精品2019学年高中数学学业分层测评含解析北师大版选修20
2019-2020学年度最新高中数学学业分层测评11含解析北师大版选修2_1
则cos 〈m，b〉＝＝＝，
sin 〈m，b〉＝.
∴l与α所成角的余弦值为.
【答案】
7．正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是________．
【导学号：32550048】
图2 5 7
A．30°B．45°
C．60°D．90°
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设D1C1＝a，C1B1＝b，C1C＝c.
则D1(0,0,0)，A(0，b，c)，D(0,0，c)，C(a,0，c)，M，N.
则＝，＝.
∵∠CMN＝90°，∴·＝0.
即b2－c2＝0，即b2＝c2.
∴·＝(0，－b，－c)·
A，C，E，
∴＝，＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为.
【答案】 B
3．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为( )
A．75°B．60°
C．45°D．30°
【解析】 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，从而＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)．设平面ABC与平面PCD的法向量分别为n1，n2，取n1＝＝(0,0,1)．
图2 5 9
A.B．
C.D．
【解析】 设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
高中数学学业分层测评20含解析北师大版选修2_1
学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解析】 点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，即点P 到直线x ＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，符合抛物线的定义，故点P 的轨迹是抛物线．【答案】 D2．已知双曲线方程为x 2－y24＝1，过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点，则共有L ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．【答案】 B3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 【解析】 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2， 所以y 2－2py －p 2＝0，所以y1＋y22＝p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.【答案】 B4．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由2x 2－y 2＝2得x 2－y22＝1，∴a 2＝1，b 2＝2，当直线l 与两支相交时需|AB |≥2a ＝2.由|AB |＝4可得直线l 有两条；当直线l 只与右支相交时，需|AB |≥2b2a＝4，由|AB |＝4可得直线l 只有1条．综上，符合题意的直线l 共有3条．【答案】 C5．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54B ．5 C.52 D ． 5【解析】 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，这条直线与抛物线y ＝x 2＋1相切，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y ＝x2＋1，整理得x 2－kx ＋1＝0，则Δ＝k 2－4＝0，解得k ＝±2，即b a＝2，故双曲线的离心率e ＝c a ＝a2＋b2a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 【答案】 D二、填空题 6．直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为________．【解析】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋4，x2－y2＝1，消去y 得x 2－(x ＋4)2＝1，则x ＝－178，代入y ＝x ＋4得y ＝158. 故直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，158. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，158 7．已知直线l 过点P (0,2)且与椭圆x 2＋2y 2＝2只有一个公共点，则直线l 的方程为____________．【导学号：32550096】【解析】 当直线l 斜率不存在时，方程为x ＝0，与椭圆x 2＋2y 2＝2有两个公共点，舍去；。
2019—2020年北师大版高中数学选修1-2全册学业分层测评4及解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．执行如图218的程度框图，如果输入的N ＝100，则输出的X ＝( )图218A ．0.95B ．0.98C ．0.99D ．1.00 【解析】 由程序框图知，输出X ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫199－1100＝99100＝0.99. 【答案】 C2．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则正确的是( )A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→bC．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e【解析】依题意知发送电子邮件的步骤应是：a→e→b→c→d→f.【答案】 C3．如图219，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是( )图219A．26 B．24C．20 D．19【解析】由A→B有4条路线，4条路线单位时间内传递的最大信息量为6＋8＋12＝26.【答案】 A4．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用5分钟，收拾床褥用4分钟，听广播用15分钟，吃早饭用8分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为( )A ．17分钟B ．19分钟C ．23分钟D ．27分钟【解析】 把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭，共用5＋4＋8＝17(分钟)．【答案】 A5．执行下面的程序框图2110，若输入的a ，b ，k 分别为1,2,3，则输出的M ＝( )图2110A ．203B ．165C ．72D ．158【解析】 当n ＝1时，M ＝1＋12＝32，a ＝2，b ＝32；当n ＝2时，M ＝2＋23＝83，a ＝32，b ＝83；当n＝3时，M＝32＋38＝158，a＝83，b＝158；n＝4时，终止循环．输出M＝15 8.【答案】 D 二、填空题6．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的面积为S＝πab，当a＝4，b＝2时，计算椭圆面积的流程图如图2111所示，则空白处应为________.图2111【解析】由S＝πab知，需要输入a，b的值，由已知a＝4，b＝2，而且用的是框，故为赋值．【答案】a＝4，b＝27．如图2112是计算1＋13＋15＋…＋199的程序框图，判断框中应填的内容是________，处理框中应填的内容是________.图2112【解析】用i来表示计数变量，故判断框内为“i>99？”，处理框内为“i＝i ＋2”．【答案】i>99？i＝i＋28．执行如图2113所示的程序框图，若输入n＝3，则输出T＝________.图2113【解析】初始值：i＝0，S＝0，T＝0，n＝3，①i＝1，S＝1，T＝1；②i＝2，S＝3；T＝4；③i＝3，S＝6，T＝10；④i＝4，S＝10，T＝20，由于此时4≤3不成立，停止循环，输出T＝20.【答案】20三、解答题9．设计一个计算1＋2＋…＋100的值的程序框图．【解】程序框图设计如下：10．数学建模过程的流程图如图2114.图2114根据这个流程图，说明数学建模的过程．【解】数学建模的过程：根据实际情境提出问题，从而建立数学模型得出数学结果，然后检验是否合乎实际，如果不合乎实际，进行修改后重新提出问题．如果合乎实际，则成为可用的结果．[能力提升]1．某工厂加工某种零件的工序流程图如图2115：图2115按照这个工序流程图，一件成品至少经过几道加工和检验程序( )A．3 B．4C．5 D．6【解析】由流程图可知加工零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工，每道工序完成都要对产品进行检验，粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工；返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合格品为成品，不合格品为废品．由上可知一件成品至少要经过粗加工、检验、精加工、最后检验四道程序．【答案】 B2．执行两次如图2116所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )图2116A．0.2,0.2 B．0.2,0.8C．0.8,0.2 D．0.8,0.8【解析】第一次：a＝－1.2<0，a＝－1.2＋1＝－0.2，－0.2<0，a＝－0.2＋1＝0.8>0，a＝0.8≥1不成立，输出0.8.第二次：a＝1.2<0不成立，a＝1.2≥1成立，a＝1.2－1＝0.2≥1不成立，输出0.2.【答案】 C3．如图2117所示算法程序框图中，令a＝tan 315°，b＝sin 315°，c＝cos 315°，则输出结果为________.图2117【解析】程序框图的算法是求出a，b，c三个数中的最大值．对于tan 315°＝－1，sin 315°＝－22，cos 315°＝22，故输出的结果为22.【答案】2 24．栽种一棵梧桐树，其种树过程是：(1)取树苗；(2)挖直径1米，深1.5米的树坑；(3)将树苗放至树坑中央；(4)向树坑中培土到树坑边，离边缘0.2米；(5)向树坑中浇水；(6)判断水是否浇透，若水未浇透，则转(5)；否则转(7)；(7)栽种完毕．试画出该过程的流程图．【解】流程图如图所示．。
2019-2020学年高二数学北师大版选修1-2学业分层测评10 Word版含答案
学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a ，b ∈R ，则1a3>1b3成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0 B ．b >aC ．a <b <0D ．ab (a －b )<0【解析】 由a <b <0⇒a 3<b 3<0⇒1a3>1b3，但1a3>1b3不能推出a <b <0， ∴a <b <0是1a3>1b3成立的一个充分不必要条件． 【答案】 C2．求证：7－1>11－5. 证明：要证7－1>11－5， 只需证7＋5>11＋1， 即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11， ∵35>11，∴原不等式成立．以上证明应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法与综合法配合使用D ．间接证法【解析】 该证明方法符合分析法的定义，故选A.【答案】 A3．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a4＋b42≤0 C.错误!－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明(a 2－1)＋b 2(1－a 2)≤0，只要证明(a 2－1)(1－b 2)≤0，即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D4．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2【解析】 由余弦定理得cos A ＝b2＋c2－a22bc <0，∴b 2＋c 2－a 2<0，即b 2＋c 2<a 2.【答案】 C5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b2－ac <3a ”，索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0【解析】 由题意知b2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2⇐b 2＋a (a ＋b )<3a 2⇐b 2＋a 2＋ab <3a 2⇐b 2＋ab <2a 2⇐2a 2－ab －b 2>0⇐a 2－ab ＋a 2－b 2>0⇐a (a －b )＋(a ＋b )(a －b )>0⇐a (a －b )－c (a －b )>0⇐(a －b )(a －c )>0，故选C.【答案】 C二、填空题6．设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b (a >0，b >0)，则A ，B 的大小关系为________．【解析】∵A－B＝a＋b2ab－2a＋b＝错误!＝错误!≥0，∴A≥B.【答案】A≥B7．如果a a>b b，则实数a，b应满足的条件是________．【解析】要使a a>b b成立，只需(a a)2>(b b)2，只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.【答案】a>b>08．如图3-3-7，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C.(写出一个条件即可)图3-3-7【解析】要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.【答案】AC⊥BD(或底面为菱形)三、解答题9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.【证明】法一：分析法要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需证a2－ab＋b2>ab成立，只需证a2－2ab＋b2>0成立，即需证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，由此命题得证．