算法、复数、推理与证明选择、填空题
专题六 第二讲 推理证明、算法初步、复数
B．5 625 ． D．8 125 ．
解析： 解析：∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625， ， 59＝1 953 125,510＝9 765 625，… ， 的末四位数字呈周期性变化， ∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小 ∈ ， 的末四位数字呈周期性变化 正周期为4， 的末四位数字为f(n)， 正周期为 ，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为 ，则 ∈ ， 的末四位数字为 f(2 011)＝f(501× 4＋7)＝f(7)， ＝ × ＋ ＝ ， 的末四位数字相同，均为8 ∴52 011与57的末四位数字相同，均为 125. 答案： 答案：D
2 S2＋S2＋S3)． ． 1 2
2 [答案 S1＝S′1S(或 S2＝S2＋S2＋S2) 答案] 答案 ′ 或 1 2 3
1．(2011·江西高考 观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625， ． 江西高考)观察下列各式 江西高考 观察下列各式： ， 57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为 ， ， A．3 125 ． C．0 625 ． ( )
(3)复数相等的充要条件： 复数相等的充要条件： 复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)． ＋ ＝ ＋ ⇔ ＝ ＝ ， ， ， ∈ ． 特别地， ＋ ＝ ⇔ ＝ 特别地，a＋bi＝0⇔a＝0 且 b＝0(a，b∈R)． ＝ ， ∈ ． (4)复数的运算法则： 复数的运算法则： 复数的运算法则 加减法： ＋ 加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. ＋ ＝ ＋ 乘法： ＋ 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. ＋ ＝ － ＋ ＋ ac＋bd bc－ad ＋ － 除法： ＋ i. 除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝ 2 ＋ ＝ ＋ c ＋d2 c2＋d2
第十章(算法与推理证明、复数)过关测试
ICME －7图甲 OA 1A 2A 3A 4A 5 A 6A 7A 8图乙高三数学练习二十二一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 在复平面内，复数11i-所对应的点位于第 象限答案：一2.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是答案：42n +3. 若复数312a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 答案：－6 解析：设312a iki i+=+，则()3122a i ki i k ki +=+=-+，得：3k =，26a k =-=-.4. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S = 答案：15165．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME －7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a ＝ ▲ ．6．如图，在直角坐标系中,一质点从原点出发,沿图示箭头方向每秒钟移动一个单位,问第2008秒时质点所在的位置坐标是答案：（-31，7）7. 一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第5件工艺品所用的宝石数为 颗；第n 件工艺品所用的宝石数为 颗 (结果用n 表示).答案：66，1322++n n8. 右图程序运行结果是 _______ 答案：349. 已知z ∈C ，2z i 1z i 1=-++）（）（，则|z |的最小值为答案：2解析：设),(R b a bi a z ∈+=，由已知得 a =b +1 ∵21)21(2||222++=+=b b a z ∴22||=最小值z . 10．按下列程序框图运算：第1件 第2件第3件规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若x=5，则运算进行次才停止。
高考数学二轮专题算法初步、复数、推理与证明训练试题
智才艺州攀枝花市创界学校卢氏一中2021届高考数学二轮算法初步、复数、推理与证明专题训练一、选择题1．(2021·模拟)i为虚数单位，复平面内表示复数z＝的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为z＝＝＝＝－－i，所以其在复平面上对应的点为(－，－)，在第三象限．答案：C2．(2021·高考)i是虚数单位，复数＝()A．2－i B．2＋iC．－1－2i D．－1＋2i解析：＝＝＝2－i，应选A.答案：A3．(2021·高考)观察以下各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，那么72011的末两位数字为()A．01 B．43C．07 D．49解析：∵75＝16807,76＝117649,77＝823543,78＝5764801，…∴7n(n∈Z，且n≥5)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记7n(n∈Z，且n≥5)的末两位数为f(n)，那么f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)，∴72011与73的末两位数一样，均为43.答案：B4．(2021·高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，假设输入x的值是－4，那么输出y的值是() A．0.5 B．1C．2 D．4解析：由框图可知：x＝－4，|x|＞3，x＝|－4－3|＝7；x＝7，|x|＞3，x＝|7－3|＝4；x＝4，|x|＞3，x＝|4－3|＝1＜3，y＝21＝2.答案：C5．(2021·模拟)假设执行如下列图的程序框图，假设输入n＝6，m＝4，那么输出的p等于()A．720 B．360C．240 D．120解析：程序运行如下：n＝6，m＝4，k＝1，p＝1，p＝p(n－m＋k)＝6－4＋1＝3，k<m；k＝1＋1＝2，p ＝p(n－m＋k)＝3×(6－4＋2)＝12，k<m；k＝2＋1＝3，p＝p(n－m＋k)＝12×(6－4＋3)＝60，k<m；k＝3＋1＝4，p＝p(n－m＋k)＝60×(6－4＋4)＝360，k＝m，所以输出p，p＝360，应选B.答案：B6．(2021·质检)在平面几何中有如下结论：假设正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，那么＝.推广到空间几何可以得到类似结论：假设正四面体A－BCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，那么＝()A. B.C. D.解析：平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，设正四面体A－BCD的棱长为a，可得其内切球的半径为a，外接球的半径为a，∴＝.答案：D二、填空题7．(2021·模拟)运行如下列图的程序框图，假设输出的结果是62，那么判断框中整数M的值是________．解析：因为0＋21＋22＋23＋24＋25＝＝62，结合题中所给的框图可知，M＝4.答案：48.a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，那么这两个正方形重叠局部的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，那么这两个正方体重叠局部的体积恒为________．解析：应该是一个常数，因此考虑极端情况，即两正方体重叠局部恰好构成一个棱长为的正方体，这个小正方体的体积为.答案：9．(2021·高考)观察以下等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第5个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数应为n；每行数的个数分别为1、3、5、…，所以第n行的个数应为2n－1.所以第5行数依次是5、6、7、…、13，其和为5＋6＋7＋…＋13＝81.答案：5＋6＋7＋…＋13＝81三、解答题10．(2021·高考)复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.11．等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求数列{a n}的通项a n与前n项和S n；(2)设b n＝(n∈N*)，求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由得∴d＝2，故a n＝2n－1＋，S n＝n(n＋)．(2)由(1)得b n＝＝n＋.假设数列{b n}中存在三项b p，b q，b r(p，q，r互不相等)成等比数列，那么b＝b p b r.即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴∴()2＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r.与p≠r矛盾．∴数列{b n}中任意不同的三项都不可能成等比数列．12．数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝.由此猜想a n＝(n∈N*)．(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即a k＝，那么n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝2(k＋1)－a k＋1－2k＋a k＝2＋a k－a k＋1.∴2a k＋1＝2＋a k，∴a k＋1＝＝＝，这说明n＝k＋1时，结论成立，由①②知猜想a n＝(n∈N*)成立．。
算法、复数、推理与证明历年高考题汇总
---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 算法、复数、推理与证明试题成绩课程名称高考数学二轮复习模拟考试开卷闭卷√教研室高三数学组A卷√B卷复习时间年月日时分至时分适用专业班级班级姓名学号考生注意：舞弊万莫做，那样要退学，自爱当守诺，最怕错上错，若真不及格，努力下次过。
答案写在答题纸上，写在试题纸上无效。
一、选择题1．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝()A.12 B.22C. 2 D．22．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A．－2 B．0 C．－1 D．－3试题共页第页3．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3i，z·z＝4，则a＝()A．1或－1 B.7或－7C．－ 3 D. 34．执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()A．5 B．4C．3 D．25．(2017·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；p4：若复数z∈R，则z∈R.其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 6．执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为()A．x＞3 B．x＞4C．x≤4 D．x≤57．如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n＞1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A．A＞1 000和n＝n＋1B．A＞1 000和n＝n＋2C．A≤1 000和n＝n＋1D．A≤1 000和n＝n＋2试题共页第页8．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩二、填空题9．已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为________．10．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．11．设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f(2)＝32，f(4)＞2，f(8)＞52，f(16)＞3.观察上述结果，按照上面规律，可推测f(128)＞________.12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，试题共页第页15．由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.试题共页第页∴N＝2成立．显然2是最小值．故选D.答案：D5．解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若1z∈R，即1a＋b i＝a－b ia2＋b2∈R，则b＝0⇒z＝a＋b i＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋b i)2＝a2＋2ab i－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋b i＝b i∉R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝z2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋b i∈R，则b＝0⇒z＝a－b i＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.答案：B6．解析：输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x＞4.故选B.答案：B7．解析：因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1 000”．故选D.答案：D8．解析：由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1试题共页第页---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- f′(x)＝2x2＋xx＋1＋ln(1＋x)＞0(x＞0)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，因此x2n＋1－2x n＋1＋(x n＋1＋2)ln(1＋x n＋1)＝f(x n＋1)≥0，故2x n＋1－x n≤x n x n＋12(n∈N*)．(3)因为x n＝x n＋1＋ln(1＋x n＋1)≤x n＋1＋x n＋1＝2x n＋1，所以x n≥12n－1.由x n x n＋12≥2x n＋1－x n得1x n＋1－12≥2⎝⎛⎭⎪⎫1x n－12＞0，所以1x n－12≥2⎝⎛⎭⎪⎫1x n－1－12≥…≥2n－1⎝⎛⎭⎪⎫1x1－12＝2n－2，故x n≤12n－2.综上，12n－1≤x n≤12n－2(n∈N*)．15．证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C. 又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD.试题共页第页试题共页第页---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线-------------------------------------------------------------[39.97，39.99)200.20[39.99，40.01)500.50[40.01，40.03]200.20合计100 1.00频率分布直方图如图所示：(2)误差不超过0.03 mm，即直径落在[39.97，40.03]内，其概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.(3)这批乒乓球直径的平均值大约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．14．解析：(1)设从高二年级男生中抽出m人，则m500＝45500＋400，m＝25，从高二年级女生中应抽出的人数为45－25＝20，故表一为男生数据，表二为女生数据，所以x＝25－15－5＝5，y＝20－15－3＝2.(2)2×2列联表如下：男生女生总计优秀151530非优秀10515总计252045因为K2＝45×(15×5－15×10)230×15×25×20＝45×152×5230×15×25×20＝98＝1.125＜2.706，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．15．解析：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下：试题共页第页。
高考理科数学一轮复习专题训练：算法、推理证明与复数(含详细答案解析)
