a ∩c ＝B ，∴b ⊥面ABC ，∴AD ⊥AC ，故△ACD 为直角三角形．3.(2012·莆田模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，△P AC ，△ABC 分别是以A ，B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB ＝1.(1)现给出三个条件：①PB ＝3|；②PB ⊥BC ；③平面P AB ⊥平面ABC .试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：P A⊥平面ABC；(2)在(1)的条件下，求三棱锥P－ABC的体积．解：法一：(1)选取条件①在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝1，∴BC＝1，AC＝2|.又∵P A＝AC，∴P A＝2|.∴在△P AB中，AB＝1，P A＝2|.又∵PB＝3|，∴AB2＋P A2＝PB2.∴∠P AB＝90°，即P A⊥AB.又∵P A⊥AC，AB∩AC＝A，∴P A⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知P A⊥平面ABC，V三棱锥P－ABC＝13|P A·S△ABC＝13|×2|×12|×12＝26|.法二：(1)选取条件②∵PB⊥BC，又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面P AB.∵P A⊂平面P AB，∴BC⊥P A.又∵P A⊥AC，且BC∩AC＝C，∴P A⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知P A⊥平面ABC. ∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，∴AC＝2|，∴P A＝2|，∴V三棱锥P－ABC＝13|P A·S△ABC＝13|×12|AB·BC·P A＝13|×12|×1×1×2|＝26|.法三：(1)选取条件③若平面P AB⊥平面ABC，∵平面P AB∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面P AB.∵P A⊂平面P AB，∴BC⊥P A.∴P A ⊥平面ABC .(2)同法二．1．(2012·福建高考)如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 为棱DD 1上的一点．(1)求三棱锥A －MCC 1的体积；(2)当A 1M ＋MC 取得最小值时，求证：B 1M ⊥平面MAC .解：(1)由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，AD ⊥平面CDD 1C 1，∴点A 到平面CDD 1C 1的距离等于AD ＝1.又S △MCC 1＝12|CC 1×CD ＝12|×2×1＝1， ∴VA －MCC 1＝13|AD ·S △MCC 1＝13|. (2)证明：将侧面CDD1C 1绕DD 1逆时针转90°展开，与侧面ADD 1A 1共面(如图)，当A 1，M ，C ′共线时，A 1M ＋MC 取得最小值．由AD ＝CD ＝1，AA 1＝2，得M 为DD 1中点．连接A 1M ，B 1M ，在△C 1MC 中，MC 1＝2|，MC ＝2|，CC 1＝2，∴CC 21|＝MC 21|＋MC 2，得∠CMC 1＝90°，即CM ⊥MC 1. 又由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，B 1C 1⊥平面CDD 1C 1，∴B 1C 1⊥CM .又B 1C 1∩C 1M ＝C 1，∴CM ⊥平面B 1C 1M ，得CM ⊥B 1M .同理可证，B 1M ⊥AM .又AM ∩MC ＝M ，∴B 1M ⊥平面MAC .2．(2012·江西模拟)如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，P A ，NC 都垂直于平面ABCD ，且P A ＝AB ＝4，NC ＝2，M 是线段P A 上的一动点．(1)求证：平面P AC ⊥平面NEF ；(2)若PC ∥平面MEF ，试求PM ∶MA 的值．解：(1)证明：连接BD ，∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD .∴BD ⊥平面P AC .又∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，∴EF ∥BD .∴EF ⊥平面P AC ，又EF ⊂平面NEF ，∴平面P AC ⊥平面NEF .(2)连接OM ，∵PC ∥平面MEF ，平面P AC ∩平面MEF ＝OM ，∴PC ∥OM ，∴PM P A |＝OC AC |＝14|， 故PM ∶MA ＝1∶3.3．(2012·陕西高考)(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图1，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λ b ＋μ n ，则a·c ＝a·(λ b ＋μ n )＝λ(a·b )＋μ(a·n )．因为a ⊥b ，所以a·b ＝0.又因为a ⊂π，n ⊥π，所以a·n ＝0，故a·c ＝0，从而a ⊥c .法二：如图2，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c .∵PO ⊥π，a ⊂π，∴直线PO ⊥a .又a ⊥b ，b ⊂平面P AO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面P AO .又c ⊂平面P AO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．。
《直线、平面垂直的判定及其性质》知识全解
《直线、平面垂直的判定及其性质》知识全解一、知识结构二、内容解析（一）基本概念1.直线与平面垂直：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面垂直，记作．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．直线与平面的公共点叫做垂足．2.直线与平面所成的角：角的取值范围：．3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．二面角的记法：二面角的取值范围：两个平面垂直：直二面角．（二）四个定理垂直的平有无数个）（三）定理之间的关系及其转化：两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂直，所以在解题时应注意从“高维”到“低维”的转化，即“空间问题”到“平面问题”的转化．三、重点难点1．重点：通过直观感知、操作确认，概括出判断定理和性质．2．难点：性质定理的证明．四、教法导引“直线、平面垂直的判定及其性质”以垂直为主线，按照先判定再给出性质的顺序，依次安排直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定、直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质．通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．空间中的平行关系和垂直关系在一定条件下互相转化，如垂直于同一个平面的两条直线平行等等．通过对图形的观察、实验和说理，进一步了解垂直关系的基本性质及判定方法．五、学法建议转化法是本学案中重要的数学方法，证线线垂直，则需转化为证线面垂直，而证线面垂直，则需转化为证线线垂直．。
高三数学一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件
⑤若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于
另一个平面.
其中正确的是( )