法二：综合法a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.10．已知三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积为S ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥43S . 【证明】 要证a 2＋b 2＋c 2≥43S ，只要证a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C )≥23ab sin C ， 即证a 2＋b 2≥2ab sin(C ＋30°)，因为2ab sin(C ＋30°)≤2ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，显然上式成立，所以a 2＋b 2＋c 2≥43S .[能力提升]1．已知a ，b ，c ，d 为正实数，且a b <c d，则( ) A.a b <a ＋c b ＋d <c dB.a ＋c b ＋d <a b <c dC.a b <c d <a ＋c b ＋d D ．以上均可能【解析】 先取特殊值检验，∵a b <c d， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2，则a ＋c b ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <c d. ∴B ，C 不正确．要证a b <a ＋c b ＋d，∵a ，b ，c ，d 为正实数， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc .只需证a b <c d ，而a b <c d 成立，∴ab<a＋cb＋d.同理可证a＋cb＋d<cd.故A正确，D不正确．【答案】 A2．下列不等式不成立的是( )A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.a＋b>a＋b(a>0，b>0)C.a－a－1<a－2－a－3(a≥3)D.2＋10>26【解析】对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对于B，∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(a＋b)2＝a＋b，∴a＋b>a＋b；对于C，要证a－a－1<a－2－a－3(a≥3)成立，只需证明a＋a－3<a－2＋a－1，两边平方得2a－3＋2错误!<2a－3＋2错误!，即错误!<错误!，两边平方得a2－3a<a2－3a＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10<26，故D 错误．【答案】 D3．使不等式3＋22>1＋p成立的正整数p的最大值是________．【解析】由3＋22>1＋p，得p<3＋22－1，即p<(3＋22－1)2，所以p<12＋46－42－23，由于12＋46－42－23≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.【答案】124．已知a，b，c是不全相等的正数，且0<x<1，求证：log x a＋b2＋log xb＋c2＋log xa＋c2<log x a＋log x b＋log x c.【证明】 要证明log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )， 而已知0<x <1，故只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . ∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a2b2c2＝abc ，即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立， ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．。
2019-2020高中数学学业分层测评2含解析北师大版选修2_1
∴sinα＝ 的一个充分条件可以是α＝ .
【答案】
7．已知“x＞k”是“ ＜1”的充分条件，则k的取值范围是________．
【导学号：32550004】
【解析】解不等式 ＜1得，x＜－1或x＞2，
∵x＞k⇒x＞2或x＜－1∴k≥2.
【答案】[2，＋∞)
8．已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．若p是綈q的充分条件，则实数m的取值范围是________．
所以 解得a＞2，
则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，即(－∞，2]．
【解析】x＞1⇒1－ ＞0，故选A.
【答案】A
2．设a，b为向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的
( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】∵a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a||b|，
∴cos 〈a，b〉＝1，
∴〈a，b〉＝0，
∴a·b＝|a||b|⇒a∥b.
【答案】A
3．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】ab≠0，即 ，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.
【答案】C
4．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是
所以p是q的充分条件，p是q的不必要条件．
(3)由于p：a是整数 q：a是自然数，
p：a是整数⇐q：a是自然数，
2019-2020学年高中数学北师大版选修2-2练习：学业分层测评14 Word版含答案
学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)一、选择题1.函数f (x )＝x 3－3x (x <1)( )A.有最大值，无最小值B.有最大值、最小值C.无最大值、最小值D.无最大值，有最小值【解析】 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1(舍).当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0.从而函数f (x )有最大值，无最小值，故选A.【答案】 A2.一物体沿直线运动的方程为s (t )＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为0的时刻为(s 单位：m ，t 单位：s)( )A.1 sB.0 sC.4 sD.0 s ，1 s ，4 s 【解析】 s ′(t )＝t 3－5t 2＋4t ，根据导数的意义可知v ＝s ′(t )，令t 3－5t 2＋4t ＝0，解得t ＝0或t＝1或t ＝4.【答案】 D3.函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围为( )A.0≤a <1B.0<a <1C.－1<a <1D.0<a <12 【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，则f ′(x )＝0有解，可得a ＝x 2.又∵x ∈(0，1)，∴0<a <1.故选B.【答案】 B4.已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.m ≥32B.m >32C.m ≤32D.m <32 【解析】 令f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0，得x ＝0或x ＝3.经检验，知x ＝3是函数的最小值点，所以函数f (x )的最小值为f (3)＝3m －272.因为不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32，故选A.【答案】 A5.做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )A.6 mB.8 mC.4 mD.2 m【解析】 设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0，得x ＝8， 因此h ＝25664＝4(m). 【答案】 C二、填空题6.当x ∈时，函数f (x )＝x2ex的值域是__________.【导学号：94210065】 【解析】 ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x2ex ′＝2x·ex－x2·ex （ex ）2＝2x －x2ex，x ∈. 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去).∵f (－1)＝e ，f (0)＝0，f (1)＝1e ，∴函数f (x )＝x2ex ，x ∈的值域为.【答案】7.若函数f (x )＝x x2＋a(a >0)在 1.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q 与零售价p 有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A.30元B.60元C.28 000元D.23 000元 【解析】 设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去).此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.【答案】 D2.已知函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x ＋a ，若存在x 0∈，使f (x 0)＝2a 成立，则实数a 的取值范围是( )【导学号：94210066】A.2≤a ≤52B.－232≤a ≤52C.2≤a ≤16D.－232≤a ≤16 【解析】 ∵f (x 0)＝2a ，即x 30－92x 20＋6x 0＋a ＝2a ，可化为x 30－92x 20＋6x 0＝a ，设g (x )＝x 3－92x 2＋6x ，则g ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)＝0，得x ＝1或x ＝2.∴g (1)＝52，g (2)＝2，g (－1)＝－232，g (4)＝16.由题意，g (x )min ≤a ≤g (x )max ，∴－232≤a ≤16.【答案】 D3.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h 时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为__________km/h.【解析】 设轮船的速度为x km/h 时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx 3(k ≠0).因为6＝k ×103，所以k ＝3500，所以Q ＝3500x 3. 所以行驶每千米的费用总和为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3500x3＋96·1x ＝3500x 2＋96x (x >0). 所以y ′＝3250x －96x2.令y ′＝0，解得x ＝20. 因为当x ∈(0，20)时，y ′<0，此时函数单调递减；当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增，所以当x ＝20时，y 取得最小值，即此轮船以20 km/h 的速度行驶时，每千米的费用总和最小.【答案】 204.设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)·(cos x ＋1)，其中α>0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )；(2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .【解】 (1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0).故A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.设t ＝cos x ，则t ∈令g (t )＝2at 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得最小值，最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α>15.①当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|＜|g (1)|，所以A ＝2－3α.②当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)＞g (1)>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α.又⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α＞0，所以A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3α，0＜α≤15，α2＋6α＋18α，15＜α＜1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)·sin x |≤2α＋|α－1|.当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α＜2(2－3α)＝2A . 当15<α＜1时，A ＝α8＋18α＋34>1， 所以|f ′(x )|≤1＋α＜2A .当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A .所以|f ′(x )|≤2A .。
高中数学学业分层测评含解析北师大版选修20
学业分层测评 (十二 )
(建议用时： 45 分钟 ) [学业达标 ]
一、选择题
→
→ 1→
1．正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 a，点 M 在 AC1上且 AM ＝2MC1， N 为 B1B 的中点，
→ 则| MN | 为 ( )
y＝－ z
→
→n
又 AD ＝ ( － 7 ， － 7,7) ， ∴ 点 D 到 平 面 ABC 的 距 离 为 d ＝ AD ·| n| ＝
3× －7 ＋ 2× － 7 － 2× 7 49 49 17
32＋ 22＋ － 2 2
＝＝
.
