高中数学《2.5平面向量应用举例一》 新人教A版必修3

2．用向量方法解决平面几何问题的三步曲： 第一步，建立平面几何与向量的联系，用 向量 表示问题 中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 向量 问题； 第二步，通过 向量 运算，研究几何元素之间的关系； 第三步，把 运算结果 “翻译”成几何关系．
[破疑点] 平面几何中的向量方法有： (1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等；求线段 的长，转化为求向量的模． (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量平行． (3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直．
[答案] C
2．有四个式子：(1)0a＝0；(2)0·a＝0；(3)0－
→ AB
＝
→ BA
；
(4)|a·b|＝|a||b|，其中正确的个数为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
[答案] B
3．已知a＝(5,10)，b＝(－3，－4)，c＝(2,3)，且c＝la＋ kb，则l＝________，k＝________.
[解析] (1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分 别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)， B(n,0)．
∵D为AB的中点， ∴D(n2，m2 )， ∴|C→D|＝12 n2＋m2，|A→B|＝ m2＋n2， ∴|C→D|＝12|A→B|，即CD＝12AB.
(2)∵E为CD的中点，∴E( n4
[答案]
1 10
－12
新课引入 任何一种工具的发明，都是为了方便解决问题．蒸汽机 的发明推动了工业革命，极大地解放了生产力，促进了社会 经济的发展，而网络的发明与发展则促进了全球化的发展和 地球村的形成．
向量作为一种工具，它的发明也具有重大的意义，那么 它的应用具体体现在哪些方面呢？
自主预习 阅读教材P109－112回答下列问题． 1．由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背 景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长 度、夹角等都可以由向量的线性运算及 数量积 表示出来，因 此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．
，
m 4
)，设F(x,0)，则
→ AE
＝(
n 4
，
－34m)，A→F＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴A→F＝λA→E.
即(x，－m)＝λ(n4，－34m)．
∴x－＝mn4＝λ －34mλ
，故λ＝43，即x＝n3，∴F(n3，0)．
∴|A→F|＝13 n2＋9m2，即AF＝13 n2＋9m2.
则由已知cos<p，q>＝ x2＋axy＋2 bay2＋b2＝±1，∴<p，q>＝0 或π.
即p∥q，∴bx－ay＝0，即ax＝by.
求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
[证明] 设O→A＝(a，b)，O→B＝(c，d)． 当O→A、O→B至少有一个为零向量时，所证不等式成立； 当O→A、O→B均不是零向量时，设其夹角为α，则有
已知△ABC的三边分别为a、b、c，试用向量的方法证 明：a＝b cosC＋c cosB.
命题方向 平面向量的综合应用
[例3]
设(x2＋y2)(a2＋b2)＝(ax＋by)2(ab≠0)，求证：
x a
＝by.
[分析] 化简已知条件，计算量较大，可根据向量的有
关运算性质，构造向量，化繁为简．
[证明] 若x＝y＝0，则结论显然成立．若x，y不全为0， 设p＝(x，y)，q＝(a，b)．
本例中a2＋b2，c2＋d2与向量的模有联系，而ac＋bd与向 量的数量积有联系，故可尝试能否设出向量来表示．
随堂应用练习
1．若向量
→ OF1
＝(1,1)，
→ OF2
＝(－3，－2)分别表示两个力
→F1，→F2，则|→F1＋→F2|为(
)
A．(5,0)
(2)向量的坐标运算法： 建立适当的平面直角坐标系 ―→ 把相关向量坐标化 ―→ 向量的坐标运算找相应关系 ―→ 把向量问题几何化 [特别提醒] 灵活运用几何法和坐标法，用几何法注意基 底的选取，用坐标法注意坐标原点的选取．
[例1] 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n. (1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝12AB； (2)若E为CD的中点，连结AE并延长交BC于F，求AF的长 度(用m，n表示)． [分析] 由题目知此三角形是以∠C为直角的直角三角 形，AC＝m，BC＝n，解答本题可先以C为坐标原点建立直角 坐标系，将有关向量坐标化，再利用向量共线，向量模的计 算等知识解答．
[证明] 如图所示，设A→B＝a，A→C＝b.
在△ABC中，B→C＝A→C－A→B＝b－a， 又A→D＝12A→B，A→E＝12A→C， 则在△ADE中，D→E＝A→E－A→D＝12A→C－12A→B＝12(b－a)，所 以D→E＝12B→C.
所以DE∥BC，DE＝12BC.
思路方法技巧
命题方向 向量在平面几何中的应用 向量证明几何问题的思路 用向量证明平面几何问题的方法．常见有两种思路 (1)向量的线性运算法： 选取基底 ―→ 把待证问题用基底线性表示 ―→ 利用向量的线性运算或数量积找相应关系 ―→ 把向量问题几何化
→→Βιβλιοθήκη cosα＝OA·OB →→
＝
|OA|·|OB|
a2＋acb＋2·bcd2＋d2，
∵|cosα|≤1，∴
a2＋acb＋2·bcd2＋d2≤1，
即(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
规律总结：待解决的代数、几何、三角、物理等问题， 只要其表达式能用向量运算来表示，就可以考虑使用向量方 法去试着解决．
(4)几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题． (5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问 题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面 直角坐标系，通过向量的坐标运算解决平面几何问题．
在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
用向量法证明DE∥BC，DE＝12BC.
高一·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
平面向量
第二章
2．5 平面向量应用举例
第一课时
课前自主预习 思路方法技巧
随堂应用练习 课后强化作业
课前自主预习
温故知新
1．若a＝(1,2)，b＝(x,1)，且a＋2b与2a－b平行，则x等于
()
A．2
B．1
1 C.2
1 D.3