A.①②⑤ B.②③⑤ 精C品.①③④ D.①
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【解析】选D.①正确.否则两个平面应平行. ②错误.当该点是交线上的点时,l与β不一定垂直. ③错误.异面直线所成角的范围是 ( 0 ，而 ] 二, 面角的范围是[0,π].
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
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(2)(2013·广东高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不 同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
过空间一点P作m′∥m,n′∥n.
则m′,n′可确定平面γ.
由题意知:l⊥γ,l′⊥γ.
所以l∥l′.
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(2)选D.对于选项A,分别在两个垂直平面内的两条直线平行、 相交、异面都可能,但未必垂直;对于选项B,分别在两个平行平 面内的两条直线平行、异面都可能;对于选项C,两个平面分别经 过两垂直直线中的一条,不能保证两个平面垂直;对于选项 D,m⊥α,m∥n,则n⊥α;又因为n∥β,则β内存在与n平行的直线l, 因为n⊥α,则l⊥α,由于l⊥α,l⊂β,所以α⊥β.
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【解题视点】(1)作出与直线m,n平行的直线,证明平面α,β相交, 然后可证交线与直线l平行. (2)利用面面平行与垂直的判定与性质进行判断.
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【规范解答】(1)选D.因为m,n为异面直线,m⊥平面α,
7.5 直线、平面垂直的判定及其性质
第五节直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：一条直线与一个平面______________都垂直，则该直线与垂直于同一个平面的2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理一个平面过另一个平面，则这两个两个平面垂直，则一个________的直线与另一个平面垂[小题体验]1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β( ) A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m2．(教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件．2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．[小题纠偏]1．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．(教材习题改编)设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是( )A．若m⊥α，α⊥β，则m∥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n考点一直线与平面垂直的判定与性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题．常见的命题角度有(1)证明直线与平面垂直；(2)利用线面垂直的性质证明线线垂直．[题点全练]角度一：证明直线与平面垂直1．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．求证：(1)PH ⊥平面ABCD ； (2)EF ⊥平面PAB ．角度二：利用线面垂直的性质证明线线垂直2．(2015·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1．设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E ．求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1．[通法在握]判定直线和平面垂直的4种方法(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推论(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)； (3)利用面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)； (4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．[演练冲关]1．(2017·上海六校联考)已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β且m ⊂αB ．α⊥β且m ∥αC ．m ∥n 且n ⊥βD ．m ⊥n 且α∥β2．如图，S 是Rt△ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ．D 为斜边AC 的中点．(1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC ．考点二 面面垂直的判定与性质重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·四川高考)如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ．(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD ．[由题悟法]1．证明面面垂直的2种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．2．三种垂直关系的转化 线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直 [即时应用](2016·云南省第一次统一检测)如图，在三棱锥A BCD 中，CD ⊥BD ，AB ＝AD ，E 为BC 的中点．(1)求证：AE ⊥BD ；(2)设平面ABD ⊥平面BCD ，AD ＝CD ＝2，BC ＝4，求三棱锥D ABC 的体积．考点三 平面图形翻折成空间图形重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ．将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′ABCFE的体积．[由题悟法]对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化．解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法．[即时应用](2017·石家庄模拟)在平面四边形ABCD(图①)中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′ABD．(1)当C′D＝2时，求证：平面C′AB⊥平面DAB；(2)当AC′⊥BD时，求三棱锥C′ABD的高．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β，其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．43．已知在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，且△BCD是锐角三角形，则必有( ) A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面BDC4．一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是________．