第15单元 算法、推理证明与复数（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复平面内，复数3z =-i(i 为虚数单位)，则复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】∵(3)133(3)(3)z ⋅+-+===-+⋅-i i i i ii i ，∴13z --=i，故选C ． 2．某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】由题意得，这种树的从第一年的分枝数分别是1，1，2，3，5，L ， 则112+=，213+=，325+=，即从第三项起每一项都等于前两项的和， 所以第6年树的分枝数是853=+，故选D ．3．定义x x f sin )(0=，()()10cos f x f x x '==，()()1n n f x f x +'=，则=)(2017x f （ ） A ．x sin B ．x cos C ．x sin - D ．x cos -【答案】B【解析】()()10cos f x f x x '==，x x x f x f sin )(cos )()(''12-===，'3()(sin )cos f x x x =-=-，'40()(cos )sin ()f x x x f x =-==，'51()(sin )cos ()f x x x f x ===，同理)()(26x f x f =，)()(37x f x f =，)()(48x f x f =，周期为4， ∴20171()()cos f x f x x ==，故选B ．4．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由所给图形的规律看出，空心的矩形、三角形、圆形都是一个，实心的图形应均为两个，∴空白处应填实心的矩形，故选A ． 5．已知复数512z =+i，则复数z z -2的虚部为（ ） A ．-i B ．1-C ．2-iD ．2-【答案】D 【解析】55(12)5(12)1212(12)(12)5z --====-++⋅-i i i i i i ， ∴22(12)(12)42z z -=---=--i i i ，∴复数z z -2的虚部为2-，故选D ．6．对任意非零实数a ，b ，若a b ⊗的运算原理如右图程序框图所示，则(32)4⊗⊗的值是（ ）A ．0B ．12C ．32D ．9【答案】C【解析】根据程序框图知221323=+=⊗，∴413(32)42422-⊗⊗=⊗==，故选C ．7．关于复数()211z +=-i i，下列说法中正确的是（ ）A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数1z =-iC ．若复数()1z z b b =+∈R 为纯虚数，则1b =D ．设a ，b 为复数z 的实部和虚部，则点(),a b 在以原点为圆心，半径为1的圆上 【答案】C【解析】由题意可知()212111z +===-+--i ii ii，若()1z z b b =+∈R 为纯虚数，则1b =， 故选C ．8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A ．21 B ．1-C ．2D ．1【答案】B【解析】设每次循环所得到的a 的值构成数列{}n a ， 由框图可111n n a a +=-，02a =，112a =，21a =-，32a =，412a =，…， 所以{a n }的取值具有周期性，且周期为T ＝3． 又由框图可知输出的122012-===a a a ，故选B ． 9．已知222433+=⨯，333988+=⨯，444161515+=⨯，……，观察以上等式，若999k m n+=⨯(m ，n ，k 均为实数)，则m n k +-=（ ） A ．76 B ．77 C ．78 D ．79【答案】D【解析】观察以上等式，类比出等式2(1)(1)(1)(1)x xx x x x x x +=⨯-+-+，当9x =时，可得999818080+=⨯，所以80m =，80n =，81k =， 所以80808179m n k +-=+-=．故选D ． 10．阅读如图所示的程序框图，若输入919a =，则输出的k 值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C 【解析】当111119(1)1335171921919S =+++=-=⨯⨯⨯L 时，10=k ， 若199>S ，则输出的k 值是11，故选C ． 11．网络工作者经常用网络蛇形图来解释网络的运作模式，如图所示，数字1出现在第一行;数字2，3出现在第二行;数字6，5，4(从左至右)出现在第三行;数字7，8，9，10出现在第四行;以此类推，则按网络运作顺序第63行从左到右的第2个数字(如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，…，)是（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017【答案】B【解析】网络蛇形图中每一行的第一个数1，2，4，7，11，L ，按原来的顺序构成数列{}n a ，易知n a a n n =-+1，且11=a ，∴22132121()()()1123(1)2n n n n n a a a a a a a n --+=+-+-++-=+++++-=L L ．∴第63行的第一个数字为19542263632=+-， 而偶数行的顺序为从左到右，奇数行的顺序为从右到左， ∴第63行从左到右的第2个数字就是从右到左的第62个数字， 这个数为2015611954=+．故选B ．12．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}()n a n *∈N 的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则=++201720162015a a a （ ）A ．1008B ．1009C ．2017D ．2018【答案】B【解析】观察点的坐标，写出数列{}n a 的前12项：1，1，1-，2，2，3，2-，4，3，5，3-，6． 可提炼出规律，偶数项的值等于其序号的一半，奇数项的值有正负之分， 且n a n =-34，n a n -=-14，n a n =2，∴505350542017==-⨯a a ，504150442015-==-⨯a a ，10082016=a ， ∴2015201620171009a a a ++=，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若复数z 与2(2)4z -+i 都是纯虚数，则=-+22z z ________． 【答案】i 或-i【解析】由已知可设(),0z b b b =∈≠R i ，则222(2)4(2)44(44)z b b b -+=-+=-+-i i i i ，∴240440b b ⎧-=⎨-≠⎩，∴2b =±，∴2z =-i 或2z =i ，∴当2z =-i 时，2221(1)(1)22221(1)(1)2z z +--+-+⋅-=====---++⋅-i i i i ii i i i i ； 当2z =i 时，()()()222222222z z ++=====---+⋅-i+1i i+1i i i i-1i+1i-1． 14．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是______．【答案】5【解析】5=n ，16=n ，1=k ；8=n ，2=k ；4=n ，3=k ；2=n ，4=k ；1=n ，5=k ，输出5．15．我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示的()()()()1234为刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是有相同的小正方形构成，小正方形越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图案包含)(n f 个小正方形，则)(n f 的表达式为 ．【答案】1222+-n n【解析】我们考虑，4)1()2(=-f f ，42)2()3(⨯=-f f ，43)3()4(⨯=-f f ，…， 归纳得出)1(4)()1(-⨯=-+n n f n f ，∴()(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]f n f f f f f f n f n =++-+-++--L21424344(1)14[123(1)]221n n n n =++⨯+⨯++-=+++++-=-+L L ．16．在计算“)1(3221-++⨯+⨯n n Λ”时，某位数学教师采用了以下方法： 构造等式：)]1()1()2)(1([31)1(+--++=+k k k k k k k k ，以此类推得： )210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯，)321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯，)432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯，…，…，)]1()1()2)(1([31)1(+--++=-⨯n n n n n n n n ，相加得11223(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯++-=++L ．类比上述计算方法，可以得到=+++⨯+⨯)2(4231n n Λ ． 【答案】)72)(1(61++n n n 【解析】构造等式：)]2()2()4)(2([61)2(+--++=+n n n n n n n n ， ∴]31)1(531[6131⨯⨯--⨯⨯=⨯，)420642(6142⨯⨯-⨯⨯=⨯，)531753(6153⨯⨯-⨯⨯=⨯，……，)]1)(1)(3()3)(1)(1[(61)1()1(+---++-=+⨯-n n n n n n n n ，)]2()2()4)(2([61)2(+--++=+⨯n n n n n n n n ，相加得11324(2)[(1)13024(1)(1)(3)(2)(4)]6n n n n n n n n ⨯+⨯+++=--⨯⨯-⨯⨯+-+++++L)72)(1(61++=n n n ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设复数1z =+i ，若实数a ，b 满足2)2(2z a z b az +=+，其中z 为z 的共轭复数．求实数a ，b 的值．【答案】42ab=-⎧⎨=⎩或21ab=-⎧⎨=-⎩．【解析】由1z=+i，可知iz-=1，代入2)2(2zaz baz+=+得2(1)2(1)[2(1)]a b a++-=++i i i，即22(2)(2)44(2)a b a b a a++-=+-++i i，∴22(2)424(2)a b aa b a⎧+=+-⎨-=+⎩，解得42ab=-⎧⎨=⎩或21ab=-⎧⎨=-⎩．18．（12分）如图，已知单位圆221x y+=与x轴正半轴交于点P，当圆上一动点Q从P出发沿逆时针旋转一周回到P点后停止运动．设OQ扫过的扇形对应的圆心角为xrad，当02x<<π时，设圆心O到直线PQ的距离为y，y与x的函数关系式()y f x=是如图所示的程序框图中的①②两个关系式．（1）写出程序框图中①②处的函数关系式；（2）若输出的y值为12，求点Q的坐标．【答案】（1）①②的式子分别为cos2xy=，cos2xy=-；（2）当0x<≤π时，此时点Q的坐标为132⎛-⎝⎭，；当2xπ<<π时，此时点Q的坐标为132⎛-⎝⎭，．【解析】（1）当0x<≤π时，cos2xy=；当2xπ<<π时，cos cos22x xy⎛⎫=π-=-⎪⎝⎭；综上可知，函数解析式为()(]()cos,0,2cos,,22xxf xxx⎧∈π⎪⎪=⎨⎪-∈ππ⎪⎩，所以框图中①②处应填充的式子分别为cos2xy=，cos2xy=-．（2）若输出的y 值为12，则0x <≤π时，1cos 22x =，得23x π=，此时点Q 的坐标为12⎛- ⎝⎭；当2x π<<π时，1cos 22x -=，得43x π=，此时点Q 的坐标为12⎛- ⎝⎭，．19．（12分）已知函数)()0,1f x a a =>≠且．（1）证明：函数)(x f y =的图象关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；（2）求(2014)(2013)(1)(0)(1)(2014)(2015)f f f f f f f -+-++-+++++L L ． 【答案】（1）见解析；（2）2015-． 【解析】（1）函数aa a x f x+-=)(的定义域为R ，在函数)(x f 的图象上任取一点),(00y x ，它关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点为)1,1(00y x ---．则aa a x f y x +-==0)(00，∴00(1)1f x y -====--，∴函数)(x f 图象上任意一点),(00y x 关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点)1,1(00y x ---仍在函数)(x f y =的图象上．即函数)(x f y =的图象关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对称．（2）由（1）得1)1()(00-=-+x f x f ，∴1)2015()2014(-=+-f f ；1)2014()2013(-=+-f f ；1)2013()2012(-=+-f f ；……；1)2()1(-=+-f f ；1)1()0(-=+f f ．∴(2014)(2013)(1)(0)(1)(2014)(2015)2015f f f f f f f -+-++-+++++=-L L ． 20．（12分）已知数列{}n a 满足:211=a ，111)1(21)1(3++-+=-+n n n n a a a a ，()101n n a a n +<≥，数列{}nb 满足：()2211n n n b a a n +=-≥．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列．【答案】（1）1132(1)143n n n a --⎛⎫=--⋅ ⎪⎝⎭，11243n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）见解析．【解析】（1）由题意可知，)1(321221n n a a -=-+，令21nn a c -=，则2111++-=n n a c ，n n c c 321=+． 又431211=-=a c ，则数列{}n c 是首项为431=c ，公比为32的等比数列，即13243n n c -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1232143n na -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，∴1232143n na -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭．又0211>=a ，01<+n n a a ，故1132(1)143n n n a --⎛⎫=--⋅ ⎪⎝⎭，1122132321211434343n n n n n nb a a --+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=⋅⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．（2）反证法：假设数列{}n b 存在三项r b ，s b ，t b ()r s t <<按某种顺序成等差数列， 由于数列{}n b 是首项为41，公比为32的等比数列，于是有r s t b b b >>， 则只能有t r s b b b +=2成立．∴1111212122434343s r t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅+⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两边同乘以r t --1123，化简得s t r s r t r t ----⋅=+32223． 由于t s r <<，∴上式左边为奇数，右边为偶数， 故上式不可能成立，导致矛盾．21．（12分）下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n 个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为)(n f ．（1）求出(2)f ，(3)f ，(4)f ，(5)f ；（2）找出)(n f 与)1(+n f 的关系，并求出)(n f 的表达式； （3）求证()111125111136(1)3(2)5(3)7()213333n f f f f nn *++++<∈+++++N L ． 【答案】（1）(2)12f =，(3)27f =，(4)48f =，(5)75f =；（2）36)()1(+=-+n n f n f ，2()3f n n =；（3）见解析．【解析】（1）由题意有：3)1(=f ，12233)1()2(=⨯++=f f ，27433)2()3(=⨯++=f f ， 48633)3()4(=⨯++=f f ，75833)4()5(=⨯++=f f ．（2）由题意及（1）知，36)(233)()1(++=⨯++=+n n f n n f n f ， 即36)()1(+=-+n n f n f ．∴()(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]f n f f f f f f n f n =+-+-++--L3(613)(623)[6(1)3]36[123(1)]n n n =+⨯++⨯+++-+=+++++-L L 2(1)3633(1)32n nn n n n n -=+⨯=+-=．（3）∵23)(n n f =，∴2111111(1)(1)1()213n n n n n f n n =<=-+++++，∴11111111(1)3(2)5(3)7()213333f f f f n n ++++<+++++L11111111111111125()()()4934451493149336n n n ++-+-++-=++-<++=++L ， 所以对于任意n *∈N ，原不等式成立．22．（12分）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知数表中每一行的第一个数1a ，2a ，5a ，…构成一个等差数列，记为{}n b ，且42=b ，105=b ． 数表中每一行正中间一个数1a ，3a ，7a ，…构成数列{}n c ，其前n 项和为n S ． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数且113=a ，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）在满足（2）的条件下，记{}(1),n M n n c n λ*=+≥∈N ，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）2n b n =；（2）2282n n n S -+=-；（3）(]4,5． 【解析】（1）设数列{}n b 的公差为d ，则114410b d b d +=⎧⎨+=⎩解得122b d =⎧⎨=⎩，所以n b n 2=．（2）设每一行组成的等比数列的公比为q ，由于前n 行共有2)12(531n n =-++++Λ个数，且224133<<，又8410==b a ，所以18331013===q q a a ，解得21=q ．因此121222n n n n c n --⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以12110121232222n n n n nS c c c c ---=++++=++++L L ， 0121112122222n n n n nS ---=++++L ， 所以10121111211111122412222222212nn n n n n n n n S -----⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=--L ，即2228-+-=n nn S ．（3）由（1）知22-=n n n c ，不等式λ≥+n c n )1(，可化为λ≥+-22)1(n n n ．设22)1()(-+=n n n n f ， 计算得4)1(=f ，6)3()2(==f f ，5)4(=f ，415)5(=f ， 因为121(1)(2)(1)(2)(1)(1)()222n n n n n n n n n f n f n ---+++-++-=-=， 所以当3≥n 时，)()1(n f n f <+．因为集合M 的元素的个数为3，所以λ的取值范围是(]4,5．第15单元 算法、推理证明与复数（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足()1+21z =-i i ，则复数z 的虚部为（ ）A ．35B ．35-C ．35ｉD ．35-ｉ【答案】B【解析】因为()121z +=-i i ，所以()()1121131255z -----===+i i i ii ， 因此复数z 的虚部为35-，故选B ．2．复数z 满足()234z +=-i i ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】∵()2i 34i 5z +=-==，∴()()()2i 2i 52i z -+=-，()552i z =-， 2i z =-，z 在复平面内对应的点()21-，，在第四象限，故选D ． 