17 17
49 17
【答案】
17
8．如图 2-6-7 所示，正方体的棱长为 1，E，F， M， N 分别是棱的中点，则平面 A1EF 与平面 B1NMD 1 的距离为 ________．
→
→
∵ AD ＝ (0,2,0)，AP＝ (1,1,2)，
→
→
∴ AD · n＝ 0，且 AP·n＝ 0.
∴ y＝0，x＋y＋ 2z＝ 0，取 z＝ 1，得 n＝(－ 2,0,1)．
→
→
| B1A· n| 6 5
∵ B1A＝ (－ 2,0,2)，∴ B1 到平面 PAD 的距离 d＝ | n|
＝. 5
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
图 2-6-10
A． 6
35 B． 5
65 C. 5
32 D． 2
【解析】 以 A1B1 为 x 轴，A1D 1 为 y 轴，A1A 为 z 轴建立空间直角坐标系， 设平面 PAD 的法向量是 n＝ (x， y， z)，
2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1学业分层测评6 Word版含答案
学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若空间任意两个非零向量a，b，则|a|＝|b|，且a∥b是a＝b的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a＝b⇒|a|＝|b|，且a∥b；所以，必要；当b＝－a时，有|a|＝|b|且a∥b，但a≠b，所以，不充分．故选B.【答案】 B2．下列命题中正确的个数是( )①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．【答案】 C3．如图2-1-3所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90°，则在所有的棱表示的向量中，夹角为90°的共有( )图2-1-3A．3对B．4对C．5对D．6对【解析】 夹角为90°的共有BA →与BD →，BA →与BC →，DB →与DC →，BA →与DC →，DA →与DC →. 【答案】 C4.在如图2-1-4所示的正三棱柱中，与〈AB →，AC →〉相等的是( )图2-1-4A ．〈AB →，BC →〉 B ．〈BC →，CA →〉 C ．〈C1B1→，AC →〉 D ．〈BC →，B1A1→〉【解析】 ∵B1A1→＝BA →，∴〈BA →，BC →〉＝〈AB →，AC →〉＝〈BC →，B1A1→〉＝60°，故选D.【答案】 D5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( ) A.BD → B ．BC1→ C.BD1→D ．A1B →【解析】 ∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1， ∴BD ⊥面ACC 1A 1，故BD →为平面ACC 1A 1的法向量． 【答案】 A 二、填空题6．正四面体S -ABC 中，E ，F 分别为SB ，AB 中点，则〈EF →，AC →〉＝________.【解析】 如图所示，∵E ，F 为中点， ∴EF ∥SA ，而△SAC 为正三角形， ∴∠SAC ＝π3，∴〈EF →，AC →〉＝2π3.【答案】 2π37．下列命题正确的序号是________． ①若a ∥b ，〈b ，c 〉＝π4，则〈a ，c 〉＝π4；②若a ，b 是同一个平面的两个法向量，则a ＝b ； ③若空间向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④异面直线的方向向量不共线．【导学号：32550022】【解析】 ①〈a ，c 〉＝π4或3π4，①错；②a ∥b ，②错；③当b ＝0时，推不出a ∥c ，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对． 【答案】 ④图2-1-58．如图2-1-5，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【解析】 要求异面直线EF 与GH 所成的角就是求〈FE →，GH →〉，因为FE →与BA1→同向共线，GH →与BC1→同向共线，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA1→，BC1→〉，在正方体中△A 1BC 1为等边三角形，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA1→，BC1→〉＝60°.【答案】 60° 三、解答题9.如图2-1-6，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，在以长方体的顶点为起点和终点的向量中，图2-1-6(1)写出所有的单位向量； (2)写出与AB →相等的所有向量； (3)写出与AD →相反的所有向量； (4)写出模为5的所有向量．【解】 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，所以AD 1＝12＋22＝5.(1)单位向量有：AA1→，A1A →，BB1→，B1B →，CC1→，C1C →，DD1→，D1D →. (2)与AB →相等的向量有：DC →，D1C1→，A1B1→. (3)与AD →相反的向量有：DA →，CB →，C1B1→，D1A1→.(4)模为5的向量有：AD1→，A1D →，BC1→，B1C →，D1A →，DA1→，C1B →，CB1→.图2-1-710．如图2-1-7所示，已知正四面体A -BCD . (1)过点A ，作出方向向量为BC →的空间直线； (2)过点A ，作出平面BCD 的一个法向量．【解】 如图所示，过点A 作直线AE ∥BC ，由直线的方向向量的定义可知，直线AE 即为过点A 且方向向量为BC →的空间直线．(2)如图所示，取平面BCD 的中心O ，由正四面体的性质可知，AO 垂直于平面BCD ， ∴向量AO →可作为平面BCD 的一个法向量．[能力提升]1．空间两向量a ，b 互为相反向量，已知向量|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝b B ．a ＋b 为实数0 C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3【解析】 ∵a ，b 互为相反向量， ∴a ＝－b ，又∵|b |＝3， ∴|a |＝3. 【答案】 D2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C1D1→；②AC1→与BD1→；③AD1→与C1B →；④A1D →与B1C →.其中互为相反向量的有n 对，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 AB →与C1D1→，AD1→与C1B →平行且方向相反，互为相反向量． 【答案】 B图2-1-83．如图2-1-8所示，四棱锥D 1-ABCD 中，AD ＝DD 1＝CD ，底面ABCD 是正方形，DD 1⊥面ABCD ，E 是AD 1的中点，求〈AC →，DE →〉．【解】 取CD 1的中点F ，连接EF ，DF ， 则EF →＝12AC →，∴〈AC →，DE →〉＝〈EF →，DE →〉，由AD ＝DD 1＝CD ， 且D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥CD ， ∴DE ＝DF ＝EF ＝22DD 1，∴△EFD 为正三角形， ∠FED ＝π3，∴〈AC →，DE →〉＝〈EF →，DE →〉＝2π3.4．如图2-1-9，四棱锥V -ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：【导学号：32550023】图2-1-9(1)直线AB 的方向向量；(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．【解】 (1)由已知得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有AB →，BA →，CD →，DC →这4个．(2)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD .又∵VA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥VA .又AC ∩VA ＝A ，∴BD ⊥平面VAC . ∴平面VAC 的法向量有BD →，DB →这2个．。
2019-2020学年度最新高中数学学业分层测评1含解析北师大版选修2_1
4．若方程x2＋2px－q＝0(p，q是实数)没有实数根，则p＋q<.