5．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a∥α且b∥α，则a∥b；②若a⊥α且a⊥β，则α∥β；③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β．上面命题中，所有真命题的序号是________．二保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·青岛质检)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC中直角三角形的个数为( )A．4 B．3C．2 D．13．(2017·南昌模拟)设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β( )A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对4．(2017·吉林实验中学测试)设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c5．(2017·贵阳市监测考试)如图，在三棱锥PABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC6．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有____________；与AP垂直的直线有________．7．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)8．如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E．要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．9．(2016·贵州省适应性考试)已知长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4．现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体ABCD，如图所示．(1)试问：在折叠的过程中，直线AB与CD能否垂直？若能，求出相应a的值；若不能，请说明理由．(2)求四面体ABCD体积的最大值．10．(2017·河南省八市重点高中质量检测)如图，过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EF∥AB，使AB＝2EF，且平面ABFE⊥平面ABCD，若点G在CD上且满足DG＝GC．求证：(1)FG∥平面AED；(2)平面DAF⊥平面BAF．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·兰州市实战考试)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF．现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．其中能成为增加条件的序号是________．2．如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四边形ABCD为正方形，且点P 为AD的中点，点Q为SB的中点．(1)求证：CD⊥平面SAD．(2)求证：PQ∥平面SCD．(3)若SA＝SD，点M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．( )A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 22．(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．13＋π B ．23＋π C ．13＋2π D ．23＋2π 3．(2015·山东高考)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A ．22π3B ．42π3C ．22πD ．42π4．(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．16B ．13C ．12D ．15．(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3．6．(2015·四川高考)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P A 1MN 的体积是________．7．(2015·安徽高考)如图，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°．(1)求三棱锥P ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC的值．111AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π32．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π3．(2013·全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n2．(2013·全国卷Ⅱ)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l3．(2014·湖北高考)如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1 ，BB 1 ，A 1B 1 ，A 1D 1 的中点． 求证：(1)直线BC 1 ∥平面EFPQ ；(2)直线 AC 1⊥平面 PQMN ．4．(2016·北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．(1)求证：DC⊥平面PAC．(2)求证：平面PAB⊥平面PAC．(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．5．(2016·全国乙卷)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．。
《新高考全案》高考数学 75直线、平面垂直的判定与性质课件 人教
一条也垂直于这个平面，即 aa∥ ⊥bα⇒b⊥α.
• (3)直线和平面垂直的性质 • ①性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． • ②如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面 内的任意一条直线． • ③过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且 只有一个平面和已知直线垂直． • ④如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行 ．
的大小．平面角是直角的二面角叫做
直．二面角
• 3．平面与平面垂直 • (1)定义： • 平面α与平面β相交，如果 所成的二面角是直二面角 ， 称α与β互相垂直，记为 α⊥β . • (2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 ，那么这两个平面互相垂直．
• (3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
(3)[解] 因为 PA＝AB＝AD＝2，所以 PB＝PD＝BD＝ 2 2，
• (1)[证明] ∵AC＝BC，M为AB的中点， • ∴CM⊥AB. • ∵PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC， • ∴PA⊥CM. • ∵AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB， • ∴CM⊥平面PAB. • ∵CM⊂平面PCM， • ∴平面PAB⊥平面PCM.