3．如果复数()2b b -∈R ii的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ）A ．2-B ．CD ．2【答案】A【解析】∵复数()()()22=2b b b -⋅--=--⋅-i i i i i i i ，由题复数()2b b -∈R ii的实部和虚部互为相反数，∴2b =-．故选A ．4．若复数z 满足22z =-i i （i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限 是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】由题意，∵()()()222222z -⋅--===--⋅-i i i i i i i ，∴22z =-+i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限．故选B ．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1009【答案】B【解析】分由框图可知其所实现了求和232017cos cos cos ++cos2222S ππ++ππ=L ，所以0S =， 故选B ．6．执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ．1008-B ．1010-C ．1009D ．1007【答案】C【解析】执行程序框图：πS 01sin012=+⋅=+，3i =，32018>，否； 3πS 013sin0132=++⋅=+-，5i =，52018>，否； 5πS 0135sin 01352=+-+⋅=+-+，7i =，72018>，否； ……2017πS 0132017sin01320172=+-++⋅=+-++L L ，2019i =，20192018>，是． 输出()()()()S 013572015201701357920152017=+-+--+=++-++-+++-+L L1222150421009=++++=+⨯=L ．故选C ．7．如图所示的程序框图输出的结果为30，则判断框内的条件是（ ）A ．5?n ≤B ．5?n <C ．6?n ≤D ．4?n <【答案】B【解析】当0S =，1n =时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，2S =，2n =； 当2S =，2n =时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，6S =，3n =； 当6S =，3n =时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，14S =，4n =； 当14S =，4n =时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，30S =，5n =； 当30S =，5n =时，满足退出循环的条件，故判断框内的条件是5?n <，故选B ．8．我国古代著名的“物不知数”问题：“今有物其数大于八，二二数之剩一，三三数之剩一，五五数之剩二，问物几何？”即“已知大于八的数，被二除余一，被三除余一，被五除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计了如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（ ）A ．16a -∈Z B ．110a -∈Z C ．210a -∈Z D ．215a -∈Z 【答案】A【解析】由题意，判断框内应该判断a 的值是否同时能被二除余一，被三除余一，即判断16a -是否为整数．故选A ． 9．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201520182⨯C ．201520172⨯D ．201620182⨯【答案】B【解析】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为20142， 故第1行的第一个数为：122-⨯，第2行的第一个数为：032⨯， 第3行的第一个数为：142⨯，…，第n 行的第一个数为：()212n n -+⨯， 表中最后一行仅有一个数，则这个数是201520182⨯．10．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在 乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话， 且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论； 由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾； ∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话； 由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．故选B ．11．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c ．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ） A ．a B ．bC ．cD ．d【答案】A【解析】由题意得，甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ， 乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ； 丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ； 丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c ，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b 是正确的； 乙同学说的2号门中有d 是正确的；并同学说的3号门中有c 是正确的； 丁同学说的4号门中有a 是正确的，则可判断在1，2，3，4四扇门中，分别存有b ，d ，c ，a ， 所以4号门里是a ，故选A ．12．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ） A ．58 B ．59C ．60D ．61【答案】C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5， 三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是()332520865160++-+++=．故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13． 【答案】1i +【解析】()()()212i 11i 11-==+++-i i i i i ，填1i +． 14．设a ∈R ，若()()12a +-=-i i i ，则a =______． 【答案】1-【解析】()()()11+12a a a +-=+-=-i i i i ，10112a a a +=⇒=--=-⎧⎨⎩，故答案为1-． 15．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为___________．【答案】48【解析】第1次运行，1i =，2S =，122S =⨯=，4i <成立， 第2次运行，2i =，2S =，224S =⨯=，4i <成立， 第3次运行，3i =，4S =，3412S =⨯=，4i <成立， 第3次运行，4i =，12S =，41248S =⨯=，4i <不成立， 故输出S 的值为48． 16．将正整数对作如下分组()()()()()()()()()()11122113223114233241L L，，，，，，，，，，，，，，，，则第100个数对为___________． 【答案】()96，【解析】根据题意，第一行有1个数对，数对中两个数的和为2，第二行有2个数对，数对中两个数的和为3，数对中第一个数由1变化到2，第二个数由2变化到1， 第三行有3个数对，数对中两个数的和为4，数对中第一个数由1变化到3，第二个数由3变化到1， 第四行有4个数对，数对中两个数的和为5，数对中第一个数由1变化到4，第二个数由4变化到1， ……第n 行有n 个数对，数对中两个数的和为1n +（），数对中第一个数由1变化到n ，第二个数由n 变化到1， 前13行一共有1231391++++=L 个数，则第100个数对为第14行的第9个数，则第100个数对为()96，，故答案为()96，．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知复数()i 2iaz a =+∈+R ． （1）若z ∈R ，求z ；（2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围． 【答案】（1）2z =；（2）05（，）． 【解析】（1）()225555a a az --=+=+i i i ， 若z ∈R ，则505a-=，所以5a =，2z =． （2）若在复平面内对应的点位于第一象限，则205a >且505a ->， 解得05a <<，即a 的取值范围为05（，）． 18．（12分）已知复数()()22lg 2232z m m m m =--+++i ，根据以下条件分别求实数m 的值或范围． （1）z 是纯虚数；（2）z 对应的点在复平面的第二象限．【答案】（1）3m =；（2）133m +<<或113m -<<-【解析】（1）由()()22lg 2232z m m m m =--+++i 是纯虚数得()22220320lg m m m m --=++≠⎧⎪⎨⎪⎩，即22221320m m m m --=++≠⎧⎪⎨⎪⎩，所以3m =．（2）根据题意得()22220320lg m mm m--<++>⎧⎪⎨⎪⎩，由此得220221320m mm m<--<++>⎧⎪⎨⎪⎩，即133m+<<或113m-<<-．19．（12分）某函数的解析式由如图所示的程序框图给出．（1）写出该函数的解析式；（2）若执行该程序框图，输出的结果为9，求输入的实数x的值．【答案】（1）2,121,1xx xyx-<⎧=⎨+≥⎩；（2）7x=-或3．【解析】（1）2,121,1xx xyx-<⎧=⎨+≥⎩．（2）当1x<时，29x-=，7x=-；当1x≥时，2+1=9x，3x=，所以7x=-或3．20．（12分）阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：（1）求输入的x的值分别为1-，2时，输出的()f x的值；21（2）根据程序框图，写出函数()()f x x ∈R 的解析式；并求当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围．【答案】（1）12，1；（2）()0,1． 【解析】（1）当输入的x 的值为1-时，输出的()1122f x -==； 当输入的x 的值为2时，输出的()222211f x =-⨯+= （2）根据程序框图，可得()22,02,021,0x x f x x x x x ⎧<⎪==⎨⎪-+>⎩，当0x <时，()2x f x =，此时()f x 单调递增，且()01f x <<；当0x =时，()2f x =；当0x >时，()()22211f x x x x =-+=-在()0,1上单调递减， 在()1,+∞上单调递增，且()0f x ≥．结合图象，知当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围为()0,1．21．（12分）下面()A ，()B ，()C ，()D 为四个平面图形：（1）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整；（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E ，F ，G ，试猜想E ，F ，G 之间的数量关系（不要求证明）．【答案】（1）见解析；（2）1E G F +-=．22 【解析】（1）（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E ，F ，G ， 4581+-=，58121+-=，2451+-=，...， 可猜想E ，F ，G 之间的数量关系为1E G F +-=．22．（12分）（1）请用分析法证明：5236+>+；（2）已知a ，b 为正实数，请用反证法证明：1a b +与1b a +中至少有一个不小于2． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）要证5236+>+，只要证()()225236+>+， 即证2018>，而上式显然成立，故原不等式成立．（2）假设结论不成立，则12a b +<，12b a+<， 所以114a b b a +++<，即11220a b a b ⎛⎫⎛⎫+-++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即22110a b a b ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾！ 故假设不成立，所以1a b +与1b a+中至少有一个不小于2．。
2020年高考数学(理)总复习：算法、复数、推理与证明(解析版)
2020 年高考数学（理）总复习：算法、复数、推理与证明题型一复数的观点与运算【题型重点】复数问题的解题思路(1)以复数的基本观点、几何意义、相等的条件为基础，联合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其余知识联合考察，则要借助其余的有关知识解决问题．【例 1】设有下边四个命题()1p1：若复数 z 知足z∈R，则 z∈R；p2：若复数 z 知足 z2∈R，则 z∈R；p3：若复数 z1，z2知足 z1z2∈R，则 z1＝Z2；p4：若复数 z∈R，则 z ∈R.此中的真命题为()A ． p1， p3 B． p1， p4C．p2， p3 D． p2， p4【分析】令 z＝a＋ bi(a， b∈R)，则由1＝ 1 ＝a2－bi2∈R得b＝0，所以z∈R，故z a＋ bi a ＋ bp1正确；当 z＝ i 时，因为 z2＝ i 2＝－ 1∈R，而 z＝ i? R知，故 p2不正确；当z1＝ z2＝ i 时，知足 z1·z2＝－ 1∈R，但 z1≠Z2，知 p3不正确；对于 p4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它自己，也属于实数，故p4正确，应选 B.【答案】 B【例 2】． i 是虚数单位，复数4＋ 2i－ (1－ i) 2－ 4i ＝ ()1－ 2iA ． 0B ． 2C ．－ 4iD ． 4i【分析】4＋2i－ (1－ i) 2－4i ＝4＋2i1＋2i － (1－ 2i － 1)－ 4i ＝2i ＋ 2i － 4i ＝ 0，所以选1－ 2i1－ 2i 1＋ 2iA.【答案】A【例 3】．已知 a ∈ R ，若 a ＋ 2i是纯虚数，则在复平面内，复数z ＝ ai ＋ i 2018 所对应的点4－ i位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】依题意，a ＋ 2i a ＋ 2i 4＋ i 4a － 2＋ a ＋8 i4a － 2＝ 0 1 ＝ ＝ ，故a ＋ 8≠0，解得 a ＝ .4－ i4－ i 4＋ i172故 z ＝ ai ＋i2018＝12i － 1 在复平面内所对应的点为1, 1，位于第二象限，应选 B.2【答案】 B题组训练一复数的观点与运算1．已知 a ∈ R ， i 是虚数单位．若 a － i与 3i － 5i 互为共轭复数，则a ＝ ()2＋i 2－ i11A. 3 B ．－ 3 C ．－ 3D ． 3a － i a － i 2－ i 2a － 1 － a ＋ 2 i 2a － 1 a ＋ 2 5i ＝ 3i【分析】 2＋ i ＝5 ＝ 5 ＝ 5 － 5 i,3i － 2－ i － 5i 2＋ i － 5＋ 10i a － i 5i 2a － 1 a ＋ 2＝3i 与3i ＝－1，解得 a＝ 3.应选 D.【答案】 D2．已知复数 z 的共轭复数为z 在复平面内对应的点z ＝1＋ 3i(i 为虚数单位 )，则复数1＋i位于()A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】∵ z ＝ 1＋3i(i 为虚数单位 )，∴ z＝ 1－ 3i.则复数z ＝ 1－ 3i＝ 1－ 3i 1－ i ＝－ 2－ 4i＝－ 1－ 2i1 ＋ i 1＋ i 1＋ i 1－ i 2在复平面内对应的点(－ 1，－ 2)位于第三象限．应选 C. 【答案】 C3．“z＝ 1 －1 π(此中 i 是虚数单位 )是纯虚数．”是“θ＝＋ 2kπ”的 ________条件sin θ＋ cos θ·i 2 6()A ．充足不用要B．必需不充足C．充要D．既不充足也不用要【分析】z＝ 1 －1＝ sin θ－1－ icos θ(此中 i 是虚数单位 )是纯虚数．sin θ＋ cos θ·i 2 2则 sin θ－1＝ 0， cos θ≠0，2ππ解得：θ＝ 2kπ＋或θ＝ 2kπ＋π－ (k∈Z )．6 6∴ z＝ 1π－1(此中 i 是虚数单位 )是纯虚数．”是“θ＝＋ 2kπ”的必需不充足条sin θ＋ cos θ·i 2 6 件．应选 B.【答案】 B题型二程序框图【题型重点】解答程序框图问题的三个关注点(1)弄清程序框图的三种基本结构，按指向履行直至结束．(2)关注输出的是哪个量，何时结束．(3)解答循环结构问题时，要写出每一次的结果，防备运转程序不完全，同时注意划分计算变量与循环变量．【例 4】履行以下图的程序框图，输出的n 为 ()A ． 1 B． 2C．3 D． 4【分析】当 n＝ 1 时， f(x)＝ 1，知足 f(x)＝ f(－x)，不知足 f(x)＝ 0 有解，故 n＝ 2；当 n ＝2时， f(x)＝2x，不知足 f(x)＝ f(－ x)，故 n＝ 3；当 n＝3 时， f(x) ＝3x2，知足 f(x) ＝f(－ x)，知足 f( x)＝ 0 有解，故输出的n 为 3，应选 C.【答案】 C1＋1＋1＋＋1的值的一个框图，此中菱形判断框内应填【例 5】．如图给出的是计算2 4 620入的条件是 ()A ． i ＞8B． i＞ 9 C．i ＞10D． i＞ 11【分析】经过第一次循环获取S＝1， i ＝ 2，此时的i 应当不知足判断框中的条件21 1经过第二次循环获取S＝＋， i ＝ 3，此时的i 应当不知足判断框中的条件11 1经过第三次循环获取S＝＋＋， i＝ 4，此时的i 应当不知足判断框中的条件经过第十次循环获取S＝12＋14＋16＋＋201，i＝ 11，此时的 i 应当知足判断框中的条件，履行输出故判断框中的条件是i ＞ 10，应选 C.【答案】 C题组训练二程序框图1．以下程序框图输出的 a 的值为 ()A ． 5 B． 0C．－ 5 D． 10【答案】 A2．履行以下图的程序框图，假如输入的x＝ 0，y＝ 1，n＝1，则输出 x，y 的值知足 ()A ． y＝ 2x B． y＝ 3xC．y＝ 4x D． y＝ 5x【分析】输入 x＝ 0， y＝1， n＝ 1，运转第一次，x＝0， y＝ 1，不知足x2＋ y2≥ 36；运转第二次，x＝12， y＝ 2，不知足x2＋ y2≥ 36；运转第三次，x＝3， y＝ 6，知足 x2＋ y2≥ 36，2输出 x＝3， y＝ 6. 2因为点3,6在直线y＝4x上，应选C. 2【答案】 C题型三推理与证明【题型重点】合情推理的解题思路(1)在进行概括推理时，要先依据已知的部分个体，把它们适合变形，找出它们之间的联系，进而概括出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充足考虑已知对象的性质，而后经过类比，推导出类比对象的性质．