第二章 数列 过关测试卷(人教A版必修5)

第二章 数列 过关测试卷
（100分，45分钟）
一、选择题（每题6分，共48分）
1.等差数列a 1,a 2,a 3,…, a n 的公差为d ，则数列ca 1,ca 2,…,ca n (c 为常数，且c ≠0)是（ ）
A.公差为d 的等差数列
B.公差为cd 的等差数列
C.非等差数列
D.以上都不对
2.已知等比数列{a n }的前三项依次为1-a ,1+a ,4+a ,则n a 等于( )
A. n
⎪⎭⎫ ⎝⎛∙324 B. n ⎪⎭⎫ ⎝⎛∙234 C. 1
324-⎪⎭
⎫ ⎝⎛∙n D. 1234-⎪⎭⎫ ⎝⎛∙n 3.等比数列{a n }的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n }的首项为（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8 4.〈山东〉已知等比数列{a n }满足a 1=3,且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则数列{a n }的公比等于（ ）
A.1
B. 1-
C. 2-
D.2 5.〈江西模拟〉若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，且3
2613π
=S ,则tan a 7的值为（ ）
A. 3
B. 3-
C. 3±
D. 3
3
-
6.〈郑州模拟〉已知各项均不为0的等差数列{a n }满足022112
73=+-a a a ,
数列{b n }为等比数列，且b 7=a 7,则b 6b 8等于( )
A.2
B.4
C.8
D.16
7.〈全国Ⅰ理〉设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若21-=-m S ,S m =0,S m +1=3,则m 等于( )
A.3
B.4
C.5
D.6 8.各项都是实数的等比数列{a n }，前n 项和记为S n ,若S 10=10,S 30=70,则S 40等于（ ）
A.150
B. 200-
C.150或200-
D.400或50- 二、填空题（每题5分，共15分）
9.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列.若a 1=1,则S 4= .
10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=1,S 5=10,则S 7= .
11.〈新定义题〉若数列{a n }满足
k a a a a n
n n n =-+++1
12(k 为常数)，则称{a n }为等比差数列，k 叫做公比差.已知{a n }是以2为公比差的等比差数列，其中a 1=1,a 2=2,则a 5= .
三、解答题（12题10分，13题12分，14题15分，共37分）
12.〈全国大纲理〉等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知2
23S a =,且S 1, S 2,
S 4成等比数列，求{a n }的通项公式.
13.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +1=2S n +1 (n ∈N *),等差数列{b n }满足b 3=3,b 5=9.
（1）分别求数列{a n },{b n }的通项公式; （2）设2
2++=n n n a b c (n ∈N*),求证c n +1＜c n ≤31
.
14.〈河南期中考〉已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且()n n S n a +=32
1
对一切正整数n 成立.
（1）求出数列{a n }的通项公式;
（2）设n n a n b 3
=,求数列{b n }的前n 项和B n .
参考答案及点拨
一、1.B 点拨：∵01≠=--c d a a n n ，,∴()cd a a c ca ca n n n n =-=---11 (常数),∴数列{ca n }是公差为cd 的等差数列.
2.D 点拨：由等比数列性质可得()()()4112+-=+a a a ,解得a =5.
∴231515=-+=q ,∴a n =1
23·4-⎪⎭
⎫ ⎝⎛n . 3.C 点拨：由()60424=+-a a S 得6031=+a a ,∴33
14
2=++=
a a a a q ,又60·21131=+=+q a a a a ,∴a 1=6.
4.D 点拨：设等比数列的公比为q (q ≠0)，因为4a 1,2a 2,a 3成等差数列，所以4a 1+a 1q 2=4a 1q ,即0442=+-q q ,解得q =2.
5.B 点拨：由等差数列前n 项和的性质得32613713π==a S ,则3
27π
=a ,从而33
2tan
tan 7-==π
a . 6.D 点拨：因为{a n }是等差数列，所以a 3+a 11=2a 7,所以已知等式可化
为042
77=-a a ,解得a 7=4或a 7=0（舍去）
，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8=27b =16.
7.C 点拨：∵{a n }是等差数列,21-=-m S ,0=m S ,∴21=-=-m m m S S a . ∵S m +1=3,∴311=-=++m m m S S a ,∴11=-=+m m a a d . 又02
)
2(2)(11=+=+=
a m a a m S m m ,∴21-=a ,∴21·)1(2=-+-=m a m ,∴m =5. 8.A 点拨：用性质：S m +n =S m +q m S n . 由
S m +n =S m +q m S n ,得
S 30=S 20+q 20S 10=S 10+q 10S 10+q 20S 10，从而有
061020=-+q q ,∴q 10=2(310-=q 舍去).∴S 40=S 30+q 30S 10=70+23×10=150.故选A.
二、9.15 点拨：设{a n }的公比为q (q ≠0).∵4a 1，2a 2，a 3成等差数列，∴4a 1+a 3=4a 2，即4a 1+a 1q 2=4a 1q ,∴0442=+-q q ,解得q =2,
∴()
152
12114
4=--⨯=
S . 10.21 点拨：设{a n }的公差为d ,由题意知()⎪⎩
⎪
⎨⎧=-⨯+=+.1021555,111d a d a 解得
⎩⎨
⎧==.
0,11a d 故()212177717=-⨯+=d a S . 11.384 点拨：由
21
223=-a a a a 得83=a , 由22
3
34=-
a a a a 得484=a ,由23445=-a a a a 得3845=a . 三、12.解：设{a n }的公差为d .由2
23a S =,得2223a a =,故02=a 或
32=a .
由S 1，S 2，S 4成等比数列得412
2
S S S =, 又
d
a S -=21，
d
a S -=222,
d
a S 2424+=，故
()()()d a d a d a 2422222+-=-.
若a 2=0，则2
22d d -=,所以d =0,此时S n =0,不合题意；
若a 2=3,则()()()d d d 212362+-=-,解得d =0或d =2. 因此{a n }的通项公式为a n =3或12-=n a n . 13.（1）解：由a n +1=2S n +1 ①得121+=-n n S a ②, ①－②得()112-+-=-n n n n S S a a ,∴a n +1=3a n .
∴13-=n n a .∵6235==-d b b ,∴d =3，∴63-=n b n . （2）证明：因为a n +2=3
n +1
,b n +2=3n ，所以n n n n
n c 3
331==
+，
所以c n +103
211
<-=
-+n n n c ，所以c n +1＜c n ＜…＜31
1=c ， 所以c n +1＜c n ≤3
1
.
14.解析：对于（1）可以利用a n ，S n 的关系来得出数列{a n +3}是一个等比数列求出.对于(2)可以利用错位相减法. 解：（1）由已知得n a S n n 32-=,
()13211+-=++n a S n n ,两式相减并整理得：a n +1=2a n +3，
所以3+a n +1=2(3+a n ),又32111-==a S a ,∴a 1=3,可知3+a 1=6≠0,进而可知a n +3≠0，所以
2331
=+++n
n a a ,故数列{3+a n }是首项为6，公比为2的等比数列，所以3+a n =3×2n ,即()123-=n n a . （2）n n n b n n n -=-=2)12(,
设T n =1×2+2×22+3×23+…+n ×2n （1）， 则2T n =1×22+2×23+…+（n －1）2n +n ×2n +1（2）， 由（2）－（1）得
T n ()()111
1
3
2
21222
1222
2222++++-+=+---=+++++-=n n n n n
n n n .
∴()()2
)
1(2123211
+-
-+=++++-=+n n n n T B n n n .。