• (2)[ 证 明 ] 由 (1) 知 CM⊥ 平 面 PAB.∵PM⊂ 平 面 PAB ， ∴CM⊥PM. • ∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC， • ∴PA⊥AC. • 取PC的中点N，连接MN、AN. • 在Rt△PAC中，点N为斜边PC的中点， • ∴AN＝PN＝NC. • 在Rt△PMC中，点N为斜边PC的中点， • ∴MN＝PN＝NC. • ∴PN＝NC＝AN＝MN. • ∴点N是球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心．
高三数学 第7章第5节 直线、平面垂直的判定及其性质
第五节直线、平面垂直的判定及其性质[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.(3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角的范围是0°≤θ≤180°.4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α[常用结论]1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．故选B.]3．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA[∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]4．如图所示，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．4[∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC，则△P AB，△P AC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，从而BC⊥PC.因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．a[如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角．即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝22a，∴A′C＝a22＋a22＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.]直线与平面垂直的判定与性质【例1】(·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB ＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．[解](1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC，OB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，OP⊂平面POM，OM⊂平面POM，OP∩OM＝O，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，∠ACB＝45°.所以OM＝253，CH＝OC·MC·sin∠ACBOM＝455.所以点C到平面POM的距离为45 5.►考法2直线与平面垂直的性质【例2】(·江苏高考)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.[证明](1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.[规律方法] 1.证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．2．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系．(2)利用等腰三角形底边中线的性质．(3)利用勾股定理的逆定理．(4)利用直线与平面垂直的性质．如图所示，在四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥PABCD中，∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.面面垂直的判定与性质【例3】(·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM ＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝23DA，求三棱锥QABP的体积．[解](1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.又BA⊥AD，且AC⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2.又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2. 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE 13DC .由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin 45°＝1.[规律方法] 证明面面垂直的2种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决，注意：三种垂直关系的转化(·江苏高考)在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ；(2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[证明] (1)在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C .(2)在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.垂直关系中的存在性问题【例4】AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)在线段PC上是否存在一点M，使得AC⊥BM，若存在求PMMC的值，并说明理由．[解](1)由题设AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC ＝1 2·AB·AC·sin 60°＝32.由P A⊥平面ABC，可知P A是三棱锥PABC的高，又P A＝1，所以三棱锥PABC的体积V＝13·S△ABC·P A＝36.(2)在线段PC上存在一点M，使得AC⊥BM，此时PM MC＝13.证明如下：如图，在平面P AC 内，过点M 作MN ∥P A 交AC 于N ，连接BN ，BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ， 所以MN ⊥AC .由MN ∥P A 知AN NC ＝PM MC ＝13. 所以AN ＝12，在△ABN 中，BN 2＝AB 2＋AN 2－2AB ·AN cos ∠BAC ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1×12×12＝34，所以AN 2＋BN 2＝AB 2， 即AC ⊥BN .