(3)概括推理重点是找规律，类比推理重点是看共性．【例 6】我国古代数学著作《九章算术》有以下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一下．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第 1 关收税金1，第 2 关收税金为节余2的1，第 3 关收税金为节余的1，第 4 关收税金为节余的1，第 5 关收税金为节余的1，5 关所3 4 5 6收税金之和，恰巧重 1 斤，问本来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰巧重1 斤，问原本持金多少？”改成“假定这个人本来持金为x，按此规律经过第8 关”，则第 8 关所收税金为____________x.1 1 1 x x【分析】第1 关收税金：2x；第 2 关收税金：3 1 2 x＝6＝2×3；第 3 关收税金：11 1 x ＝x ；412 6x＝12 3×4第 8 关收税金：x＝x. 8×9 721【答案】72【例 7】．已知点A(x1， ax1)、 B( x2， ax2)是函数y＝ a x(a＞ 1)的图象上随意不一样两点，依ax 1＋ ax 2x 1 ＋x 2据图象可知，线段 AB 老是位于 A 、B 两点之间函数图象的上方， 所以有结论＞ a22建立．运用类比思想方法可知，若点A(x 1， sin x 1 )、 B(x 2， sin x 2)是函数 y ＝ sin x[ x ∈(0 ，π )] 图象上的不一样两点，则近似地有 ________建立．xx【分析】 由题意知， 点 A 、B 是函数 y ＝ a (a ＞ 1)的图象上随意不一样两点， 函数 y ＝ a (a ＞1) 图象下凸，线段 AB 老是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，所以有结论ax 1＋ ax 2＞2x 1 ＋ x 2a 建立；而函数 y ＝ sin x(x ∈ (0，π))图象上凸，线段 AB 老是位于 A 、B 两点之间函数图 2象的下方，所以可类比获取结论sin x 1＋ sin x 2 ＜ sin x 1＋ x 2. 2 2【答案】sin x 1＋ sin x 2x 1＋ x 22＜ sin2题组训练三 推理与证明1．“已知对于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c>0 的解集为 (1,2)，解对于 x 的不等式 cx 2＋ bx ＋ a>0. ” 给出以下的一种解法：【解】 由 ax 2＋ bx ＋ c>0 的解集为 (1,2)，得 a1x2＋b1＋ c>0 的解集为1,1 ，即x2对于 x 的不等式 cx 2＋ bx ＋a>0 的解集为1,1 .2类比上述解法：若对于x 的不等式 b ＋ x ＋ b1,1∪1,1 ，则对于<0 的解集为x ＋a x ＋ c32bx － bx 的不等式－>0 的解集为 ______________________ ．x － a x － c【分析】依据题意，由 b＋ x ＋ b1,1 1 ，<0 的解集为∪,1x ＋a x ＋ c32得 b ＋ － x ＋ b1,11,1 ，－x ＋ c <0 的解集为∪－ x ＋ a23即 b － x － b1, 11,1 .x － a x －c>0的解集为2 ∪ 3【答案】1,1∪1,1232．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品展望以下：甲说： “是 C 或 D 作品获取一等奖”；乙说： “B 作品获取一等奖”；丙说： “A，D 两项作品未获取一等奖”；丁说： “是 C 作品获取一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获取一等奖的作品是________．【分析】若 A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不知足题意，若 B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故知足题意，若 C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不知足题意，若 D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获取一等奖的作品是B.【答案】B题型四 复数代数运算的转变方法【题型重点】(1) 求解复数问题：就是利用复数相等转变为实数问题，此中解法一、二、三用了整体思想，即 x ＋yi 是一个数．(2)解法三是技巧，利用了模的性质：Z 1 Z 1 |z 1·z 2|＝ |z 1| |z ·2|，.Z 2Z 2【例 8】若 i(x ＋ yi) ＝3＋ 4i ， x ， y ∈R ，则复数 x ＋ yi 的模是 ()A ． 2 B． 3 C．4 D． 5 【分析】法一：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，所以 x＋yi ＝3＋4i＝3＋4i －i＝ 4－ 3i，i i － i故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝42＋－3 2＝5.法二：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，所以 (－ i)i( x＋ yi) ＝ (－ i) (3·＋ 4i)＝ 4－ 3i，即 x＋ yi ＝ 4－3i ，故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝42＋－3 2＝5. 法三：∵ i( x＋ yi) ＝ 3＋ 4i∴ |i(x＋ yi)| ＝ |3＋4i|∴ |i||x＋ yi|＝ 5，∴ |x＋ yi|＝ 5.法四：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，所以－ y＋ xi ＝3＋ 4i，所以 x＝4， y＝－ 3，故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝ 42＋－ 3 2＝ 5.【答案】 D题组训练四复数代数运算的转变方法已知 i 是虚数单位，则7＋i＝ ________. 3＋ 4i【分析】7＋ i ＝ 7＋i 3－ 4i ＝ 25－ 25i＝1－i，填1－i.3＋ 4i 25 25【答案】1－ i【专题训练】一、选择题1．设 a， b 是两个实数，给出以下条件：①a＋ b>1；② a＋b＝ 2；③ a＋ b>2；④ a2＋ b2>2；⑤ ab>1.此中能推出：“a，b中起码有一个大于1”的条件是 ()A ．②③B．①②③C．③D．③④⑤【分析】若 a＝1， b＝2，则 a＋b>1 ，但 a<1， b<1，故①推不出；2 3若 a＝b＝ 1，则 a＋ b＝ 2，故②推不出；若 a＝－ 2， b＝－ 3，则 a2＋b2 >2，故④推不出；若 a＝－ 2， b＝－ 3，则 ab>1，故⑤推不出；对于③，即 a＋b>2，则 a， b 中起码有一个大于 1，反证法：假定a≤1且 b≤1，则 a＋ b≤2与 a＋ b>2 矛盾，所以假定不建立，a， b 中起码有一个大于 1.【答案】 C2．若复数z＝1－3i(i 为虚数单位 )，则 |z＋ 1|＝() 1＋ iA ． 3 B． 2 C. 2 D. 5【分析】z＝ 1－3i ＝ 1－ 3i 1－i＝－ 1－2i1＋ i 1＋ i 1－ i 所以 |z＋ 1|＝ 2，应选 B.【答案】 B1，则 z－ |z|对应的点所在的象限为 ()3．已知复数 z＝1－iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】∵复数 z＝ 1 ＝1＋ i 1＋1 i ，＝1－ i 1－ i 1＋ i 2 22 2 2＋1 i ，∴ z－ |z|＝1＋1i － 1 1 ＝ 1－2 2 2 2 2 2其对应的点 1 2 , 1 所在的象限为第二象限．应选B.2 2【答案】 B4．复数 z＝m－2i( m∈R， i 为虚数单位 )在复平面上对应的点不行能位于() 1＋ 2iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由已知 z＝m－2i＝m－2i1－2i ＝1[(m－ 4)－ 2(m＋1)i] 在复平面对应点假如1＋ 2i 1＋2i 1－ 2i 5在第一象限，则m－ 4＞ 0，而此不等式组无解，即在复平面上对应的点不行能位于第一象m＋ 1＜ 0，限．应选 A.【答案】 A5．履行以下图的程序框图，若输入m＝ 1， n＝3，输出的 x＝ 1.75 ，则空白判断框内应填的条件为 ( )A ． |m－ n|＜ 1B． |m－ n|＜C．|m－ n|＜D． |m－ n|＜【分析】当第一次履行， x ＝ 2,2 2－3>0， n ＝ 2，返回，第二次履行 3 3 2－3<0 ，x ＝ ， ()22m ＝ 3，返回，第三次， x ＝3＋ 4＝，(7)2－ 3>0，n ＝ 7，要输出 x ，故知足判断框，此时 m2444－n ＝ 3－ 7＝－ 1，应选 B.244 【答案】B6．老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生认识考试状况，四名学生回答以下：甲说：“我们四人都没考好 ”；乙说： “我们四人中有人考得好 ”；丙说： “乙和丁起码有一人没考好 ”；丁说： “我没考好 ”．结果，四名学生中有两 人说对了，则四名学生中说对了的两人是( )A ．甲 丙B ．乙 丁C ．丙 丁D ．乙 丙【分析】 假如甲对， 则丙、丁都对， 与题意不符， 故甲错， 乙对； 假如丙错， 则丁错， 所以只好是丙对，丁错，应选D.【答案】D7.定义：若函数 f(x)的图象经过变换 T 后所得图象对应函数的值域与 f(x)的值域同样，则称变换 T 是 f(x)的 “同值变换 ”．下边给出四个函数及其对应的变换 T ，此中不属于 f(x)的 “同值变换 ”的是 ()A ． f(x)＝ (x － 1)2， T ：将函数 f(x)的图象对于 y 轴对称B ．f(x)＝ 2x ＋ 3， T ：将函数 f(x)的图象对于点 ( －1,1)对称C ．f(x)＝ 2x －1－ 1，T ：将函数 f(x)的图象对于 x 轴对称D ． f(x)＝ sin x， T ：将函数 f(x)的图象对于点 (－ 1,0)对称3【分析】A ． f(x)＝ (x － 1)2 对于 y 轴对称的函数是 y ＝ (x ＋ 1)2，值域 (0，＋ ∞)同样；B ．f(x)＝ 2x ＋ 3 对于点 (－ 1,1)对称的函数为 f(x)＝ 2x ＋3，值域 R 同样；C ．f(x)＝ 2x －1－ 1＞－ 1，对于 x 轴对称的函数是 y ＝－ 2x － 1＋ 1＜1，值域不一样；D． f(x)＝ sin x对于(－1,0)对称的函数是y＝－ sin 2 x，值域[－1,1]相3 3同，应选 C.【答案】 C8．履行以下程序框图，若输出i 的值为 3，则输入x 的取值范围是()A ． 0<x<3B． 1<x<3C．1≤x<3D． 1<x≤3【分析】该程序框图履行以下程序：i ＝ 1， x＝ 2x＋ 1； i ＝ 2， x＝ 2(2x＋ 1)＋ 1＝ 4x＋ 3； i ＝ 3， x＝ 2(4x＋ 3)＋ 1 ＝ 8x＋ 7 则由8x＋ 7>15可得 1<x≤3.4x＋ 3≤ 15应选 D.【答案】 D9．“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创办的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a， b，c(a＞ b＞ c 且 a，b，c∈N* )，选手最后得分为各项得分之和．已知甲最后得22 分，乙和丙最后各得9 分，且乙的马术竞赛获取了第一名，则游泳竞赛的第三名是()A ．甲B．乙C．丙D．乙和丙都有可能【分析】∵甲最后得22 分，乙和丙最后各得9 分，∴5(a＋ b＋c)＝ 22＋ 9＋9? a＋ b＋ c＝ 8即每个项目三个名次总分是8 分．每个项目的三个名次的分值状况只有两种：①5分、2分、1分；②4分、3分、1分；对于状况① 5 分、 2 分、 1 分：乙的马术竞赛获取了第一名， 5 分，余下四个项目共得 4 分，只好是四个第三名；余下四个第一名，若甲得三个第一名，15 分，还有两个项目得7 分不行能，故甲一定得四个第一名，一个第二名，余下一个第三名，四个第二名恰巧切合丙得分，由此可得乙和丙都有可能得第三名．对于状况② 4 分、 3 分、 1 分；同上剖析，应选 D.【答案】 D10．以下图将若干个点摆成三角形图案，每条边(包含两个端点)有 n(n＞ 1， n∈N )个点，相应的图案中总的点数记为a n，则9 ＋9＋9＋＋9＝()a2a3a3a4a4a5a2 015a2 0162 012 2 013A.2 013 B.2 0122 014 2 014C.2 015 D.2 013【分析】每条边有 n 个点，所以三条边有3n 个点，三角形的 3 个极点都被重复计算了一次，所以减 3 个极点，即 a ＝ 3n－ 3，那么9 ＝9 ＝ 1 ＝1－1，则9n a n a n＋1 3n－ 3 ×3n n－ 1 n n－ 1 na2 a3 ＋9 ＋9 ＋＋9a3a4 a4a5 a2 015a2 016＝11 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 2014 2015＝ 1－ 1 ＝2 014 ，应选 C.2 015 2 015【答案】 C11．以下数表的结构思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字构成，从第 2 行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为()2 015 2 014A．2 017 ×2 B． 2 017 ×22 015 2 014C．2 016 ×2 D． 2 016 ×2【分析】由题意知数表的每一行都是等差数列，且第 1 行数的公差为1，第 2 行数的公差为 2，第 3 行数的公差为4，，第 2 015行数的公差为22 014，第 1 行的第一个数为 2×2－1，第 2 行的第一个数为 3×20，第 3 行的第一个数为 4×21，第 n 行的第一个数为 (n＋ 1) ×2n－2，【答案】 B二、填空题12．有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上同样的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上同样的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【分析】由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和 2”或“1和 3”，又乙说“我与丙的卡片上同样的数字不是 1”，所以乙只可能为“2和 3”，所以由甲说“我与乙的卡片上同样的数字不是 2”，所以甲只好为“1和 3”．【答案】 1和 3z13．设复数 z 的共轭复数为z ，若 z＝ 1－ i(i 为虚数单位 )，则z＋ z2的虚部为 ________．16【分析】∵ z＝1－ i(i 为虚数单位 )，z 1＋i＋ (1－ i)2＝ 2 － 2i ∴＋ z2＝1＋ iz 1－ i 1－ i 1＋ i＝2i－ 2i＝－ i，故其虚部为－ 1. 2【答案】－ 114．履行以下图所示的程序框图，则S 的值为 ()A．16 B． 32C．64 D． 128【分析】模拟程序的运转，可得i＝ 1， S＝ 1，履行循环体，S＝ 2， i＝ 2，知足条件 i ≤4，履行循环体，S＝ 8， i ＝ 4.知足条件 i ≤4，履行循环体，S＝ 128， i ＝8.此时，不知足条件i ≤4，退出循环，输出S 的值为 128.故答案为 D.【答案】 D15． 2016 年夏天大美青海又迎来了旅行热，甲、乙、丙三位旅客被咨询能否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；乙说：我没去过茶卡天空之境；丙说：我们三人去过同一个地方．由此可判断乙去过的地方为____________ ．【分析】由乙说：我没去过茶卡天空之境，则乙可能去过陆心之海青海湖或茶卡天空之境，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则乙只好是去过陆心之海青海湖，茶卡天空之境中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一个地方，则由此可判断乙去过的地方为陆心之海青海湖．【答案】陆心之海青海湖16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261 年 )一书中，用以以下图 1 所示的三角形，解说二项和的乘方规律．在欧洲直到1623 年此后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作 (1655 年 )介绍了这个三角形．最近几年来外国也渐渐认可这项成就属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinesetriangle) 如图 1,17 世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”以以下图 2.在杨辉三角中相邻两行知足关系式：r r＋1 r＋1C n＋C n ＝ C n＋1，此中 n 是行数， r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行知足的关系式是________．1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1C n0 C n1 C n r C n n－1 C n n图 11 12 21 1 13 6311 1 14 12 12 41 1 1 1 1520 3020 51 1 1 1 1 16 30 60 60 30 6111 1r1110 111n －11nC n ＋1C n C n ＋1C n C n ＋1C n C n ＋1 C n C n ＋1C n图 2【分析】 类比察看得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数11，而相邻两项之C n ＋1和是上一行的二者相拱之数， 所以类比式子 C r n ＋ C n r ＋ 1＝C nr ＋＋11，有 1 1 r＝11 r ＋ 1 1r ＋ 1.C n ＋1C nC n ＋ 2C n ＋ 1 C n ＋ 2C n ＋ 1【答案】1＝ 1 1 11r r ＋ 1r ＋1C n ＋1C n C n ＋2 C n ＋ 1 C n ＋ 2C n ＋ 1。
第二部分 专题六 第一讲 算法、复数、推理与证明(选择、填空题型)
所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，„，an－an－1＝n. 累加得an－a1＝2＋3＋„＋n， n1＋n 即an＝1＋2＋3＋„＋n＝ 2 . 当n＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，„时，an能被5整除，即 b2＝a5，b4＝a10，b6＝a15，b8＝a20，„，所以b2k＝a5k(k∈N*)． 所以b2 012＝a5×1 006＝a5 030. (2)由(1)可知 5k5k－1 1 b2k－1＝a5k－1＝2×5k(5k－1)＝ . 2
1 1 1 1 1 11 答案：1＋22＋32＋42＋52＋62< 6
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[析考情 把脉高考]
考点统计 算法 复数 3年36考 考 情 分 析 (1)将复数的概念、复数的几何意义和复数 虚数的概念以及“分母实数化”一直是高考的 热点.