(1)判断上述命题的真假，并说明理由．
(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由．
【解】 (1)上述命题是真命题，由题意，
得方程的判别式Δ＝4p2＋4q<0，得q<－p2，
∴p＋q<p－p2＝－2＋≤，
∴p＋q<.
②“正多边形都相似”的逆命题是真命题．
③“若x－3是有理数，则x是无理数”的逆否命题是真命题．
【解析】 ①中否命题：“若x2＋y2≠0则x，y不全为0”，故是错误的．
②中逆命题：“若两个多边形相似，则这两个多边形是正多边形”，是假命题，故此说法错误．
③中逆否命题：“若x不是无理数，则x－3不是有理数”，是真命题，故说法正确．
【解析】 根据四种命题的关系，易知s是t的否命题．
【答案】 否
7．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)＝________.(填上你认为可以成为真命题的一种情况既可)
【解析】 该题将函数的图像和性质与命题综合在一起，要综合利用各部分的知识．部分可能情况有：x轴，－3－log2x；y轴，3＋log2(－x)；原点，－3－log2(－x)；直线y＝x,2x－3等．
【答案】 C
2．若命题p的逆否命题是q，q的逆命题是r，则p与r是
( )
A．互逆命题B．互否命题
C．互逆否命题D．不确定
【解析】 p，q互为逆否命题，又q的逆命题是r，故p、r为互否命题．
【答案】 B
3．下列说法正确的是________．
①“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y全不为零”．
2019-2020学年北师大版高中数学选修1-1学业分层测评11Word版含解析
学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．已知函数y＝f(x)＝sin x，当x从π6变到π2时，函数值的改变量Δy＝( )A．－12B.12C.π3D.32【解析】Δy＝f π2－fπ6＝sinπ2－sinπ6＝1－12＝12.【答案】 B2．在曲线y＝x2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则ΔｙΔｘ＝( )A．Δx＋1Δｘ＋2B．Δx－1Δｘ－2C．Δx＋2 D．2＋Δx－1Δｘ【解析】Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，∴ΔｙΔｘ＝Δx＋2.【答案】 C3．函数f(x)＝－2x，在2到2＋Δx之间的平均变化率为( )A．－2ΔｘB．－12＋ΔｘC.12＋ΔｘD．22＋Δｘ【解析】错误!＝错误!＝错误!. 【答案】 C4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝1 8t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( ) A．2 B．1C.12D．14【解析】因为Δs＝18(2＋Δt)2－18×22＝12Δt＋18(Δt)2，所以ΔｓΔｔ＝12＋18Δt，当Δt趋于0时，12＋18Δt趋于12，因此t＝2时，木块在水平方向瞬时速度为1 2 .【答案】 C5．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像相对应的一项是( )A．①②③④B．②①③④C．②①④③D．②④①③【解析】以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选 C.【答案】 C二、填空题6．函数f(x)＝ln x＋1从e到e2的平均变化率为________．【解析】Δy＝f(e2)－f(e)＝(ln e2＋1)－(ln e＋1)＝1，Δx＝e2－e，∴ΔｙΔｘ＝1e2－e.【答案】1e2－e7．质点按规律s(t)＝at＋1运动，若在t＝2时刻的瞬时速度为12，则a的值为________．【解析】由错误!＝a，得a＝错误!.【答案】1 28．质点的运动方程是s(t)＝1t2，则质点在t＝2时的速度为________.【导学号：63470057】【解析】ΔｓΔｔ＝错误!＝错误!＝－错误!，当Δt趋于0时，错误!＝－错误!.【答案】－1 4三、解答题9．如果一个质点从定点A开始运动，时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，当t1＝4，且Δt＝0.01时，求：(1)Δy；(2)ΔｙΔｔ.【解】(1)∵Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝(t1＋Δt)3＋3－(t31＋3) ＝3t21Δt＋3t1(Δt)2＋(Δt)3.∴当t1＝4，Δt＝0.01时，Δy＝3×42×0.01＋3×4×0.012＋0.013＝0.481 201.(2)∵ΔｙΔｔ＝错误!＝3t21＋3t1·Δt＋(Δt)2.∴当t1＝4，Δt＝0.01时，ΔｙΔｘ＝3×42＋3×4×0.01＋0.012＝48.120 1.10．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系为h(t)＝－5t2＋6t＋10.(1)求该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度；(2)求该运动员在时间t＝1处的瞬时速度．【解】(1)由h(t)＝－5t2＋6t＋10，得该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度；ΔｈΔｔ＝错误!＝－14.故该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度为－14 m/s；(2)∵ΔｈΔｔ＝错误!＝错误!＝错误!＝－5·Δt－4，∴当Δt趋于0时，ΔｈΔｔ趋于－4，即该运动员在时间t＝1处的瞬时速度为－ 4 m/s.能力提升]1．一物体作直线运动，其运动方程为s＝3t－t2，其中位移s单位为米，时间t的单位为秒，那么该物体的初速度为( )A．0米/秒B．－2米/秒C．3米/秒D．3－2t米/秒【解析】物体的初速度就是t＝0时的瞬时速度．ΔｙΔｘ＝错误!＝错误!＝3－Δx.当Δx→0时，3－Δx→3，∴物体初速度为3米/秒．【答案】 C2．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，若函数在x0处的瞬时变化率为0，则点P的坐标为( )A．(1,10) B．(－1，－2)C．(1，－2) D．(－1,10)【解析】Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)＋1－3x20－6x0－1＝6x0·Δx＋3(Δx)2＋6Δx，∴ΔｙΔｘ＝6x0＋3Δx＋6，由题意，当Δx→0时，ΔｙΔｘ→6x0＋6＝0，∴x0＝－1，∴y0＝－2.。
2019-2020学年北师大版高中数学选修1-1学业分层测评13Word版含解析
A ． 1个 C． 3个
【解析】
B． 2个
D． 4个
1
2
对于② y＝ 3 x ， y′＝ 13x3-1＝13x－3＝
1 3
，故②错；对于③
3 x2
f(x)＝ sin α，为常数函数，
∴f ′ (x)＝ 0，故③错；①④都正确．
【答案】 B
2．曲线 f(x)＝ex在点 A(0,1)处的切线斜率为 (
)
故 fn(x)以 4 为周期，
∴f 2 016(x)＝ f504×4(x) ＝f0(x) ＝sin x.