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN . 所以AC ⊥BM .[规律方法] 1.对命题条件探索性的主要途径： (1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性. 2.平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，DC ＝2AB ＝2，DA ＝ 3.(1)线段BC 上是否存在一点E ，使平面PBC ⊥平面PDE ？若存在，请给出BE CE 的值，并进行证明；若不存在，请说明理由． (2)若PD ＝3，线段PC 上有一点F ，且PC ＝3PF ，求三棱锥A FBD 的体积．[解] (1)存在线段BC 的中点E ，使平面PBC ⊥平面PDE ，即BE CE ＝1.证明如下： 连接DE ，PE ，∵∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝1，DA ＝3，∴BD ＝DC ＝2， ∵E 为BC 的中点，∴BC ⊥DE ，∵PD ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥PD ，∵DE ∩PD ＝D ，∴BC ⊥平面PDE ，∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PDE .(2)∵PD ⊥平面ABCD ，且PC ＝3PF ，∴点F 到平面ABCD 的距离为23PD ＝233，∴三棱锥A FBD 的体积V A FBD ＝V F ABD ＝13×S △ABD ×233＝13×12×1×3×233＝13.平面图形的翻折问题【例5】 如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.图1图2(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为362，求a的值．[解](1)证明：在题图1中，连接EC(图略)，因为AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC.即在题图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.即A1O是四棱锥A1BCDE的高．由题图1知，A1O＝AO＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1BCDE的体积为V＝13S·A1O＝13×a2×22a＝26a3.由26a3＝362，得a＝6.[规律方法]平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.(·鄂州模拟)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝3，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上，且EF ∥BC ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角P EF B 的大小为60°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)当点E 为线段AB 的靠近B 点的三等分点时，求四棱锥P EBCF 的侧面积．[解] (1)证明：在Rt △ABC 中，∵AB ＝BC ＝3，∴BC ⊥AB .∵EF ∥BC ，∴EF ⊥AB ，翻折后垂直关系没变，仍有EF ⊥PE ，EF ⊥BE ， ∴EF ⊥平面PBE ，∴EF ⊥PB .(2)∵EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，∴∠PEB 是二面角P EF B 的平面角，∴∠PEB ＝60°，又PE ＝2，BE ＝1，由余弦定理得PB ＝3，∴PB 2＋BE 2＝PE 2，∴PB ⊥BE ，∴PB ，BC ，BE 两两垂直，又EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，∴△PBE ，△PBC ，△PEF 均为直角三角形．由△AEF ∽△ABC 可得，EF ＝23BC ＝2，S △PBC ＝12BC ·PB ＝332，S △PBE ＝12PB ·BE ＝32，S △PEF ＝12EF ·PE ＝2.在四边形BCFE 中，过点F 作BC 的垂线，垂足为H (图略)，则FC 2＝FH 2＋HC 2＝BE 2＋(BC －EF )2＝2，∴FC ＝ 2.在△PFC 中，FC ＝2，PC ＝BC 2＋PB 2＝23，PF ＝PE 2＋EF 2＝22，由余弦定理可得cos ∠PFC ＝PF 2＋FC 2－PC 22PF ·FC ＝－14，则sin ∠PFC ＝154，S △PFC ＝12PF ·FC sin ∠PFC ＝152.∴四棱锥P EBCF 的侧面积为S △PBC ＋S △PBE ＋S △PEF ＋S △PFC ＝2＋23＋152.1．(·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧︵CD所在平面垂直，M是︵CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．[解](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为︵CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：如图，连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.2．(·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°。
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答案：C
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研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练
3．(2013年济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC- 1B1C1中，∠BAC A
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[证明] 证法一 取 CD 的中点 E，连接 NE，ME，MC、PM. PA⊥平面 ABCD⇒PA⊥AD， ∠PDA＝45° ⇒PA＝AD＝BC， 又 M 是 AB 的中点， Rt△PAM≌Rt△CBM ⇒MP＝MC ⇒MN⊥PC. N是PC的中点
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∴四边形AFNM为平行四边形， ∴MN∥AF.
∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD. ∵AF⊂平面PAD， ∴CD⊥AF. 又∵△PAD为正三角形，且F为PD的中点， ∴AF⊥PD. 又PD∩CD＝D， ∴AF⊥平面PCD.