3年35考 的四则运算融合在一起，其中复数的运算、纯
(2)程序框图在高考中主要考查的类型有： 推理与
导练
感悟高 考
做考题 析考情 考 考
体验高 把脉高
专 题 六
第 一 讲
热点一
热点
透析高 考
热点二 热点三
通法——归纳领悟
冲刺
直击高 考
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[做考题 体验高考] 1．(2012· 山东高考)执行下面的程序框图，如果输入a＝4，那
么输出的n的值为
(
)
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A．2
B．3
C．4
解析：选 B
D．5
A．28
C．123
B．76
D．199
解析：选 C 记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4； f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不 难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋
算法、框图、复数、推理与证明测试题及详解
算法、框图、复数、推理与证明第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．(2011·辽宁沈阳二中阶段测试)已知复数z ＝1＋2i i 5，则它的共轭复数z －等于( )A ．2－iB ．2＋iC ．－2＋iD ．－2－i[答案] B[解析] z ＝1＋2i i 5＝1＋2ii＝2－i ，故其共轭复数是2＋i .2．(文)(2011·辽宁沈阳二中阶段测试)下面框图表示的程序所输出的结果是( )A ．1320B ．132C ．11880D ．121[答案] A[解析] 运行过程依次为：i ＝12，x ＝1→x ＝12，i ＝11→x ＝132，i ＝10→x ＝1320，i ＝9，此时不满足i ≥10，输出x 的值1320.(理)(2011·江西南昌调研)若下面框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．k ＝9B ．k ≤8C ．k <8D ．k >8[答案] D[解析] 运行过程依次为k ＝10，S ＝1→S ＝11，k ＝9→S ＝20，k ＝8→输出S ＝20，此时判断框中的条件不满足，因此应是k >8.3．(文)(2011·黄冈市期末)若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6[答案] C[解析] ∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋6＋(3－2a )i5是纯虚数，a ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝03－2a ≠0，∴a ＝－6，故选C. (理)(2011·温州八校期末)若i 为虚数单位，已知a ＋bi ＝2＋i1－i(a ，b ∈R )，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的关系为( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定[答案] A[解析] ∵a ＋bi ＝2＋i 1－i＝(2＋i )(1＋i )2＝12＋32i (a ，b ∈R )，∴⎩⎨⎧a ＝12b ＝32，∵⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝52>2，∴点P ⎝⎛⎭⎫12，32在圆x 2＋y 2＝2外，故选A. 4．(文)(2011·合肥市质检)如图所示，输出的n 为( )A ．10B ．11C ．12D ．13[答案] D[解析] 程序依次运行过程为：n ＝0，S ＝0→n ＝1，S ＝12×1－13＝－111→n ＝2，S ＝12×2－13＝－19，……∴S ＝－111－19－17－15－13－1＋1＋13＋15＋17＋19＋111＋113>0，此时输出n 的值13.(理)(2011·丰台区期末)已知程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为a 1，a 2，…，a n ，其中n ∈N *且n ≤2010.那么数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2·3n －1B ．a n ＝3n －1C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝12(3n 2＋n )[答案] A[解析] 程序运行过程依次为a ＝2，n ＝1，输出a ＝2，即a 1＝2，n ＝2，a ＝3×2＝6，不满足n >2010→输出a ＝6，即a 2＝2×3，n ＝3，a ＝3×6＝18，仍不满足n >2010→输出a ＝18，即a 3＝2×32……因此可知数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1(n ≤2010)．5．(2011·蚌埠二中质检)下列命题错误的是( )A ．对于等比数列{a n }而言，若m ＋n ＝k ＋S ，m 、n 、k 、S ∈N *，则有a m ·a n ＝a k ·a SB ．点⎝⎛⎭⎫－π8，0为函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个对称中心 C ．若|a |＝1，|b |＝2，向量a 与向量b 的夹角为120°，则b 在向量a 上的投影为1 D ．“sin α＝sin β”的充要条件是“α＋β＝(2k ＋1)π或α－β＝2k π (k ∈Z )” [答案] C[解析] 由等比数列通项公式知，a m ·a n ＝a 21qm＋n －2＝a 21qk＋S －2＝a 1q k －1·a 1q S －1＝a k a S ，故A正确；令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8，令k ＝0得x ＝－π8，∴⎝⎛⎭⎫－π8，0是函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个对称中心，故B 正确； b 在a 方向上的投影为|b |·cos 〈a ，b 〉＝2×cos120°＝－1，故C 错；由sin α＝sin β得α＝2k π＋β或α＝2k π＋π－β，∴α＋β＝(2k ＋1)π或α－β＝2k π(k ∈Z )，故D 正确．6．(2011·安徽百校联考)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53 C.256 D ．不存在[答案] A[解析] ∵{a n }为等比数列，a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，∴a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，∴q 2－q －2＝0，∴q ＝－1或2，∵a n >0，∴q ＝2，∵a m ·a n ＝4a 1，∴a 1q m －1·a 1q n －1＝16a 21，∴q m＋n －2＝16，即2m＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥32，等号在n m ＝4mn，即m ＝2，n ＝4时成立，故选A.7．(2011·山东日照调研)二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a >0B ．a <0C ．a >1D ．a <－1[答案] D[解析] ∵方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，∴⎩⎨⎧ a >0f (0)<0或⎩⎨⎧a <0f (0)>0，∴a <0，因此，当a <－1时，方程有一个正根和一个负根，仅当方程有一个正根和一个负根时，不一定有a <－1，故选D.8．观察等式：sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°＝34和sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34，…，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是( )A ．sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34B ．sin 2(α－30°)＋cos 2α＋sin(α－30°)cos α＝34C ．sin 2(α－15°)＋cos 2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D ．sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34[答案] A[解析] 观察已知等式不难发现，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，推广后的命题应具备此关系，但A 中α与β无联系，从而推断错误的命题为A.选A.9．(2011·山东潍坊一中期末)一次研究性课堂上，老师给出函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f (x )的值域为(－1,1)； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；丙：若规定f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f (f n －1(x ))，则f n (x )＝x1＋n |x |对任意n ∈N *恒成立 你认为上述三个命题中正确的个数有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个[答案] A[解析] 当x >0时，f (x )＝x 1＋x ∈(0,1)，当x ＝0时，f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝x1－x ∈(－1,0)，∴f (x )的值域为(－1,1)，且f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，因此，x 1≠x 2时，一定有f (x 1)≠f (x 2)．∵f (x )＝x 1＋|x |，f 1(x )＝f (x )，∴f 1(x )＝x1＋|x |，又f n (x )＝f (f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f (f 1(x ))＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋|x |＝x1＋|x |1＋|x |1＋|x |＝x1＋2|x |，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋2|x |＝x 1＋2|x |1＋|x |1＋2|x |＝x1＋3|x |……可知对任意n ∈N *，f n (x )＝x1＋n |x |恒成立，故选A. 10．(2011·陕西宝鸡质检)如果函数f (x )对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式|f (x )|≤M (x )恒成立，那么就称函数f (x )为有界泛函数，下面四个函数：①f (x )＝1; ②f (x )＝x 2； ③f (x )＝(sin x ＋cos x )x; ④f (x )＝xx 2＋x ＋1.其中属于有界泛函数的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④[答案] D[解析] 对任意实数x .∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，∴存在常数M ≥2，有|sin x ＋cos x |≤M 成立，∴|x (sin x ＋cos x )|≤M |x |，即|f (x )|≤M |x |成立，∴③是有界泛函数； 又∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴⎪⎪⎪⎪1x 2＋x ＋1≤43，∴存在常数M ≥43，使|x ||x 2＋x ＋1|≤M (x )，即|f (x )|≤M |x |成立，故④是有界泛函数，因此选D.11．(2011·北京学普教育中心联考版)观察下列算式： 21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，… 用你所发现的规律得出22011的末位数字是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 观察发现，2n 的末位数字以4为周期出现，依次为2,4,8,6,2011被4除的余数为3，故22011的末位数字与23的末位数字相同，故选D.12．(2011·河北冀州中学期末)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( )11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15A.11260B.1840 C.1504 D.1360 [答案] B[解析] 第10行第1个数为110，第2个数为19－110＝190，第9行第1个数为19，第2个数为18－19＝172，∴第10行第3个数为172－190＝1360，第8行第1个数为18，第2个数为17－18＝156，故第9行第3个数为156－172＝1252，∴第10行第4个数为1252－1360＝1840.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(文)(2011·江西吉安期末)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立， ∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0，∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .(理)(2011·北京学普教育中心)我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值3a2，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值________．[答案]6a 3[解析] 在正三角形内到三边的距离之和等于正三角形的高；正三角形的边类比空间正四面体的面，正四面体内任一点到其四个面的距离之和等于正四面体的高6a 3. 14．(2011·湖北荆门市调研)如果一个复数的实部、虚部对应一个向量的横坐标、纵坐标，已知z 1＝(1－2i )i 对应向量为a ，z 2＝1－3i 1－i对应向量为b ，那么a 与b 的数量积等于________．[答案] 3[解析] z 1＝2＋i 对应向量a ＝(2,1)，z 2＝1－3i 1－i ＝(1－3i )(1＋i )2＝2－i 对应向量b ＝(2，－1)，∴a ·b ＝3.15．(2011·辽宁沈阳二中检测)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x )的图象恰好通过k (k ∈N *)个格点，则称函数f (x )为k 阶格点函数，下列函数：①f (x )＝sin x ；②f (x )＝3π(x －1)2＋2；③f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x；④f (x )＝log 0.5x ，其中是一阶格点函数的有________．[答案] ①②[解析] f (x )＝sin x 通过的格点只有(0,0)；f (x )＝3π(x －1)2＋2经过的格点只有(1,2)；f (x )＝log 0.5x 经过的格点有(2n ，－n )，n ＝0,1,2…；f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x经过的格点至少有(0,1)，(－1,4)，故填①②.16．(2011·杭州市质检)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．[答案] f (2n )≥n2＋1[解析] f (2)＝32＝12＋1，f (4)＝f (22)>2＝22＋1，f (8)＝f (23)>52＝32＋1，f (16)＝f (24)>3＝42＋1，观察可见自变量取值为2n 时，函数值大于或等于n 2＋1，即f (2n )≥n2＋1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)设命题p ：命题f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R ，如果命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围．[解析] p 为真命题⇔f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1,1]上恒成立⇔a ≥3x 2在[－1,1]上恒成立⇔a ≥3，q 为真命题⇔Δ＝a 2－4≥0恒成立⇔a ≤－2或a ≥2. 由题意p 和q 有且只有一个是真命题，p 真q 假⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3－2<a <2⇔a ∈∅，p 假q 真⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <3a ≤－2或a ≥2⇔a ≤－2或2≤a <3，综上所述：a ∈(－∞，－2]∪[2,3)．18．(本小题满分12分)(2011·广东高州市长坡中学期末)复数z ＝⎝⎛⎭⎫12－32i 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0(a ，b ∈R )的根．(1)求a 和b 的值；(2)若(a ＋bi )u －＋u ＝z (u ∈C )，求u . [解析] (1)由题得z ＝－12－32i ，因为方程ax 2＋bx ＋1＝0(a 、b ∈R )是实系数一元二次方程，所以它的另一个根为－12＋32i .由韦达定理知：⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－b a⎝⎛⎭⎫－12－32i ⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝1a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1. (2)由(1)知(1＋i )u －＋u ＝－12－32i ，设u ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则(1＋i )(x －yi )＋(x ＋yi )＝－12－32i ， 得(2x ＋y )＋xi ＝－12－32i ，∴⎩⎨⎧2x ＋y ＝－12x ＝－32，∴⎩⎨⎧x ＝－32y ＝3－12，∴u ＝－32＋23－12i . 19．(本小题满分12分)(2011·山东省实验中学)已知a >0，命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：设函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ，(x ≥2a )2a ，(x <2a )，函数y >1恒成立，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的取值范围．[解析] 若p 为真命题，则0<a <1，若q 为真命题，即y min >1， 又y min ＝2a ，∴2a >1，∴q 为真命题时a >12，又∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假． 若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1.故a 的取值范围为0<a ≤12或a ≥1.20．(本小题满分12分)(2011·北京学普教育中心)已知复数z 1＝sin2x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －3cos2x )i ，λ、m 、x ∈R ，且z 1＝z 2.(1)若λ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设λ＝f (x )，已知当x ＝α时，λ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3的值． [解析] (1)∵z 1＝z 2，∴⎩⎨⎧sin2x ＝m λ＝m －3cos2x， ∴λ＝sin2x －3cos2x ，若λ＝0则sin2x －3cos2x ＝0得tan2x ＝3， ∵0<x <π，∴0<2x <2π， ∴2x ＝π3或2x ＝4π3，∴x ＝π6或2π3.(2)∵λ＝f (x )＝sin2x －3cos2x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin2x －32cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∵当x ＝α时，λ＝12，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12，∴sin ⎝⎛⎫2α－π3＝14， sin ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－14， ∵cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1 ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－2α－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝2×⎝⎛⎭⎫－142－1＝－78. 21．(本小题满分12分)(2011·山东临沂质检)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ； (2)求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.[解析] (1)证明：如图，连结AB 1，设AB 1∩A 1B ＝O ，则O 为AB 1中点，连结OD ， ∵D 为AC 中点，在△ACB 1中，有OD ∥B 1C .又∵OD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∴B 1C ∥平面A 1BD .(2)证明：∵AB ＝B 1B ，ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴ABB 1A 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1， 又∵AC 1⊥平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∵AC 1⊥A 1B ，又∵AC 1⊂平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，AC 1∩AB 1＝A ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1，∴A 1B ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊥平面A 1B 1C 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴A 1A ⊥B 1C 1，∵A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B ⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B ＝A 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.22．(本小题满分12分)(文)(2011·山东省实验中学)函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a(a 为常数，a >0)． (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)内单调递增，求a 的取值范围；(2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最小值．[解析] f ′(x )＝ax －1ax 2(x >0)． (1)由已知得f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥1x在[1，＋∞)上恒成立， 又∵当x ∈[1，＋∞)时，1x≤1， ∴a ≥1，即a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)当a ≥1时，∵f ′(x )>0在(1,2)上恒成立，f (x )在[1,2]上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝0，当0<a ≤12时，∵f ′(x )<0在(1,2)上恒成立，这时f (x )在[1,2]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝ln2－12a.当12<a <1时，∵x ∈[1，1a )时，f ′(x )<0；x ∈(1a，2]时，f ′(x )>0， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a ＋1－1a. 综上，f (x )在[1,2]上的最小值为①当0<a ≤12时，f (x )min ＝ln2－12a； ②当12<a <1时，f (x )min ＝－ln a ＋1－1a. ③当a ≥1时，f (x )min ＝0.(理)(2011·丹东四校协作体联考)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ∈N *)． (1)证明：a n >2n ＋1对n ∈N *恒成立；(2)令b n ＝a n n(n ∈N *)，判断b n 与b n ＋1的大小，并说明理由 . [解析] (1)证法1：当n ＝1时，a 1＝2>2×1＋1，不等式成立， 假设n ＝k 时，a k >2k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝a 2k ＋1a 2k ＋2>2k ＋3＋1a 2k>2(k ＋1)＋1. ∴n ＝k ＋1时，a k ＋1>2(k ＋1)＋1时成立，综上由数学归纳法可知，a n >2n ＋1对一切正整数成立． 证法2：当n ＝1时，a 1＝2>3＝2×1＋1，结论成立； 假设n ＝k 时结论成立，即a k >2k ＋1，当n ＝k ＋1时，由函数f (x )＝x ＋1x (x >1)的单增性和归纳假设有a k ＋1＝a k ＋1a k>2k ＋1＋12k ＋1， 因此只需证：2k ＋1＋12k ＋1≥2k ＋3， 而这等价于(2k ＋1＋12k ＋1)2≥2k ＋3⇔12k ＋1≥0， 显然成立，所以当n ＝k ＋1是，结论成立；综上由数学归纳法可知，a n >2n ＋1对一切正整数成立．证法3：由递推公式得a 2n ＝a 2n －1＋2＋1a 2n －1， a 2n －1＝a 2n －2＋2＋1a 2n －2，a 22＝a 21＋2＋1a 21， 上述各式相加并化简得a 2n ＝a 21＋2(n －1)＋1a 21＋…＋1a 2n －1>22＋2(n －1)＝2n ＋2>2n ＋1(n ≥2)，又n ＝1时，a n >2n ＋1显然成立，故a n >2n ＋1(n ∈N *)．(2)解法1：b n ＋1b n ＝a n ＋1na n n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1a 2n n n ＋1<⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋1n n ＋1＝2(n ＋1)n (2n ＋1)n ＋1 ＝2n (n ＋1)2n ＋1＝⎝⎛⎭⎫n ＋122－14n ＋12<1，又显然b n >0(n ∈N *)，故b n ＋1<b n 成立． 解法2：b n ＋1－b n ＝a n ＋1n ＋1－a n n＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n －a nn＝1a nn (n ＋1)[n －(n ＋1－n )a 2n ] ≤1a nn (n ＋1)[n －(n ＋1－n )(2n ＋1)](由(1)的结论) ＝1n (n ＋1)(n ＋1＋n )a n[n (n ＋1＋n )－(2n ＋1)] ＝1n (n ＋1)(n ＋1＋n )a n[n (n ＋1)－(n ＋1)]＝1n (n ＋1＋n )a n(n －n ＋1)<0，所以b n ＋1<b n .解法3：b 2n ＋1－b 2n ＝a 2n ＋1n ＋1－a 2nn＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫a 2n ＋1a 2n ＋2－a 2nn ＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫2＋1a 2n －a 2n n <1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12n ＋1－2n ＋1n＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫12n ＋1－1n <0， 故b 2n ＋1<b 2n ，因此b n ＋1<b n .。
第二部分 专题六 第一讲 算法、复数、推理与证明(选择、填空题型)
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10i3－i 10i (3)因为 ＝ ＝i(3－i)＝1＋3i， 3＋i 3＋i3－i 10i 又复数 1＋3i 对应复平面内的点(1,3)，所以复数 对应的点的 3＋i 坐标为(1,3)．
答案：(1)A (2)B
(3)A
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例 3：解析：(1)由图可知 an＋1＝an＋(n＋1)(n∈N＋)． 所以 a2－a1＝2，a3－a2＝3，„，an－an－1＝n. 累加得 an－a1＝2＋3＋„＋n， n1＋n 即 an＝1＋2＋3＋„＋n＝ 2 . 当 n＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，„时，an 能被 5 整除，即 b2＝a5， b4＝a10，b6＝a15，b8＝a20，„，所以 b2k＝a5k(k∈N*)．所以 b2 012＝ a5×1 006＝a5 030. (2)由(1)可知 5k5k－1 1 b2k－1＝a5k－1＝2×5k(5k－1)＝ . 2
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6．解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数 1 1 和，右边为项数的 2 倍减 1 的差除以项数，即 1＋22＋32＋ 1 1 1 2n－1 (n∈N*，n≥2)， 2＋ 2＋„＋ 2< 4 5 n n 1 1 1 1 1 11 所以第五个不等式为 1＋22＋32＋42＋52＋62< 6 .