【答案】 A
x
1
2． (2016 ·青岛高二检测 )曲线 y＝ 2 在x＝ 0处的切线方程是 (
)
A ． x＋ yln 2－ln 2 ＝ 0
B． xln 2 ＋ y－ 1＝ 0
C． x－ y＋ 1＝ 0
(x0， y0)，由题意得
1 ＝ 1，则 x0 2
x0＝ 2， y0＝ ln
2，代入切线
方程 y＝12x＋ b，得 b＝ ln 2 － 1.
【答案】 ln 2－ 1
三、解答题
3 9．求与曲线 y＝ x2在点 P(8,4) 处的切线垂直，且过点 (4,8)的直线方程．
【解】
2
1
∵y＝ 3
x2 ，∴
3 y′＝ (
【答案】 D
二、填空题
2π
6．若 f( x)＝ cos
，则 f ′(x)＝ ________. 3
【解析】 f(x)＝－ 1，∴ f′(x)＝ 0. 2
【答案】 0
7． (2016 ·安庆高二检测
)曲线 y＝cos x在点
4π，
2 2
处的切线的倾斜角为
高中数学学业分层测评19含解析北师大版选修2_1
学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．方程|x |＋|y |＝1表示的曲线是( )【解析】 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥0，x ＋y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≤0，x －y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x≤0，y≤0，x ＋y ＝－1，或 ⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≥0，－x ＋y ＝1. 作出其曲线为D. 【答案】 D 2．方程4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝0表示的曲线是( )A ．一个点B ．两条互相平行的直线C ．两条互相垂直的直线D ．两条相交但不垂直的直线【解析】∵4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝0，∴(2x ＋1)2－(y －1)2＝0，∴2x ＋1＝±(y －1)，∴2x ＋y ＝0或2x －y ＋2＝0，这两条直线相交但不垂直．【答案】 D3．已知定点A (－1,0)，B (1,0)，动点P 满足直线PA ，PB 的斜率之积为－1，则动点P 满足的方程是( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1) C ．x 2＋y 2＝1(x ≠0) D ．y ＝1－x2(x ≠±1) 【解析】 设动点P 的坐标为(x ，y )，则k PA ＝y x ＋1(x ≠－1)， k PB ＝y x －1(x ≠1)．∵k PA ·k PB ＝－1，∴y x ＋1·y x －1＝－1，整理得x 2＋y 2＝1(x ≠±1)． 【答案】 B4．已知两定点A (－2,0)、B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π【解析】 根据题意，用直译法．设动点P 的坐标为(x ，y )，由已知|PA |＝2|PB |，得＋＋y2＝2－＋y2，两边平方，得x 2＋4x ＋4＋y 2＝4x 2－8x ＋4＋4y 2，化简得(x －2)2＋y 2＝4.所以P 点的轨迹是半径为2的圆，所以面积是4π.【答案】 B5．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x221－4y225＝1 B ．4x221＋4y225＝1 C.4x225－4y221＝1 D ．4x225＋4y221＝1【解析】∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹是以定点C 、A 为焦点的椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， ∴其标准方程为4x225＋4y221＝1. 【答案】 D二、填空题6．若曲线C ：xy ＋3x ＋ky ＋2＝0，当k ＝________时，曲线经过点(2，－1)．【导学号：32550093】【解析】 将点(2，－1)代入曲线C 的方程xy ＋3x ＋ky ＋2＝0，由曲线与方程的概念知，方程成立，即2×(－1)＋3×2＋k ×(－1)＋2＝0，解得k ＝6.【答案】 6。
2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1学业分层测评12 Word版含答案
学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC1→上且AM→＝12MC1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB ．66aC.156a D ．153a【解析】 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC1→上且AM →＝12MC1→.∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 3，a 3，a 3.∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2－a 32＝216a .【答案】 A2．已知平面α的法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (x,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为103，则x ＝( )【导学号：32550053】A ．－1B ．－11C ．－1或－11D ．－21【解析】 PA →＝(x ＋2,2，－4)，而d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA →·n|n|＝103，即错误!＝错误!，解得x ＝－1或－11. 【答案】 C3．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长是1，则直线DA 1与AC 间的距离为( ) A.13 B ．23C.33 D ．34【解析】 建系如图A (1,0,0)，A 1(1，0,1)，C (0,1,0)，AC →＝(－1,1,0)，DA1→＝(1,0,1)，设n ＝(x ，y ，z )，令⎩⎪⎨⎪⎧n·AC →＝0n·DA1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0x ＋z ＝0令x ＝1则n ＝(1,1，－1)DA →＝(1,0,0)，DA1→与AC 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA →·n |n|＝33.【答案】 C 4．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5B ．41C ．4D ．25【解析】 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )． 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)． ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－45，∴BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4，95，125，∴|BD →|＝ 16＋8125＋14425＝5.【答案】 A5．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83 B ．38C.43D ．34【解析】 如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2，0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)．∴D1B1→＝(2,2,0)，D1A →＝(2,0，－4)，AA1→＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，则n ⊥D1B1→，n ⊥D1A →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n·D1B1→＝0，n·D1A →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．∴由AA1→在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA1→·n|n|＝43.【答案】 C 二、填空题6．如图2-6-5所示，在直二面角D -AB -E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为________．图2-6-5【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2).AD→＝(0,0,2)，AE →＝(1,1,0)，AC →＝(0,2,2)，设平面ACE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n·AE →＝0，n·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0；2y ＋2z ＝0.令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)． 故点D 到平面ACE 的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD→·n|n|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝233. 【答案】2337．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．【导学号：32550054】【解析】 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·AB →＝0，n ·AC →＝0， ∴错误!即错误!⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32z y ＝－z令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)．又AD →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n|＝错误!＝错误!＝错误!.【答案】4917178．如图2-6-7所示，正方体的棱长为1，E ，F ，M ，N 分别是棱的中点，则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________．图2-6-7【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，1，D 1(0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，1.∵E ，F ，M ，N 分别是棱的中点， ∴MN ∥EF ，A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离． 设平面B 1NMD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴n ·D1B1→＝0，且n ·B1N →＝0. 即(x ，y ，z )·(1,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，0，1＝0. ∴x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0，令x ＝2，则y ＝－2，z ＝1.