2．(2013 年青岛模拟)设 b，c 表示两条不重合的直线，α，β 表示两 个不同的平面，则下列命题是真命题的是( b⊂α ⇒b∥c A. c∥α c∥α ⇒α⊥β C. c⊥β b⊂α ⇒c∥α B. b∥c c∥α ⇒c⊥β D. α⊥β )
解析：选项A中的条件不能确定b∥c；选项B中条件的描述也包含
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第五节
直线、平面垂直的判定与性质
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(1)求证：平面DEG⊥平面CFG； (2)求多面体CDEFG的体积．
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[解析] (1)证明：因为 DE⊥EF， CF⊥EF，所以四边形 CDEF 为矩形． 由 GD＝5，DE＝4，得 GE＝ GD2－DE2＝3. 由 GC＝4 2，CF＝4，得 FG＝ GC2－CF2＝4， 所以 EF＝5. 在△EFG 中，有 EF2＝GE2＋FG2， 所以 EG⊥GF. 又因为 CF⊥EF，CF⊥FG，所以 CF⊥平面 EFG. 所以 CF⊥EG，所以 EG⊥平面 CFG. 又 EG⊂平面 DEG，所以平面 DEG⊥平面 CFG.
1．(2012 年高考课标全国卷)如图，在三棱柱 ABC- 1B1C1 中，侧棱 A 1 垂直底面，∠ACB＝90° ，AC＝BC＝ AA1，D 是棱 AA1 的中点． 2 (1)证明：平面 BDC1⊥平面 BDC； (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
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5．(课本习题改编)如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD ＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有____________．(填序
号)
①平面ABC⊥平面ABD； ②平面ABD⊥平面BCD； ③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE； ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE. 解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有 DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平 面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正
又∵AF∥MN， ∴MN⊥平面 PCD.
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解析：∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.
又∵∠ACB＝90°，∴CB⊥AC. ∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.
∴△PAC，△PAB，△ABC，△PBC都是直角三角形．
答案：4
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1．(课本习题改编)给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两条直线相互平行； ②垂直于同一平面的两个平面相互平行；
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个
三、平面与平面垂直
1．定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面 垂直 ，又这两个平面与
互相垂直 第三个平面相交所得的两条交线
直． 2．平面与平面垂直的判定与性质
，就称这两个平面互相垂
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解析：(1)证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所 以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°， 即DC1⊥DC. 又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC. 又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
又∵CD 綊 AB，
1 ∴FN 綊2AB，即 FN 綊 AM，
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∴四边形 AFNM 为平行四边形， ∴MN∥AF. ∵PA⊥平面 ABCD 且∠PDA＝45° ， ∴△PAD 为等腰直角三角形， ∴AF⊥PD. 又∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A， ∴CD⊥平面 PAD. 又 AF⊂平面 PAD， ∴CD⊥AF. 又 PD∩CD＝D， ∴AF⊥平面 PCD.
PA⊥CD AD⊥CD ⇒CD⊥平面 PAD PA∩AD＝A ⇒CD⊥PD PD∥NE
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⇒CD⊥NE ⇒CD⊥平面MNE ME⊥CD MN⊂平面MNE ME∩NE＝E ⇒MN⊥CD MN⊥PC ⇒MN⊥平面 PCD. PC∩CD＝C 证法二 如图，取 PD 的中点 F，连接 AF，NF. ∵F，N 分别为 PD，PC 的中点， 1 ∴FN 綊 CD. 2
∴MN⊥平面PCD，
即直线MN与平面PCD仍然垂直．
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考向二
平面与平面垂直的判定与性质
[例 2] (2012 年高考江西卷)如图所示， 在梯形 ABCD 中， AB∥CD， E、F 是线段 AB 上的两点，且 DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5， BC＝4 2，DE＝4.现将△ADE，△CFB 分别沿 DE，CF 折起，使 A，B 两点重合于点 G，得到多面体 CDEFG.
若 将 本 例 条 件 改 为 “ △ PAD 为 正 三 角 形 ， 且 平 面 PAD⊥ 平 面 ABCD，四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点”，试问
直线MN与平面PCD是否仍然垂直？
解析：如图，取PD的中点为F，连接AF，NF. ∵F，N分别是PD，PC的中点，
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一、两条直线互相垂直
定义：如果两条直线相交于一点或 经过平移后 相交于一点，并且 交角为 直角 ，则称这两条直线互相垂直．
二、直线与平面垂直
1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内 过交点(O)的 任何 直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直．
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确．
答案：③
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