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T 1 T＝ i ＝6，i＝4，不满足 i>5； T 1 T＝ i ＝24，i＝5，不满足 i>5； T 1 T＝ i ＝120，i＝6，满足 i>5. 1 输出 T＝120.
1 答案：120
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3． A 选
.∵z＝1＋i， z ＝1－i， 2＋ z 2＝(z＋ z )2－2z z ＝ ∴ ∴z
一侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n－3) 个对角面．n条侧棱可作n(n－3)个对角面，由于这些对角 面是相互之间重复计算了，所以共有n(n－3)÷2个对角面， 故可得f(n＋1)－f(n)＝(n＋1)(n＋1－3)÷2－n(n－3)÷2＝ n－1即f(n＋1)＝f(n)＋n－1.
2019年高考数学艺术生百日冲刺 专题16算法复数推理与证明测试题-有答案解析
专题16算法、复数、推理与证明测试题命题报告：1.高频考点：程序框图、复数、归纳推理、类比推理、演绎推理、不等式的证明等。
2.考情分析：本单元在高考中必考，内容简单，主要涉及客观题，推理和证明渗透得数学各方面，是培养数学素养的关键。
3.重点推荐：3考察复数的几何性质，9，11题涉及数学文化题。
一．选择题（共12小题，每一题5分）1.（2018•青州市三模）设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a=（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【答案】D【解析】：∵=是纯虚数，∴a=2．故选：D．2.如程序框图所示，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则这样的x的值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】：这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y=的函数值，当x≤2时，令x2=x，得x=0或1；当2＜x≤5时，令2x﹣3=x，得x=3；当x＞5时，令=x，得x=±1（舍去），3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA,OB，则复数Z1对应的点位于（）故只有3个值符合题意．故选：C．Z2A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】.B【解析】：由题意可知z1=﹣2﹣i，z2=i．∴，Z复数1对应的点位于第二象限．故选B．Z24.（2018•陕西一模）运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素a，则函数y=x a，x∈[0，+∞）是增函数的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】：由框图可知A={3，0，﹣1，8，15}，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数”为事件E，当函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数时，α＞0事件E包含基本事件为3，则．故选：C．故选：D．11.设函数，观察：,，f(x)3，A B 1,()A．B．，⋅⋅⋅，由归纳推理可得当n∈N*且n≥2时，f(x)=nC．D．【答案】C【解析】观察可得，所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15，…，2n-1，第二部分的数分别是2，4，8，16，…，2n，∴12.（2018•平度市校级模拟）阅读程序框图（如图）输出的结果的值为（）.11C D235【答案】A【解析】：如图所示的是当型循环结构，第一次循环：S=0+ n=1+1=2；第二次循环：S= n=2+1=3；=，=，第三次循环：S=n=3+1=4；=，第四次循环：S=n=4+1=5；第五次循环：S=+sin=，+sin=0，n=5+1=6；第六次循环：S=0+sin2π=0，n=6+1=7．第七次循环：S=0+n=7+1=8；第八次循环：S==，=，n=8+1=9；…所以，S的取值的周期是6，∵2011=335×6+1，∴第2011次循环时，S=0+n=2011+1=2012，∵n=2012，n＜2012不成立，=，∴输出的结果S为：．故答案为：．二．填空题13.（2019届•曾都区期中）将n表示为k=k+1（n∈N*），当i=0时，ai=1；当1≤i≤k时，ai为0或1．记f（n）为上述表示中ai为1的个数，例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故f（1）=1，f（4）=1，则f（20）=2．【答案】2【解析】：根据题意知，20=1×24+0×23+1×22+0×21+0×20，∴f（20）=2，故答案为：2．14.（2018•闵行区一模）已知是纯虚数（i是虚数单位），则=．【答案】【解析】：∵是纯虚数，∴，得sin且cos，∴α为第二象限角，则 cos．∴ =sin α cos +cos α sin = ．故答案为：﹣ ．15. 布兰克先生有一位夫人和一个女儿，女儿有一位丈夫和一个儿子，阅读以下信息：①五人中有一人是医生，而在其余四人中有一人是这位医生的病人；②医生的孩子和病人父母亲中年龄较大的那一位性别相同；③医生的孩子既不是病人，也不是病人父母亲中年龄较大的那一位．根据以上信息，谁是医生？（填写代号：A 布兰克先生，B 夫人，C 女儿，D 女婿，E 外孙）【答案】D【解析】：根据题意得，布兰克 先生不是医生，由医生的孩子和病人 父母亲中年龄较大的那一位性别相同知女婿是医生，女儿是病人．16. 已知数列其中第一项是 ，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，则 a 97+a 98+a 99+a 100=．【答案】【解析】：根据题意知，第一项是，接下来的两项是 ，再接下来的三项是 ，依此类推，1+2+3+ (i)，i=13 时， =91，∴a 97+a 98+a 99+a 100= + + + = ．故答案为： ．三．解答题17. 已知 i 是虚数单位，a ，b ∈R ，z 1=a ﹣1+（3﹣a ）i ，z 2=b+（2b ﹣1）i ，z 1=z 2． （1）求 a ，b 的值；（2）若 z=m ﹣2+（1﹣m ）i ，m ∈R ，求证：|z+a+bi|≥．解析：（1）解：由 z 1=a ﹣1+（3﹣a ）i ，z 2=b+（2b ﹣1）i ，由 z 1=z 2，得，解得 ，∴a=2，b=1；…………4 分（2）证明：∵z=m ﹣2+（1﹣m ）i ，m ∈R ，∴|z+a+bi|=|m ﹣2+（1﹣m ）i+2+i|=== ．当且仅当 m=1 时上式取等号，∴|z+a+bi|≥．…………10 分18.（2018•洛阳期中）将正整数作如下分组：1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15），（16，17，18，19，20，21），…设第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，…第n组包含的正整数的和分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，…Sn．（1）计算S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，并求Sn；（2）计算S1+S3，S1+S3+S5，S1+S3+S5+S7的值，试猜测S1+S3+S5+…+S2n﹣1的结果【分析】（1）求得S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，结合已知条件说明各组数值关系．然后求Sn；（2）计算S1+S3，S1+S3+S5，S1+S3+S5+S7的值猜想（n∈N*）即可．（2）S1+S3=1+15=16=24，S1+S3+S5=1+15+65=81=34，S1+S3+S5+S7=81+175=256=44，猜测S1+S3+S5+…+S2n﹣1=n4，…………12分19.请阅读下列不等式的证法:已知，求证:．证明：构造函数则,因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以从而得．请回答下面的问题：（Ⅰ）若≤0，，请写出上述结论的推广式；（Ⅱ）参考上述证法，请证明你的推广式．【解析】：（Ⅰ）推广形式：若，则．…………5分（Ⅱ）证明：构造函数则因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，…………7分所以从而得≤0，．……12分20.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E，F分别为PD，BC的中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）G为线段PD上一点，若FG∥平面AEC，求的值．【分析】（1）证明：AE⊥平面PCD，即可证明AE⊥PC；（2）取AP中点M，连接MF，MG，ME，利用平面MFG∥平面AEC，又平面MFG∩平面PAD=MG，平面AEC∩平面PAD=AE，MG∥AE，即可求的值．【解析】（1）证明：∵AP⊥平面ABCD，∴AP⊥CD，在矩形ABCD中，CD⊥AD，又AP∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，在△PAD中，E为PD中点，PA=AD，∴AE⊥PD，又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，∴AE⊥PC…………6分（2）解：取AP中点M，连接MF，MG，ME．在△PAD中，M，E分别为PA，PD的中点则ME为△PAD的中位线∴，又，∴ME∥FC，ME=FC，∴四边形MECF为平行四边形，∴MF∥EC，又MF平面AEC，EC⊂平面AEC，∴MF∥平面AEC，又FG∥平面AEC，MF∩FG=F，MF，FG⊂平面MFG，∴平面MFG∥平面AEC，又平面MFG∩平面PAD=MG，平面AEC∩平面PAD=AE，∴MG∥AE，又∵M为AP中点，∴G为PE中点，又E为PD中点，∴，即．……12分21.某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，且（I=1，2，…，25）由右边的程序运行后，输出n=10．据此解答如下问题：将全班25人的成绩记为AI（Ⅰ）求茎叶图中破损处分数在[50，60），[70，80），[80，90）各区间段的频数；（Ⅱ）利用频率分布直方图估计该班的数学测试成绩的众数，中位数分别是多少？【解析】（Ⅰ）由直方图知：在[50，60）之间的频率为0.008×10=0.08，∴在[50，60）之间的频数为2；由程序框图知：在[70，80）之间的频数为10所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4；…………6分（Ⅱ）分数在[50，60）之间的频率为2/25=0.08；分数在[60，70）之间的频率为 7/25=0.28；分数在[70，80）之间 的频率为 10/25=0.40；分数在[80，90）之间的频率为 4/25=0.16；分数在[90，100]之间的频率为 2/25=0.08；估计该班的测试成绩的众数 75设中位数为 x ，则 0.08+0.28+0.04（x ﹣70）=0.5，解得 x=73.5…………12 分22. （2018 •福州期中）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．（1）已知动点 P 为圆 O ：x 2+y 2=r 2 外一点，过 P 引圆 O 的两条切线 PA 、PB ，A 、B 为切点，若轨迹方程；=0，求动点 P 的（2）若动点 Q 为椭圆 M ：动点 Q 的轨迹方程；（3）在（2）问中若椭圆方程为答案即可，无需过程）．【分析】（1）由切线的性质及上，进而可得动点 P 的轨迹方程；=1 外一点，过 Q 引椭圆 M 的两条切线 QC 、QD ，C 、D 为切点，若 =0，求出=1（a ＞b ＞0），其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么（直接写出可知，四边形 OAPB 为正方形，所以点 P 在以 O 为圆心，|OP|长为半径的圆（2）设两切线为 l 1，l 2，分当 l 1 与 x 轴不垂直且不平行时，和当 l 1 与 x 轴垂直或平行时两种情况，结合可得动点 Q 的轨迹方程；（3）类比（2）的求解过程，可得动点 Q 的轨迹方程．【解析】（1）由切线的性质及可知，四边形 OAPB 为正方形，=0，所以点 P 在以 O 为圆心，|OP|长为半径的圆上，且，进而动点 P 的轨迹方程为 x 2 +y 2=2r 2…（3 分）（2）设两切线为 l 1，l 2，① 当 l 1 与 x 轴不垂直且不平行时，设点 Q 的坐标为 Q （x 0，y 0）则 x 0≠±3，设 l 1 的斜率为 k ，则 k ≠0，l 2 的斜率为﹣ ，l 1 的方程为 y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），联立，得，…（5 分）因为直线与椭圆相切，所以 △=0，得 ，化简，进而，，所以所以k是方程同理﹣是方程…（7分）的一个根，的另一个根，∴k•（﹣）=，得，其中x≠±3，…（9分）。
高考数学大一轮复习配套课时训练：第十一篇 复数、算法、推理与证明 第3节 合情推理与演绎推理(含答案)
第3节合情推理与演绎推理课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是( B )(A)① (B)② (C)③ (D)①和②解析:由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选B.2.(2013河南焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R 为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a, b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;③若“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”.其中类比结论正确的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①②正确,③错误,因为两个复数如果不是实数,不能比较大小.故选C.3.(2013上海闸北二模)平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( C )(A)n+1 (B)2n(C)(D)n2+n+1解析:1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域; ……;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域,选C.4.定义A*B,B*C,C*D,D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4),那么如图中(a)(b)所对应的运算结果可能是( B )(A)B*D,A*D (B)B*D,A*C(C)B*C,A*D (D)C*D,A*D解析:观察图形及对应运算分析可知,基本元素为A→|,B→□,C→—,D→○,从而可知图(a)对应B*D,图(b)对应A*C.故选B.5.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是( B )(A)(7,5) (B)(5,7) (C)(2,10) (D)(10,1)解析:依题意,由和相同的整数对分为一组不难得知,第n组整数对的和为n+1,且有n个整数对.这样前n组一共有个整数对.注意到<60<.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置,可得为(5,7).故选B.6.对于a、b∈(0,+∞),a+b≥2(大前提),x+≥2(小前提),所以x+≥2(结论).以上推理过程中的错误为( A )(A)小前提(B)大前提(C)结论 (D)无错误解析:大前提是a,b∈(0,+∞),a+b≥2,要求a、b都是正数;x+≥2是小前提,没写出x的取值范围,因此本题中的小前提有错误.故选A.二、填空题7.(2013山东实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1,a2满足+=1,则a≤”的证明过程:证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a 1+a2≤.根据上述证明方法,若n个正实数满足++…+=1时,你能得到的结论为.(不必证明)解析:由题意可构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2=nx2-2(a1+a2+…+a n)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ=4(a1+a2+…+a n)2-4n≤0,即a 1+a2+…+a n≤.答案:a 1+a2+…+a n≤8.(2013茂名一模)已知21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,24×1×3×5×7=5×6×7×8,…依此类推,第n个等式为.解析:由前4个等式可归纳得出第n个等式为2n×1×3×5×…×(2n-1)=(n+1)(n+2)…(n+n).答案:2n×1×3×5×…×(2n-1)=(n+1)(n+2)…(n+n)9.(2013江西师大附中模拟)若数轴上不同的两点A,B分别与实数x1,x2对应,则线段AB的中点M与实数对应,由此结论类比到平面得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2), (x3,y3)对应,则△ABC的重心G与对应.解析:由类比推理得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)对应,则△ABC的重心G与(,)对应.答案:(,)10.设等差数列{a n}的前n项和为S n,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{b n}的前n项积为T n,则T4,, ,成等比数列.解析:对于等比数列,通过类比等差数列的差与等比数列的商,可得T4,,,成等比数列.答案:11.用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形,则按此规律,第100个图形中有白色地砖块;现将一粒豆子随机撒在第100个图中,则豆子落在白色地砖上的概率是.解析:按拼图的规律,第1个图有白色地砖3×3-1(块),第2个图有白色地砖3×5-2(块),第3个图有白色地砖3×7-3(块),…,则第100个图中有白色地砖3×201-100=503(块).第100个图中黑白地砖共有603块,则将一粒豆子随机撒在第100个图中,豆子落在白色地砖上的概率是.答案:503三、解答题12.在锐角三角形ABC中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+ cos C.证明:∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>,∴A>-B,∵y=sin x在上是增函数,∴sin A>sin=cos B,同理可得sin B>cos C,sin C>cos A,∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.B组13.在实数集R中定义一种运算“*”,对任意给定的a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;(2)对任意a∈R,a*0=a;(3)对任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.关于函数f(x)=(3x)*的性质,有如下说法①函数f(x)的最小值为3;②函数f(x)为奇函数;③函数f(x)的单调递增区间为,.其中所有正确说法的个数为( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:f(x)=f(x)*0=*0=0*+[(3x)*0]+-2×0=3x×+3x+=3x++1.当x=-1时,f(x)<0,故①错误;因为f(-x)=-3x-+1≠-f(x),所以②错误;令f'(x)=3->0,得x>或x<-,因此函数f(x)的单调递增区间为,,③正确.故选B. 14.(2013中山市高三期末)如图,对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”:仿此,62的“分裂”中最大的数是;20133的“分裂”中最大的数是.解析:22的“分裂”中最大的数是3=2×2-1,32的“分裂”中最大的数是5=2×3-1,42的“分裂”中最大的数是7=2×4-1,…,由归纳推理可得62的“分裂”中最大的数是2×6-1=11;23的“分裂”中最大的数是5=22+1,33的“分裂”中最大的数是11=32+2,43的“分裂”中最大的数是19=42+3,…,由归纳推理可得20133的“分裂”中最大的数是20132+2012.答案:11 20132+201215.已知函数f(x)=,(1)分别求f(2)+f(),f(3)+f(),f(4)+f()的值;(2)归纳猜想一般性结论,并给出证明;(3)求值:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f()+f()+…+f().解:(1)∵f(x)=,∴f(2)+f()=+=+=1,同理可得f(3)+f()=1,f(4)+f()=1.(2)由(1)猜想f(x)+f()=1,证明:f(x)+f()=+=+=1.(3)f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f()+f()+…+f() =f(1)+[f(2)+f()]+[f(3)+f()]+…+[f(2013)+f()]=+=+2012=.。