∴n ＝(2，－2,1)，n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，－23，13.∴A 1到平面B 1NMD 1的距离为d ＝|A1B1→·n 0| ＝错误!＝错误!. 【答案】23三、解答题9．如图2-6-8，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，CC 1＝2.图2-6-8(1)求证：直线CD 1∥平面A 1BC 1； (2)求直线CD 1与平面A 1BC 1间的距离． 【证明】 (1)建系如图，则C (0,4,0)，D 1(0,0,2)，B (3,4,0)，A 1(3,0,2)，C 1(0,4,2)，所以CD1→＝(0，－4,2)，BA1→＝(0，－4,2)，BC1→＝(－3,0,2)，BC →＝(－3,0,0)．∵CD1→＝BA1→，∴CD 1∥BA 1，又因为CD 1平面A 1BC 1，BA 1平面A 1BC 1，所以CD 1∥平面A 1BC 1.(2)设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n·BA1→＝0，n·BC1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4y ＋2z ＝0，－3x ＋2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12z ，x ＝23z.取z ＝6，则x ＝4，y ＝3，∴n ＝(4,3,6)，则BC →·n ＝(－3，0,0)·(4,3,6)＝－12，|n |＝61.所以点C 到平面A 1BC 1的距离即直线CD 1到平面A 1BC 1的距离，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·n|n|＝|－12|61＝126161. 10．如图2-6-9，已知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点，求点A 到平面SND 的距离．图2-6-9【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)， D (－1,4,0)， ∴NS →＝(0，－2,2)，SD →＝(－1,4，－2)．设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)． ∴n ·NS →＝0，n ·SD →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2＝0，－x ＋4y －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴n ＝(2,1,1)．∵AS →＝(0,0,2)．∴点A 到平面SND 的距离为|n·AS →||n|＝26＝63.[能力提升]1．若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面A BCD 的距离为( )A.33B ．1C.2 D ．3【解析】 如图所示，直线AB 1与底面ABCD 所成的角为∠B 1AB ，而A 1C 1到底面ABCD 的距离为AA 1，在Rt △ABB 1中，B 1B ＝AB ·tan 60°＝3.所以AA 1＝BB 1＝3.【答案】 D2．如图2-6-10，P -ABCD 是正四棱锥，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，P A ＝6，则B 1到平面P AD 的距离为( )图2-6-10A ．6B ．355C.655D ．322【解析】 以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面P AD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，∵AD →＝(0,2,0)，AP →＝(1,1,2)， ∴AD →·n ＝0，且AP →·n ＝0.∴y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2,0,1)．∵B1A →＝(－2,0,2)，∴B 1到平面P AD 的距离d ＝|B1A →·n||n|＝655.【答案】 C3.如图2-6-11所示，已知边长为42的正三角形ABC 中，E ，F 分别为BC 和AC 的中点，P A⊥平面ABC ，且P A ＝2，设平面α过PF 且与AE 平行，则AE 与平面α间的距离为________．【导学号：32550055】图2-6-11【解析】 设AP →，AE →，EC →的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，选取{e 1，e 2，e 3}为空间向量的一个基底，易知e 1·e 2＝e 2·e 3＝e 3·e 1＝0，AP →＝2e 1，AE →＝26e 2，EC →＝22e 3，PF →＝PA →＋AF →＝PA →＋12AC →＝PA →＋12(AE →＋EC →)＝－2e 1＋6e 2＋2e 3.设n ＝x e 1＋y e 2＋e 3是平面α的一个法向量，则n ⊥AE →，n ⊥PF →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n·AE →＝0n·PF →＝0⇒错误!⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 26y|e2|2＝0－2x|e1|2＋6y|e2|2＋2|e3|2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝22.∴n ＝22e 1＋e 3.∴直线AE 与平面α间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n |n|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2e1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22e1＋e3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22e12＋|e3|2＝233.【答案】 2334．已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离；(2)求直线AC 到平面PEF 的距离．【解】 (1)建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．则P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，0，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，－1， 设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·EF →＝0且n ·PE →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0.令x ＝2，则y ＝2，z ＝3，所以n ＝(2,2,3)，所以点D 到平面PEF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪DE →·n |n|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋14＋4＋9＝31717，因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)因为AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，0，所以点A 到平面PEF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AE →·n |n|＝117＝1717， 所以AC 到平面PEF 的距离为1717.。
2019-2020高中数学学业分层测评9含解析北师大版选修2_1
(2)设AB边上的高为CD，
则| |＝ ＝3 .
【导学号：32550036】
(1)求△ABC的面积．
(2)求△ABC中AB边上的高．
【解】(1)由已知得 ＝(1，－3,2)，
＝(2,0，－8)，
∴| |＝ ＝ ，
| |＝ ＝2 .
· ＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14.
cos〈 ， 〉＝ ＝ ＝ ，sin〈 ， 〉＝ ＝ .
∴S△ABC＝ | |·| |·sin〈 ， 〉
A. B．
C. D．
【解析】设C(x，y，z)，则 ＝(x－4，y－1，z－3)．
又 ＝(－2，－6，－2)， ＝3 ，
∴(－2，－6，－2)＝(3x－12,3y－3,3z－9)．
∴ 解得
【答案】C
2．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
【解析】由条件知(a＋3b)·(7a－5b)
A. B．
C. D．
【解析】M ，即M ，
＝ －(0,1,0)＝ ，
∴| |＝ ＝ .
【答案】C
2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝ ，y＝1B．x＝ ，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
【解析】由题意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)．
【答案】B
4．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1,2)，且aຫໍສະໝຸດ b的夹角的余弦为 ，则|a|＝( )
A. B．
C. D．
【解析】因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，
2019-2020高中数学学业分层测评16含解析北师大版选修2_1
C．4D．3
【解析】设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，
由 ＋ ＋ ＝0，得xA＋xB＋xC＝3.
∴| |＋| |＋| |＝xA＋ ＋xB＋ ＋xC＋ ＝3＋ p＝3＋ ×2＝6.
【答案】B
二、填空题
6．已知抛物线的离心率为e，焦点为(0，e)，则抛物线的标准方程为________．
【答案】C
2．如图3 2 2，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
图3 2 2
A．y2＝9xB．y2＝6x
C．y2＝3xD．y2＝ x
【解析】如图，分别过A，B作AA1⊥l于点A1，BB1⊥l于点B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
2019-2020高中数学学业分层测评16含解析北师大版选修2_1
编 辑：__________________
时 间：__________________
学业分层测评(十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m，n，则 等于( )
【答案】
8．已知定点A(－3,0)，B(3,0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，则 · 的最小值等于________．
【导学号：32550080】
【解析】设P(x0，y0)则y ＝2x0，x0≥0，
∴ · ＝(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)
＝x ＋y －9
＝x ＋2x0－9，
当x0＝0时， · min＝－9.
【2019-2020】高中数学学业分层测评5含解析北师大版选修2_1
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学学业分层测评5含解析北师大版选修2_1撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知原命题是“若r，则p或q”，则这一命题的否命题是( )A．若綈r，则p且q B．若綈r，则綈p或綈qC．若綈r，则綈p且綈q D．若綈r，则綈p且q【解析】“p或q”的否定为“綈p且綈q”．根据否命题的定义知：选项C正确．【答案】C2．命题p：点A在直线y＝2x－3上，q：点A在抛物线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点A(x，y)是( )【导学号：32550014】A．(0，－3) B．(1,2)C．(1，－1) D．(－1,1)【解析】若“p且q”为真命题，则p为真命题，q为真命题，则A点既在直线y＝2x－3上，又在抛物线y＝－x2上，所以通过验证只有C正确．【答案】C3．对于p：x∈A∩B，则綈p( )A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∈BC．x∉A或x∉B D．x∈A∪B【解析】p等价于x∈A且x∈B，所以綈p为x∉A或x∉B.【答案】C4．已知命题p：对任意a∈R，且a＞0，a＋≥2，命题q：存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝，则下列判断正确的是( )A．p是假命题B．q是真命题C．p且(綈q)是真命题D．(綈p)且q是真命题【解析】由均值不等式知p为真命题；因为sin x0＋cos x0＝sin≤，所以q为假命题，则綈q为真命题，所以p且(綈q)为真命题．故选C.【答案】C5．命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a＞0且a≠1)的图像必过定点(－1,1)；命题q：如果函数y＝f(x)的图像关于(3,0)对称，那么函数y＝f(x－3)的图像关于原点对称，则有( )A．“p且q”为真B．“p或q”为假C．p真q假D．p假q真【解析】将点(－1,1)代入y＝loga(ax＋2a)，成立，故p为真；由y＝f(x)的图像关于(3,0)对称，知y＝f(x－3)的图像关于(6,0)对称，故q为假．【答案】C二、填空题6．命题p：“相似三角形的面积相等”则綈p为________，否命题为________．【解析】綈p只否定命题的结论，而否命题则是命题的条件、结论都否定．【答案】相似三角形的面积不相等若三角形不相似则它们的面积不相等7．已知命题p：若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为零．命题q：若a＞b，则＜.给出下列四个命题：①p且q；②p或q；③非p；④非q其中真命题是________．【解析】显然p为真命题；当a＝1，b＝－2时，q不成立，所以q是假命题．从而“p且q”“非p”为假命题，“p或q”“非q”为真命题．【答案】②④8．已知命题p：函数f(x)＝lg(x2－4x＋a2)的定义域为R；命题q：当m∈[－1,1]时，不等式a2－5a－3≥恒成立，如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是____________．【解析】若命题p为真，则Δ＝16－4a2＜0⇒a＞2或a＜－2.若命题q为真，因为m∈[－1,1]，所以∈[2，3]．因为对于任意m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立，只需满足a2－5a－3≥3，解得a≥6或a≤－1.命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，则p，q一真一假．①当p真q假时，可得⇒2＜a＜6；②当p假q真时，可得⇒－2≤a≤－1.综合①②，可得a的取值范围是[－2，－1]∪(2,6)．【答案】[－2，－1]∪(2,6)三、解答题9．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式，并判断真假．(1)p：2n－1(n∈Z)是奇数；q：2n－1(n∈Z)是偶数．(2)p：a2＋b2<0，q：a2＋b2≥0.(3)p：集合中的元素是确定的；q：集合中的元素是无序的．【解】(1)p或q,2n－1(n∈Z)是奇数或是偶数；(真)p且q：2n－1(n∈Z)既是奇数又是偶数；(假)綈p：2n－1(n∈Z)不是奇数．(假)(2)p或q：a2＋b2＜0或a2＋b2≥0；(真)p且q：a2＋b2＜0且a2＋b2≥0；(假)綈p：a2＋b2≥0.(真)(3)p或q：集合中的元素是确定的或是无序的；(真)p且q：集合中的元素是确定的且是无序的；(真)綈p集合中的元素是不确定的．(假)10．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p 是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：(1)命题s：两次都击中飞机；(2)命题r：两次都没击中飞机；(3)命题t：恰有一次击中了飞机；(4)命题u：至少有一次击中了飞机．【解】(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p且q.(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为綈p且綈q.(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为p且綈q；二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p且q，所以命题t表示为(p且綈q)或(綈p且q)．(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p或q.法二：綈u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是綈r，从而命题u表示为綈(綈p且綈q)．法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p且綈q)或(綈p且q)或(p且q)．[能力提升]1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A．(綈p)或(綈q) B．p或(綈q)C．(綈p)且(綈q) D．p或q【解析】至少有一位学员没有降落在指定范围意味着甲没有或者乙没有降落在指定范围．【答案】A2．已知：p：|x－1|≥2，q：x∈Z，若p且q，綈q同时为假命题，则满足条件的x的集合为( )A．{x|x≤－1或x≥3，x∉Z}B．{x|－1≤x≤3，x∉Z}C．{x|x＜－1或x∈Z}D．{x|－1＜x＜3，x∈Z}【解析】∵綈q为假，∴q为真．∵p且q为假，∴p为假，∴x满足|x－1|＜2且x∈Z，∴－1＜x＜3且x∈Z.【答案】D3．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是____________.【导学号：32550015】【解析】綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．∵綈p为假，则p为真，即函数在(－∞，4]上为减函数，∴－(a－1)≥4，即a≤－3，∴a的取值范围是(－∞，－3]．【答案】(－∞，－3]4．已知命题p：c2＜c和命题q：对任意x∈R，x2＋4cx＋1＞0恒成立，已知p或q为真，p且q为假，求实数c的取值范围．【解】由不等式c2＜c，得0＜c＜1，即命题p：0＜c＜1，所以命题非p：c≤0或c≥1，又由(4c)2－4＜0，得－＜c＜，所以命题q：－＜c＜，所以命题非q：c≤－或c≥，由题知：p和q必有一个为真，一个为假．当p真q假时，≤c＜1；当q真p假时，－＜c≤0，故c的取值范围是∪.。
2019-2020学年高二数学北师大版选修1-2学业分层测评3 Word版含答案
学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．有两个分类变量X 与Y 的一组数据，由其列联表计算得χ2≈4.523，则认为“X 与Y 有关系”犯错误的概率为( )A ．95%B ．90%C ．5%D ．10%【解析】 χ2≈4.523＞3.841.这表明认为“X 与Y 有关系”是错误的可能性约为0.05，即认为“X 与Y 有关系”犯错误的概率为5%.【答案】 C2．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列说法正确的是( )A ．男、女患色盲的频率分别为0.038,0.006B ．男、女患色盲的概率分别为19240，3260 C ．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的 D ．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关 【解析】 男人中患色盲的比例为38480，要比女人中患色盲的比例6520大，其差值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪38480－6520≈0.0676，差值较大． 【答案】 C3．为了探究中学生的学习成绩是否与学习时间长短有关，在调查的500名学习时间较长的中学生中有39名学习成绩比较好，500名学习时间较短的中学生中有6名学习成绩比较好，那么你认为中学生的学习成绩与学习时间长短有关的把握为( )A ．0B ．95%C ．99%D ．都不正确 【解析】 计算出χ2与两个临界值比较， χ2＝错误!≈25.340 3＞6.635.所以有99%的把握说中学生的学习成绩与学习时间长短有关，故选C ． 【答案】 C4．某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．( )A ．99.9%B ．99.5%C ．99%D ．97.5%【解析】 可以先作出如下列联表(单位：人)： 糖尿病患者与遗传列联表：χ2＝错误!≈6.067＞5.024.故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系． 【答案】 D5．假设有两个分类变量X 与Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表为：( )A ．a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2B ．a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2C ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5D ．a ＝2，b ＝3，c ＝5，d ＝4 【解析】 比较⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b －c c ＋d . 选项A 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪59－35＝245；选项B 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪58－46＝124；选项C 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－49＝245；选项D 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－59＝745.故选D ．【答案】 D 二、填空题6．调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)：性别与喜欢文科还是理科列联表：【解析】 通过计算χ2＝错误!≈8.42＞7.879.故我们有99.5%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系． 【答案】 有7．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表： 【导学号：67720006】χ2＝错误!≈4.844，因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________.【解析】 ∵χ2＞3.841，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.【答案】 5%8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若统计量χ2>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________.(填序号)【解析】统计量χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①错误；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．【答案】③三、解答题9．某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)试问喜欢电脑游戏与认为作业多少是否有关系？【解】由题意列出2×2列联表：(2)χ2＝错误!≈6.418，∵6.418＞3.841，∴有95%的把握认为玩电脑游戏与认为作业多少有关系．10．在一次天气恶劣的飞行航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞行航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？【解】根据题意，列出2×2列联表如下：错误!故我们有90%的把握认为“在天气恶劣的飞行航程中，男乘客比女乘客更容易晕机”．[能力提升]1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由χ2＝错误!算得，χ2＝错误!≈7.8.附表：A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】根据独立性检验的思想方法，正确选项为C．【答案】 C2．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：( ) A．0.01 B．0.025C．0.10 D．0.05【解析】χ2＝错误!≈5.059＞5.024，因为P(χ2＞5.024)＝0.025，所以这种推断犯错误的概率不超过0.025.【答案】 B3．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某中学随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2列联表，根据列联表中的数据，可以在犯错误的概率不超过________的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.【解析】错误!错误!因为χ2>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．【答案】0.0254．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.下面临界表仅供参考：错误【解】(1)记成绩为87分的同学为A，B，其他不低于80分的同学为C，D，E，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．“至少有一个87分的同学被抽到”所组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，共7个，所以P＝7 10.(2)χ2＝错误!＝6.4＞5.024，因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．。