高考数学复习丨复数、算法与推理证明考点训练(解析版)
考点17复数、算法与推理证明一、选择题1．若复数z 满足()12i z +=，则z 的虚部为（）A ．-1B ．-2C ．i -D ．2i -【答案】A【解析】 22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-，∴z 的虚部为1-，故选A.2．复数232i i--等于（）A ．4755i -B ．7455i -C ．7455i +D ．4755i +【答案】B 【解析】232i i --(23)(2)(2)(2)i i i i -+==-+745i -7455i =-.故选B.3．设i 是虚数单位，复数2i z =-，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】因为()()i 12i 21i 2i 2i 2i 55z +====+---+，所以复数z 在复平面内对应的点为21(,)55.其位于第一象限故选A .故选A.4．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（）A ．57B ．23C ．34D ．127【答案】A【解析】1,0k s ==,第一次循环：2k =，13s =，第二次循环：3k =，12s =，第三次循环：4k =，35s =，第四次循环：5k =，23s =，第五次循环：6k =，57s =，停止循环，所以57s =..故选A.5．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【解析】若甲说的是真话，则乙、丙、丁都是说假话，所以丁偷了珠宝，所以，丙说的也是真话，与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的假话，偷珠宝的人是甲．故选A6．在用反证法证明命题:“若0a b c ++>,则a ,b ,c 三个数中至少有一个大于0”时,正确的反设为:设a ,b ,c 三个数（）A ．都小于0B ．都小于等于0C ．最多1个小于0D ．最多1个小于等于0【答案】B【解析】“a ,b ,c 三个数中至少有一个大于0”反设为“a ,b ,c 三个数中都小于等于0”.故选:B.二、填空题7．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的,a b 分别为12,18,则输出的a 的值为______.【答案】6【解析】输入12,18a b ==；1.“a b ¹”判断为“是”,“a b >”判断为“否”,18126b =-=.2.“a b ¹”判断为“是”,“a b >”判断为“是”,1266a =-=.3.“a b ¹”判断为“否”,输出6a =.故填68．把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径2r =（其中,a b 为直角三角形两直角边长），类比此方法可得三条侧棱长分别为,,a b c ，且两两垂直的三棱锥的外接球半径R =______.【答案】2【解析】a ，b ，c 两两垂直，则可将其补形为长方体，2R =.故填29．观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，则99a b +=_________．【答案】76【解析】观察1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=,不难发现后一项的数值是它前面相邻两项数值的和，所以6677889918,29,47,76a b a b a b a b +=+=+=+=.故填76.10．若复数()13z i i +=-，则z =______.【解析】因为3121i z i i -==-+，所以z =.故填一、选择题11．已知1i +是关于x 的方程220ax bx ++=（,a b ∈R ）的一个根，则a b +=（）A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】A【解析】实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以1i ±为方程两根，211,(1)(1)1,2,1b i i i i a b a b a a++-=-+-=∴==-+=-，故选A.12．《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．”为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图.若输出的S 的值为350，则判断框中可填（）A ．6?i >B ．7?i >C ．8?i >D ．9?i >【答案】B 【解析】模拟程序的运行，可得01S i ==，；执行循环体，2902S i ，==；不满足判断框内的条件，执行循环体，3003S i ==，；不满足判断框内的条件，执行循环体，3104;S i ==，不满足判断框内的条件，执行循环体，3205;S i ==，不满足判断框内的条件，执行循环体，3306;S i ==，不满足判断框内的条件，执行循环体，3407;S i ==，不满足判断框内的条件，执行循环体，3508;S i ，==由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为350．可得判断框中的条件为7i ＞？．故选B ．13．已知{}n b 为等比数列，52b =，则91292b b b ⋅=．若{}n a 为等差数列，52a =，则{}n a 的类似结论为（）A ．912392a a a a =B ．912392a a a a ++++= C ．123929a a a a =⨯D ．123929a a a a ++++=⨯ 【答案】D 【解析】由等差数列性质，有19a a +＝28a a +＝…＝25a ，则12395929a a a a a ++++==⨯ 故选D ．二、填空题14．复数()()221232z a a a a i a R ⎛⎫=-+--+∈ ⎪⎝⎭在复平面内对应点位于第______象限.【答案】四【解析】由题：复数()()221232z a a a a i a R ⎛⎫=-+--+∈ ⎪⎝⎭，实部()2223120a a a -+=-+>，虚部221110224a a a ⎛⎫⎛⎫--+=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以复数()()221232z a a a a i a R ⎛⎫=-+--+∈ ⎪⎝⎭在复平面内对应点22123,2a a a a ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，位于第四象限.故填四15．中国古代教育要求学生掌握“六艺”，即“礼、乐、射、御、书、数”．某校为弘扬中国传统文化，举行有关“六艺”的知识竞赛．甲、乙、丙三位同学进行了决赛．决赛规则：决赛共分6场，每场比赛的第一名、第二名、第三名的得分分别为()*,,,,,a b c a b c a b c N >>∈，选手最后得分为各场得分之和，决赛结果是甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，现有下列说法：①每场比赛第一名得分4a =分；②甲可能有一场比赛获得第二名；③乙有四场比赛获得第三名；④丙可能有一场比赛获得第一名.则以上说法中正确的序号是______.【答案】③【解析】根据题意：()626111148a b c ++=++=，故8a b c ++=，88215a c b =--≤--=，甲不是全部得到第一，故626a >，故133a >，即5a ≥，故5a =，2b =，1c =.故甲有5个第一，0个第二，1个第三；乙有1个第一，1个第二，4个第三；丙有0个第一，5个第二，1个第三.对比选项知：③正确.故填③.。
小题专项集训(十九) 推理证明、算法、复数
小题专项集训(十九)推理证明、算法、复数一、选择题(每题5分,共50分)1．复数z＝i1－i在复平面上对应的点位于()．A．第|一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析z＝i1－i＝i(1＋i)(1＋i)(1－i)＝－1＋i2.故z在复平面上对应的点位于第二象限．答案 B2．i是虚数单位,复数1－3i1－i＝()．A．1－i B．1 C．2－i D．2＋i解析1－3i1－i＝(1－3i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4－2i2＝2－i.答案 C3．①p3＋q3＝2 ,求证p＋q≤2 ,用反证法证明时,可假设p＋q≥2；②a ,b∈R ,|a|＋|b|<1 ,求证方程x2＋ax＋b()．A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确答案 D4．P＝a＋a＋7 ,Q＝a＋3＋a＋4(a≥0) ,那么P ,Q的大小关系是()．A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定解析要证P<Q ,只需证P2<Q2 ,即证：2a ＋7＋2a (a ＋7)<2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4) ,即证：a 2＋7a <a 2＋7a ＋12 ,即证：0<12 , ∵0<12成立 ,∴P <Q 成立．应选C. 答案 C5．在证明f (x )＝2x ＋1为增函数的过程中 ,有以下四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是小前提；④函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是大前提． 其中正确的命题是( )．A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③解析 大前提是增函数的定义 ,小前提是函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义． 答案 C6．(2021·徐州模拟)利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2 ,n∈N *)的过程中 ,由n ＝k 到n ＝k ＋1时 ,左边增加了 ( )． A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k 项解析 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1 ,共增加了2k项 ,应选D.答案 D7．i 为虚数单位 ,⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 013＝( )．A ．0B ．iC ．－iD ．2 013解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i 2 013＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i ) 2 013＝i 2 013＝i 4×503＋1＝i. 答案 B8．如下列图的程序框图中 ,循环体执行的次数是( )．A．50 B．49 C．100 D．99解析从程序框图反映的算法是S＝2＋4＋6＋8＋… ,i的初始值为2 ,由i＝i ＋2知,执行了49次时,i＝100 ,满足i≥100 ,退出循环．答案 B9．某程序框图如下列图,现输入如下四个函数,那么可以输出函数的是()．C．f(x)＝ln x＋2x－6 D．f(x)＝sin x解析由框图知输出的f(x)为奇函数且存在零点,只有f(x)＝sin x符合．答案 D10．观察以下列图123 43456745678910…那么第几行的各数之和等于2 0132()．A．2 013 B．2 011 C．1 006 D．1 007解析由题设图知,第|一行各数和为1 ,第二行各数和为9＝32 ,第三行各数和为25＝52 ,第四行各数和为49＝72 ,… ,∴第n行各数和为(2n－1)2.令2n－1＝2013 ,解得n＝1 007.答案 D二、填空题(每题5分,共25分)11．设a ,b ,c ,d∈R ,那么复数(a＋b i)(c＋d i)为实数的充要条件是________．解析因为(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i ,a,b,c,d∈R,所以复数(a＋b i)(c＋d i)为实数的充要条件是ad＋bc＝0.答案ad＋bc＝012．程序框图如下列图,该程序运行后,为使输出的b值为16 ,那么循环体的判断框内①处应填________．解析a＝1时进入循环,此时b＝21＝2；a＝2时再进入循环,此时b＝22＝4；a＝3时再进入循环,此时b＝24＝16 ,∴a＝4时应跳出循环,∴循环满足的条件为a≤3.答案a≤313．(2021·济南模拟)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1<n(n∈N,且n>1) ,第|一步要证的不等式是__________________________________________．解析当n＝2时,左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋13,右边＝2 ,故填1＋12＋13<2.答案1＋12＋13<214．观察以下等式：①cos 2α＝2cos2α－1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测m －n ＋p ＝________. 解析 m ＝29＝512 ,p ＝5×10＝50. 答案 96215．在平面几何中 ,△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比AE EB ＝ACBC ,把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如下列图) ,平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于点E ,那么得到的类比的结论是________．解析 在题图(1)△ABC 中 ,作ED ⊥AC 于D ,EF ⊥BC 于F ,那么ED ＝EF ,∴AC BC ＝S △AEC S △BCE＝AE EB . 类比：由题意知E 到平面ADC 与平面BCD 的距离相等 ,那么 V E －ADC V E －BDC ＝S △ADC S △BDC ,而V E －ADC V E －BDC ＝V C －AED V C －BED ＝S △AED S △BED ＝AEBE .∴AE BE ＝S △ACD S △BCD .答案 AE EB ＝S △ACDS △BCD。
2021年高考数学经典例题 专题三：复数算法简单推理【含解析】
专题三 复数、算法、简单推理一、单选题1． (12)(2)i i ++=（ ） A ．45i + B ．5iC ．-5iD ．23i +【答案】B 【解析】直接计算出答案即可. 【详解】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=故选：B2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（ ）A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C 【解析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-22(1)1,z i x y -+-则22(1)1y x +-=．故选C ．3．已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ） A ．1 B ．–1C ．2D ．–2【答案】C 【解析】根据复数为实数列式求解即可. 【详解】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，， 故选：C4．若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D 【解析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可. 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D5．若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1 C 2D ．2【答案】C 【解析】先根据21i =-将z 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出． 【详解】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=．故选：C ．6．若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ） A ．0 B ．1C 2D ．2【答案】D 【解析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212zz i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.7．执行下面的程序框图，则输出的n =（ ）A ．17B ．19C ．21D ．23【答案】C 【解析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足135100n ++++>的最小正奇数n ，根据等差数列求和公式即可求出． 【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，所以输出的21n =． 故选：C.8．执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案. 【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值 模拟程序的运行过程0,0k a ==第1次循环，2011a =⨯+=,011k =+=，110>为否 第2次循环，2113a =⨯+=,112k =+=，310>为否 第3次循环，2317a =⨯+=,213k =+=，710>为否 第4次循环，27115a =⨯+=,314k =+=，1510>为是 退出循环 输出4k =. 故选：C.9．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z ∈R .其中的真命题为（ ） A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p【答案】B 【解析】令i(,)z a b a b =+∈R ，则由2211i i a b R z a b a b -==∈++得0b =，所以z R ∈，故1p 正确； 当i z =时，因为22i 1z R ==-∈，而i z R =∉知，故2p 不正确； 当12i z z ==时，满足121z z R ⋅=-∈，但12z z ≠，故3p 不正确； 对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.10． “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”；子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子､乙丑､丙寅……癸酉；甲戌､乙亥､丙子…癸未；甲申､乙酉､丙戌…癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（ ） A ．庚午年 B ．辛未年C ．庚辰年D ．辛巳年【答案】D 【解析】根据“干支纪年法”的规则判断． 【详解】2021年是辛丑年，则2081年是辛丑年，天干10个一循环，地支12个一循环，2082年到2121年共40年，天干正好又是辛，因为40除以12的余数为4，故地支为丑后的第四个巳，因此2121年是辛巳年． 故选：D ．11．甲､乙､丙三人从红，黄､蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲､乙､丙所戴帽子的颜色分别为（）A．红､黄､蓝B．黄､红､蓝C．蓝､红､黄D．蓝､黄､红【答案】B【解析】通过分析，排除即可.【详解】丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的年龄小；乙比戴蓝帽的人年龄大，故戴蓝帽的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的年龄大或乙比丙的年龄大，但由上述分析可知，只能是乙比丙的年龄大，即戴蓝帽的是丙；综上，甲､乙､丙所戴帽子的颜色分别为黄､红､蓝.故选：B.12．一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画╳．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为（）题号12345678得分学生甲╳√╳√╳╳√╳30乙╳╳√√√╳╳√25丙√╳╳╳√√√╳25丁╳√╳√√╳√√mA．35B．30C．25D．20【答案】B【解析】通过分析甲、乙、丙三人的答案以及得分情况，推理得出这8道判断的答案，从而可得结果.【详解】因为乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同，所以第2，5两题答案正确，又因为甲得分30分即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙丙不同，故其余6题答案均正确，故而这8道判断的答案分别是：╳╳╳√√╳√╳，对比丁的答案，可知其2、8两题错误，故得分m ＝6×5＝30， 故选：B.13．执行如下图所示的程序框图，若输入的x 为9-，则输出y 的值为（ ）A ．4B ．7C ．17D ．27【答案】B 【解析】进入循环体，依照循环条件，依次执行命令，直到满足条件时退出循环，代x 的值计算y 即可． 【详解】9x =-，进入循环体，依次执行命令有9514x =--=，1459x =-=，954x =-=，退出循环，得2417y =⨯-=．故选：B14．如果执行面的程序框图，输入6n =，3m =，那么输出的p 等于（ ）A ．360B ．240C ．120D ．60【答案】C【解析】根据程序框图写出每次循环的运行结果即可求解.【详解】程序在执行过程中，,p k的值依次为1,1p k==；4,2p k==；20,3p k==；120p=，此时k m<不成立，结束循环；输出120p=.故选：C.15．执行如图所示的程序框图，若输入的3k=，则输出的S=（）A 3B．3C．12D．0【答案】B 【解析】设第n 次循环后输出，依题意可得342021k n =+≥，即可求出n 的取值范围，求出循环结束时k 的值，再代入计算可得； 【详解】解：设第n 次循环后输出，342021k n =+≥，解得504.5n ≥，可知第505次循环后结束循环，此时345052023k =+⨯=，2023773coscos 336cos cos 6666S πππππ⎛⎫==+==-= ⎪⎝⎭. 故选：B16．已知复数z 满足2z z i -=，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i【答案】A 【解析】设(),z a bi a b R =+∈，根据2z z i -=，求得1b =-，即可求得复数z 的虚部，得到答案. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，因为2z z i -=，可得()22z z a bi a bi bi i -=--+=-=， 则22b -=，可得1b =-，所以复数z 的虚部是1-. 故选：A17．设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，134,z i +＝则12z z ＝（ ） A ．25 B ．25-C ．724i -D ．724i --【答案】A 【解析】由题意可得234z i -＝，根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，134,z i +＝则234z i -＝，所以()()12343491625z z i i +-=+=＝. 故选：A18．复数1ai i-在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(,0)-∞ C ．(0,)+∞ D ．(1,)+∞【答案】C 【解析】化简复数即可判断. 【详解】()2111ai i ai a ia i i i ----===+- 因为对应的点位于第一象限，所以0a > 故选：C.19．已知i 为虚数单位，复数()21a iz a R i-=∈-是纯虚数，则5ai -=（ ）．A 5B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】 化简复数得2(2)2a a iz ++-=，由其为纯虚数求参数a 5ai 的模即可.【详解】 由(2)(1)2(2)22a i i a a iz -+++-==为纯虚数，∴2020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得：2a =-2252(5)23i =+=，故选：C ．20．欧拉恒等式：i e 10π+=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e ､圆周率π､虚数单位i ､自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：i e cos isin ()θθθθ=+∈R 令θπ=得到的根据欧拉公式，2i e 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】令i e cos isin ()θθθθ=+∈R 中2θ=即得解. 【详解】令i e cos isin ()θθθθ=+∈R 中2θ=得：2i e cos 2isin 2=+，所以2i e 在复平面内对应的点为(cos 2,sin 2)因为cos 20,sin 20<>，所以2i e 在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B21．设(12)16i x y i -+=--，,x y R ∈，则||x yi -=（ ） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】B 【解析】根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得34x y =-⎧⎨=⎩，进而求模长即可.【详解】因为()1216i x y i -+=--，所以261x x y =-⎧⎨-=-⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩， 所以()33=|34|345x yi i --+=-+=.故选：B. 二、多选题22．新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容（ ） A ．可能是家常菜青椒土豆丝 B ．可能是川菜干烧大虾 C ．可能是烹制西式点心 D ．可能是烹制中式面食【答案】BD 【解析】根据合情推理，分别假设小华选择的烹饪选修课，判断甲、乙、丙的说法即可得出选项. 【详解】若小华选择的是家常菜青椒土豆丝，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足条件，排除；若小华选择的是川菜干烧大虾，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足条件； 若小华选择的是烹制西式点心，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足条件，排除； 若小华选择的是烹制中式面食，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足条件． 故小华选择的可能是川菜干烧大虾或者烹制中式面食， 所以选：BD ． 三、填空题23． i 是虚数单位，复数82ii-=+_________． 【答案】32i - 【解析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果. 【详解】()()()()8281510322225i i i ii i i i ----===-++-. 故答案为：32i -.24．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____. 【答案】3 【解析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【详解】∵复数()()12z i i =+- ∴2223z i i i i =-+-=+ ∴复数的实部为3. 故答案为：3.25．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.【答案】2. 【解析】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++，令20a -=得2a =.26．设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，123i z z +=，则12||z z -=__________. 【答案】23【解析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形12OZ PZ 为菱形，12OZ OZ 2OP ===，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算12z z -.【详解】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()3z z a c b d i i ∴+=+++=，31a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-()22()()82a c b d ac bd =-+-=-+8423=+=故答案为：23方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 由已知12312OZ OZ OP =+===,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z 23z Z Z -==27．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3- 【解析】根据指数函数的性质，判断出1y x =+，由此求得x 的值. 【详解】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-. 故答案为：3-28．如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到.依次类推，则该数表中，第n 行第1个数是___________.【答案】2(1)2n n -+⋅． 【解析】观察数表得出规律：每一行都成等差数列，且第n 行公差为12n -，设第n 行第1个数是n a ，可得出n a 与1n a -的递推关系，然后构造等差数列求通项公式． 【详解】观察数表，得出每一行都成等差数列，且第n 行公差为12n -， 因此设第n 行第1个数是n a ，则第n 行第2个数是12n n a -+，从而可得2122n n n a a --=+，从而111224n n n n a a --=-， 所以{}2n n a是等差数列，公差为14， 所以111(1)2244n n a n n +=+-=，2(1)2n n a n -=+⋅． 故答案为：2(1)2n n -+⋅．29．已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i 为虚数单位）：甲：2z z +=；乙：23z z i -=；丙：4z z ⋅=；丁：22z z z =.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =___________. 【答案】1i + 【解析】设()0,0z a bi a b =+>>，由此可计算出z z +，z z -，z z ⋅和zz，根据数字对比可发现丙丁、乙丁不能同时成立；又甲乙丙任意两个正确，则第三个一定正确，由此可得到只能甲丁正确，由此可求得z . 【详解】设()0,0z a bi a b =+>>，则z a bi =-，2z z a ∴+=，2z z bi -=，22z z a b ⋅=+，222z z z a b=+.4z z ⋅=与22z z z =不可能同时成立，∴丙丁不能同时正确；23z z i -=时，232b =>，22z z z ∴=不成立，∴乙丁不能同时正确；当甲乙正确时：1a =，3b = 当甲丙正确时：1a =，3b = 当乙丙正确时：3b =1a =，则甲也正确，不合题意；∴甲丁陈述正确，此时1a b ==，1z i ∴=+.故答案为：1i +.30．小赵、小钱、小孙、小李每人去A 、B 、C 、D 四地之一，去的地方各不相同． 小赵说：我去A小钱说：我去B 或C 或D 地； 小孙说：我去C 地； 小李说：我去D 地；①代表小赵，②代表小钱，③代表小孙，④代表小李，只有一个人说错了，可能是______．（填写你认为正确的序号） 【答案】③或④ 【解析】采用假设方法，先假设小赵说错了，把结论作为条件进行推理，则可以推出小钱、小孙、小李分别去了B 地、C 地、D 地，则小赵去了A 地，这也假设矛盾，所以小赵说对了.应用同样的方法对其他三人进行假设，即可得到答案. 【详解】假设小赵说错了，则其他三人正确，就意味着小钱、小孙、小李分别去了B 地、C 地、D 地，则小赵去了A 地，这也假设矛盾，所以小赵说对了.同理，若小钱说错了，则小钱必须去A 地，这与小赵去A 地矛盾，所以小钱说对了. 若小孙说错了，则小赵去A 地、小钱去C 地、小孙去B 地，小李去D 地，符合题意. 若小李说错了，则小赵去A 地、小钱去D 地、小孙去C 地，小李去B 地，符合题意.故答案为：③或④ 【点睛】简单逻辑推理应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.31．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大是举与古希腊算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，若输入288a =，123b =，输出结果时，循环体被执行了___________次.【答案】4 【解析】根据程序框图，输入288a =，123b =，执行循环，逐次计算，结合判定条件，即可求得答案. 【详解】由题意得输入288a =，123b =，执行第一次循环，288除以123的余数r =42，a =123，b =42，0r ≠， 执行第二次循环，123除以42的余数r =39，a =42，b =39，0r ≠执行第三次循环，42除以39的余数r =3，a =39，b =3，0r ≠，执行第四次循环，39除以3余数r =0，a =3，b =0，跳出循环，输出a =3，结束. 共执行了4次循环. 故答案为：4 四、双空题32．已知复数z 满足()()12z i i i ++=-，其中i 为虚数单位，则z =______，z =______．【答案】1522i - 26【解析】由()()12z i i i ++=-可得：21i z i i -=-+，之后利用复数运算法则对其进行化简，求得1522z i =-，进而求得其模. 【详解】 由题意得()()2121315122222i i iz i i i i i i ---=-=-=--=-+， 所以22152622z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：①1522i -26.五、解答题33．设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可. 【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.。
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定义域为全体实数， 且 f(－x)＝－f(x)， 故此函数为奇函数， 令 f(x) 2x－1 ＝ x ＝0，得 x＝0，函数 f(x)存在零点． 2 ＋1
[记概念公式] 1．复数的四则运算法则 (1)(a＋bi)± (c＋di)＝(a± c)＋(b± d)i； (2)(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i； ac＋bd bc－ad (3)(a ＋ bi)÷ (c ＋ di) ＝ 2 ＋ i(a ， b ， c ， d ∈ R ， c ＋ c ＋d2 c2＋d2 di≠0)． 2．复数运算中常用的结论 1＋i 1－ i (1)(1± i) ＝± 2i；(2) ＝i；(3) ＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋ 1－i 1＋ i
3．归纳推理是由部分推知整体的一种合情推理，和类比推理一 样， “合乎情理”是其主要特征， 即我们作出的归纳首先要适合“部 分”． 4．分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”， 其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件． 5．综合法的特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”， 其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．
)
A. C.
9 10 10 11
B.
19 10 21 11
D.
解析：选 B
1 1 1 ∵ ＝ － ，n＝1＜10 成立，执行第 nn＋1 n n＋1 成立，执行第
1 一次循环，s＝1＋1－2，n＝1＋1＝2；n＝2＜10
1 1 1 二次循环，s＝1＋1－2＋2－3，n＝2＋1＝3；依次类推，n＝9
A．第一象限 C．第三象限
4＋3i 6 17 解析：选 A 由(3－2i)z＝4＋3i 得 z＝ ＝ ＋ i，则复 3－2i 13 13 平面内表示复数 z 的点在第一象限．
4 ．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ( )
A． 4
B． 5
C． 6
D． 7
解析：选 A 程序在执行过程中，S，k 的值依次为 S＝1，k ＝1；S＝1＋2＝3，k＝2；S＝3＋23＝11，k＝3；S＝11＋211＞100， k＝4，循环结束，输出 k＝4.
|x| A．f(x)＝ x 2x － 1 C．f(x)＝ x 2 ＋1
π cos x π B．f(x)＝ x － 2＜x＜2 D．f(x)＝x2ln(x2＋1)
解析：选 C
根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此
|x| cos x 函 数 存 在 零 点 ． 经 验 证 ： f(x) ＝ x 不 存 在 零 点 ； f(x) ＝ x
B．44 D．62
解析：选 A
执行程序框图，有 S＝3，n＝1，T＝2；不满足
条件 T＞2S，S＝6，n＝2，T＝8；不满足条件 T＞2S，S＝9，n ＝3，T＝17；不满足条件 T＞2S，S＝12，n＝4，T＝29；满足条 件 T＞2S，退出循环，输出 T 的值为 29.
9．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出 的函数是( )
1＋i a 5．设 a 是实数，且 ＋ 是实数，则 a＝( 2 1＋i 1 A. 2
解析：选 B
)
B．1
3 C. 2
D．2
1＋i a1－i 1＋i a 因为 a 是实数， ＋ ＝ ＋ ＝ 2 2 2 1＋i
a＋1＋1－ai 是实数，所以 a＝1. 2
6．执行如图所示的程序框图，输出一列数，则这个数列的第 3 项是( )
A．870 C．6
B．30 D．3
解析：选 B 当 N＝1 时，A＝3，故数列的第 1 项为 3，N＝ 2，满足继续循环的条件，A＝3×2＝6，当 N＝2 时，A＝6，故数 列的第 2 项为 6，N＝3，满足继续循环的条件，A＝6×5＝30，当 N＝3 时，A＝30，故数列的第 3 项为 30.
7．如图，程序框图运行后输出的结果为(
10．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43 ＝102，根据上述规律13＋23＋33＋43＋53＋63＝( A．192 C．212
＜10
1 1 1 1 1 成立，执行第九次循环，s＝1＋1－2＋2－3＋„＋9－10
1 19 19 ＝2－ ＝ ，n＝9＋1＝10，n＜10 不成立，输出 s 的值为 . 10 10 10
8．执行如图所示的程序框图，输出的 T＝(
)
A．29 C．52
解析：选 D 复数
) 3 4 B. － i 5 5 3 4 D. ＋ i 5 5
53－4i 3－4i 3 4 5 ∵ ＝ ＝ ＝ － i，因此 5 5 5 3＋4i 3＋4i3－4i
5 3 4 的共轭复数为 ＋ i. 5 5 3＋4i
3．若复数 z 满足(3－2i)z＝4＋3i，则复平面内表示复数 z 的 点在( ) B．第二象限 D．第四象限
[练经典考题] 一、选择题 3－i 1．若复数 z 满足 z ＝1＋i，i 是虚数单位，则|z|＝( A. 2
解析： 选 C
) D． 5
B． 2
C. 5
3－i 3－i1－i 2－4i ∵z＝ ＝ ＝ ＝1－ 2i，∴|z| 2 2 1＋ i
＝ 12＋－22＝ 5.
5 2．复数 的共轭复数为( 3＋4i A．3－4i C．3＋4i
2
bi)；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中 n∈N*.
3．两种合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程： 试验、观察 → 概括、推广 － 猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程： 试验、观察 → 联想、类推 － 猜测新的结论
[览规律技巧] 1．算法的三种基本逻辑结构是：顺序结构、条件结构和循环结 构．循环结构的过程由两个变量控制，一个是计数变量，一个是累加 变量，这是两个有规律变化的量，控制着循环的过程，解题时首先要 搞清楚这两个量是什么， 这两个量的变化规律是什么， 然后通过逐步 执行程序得到问题的答案． 2．类比推理用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出 一个明确的命题(猜想)，类比的结论不一定正确．