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※精品试卷※学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216a B ．66a C.156a D ．153a 【解析】 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→.∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3. ∴|MN →| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32 ＝216a . 【答案】 A2．已知平面α的法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (x,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为103，则x ＝( ) 【导学号：32550053】A ．－1B ．－11C ．－1或－11D ．－21※精品试卷※【解析】 PA →＝(x ＋2,2，－4)，而d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA →·n |n |＝103，即|－x ＋－4－4|4＋4＋1＝103，解得x ＝－1或－11. 【答案】 C3．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长是1，则直线DA 1与AC 间的距离为( ) A.13 B ．23 C.33D ．34【解析】 建系如图A (1,0,0)，A 1(1，0,1)，C (0,1,0)，AC →＝(－1,1,0)，DA 1→＝(1,0,1)，设n ＝(x ，y ，z )，令⎩⎨⎧n ·AC →＝0n ·DA 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0x ＋z ＝0令x ＝1则n ＝(1,1，－1)DA →＝(1,0,0)，DA 1→与AC 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA →·n |n|＝33.【答案】 C4．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( ) A ．5 B ．41 C ．4D ．2 5【解析】 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )． 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)． ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－45，∴BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125，∴|BD →|＝ 16＋8125＋14425＝5.【答案】 A5．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( ) A.83 B ．38 C.43D ．34【解析】 如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2，0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)．∴D 1B 1→＝(2,2,0)， D 1A →＝(2,0，－4)，AA 1→＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量， 则n ⊥D 1B 1→，n ⊥D 1A →，∴⎩⎨⎧n ·D 1B 1→＝0，n ·D 1A →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．∴由AA 1→在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |n |＝43.【答案】 C 二、填空题6．如图265所示，在直二面角D AB E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为________．图265【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2).AD →＝(0,0,2)，AE →＝(1,1,0)，AC →＝(0,2,2)，设平面ACE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AE →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0；2y ＋2z ＝0.令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)． 故点D 到平面ACE 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝233. 【答案】2337．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．【导学号：32550054】【解析】 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ，－2，＝0，x ，y ，z，0，＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32zy ＝－z令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)．又AD →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－＋2－－2×732＋22＋－2＝4917＝491717. 【答案】4917178．如图267所示，正方体的棱长为1，E ，F ，M ，N 分别是棱的中点，则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________．图267【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，D 1(0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1. ∵E ，F ，M ，N 分别是棱的中点， ∴MN ∥EF ，A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离． 设平面B 1NMD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴n ·D 1B 1→＝0，且n ·B 1N →＝0. 即(x ，y ，z )·(1,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝0.∴x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0，令x ＝2，则y ＝－2，z ＝1.∴n ＝(2，－2,1)，n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13.∴A 1到平面B 1NMD 1的距离为d ＝|A 1B 1→·n 0| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪，1，⎝⎛⎭⎪⎫23，－23，13＝23. 【答案】 23三、解答题9．如图268，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，CC 1＝2.图268(1)求证：直线CD 1∥平面A 1BC 1； (2)求直线CD 1与平面A 1BC 1间的距离． 【证明】 (1)建系如图，则C (0,4,0)，D 1(0,0,2)，B (3,4,0)，A 1(3,0,2)，C 1(0,4,2)，所以CD 1→＝(0，－4,2)，BA 1→＝(0，－4,2)，BC 1→＝(－3,0,2)，BC →＝(－3,0,0)．∵CD 1→＝BA 1→，∴CD 1∥BA 1，又因为CD 1平面A 1BC 1，BA 1平面A 1BC 1，所以CD 1∥平面A 1BC 1.(2)设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BA 1→＝0，n ·BC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4y ＋2z ＝0，－3x ＋2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12z ，x ＝23z .取z ＝6，则x ＝4，y ＝3，∴n ＝(4,3,6)，则BC →·n ＝(－3，0,0)·(4,3,6)＝－12，|n |＝61.所以点C 到平面A 1BC 1的距离即直线CD 1到平面A 1BC 1的距离，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·n |n |＝|－12|61＝126161.10．如图269，已知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB，BC 的中点，求点A 到平面SND 的距离．图269【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)， D (－1,4,0)，∴NS →＝(0，－2,2)， SD →＝(－1,4，－2)．设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)．∴n ·NS →＝0，n ·SD →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2＝0，－x ＋4y －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴n ＝(2,1,1)．∵AS →＝(0,0,2)．∴点A 到平面SND 的距离为|n ·AS →||n|＝26＝63.[能力提升]1．若正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( ) A.33B ．1 C. 2D ． 3【解析】 如图所示，直线AB 1与底面ABCD 所成的角为∠B 1AB ，而A 1C 1到底面ABCD 的距离为AA 1，在Rt △ABB 1中，B 1B ＝AB ·tan 60°＝ 3.所以AA 1＝BB 1＝ 3.【答案】 D2．如图2610，P ABCD 是正四棱锥，ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，PA ＝6，则B 1到平面PAD 的距离为( )图2610A ．6B ．355C.655D ．322【解析】 以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面PAD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，∵AD →＝(0,2,0)，AP →＝(1,1,2)， ∴AD →·n ＝0，且AP →·n ＝0.∴y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2,0,1)．∵B 1A →＝(－2,0,2)，∴B 1到平面PAD 的距离d ＝|B 1A →·n ||n |＝655.【答案】 C3.如图2611所示，已知边长为42的正三角形ABC 中，E ，F 分别为BC 和AC 的中点，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝2，设平面α过PF 且与AE 平行，则AE 与平面α间的距离为________．【导学号：32550055】图2611【解析】 设AP →，AE →，EC →的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，选取{e 1，e 2，e 3}为空间向量的一个基底，易知e 1·e 2＝e 2·e 3＝e 3·e 1＝0，AP →＝2e 1，AE →＝26e 2，EC →＝22e 3，PF →＝PA →＋AF →＝PA →＋12AC →＝PA →＋12(AE →＋EC →)＝－2e 1＋6e 2＋2e 3.设n ＝x e 1＋y e 2＋e 3是平面α的一个法向量，则n ⊥AE →，n ⊥PF →，∴⎩⎨⎧n ·AE →＝0n ·PF →＝0⇒⎩⎨⎧x e 1＋y e 2＋e 36e 2＝0x e 1＋y e 2＋e 3－2e 1＋6e 2＋2e 3＝0⇒⎩⎨⎧26y |e 2|2＝0－2x |e 1|2＋6y |e 2|2＋2|e 3|2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝22.∴n ＝22e 1＋e 3. ∴直线AE 与平面α间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2e 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫22e 1＋e 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪22e 12＋|e 3|2＝233. 【答案】2334．已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点． (1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．【解】 (1)建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．则P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1， 设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·EF →＝0且n ·PE →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0.令x ＝2，则y ＝2，z ＝3， 所以n ＝(2,2,3)，所以点D 到平面PEF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DE →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋14＋4＋9＝31717， 因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)因为AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以点A 到平面PEF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AE →·n |n |＝117＝1717，所以AC 到平面PEF 的距离为1717.。